Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 1/44
3 Electrostática en medios materiales
M. Mudarra
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
● Conductores y aisladores
● Permitividad eléctrica
● Rigidez eléctrica● Permitividad y rigidez
eléctricas
● Polarización● Ejemplo: Polarizabilidad
atómica● Ejemplo: Polarizabilidad
atómica● Ejemplo: Polarizabilidad
atómica
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 2/44
3.1 Dieléctricos: permitividad y rigidezeléctricas
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
● Conductores y aisladores
● Permitividad eléctrica
● Rigidez eléctrica● Permitividad y rigidez
eléctricas
● Polarización● Ejemplo: Polarizabilidad
atómica● Ejemplo: Polarizabilidad
atómica● Ejemplo: Polarizabilidad
atómica
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 3/44
Conductores y aisladores
Desde el punto de vista de su comportamiento eléctrico losmateriales se dividen en dos grupos de comportamientoextremo ideal
Aislantes odieléctricos
movilidad nula de los portadoresNo transportan la carga eléctrica“Electrización local ”
Conductoresmovilidad infinita de los portadoresTransportan la carga eléctrica“Electrización global ”
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
● Conductores y aisladores
● Permitividad eléctrica
● Rigidez eléctrica● Permitividad y rigidez
eléctricas
● Polarización● Ejemplo: Polarizabilidad
atómica● Ejemplo: Polarizabilidad
atómica● Ejemplo: Polarizabilidad
atómica
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 4/44
Permitividad eléctricaSi rellenamos completamente el espacio entre las armadurasde un condensador con un material dieléctrico, la capacidaddel mismo crece en una proporción que sólo depende de lanaturaleza del material.
Permitividad eléctrica relativa o constante dieléctrica
εr =ε
ε0
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
● Conductores y aisladores
● Permitividad eléctrica
● Rigidez eléctrica● Permitividad y rigidez
eléctricas
● Polarización● Ejemplo: Polarizabilidad
atómica● Ejemplo: Polarizabilidad
atómica● Ejemplo: Polarizabilidad
atómica
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 5/44
Rigidez eléctrica
La rigidez eléctrica de un aislador es el campo máximo quesoporta sin producirse una descarga disruptiva (rupturadieléctrica) en él
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
● Conductores y aisladores
● Permitividad eléctrica
● Rigidez eléctrica● Permitividad y rigidez
eléctricas
● Polarización● Ejemplo: Polarizabilidad
atómica● Ejemplo: Polarizabilidad
atómica● Ejemplo: Polarizabilidad
atómica
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 6/44
Permitividad y rigidez eléctricasEjemplos de valores de estas magnitudes
Material εr
Cuarzo 3,75
Vidrio Pirex 4,3
Porcelana 6-7
Óxido de Cobre 18
TiO2 ≈ 80
CaTiO3 ≈ 160
(SrBi)TiO3 ≈ 1000
Agua (hielo, -40oC) 100
Agua (líquido, 20oC) 80
Agua (vapor, 110oC, 1 atm) 1,0046
Polietileno 2,3
Teflon 2,1
Nitrobenzol 37
Aire 1,000576
H2 1,000264
SO2 1,0099
Material Erup (MV/m)
Aire seco 3
Mica 160
Mylar 150
Porcelana 4
Cuarzo fundido 8
Vidrio pirex 13
Baquelita 12
Polietileno 50
Poliestireno 25
PVC 30
Teflón 60
TiO2 6
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
● Conductores y aisladores
● Permitividad eléctrica
● Rigidez eléctrica● Permitividad y rigidez
eléctricas
● Polarización● Ejemplo: Polarizabilidad
atómica● Ejemplo: Polarizabilidad
atómica● Ejemplo: Polarizabilidad
atómica
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
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Polarización
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
● Conductores y aisladores
● Permitividad eléctrica
● Rigidez eléctrica● Permitividad y rigidez
eléctricas
● Polarización● Ejemplo: Polarizabilidad
atómica● Ejemplo: Polarizabilidad
atómica● Ejemplo: Polarizabilidad
atómica
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 8/44
Ejemplo: Polarizabilidad atómicaDeterminar la polarizabilidad de un átomo.
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
● Conductores y aisladores
● Permitividad eléctrica
● Rigidez eléctrica● Permitividad y rigidez
eléctricas
● Polarización● Ejemplo: Polarizabilidad
atómica● Ejemplo: Polarizabilidad
atómica● Ejemplo: Polarizabilidad
atómica
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 9/44
Ejemplo: Polarizabilidad atómica
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
● Conductores y aisladores
● Permitividad eléctrica
● Rigidez eléctrica● Permitividad y rigidez
eléctricas
● Polarización● Ejemplo: Polarizabilidad
atómica● Ejemplo: Polarizabilidad
atómica● Ejemplo: Polarizabilidad
atómica
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 10/44
Ejemplo: Polarizabilidad atómica
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
● Dipolo eléctrico
● Potencial del dipolo
● Potencial de un dipolo
● Campo de un dipolo
● Acción de un campo sobre un
dipolo
● Energía de interacción de un
dipolo
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 11/44
3.3 Dipolos rígidos
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
● Dipolo eléctrico
● Potencial del dipolo
● Potencial de un dipolo
● Campo de un dipolo
● Acción de un campo sobre un
dipolo
● Energía de interacción de un
dipolo
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 12/44
Dipolo eléctrico
Dos cargas de igual magnitud, pero con signos opuestos,separados por una distancia pequeña comparada con ladistancia al punto donde estudiaremos sus efectos (r ≫ l)
Estudiaremos:■ Potencial en un punto.■ Campo en un punto.■ Acción mecánica de un campo
sobre un dipolo rígido.■ Energía de interacción de un
dipolo con un campo.
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
● Dipolo eléctrico
● Potencial del dipolo
● Potencial de un dipolo
● Campo de un dipolo
● Acción de un campo sobre un
dipolo
● Energía de interacción de un
dipolo
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 13/44
Potencial del dipolo
Aplicando el principio de superposición:
V (r) = V+(r) + V−(r) =1
4πε0
q
r++
1
4πε0
−q
r−
V (r) =q
4πε0
(
1
r+−
1
r−
)
=q
4πε0
(
r−
− r+
r+r−
)
Como P es un punto alejado l ≪ r,
r−
− r+ ≈ l cos θ
r+r− ≈ r2
y finalmente
V (r) =ql cos θ
4πε0r2
En una dirección determinada, (θ, φ), el potencial cae másdeprisa que el de una carga puntual q.
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
● Dipolo eléctrico
● Potencial del dipolo
● Potencial de un dipolo
● Campo de un dipolo
● Acción de un campo sobre un
dipolo
● Energía de interacción de un
dipolo
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 14/44
Potencial de un dipolo
V (r) =ql cos θ
4πε0r2=
q~l · ~ur
4πε0r2
V (r) =q~l · ~ur
4πε0r2=
~p · ~ur
4πε0r2
En la que ~p = q~l es el momento dipolareléctrico.
También, como ~ur = ~rr
V (r) =~p · ~r
4πε0r3
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
● Dipolo eléctrico
● Potencial del dipolo
● Potencial de un dipolo
● Campo de un dipolo
● Acción de un campo sobre un
dipolo
● Energía de interacción de un
dipolo
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 15/44
Campo de un dipoloA partir del potencial: ~E = −∇V .
Como hemos utilizado coordenadas esféricas:
∇ =∂
∂r~ur +
1
r
∂
∂θ~uθ +
1
r sin θ
∂
∂ϕ~uϕ
luego:~E = Er ~ur + Eθ ~uθ + Eϕ ~uϕ
y finalmente:
Er = −∂V
∂r=
p cos θ
2πε0r3
Eθ = −1
r
∂V
∂θ=
p sin θ
4πε0r3
Eϕ = −1
r sin θ
∂V
∂ϕ= 0
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
● Dipolo eléctrico
● Potencial del dipolo
● Potencial de un dipolo
● Campo de un dipolo
● Acción de un campo sobre un
dipolo
● Energía de interacción de un
dipolo
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 16/44
Acción de un campo sobre un dipoloCampo uniforme
Fuerza resultante nula
∑
~F = 0
Es equivalente a un par de momento:
~τ = ~l × (q ~E) = q~l × ~E = ~p × ~E
que tiende a alinearlo con el campo.
Campo no uniforme
Hay fuerza neta:~F = (~p · ∇) ~E
y momento resultante
~τ = ~dl × q( ~E + ~dE) = q~dl × ~E + q~dl × ~dE = ~p × ~E
ya que el diferencial de segundo orden
q~dl × ~dE ≈ 0
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
● Dipolo eléctrico
● Potencial del dipolo
● Potencial de un dipolo
● Campo de un dipolo
● Acción de un campo sobre un
dipolo
● Energía de interacción de un
dipolo
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 17/44
Energía de interacción de un dipolo
La energía de interacción será
W = q(V + dV )− qV = qdV = q(∇V · ~dl)
W = q~dl · ∇V = ~p · (− ~E)
Finalmente
W = −~p · ~E = −pEcosθ
Donde θ es el ángulo que forman ~p y ~E.
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
● Campo polarización● Potencial creado por la
materia polarizada
● Cargas de polarización
● Campo creado por la materia
polarizada
● Cargas de polarización
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 18/44
3.4 Campo creado por la materiapolarizada
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
● Campo polarización● Potencial creado por la
materia polarizada
● Cargas de polarización
● Campo creado por la materia
polarizada
● Cargas de polarización
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 19/44
Campo polarización
■ Una porción de materia polarizada es
equivalente a una distribución de dipolosmoleculares en el volumen ocupado por ella.
■ Definimos el campo de polarización como el
momento dipolar por unidad de volumen encada punto del volumen de la materia
polarizada.
~P =~dp
dv
■ Sus unidades en el S.I. son el Cm2
Este campo nos permite una descripción continua de losmedios materiales, evitando el problema de su naturalezadiscontinua.
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
● Campo polarización● Potencial creado por la
materia polarizada
● Cargas de polarización
● Campo creado por la materia
polarizada
● Cargas de polarización
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 20/44
Potencial creado por la materia polarizada
A partir del potencial de un dipolo en un punto.
V (r) =~p · ~ur
4πε0r2
Podemos establecer la contribución de cada elemento de volu-men del material polarizado como:
dV (r) =~dp · ~ur
4πε0r2=
~P · ~ur
4πε0r2dv
en la que hemos tenido en cuenta que ~dP = ~Pdv. El potencialtotal de toda la distribución de dipolos será pues:
V =
∫
vol
dV =1
4πε0
∫
vol
~P · ~ur
r2dv = . . .
(vide Wangsness pags. 183 y 184)
. . . =1
4πε0
∮
sup
~P · ~un
rds +
1
4πε0
∫
vol
−∇ · ~P
rdv
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
● Campo polarización● Potencial creado por la
materia polarizada
● Cargas de polarización
● Campo creado por la materia
polarizada
● Cargas de polarización
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 21/44
Cargas de polarización■ La expresión anterior es equivalente al potencial creado por una distribución de carga
σb sobre la superficie del material polarizado, más una distribución de carga ρb entodo su volumen.
■ Estas distribuciones de carga se conocen como distribuciones de cargas depolarización o ligadas ( b de bound, ligada).
σb = ~P · ~un = Pn ρb = −∇ · ~P
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
● Campo polarización● Potencial creado por la
materia polarizada
● Cargas de polarización
● Campo creado por la materia
polarizada
● Cargas de polarización
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 22/44
Campo creado por la materia polarizada
Hemos visto que el potencial puede expresarse como:
V (~r) =1
4πε0
∮
sup
~P · ~un
rds +
1
4πε0
∫
vol
−∇ · ~P
rdv
V (~r) =1
4πε0
∮
sup
σb
rds +
1
4πε0
∫
vol
ρb
rdv
De ambas expresiones, pueden inducirse expresiones para elcampo eléctrico:
~E(~r) =1
4πε0
∮
sup
σb
r2~urds +
1
4πε0
∫
vol
ρb
r2~urdv
~E(~r) =1
4πε0
∮
sup
~P · ~un
r2~urds +
1
4πε0
∫
vol
−∇ · ~P
r2~urdv
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
● Campo polarización● Potencial creado por la
materia polarizada
● Cargas de polarización
● Campo creado por la materia
polarizada
● Cargas de polarización
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 23/44
Cargas de polarización
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
● Campo polarización● Potencial creado por la
materia polarizada
● Cargas de polarización
● Campo creado por la materia
polarizada
● Cargas de polarización
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 24/44
Ejemplo
Determinar el campo creado por un cilindro uniformementepolarizado en la dirección axial, con momento dipolar porunidad de volumen ~P = P0 ~uz
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
● Campo polarización● Potencial creado por la
materia polarizada
● Cargas de polarización
● Campo creado por la materia
polarizada
● Cargas de polarización
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 25/44
Ejemplo
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
● Campo polarización● Potencial creado por la
materia polarizada
● Cargas de polarización
● Campo creado por la materia
polarizada
● Cargas de polarización
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 26/44
Ejemplo
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
● Desplazamiento eléctrico
● Desplazamiento eléctrico
● Desplazamiento eléctrico
● Desplazamiento eléctrico
● Ejemplo
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 27/44
3.5 Teorema de Gauss generalizado.
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
● Desplazamiento eléctrico
● Desplazamiento eléctrico
● Desplazamiento eléctrico
● Desplazamiento eléctrico
● Ejemplo
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 28/44
Desplazamiento eléctricoComo desde el punto de vista del campo eléctrico lasdensidades de carga ligada constituyen fuentes del campoeléctrico, hemos de tenerlas en cuenta al escribir el teoremade Gauss:
∮
S
~E · ~ds =1
ε0
∫
V
(ρl + ρb)dv
donde ρl es la densidad de carga libre y ρb la densidad decarga ligada.Si aplicamos el teorema de la divergencia a la expresiónanterior:
∇ · ~E =ρl + ρb
ε0=
ρt
ε0
Evidentemente, la relación del potencial con las fuentes esahora:
∇2V = −
ρl + ρbε0
= −ρt
ε0
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
● Desplazamiento eléctrico
● Desplazamiento eléctrico
● Desplazamiento eléctrico
● Desplazamiento eléctrico
● Ejemplo
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 29/44
Desplazamiento eléctricoDe la ecuación en forma diferencial.
∇ · ~E =ρl + ρb
ε0=
ρt
ε0
Resulta:ε0∇ · ~E = ρl + ρb
∇ · (ε0 ~E) = ρl −∇ · ~P
y finalmente
∇ · (ε0 ~E + ~P ) = ρl
Podemos definir el campo Desplazamiento eléctrico oDensidad de flujo eléctrico como:
~D = ε0 ~E + ~P
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
● Desplazamiento eléctrico
● Desplazamiento eléctrico
● Desplazamiento eléctrico
● Desplazamiento eléctrico
● Ejemplo
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 30/44
Desplazamiento eléctrico
Teorema de Gauss generalizado (Forma local)
∇ · ~D = ρl
Aplicando el teorema de la divergencia∫
V
(∇ · ~D)dv =
∮
S
~D · ~ds
y∫
V
(∇ · ~D)dv =
∫
V
ρldv = Ql
Finalmente (Forma integral)∮
S
~D · ~ds = Ql
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
● Desplazamiento eléctrico
● Desplazamiento eléctrico
● Desplazamiento eléctrico
● Desplazamiento eléctrico
● Ejemplo
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 31/44
Desplazamiento eléctrico
∇ · ~D = ρl
■ Fuentes: cargas libres■ Las líneas nacen y mueren en las
cargas libres
∇ · ~P = −ρb
■ Fuentes: cargas ligadas■ Las líneas nacen y mueren en las
cargas ligadas
∇ · ~E = ρtε0
■ Fuentes: cargas libres y ligadas■ Las líneas nacen y mueren en las
cargas libres y en las ligadas
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
● Desplazamiento eléctrico
● Desplazamiento eléctrico
● Desplazamiento eléctrico
● Desplazamiento eléctrico
● Ejemplo
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 32/44
Ejemplo
Condensador planoparalelo con lámina dieléctrica en suinterior que lo llena parcialmente
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
● Campo local
● Dieléctricos L.I.H.
● Dieléctricos L.I.H.
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Energía electrostática
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 33/44
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
● Campo local
● Dieléctricos L.I.H.
● Dieléctricos L.I.H.
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Energía electrostática
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 34/44
Campo local
■ El campo local ~Eloc es el campo que “ve” la molécula en elinterior del dieléctrico.
■ Este campo no es el campo macroscópico ~E que nosinteresa: hemos de descontar su propio campo dedespolarización.
■ La idea más sencilla es que el campo de despolarizaciónsea proporcional a la polarización presente en el medio ~P
~Eloc = ~E + b~P
ε0
■ De esta manera, utilizaremos un modelo sencillo derespuesta lineal de las moléculas frente al campo local.
~p = α ~Eloc
donde α es la polarizabilidad de atómica/molecular
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
● Campo local
● Dieléctricos L.I.H.
● Dieléctricos L.I.H.
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Energía electrostática
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 35/44
Dieléctricos L.I.H.Bajo la suposición anterior:
~p = α ~Eloc = α
(
~E + b~P
ε0
)
Vemos que el momento dipolar por unidad de volumen ~P será.
~P = N~p = Nα ~Eloc = Nα
(
~E + b~P
ε0
)
donde N es el número de moléculas por unidad de volumen.De ella se puede aislar ~P , resultando:
~P =Nα
1− Nαbε0
~E = ε0χe ~E
Donde la constante adimensional χe (susceptibilidad eléctrica)“contiene” las características eléctricas del medio.En los dieléctricos L.I.H. el campo macroscópico y el depolarización son proporcionales.
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
● Campo local
● Dieléctricos L.I.H.
● Dieléctricos L.I.H.
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Energía electrostática
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 36/44
Dieléctricos L.I.H.
Como en estos materiales~P = ε0χe ~E
y a partir de la definición del desplazamiento
~D = ε0 ~E + ~P
Resulta:~D = ε0 ~E + ε0χe ~E = ε0(1 + χe)~E
Definimos la permitividad absoluta del medio ε
ε = ε0(1 + χe)
por lo que la relativa será:
εr =ε
ε0= (1 + χe)
En los dieléctricos L.I.H. el campo macroscópico y el dedesplazamiento son proporcionales.
~D = ε ~E = ε0εr ~E
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
● Campo local
● Dieléctricos L.I.H.
● Dieléctricos L.I.H.
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Energía electrostática
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 37/44
EjemploCapacidad del cond. plano con un dieléctrico de permitividad absoluta ε en su interior.
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
● Campo local
● Dieléctricos L.I.H.
● Dieléctricos L.I.H.
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Energía electrostática
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 38/44
EjemploEsfera dieléctrica de permitividad ε y radio a con una cargapuntual Q en su centro.
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
● Campo local
● Dieléctricos L.I.H.
● Dieléctricos L.I.H.
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Energía electrostática
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 39/44
EjemploEsfera dieléctrica de permitividad ε y radio a con una cargapuntual Q en su centro (continuación).
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
● Campo local
● Dieléctricos L.I.H.
● Dieléctricos L.I.H.
● Ejemplo
● Ejemplo
● Ejemplo
● Energía electrostática
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 40/44
Energía electrostáticaLa densidad de energía electrostática en presencia de mediosse puede escribir:
ue =1
2~D · ~E =
D2
2ε0εr=
ε0εrE2
2
ya que ~D = ε ~E = ε0εr ~EEjemplo: Energía almacenada por un condensador planorelleno de un aislante de permitividad ε.
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
● Potencial● Componentes normales de
~E y ~D
● Componentes tangenciales
de ~E y ~D
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 41/44
3.7 Condiciones de contorno en laseparación de medios
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
● Potencial● Componentes normales de
~E y ~D
● Componentes tangenciales
de ~E y ~D
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 42/44
Potencial
El potencial es continuo en la superficie de separación entredos medios. (Su discontinuidad implicaría un campo infinito enla superficie)
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
● Potencial● Componentes normales de
~E y ~D
● Componentes tangenciales
de ~E y ~D
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 43/44
Componentes normales de ~E y ~D
3.1 Dieléctricos: permitividad y
rigidez eléctricas
3.3 Dipolos rígidos
3.4 Campo creado por la
materia polarizada
3.5 Teorema de Gauss
generalizado.
3.6 Dieléctricos L.I.H.
3.7 Condiciones de contorno en
la separación de medios
● Potencial● Componentes normales de
~E y ~D
● Componentes tangenciales
de ~E y ~D
Física III (2A) - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 44/44
Componentes tangenciales de ~E y ~D
3.1 Dieléctricos: permitividad y rigidez eléctricasConductores y aisladoresPermitividad eléctricaRigidez eléctricaPermitividad y rigidez eléctricasPolarizaciónEjemplo: Polarizabilidad atómicaEjemplo: Polarizabilidad atómicaEjemplo: Polarizabilidad atómica
3.3 Dipolos rígidosDipolo eléctricoPotencial del dipoloPotencial de un dipoloCampo de un dipoloAcción de un campo sobre un dipoloEnergía de interacción de un dipolo
3.4 Campo creado por la materia polarizadaCampo polarizaciónPotencial creado por la materia polarizadaCargas de polarizaciónCampo creado por la materia polarizadaCargas de polarizaciónEjemploEjemploEjemplo
3.5 Teorema de Gauss generalizado.Desplazamiento eléctricoDesplazamiento eléctricoDesplazamiento eléctricoDesplazamiento eléctricoEjemplo
3.6 Dieléctricos L.I.H.Campo localDieléctricos L.I.H.Dieléctricos L.I.H.EjemploEjemploEjemploEnergía electrostática
3.7 Condiciones de contorno en la separación de mediosPotencialComponentes normales de "017EE y "017EDComponentes tangenciales de "017EE y "017ED