Análisis de Correspondencias Múltiples
CIMPA-UCR
Lebart, 1974
Hacer análisis de correspondencias sobre:
• Tabla disyuntiva completa
• Tabla de Burt
Representación simultánea de todas las modalidades.
Ojo: # de modalidades
Bibliografía: Lebart et al. (inglés)
Lebart et al. (español)
Greenacre (inglés)
Escofier & Pagès (francés)
ANÁLISIS DE CORRESPONDENCIAS MÚLTIPLES
Análisis de Correspondencias Múltiples
CIMPA-UCR
ANÁLISIS DE CORRESPONDENCIAS MÚLTIPLES
n: individuos
p: variables cualitativasTipo de
Sexo Prov salario
1 M Alajuela Alto
2 F Heredia Bajo
3 F San Jose Muy Alto
4 M Cartago Bajo
Tabla disyuntiva completa:
M F SJ A C H MB B M A MA …
1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
2 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0
3 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1
4 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
M M M M
M
Análisis de Correspondencias Múltiples
CIMPA-UCR
M F Sjo Ala Car Her MB B M A MA …
M 240 0 100 60 44 36
F 0 259 103 66 39 51
SJ 100 103 203 0 0 0
A 60 66 0 126 0 0
C 44 39 0 0 83 0
H 36 51 0 0 0 87
MB
B
M
A
M
Tabla de Burt (contingencia generalizada)
ANÁLISIS DE CORRESPONDENCIAS MÚLTIPLES
Análisis de Correspondencias Múltiples
CIMPA-UCRANÁLISIS DE CORRESPONDENCIAS MÚLTIPLES
La tabla de datos: Tabla de Burt
ind SEXO EDAD INGRESO
1 F 5 Medio
2 F 3 Alto
3 M 4 Bajo
4 F 1 Bajo
5 F 2 Medio
6 M 5 Alto
7 F 2 Medio
8 M 3 Bajo
9 M 1 Alto
10 F 4 Medio
F M 1 2 3 4 5 B M A
F 6 1 2 1 1 1 1 4 1
M 4 1 0 1 1 1 2 0 2
1 1 1 2 1 0 1
2 2 0 2 0 2 0
3 1 1 2 1 0 1
4 1 1 2 1 1 0
5 1 1 2 0 1 1
B 1 2 3
M 4 0 4
A 1 2 3
18 12
Sexo Edad Ingresos
Ingre
sos
Edad
Sex
o
Análisis de Correspondencias Múltiples
CIMPA-UCRANÁLISIS DE CORRESPONDENCIAS MÚLTIPLES
ACM Análisis de Correspondencias de una tabla
disyuntiva completa⇔
3
3
0 1 0 0 1 0 0 0 1 3
3
3
3
3
Profesión Edad Sexo
3n
nin
div
iduos
Estructura particular
de la tabla
Propiedades
particulares del
análisis
⇓
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ACM: AFC DE UNA TABLA DISYUNTIVA
ijz qzi =•
jz•
1p •• jqpL11
1
i
nnq
)( ijzZ =
=0
1ijz
Márgenes:
n = # individuos
q = # variables cualitativas
pk = #modalidades de la variable k
= total de columnas∑=
=q
k
kpp1
•iz
jz•
= q pues hay q unos en la fila i
# individuos que tienen modalidad j
nqzij
ij
=∑∑
Matriz a diagonalizar:
11 11 −− == BDq
ZDZq
S t
)(con jzdiagD •=
Análisis de Correspondencias Múltiples
CIMPA-UCRANÁLISIS DE CORRESPONDENCIAS MÚLTIPLES
n puntos en qℜ
F2
F1
p puntos en nℜ
Edad 1 Edad 3
Edad 2
Prof 1
Prof 4
Prof 3Prof 2M
F
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ACM: CASO DE 2 VARIABLES
Análisis factorial de correspondencias
Disyuntiva completa Burt Contingencia
1 P1 P21
n
(Z1) (Z2)
Z
0 0 1 0 0 1 0 0
0
0
00
1 P1 P21
1
P1
P2
1
B=Zt Z
P1
P2
K=Z2t Z1
zλ 2
zB λλ = ( )12 −= zK λλ
Análisis de Correspondencias Múltiples
CIMPA-UCRACM: NUBES DE PUNTOS - PERFILES
Perfiles- fila (individuos)
Puntos (coordenadas): Tabla:
Peso:
Métrica:
Distancia χ2:
q
Z
Z
Z ij
i
ij=
•
Zq
1
nnq
q
nq
Zi 1==•
• jZ
nqdiag
( )∑=
′
•
−=′p
j
jiij
j
ZZZq
niid
1
22 1),(
Perfiles- columna (modalidades)
Puntos (coordenadas):
Peso:
Métrica:
Distancia χ2:
j
ij
Z
Z
•
nq
Z j•
( )ndiagq
nqdiag
Z
nqdiag
i
=
=
•2
1
2 ),( ∑= ′•
′
•
−=′
n
i j
ji
j
ij
Z
Z
Z
Znjjd
Análisis de Correspondencias Múltiples
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ACM: DISTANCIA DE χ2
Perfiles de fila:
con : modalidades que tiene solo un individuo i o i’
Más parecidos si tienen más modalidades en común.
( ) ∑∑′∈ •=
′
•
=−=′iiMj j
p
j
jiij
j Zq
nZZ
Zq
niid
11),(
2
1
2
iiM ′
Perfiles de columna:
Entre más objetos tengan sólo una de j o j’ mayor es la distancia
[ ] [ ]jj
n
i j
ji
j
ij
ZZ
jjindcardjjindcardn
Z
Z
Z
Znjjd
′••= ′•
′
•
′+′=
−=′ ∑
no,(no,(),(
2
1
2
Análisis de Correspondencias Múltiples
CIMPA-UCRINTERPRETACIÓN
• Dos modalidades escogidas por los mismos
individuos coinciden
•Dos individuos son cercanos si escogen las mismas
modalidades
• Modalidades con poco efectivo están alejadas del
centro de gravedad
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ACM: INERCIA
=
nnG
1,...,
1Centro de gravedad de nube de modalidades
1121
),(1
221
2
2 −=
+−=
−=
•= ••= •
∑∑j
n
i j
ij
j
ijn
i j
ij
Z
n
nnZ
Z
Z
Zn
nZ
ZnGjd
Distancia mayor si el efectivo es pequeño
Inercia de la modalidad j:
−=
−==
•
•
••
n
Z
qZ
n
nq
ZGjd
nq
ZjI
j
j
jj1
11),()( 2
Mayor inercia si el efectivo es pequeño
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CIMPA-UCR ACM: INERCIA
Inercia de la variable k:
)1(1
11
)()(11
−=
−== ∑∑
=
•
=
k
p
j
jp
j
pqn
Z
qjIkI
kk
Crece con el número de modalidades
Si pk = 2 mínimoq
1
Inercia total:
1)(1
)1(1
)( −=−=−==∑ ∑q
pqp
qp
qkII
k k
k
No tiene significado estadístico
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CIMPA-UCR ACM: SOLUCIÓN
Diagonalización:
ααα
ααααα
ααα
ψλψ
ϕλϕϕ
λ
=
=⇒=
=
−
−−
−
t
t
t
ZZDq
ZZDq
uD
uuZDZq
1
11
1
1
1
1En :
pℜ
factor
En : nℜ
Relaciones de transición:
α
α
α
α
α
α
ϕλ
ψ
ψλ
ϕ
Zq
ZDt
1
1 1
=
= −
Análisis de Correspondencias Múltiples
CIMPA-UCRACM: SOLUCIÓN
Relaciones baricéntricas:
∑∑
∑∑
∈•= •
∈= •
==
==
)(1
)(1
11
11
jIi
i
j
i
n
i j
ij
j
iPj
jj
p
j i
ij
i
ZZ
Z
qZ
Z
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
ψλ
ψλ
ϕ
ϕλ
ϕλ
ψ
P(i) modalidades que tiene i
I (j) modalidades que tiene j
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ACM: INTERPRETACIÓN
• Proximidad entre individuos en términos de parecido:
- Dos individuos se parecen si tienen casi las
mismas modalidades:
• Proximidad entre modalidades de variables diferentes
en términos de asociación:
- Son cercanos puesto que globalmente están
presentes en los mismos individuos
• Proximidad entre modalidades de una misma variable
en términos de parecido:
- Son excluyentes por construcción
- Si son cercanas es porque los individuos que las
poseen presentan casi el mismo comportamiento
en las otras variables
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CONCEPTOS SOCIOLÓGICOS EN LA EDUCACIÓN C.R.Opinión: var 1, … , var 5/var 6, … , var 10
Señalización: sexo, tipo colegio, ingr, reli, poli, edpa, edma
Libertad y empresa privadaVar 1. La empresa privada es necesaria para la libertad
Var 2. Se puede entrar en un sindicato sin ser perseguido
Var 3. Si se trabaja en una e.p. no hay tiempo para ocuparse de la familia
Var 4. Los trabajadores deben repetar las órdenes de su patrono sin criticarlas
Var 5. Mi padre debe dedicarle más tiempo a la empresa o institución donde
trabaja
Democracia y EjércitoVar 6. Un país democrático no necestita ejército
Var 7. Un país con ejército es un país totalitario
Var 8. Es necesario que C.R. tenga ejército para defenderse de amenazas
externas
Var 9. La existencia de un ejército en C.R. podría llevar a una dictadura militar
a corto plazo
Var 10. E.E. U.U. no es un país democrático porque tiene ejército
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ACM Ejemplo
• Clasificacion de variables cuya asociacion
es medida con el T de Chuprov
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