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X
. O
liver
, C
. A
gele
t -
Mec
ánic
a de
Med
ios
Con
tinuo
s
Problemas de Mecánica de Medios
Continuos
Problemas de Mecánica de Medios
ContinuosTEMA 10TEMA 10
MECÁNICA DE FLUIDOSMECÁNICA DE FLUIDOS
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Con
tinuo
s
El disco gira con velocidad angular constante a una distancia “a” de una superficie horizontal.
En la figura se presenta un disco de radio R.
Entre el disco y dicha superficie se encuentra un fluido de comportamiento Newtoniano con viscosidad .
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
a
z
R
r
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s
Para la resolución del problema se considerarán las siguientes hipótesis:
Planteamiento de problema
H4
Pueden despreciarse las fuerzas de inercia por ser el movimiento suficientemente lento.
Fluido incompresible.
No se considera el efecto de la paredes laterales (se desprecian los efectos del rozamiento fluido-pared lateral).Se considerará que el campo de velocidades varía linealmente con la distancia a la superfície inferior.
Flujo en régimen estacionario.
H1
H5
H3
H2
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Med
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Con
tinuo
sSe pide :
La expresión del campo de velocidades en el fluido antes de aplicar las condiciones de contorno.
Planteamiento de problema
1)
R
z
r
vvrr
vv
vvzz
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Con
tinuo
s
a
z
r
Dicha expresión después de aplicar las condiciones de contorno.
Se pide :
Planteamiento de problema
2)
vv vvrr
vvzz
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Con
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s
PP
PP
z
d
dr
a
La expresión de la presión y de la tensión tangencial z.
Se pide :
3)
Planteamiento de problema
z
d
dr
a
PP PP
zz
PP
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Con
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s
El valor del momento MM a aplicar en el eje del disco para mantener el movimiento.
Se pide :
Planteamiento de problema
4)
Rr
a
MM
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Con
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sRESOLUCIÓN DEL PROBLEMA
Resolución del problema
Para encontrar el campo de velocidades y la expresión de la presión seguiremos los siguientes pasos de resolución.
Paso 2)
Establecer hipótesis respecto la velocidad y la presión.
Paso 3)
Aplicar la ecuación de continuidad.
Paso 4)
Aplicar las ecuaciones de NAVIER-STOKES.
Paso 5)
Imponer las condiciones de contorno del problema.
Paso 1)
Determinar el sistema de coordenadas.
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Con
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s
Paso 1)
Determinar el sistema de coordenadas.
Resolución del problema
Dada la geometría de la figura, se utilizará un sistema de coordenadas cilíndricascoordenadas cilíndricas.
z
x
yr
r
z’
y’
x’êr
êzê
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Con
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s
1) Se pide la expresión del campo de velocidades en el fluido antes de aplicar las condiciones de contorno.
Resolución del problema
i) Puesto que nos encontramos con un movimiento de rotación, podemos suponer que las componentes y del campo de velocidades son nulas.
rv z
v
0vr
0vz
Paso 2)
Establecer hipótesis respecto a la velocidad y a la presión.
R
Z
r
vv
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Resolución del problema
0 zv
2
θ
2
ii) Al suponer simetría de revolución concluimos que el campo de velocidades no depende de . θ
iv) Por simetría de revolución suponemos que la expresión de la presión tampoco depende de .θ
iii) Recordemos que, según las hipótesis del enunciado, se considera que el campo de velocidades varía linealmente con
la distancia a la superfície inferior (z). Luego:
z)(r, p p
z)(r,vθ
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Resolución del problema
Después de realizar las tres hipótesis anteriores, tenemos que:
Además, la presión sólo depende de las variables r y z.
Velocidades: Tθ
T
zθr ,0r,z0,v ,v,vvv
0 zv
2
θ
2
Presión: z)(r, p p
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Con
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s
Imponemos la conservación de la masa, que en su forma local espacial corresponde a la ECUACIÓN DE CONTINUIDAD:
Resolución del problema
0
Fluido incompresible
Imponiendo entonces la condición de incompresibilidad, se obtiene:
Puesto que la densidad es no nula y constante queda: 0
El fluido es incompresible y por tanto la densidad de las partículas no varía con el tiempo, por lo que:
0dt
dρ
Paso 3)
Aplicar la ecuación de continuidad.
0vρdtdρ
0vρ
0v
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s
Resolución del problema
Luego:
Con lo cual:
Con las hipótesis realizadas se verifica la ecuación de continuidad.
0zv
θv
r1
)(rvrr
1 v zθ
r
0 )(rvrr
10v rr
Como
0 θv
r1
z)(r,v θθ
Como
0 zv
0v zz
Como
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Resolución del problema
Componente :
b
zvv
rv
rrv
rrrp
rzv
vrvvv
rv
rv
vtv
r
z
r
r
2
2
22
2
2
21)(
1
1
Paso 4)
Aplicar las ecuaciones de NAVIER-STOKES.Recordemos las fórmulas generales de NAVIER-STOKES en coordenadas cilíndricas para un fluido incompresible con y constantes:
Componente z:
z
zzzz
z
zzz
r
z bzvv
rrv
rrrz
pzv
vrvv
rv
rv
vtv
2
2
2
2
2
2 11
Componente r:
r
rr
r
r
z
rr
r
r bzvv
rv
rrv
rrrrp
zv
vrvv
rv
rv
vtv
2
2
22
2
2
2 21)(
1
0 0 0 0 0 0 0 0
0
0
0
0 00 0 0 0 0 0
0 00 00
0
000
0rvComo ),( zrvComo 0 zv
2
θ
2
Como 0zvComo z)(r, p p Como
es el vector de fuerzas
másicas.
g b
b
b
z
r
0
0
Luego
b
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En conclusión, las ecuaciones de NAVIER-STOKES quedan expresadas de la forma:
Resolución del problema
(1)
(2)
(3)
NAVIER-STOKES
0rp
0)(1
rvrrr
0ρgzp
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, C
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s
Resolución del problema
Ahora podemos integrar las ecuaciones resultantes de aplicar
NAVIER-STOKES para encontrar el CAMPO DE VELOCIDADES, tal y como se pide en este apartado, y
también la expresión de la PRESIÓN.
Integrando las ecuaciones (1) y (3) obtenemos la expresión general de la PRESIÓN:
PRESIÓN: kgz- p
PP
z
d
dr
a
PP PP
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Resolución del problema
Integrando una vez la ecuación (2) obtenemos la expresión:
(z)2C)(rvrr
11θ
Volviendo a integrar la expresión anterior tendremos:
)(2
)(2
2
zCr
zC 2rv1θ
Ahora ya podemos despejar el término , el único no nulo del campo de velocidades.
θv
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s
Resolución del problema
Obtenemos la expresión:
rzC
rzCv)(
)( 2
1
Hemos hallado la expresión general de donde y
son funciones lineales en z: θ
v )(zC1
)(2
zC
R
Z
r
vv
1,2i BzAzCiii
)(
El campo de velocidades varia linealmente con la distancia a la superficie inferior.
H4
Recordemos:
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X
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liver
, C
. A
gele
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Mec
ánic
a de
Med
ios
Con
tinuo
s
Resolución del problema
2) Se pide dicha expresión después de aplicar las condiciones de contorno.
La resolución de este apartado se trata de imponer las condiciones de contorno en la expresión de obtenida en el apartado anterior para encontrar el valor de y de
θv
)(zC1
)(2
zC .
rzC
rzCv)(
)( 21
a
Z
rvv
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, C
. A
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Med
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Con
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Resolución del problema
Las CONDICIONES DE CONTORNO del problema son:
0(z)C
(z)0Crv 2
1θ)0(
(z)rCzrv 1θ ),(Luego 0(z)C2
En θ
v 0r
i) Para r=0 sabemos que la velocidad no es infinita.θv
Paso 5)
Imponer las condiciones de contorno del problema.
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En 0v 0zθ
0(0)C1 Luego con lo cual:
Resolución del problema
0(0)C0)(zv 1θ
0B·0A(0)C 111
0B1Luego rz(Azrv 1θ )),(
ii) Imponemos la condición de adherencia. condición de adherencia. Para z=0, debe ser nula.
θv
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, C
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Med
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Con
tinuo
s
En ·rv azθ
Resolución del problema
rarAa)(zvθ
1
aω
A1 Luego
r arA 1
iii) Para z=a imponemos que la componente sea la misma que la velocidad del disco (condición de adherencia).(condición de adherencia). r vθ
θv
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Resolución del problema
Luego za
zC1
)( y 0(z)C2
zraω
z)(r,vθ
Y substituyendo en la fórmula general r
zCrzCv
)()( 2
1
que habíamos obtenido en el primer apartado, encontramos
la expresión del CAMPO DE VELOCIDADES después
de aplicar las condiciones de contorno.
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Resolución del problema
Se pide la expresión de la presión y de la tensión tangencial z.3)
PRESIÓN: kgz- p
Recordemos que el valor de la presión ya lo hemos obtenido en el
primer apartado integrando las ecuaciones de NAVIER-STOKES.
Y el valor de la tensión tangencial z se obtiene aplicando la
expresión:
zv
Z
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Resolución del problema
zraω
z)(r,vθ
(del apartado anterior)
(dato del problema)Luego:
raZ
Como ya conocemos el valor del campo de velocidades y el valor de la viscosidad es dato del problema podemos obtener la expresión de : Z
Z
zz
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Resolución del problema
Se pide el valor del momento MM a aplicar en el eje del disco para mantener el movimiento.
4)
Para encontrar el momento MM tenemos que hacer equilibrio de momentos en el disco.
La única componente del tensor de tensiones que actúa sobre el disco es . zθτ
En el apartado anterior hemos obtenido en el fluido y no en el disco.
z
0MMzθτ
0Mi
i
En este apartado se pide el momento a aplicar sobre el disco, por lo tanto tenemos que trabajar sobre el sólido rígido y no sobre el fluido como habíamos hecho en los apartados anteriores.
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Resolución del problema
Recordemos el criterio de signos del tensor de tensiones en un elemento diferencial en coordenadas cilíndricas:
Z
d
dr
z
r
zθτ
zrτrθτrzτ
θzτ
θrτ
Luego, por el principio de acción-reacción, la tensión tangencial en la placa es igual que en el fluido pero de signo contrario.
zθτsobre el fluido
sobre el disco
MMZ
zz zz
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r
MM
zz
d= r·d·dr
Resolución del problema
El valor del momento MM se obtiene al aplicar la siguiente integral:
d rM
azZ
O lo que es lo mismo:
dr rd rMazZ
Observemos que d=rd dr.
zzθ-M M 0MM τ Como
Luego:
d rM
azZ
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Resolución del problema
Si en la expresión de M M sustituimos z (obtenido en el apartado anterior) e imponemos los límites de integración, tenemos que:
R
dr rd r a
rM0
2
0
Si volvemos a integrar:
R
dr ra
M0
32Integrando una vez:
42
4Ra
M
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Resolución del problema
Reordenando la expresión de M M ya obtenida:
aR
M2
4
Rr
Z
a
MM
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