7/25/2019 4 Problemas Del Mes de Mayo Del 2015.- Ariel Marcillo Pincay
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4 PROBLEMAS PROPUESTOS
Por: Arie l Marci l lo Pincay
Estimado Tutor, saludos le estoy enviando la solución a los cuatro problemas
propuestos del mes de mayo del 2015, espero vuestras sugerencias en caso
de ser necesario, muchas gracias.
1. Se ha planteado un exámen de n preguntas, todas con el mismo valor
de puntuación, de las que un alumno ha respondido correctamente 15
de las 20 primeras preguntas y responde correctamente un tercio de las
preguntas restantes. Si la calificación del alumno es 5 sobre 10
¿Cuántas preguntas tenía el exámen?
SOLUCIÓN:
Sea n, el número total de preguntas.10, el puntaje total del exámen.
10/n, el valor de cada pregunta asignada.
15, el número de preguntas respondidas en forma correcta.
De tal manera que:
15 (10 ) = 150
− 2 0, las preguntas que quedan por responder y son 1/3; por lo tanto:
( − 2 03 ) ∗ (10
)
Obtuvo entonces 5 puntos.Lo que nos queda de la siguiente manera:
( − 2 03 ) ∗ (10
) + 150 = 5
1 0 ∗ ( − 2 03 ) + 150
= 5
A partir de esta ecuación despejamos el valor de n, encontrando primero
el valor del mcm=3n
Por lo tanto:
10 − 2 0 + 3 ∗ 1 5 0 = 3 ∗ 5 10−200+450=15
10+250=15
250=15−10
250=5
= 2505
= 5 0
Concluimos entonces que el exámen tenía 50 preguntas.
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2. En una carpintería se construyen dos tipos de estanterías: grandes y
pequeñas, y se tienen para ello 60m² de tableros de madera. Las
grandes necesitan 4m² de tablero y las pequeñas 3m². el carpintero
debe hacer como mínimo tres estanterías grandes, y el número de
pequeñas que haga debe ser, al menos, el doble del número de las
grandes. Si la ganancia por cada estantería grande es de $60 y por cadauna de las pequeñas es de $40, ¿Cuántas debe fabricar de cada tipo
para obtener el máximo beneficio? ¿Cuál será este beneficio?
SOLUCIÓN:
Primeramente plantearemos el sistema de inecuaciones donde se define
el problema.
Denominemos con x el número de estanterías grandes, con y el número
de estanterías pequeñas.
Entonces las inecuaciones del problema son:
4 + 3 ≤ 6 0
≥ 3
≥ 2
Por lo tanto, la función que tenemos que Maximizar es:
, =60+40
Con la ayuda de Geogebra construimos el gráfico y procedemos a
determinar sus vértices.
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Los vértices de la construcción son los puntos: A=(3,16); B=(6,12);
C=(3,6).
Ahora procedemos a encontrar los valores que toma la función
en los puntos descritos anteriormente.
, =60+40 = 3,16 =820
= , = = 3,6 =420
Finalmente, decimos que el mayor beneficio es de 840 euros los mismos
que se obtienen haciendo 6 estanterías grandes y 12 estanterías
pequeñas.
3. Tres números a, b y c, distintos de cero, están en progresión aritmética.
Si aumentamos a en una unidad o aumentamos c en dos unidades, los
tres valores respectivos, están en progresión geométrica. Determina los
tres valores.
SOLUCIÓN:
La progresión aritmética se define como: ÷ 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … … ∙
Donde;
1 = 2
2 = 1 +
3 = 2 + = 1 + + = 1 + 2
La progresión geométrica es entonces: ÷1:2:3:……. . : 21 = 3
2
Los términos consecutivos a, b, c, de una progresión aritmética en
dónde a<b<c, tenemos:
=
= +
= + = + + = + 2
= + 2
Aumentamos a en una unidad, lo que nos da:
+ 1 < <
Decimos entonces que los elementos consecutivos de una progresión
geométrica son:
+ 1 =
Reemplazamos el valor de b y el de c:
+ + 1 = + 2 +
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Resolvemos: + = + 1 ∗ + 2
+ 2 + = + 2 + + 2
=+
Ahora aumentamos c en dos unidades:
< < + 2
Los elementos consecutivos de una progresión geométrica son: = + 2
Reemplazando equivalencias tenemos: +
= + 2 +
+ = + 2 + 2 +
Resolviendo el sistema: + = ∗ + 2 + 2
+ 2 + = + 2 + 2
=
Reemplazando la ecuación (2) en (1), el valor de d², tenemos:
= + 2
2 = + 2 2 − = 2 = Encontramos el valor de d:
= + 2 = 2 + 2
=4 =
Seguidamente encontramos los valores de a, b y c:
= 2
= 2 ∗ 4
=
= +
= 8 + 4
=
= + 2
= 8 + 2 ∗ 4
= 8 + 8 =
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En progresión aritmética los números son: ∙ ∙
En progresión geométrica los números son:
Para: (a+1)
+ 1 =
128 + 1 = 16
12
129 = 16
12
Los números para (a+1), son: 9: 12: 16
Para: (c+2) = + 2
128 = 1 6 + 2
12
128 = 18
12
Los números para (c+2), son: 8: 12: 18
4. Determina el dominio, simetría, periodicidad y cortes con los ejes de la
función =−2.
SOLUCIÓN:
A partir de la función dada f(x), se le sustituye el valor Sen2x por una
identidad trigonométrica equivalente y se tiene:
x senx x sen cos22
x sen x x f 2cos)(
)1(cos2cos)( x senx x x f
A) Domin io de la función f(x):
Dom f(x)=R
B) Simet ría:
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Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas si es unafunción par , es decir:
)()( x f x f
Por lo tanto tenemos que analizar si es una función par, para ello se
hace uso de la expresión (1):
x senx x x f cos2cos)(
x x sen x x f cos2cos)(
s Identidade senx x sen
x x
coscos
x senx x x f cos2cos)(
x senx x x f cos2cos)(
x sen x x f 2cos)(
Por lo que se concluye )()( x f x f , no es una función par
Una función f es simétrica respecto al origen si es una función impar ,es decir:
)()( x f x f
Por lo tanto tenemos que analizar si es una función impar, para ello sehace uso de la expresión (1):
x senx x x f cos2cos)(
x x sen x x f cos2cos)(
s Identidade senx x sen
x x
coscos
x senx x x f cos2cos)(
x senx x x f cos2cos)(
x sen x x f 2cos)(
Por lo que se concluye )()( x f x f , no es una función impar
Haciendo el análisis concluimos que no es simétrica la función
x sen x x f 2cos)(
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C) Periodic idad:Hallamos el periodo de las funciones:
x x f cos)(
x sen x f 2)(
21
2
T
2
2
T
x sen x x f 2cos)(
2T
T
Con este periodo se realizó la mitad del ciclo por ello se complementa
con la otra mitad y la periodicidad es: 2T
D) Corte con los ejes:Puntos d e corte con el eje OX
Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos y = 0,resolvemos la ecuación resultante.
x sen x x f 2cos)(
Hallar los puntos de corte con el eje OX de la función: Sustituimos f(x)sen2x;
0)( x f
x senx x sen cos22
x sen x 2cos0
)1(2cos x sen x
x sen x 2cos
x senx x cos*2cos
senx x x cos2
cos
2
1 senx
2
11 sen x
030 x
El valor de 30 0 convertir a rad.
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rad rad
6180
..30
0
0
52359,0
6
rad
El punto de corte con el eje OX de la función es 0,52359.0
Punto d e corte con el eje OY
Para hallar el punto de corte con el eje de ordenadas hacemos x = 0,calculamos el valor de f (0).
x sen x x f 2cos)(
020cos)0( sen f
01)0( f
1)0( f
El punto de corte con el eje OY de la función es 1,0
Hacemos uso de la herramienta Geogebra para obtener la gráfica de la
función dada y tenemos:
Concluimos entonces que La función: f =−2,
No posee eje de simetría, el punto A= (-1.57, 0) es un centro de simetría
pero tampoco es único.
El periodo de la función es, 2=6.2832
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