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CAPITULO IV
REPASO
Este capítulo es un repaso y un resumen conciso de lo que ha apren-dido. Las demostraciones y explicaciones detalladas dadas en los trescapítulos anteriores, no se van a repetir aquí; en lugar de eso, se danlas referencias de los párrafos apropiados. A diferencia del resto del libro,este capítulo no tiene preguntas, así que se puede leer de principio a fincomo un texto ordinario, excepto que quiera usted referirse a discusionesanteriores.
Repaso del Capítulo 1. PRELIMINAR
Sección 1. FUNCIONES (párrafos 1 - 13)
Un conjunto es una colección de objetos, no necesariamente objetosmateriales-descritos de tal manera que no haya duda si un objeto en particular pertenece o no al conjunto. El conjunto puede describirse me-diante una lista o por una regla.
Si cada elemento del conjunto A, está asociado' exactamente con unelemento del conjunto B, entonces esta asociación se llama una función
de A a B. Al conjunto A se le llama dominio de la función. (Comentariosacerca de otra definición de función, se dan en el apéndice Bl, pági-na 272.)
Si un símbolo, tal como x se usa para representar cualquier elementodel conjunto A (el dominio de la función) se llama la variable inde-
pendiente. Si el símbolo y representa el elemento del conjunto B asociadomediante la función con el elemento x, llamamos a y la variable depen-
diente.Una forma de especificar una función es escribiendo detalladamente
la asociación entre todos los elementos correspondientes de los dos con- juntos. Otra forma es dar una regla para encontrar la va~iable dependienteen términos de la independiente. Así, por ejemplo, una función asociandola variable independiente t con la variable dependiente S, puede especi-ficarse por
S =212 + 6/ .
243
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244 Repaso
A menos que otra cosa se especifique, consideremos que la variableindependiente puede tomar el valor de cualquier número real, por lo quela variable dependiente será también un número real.
Generalmente, representamos una función con una letra como f. Si la
variable independiente es x, la variable dependiente y asociada por la fun-ción f se escribe frecuentemente como f(x), que se lee "f de x". Se pue-
den usar otros símbolos, tales como z = H ( v) .
Sección 2. GRAFICAS (párrafos 14 - 22)
Una forma conveniente de representar una función es trazando unagráfica, como se indica en los párrafos 15 - 18. Los ejes de coordenadasmutuamente perpendiculares se intersectan en el origen. El eje horizontalse llama eje horizontal o eje x. El eje vertical se llama eje vertical oeje y. El valor de la coordenada x de un punto se llama abscisa y el valor de la coordenada y se llama ordenada.
La función constante resulta de la asociación de un número fijo contodos los valores de la variable independiente x. La función del valor absoluto está definida por
Ix l = x s i x .2 : O .
I x l = -x s i x < O .
Sección 3. FUNCIONES LINEALES Y CUADRATICAS
(párrafos 23 - 39)
Una ecuación de la forma y =mx + b donde m y b son constantes,se llama lineal debido a que su gráfica es una línea recta. La pendientede una función lineal está definida por
pendiente = y 2 - Y 1 =Y 1 - Y 2 •
X2-Xl x1-x2
De la definición se ve fácilmente que la pendiente de la ecuación linealanterior es m. (Párrafo 29.)
Una ecuación de la forma y = ax2 + bx + c donde a, b y c son cons-tantes, se llama ecuación cuadrálÍca. Su gráfica se llama parábola. Los
valores de x para y = O satisfacen ax2 + bx + e = O Y se llaman lasraíces de la ecuación. No todas las ecuaciones cuadráticas tienen raíces
reales. La ecuación ax2 + bx + c = O tiene dos raíces dadas por
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Capítulo 1. Preliminar 245
Sección 4.
x =- b ± V b2 - 4ac
2a
TRIGONOMETRIA (párrafos 40 - 73)
Los ángulos están medidos en grados o radianes.
ej e x
360°1 rad =--.
217
Las funciones trigonométricas estándefinidas de acuerdo con la figura.
Las definiciones son
Un círculo está dividido en 360 grados iguales. El número de radian es
de un ángulo es igual a la longitud del arco subtendido dividido entrela longitud del radio (párrafo 42). La relación entre grados y radianes es
ej e y
Fig. 138
sen eos ()=~T
tan
1 T
see () =---=-
eos () x
1 xeot ()=-- =-
tan () y
1 T
ese () =---= -.
sen () y
Aunque r =V x2 + y2 es siempre positivo, x y y pueden ser pOSItIVOS
o negativos y las cantidades de arriba pueden ser positivas o negativasde acuerdo con el valor de (j. A partir del teorema de Pitágoras se vefácilmente (párrafo 56) que
Los senos y cosenos de la suma de dos ángulos se dan por:
sen (() + e p ) = sen () eos e p + eos () sen e p
eos (() + 4 » = eos () eos e p - sen () sen e p .
Las funciones trigonométricas inversas designan el ángulo para el cual
la función trigonométrica tiene un cierto valor. Así, la función trigo-nométrica inversa a y = sen (j es (j = arcsen y, que se lee "arco seno de y"
y significa el ángulo cuyo seno es y. El arccos, etc., se definen en formaanáloga.
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246 Repaso
Sección 4. LOGARITMOS y EXPONENCIALES(párrafos 74-96)
Si a se multiplica por si misma, como aaa . . . m veces, el pro-ducto se escribe am o Además, por definición a-"" =1/ a m o Por tanto
Si bn =a, b se llama la raíz enésima de a y se escribe b =al / n ,
Si m y n son enteros
ami" = (a1/")m,
El significado de exponentés puede extenderse a números irracionales(párrafo 84) Y las relaciones anteriores también son aplicables conexponentes irracionales, así (a'") b =abx, etc.
La definición de log. x (logaritmo de x de base 10) es
x = 1010g x
las siguientes importantes relaciones se aplican a los logaritmos (párra-
fo 91)
log(ab) = log(a) + log(b)
log(a/b) = log(a) - log(b)log(a") =n log(a).
El logaritmo de x de base r se escribe como log,x y está definido
por
las tres relaciones entre logaritmos de a y b son aplicables para loga-ritmos de cualquier base, siempre y cuando se use la misma base paratodos los logaritmos en cada ecuaciÓn, Los logaritmos de x de base e
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Capítulo 11.Cálculo Diferencial 247
y 10 pueden relacionarse mediante
logloxlogex =--- =2.303 loglox
log loe (párrafo 223)
Repaso del Capítulo 11. CALCULO DIFERENCIAL
Sección 1. LIMITES (párrafos 97-115)
Definición de 1m Umite: Sea f(x) definida para toda x en un inter-valo en la vecindad de x =a, pero no necesariamente en x =a. Si existeun número L tal que para cada número positivo E corresponda un nú-
mero positivo 8 tal que
I { (x) - L I < ( considerando que O < I x - a I < 8
decimos que L es el limite de f(x) cuando x se acerca a a y se escribe
lim {(x) = L.x -+a
La manipulación algebraica normal puede efectuarse con los límitesc;omo se indica en el apéndice A2; Así
lim [F (x) + G (x)] = lim F (x) + lim G (x). x~a x ....•a x-+a
y
Dos límites trigonométricos son de
lim sen () = 1()-+o ()
particular interés (apéndice
lim _ l_ -_ c _ o _ s_ () = O .
()-+o ()
A3) :
El límite siguiente es tan importante en el cálculo; que se le ha dado
un. <lombre especial e, y está explicado en el párrafo 109 y en el,ApéndiceAS: .
e = lim (l + x)I/X = 2.71828 .X -+0
Sección 2. VELOCIDAD (párrafos 116-145)
Si la función S representa la distancia desde un punto fijo a unmóvil con velocidad variable sobre una línea recta, la velocidad mediav, entre los tiempos 11 y t 2 está dada por
52-SIV=---
12 - ti
mientras que la velocidad instantánea, v, (párrafo 133) en el tiempo ti
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248 Repaso
es v = limt2 ...•t 1
Esto es igual a la pendiente de la curva S, en el tiempo ti, trazada entérminos del tiempo (párrafo 131). A menudo es conveniente escribir
S2 - SI =DS Y t2 - ti =11t, así
v = lim ~S.~t ...•o ~t
Sección 3. DERIVADAS (párrafos 146-159)
Si Y = ¡(x), la rapidez de cambio de y con respecto a x es
11y 11)' lim -. El lim - se llama la derivada de y con respecto a x y
11x~O 11x 11x~O 11x
. dyse escnbe -. (algunas veces se escribe y'). Así
dx
dy =
dxlim ~y =
~x ...•o ~xlim Y2 - Y I
lim
dyes la derivada de y con respecto a x. La derivada - es igual a la pen-
dx
diente de la curva de y trazada en términos de x.
Sección 4. GRAFICAS DE FUNCIONES Y DE SUS
DERIVADAS (párrafos 160-169)
A partir de la gráfica de una función podemos obtener la pendientede la curva en varios puntos y trazando una nueva curva con las pendien-tes, se puede determinar la forma general y el comportamiento de laderivada. Para ver ejemplos pase a la sección 4.
Secciones 5-8 DIFERENCIACION (párrafos 170-244)
A partir de la definición de derivada se puede obtener un cierto nú-mero de fórmulas para la diferenciación. Examinaremos aquí sólo unejemplo; el método es típico. Sean 11 y v variables que dependen de x.
d(uv)--=
dxlim
~x ...•o
~ (uv)--=
~xlim
~x ...•o
(u + ~u)(v + ~v) - uv
~x
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d(uv)--= lim
dx l!i.x->o
Capítulo 11.Cálculo Diferencial 249
uv + ul!i.v+ vl!i.u + l!i.ul!i.v- uv
l!i.x
=u l. l!i.v1m -+v
l!i.x->0 l!i.x
l!i.ulim - + lim
l!i.x->o l!i.x l!i.x->o
l!i.ul!i.v
l!i.x
dv du= u - + v - + O .
dx dx
las relaciones importantes que debe recordar, se han puesto en lalista siguiente. Hay una lista más completa en la tabla 1, página 293.En estas expresiones, u y v son variables que dependen de x, w dependede u, que a su vez depende de x, a y n son constants. los ángulosestán medidos en radianes.
(párrafo)
da = O
dxd
(ax) =adx
dxn
n-l-= llX
dx
d du dv(u+v)=-+-
dx dx dx
d dv du(uv)=u- + v-
dx dx dx
d u 1 du dv- (-)= -[v- -u-]dx V v2 dx dx
dw dw du-=-
dx du dx
dsenx---= cos x
dx
d cos x---=-sen x
dx
d In x 1--=-
dx x
172
174
180
186
189
202
194
210
211
230
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250 Repaso
de x
x--= edx
(párrafo) 239
En la lista anterior, e = 2.71828 .... y In x es el logaritmo na-tural de x definido por In x =log.x.
Funciones más complicadas, pueden diferenciarse en forma normal,aplicando varias reglas de la tabla 1 sucesivamente. Así
d dx3 dx2 2 d sen 2x_(x3 + 3x2 sen 2x) =-- +3--sen 2x + 3x ----dx dx dx dx
3 2 6 2 3 2 d sen 2x d (2x)= x + x sen x + x ----- - __
d(2x) dx
= 3x2 + 6x sen 2x + 6x2 cos 2x.
Sección 9. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR (párrafos 245-252)
dySi diferenciamos - con respecto a x, el resultado se llama la segun-dx
d2 yda derivada de y con respecto a x y se escribe - En esta forma,
dx2
la enésima derivada de y con respecto a x es el resultado de diferenciar dny
y n veces sucesivamente con respecto a x y se escribe _ d x "
Sección 10. MAXIMOS y MINIMOS (párrafos 253-264)
Si f(x) tiene un valor máximo o mínimo para un cierto valor de x
d . d d f
(R ..entonces su eflva a - es cero para esa x. estflcclOnes para estedx
d2f enunciado se dan en la página 154). Si además, dx
2 < O , f(x) tiene
d 2f un máximo. Por otro lado, sí - > O , f(x), tiene un mínimo en este
dx2
punto.
Sección 11. DIFERENCIALES (párrafos 265-275)
Si x es una variable independiente y y = f(x), la diferencial dx de x
es igual a un incremento X 2 - Xl, donde Xl es el punto de interés. Ladiferencial dx puede ser positiva o negativa, grande o pequeña, como se
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Capítulo 111.Cálculo Integral 251
desee. Por tanto, dx, como x es una variable independiente. La diferen-
cial dy está definida por la regla siguiente
dydy = (-) dx.
dx
. Aunque el significado de la derivada d y , es lim ~y se v e del pá-
dx ~x~O ~x
rrafo anterior que podemos interpretada como la razón de dos diferen-
ciales dx y dy. Como se explicó en los párrafos 268 y 269, dy no es lo
mismo que ~y , aunque.
lim dy = 1.dx=/'t..x~ o /'t..y
Las fórmulas de diferenciación pueden escribirse fácilmente en tér-
minos de diferenciales. Así, si. y = X "
d (xn)dy =d(xn) =-- dx =nxn-1 dx.
dx
Una relación útil que se da implícitamente con la notación diferen-
cial y se discute posteriormente en el apéndice A9 es
dx = l/(dy).
dy dx
Repaso del Capítulo III - CALCULO INTEGRAL.
Sección 1. LA INTEGRAL INDEFINIDA (párrafos 289-301)
dF(x)Supongamos que --- = f(x).
dx
Entonces F(x) se llama la integral indefinida de f(x). Este enunciado
puede escribirse simbólicamente en la forma
F(x)= {/(x)dx.
La ecuaoon se lee "F(x) igual a la integral indefinida de f(x)." La
función f(x) que se integra, se llama el integrando. Ya que la derivada de
una constante es cero, cualquier constante arbitraria puede agregarse a
una integral indefinida y la suma sigue siendo la integral indefinida de
la misma función f (x). Además, dos integrales indefinidas de una
función dada, pueden diferir únicamente por una constante (párrafo
296 y apéndice A9).
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252
Sección 2. INTEGRACION (párrafos 302-325)
Las integrales indefinidas pueden encontrarse frecuentemente, bus-
cando una expresión tal que, cuando se deferencia, nos da el integrando
Así, del resultado anterior
tenemos que
d cos x
dx =- sen x
J sen x dx =- cos x + c.
Empezando con las derivadas conocidas de la tabla 1, se puede hacer
una lista útil de integrales. Tal lista se da en el párrafo 307 y por con-
veniencia se ha repetido en la tabla 2 de la página 295. Pueden obte-
ner las fórmulas más importantes, de las expresiones de diferenciación
de la tabla 1. Integrales más complicadas se pueden encontrar en tablas
más completas, tales como las que se dan en las referencias de la pá-
gina 284.
Frecuentemente se necesitan usar varios procedimientos diferentes
para obtener una integral. En este ejemplo usaremos un cambio de va-
riable, procedimiento asociado con la fórmula 19 de la tabla y la fórmula
10 para la integración del seno (párrafo 313)
1 1
r sen 3 x dx =- r sen 3x d(3x) =-- cos 3x + c.. 3 . 3
Sección 3. EL AREA BAJO UNA CURVA (párrafos 326-346)
Sea A (x) el área entre la curva f(x) el eje x y las líneas verticales
en a y x. Se ve que
d A (x) _ f(x). (párrafo 333)dx
Si F (x) es la integral indefinida de f (x) tal que
F(x) = J f(x) dx,
entonces (párrafos 340 y 344)
A (x) = F(x) - F(a) = F(x) 1 : = J f(x) dx 1 :donde por definición F(x) I~= F(b) - F(a).
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Capítulo 111.Cálculo Integral 253
Sección 4. INTEGRALES DEFINIDAS (párrafos 347-365)
Otra manera de expresar el área bajo una curva f(x) entre x = a
y x =b se puede encontrar dividiendo el área en franjas estrechas pa-
ralelas al eje y, cada una de área f(x;) D ,X , y sumando las franjas. En
el límite, corno el ancho de cada franja tiende a cero, la suma se aproxima
al área bajo la curva. Así (párrafo 352)
n
A = lim ~ {(Xi) !"ix.!"ix ...•o i= 1
Este límite es tan importante que se le han dado un símbolo y nombre
especiales. Se llama la integral definida y se transcribe ¡b {(x) dx.a
De aquí, por definición
(b {(x) d x = lim ~ {(xi) !"ix. Ja !"ix ...•o
Como resultado de lo anterior, se ve que
A = L b ((x) dx.
Sin embargo, hemos visto que el área puede encontrarse en términos
de la integral indefinida.
F.(x) = ¡((x) dx,
y
A = F(b) - F(a) = F(x) 1 : = r {(x) dx 1 : ·
Por lo tanto, igualando las dos expresiones para el área A, tenemos el
valor de la integral definida en términos de la integral indefinida.
L b ((x) dx = F(x) 1 : = r {(x) dx 1 : ·
Este resultado se llama frecuentemente el Teorema Fundamental del
Cálculo Integral.
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eje x
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Sección 5. APLICACIONES DE LA INTEGRACION
(párrafos 366-380)
Si conocemos v(t), la velocidad de una partícula como una función
del t, podemos obtener la posición de la partícula como una función del
tiempo por integración. Sabemos que
d Sv=-
dt
así
dS =v dt
SI mtegramos ambos miembros de la ecuación desde el punto inicial
(t = t o , S = O) al punto final (t} S), tenemos
S =(t v dt.Jto
Sección 6. INTEGRALES MULTIPLES (párrafos 381-399)eje y
Y2(%)
éB1 y¡(%): :
I
a % b
Fig. 139
Consideremos el área indicada, encerrada por la curva, en la cual
y depende de x como Y 2 (X ) en la parte superior de la fIgura y como
Yl (x) en la parte inferior. Entonces, el área encerrada A está dada por
A = lim Ix I lim Iy t1y 1 t1xt1x -+0 t1y -+0
Una integral de esta forma se llama integral doble que es un caso
particular de una integral múltiple. Para encontrar el valor de las inte-
grales múltiples, debe tenerse especial cuidado de seleccionar los lími-
tes correctamente. Así, Y l y Y 2 los límites para integrar a y, son los va-
lores máximo y mínimo de y para una cierta x.
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Capítulo 111.C ál c u lo In t eg r al 2 55
Resultando que Y 1 y Y 2 en general dependen de x y consecuentemente
se introducen en el integrando para la integración con respecto a x.
En forma análoga, (párrafo 390) si g(x, y) es una variable que de-
pende de x y y, podemos encontrar el valor de una integral múltiple de
la forma
G =fab
[ f : 1 2 g (x, y) dy ] dx.
El procedimiento es directo: se encuentran los límites de cada una de
las integrales, se lleva a cabo la integración sobre y, considerando a x
como constante en g(x, y). A continuación se hace la integración sobre
x. Este procedimiento se puede aplicar fácilmente a cualquier número
de variables.
Sección 7. CONCLUSION (párrafos 400-403)
Ya ha terminado. ¡Felicidades! No necesita hacer nada más paraacabar este libro. Sin embargo, si no ha visto todas las demostraciones
del apéndice A, le aconsejamos los vea ahora. Quizá también quiera
estudiar algunos de los tópicos adicionales del apéndice B. Finalmente,
si quiere un poco más de práctica, debe tratar de resolver los problemas
de repaso que €mpiezan en la página 285.
iBuena suerte!