210 SOLUCIONARIO
G
rupo
Edi
toria
l Bru
o, S
.L.
7 Clculo de derivadas
1. Reglas de derivacin. Tabla de derivadas
Deriva en funcin de x:
1. y = 2x 1
Solucin:
y ' = 2
2. y = (2x 1)5
Solucin:
y ' = 10(2x 1)4
3. y =
Solucin:
y ' =
4. y = e2x
Solucin:
y ' = 2e2x
5. y =
Solucin:
y ' =
6. y = L (x2 + x)
Solucin:
y ' =
7. y = L x2
Solucin:
y ' =
8. y =
Solucin:
y ' =
9. y = 35x
Solucin:
y ' = 5 35x L 3
10. y =
Solucin:
y ' =
11. y =
Solucin:
y ' =
12. y =
Solucin:
y ' =
13. y = e7x
Solucin:
y ' = 7e7x
14. y = x3 2x + 1
Solucin:
y ' = 3x2 2
24(3x 1)5
2(3x 1)4
5 5x2
(x2 + 1)2
5 xx2 + 1
5
44(5x)3
45x
15x4
5x3
2x
2x + 1x2 + x
1x2
1x
7
27x + 3
7x + 3
Aplica la teora
TEMA 7. CLCULO DE DERIVADAS 211
G
rupo
Edi
toria
l Bru
o, S
.L.
15. y = log (5x + 2)
Solucin:
y = log e
16. y = 2x + L x
Solucin:
y = 2 +
17. y =
Solucin:
y ' =
18. Halla la ecuacin de la recta tangente a la curva y = x2 5x + 2, para x = 4
Solucin:
a) x = 4 f(4) = 2 P(4, 2)b) f '(x) = 2x 5 f '(4) = 3c) y + 2 = 3(x 4) y = 3x 14
19. Halla la ecuacin de la recta tangente a la curva y = x3 + x, para x = 1
Solucin:
a) x = 1 f(1) = 2 P(1, 2)b) f '(x) = 3x2 + 1 f '(1) = 4c) y 2 = 4(x 1) y = 4x 2
20. Halla la ecuacin de la recta tangente a la curva y = x3 3x, para x = 0
Solucin:
a) x = 0 f(0) = 0 P(0, 0)b) f '(x) = 3x2 3 f '(0) = 3c) y = 3x
Calcula las cinco primeras derivadas de las siguientes fun-ciones:
21. y = x7
Solucin:
y ' = 7x6
y'' = 42x5
y''' = 210x4
22. y = ex
Solucin:
y ' = ex
y'' = ex
y''' = ex
23. y = x8 7x2 + 5
Solucin:
y' = 8x7 14x
y'' = 56x6 14
y''' = 336x5
yIV = 1 680x4
yV = 6 720x3
24. y = e2x
Solucin:
y' = 2e2x
y'' = 4e2x
y''' = 8e2x
yIV = 16e2x
yV = 32e2x
18(x 4)7
3(x 4)6
1x
55x + 2
212 SOLUCIONARIO
G
rupo
Edi
toria
l Bru
o, S
.L.
Piensa y calcula
Escribe la funcin valor absoluto f(x) = |x| como una funcin definida a trozos y represntala.
Solucin:
f(x) = x si x < 0x si x 0
2. Estudio de la derivabilidad
25. Halla la funcin derivada de la funcin siguiente:
f(x) =
Solucin:
f '(x) =
26. Dada la funcin f(x) =
justifica si f(x) es derivable en x = 3. Cul es el signifi-cado geomtrico del resultado obtenido?
Solucin:
a) La continuidad de la funcin
f(3) = 4
f(x) = f(3) = 4
La funcin es continua en x = 3
b) La derivabilidad calculando las derivadas laterales
f '(x) =
f '(3) ? f '(3+) La funcin no es derivable en x = 3La funcin es continua y no es derivable en x = 3; lafuncin tiene en el punto de abscisa x = 3 un pico, yen ese punto se pueden dibujar dos tangentes.
27. Dada la funcin f(x) =
determina el valor de k para que la funcin sea deri-vable en x = 1
Solucin:
a) La continuidad de la funcin
1 + k = 7
k = 6
b) La derivabilidad calculando las derivadas laterales
f '(x) =
Para k = 6, la funcin es continua y las derivadas late-rales son iguales; luego la funcin es derivable en x = 1
28. Estudia la derivabilidad de la funcin f(x) = |x 2| enx = 2
Solucin:
f(x) =
f '(x) =
f '(2) ? f '(2+) f(x) no es derivable en x = 2
lm f '(x) = lm (1) = 1x8 2 x8 2
lm f '(x) = lm 1 = 1x8 2+ x8 2+
1 si x < 21 si x > 2
x + 2 si x 2x 2 si x > 2
lm f '(x) = lm 2 = 2x8 1 x8 1
lm f '(x) = lm 2x = 2x8 1+ x8 1+
2 si x < 12x si x > 1
lm f(x) = lm (2x + 5) = 7x8 1 x8 1
lm f(x) = lm (x2 + k) = 1 + kx8 1+ x8 1+
2x + 5 si x 1x2 + k si x > 1
f '(3) = lm 0 = 0x8 3
f '(3+) = lm (1) = 1x8 3+
0 si 3 < x < 31 si 3 < x < 7
lmx83
lm f(x) = 4x8 3
lm f(x) = 4x8 3+
4 si 3 x 37 x si 3 < x < 7
2 si x < 21 si x > 2x
2x 3 si x 2L x si x > 2
Aplica la teora
X
Y
TEMA 7. CLCULO DE DERIVADAS 213
G
rupo
Edi
toria
l Bru
o, S
.L.
Ejercicios y problemas
Preguntas tipo test
PAU
Deriva f(x) =
f'(x) =
f'(x) = +
f'(x) = +
f'(x) =
Deriva f(x) = (2x 1)2 ln x
f'(x) = 4(2x 1) ln x +
f'(x) = 2(2x 1) ln x + (2x 1)2
f'(x) = (2x 1)2 ln x +
f'(x) = 4(2x 1)2 ln x + 1
Deriva f(x) = 5
f'(x) =
f'(x) = 10
f'(x) = 5
f'(x) =
Deriva f(x) = 8x2 +
f'(x) = 6 8x + ln x
f'(x) = 16x
f'(x) = 1 x x2
f'(x) = 16x +
Deriva f(x) =
f'(x) =
f'(x) = x ln x
f'(x) = 1
f'(x) =
Deriva f(x) = xe3x
f'(x) = (3x + 1) e3x
f'(x) = (3x 1) e3x
f'(x) = (3x + 1) ln x
f'(x) = 9e3x
Deriva f(x) = x2 ex
f'(x) = 2x + ex
f'(x) = x + ex
f'(x) = 2x ex
f'(x) = x ex
Si f' es la derivada de la funcin dada por:
f(x) = 2x3 6x2 + (x ? 0)
calcula f'(2)
f'(2) = 387/8
f'(2) = 1
f'(2) = 1
f'(2) = 83/6
Encuentra f'(2), donde f' es la derivada de la fun-cin f dada por:
f(x) = 4x x2 + (x ? 0)
f'(2) = 5
f'(2) = 5
f'(2) = 61/8
f'(2) = 3/8
Halla la ecuacin de la recta tangente a la grfica dela funcin:
f(x) =
en el punto de abscisa x = 1
y = 3x + 2
y = x 1
y = 3x 2
y = 3x 6
3x
10
2x3
9
3x4
8
7
6
ln x 1(ln x)2
x 1(ln x)2
xln x
5
1x2
16
1x2
16
1x
x6
4
5
2x ln x
ln x
ln x
5
x ln x
ln x3
1x
(2x 1)2
x
2
16x3
x4
16x3
x4
16x3
x4
16x3
x4
8x2
x2
81
Contesta en tu cuaderno:
214 SOLUCIONARIO
G
rupo
Edi
toria
l Bru
o, S
.L.
Ejercicios y problemas
1. Reglas de derivacin.Tabla de derivadas
29. y = (x2 3)ex
Solucin:
y' = (x2 + 2x 3)ex
30. y = e5x + 3
Solucin:
y' = 5e5x + 3
31. y = L (x2 7)
Solucin:
y' =
32. y =
Solucin:
y' =
33. y = (2x + 3)2
Solucin:
y' = 4(2x + 3)
34. y = ex2 + 3
Solucin:
y' = 2xex2 + 3
35. y = 2x +
Solucin:
y' = 2 +
36. y = L (3x 2)
Solucin:
y' =
37. y = 27x
Solucin:
y' = 7 27x L 2
38. y =
Solucin:
y' =
39. y =
Solucin:
y' =
40. y =
Solucin:
y' =
41. y = L
Solucin:
y' =
42. Halla, para x = 4, la ecuacin de la recta tangente a lacurva y = x2 + 5x 2
Solucin:
a) x = 4 f(4) = 2 P(4, 2)b) f '(x) = 2x + 5 f '(4) = 3c) y 2 = 3(x 4) y = 3x + 14
43. Halla la ecuacin de la recta tangente a la curva y = x3 x + 3
Solucin:
a) x = 1 f(1) = 3 P(1, 3)b) f '(x) = 3x2 1 f '(1) = 2c) y 3 = 2(x 1) y = 2x + 1
44. Halla, para x = 1, la ecuacin de la recta tangente a lacurva y = x3 + 3x
Solucin:
a) x = 1 f(1) = 4 P(1, 4)b) f '(x) = 3x2 + 3 f '(1) = 6c) y + 4 = 6(x + 1) y = 6x + 2
Calcula las cinco primeras derivadas de las siguientes funciones:
45. y = x8
Solucin:
y' = 8x7
y'' = 56x6
y''' = 336x5
yIV = 1 680x4
yV = 6 720x3
3x2 + 5x3 + 5x 7
14
4x3 + 5x 7
2x(x2 1)2
x2
x2 1
2(x 1)2
2xx 1
2x
33(x2 + 1)2
3x2 + 1
33x 2
1
2x + 1
x + 1
1(x + 1)2
xx + 1
2xx2 7
TEMA 7. CLCULO DE DERIVADAS 215
G
rupo
Edi
toria
l Bru
o, S
.L.
46. y = ex
Solucin:
y' = ex
y'' = ex
y''' = ex
yIV = ex
yV = ex
47. y = x6 2x5 + 5x 3
Solucin:
y' = 6x5 10x4 + 5
y'' = 30x4 40x3
y''' = 120x3 120x2
yIV = 360x2 240x
yV = 720x 240
48. y = e3x
Solucin:
y' = 3e3x
y'' = 9e3x
y''' = 27e3x
yIV = 81e3x
yV = 243e3x
2. Estudio de la derivabilidad
49. Estudia la derivabilidad de la funcin
f(x) =
en el punto x = 2
Solucin:
La continuidad de la funcin
f(2) = 5
f(x) f(2)
La funcin no es continua en x = 2
La funcin no es derivable en x = 2
Se observa que las tangentes por la izquierda y por la derecha tienen la misma pendiente, pero la funcin no esderivable.
50. Halla el valor de a y b para que la funcin
f(x) =
sea derivable en x = 2
Solucin:
a) La continuidad de la funcin
4a + 6 = 2b 2a + b = 3
b) La derivabilidad calculando las derivadas laterales
f '(x) =
4a + 3 = 4 b 4a + b = 1
Se resuelve el sistema:
a = 2, b = 7
51. Estudia la derivabilidad de la funcin f(x) = x|x|
Solucin:
f(x) =
La funcin es continua y derivable por estar definida porpolinomios. El nico punto que hay que estudiar es el correspondiente al valor de la abscisa x = 0
f '(x) =
f '(0) = f '(0+) La funcin es derivable en x = 0
lm f '(x) = lm (2x) = 0x8 0 x8 0
lm f '(x) = lm 2x = 0x8 0+ x8 0+
2x si x < 02x si x > 0
x2 si x < 0x2 si x 0
2a + b = 34a + b = 1
lm f '(x) = lm (2ax + 3) = 4a + 3x8 2 x8 2
lm f '(x) = lm (2x b) = 4 bx8 2+ x8 2+
2ax + 3 si x < 22x b si x > 2
lm f(x) = lm (ax2 + 3x) = 4a + 6x8 2 x8 2
lm f(x) = lm (x2 bx 4) = 2bx8 2+ x8 2+
ax2 + 3x si x 2x2 bx 4 si x > 2
X
Y
lmx82
lm f(x) = lm (x2 + 1) = 5x8 2 x8 2
lm f(x) = lm (4x 5) = 3x8 2+ x8 2+
x2 + 1 si x 24x 5 si x > 2
52. Asocia cada grfica de la funcin f(x) con su funcin derivada f '(x)
Solucin: f(x) 1 2 3 4
f '(x) b c d a
X
Y
X
Y
X
Y
f(x)f(x)f(x)
1 2 3 4
a b c d
f(x)
f'(x)
f'(x)f'(x)
f'(x)
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
53. Dada la grfica de la funcin f(x) =
analiza si dicha funcin es derivable en x = 0
Solucin:
No es derivable en x = 0 porque tiene una tangente verti-cal de ecuacin x = 0
54. Dada la grfica de la funcin
f(x) =
analiza si dicha funcin es derivable en x = 1
Solucin:
No es derivable en x = 1 porque la funcin no es continuaen ese valor.
55. Dada la grfica de la funcin
f(x) =
analiza si dicha funcin es derivable en x = 2
Solucin:
No es derivable en x = 2 porque la funcin tiene un pico.La grfica en ese valor tiene dos tangentes distintas.
X
Y
2x 1 si x 24 si x > 2x
X
Y
x2 2x si x > 1x3 3x2 + 3x si x 1
X
Y
5x2
216 SOLUCIONARIO
G
rupo
Edi
toria
l Bru
o, S
.L.
Ejercicios y problemas
Para ampliar
TEMA 7. CLCULO DE DERIVADAS 217
G
rupo
Edi
toria
l Bru
o, S
.L.
Halla las derivadas de las funciones siguientes:
56. y = (x2 +1)2x
Solucin:
y' = 2x 2x + (x2 + 1) 2x L 2
57. y =
Solucin:
y' =
58. y = (x + 2)ex
Solucin:
y' = (x + 3) ex
59. y =
Solucin:
y' =
60. y =
Solucin:
y' =
61. y =
Solucin:
y' =
62. y = x2 + 3
Solucin:
y' = 3 x2 + 2
2x
63. y = e5x
Solucin:
y' = 5e5x
64. y =
Solucin:
y' =
65. y = L ex
Solucin:
y = x
y' = 1
66. y = x2ex + 2x
Solucin:
y' = ex(x2 + 2x) + 2
67. y = +
Solucin:
y' = +
68. y = 2x L x
Solucin:
y' = 2x L 2 L x +
69. Halla las tres primeras derivadas de la funcin:y = x3 + 3x
Solucin:
y ' = 3x2 + 3 y '' = 6x
y ''' = 6
70. Dada la funcin y = x3 3x2
a) halla las tres primeras derivadas.
b) halla los puntos de la grfica en los que la tangentesea horizontal.
Solucin:
a) y ' = 3x2 6x
y '' = 6x 6
y ''' = 6
b) Si la tangente es horizontal, la pendiente es cero.
y ' = 0 x = 0, x = 2Si x = 0 y = 0 O(0, 0)Si x = 2 y = 4 A(2, 4)
71. Dada la funcin y = x3 6x2 + 9x a) halla las tres primeras derivadas.
b) halla los puntos de la grfica en los que la tangentesea horizontal.
)1x(
1
33x2
1
2x
3xx
ex ex
2
ex + ex
2
)1x2()1x(
)1x(
18x(x2 3)2
9x2 3
5(x 2)2
x + 3x 2
x
1 x2
1 x2
4x(x2 1)2
2x2 1
Solucin:
a) y ' = 3x2 12x + 9
y '' = 6x 12
y ''' = 6
b) Si la tangente es horizontal, la pendiente es cero.
y ' = 0 x = 1, x = 3Si x = 1 y = 4 A(1, 4)Si x = 3 y = 0 B(3, 0)
72. Halla las tres primeras derivadas de la funcin:y = x3 + 3x2 + x 3
Solucin:
y ' = 3x2 + 6x + 1
y '' = 6x + 6
y ''' = 6
73. Halla las tres primeras derivadas de la funcin:y = x3 + x2
Solucin:
y ' = 3x2 + 2x
y '' = 6x + 2
y ''' = 6
74. Dada la funcin y =
a) halla las tres primeras derivadas de la funcin.
b) halla los puntos en los que la recta tangente es hori-zontal.
Solucin:
a) y ' =
y '' =
y ''' =
b) Si la tangente es horizontal, la pendiente es cero.
y ' = 0 x = 1, x = 1Si x = 1 y = 2 A(1, 2)Si x = 1 y = 2 B(1, 2)
75. Halla las tres primeras derivadas de la funcin:
y =
Solucin:
y ' = y '' =
y ''' =
76. Dada la funcin y =
a) halla las tres primeras derivadas.
b) analiza si puede haber algn punto de la grfica quetenga tangente horizontal.
Solucin:
a) y ' =
y '' =
y ''' =
b) Si la recta tangente es horizontal, la pendiente es cero.
y' 0 para todo valor de x
No hay ningn punto de la grfica que tenga recta tan-gente horizontal.
77. Halla las tres primeras derivadas de la funcin:
y =
Solucin:
y ' = y '' =
y ''' =
78. Halla las tres primeras derivadas de la funcin:
y =
Solucin:
y ' =
y '' =
y ''' =
79. Dada la funcin y = xex
a) halla las tres primeras derivadas.
b) halla los puntos de la grfica en los que la tangentees horizontal.
120x3 + 120x(x2 + 1)4
30x2 10x(x2 + 1)3
10x(x2 + 1)2
5x2 + 1
48x3 48x(x2 1)4
12x2 + 4(x2 1)3
4x(x2 1)2
x2 + 1x2 1
6x4 36x2 6(x2 1)4
2x3 + 6x(x2 1)3
x2 1(x2 1)2
xx2 1
24x4 + 144x2 24(x2 + 1)4
8x3 24x(x2 + 1)3
4x2 + 4(x2 + 1)2
4xx2 + 1
6x4
2x3
x2 1x2
x2 + 1x
218 SOLUCIONARIO
G
rupo
Edi
toria
l Bru
o, S
.L.
Ejercicios y problemas
TEMA 7. CLCULO DE DERIVADAS 219
G
rupo
Edi
toria
l Bru
o, S
.L.
Solucin:
a) y ' = (x + 1)ex
y '' = (x + 2)ex
y ''' = (x + 3)ex
b) Si la tangente es horizontal, la pendiente es cero.
y' = 0 x = 1Si x = 1, y = 1/e A(1, 1/e)
80. Halla las tres primeras derivadas de la siguiente funcin:y = x2ex
Solucin:
y ' = (x2 + 2x)ex
y '' = (x2 + 4x + 2)ex
y ''' = (x2 + 6x + 6)ex
81. Halla las tres primeras derivadas de la siguiente funcin:y = x L x
Solucin:
y ' = 1 + L x y '' = y ''' =
82. Dada la funcin y = L x2
a) halla las tres primeras derivadas.
b) analiza si hay algn punto de la grfica con tangentehorizontal.
Solucin:
a) y ' = y '' = y ''' =
b) No hay ningn punto con tangente horizontal porquey' ? 0 para todo valor de x
83. Dada la funcin y = L (x2 + 1)a) halla las tres primeras derivadas.
b) analiza si hay algn punto de la grfica con tangentehorizontal.
Solucin:
a) y ' = y '' =
y ''' =
b) Si la tangente es horizontal, la pendiente es cero.
y' = 0 x = 0Si x = 0, y = 0 O(0, 0)
84. Dada la funcin y =
a) halla las tres primeras derivadas.
b) analiza si hay algn punto de la grfica con tangentehorizontal.
Solucin:
a) y ' = y '' =
y ''' =
b) Si la tangente es horizontal, la pendiente es cero.
y' = 0 x = eSi x = e, y = 1/e A(e, 1/e)
85. Halla la ecuacin de la recta tangente a la curva y = x2,para x = 2
Solucin:
a) x = 2 f(2) = 4 P(2, 4)b) f '(x) = 2x f '(2) = 4c) y 4 = 4(x 2) y = 4x 4
86. Halla la ecuacin de la recta tangente a la curva y = x3,para x = 1
Solucin:
a) x = 1 f(1) = 1 P(1, 1)b) f '(x) = 3x2 f '(1) = 3c) y + 1 = 3(x + 1) y = 3x + 2
87. Halla la ecuacin de la recta tangente a la curva y = x3, para x = 1
Solucin:
a) x = 1 f(1) = 1 P(1, 1)b) f '(x) = 3x2 f '(1) = 3c) y + 1 = 3(x 1) y = 3x + 2
11 6 L xx4
2 L x 3x3
1 L xx2
L xx
4x(x2 3)(x2 + 1)3
2(1 x2)(x2 + 1)2
2xx2 + 1
4x3
2x2
2x
1x2
1x
220 SOLUCIONARIO
G
rupo
Edi
toria
l Bru
o, S
.L.
Ejercicios y problemas
88. Halla las rectas tangentes horizontales a la grfica de lafuncin y = x3 27x
Solucin:
y ' = 3x2 27
y ' = 0 x = 3, x = 3Si x = 3, y = 54 A(3, 54)Si x = 3, y = 54 A(3, 54)Recta tangente en A: y = 54
Recta tangente en B: y = 54
89. Encuentra el valor de k tal que la recta y = 4x 9 seatangente a la grfica de la funcin f(x) = x2 kx
Solucin:
Sea A(x, y) el punto de tangencia. Se tiene:
y' = 4
f '(x) = 2x k
2x k = 4 (1)
El punto A es comn a la tangente y a la curva:
4x 9 = x2 kx (2)
Resolviendo el sistema de (1) y (2):
x = 3, k = 2
x = 3, k = 10
90. Estudia la derivabilidad de la funcin
f(x) =
en el punto x = 1
Solucin:
Se estudia el punto x = 1
a) La continuidad de la funcin
f(1) = 0
f(x) = f(1)
La funcin es continua en x = 1
b) La derivabilidad calculando las derivadas laterales
f '(x) =
f '(1) = f '(1+) La funcin es derivable en x = 1
91. Determina los valores de a y b para que la funcin
f(x) =
sea continua y derivable en x = 1
Solucin:
a) La continuidad de la funcin f(1) = a + b
a + b = 1
b) La derivabilidad calculando las derivadas laterales
f '(x) =
a = 2
Resolviendo el sistema:
a = 2, b = 1
92. Determina el valor de a para que la funcin
f(x) =
sea derivable en x = 3
Solucin:
a) La continuidad de la funcin
6 + a = 3 a = 3
b) La derivabilidad calculando las derivadas laterales
f '(x) =
f '(3) f '(3+) La funcin no es derivable en x = 3para ningn valor de a
93. Estudia la derivabilidad de la funcin
f(x) =
en el punto x = 1
(2 x)3 si x 1x2 si x > 1
lm f '(x) = lm 2 = 2x8 3 x8 3
lm f '(x) = lm (2x 2) = 4x8 3+ x8 3+
2x 2 si x > 32 si x < 3
lm f(x) = lm (2x + a) = 6 + ax8 3 x8 3
lm f(x) = lm (x2 2x) = 3x8 3+ x8 3+
x2 2x si x 32x + a si x < 3
lm f '(x) = lm a = ax8 1 x8 1
lm f '(x) = lm 2x = 2x8 1+ x8 1+
a si x < 12x si x > 1
lm f(x) = lm (ax + b) = a + bx8 1 x8 1
lm f(x) = lm x2 = 1x8 1+ x8 1+
ax + b si x 1x2 si x > 1
lm f '(x) = lm 3(x 1)2 = 0x8 1 x8 1
lm f '(x) = lm 2(x 1) = 0x8 1+ x8 1+
3(x 1)2 si x < 12(x 1) si x > 1
lmx8 1
lm f(x) = lm (x 1)3 = 0x8 1 x8 1
lm f(x) = lm (x 1)2 = 0x8 1+ x8 1+
(x 1)3 si x 1(x 1)2 si x > 1
Problemas
TEMA 7. CLCULO DE DERIVADAS 221
G
rupo
Edi
toria
l Bru
o, S
.L.
Solucin:
Se estudia el punto x = 1
a) La continuidad de la funcin
f(1) = 1
f(x) = f(1)
La funcin es continua en x = 1
b) La derivabilidad calculando las derivadas laterales
f '(x) =
f '(1) ? f '(1+) La funcin no es derivable en x = 1
94. Halla los valores de a y b para que la funcin
f(x) =
sea derivable en x = 1
Solucin:
a) La continuidad de la funcin
f(1) = a + 5
a + 5 = a + b b = 5
b) La derivabilidad calculando las derivadas laterales
f '(x) =
a = b a = 2b
Resolviendo el sistema:
a = 10, b = 5
95. Halla el valor de a para que la funcin
f(x) =
sea continua y estudia si para dicho valor es derivable.
Solucin:
La funcin est definida por dos funciones que son conti-nuas y derivables en sus dominios. Se tiene que estudiar elvalor x = 2
a) La continuidad de la funcin
f(2) = 3a + 3
3a + 3 = 0 a = 1Para a = 1, la funcin es continua en x = 2
b) La derivabilidad calculando las derivadas laterales
f '(x) =
Para a = 1 se tiene
f '(2) = 3
f '(2+) = 1
La funcin no es derivable en x = 2
96. Determina el valor de a y b para que la funcin
f(x) =
sea derivable en x = 1
Solucin:
a) La continuidad de la funcin
f(1) = a + b
a + b = 0
b) La derivabilidad calculando las derivadas laterales
f '(x) =
a = 3
Resolviendo el sistema:
a = 3, b = 3
lm f '(x) = lm 3x2 = 3x8 1 x8 1
lm f '(x) = lm a = ax8 1+ x8 1+
3x2 si x < 1a si x > 1
lm f(x) = lm (x3 1) = 0x8 1 x8 1
lm f(x) = lm (ax + b) = a + bx8 1+ x8 1+
x3 1 si x < 1ax + b si x 1
lm f '(x) = lm (2x + a) = 4 + ax8 2 x8 2
1lm f '(x) = lm = 1
x8 2+ x8 2+ x 1
2x + a si x < 21 si x > 2
x 1
lm f(x) = lm (x2 + ax + a 1) = 3a + 3x8 2 x8 2
lm f(x) = lm L(x 1) = 0x8 2+ x8 2+
x2 + ax + a 1 si x 2L (x 1) si x > 2
a2
lm f '(x) = lm a = ax8 1 x8 1
a b alm f '(x) = lm ( ) = bx8 1+ x8 1+ 2x x2 2
a si x < 1a b si x > 1
2x x2
lm f(x) = lm (ax + 5) = a + 5x8 1 x8 1
blm f(x) = lm (ax + ) = a + b
x8 1+ x8 1+ x
ax + 5 si x 1b
ax + si x > 1
x
lm f '(x) = lm 3(2 x)2 = 3x8 1 x8 1
lm f '(x) = lm 2x = 2x8 1+ x8 1+
3(2 x)2 si x < 12x si x > 1
lmx8 1
lm f(x) = lm (2 x)3 = 1x8 1 x8 1
lm f(x) = lm x2 = 1x8 1+ x8 1+
222 SOLUCIONARIO
G
rupo
Edi
toria
l Bru
o, S
.L.
Ejercicios y problemas
Para profundizar
97. Determina el valor de a y b para que la funcin
f(x) =
sea derivable en x = 0
Solucin:
a) La continuidad de la funcin
f(0) = 1
a = 1
b) La derivabilidad calculando las derivadas laterales
f '(x) =
1 ab = b
Resolviendo el sistema:
a = 1, b = 1/2
98. Se sabe que una poblacin de 400 bacterias de un culti-vo vara segn la funcin
f(x) = 400
donde x se mide en minutos. Qu velocidad de creci-miento instantneo tendr la poblacin en t = 3 mi-nutos?
Solucin:
El crecimiento instantneo es la derivada de la funcin
f '(x) = 400
f '(3) = 32
El signo menos indica que estn disminuyendo las bac-terias.
99. Halla la ecuacin de la parbola y = ax2 + bx + c, que pasapor el punto A(0,1) y es tangente a la recta y = x 1 en elpunto B(1, 0)
Solucin:
a) Si pasa por A(0, 1)
c = 1
b) Si es tangente a la recta y = x 1 en B(1, 0), la derivadade la parbola en x = 1 es la pendiente de la recta tan-gente.
2a + b = 1
c) Como pasa por B(1, 0)
a + b + c = 0
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
a = 2, b = 3, c = 1
100. La siguiente grfica corresponde a la funcin derivadade la funcin f(x)
a) Existe algn punto de tangente horizontal en la gr-fica de f(x)?
b) Puede ser la derivada de una funcin polinmica?De qu grado?
Solucin:
a) En x = 1 la derivada se hace cero y, por lo tanto, la pen-diente de la recta tangente es cero. La tangente es hori-zontal.
b) Si la derivada es un polinomio de primer grado, la fun-cin es un polinomio de segundo grado.
101. La siguiente grfica corresponde a la funcin derivadade la funcin f(x)
a) Existe algn punto de tangente horizontal en la gr-fica de f(x)?
b) Escribe la ecuacin de la grfica de f '(x)
c) Da una funcin cuya derivada sea la de la grfica.
Solucin:
a) No, porque f '(x) no corta al eje X
b) f '(x) = 1/x
c) f(x) = L x
X
Y
f '(x)
X
Y
f '(x)
1 x2
(x2 + 1)2
x2 + x + 1x2 + 1
lm f '(x) = lm ebx b(x + a)ebx = 1 abx8 0 x8 0
lm f '(x) = lm (2ax + b) = bx8 0+ x8 0+
ebx b(x + a)ebx si x < 02ax + b si x > 0
lm f(x) = lm (x + a)ebx = ax8 0 x8 0
lm f(x) = lm (ax2 + bx + 1) = 1x8 0+ x8 0+
(x + a)ebx si x < 0ax2 + bx + 1 si x 0
TEMA 7. CLCULO DE DERIVADAS 223
G
rupo
Edi
toria
l Bru
o, S
.L.
Halla las derivadas de las siguientes funciones:
107. f(x) = e4x 5
108. f(x) = L (x2 + 1)
109. f(x) = x2 L (x + 1)
110. f(x) = L (x2 4)
Solucin:
Solucin:
Solucin:
Solucin:
Windows Derive Linux/Windows
102. Halla la derivada de la funcin:
f(x) =
103. Halla la recta tangente a la curva:f(x) = x2 4x + 5 en x = 3
Representa la funcin y la recta tangente.
104. Estudia la derivabilidad de la funcin para x = 2:
f(x) =
Representa la funcin y la recta o rectas tangentespara x = 2
105. Calcula el valor de los parmetros a y b para que lafuncin
f(x) =
sea derivable en x = 1. Representa la funcin y larecta tangente para x = 1
106. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y eligeMatemticas, curso y tema.
Solucin:Resuelto en el libro del alumnado.
ax2 + bx 1 si x 12bx 2 si x > 1
Solucin:Resuelto en el libro del alumnado.
x2 si x 2x2 + 2x + 4 si x > 2
Solucin:Resuelto en el libro del alumnado.
Solucin:Resuelto en el libro del alumnado.
xx2 + 1
Paso a paso
Practica
224 SOLUCIONARIO
G
rupo
Edi
toria
l Bru
o, S
.L.
111. f(x) =
112. Halla la recta tangente a la curva:f(x) = x2 5 en x = 2
Representa la funcin y la recta tangente.
113. Estudia la derivabilidad de la funcin en x = 2
f(x) =
Representa la funcin y la recta o rectas tangentespara x = 2
114. Dada la funcin f(x) =
se pide:Halla la ecuacin de la recta tangente a la curva
f(x) para x = 12
1x
Solucin:
x2 3 si x 2x2 + 2x + 4 si x > 2
Solucin:
Solucin:
5xx2 + 1
Linux/Windows
TEMA 7. CLCULO DE DERIVADAS 225
G
rupo
Edi
toria
l Bru
o, S
.L.
115. Estudia la derivabilidad de la funcin para x = 3
f(x) =
Representa la funcin y la recta o rectas tangentespara x = 3
116. Estudia la derivabilidad de la funcin para x = 1
f(x) =
Representa la funcin y la recta o rectas tangentespara x = 1
Solucin:
2x si x 1x2 4x + 5 si x > 1
Solucin:
x2 + 4x 1 si x 32x 4 si x > 3
Solucin:
Windows Derive
226 SOLUCIONARIO
G
rupo
Edi
toria
l Bru
o, S
.L.
117. Estudia la derivabilidad de la funcin para x = 2f(x) = |x2 4|
Representa la funcin y la recta o rectas tangentespara x = 2
Halla las tres primeras derivadas de las siguientes fun-ciones:
118. f(x) = x3 + 3x2 + x 3
119. f(x) =
Solucin:
x2 + 1x
Solucin:Solucin:
Linux/Windows
TEMA 7. CLCULO DE DERIVADAS 227
G
rupo
Edi
toria
l Bru
o, S
.L.
120. f(x) = x ex
121. f(x) = x L x
122. Halla el valor de a y b para que la recta tangente ala grfica de:
f(x) = ax2 ben el punto P(1, 5) sea la recta:
y = 3x + 2
123. Estudia la derivabilidad de la funcin para x = 0f(x) = x|x|
Representa la funcin y la recta o rectas tangentespara x = 0
Solucin:
Solucin:
Solucin:
Solucin:
Windows Derive
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