7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 1/42
1
PROBABILIDADES 2
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 2/42
10/21/13 2
Definición axiomática de
probabilidad
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 3/42
10/21/13 3
Definición axiomática de probabilidad
Una probabilidad es una función P, que asigna a cada
evento A de !, un número real P ( A ), que satisface las
siguientes tres propiedades, llamadas axiomas deprobabilidad:
a) P(A) " 0, para cualquier evento A de !.
b)
P(!) = 1c) Si A y B son eventos mutuamente excluyentes de !,
entonces: P(A#B) = P(A) + P(B)
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 4/42
10/21/13 4
Teoremas de probabilidades
! Si A = Ø $ P(Ø)=0
El recíproco de este teorema no siempre es cierto!
P(Ac) = 1 - P(A)
! Si A % B $ P(A) & P(B)
!
P(A) = P(A'B) + P(A'Bc
)! P(A#B)= P(A) + P(B) – P(A'B)
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 5/42
10/21/13 5
Ejemplo" La probabilidad de que una computadora tenga el
programa A es 0.6 y de que tenga el programa B es
0.5. Si la probabilidad de que tenga los dosprogramas es 0.2, encontrar la probabilidad de que:
" tenga alguno de los dos programas
" tenga el programa A pero no el B
" tenga el programa B pero no el A
" tenga sólo uno de los dos programas
" no tenga ninguno de los dos programas
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 6/42
10/21/13 6
Ejercicio
El análisis costo-beneficio de la compra de cierta fábricadeterminó que solo la ocurrencia de alguno de los eventos A o Bocasionaría una inversión desfavorable. Se estima que laprobabilidad de que ocurra el evento A es 0,1; la probabilidad de
que el evento B ocurra es 0,05 y la probabilidad de que ocurranambos eventos es 0,02. ¿Cuál es la probabilidad de que
a)
la inversión resulte desfavorable debido únicamente a laocurrencia del evento A?
b)
la inversión resulte desfavorable debido únicamente a laocurrencia del evento B?
c) Cuantifique el riesgo que se corre en esta inversión, es decir, laprobabilidad de que la compra ocasione una inversióndesfavorable.
7/23/2019 7. Probabilidad 2
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Probabilidad Condicionale Independencia
7/23/2019 7. Probabilidad 2
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Probabilidad Condicional
Dados A y B dos eventos en el espacio muestral !,la probabilidad condicional de B dado A se definepor:
P B A( ) =n( A! B)
n( A), si
n( A)>
0
( ))(
)(
A P
B A P A B P
!= , si 0)( > A P
Si!
es finito y equiprobable:
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 9/42
Ejemplo
Suponga que de una baraja normal de cartas (sin
comodines) se extrae una carta al azar. Si se
definen los eventos
A = “ la carta seleccionada es de tréboles” y
B = “ la carta seleccionada es negra” .
Halle P(A|B) y P(A). ¿Son estás probabilidades
iguales? ¿Qué significa que no lo sean?
10/21/13 9
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 10/42
Probabilidad condicional
En la probabilidad condicional, P(B/A), el eventocondición A determina el nuevo espacio muestral
A B
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 11/42
Ejemplo"
EL 60% de las computadoras de una granempresa tienen instalado el programa A y
el 50% tienen el programa B. El 20% delas computadoras tienen los dosprogramas.
" Encontrar la probabilidad de que unacomputadora de la empresa, seleccionadaal azar, tenga el programa B si sabemos
que tiene el programa A.
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 12/42
Ejemplo" Sean los eventos
" La probabilidad de que la computadora seleccionada tenga
el programa B dado que tiene el programa A es de 0,333
}{
}{
B programael tieneacomputador la B
A programael tieneacomputador la A
=
=
100
20)(,
100
50)(,
100
60)( =!== B A P B P A P
60
20
100
60100
20
)(
)()/( ==!
=
A P
B A P A B P
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 13/42
Ejemplo
" En el último reporte anual de una gran cadena
hotelera se afirmaba que el 72% de sus trabajadores
habla inglés, el 54% habla francés y el 37% hablaambos idiomas.
"
Un turista francés llega a uno de los hoteles de la
cadena, la recepcionista lo saluda amablemente y lehabla en inglés, ¿qué probabilidad hay de que esta
recepcionista hable francés?
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 14/42
14
Solución
" Sean los eventos
" Dado que la recepcionista habla inglés, la probabilidad deque hable francés es 0,514
}{
}{
francéshabla starecepcionila B
ingléshabla starecepcionila A
=
=
P( A) = 0, 72 P( B) = 0, 54 P( A! B) = 0,37
P( B / A) =P( A! B)
P( A)=
0,37
0, 72= 0, 514
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 15/42
Regla del producto"
Sean A y B dos eventos
)/()()(
:0)(
A B P A P B A P
A P Si
=!
"
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 16/42
Ejemplo"
De 50 computadoras, hay 20 que son marca Apple.Se escoge al azar, una por una, dos computadoras.
Encontrar la probabilidad de que la primera seauna Apple y la segunda no lo sea.
{ } Appleesnoacomputador segunda La B
Appleesacomputador primera La A
=
=
( ) ( )49
30
50
20)( !=="
A B P A P B A P
( )49
30
50
20)( ==
A B P A P
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 17/42
Ejemplo
"
De los adultos de 25 o más años empleados en
cierto país, el 90.3% completó la enseñanza
media y de ellos, el 30.8% completó launiversidad.
" Calcular la probabilidad de que un adulto
empleado de ese país, seleccionado al azar, hayacompletado la enseñanza media y también la
universidad.
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 18/42
Solución
"
Sean los eventos:
M= {enseñanza media completa}
U= {enseñanza universitaria completa}
P (M ' U)= P(M) x P(U/M)
= 0,903 x 0,308 = 0,278 En el país del ejemplo, la probabilidad de que un adulto
empleado, de 25 o mas años, haya completado la
enseñanza media y la universitaria es del 0,278
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 19/42
Partición del espacio" Los eventos E 1, E 2,…, E
n son una partición
del espacio Ω, si:
),...,2,1(,0)( ni E P i
=!
)(, ji E E ji !=" #
!n
i
i E
1=
!=
E1 E2
E3 En ...
Ω
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 20/42
Teorema de probabilidad total" Si los eventos E 1, E 2,…, E
n son una
partición del espacio muestral Ω:
( )!=
"#$
%&'
=
n
i i
i E A P E P A P
1
)(
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 21/42
Ejemplo
" En una fábrica textil, cada polo es estampado en una de
tres máquinas: M1, M2, M3. El número de polos
estampados diariamente en cada máquina es 500, 350 y
150 respectivamente.
" El porcentaje de polos devueltos por defectos en el
estampado es de 1%, 3% y 6% para las máquinas M1,
M2 y M3 respectivamente." Si se escoge al azar un polo estampado ¿cuál es la
probabilidad de que sea devuelto por defectos en el
estampado?
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 22/42
Solución
" Sean los eventos
"
Además
}{
)3,2,1(,}{
estampadoel endefecto por devuelto polo D
i M máquinalaenestampado polo E ii
=
==
06.0)/(
,03.0)/(,01.0)/(15.0)(,35.0)(,5.0)(
3
21
321
=
==
===
E D P
E D P E D P
E P E P E P
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 23/42
... sigue solución
" La probabilidad de que el polo escogidosea devuelto por defectos en el
estampado es del 0,0245 pues:
P( D) = P( E i)P( D / E
i)
i=1
3
!= 0,5"0,01+ 0,35"0,03+ 0,15"0,06 = 0,0245
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 24/42
Teorema de Bayes
El teorema de Bayes establece una relación muy
importante en la teoría de probabilidades y es la base
para la revisión de la asignación de probabilidades a laluz de información adicional.
Posibilidadesa priori
InformaciónNueva
Teoremade Bayes
Posibilidadesposteriores
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 25/42
Teorema de Bayes" Si los eventos E 1, E 2,…, E
n son una
partición del espacio Ω y P ( A) ! 0:
( )
),...,2,1(,)(nk
A P
E A P E P
A
E P
k k
k =
!"#
$%&
=
!"
#
$%
&
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 26/42
Ejemplo
" Una manufacturera recibe embarques de piezas
de dos proveedores. El 65% de las piezas son
adquiridas del proveedor 1 y el 35% restante delproveedor 2.
" Según la estadística existente, el 98% de las
piezas recibidas del proveedor 1 son buenas y el2% son malas. En el caso del proveedor 2, el
95% de las piezas son buenas y el resto malas.
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 27/42
sigue ejemplo
" Todas las piezas recibidas se guardan en un
almacén.
" Si se selecciona una pieza al azar del almacén,¿cuál es la probabilidad de que resulte mala?
" Suponga que una de las piezas recibidas está
mala. ¿Cuál es la probabilidad que haya sidoadquirida del proveedor 1? ¿Cuál es la
probabilidad que haya sido adquirida del
proveedor 2?
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 28/42
P(A)
P(A´)
P(B|A)
P(M|A)
P(B|A´)
P(M|A´)
4262.00305.0
0130.0
)(
)()|( ==
!=
M P
M A P M A P
P(A B)=0.65x0.98=0.6370
P(A M)=0.65x0.02=0.0130
P(A´ B)=0.35x0.95=0.3325
P(A´
M)=0.35x0.05=0.0175
0.0130 +0.0175
0.0305
5738.00305.0
0175.0
)(
)´()´|( ==
!=
M P
M A P M A P
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 29/42
EjercicioEl dueño de H&T Ingenieros debe decidir si presentao no una oferta para hacerse cargo de la construcción
de un nuevo centro comercial. En el pasado suprincipal competidor, la empresa UeharaConstructores, ha propuesto ofertas en el 75% de losnuevos proyectos de construcción. Si Uehara
Constructores no presenta ofertas para un trabajo, laprobabilidad de que H&T Ingenieros obtenga eltrabajo es de 0,56. Si Uehara Constructores proponeuna oferta para el trabajo, la probabilidad de que
H&T Ingenieros obtenga el trabajo es de 0,28.
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 30/42
a) ¿Cuál es la probabilidad de que H&T
Ingenieros obtenga el trabajo? Con base en
este resultado, ¿recomendaría usted que laempresa presente una oferta?
b) Si la empresa H&T Ingenieros obtiene el
trabajo, ¿cuál es la probabilidad de que laempresa Uehara Constructores haya
propuesto una oferta?
Respuestas: a) 0,35 b) 0,60
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 31/42
Independencia
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 32/42
Juego de dados" En un juego se lanza un dado una vez y se
gana si sale el número 6.
" ¿Cuál es la probabilidad de ganar?
" Si un jugador ha jugado ya dos veces y ha
ganado en ambas, ¿cuál es la probabilidad deque gane si juega una vez mas?
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 33/42
Eventos independientes
"
Dos eventos A y B son independientes, siy solamente si:
"
O equivalentemente, A y B sonindependientes si y solo si:
)()/( A P B A P =
)()()( B P A P B A P =!
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 34/42
Propiedades:
Eventos independientes
" Sean los eventos A y B tales que: P ( A) ! 0
y P ( B) ! 0. Se cumple que:
" Si A y B son independientes → A y B no son
disjuntos.
" Si A y B son disjuntos → A y B no son
independientes
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 35/42
TeoremaSi los eventos A y B son independientes,
entonces:a) A y Bc son independientes
b)
Ac
y B son independientesc) Ac y Bc son independientes.
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 36/42
Ejemplo" Un televidente ve de manera independiente los
programas A y B. La probabilidad de que vea el
programa A es 0,2 y de que vea el programa B es0,3, hallar la probabilidad de que:
" vea los dos programas
"
no vea ninguno de los dos programas" vea alguno de los dos programas
" vea sólo el programa A
" vea sólo el programa B
" vea sólo uno de los dos programas
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 37/42
Ejemplo"
Sean los eventos A y B
"
vea los dos programas
"
no vea ninguno de los dos programas
}{
}{
B programael vea B
A programael vea A
=
=
06.03.02.0)()()() =!==" B P A P B A P a
56.07.08.0)()()() =!==" C C C C
B P A P B A P b
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 38/42
Ejemplo" vea alguno de los dos programas
"
vea sólo el programa A
44.056.01)(1))((1)()
=!=
"!=#!=# C C C
B A P B A P B A P c
14.07.02.0
)()()()()
=!=
="=# C C
B P A P B A P B A P d
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 39/42
Ejemplo"
vea sólo el programa B
"
vea sólo uno de los dos programas
24.08.03.0)()()()()
=!=
="=# C C
A P B P A B P A B P e
38.024.014.0
)()()()
=+=
!+!=" A B P B A P B A P f
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 40/42
Ejemplo" Se lanza un dado 10 veces, encontrar
la probabilidad de que el seis
aparezca por lo menos una vez.
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 41/42
Ejemplo}{ vez unamenoslo por aparece seis El A =
}{ iolanzamient el enaparece seis El Ai =
Ai (i =1,2,...,10) son independientes
Ai
C (i =1,2,...,10) son independientes
A = Ai
i=1
10
! ! AC = A
i
C
i=1
10
"
7/23/2019 7. Probabilidad 2
http://slidepdf.com/reader/full/7-probabilidad-2 42/42
EjemploP A( ) =1! P A
C ( ) =1! P Ai
C
i=1
10
!"
#$
%
&'
=1! P A1
C ( ) P A2
C ( )...P A10
C ( )
6
5)(
6
1)( =!=
C
ii A P A P
P( A) =1! 5
6
"
#$
%
&' 5
6
"
#$
%
&'...
5
6
"
#$
%
&'=1!
5
6
"
#$
%
&'
10
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