8/3/2019 Algebra Basica: 04 Sumas y Diferencias de Potencias Iguales
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FACTORIZAR SUMAS Y
RESTAS DE POTENCIAS
IGUALESDIFERENCIAS DE CUADRADOS Y ALGUNAS VARIANTES
DEL PROBLEMA
23/12/2011
VISUALIZACION DEL ALGEBRA BASICA
yoseff basserool
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Factorizar sFactorizar sFactorizar sFactorizar sumas y diferencias de potenciasumas y diferencias de potenciasumas y diferencias de potenciasumas y diferencias de potencias
igualesigualesigualesiguales....
En esta rea se deben tener en cuenta los
siguientes casos:
Diferencia deDiferencia deDiferencia deDiferencia de
cuadradoscuadradoscuadradoscuadrados
Sumas y diferenciasSumas y diferenciasSumas y diferenciasSumas y diferencias
de cubosde cubosde cubosde cubos
Sumas y diferenciasSumas y diferenciasSumas y diferenciasSumas y diferencias
de potencias igualesde potencias igualesde potencias igualesde potencias iguales
DDDDiferenciasiferenciasiferenciasiferencias de potencias pares:de potencias pares:de potencias pares:de potencias pares:
Sumas de diferencias impares:Sumas de diferencias impares:Sumas de diferencias impares:Sumas de diferencias impares:
DDDDiferenciasiferenciasiferenciasiferencias de potenciasde potenciasde potenciasde potencias
impares:impares:impares:impares:
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Se debe entender que el casoSe debe entender que el casoSe debe entender que el casoSe debe entender que el caso msmsmsms general esgeneral esgeneral esgeneral es
el de la suma y diferencia de potenciasel de la suma y diferencia de potenciasel de la suma y diferencia de potenciasel de la suma y diferencia de potenciasiguales.iguales.iguales.iguales. En consecuencia los principios que vamos a exponera continuacin son la base de la factorizacin de los tres grupos
de problemas.
SSSSumaumaumauma de potencias paresde potencias paresde potencias paresde potencias pares
igualesigualesigualesiguales::::
LLLLaaaas sumas de potencias pares no sons sumas de potencias pares no sons sumas de potencias pares no sons sumas de potencias pares no son
factorizables, por lo general.factorizables, por lo general.factorizables, por lo general.factorizables, por lo general.
SSSSiiii son factorizables nunca puedenson factorizables nunca puedenson factorizables nunca puedenson factorizables nunca pueden
tener como factor a:tener como factor a:tener como factor a:tener como factor a:
DDDDiferenciasiferenciasiferenciasiferencias de potenciasde potenciasde potenciasde potencias
paresparesparespares igualesigualesigualesiguales::::
Esta expresin siempre tiene comoEsta expresin siempre tiene comoEsta expresin siempre tiene comoEsta expresin siempre tiene como
factores a:factores a:factores a:factores a:
YYYY
YYYY adicionalmente puede tener otrosadicionalmente puede tener otrosadicionalmente puede tener otrosadicionalmente puede tener otros
factores.factores.factores.factores.
SSSSumasumasumasumas de potencias imparesde potencias imparesde potencias imparesde potencias impares
igualesigualesigualesiguales::::
SSSSiiii el exponenteel exponenteel exponenteel exponente es impar entoncees impar entoncees impar entoncees impar entonces las las las la
expresin siempre tendr comoexpresin siempre tendr comoexpresin siempre tendr comoexpresin siempre tendr como
factor afactor afactor afactor a
YYYY adems hay otroadems hay otroadems hay otroadems hay otros factores nos factores nos factores nos factores no
binomiosbinomiosbinomiosbinomios
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DDDDiferenciaiferenciaiferenciaiferencia de potenciasde potenciasde potenciasde potencias
impares iguales:impares iguales:impares iguales:impares iguales:
Si el exponente igualSi el exponente igualSi el exponente igualSi el exponente igual es impares impares impares impar
entoncesentoncesentoncesentonces la expresin siempre tendrla expresin siempre tendrla expresin siempre tendrla expresin siempre tendr
como factor a:como factor a:como factor a:como factor a:
YYYY adicionalmenteadicionalmenteadicionalmenteadicionalmente habrhabrhabrhabr otrosotrosotrosotros
factores no binomios.factores no binomios.factores no binomios.factores no binomios.
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EEEEnnnn consecuenciaconsecuenciaconsecuenciaconsecuencia habrhabrhabrhabr varias situacionesvarias situacionesvarias situacionesvarias situaciones
posiblesposiblesposiblesposibles en este tipo de expresiones:en este tipo de expresiones:en este tipo de expresiones:en este tipo de expresiones:Suma de potencias pares no
necesariamente iguales
Suma de potencias pares iguales
Diferencia de potencias pares no
necesariamente iguales
Diferencia de potencias pares
iguales
Suma de potencias impares no
necesariamente iguales
Suma de potencias impares iguales:
Diferencia de potencias impares no
necesariamente iguales
Diferencia de potencias impares
iguales
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DDDDiferenciaiferenciaiferenciaiferencia de cuadrados.de cuadrados.de cuadrados.de cuadrados.
Existen varias maneras en que se puede
llegar a la conclusin de que los factores de
una diferencia de cuadrados es la indicada
por la identidad siguiente:
Una de estas formas de prueba es aplicando
el mtodo para factorizar un trinomiocuadrtico:
NNNNuestrouestrouestrouestro problema serproblema serproblema serproblema ser
factorizarfactorizarfactorizarfactorizar
LLLLoooo consideraremos como unconsideraremos como unconsideraremos como unconsideraremos como un
trinomio cuadrtico:trinomio cuadrtico:trinomio cuadrtico:trinomio cuadrtico:
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IIIIdentificamosdentificamosdentificamosdentificamos los factores delos factores delos factores delos factores delos extremos:los extremos:los extremos:los extremos:
LLLLosososos productos cruzadosproductos cruzadosproductos cruzadosproductos cruzados de losde losde losde los
factores se suman y nos debenfactores se suman y nos debenfactores se suman y nos debenfactores se suman y nos deben
dar 0, el trmino de en medio:dar 0, el trmino de en medio:dar 0, el trmino de en medio:dar 0, el trmino de en medio:
En consecuencia es claro culesEn consecuencia es claro culesEn consecuencia es claro culesEn consecuencia es claro cules
son los factores:son los factores:son los factores:son los factores:
Un mtodo parecido puede ser aplicado a la
hora de factorizar una suma o una diferencia
de cubos, aunque en tales casos lo mejor es
utilizar el teorema del factor, debido a que la
expresin es de grado 3.
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SSSSumasumasumasumas y diferencias de cubos.y diferencias de cubos.y diferencias de cubos.y diferencias de cubos.
Suma de cubos
Diferencia de cubos
Por ejemplo, en el caso de la suma de cubos:
EEEEllll problema es factorizarproblema es factorizarproblema es factorizarproblema es factorizar
la expresin:la expresin:la expresin:la expresin:
BBBBuscamosuscamosuscamosuscamos entreentreentreentre loslosloslos
factores defactores defactores defactores de bbbb3333
quequequeque
conviertan en cero a laconviertan en cero a laconviertan en cero a laconviertan en cero a la
expresin:expresin:expresin:expresin:
EEEEntoncesntoncesntoncesntonces obtendremos:obtendremos:obtendremos:obtendremos:
Esto nos dice que:Esto nos dice que:Esto nos dice que:Esto nos dice que:
EEEEssss un factor de la suma de cubos.un factor de la suma de cubos.un factor de la suma de cubos.un factor de la suma de cubos.
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EEEEllll otro factor seotro factor seotro factor seotro factor se
encuentra por divisin deencuentra por divisin deencuentra por divisin deencuentra por divisin de
la suma de cubos ela suma de cubos ela suma de cubos ela suma de cubos entrentrentrentre
este primer factoreste primer factoreste primer factoreste primer factor
establecido:establecido:establecido:establecido:
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Este tipo de razonamiento puede aplicarseEste tipo de razonamiento puede aplicarseEste tipo de razonamiento puede aplicarseEste tipo de razonamiento puede aplicarse
para obtener factores de sumas y diferenciaspara obtener factores de sumas y diferenciaspara obtener factores de sumas y diferenciaspara obtener factores de sumas y diferenciasde potencias iguales en general.de potencias iguales en general.de potencias iguales en general.de potencias iguales en general.
Por ejemplo en el caso de una suma de
potencias impares iguales:
Sacar los factores de aaaa5555 + b+ b+ b+ b
5555:
Sabemos que uno de
los factores es: (a + b)(a + b)(a + b)(a + b)El otro factor lo
obtenemos por
divisin:(a(a(a(a
4444----aaaa3333b+ab+ab+ab+a
2222bbbb2222----abababab
3333+b+b+b+b4444))))
En consecuencia la respuesta ser:(a + b)(a + b)(a + b)(a + b) (a(a(a(a
4444----aaaa3333b+ab+ab+ab+a
2222bbbb2222----abababab
3333+b+b+b+b4444))))
Observaremos lo que sucede con aaaa5555 bbbb
5555:
Sabemos que uno de
los factores es: (a(a(a(a b)b)b)b)El otro factor lo
obtenemos por
divisin:(a(a(a(a
4444++++aaaa3333b+ab+ab+ab+a
2222bbbb2222++++abababab
3333+b+b+b+b4444))))
En consecuencia la respuesta ser:(a(a(a(a b)b)b)b) (a(a(a(a4444++++aaaa
3333b+ab+ab+ab+a2222bbbb
2222++++abababab3333+b+b+b+b
4444))))
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Ahora tenemos un patrn para las respuestas
de las sumas o diferencias de potenciasimpares iguales:
PPPParaaraaraara la suma:la suma:la suma:la suma: aaaa5555
+ b+ b+ b+ b5555
EEEEllll primer factorprimer factorprimer factorprimer factor eseseses la suma de lasla suma de lasla suma de lasla suma de las racesracesracesraces
quintas de los trminos:quintas de los trminos:quintas de los trminos:quintas de los trminos:(a + b)(a + b)(a + b)(a + b)
EEEEllll otro factor estotro factor estotro factor estotro factor est ::::
ordenadoordenadoordenadoordenado por las potencias de lospor las potencias de lospor las potencias de lospor las potencias de lostrminostrminostrminostrminos,,,,
con signoscon signoscon signoscon signos + y+ y+ y+ y alternadosalternadosalternadosalternados,,,, tiene tantos trminos como eltiene tantos trminos como eltiene tantos trminos como eltiene tantos trminos como el
exponente de la expresin originalexponente de la expresin originalexponente de la expresin originalexponente de la expresin original,,,,
la suma de exponentes en losla suma de exponentes en losla suma de exponentes en losla suma de exponentes en lostrminos suma 1 menos que eltrminos suma 1 menos que eltrminos suma 1 menos que eltrminos suma 1 menos que el
exponente de los trminosexponente de los trminosexponente de los trminosexponente de los trminos
originales.originales.originales.originales.
(a(a(a(a4444----aaaa
3333b+ab+ab+ab+a
2222bbbb2222----abababab
3333+b+b+b+b
4444))))
Luego,
PPPParaaraaraara lalalala restarestarestaresta:::: aaaa5555
bbbb5555
EEEEllll primer factorprimer factorprimer factorprimer factor eseseses lalalala restarestarestaresta de lasde lasde lasde las racesracesracesraces
quintas de los trminos:quintas de los trminos:quintas de los trminos:quintas de los trminos:(a(a(a(a b)b)b)b)
EEEEllll otro factor estotro factor estotro factor estotro factor est ::::
ordenadoordenadoordenadoordenado por las potencias de lospor las potencias de lospor las potencias de lospor las potencias de lostrminostrminostrminostrminos,,,,
todos sus signos sontodos sus signos sontodos sus signos sontodos sus signos son ++++ tiene tantos trminos como eltiene tantos trminos como eltiene tantos trminos como eltiene tantos trminos como el
exponente de la expresin originalexponente de la expresin originalexponente de la expresin originalexponente de la expresin original,,,,
la suma de exponentes en losla suma de exponentes en losla suma de exponentes en losla suma de exponentes en lostrminos suma 1 menos que eltrminos suma 1 menos que eltrminos suma 1 menos que eltrminos suma 1 menos que el
exponente de los trminosexponente de los trminosexponente de los trminosexponente de los trminos
originales.originales.originales.originales.
(a(a(a(a4444++++aaaa
3333b+ab+ab+ab+a
2222bbbb2222++++abababab
3333+b+b+b+b
4444))))
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En general
Para t impar
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EEEEnnnn el caso de la diferencia de potenciasel caso de la diferencia de potenciasel caso de la diferencia de potenciasel caso de la diferencia de potencias paresparesparespares
iguales en generaliguales en generaliguales en generaliguales en general, donde los exponentes son, donde los exponentes son, donde los exponentes son, donde los exponentes sonpotencias de 2potencias de 2potencias de 2potencias de 2....
Vamos a observar un ejemplo prctico con:
EEEEstastastasta es una diferenciaes una diferenciaes una diferenciaes una diferencia
de potencias paresde potencias paresde potencias paresde potencias pares
igualesigualesigualesiguales
FFFFactorizandoactorizandoactorizandoactorizando la primera vez nosla primera vez nosla primera vez nosla primera vez nos
da:da:da:da:(a(a(a(a
2222+b+b+b+b2222)(a)(a)(a)(a
2222----bbbb2222))))
LLLLuegouegouegouego vemos que uno de losvemos que uno de losvemos que uno de losvemos que uno de los
factores puede ser factorizadofactores puede ser factorizadofactores puede ser factorizadofactores puede ser factorizado
otra vez:otra vez:otra vez:otra vez:(a(a(a(a
2222+b+b+b+b2222))))(a+b)(a(a+b)(a(a+b)(a(a+b)(a----b)b)b)b)
Este tipo de patrn recurrente ocurre con
todas las potencias iguales que sean a su vez
2 a alguna potencia (2(2(2(2nnnn)))).
Es decir que este tipo de solucin se
presenta para todas las diferencias de
potencias pares de la siguiente forma:
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EEEEllll caso de factorizarcaso de factorizarcaso de factorizarcaso de factorizar ((((aaaa6666 + b+ b+ b+ b
6666)))) yyyy ((((aaaa6666 ---- bbbb
6666))))
Vamos a ilustrar el proceso para observar otro nivel de
complejidad en la factorizacin de sumas y restas de
potencias iguales:
aaaa6666 ---- bbbb
6666 PPPPuedeuedeuedeuede considerarse como unaconsiderarse como unaconsiderarse como unaconsiderarse como una
diferencia de cuadrados:diferencia de cuadrados:diferencia de cuadrados:diferencia de cuadrados:
aaaa6666 ---- bbbb
6666 ==== ((((aaaa3333))))
2222 ((((bbbb3333))))
2222
LLLLueueueuego:go:go:go: ((((aaaa3333))))
2222 ((((bbbb3333))))
2222 ==== (a(a(a(a3333+b+b+b+b
3333)()()()(aaaa3333----bbbb
3333))))
AAAAhora:hora:hora:hora: TTTTenemosenemosenemosenemos una suma de cubos poruna suma de cubos poruna suma de cubos poruna suma de cubos por
una resta de cubos.una resta de cubos.una resta de cubos.una resta de cubos.
EEEEntonces:ntonces:ntonces:ntonces: (a+b)(a(a+b)(a(a+b)(a(a+b)(a2222----ab+bab+bab+bab+b
2222)(a)(a)(a)(a----b)(ab)(ab)(ab)(a2222+ab+b+ab+b+ab+b+ab+b
2222))))
Ahora bien:
aaaa6666
++++ bbbb6666
DebeDebeDebeDebe considerarse como unaconsiderarse como unaconsiderarse como unaconsiderarse como una sumasumasumasumade cubosde cubosde cubosde cubos::::
aaaa6666 ++++ bbbb
6666 ==== ((((aaaa2222))))
3333 ++++ ((((bbbb2222))))
3333
LLLLueueueuego:go:go:go: ((((aaaa2222))))
3333 ++++ ((((bbbb2222))))
3333 ==== (a(a(a(a2222+b+b+b+b
2222)()()()(aaaa4444----aaaa
2222bbbb2222++++bbbb
4444))))
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Resumen de los problemas segn su dificultad.Resumen de los problemas segn su dificultad.Resumen de los problemas segn su dificultad.Resumen de los problemas segn su dificultad.
Graduar la dificultad de estos problemas
ayuda al alumno a tener confianza en su
propia capacidad de establecer respuestas
acertadas.
DDDDiferenciasiferenciasiferenciasiferencias de cuadradosde cuadradosde cuadradosde cuadrados
DDDDiferenciasiferenciasiferenciasiferencias de potencias paresde potencias paresde potencias paresde potencias pares
igualigualigualiguales (exponentes que sones (exponentes que sones (exponentes que sones (exponentes que son
potenciaspotenciaspotenciaspotencias de 2)de 2)de 2)de 2)
SSSSumasumasumasumas y diferencias de cubosy diferencias de cubosy diferencias de cubosy diferencias de cubos
DDDDiferenciasiferenciasiferenciasiferencias de potencias paresde potencias paresde potencias paresde potencias pares
iiiigualesgualesgualesguales en las que apareceen las que apareceen las que apareceen las que aparecernrnrnrnsumas y diferencias de cubossumas y diferencias de cubossumas y diferencias de cubossumas y diferencias de cubos
SSSSumasumasumasumas de potencias pares quede potencias pares quede potencias pares quede potencias pares que
deben tratarse como sumas dedeben tratarse como sumas dedeben tratarse como sumas dedeben tratarse como sumas de
cuboscuboscuboscubos
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SSSSumasumasumasumas y diferencias dey diferencias dey diferencias dey diferencias de
potencias impares igualespotencias impares igualespotencias impares igualespotencias impares iguales
TTTToooodosdosdosdos los casos anteriores perolos casos anteriores perolos casos anteriores perolos casos anteriores pero
donde las potencias no sondonde las potencias no sondonde las potencias no sondonde las potencias no son
igualesigualesigualesiguales
PPPPotenciasotenciasotenciasotencias pares no igualespares no igualespares no igualespares no iguales
PPPPotenciasotenciasotenciasotencias impares no igualesimpares no igualesimpares no igualesimpares no iguales
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