Regresión Lineal Simple Ing. Luis Pedro Rico Hernández
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Análisis de regresión lineal y correlación lineal
El objetivo primordial del análisis de regresión lineal es estimar el valor de una variable aleatoria (la variable dependiente) dado que el valor de una variable asociada (la variable independiente) es conocido. La variable dependiente también se llama variable de respuesta, mientras que la variable independiente también se llama variable de predicción. La ecuación de regresión es la formula algebraica por la cual se determina el valor estimado de la variable dependiente, o de respuesta.
El termino análisis de regresión simple indica que el valor de una variable dependiente se estima con base a una variable independiente, o de predicción. El análisis de regresión múltiple, se ocupa de la estimación del valor de una variable dependiente con base en dos o más variables independientes.
Diagrama de dispersión
Un diagrama de dispersión es una gráfica en la que cada punto trazado respeta un par de valores observados de las variables independiente y dependiente. El valor de la variable independiente X se identifica respecto al eje horizontal, mientras que el valor de la variable dependiente Y se identifica respecto al eje vertical.
La forma de la relación representada por el diagrama de dispersión puede ser curvilínea más que lineal. En el caso de las relaciones no lineales, un enfoque consiste en determinar un método de transformación de valores de una o ambas variables a fin de que la relación de los valores transformados sea lineal.
Si el diagrama de dispersión indica en general una relación lineal, se ajusta una línea recta a los datos. La ubicación precisa de esta línea es determinada por el método de mínimos cuadrados .
Tal como se indica en el siguiente esquema, una linea de regresión con pendiente positiva indica una relación directa entre las variables, una pendiente negativa indica una relación inversa entre las variables y una pendiente de cero indica que las variables no tienen relación entre sí. Además, el grado de dispersión vertical de los puntos trazados respecto de la línea de regresión indica el grado de relación entre las dos variables.
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La figura incluye varios diagramas de dispersión y sus líneas de regresión asociadas en demostración de varios tipos de relaciones entre las variables.
Método de mínimos cuadrados para el ajuste de un al inea de regresión
La ecuación lineal que representa el modelo de regresión lineal simple es:
Yi= α + βx i + ε
Donde:
Yi = Valor de la variable dependiente en el iésimo ensayo, u observación.
α = Primer parámetro de la ecuación de regresión, el cual indica el valor de Y cuando X=0.
β = Segundo parámetro de la ecuación de regresión, el cual indica la pendiente de la línea de regresión.
xi = El valor especifico de la variable independiente, en el iésimo ensayo u observación.
ε = Error del muestro aleatorio en ele iésimo ensayo u observación.
Donde el error del modelo debe necesariamente tener una medida de cero. Cada observación (xi, yi) en la muestra satisface la ecuación.
Yi= α + βx i + ε
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La ecuación anterior puede considerarse como el modelo para una sola observación yi. De manera similar al utilizar la línea de regresión estimada o ajustada:
ŷ = a + b(x)
Dependiendo del criterio matemático utilizado, para un diagrama de dispersión dado pueden desarrollarse varias ecuaciones lineales diferentes. De acuerdo con el criterio de mínimos cuadrados, la línea de regresión del mejor ajuste (y la mejor ecuación) es aquella para el cual se reduce al mínimo la sima de las desviaciones cuadradas entre los valores estimado y real de la variable dependiente parra los datos muéstrales. La formulas de cálculos por las cuales pueden determinarse los valores de a y b en la ecuación de regresión para la ecuación que satisface el criterio de mínimos cuadrados son:
Estimación de los coeficientes de regresión. Dada la muestra {(xi,yi), i= 1,2,3…n}, las estimaciones de mínimos cuadrados a y b de los coeficientes de regresión se calculan por medio de las fórmulas:
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Ejemplo: uno de los problemas más desafiantes para el control de la contaminación del agua lo presenta la industria del curtido de pieles. Los desechos de esta industria son químicamente complejos. Se caracterizan por valores elevados de en la demanda de oxigeno bioquímico, los sólidos volátiles y otras mediciones de contaminación. Considera los datos experimentales de la tabla, los cuales se obtuvieron de 33 muestras de desperdicios que se tratan químicamente en el estudio “chemical Treatment on Spent Vegatable Tan Liquor”. Determine la ecuación que establece la recta de regresión lineal, realice el diagrama de dispersión.
Al usar la recta de regresión se podría pronosticar una reducción del 31% de la demanda química de oxigeno cuando la reducción total de sólidos es del 30%. Esta reducción del 31% puede interpretarse como una estimación de una nueva estimación cuando la reducción total de sólidos es de 30%.
Tales estimaciones, sin embargo están sujetas a un error. Aun cuando el experimento este controlado de tal forma que la reducción total de sólidos sea de 30%, es probable que no se mida una reducción de la demanda química de oxigeno exactamente igual a 31%. De hecho los datos registrados originalmente muestran que las mediciones de 25% y 35% se obtuvieron para la reducción de la demanda química de oxigeno cuando la reducción total de los sólidos totales se mantuvieron al 30%
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N= 33
b= 0.90364321
a= 3.8296332
Y= 6.54056283
(xi) (Yi) (Xi)(Yi) (Xi)^2
3 5 15 9
7 11 77 49
11 21 231 121
15 16 240 225
18 16 288 324
27 28 756 729
29 27 783 841
30 25 750 900
30 35 1050 900
31 30 930 961
31 40 1240 961
32 32 1024 1024
33 34 1122 1089
33 32 1056 1089
34 34 1156 1156
36 37 1332 1296
36 38 1368 1296
36 34 1224 1296
37 36 1332 1369
38 38 1444 1444
39 37 1443 1521
39 36 1404 1521
39 45 1755 1521
40 39 1560 1600
41 41 1681 1681
42 40 1680 1764
42 44 1848 1764
43 37 1591 1849
44 44 1936 1936
45 46 2070 2025
46 46 2116 2116
47 49 2303 2209
50 51 2550 2500
1104 1124 41355 41086
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Ejercicio 2
Las calificaciones de un grupo de estudiantes en su reporte de medio año (x) y en los exámenes finales (y) fueron los siguientes.
x 77 50
y 82 66
a) Estime la línea de regresión linealb) Estime la calificación de examen
calificación de 85 en el reporte de medio año.
0
10
20
30
40
50
60
0 10
De
ma
nd
a d
e O
xig
en
o Q
uim
ico
%
Línea de Regresión Ajustada
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calificaciones de un grupo de estudiantes en su reporte de medio año (x) y en los exámenes finales (y) fueron los siguientes.
71 72 81 94 96
78 34 47 85 99
Estime la línea de regresión lineal Estime la calificación de examen final de un estudiante que obtuvo una calificación de 85 en el reporte de medio año.
y = 0.9036x + 3.8296
20 30 40 50 60
Reducción de solidos %
Línea de Regresión Ajustada
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6
calificaciones de un grupo de estudiantes en su reporte de medio año (x) y en
99 67
99 68
final de un estudiante que obtuvo una
y = 0.9036x + 3.8296
R² = 0.9129
Series1
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Solución:
(xi) (Yi)
77 82
50 66
71 78
72 34
81 47
94 85
96 99
99 99
67 68
∑=707 ∑= 658 ∑=
N= 9
b= 0.7771416
a= 12.0623211
Y= 78.119357 Calificación
0
20
40
60
80
100
120
0 20
Exa
me
n F
ina
l
Línea de Regresión Ajustada
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(Xi)(Yi) (Xi)^2
6314 5929
3300 2500
5538 5041
2448 5184
3807 6561
7990 8836
9504 9216
9801 9801
4556 4489
∑= 53258 ∑= 57557
Calificación final alumno con 85 en el parcial
y = 0.777x + 12.06
R² = 0.314
40 60 80 100 120
Examen Parcial
Línea de Regresión Ajustada
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7
y = 0.777x + 12.06
R² = 0.314
Series1
Lineal (Series1)
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8
Ejercicio3
Se llevó a cabo un estudio acerca de la cantidad de azúcar refinada mediante un cierto proceso a varias temperaturas diferentes. Los datos se codificaron y se registraron en el cuadro siguiente.
Temperatura, X Azúcar transformada, Y
1 8.1
1.1 7.8
1.2 8.5
1.3 9.8
1.4 9.5
1.5 8.9
1.6 8.6
1.7 10.2
1.8 9.3
1.9 9.2
2 10.5
a) Determine la ecuación de regresión lineal. b) Calcule la cantidad promedio de azúcar refinada que se produce cuando la
temperatura codificada es 1.75.
Azúcar convertida a una temperatura de 1.75
(xi) (Yi) (Xi)(Yi) (Xi)^2
1 8.1 8.1 1
1.1 7.8 8.58 1.21
1.2 8.5 10.2 1.44
1.3 9.8 12.74 1.69
1.4 9.5 13.3 1.96
1.5 8.9 13.35 2.25
1.6 8.6 13.76 2.56
1.7 10.2 17.34 2.89
1.8 9.3 16.74 3.24
1.9 9.2 17.48 3.61
2 10.5 21 4
∑=16.5 ∑= 100.4 ∑= 152.59 ∑= 25.85
N= 11
b= 1.80909091
a= 6.41363636
Y= 9.57954545
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Ejercicio 4
Un comerciante a menudeo llevó a cabo un estudio para determinar la relación entre los gastos de publicidad semanal y las ventas, se obtuvieron los datos.
0
2
4
6
8
10
12
0 0.5
Azu
car
Co
nv
ert
ida
Línea de Regresión Ajustada
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Un comerciante a menudeo llevó a cabo un estudio para determinar la relación entre los gastos de publicidad semanal y las ventas, se obtuvieron los
Costos de
publicidad ($) Ventas ($)
40 385
20 400
25 395
20 365
30 475
50 440
40 490
20 420
50 560
40 525
25 480
50 510
y = 1.809x + 6.413
1 1.5 2 2.5
Temperatura del Proceso
Línea de Regresión Ajustada
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9
Un comerciante a menudeo llevó a cabo un estudio para determinar la relación entre los gastos de publicidad semanal y las ventas, se obtuvieron los siguientes
y = 1.809x + 6.413
R² = 0.499
Series1
Lineal (Series1)
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a) Dibuje el diagrama de dispersión. b) Encuentre la ecuación de la línea de regresión para pronosticar las ventas
semanales resultantes de los gastos de publicidad. c) Estime las ventas semanales cuando los gastos de publicidad ascienden a
$35.
(xi) (Yi) (Xi)(Yi) (Xi)^2
40 385 15400 1600
20 400 8000 400
25 395 9875 625
20 365 7300 400
30 475 14250 900
50 440 22000 2500
40 490 19600 1600
20 420 8400 400
50 560 28000 2500
40 525 21000 1600
25 480 12000 625
50 510 25500 2500
∑= 410 ∑= 5445 ∑= 191325 ∑= 15650
N= 12
b= 3.22081218
a= 343.705584
Y= 456.43401 Donde los costos de publicidad sean $35 dólares
0
100
200
300
400
500
600
0 20 40 60
Series1
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Ejercicio 5
En un estudio acerca de la cantidad de precipitación pluvial y la cantidad de contaminación de aire eliminada, se obtuvieron los siguientes datos.
Lluvia diaria, x
(0.01 cm)
a) Determine la ecuación de línea de regresión para pronosticar las partículas removidas, a partir de la cantidad de precipitación
b) Estime la cantidad de partículas removidas cuando la precipitación pluvial diaria es x = 4.8 unidades.
0
100
200
300
400
500
600
0 10
Ve
nta
s ($
)
Línea de Regresión Ajustada
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En un estudio acerca de la cantidad de precipitación pluvial y la cantidad de contaminación de aire eliminada, se obtuvieron los siguientes datos.
Lluvia diaria, x
(0.01 cm)
Partículas eliminadas, y
(migramos por metro cubico)
4.3 126
4.5 121
5.9 116
5.6 118
6.1 114
5.2 118
3.8 132
2.1 141
7.5 108
Determine la ecuación de línea de regresión para pronosticar las partículas removidas, a partir de la cantidad de precipitación pluvial diaria.Estime la cantidad de partículas removidas cuando la precipitación pluvial diaria es x = 4.8 unidades.
y = 3.220x + 343.7
20 30 40 50 60
Costos de Publicidad ($)
Línea de Regresión Ajustada
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En un estudio acerca de la cantidad de precipitación pluvial y la cantidad de contaminación de aire eliminada, se obtuvieron los siguientes datos.
Determine la ecuación de línea de regresión para pronosticar las partículas pluvial diaria.
Estime la cantidad de partículas removidas cuando la precipitación pluvial
y = 3.220x + 343.7
R² = 0.403
Series1
Lineal (Series1)
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(xi) (Yi)
4.3 126
4.5 121
5.9 116
5.6 118
6.1 114
5.2 118
3.8 132
2.1 141
7.5 108
∑= 45 ∑= 1094 ∑=
N= 9
b=
-
6.32398754
a= 153.175493
Y= 122.820353 Cantidad de partículas removidas a 4.8
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0
Ca
nti
da
d d
e P
art
icu
las
Re
mo
vid
as
mg
/m3
Línea de Regresión Ajustada
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(Xi)(Yi) (Xi)^2
541.8 18.49
544.5 20.25
684.4 34.81
660.8 31.36
695.4 37.21
613.6 27.04
501.6 14.44
296.1 4.41
810 56.25
∑= 5348.2 ∑= 244.26
Cantidad de partículas removidas a 4.8
y = -6.324x + 153.1
2 4 6 8
Cantidad de lluvia diaria 0.01 cm
Línea de Regresión Ajustada
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12
6.324x + 153.1
R² = 0.957
Series1
Lineal (Series1)
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Ejercicio 6
Se presentan datos muéstrales relativos al número de horas de estudio fuera de clases durante un periodo de tres semanas de alumnos de un curso de estadística aplicada a la administración y a sus calificaciones en el examen final de ese periodo. Elabore un diagrama de dispersión para estos datos y determine la ecuación de regresión que establece su linealidad.
Resp. ŷ = a + b(x) = ŷ = 40 + 1.5(x)
Análisis de correlación
Así como el análisis de regresión permite obtener una fórmula que expresa la relación entre dos o más variables, el análisis de correlación obtiene un índice que muestra el grado de relación entre dos o más variables.
El coeficiente de correlación lineal, desarrollado por el matemático ingles Karl Pearson (1857-1936) y conocido con la letra r, puede tomar valores desde -1 hasta +1. Son estos extremos que manifiestan una relación lineal perfecta (negativa o positiva). Según se ejemplifican en los diagramas de dispersión mostrados en el siguiente esquema:
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Procedimiento de análisis de varianza
Con frecuencia el problema de analizar la calidad de una línea de regresión estimada se maneja a través de un enfoque de análisis de varianza. Esto es meramente un procedimiento por medio del cual la variación total de la variable dependiente se subdivide en componentes significativas que se observan y se tratan en forma sistemática. El análisis de varianza es un poderosa herramienta en muchas aplicaciones.
Supóngase que se tiene n puntos de datos experimentales en la forma usual (xi
,yi), y que se estima la línea de regresión . De tal forma que se ha logrado una participación de la suma total corregida de los cuadrados de y , y en dos componentes que deben reflejar el significado particular para el experimentador. Esta participación se indicara simbólicamente:
SST=SSR+SSE
El primer componente de la derecha recibe el nombre de la suma de cuadrados de regresión y refleja la cantidad de variación de los valores de y explicados por el modelo , en este caso la línea recta postulada. El segundo componente es solo la suma de cuadrados del error ya familiar, que refleja la variación alrededor de la línea de regresión.
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Correlación
Por ejemplo, si X y Y representa la longitud y la circunferencia de una clase particular de hueso en el cuerpo de un adulto, se podría llevar a cabo un estudio antropológico para determinar si valores grandes de X se asocian con valores grandes de Y. Si X representa la antigüedad de un automóvil usado y Y su valor en libros, se esperaría que los valores grandes de X correspondieran a valores pequeños de Y, y que valores pequeños de X correspondieran a valores grandes de Y.
El análisis de correlación intenta mediar la fuerza de tales relaciones entre dos variables por medio de un simple número que recibe el nombre de coeficiente de correlación.
Coeficiente de correlación
La constate (rho) ó r2 recibe el nombre de coeficiente de correlación. Es importante la interpretación física del coeficiente de correlación y la distinción entre correlación y regresión. El valor de r es cero cuando no hay regresión lineal, esto es, la línea de regresión es horizontal y cualquier conocimiento de X no es de utilidad para predecir Y. -1 ≤ r ≤ 1. Los valores de r = 1sólo ocurren cuando s2=0, en cuyo caso se tiene una relación lineal perfecta entre las dos variables.
Entonces un valor de r = 1 implica una relación lineal perfecta con una pendiente positiva. Mientras que un valor de r = -1 indica una relación lineal perfecta con pendiente negativa. Se podría decir que estimaciones muéstrales de r (rho) cercanas a la unidad en magnitud implican buena correlación entre X y Y, mientras que valores cercanos a cero indican poco o ninguna correlación. Es común referirse a r como momento de pearson.
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Coeficiente de Determinación
Para valores de r entre – 1 y + 1 se debe ser cuidadoso en su interpretación. Por ejemplo, valores de r iguales que 0.3 y 0.6 significan únicamente que se tienen dos correlaciones positivas, un algo mayor que la otra. Es un error concluir que r = 0.6 indica una relación lineal de dos veces mayor que la indicada por el valor r = 0.3.
Nota: SSR = SST
ó
Entonces r2, a la que comúnmente se le llama coeficiente de determinación , representa la proporción de la variación de Syy explicada por la regresión de Y en x, es decir, SRR. Esto es r2 expresa la proporción de la variación total de los valores de la variable Y que se pueden contabilizar o explicar por una relación lineal con los valores de la variable aleatoria X.
Entonces una correlación de 0.6 significa que 0.36 o 36% de la variación total de los valores de Y en la muestra se deben a una re lación lineal con los valores de X.
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En el ejemplo siguiente se muestra cómo calcular el coeficiente o índice de correlación lineal para un conjunto de datos. Tomando de base el ejemplo sobre la demanda bioquímica de oxigeno.
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SSE SST MEDIA Y VARIANZA DE LOS ESTIMADORES
ŷi=a+b(x) ℓi=yi-ŷi (ℓi)^2 (Y Media) yi-y media (yi-y media)^2 (X Media) (Xi-XMedia) (Xi-XMedia)^2
6.540562829 -1.540562829 2.373333831 34.06060606 -29.06060606 844.5188246 33.45454545 -30.45454545 927.4793388
10.15513567 0.844864328 0.713795733 34.06060606 -23.06060606 531.7915519 33.45454545 -26.45454545 699.8429752
13.76970851 7.230291486 52.27711497 34.06060606 -13.06060606 170.5794307 33.45454545 -22.45454545 504.2066116
17.38428136 -1.384281356 1.916234873 34.06060606 -18.06060606 326.1854913 33.45454545 -18.45454545 340.5702479
20.09521099 -4.095210988 16.77075304 34.06060606 -18.06060606 326.1854913 33.45454545 -15.45454545 238.8429752
28.22799988 -0.227999883 0.051983947 34.06060606 -6.060606061 36.73094582 33.45454545 -6.454545455 41.66115702
30.0352863 -3.035286304 9.21296295 34.06060606 -7.060606061 49.85215794 33.45454545 -4.454545455 19.84297521
30.93892951 -5.938929515 35.27088378 34.06060606 -9.060606061 82.09458219 33.45454545 -3.454545455 11.9338843
30.93892951 4.061070485 16.49229348 34.06060606 0.939393939 0.882460973 33.45454545 -3.454545455 11.9338843
31.84257273 -1.842572726 3.395074249 34.06060606 -4.060606061 16.48852158 33.45454545 -2.454545455 6.024793388
31.84257273 8.157427274 66.54361974 34.06060606 5.939393939 35.27640037 33.45454545 -2.454545455 6.024793388
32.74621594 -0.746215936 0.556838223 34.06060606 -2.060606061 4.246097337 33.45454545 -1.454545455 2.115702479
33.64985915 0.350140853 0.122598617 34.06060606 -0.060606061 0.003673095 33.45454545 -0.454545455 0.20661157
33.64985915 -1.649859147 2.722035204 34.06060606 -2.060606061 4.246097337 33.45454545 -0.454545455 0.20661157
34.55350236 -0.553502357 0.30636486 34.06060606 -0.060606061 0.003673095 33.45454545 0.545454545 0.297520661
36.36078878 0.639211222 0.408590986 34.06060606 2.939393939 8.640036731 33.45454545 2.545454545 6.479338843
36.36078878 1.639211222 2.687013429 34.06060606 3.939393939 15.51882461 33.45454545 2.545454545 6.479338843
36.36078878 -2.360788778 5.573323656 34.06060606 -0.060606061 0.003673095 33.45454545 2.545454545 6.479338843
37.26443199 -1.264431989 1.598788255 34.06060606 1.939393939 3.761248852 33.45454545 3.545454545 12.57024793
38.1680752 -0.1680752 0.028249273 34.06060606 3.939393939 15.51882461 33.45454545 4.545454545 20.66115702
39.07171841 -2.07171841 4.292017171 34.06060606 2.939393939 8.640036731 33.45454545 5.545454545 30.75206612
39.07171841 -3.07171841 9.435453991 34.06060606 1.939393939 3.761248852 33.45454545 5.545454545 30.75206612
39.07171841 5.92828159 35.14452261 34.06060606 10.93939394 119.6703398 33.45454545 5.545454545 30.75206612
39.97536162 -0.975361621 0.951330291 34.06060606 4.939393939 24.39761249 33.45454545 6.545454545 42.84297521
40.87900483 0.120995169 0.014639831 34.06060606 6.939393939 48.15518825 33.45454545 7.545454545 56.9338843
41.78264804 -1.782648042 3.177834041 34.06060606 5.939393939 35.27640037 33.45454545 8.545454545 73.02479339
41.78264804 2.217351958 4.916649706 34.06060606 9.939393939 98.79155188 33.45454545 8.545454545 73.02479339
42.68629125 -5.686291252 32.33390821 34.06060606 2.939393939 8.640036731 33.45454545 9.545454545 91.11570248
43.58993446 0.410065537 0.168153745 34.06060606 9.939393939 98.79155188 33.45454545 10.54545455 111.2066116
44.49357767 1.506422326 2.269308225 34.06060606 11.93939394 142.5491276 33.45454545 11.54545455 133.2975207
45.39722088 0.602779116 0.363342662 34.06060606 11.93939394 142.5491276 33.45454545 12.54545455 157.3884298
46.30086409 2.699135905 7.285334635 34.06060606 14.93939394 223.1854913 33.45454545 13.54545455 183.4793388
49.01179373 1.988206273 3.952964186 34.06060606 16.93939394 286.943067 33.45454545 16.54545455 273.7520661
Σ( ŷi )
SSE= Σ(yi - ŷi) VARIACION TOTAL
Syy= SST= Σ(yi
-YMedia)^2
Sxx=Σ(Xi-
XMedia)^2
1124 323.3273124 3713.878788 4152.181818
Regresión Lineal Simple Ing. Luis Pedro Rico Hernández
19
1. Variación no explicada (SSE) 2. Variación total (Syy) 3. Variación explicada (Syy= SST-SSE) 4. Coeficiente de determinación (R2) 5. Coeficiente de correlación (r) 6. sxx 7. sxy
El 91.29% existe de relación entre las variables
Sxy= Σ(Xi-XMedia)(Yi-
YMedia)
885.0275482
610.0578512
293.2699725
333.3002755
279.1184573
39.1184573
31.45179063
31.30027548
-3.245179063
9.966942149
-14.5785124
2.997245179
0.027548209
0.936639118
-0.033057851
7.482093664
10.02754821
-0.154269972
6.876033058
17.90633609
16.30027548
10.75482094
60.66391185
32.33057851
52.36088154
50.75482094
84.93663912
28.05785124
104.815427
137.84573
149.785124
202.3608815
280.2699725
3752.090909
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