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Análisis Vectorial en
Mathematica
Elaborado por: Miguel Ángel Serrano.
A continuación presentaré el desarrollo de los ejercicios sugeridos
para el laboratorio. El repaso va dirigido a vectores y sus respectivas
operaciones, cambios de coordenadas, integrales de linea y superfi-
cie así como campos vectoriales en electrostática.
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Operaciones Vectoriales
Básicas
Definimos los vectores con los que trabajaremos.
A1 = 85, 7, 1 ê 2<;
B1 = 82, 4, 3<;
a1 = 8Log@2D, π, Sqrt@2D<;
b1 = 8Tan@π ê 8D, E^2, 1<;
Suma y Resta de Vectores.
C1s = A1 + B1
:7, 11,
7
2
>c1s = a1 + b1
:Log@2D + TanB π
8
F, ã2
+ π, 1 + 2 >C1r = A1 − B1
:3, 3, −
5
2
>c1r = a1 − b1
:Log@2D − TanB π
8
F, −ã2
+ π, −1 + 2 >
Producto Interno y Producto Cruz
Para realizar el producto interno (producto punto) utilizamos el comando “Dot[]”.
C1p = Dot@B1, A1D
79
2
c1p = Dot@a1, b1D
2 + ã2
π + Log@2D TanB π
8
F
Para el producto cruz se utiliza el comando “Cross[]”
C1c = Cross@B1, A1D
8−19, 14, −6<c1p = Cross@a1, b1D
:− 2 ã2
+ π, −Log@2D + 2 TanB π
8
F, ã2
Log@2D − π TanB π
8
F>
2 Análisis_Vectorial_Presentación.nb
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Vector Unitario
Para encontrar el vector unitario en la dirección de un vector “V”.
V = 81 ê 2, 9, Sqrt@5D<;
Vu = V ê Sqrt@Dot@V, VDD
: 1
345
, 6
3
115
,
2
69
>
Podemos comprobar que el nuevo vector es unitario y paralelo a “V” calculando su
magnitud y el producto cruz con “V”
Dot@Vu, VuD
1
Cross@Vu, VD
80, 0, 0<Tambien se puede usar la función de Mathematica “Normalize[]”
Normalize@VD
: 1
345
, 6
3
115
,
2
69
>
Análisis_Vectorial_Presentación.nb 3
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Integrando y Derivando Vectores.
Es posible tener vectores como argumento de las funciones para derivar e integrar.
A3@t_D = 8Exp@tD, t^2, 1 + t<;
B3@t_D = 8Cos@π t ê 2D, Log@t + 2D, t^H1 ê 3L<;
Integrando
Integrate@A3@tD, tD
:ãt
,
t3
3
, t +
t2
2
>
Derivando
D@B3@tD, tD
:−
1
2
π SinB π t
2
F,
1
2 + t
,
1
3 t2ê3
>
4 Análisis_Vectorial_Presentación.nb
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Operaciones Vectoriales
Intermedias
Divergencia y Rotacional de un campo vectorial.
Definimos los campos que utilizaremos:
V4@x_, y_, z_D = 8z^2, y^4, x^3<;
W4@x_, y_, z_D = 8Sin@x ê yD, Exp@y^2D, z y<;
Divergencias
Div@V4@x, y, zD, 8x, y, z<, "Cartesian"D
4 y3
Div@W4@x, y, zD, 8x, y, z<D
y + 2 ãy
2
y +
CosB x
y
Fy
Rotacionales
Curl@V4@x, y, zD, 8x, y, z<, "Cartesian"D
90, −3 x2
+ 2 z, 0=Curl@W4@x, y, zD, 8x, y, z<D
:z, 0,
x CosB x
y
Fy
2
>
Análisis_Vectorial_Presentación.nb 5
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Laplaciano de un campo escalar y Vector Normal a una
Superficie.
Procedemos a definir las funciones a utilizar.
Fgl@x_, y_, z_D = x^2 y z + y ê x + 1;
Ggl@x_, y_, z_D = Hx y z L^2;
Laplaciano de un campo escalar.
Laplacian@Fgl@x, y, zD, 8x, y, z<D
2 y
x3
+ 2 y z
Laplacian@Ggl@x, y, zD, 8x, y, z<D
2 x2
y2
+ 2 x2
z2
+ 2 y2
z2
Vectores Normales: Para ellos procedemos a utilizar el operador Gradiente apli-
cado sobre un campo escalar:
Fnor@x_, y_, z_D = Grad@Fgl@x, y, zD, 8x, y, z<D
:−
y
x2
+ 2 x y z,
1
x
+ x2
z, x2
y>Normalize@Fnor@x, y, zDD
: −
y
x2
+ 2 x y z ì . AbsAx2
yE2
+ AbsB 1
x
+ x2
zF2
+ AbsB−
y
x2
+ 2 x y zF2
,
1
x
+ x2
z ì . AbsAx2
yE2
+ AbsB 1
x
+ x2
zF2
+ AbsB−
y
x2
+ 2 x y zF2
,
Ix2
yM ì . AbsAx2
yE2
+ AbsB 1
x
+ x2
zF2
+ AbsB−
y
x2
+ 2 x y zF2 >
6 Análisis_Vectorial_Presentación.nb
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Operaciones Vectoriales
Avanzadas:
Teorema de Stokes:
B@r_, θ_, φ_D = 84, 3, −2<;
RB@r_, θ_, φ_D = Curl@B@r, θ, φD, 8r, θ, φ<, "Spherical"D
:−
2 Cot@θDr
,
2
r
,
3
r
>db@r_D = 80, −r, 0<;
RBdb = Dot@RB@r, θ, φD, db@rDD;
Integrate@RBdb, 8r, 0, 2<, 8φ, 0, π ê 2<D
−2 π
dl1 = 81, 0, 0<; dl2 = 81, 0, 0<; dl3 = 80, 0, 2<;
Bdl1 = Dot@B@r, θ, φD, dl1D;
Bdl2 = Dot@B@r, θ, φD, dl2D;
Bdl3 = Dot@B@r, θ, φD, dl3D;
Integrate@Bdl1, 8r, 0, 2<D + Integrate@Bdl2, 8r, 2, 0<D + Integrate@Bdl3, 8φ, 0, π ê 2<D
−2 π
Teorema de la Divergencia:
a@ρ_, φ_, z_D = 8ρ^2, 0, 2 ∗ z<;
DA@ρ_, φ_, z_D = Div@a@ρ, φ, zD, 8ρ, φ, z<, "Cylindrical"D
2 + 3 ρ
Integrate@DA@ρ, φ, zD ∗ ρ, 8ρ, 0, 5<, 8φ, 0, 2 ∗ π<, 8z, 0, 4<D
1200 π
da1 = 80, 0, ρ<; da2 = 80, 0, −ρ<; da3 = 85, 0, 0<;
Ada1 = Dot@a@ρ, φ, 4D, da1D ; Ada2 = Dot@a@ρ, φ, 0D, da2D ; Ada3 = Dot@a@5, φ, zD, da3D ;
Integrate@Ada1, 8ρ, 0, 5<, 8φ, 0, 2 ∗ π<D +
Integrate@Ada2, 8ρ, 0, 5<, 8φ, 0, 2 ∗ π<D + Integrate@Ada3, 8φ, 0, 2 ∗ π<, 8z, 0, 4<D
1200 π
Graficando Campos y Superficies Equipotenciales:
v@x_, y_D = 3 ∗ y ê Hx^2 + y^2L^H3 ê 2L;
Análisis_Vectorial_Presentación.nb 7
g1 = ContourPlot@v@x, yD, 8x, −10, 10<, 8y, −10, 10<D
-10 -5 0 5 10
-10
-5
0
5
10
Elec@x_, y_D = −Grad@v@x, yD, 8x, y<, "Cartesian"D
: 9 x y
Ix2
+ y2M5ê2
,
9 y2
Ix2
+ y2M5ê2
−
3
Ix2
+ y2M3ê2
>
g2 = StreamPlot@Elec@x, yD, 8x, −10, 10<, 8y, −10, 10<D
-10 -5 0 5 10
-10
-5
0
5
10
Show@g1, g2D
-10 -5 0 5 10
-10
-5
0
5
10
8 Análisis_Vectorial_Presentación.nb