1. Hallar el área que hay entre las gráficas de f ( x )=x2+2 y g ( x )=1−xentre x=0 yx=1.
Verifiquemos puntos de corte:
x2+2=1−xx2+ x+2−1=0x2+ x+1=0
x1,2=−b±√b2−4ac
2a
x1,2=−1±√12−4(1)(1)
2(1)
x1,2=−1±√−3
2
No hay soluciones en los números Reales, luego las gráficas no se cortan por lo tanto:
A=0unidades cuadradas.
2. Hallar el área de la región limitada por las gráficas de f ( x )= (x−1 )2 y g ( x )=−x+3.
Hallemos los puntos de corte de las dos gráficas:
( x−1 )2=−x+3x2−2 x+1=−x+3x2−2 x+x+1−3=0x2−x−2=0(x−2)(x+1)=0x=2⇒ y=1x=−1⇒ y=4
Hallemos el área:
A=∫−1
2
[ (−x+3 )− (x2−2x+1 ) ]dx
A=∫−1
2
(−x+3−x2+2 x−1 )dx
A=∫−1
2
(−x2+x+2 )dx
A=(−x33 + x2
2+2x )| 2−1
A=(−23
3+ 2
2
2+2(2))−(−(−1 )3
3+
(−1 )2
2+2 (−1))
A=(−83 + 42+4)−(13 + 1
2−2)
A=92unidades cuadradas
3. Hallar el área de la superficie lateral del sólido que se obtiene al rotar la gráfica de y=2√ x entre x=3 yx=3 alrededor del eje X.
A=2π∫a
b
f (x)√1+( f ' (x ))2dx
f (x)=2√ x
f (x)=2x12
f ' ( x )=22x
−12 dx
f ' ( x )= 1
√xdx
( f ' (x))2=( 1√ x )2
( f ' (x))2=1x
A=2π∫3
8
2√x √1+ 1x dx=4 π∫38
√x √ x+1x dx
A=2π∫3
8
2√x √1+ 1x dx=4 π∫38
√ x ( x+1 )x
dx
A=2π∫3
8
2√x √1+ 1x dx=4 π∫38
√( x+1 )dx
u=x+1du=dx
Límites:
x=3⇒u=4x=8⇒u=9
A=2π∫3
8
2√x √1+ 1x dx=4 π∫49
√udu
A=2π∫3
8
2√x √1+ 1x dx=4 π∫49
u12du
A=2π∫3
8
2√x √1+ 1x dx=4 π ( u12+1
12+1 )|94
A=2π∫3
8
2√x √1+ 1x dx=4 π ( u32
32
)|94A=2π∫
3
8
2√x √1+ 1x dx=4 π ( 23 u32 )|94
A=2π∫3
8
2√x √1+ 1x dx=8 π3 [932−4 32 ]A=2π∫
3
8
2√x √1+ 1x dx=8 π3 [33−23 ]
A=2π∫3
8
2√x √1+ 1x dx=8 π3 [27−8 ]
A=2π∫3
8
2√x √1+ 1x dx=8 π3 [19 ]
A=2π∫3
8
2√x √1+ 1x dx=152π3 unidades cuadradas
4. Hallar la longitud de y= x3
6+ 12 x
entre x=1 yx=3.
L=∫a
b
√1+( f ' (x))2dx
f ( x )= x3
6+ 12 x
f ( x )= x3
6+ x
−1
2
f ' ( x )=3 x2
6+(−1)x−2
2
f ' ( x )= x2
2− 12 x2
( f ' (x))2=( x22 − 12 x2 )
2
( f ' (x))2=( x22 )2
−(2 )( x22 )( 12x2 )+( 12 x2 )2
( f ' (x))2= x4
4− (2 )( x22 )( 12 x2 )+ 1
4 x4
( f ' (x))2= x4
4−12+ 14 x4
L=∫1
3
√1+ x44 −12+ 1
4 x4dx
L=∫1
3
√ x44 + 12+ 1
4 x4dx
L=∫1
3
√ x8+2 x4+14 x4dx
L=∫1
3 √ (x4+1 )2
4 x4dx
L=∫1
3x4+12x2
dx
L=∫1
3
( x42x2+ 12 x2 )dx
L=12∫1
3
(x2+x−2 )dx
L=12 ( x33 + x
−1
−1 )|31L=12 ( x33 −1
x )|31L=12 [( 333 −1
3 )−(133 −11 )]
L=12 [ 273 −1
3−13+1]
L=12 [10−23 ]
L=12 [ 283 ]
L=143unidades
11. Dadas las funciones demanda D ( x )=50− x2
2 y oferta S ( x )=26+x, el excedente
del consumidor en el punto de equilibrio es:Hallemos el punto de equilibrio:
S ( x )=D ( x )
26+x=50− x2
2
Multiplicando la ecuación por 2 tenemos:
52+2 x=100−x2
x2+2x+52−100=0
x2+2x−48=0
( x+8 ) ( x−6 )=0
x=−8˅ x=6
Tomamos la solución x=6
S (6 )=26+6=32
Luego el punto de equilibrio será: (Q ,P )=(6,32)
Para calcular el excedente del consumidor (E.C) usamos la ecuación:
E .C=∫0
Q
D ( x )dx−Q .P
E .C=∫0
Q
D ( x )dx−Q .P
E .C=∫0
6
(50− x22 )dx−¿ (6 ) (32 ) ¿
E .C=∫0
6
50dx−¿∫0
6x2
2dx−¿192¿¿
E .C=50∫0
6
dx−¿ 12∫0
6
x2dx−¿192¿¿
E .C=[50 x− x36 ]60−192E .C=[(50 (6 )−6
3
6 )−(50 (0 )−03
6 )]−192E .C=264−192
E .C=72
12. Hallar el Excedente del Productor (E.P), el Excedente del consumidor (E.C) y
el Punto de Equilibrio (P.E) de S ( x )=x y D ( x )=−x3
+4.
Hallemos el punto de equilibrio:
S ( x )=D ( x )
x=−x3
+4
x+ x3=4
3x+x3
=4
4 x3
=4
x=4( 34 )x=3
S (3 )=3
Luego el punto de equilibrio será: (Q ,P )=(3,3)
Para calcular el excedente del productor (E.P) usamos la ecuación:
E . P=Q .P−∫0
Q
S ( x )dx
E . P=Q .P−∫0
Q
S ( x )dx
E . P=(3 ) (3 )−∫0
3
xdx
E . P=9−[ x22 ]30E . P=9−[ 322 −0
2
2 ]E . P=9−9
2
E . P=92=4,5
Para calcular el excedente del consumidor (E.C) usamos la ecuación:
E .C=∫0
Q
D ( x )dx−Q .P
E .C=∫0
Q
D ( x )dx−Q .P
E .C=∫0
3
(−x3 +4)dx−¿ (3 ) (3 ) ¿
E .C=[−x26 +4 x ]30−9E .C=[(−326 +4 (3))−(−026 +4 (0))]−9E .C=−9
6+12−9
E .C=−32
+3
E .C=32=1,5