8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 1/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 2/206
0 0
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 3/206
01234567
8 9 9 9 9
8 9 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 ! " # $ # % & ' ' ( 8 ) * 9 * 9 + 9 9 9 , - . / - : ; - : - < : = : > ? 9 @ A * + 8 ) 9 B C D E F 9
G 9 9 9 H + I 9 D )
E 9 9 J G 9 + K 9 9 + L D K 9 9 M N O 8 P A Q R 9 9 S S 9 9 T 9 * D 8 9 D 9 H U + H V * S 9 9 + ) 9 + 9 > R ? 9 9 8 9 9 + > 9 >
9 9 9 D + ?
T > 9 W 9 > 9 * X ) 9 ? 9 S G K F 9 N H Y Y Z * H V [ I Q 9 D ? S 9 ? \ ] ^ 9 9 9 9 9 > > * D 8 9 F > D 9 > 9 9 9 ^ 9 9 > 9 9 S 9 E 9 9 ? > 9 W W _ + J
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 4/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 5/206
012345678759
! "
# $ % & ' " ( ) ) * + ( ) ) , '
- . / . . : ; < = . > > < ? / ; . . / = > @ A > . > B
C
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 6/206
0 0
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 7/206
0123456762689
1 1
! " # $ % & # " ' ( & ) * + , % - $ & ! * + ! & ) & + . / " * $ + ( & ' - & ! * * $ ! ' " % * , ( & ) * + , % - $ & ! * + ! & ) & + . / " * $ + ( & * ! ( & , * + / " * $ + ( & * ! ( & , & + * ) - ' " % * , ( & & ' - ' " * , & + ( & ! ( * $ * ! - & - , * & + " - ) ( ( & + & " , & ' - ' " * , & + : ; , ( " + # , ' " & , . & ) < ) * ! = + * ) - # * > > ' * , # " , - " ( ( ( & . & ) ? / " * $ ( & ) @ - ! & $ * > A B C D E F G E D D H H I J
%K $ " # & + ( & L - , ' " * , & + , - $ %& ! " ' + ( & < ! " = ) & ( " + ' ! & # A
+ < ! " = ) & + ( " + ' ! & # + & ) ' * , M - , # * N A @ - ' & + " * , & + $ * , % * # * , + , * ' * # ( + : @ - ' & + " * , & + $ * , % * # * , + ' * # ( + O > @ - ' & + " * , & + ' * , < & ! & , # & + , * $ * , % * # * , + O A % K $ " # & + ( & ! & L & ! & , ' " P P Q M & ! ' " ' " * + ! & + - & ) # * + P : Q M & ! ' " ' " * + ! * - & + # * + R O + L - , ' " * , & + , - $ % & ! " ' + ( & < ! " = ) & ' * , # " , - & S , " ' " * , & + = % + " ' +
& ! & + & , # ' " % * , ! % S ' ( & L - , ' " * , & + P
Q M & ! ' " ' " * + ! & + - & ) # * + R
> Q M & ! ' " ' " * + ! * - & + # * + > %K $ " # & + ( & L - , ' " * , & + , - $ %& ! " ' + ( & < ! " = ) & ' * , # " , - > R > % K $ " # & + " , S , " # * + ' - , ( * T U T ' ! & ' & " , ( & S , " ( $ & , # & > R > % K $ " # & + " , S , " # * + & , - , < & ' " , ( ( ( & - , - , # * > > %K $ " # & + S , " # * + ' - , ( * T U T ' ! & ' & " , ( & S , " ( $ & , # & > O > > % K $ " # & + S , " # * + & , - , - , # * U
V
A W W W
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 8/206
0 1 2 3 4 5 3 6 7 8 7 4 7 9
! " # $ % ! ! & ' ! ' ' ( ) ! * + , " ' ! ' ) - $ * . ' ! ' ' ! ( ! * * / *
: ; < = > ? @
, 0 ' % + ,
, A ! ( ! B ) % ! + , " # % ' ! ( ! B ) % ! + , . ' ! ' $ % ! ! ' C + , , & % ! ' - ! ) % ! ! ' ! ( C + / , & C B ' ! ( C , A ! ( ! B D ! B D ! C ! , , + , , * ,
, , A % E ) C ' ! ' ' ! ( B ) % !
, , A % E ) ' ( ! ' ! ( !
, , , , , , , & ' ! ' ' ! ( ! , , A ! - ! ' ! ( ! , , , . $ ) ! , , . $ ) ! , % F ! C A B ! ) , . ! ' F , . ! ' F ! !
, , . ' ! ' ' ! ! ' F ! ! *
, A % ) ! ! /
, A ! ( % F ! + , * + , % A B ! ) * + , * G ! % ! ' ( ( F ! * , * , A ! ( H $ % ! *
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 9/206
0 1 2 3 1 4 5 6 5 2 5 7 8 9
! ! " # $ # ! ! % & '
( ) * + , - . / + , + + / + / - : ; < = > ? @ A B < C D E F @ @ @ A < = C D A < G F F ? H <
< @ @ @ ? I F ? H A
< < @ @ @ @ = H
< B J K ? = = < L J K ? = < M @ @ @ @ < = N F < C @ @ @ ? I F ? < < J K ? < < J K ? < < < O > P I @ Q R S ? < < B O > > P T D @ L H
< L O > > > P O @ H
< L = J F ? @ T F ? U O U ? H
< L O @ @ @ ? I < H < L O @ @ @ F ? < < L < V W @ @ @ < B H < O > P F @ F W F E F U F < L < < O P X Y @ F E @ < < = X Y @ F < < C < < < A O > P G U @ F F ? < A
; ) * + / Z - [ . + / , - \ / , + ] ^ + , - . / _ / Z / + ; ` a
B = ? I @ D @ E @ @ B H =
B = = ? I @ D @ B H = B = G F @ ? I B H B = M @ @ F ? @ ? I @ D @ B H B B = < J K ? B = B G F @ @ B = B = J K ? B = A
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 10/206
0 1 2 3 4 5 3 6 7 8 7 4 7 9
1
! " # # " ! " # " # 1 $ $ 1 $ 1 $ 1 " % $ $ 1 & # ' ( ) # * + " $ $ $ , - # # 1 '
1 " #
1 . /
/
: ; : < = > ? $ 1 * @
A
B C $ , - # # D E F G H I J K L M N O J P Q J R M H H S E T D 1 D D U " V " * # D W D X " " V " # C Y D Z # 1 V " D
D $ [ " \ " X D W
] F ^ _ N Q ` M ` Q a H J b O J N M Q H I J K L M N E c d C X D W C X D W C X # D C X # " D D C X % D D C X % D D C X % # # " D Y C X % # D D
C 0 " * # e % D D Y
C f D D Y C f g D D W C h # e % D C C $ 1 + # " D Y C $ 1 + # D Y C $ ! " " D Y D
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 11/206
0 1 2 3 1 4 5 6 5 2 5 7 8 9
! " # $ $ % & ' & ( ) * + , - . * / , - / & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & % & ' & ' & ( ) * + , - . * / , - / * , * , - . - / * & & & & & & & & & & & & & & & & & & % & ' & & , * - * / * . - / ( ) * + , - . * / , - / * , * , - . - / * & & & & & & & : ; % & ' & < & ( ) * + , - . * / , - / * / * + = ( - . - / * & & & & & & & & & & & & & & & & & : ; : % & ' & > & ? ( @ * , + * ( - - A / . = ) - & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & : ' < % & ' & B & C ) , / , ) * , / & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & : ' > % & ' & & D - E = ( F ( G - - & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & : '
% & ' & : & D - E = ( F ( H * ) - & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & : ' :
% & & I * , * / J = F * , - / & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & : > ;
% & & ' & ? ( * ) / + * ( * , - . * / & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & : > ; % & & & I * , * / * ) F* , ( / / ) @ / & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & : > % & & < & I * , * / * ) F * , ( / - . ) * , ( - / K , ) * , * D * A ( L & & & & & & & & & & & : > % % & & > & ? ( @ * , + * ( - - A / . = ) - M ( ( - . * / * , * / & & & & & & & & & & & & & : B ; % & & B & N = . ) . - F ( * / * , * / * ) F * , ( / / ) @ / & & & & & & & & & & & & & : B < % & & & N = . ) . - F ( * / * , * / * ( + * ( * , - . & & & & & & & & & & & & & & & & & & & : B B % & & : & ? , ) * , / F - / * / * F O P / & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & : B % & < & I * , * / * ) * ( - / & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & : : B % & < & ' & I * , * / * Q = ( ( * / & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & : : B
% & < & & , * - * / * . - / / * , * / = ( E , * * ( ) * ( @ * , + * ( ) * / & & & & & & & & : :
% & < & < & I * , * / * ) * ( - / & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & : % '
% & > & R * , * - * R - M . , & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & % ; ; % & > & ' & ? F - . = . * . ( / M / * , * / * R - M . , - , - E = ( ( * / * . * * ( ) - . * / % ; < $ S T U ! V W X & ' & ( ) , = F ( & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & % ' & & , * . ( - , * / & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & % < & & ' & Q = ( ( * / - , * / * - , * / & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & % < & & & Q = ( ( * / * , F - / & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & % & & < & Q = ( ( * / ( ) ( = - / M * , @ - A . * / - ) , - / & & & & & & & & & & & & & & & % %
& & > & Q F , = . - / ) , + ( F * ) , - / & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & % < ;
& & B & Q = ( ( * / , ) + ( - . * / M . - / * , * * Q = , * ,
% < ' & & & D - / * , * * Q = , * , . - * Y , - , Z - F ( * ( * - = - , F - ) - % < < & < & I * , * / * Q = , * , - , - E = ( ( * / * , F - / & & & & & & & & & & & & & & & & & & & % < > & > & [ * / + = - . - * H * / / * . & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & % < % & B & Q F , = . - * [ , \ . * ) & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & % > ; & & ] ( , * / = . ) - * ( @ * , + * ( - & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & % > >
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 12/206
0 1 1 1 2 3 4 5 3 6 7 8 7 4 7 9
! " ! # ! $ 1 % & ! ' ( # ! ) * + , ! , - ! . ! ) ' + ! # ! , / ) ) ) ) $ ! , / ! ) ' / % ' * , % + *
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 13/206
012345636789
! " # ! $ ! % # & ' # $ $ $ " ( ) ! * $ + , - . /
- ( ) ! * $ + , - . / -
) ! * $ + , - . / - - ) ! * $ + +
:
; & ) ! * $ < ( ) ! * $ = / - > = / -
= / ? - &
) ! * $ @ ! + , - . /
-
-
; A # $ $
A # $ @ $ ) ! * $ + $ $ $ -
B
C !% # * $ $ $ -
B
D # # $ " @ $ " & ( ) ! * $ E , - . / -
&
) ! * $ + , - . / -
F
- G
; C ! % # $ - H I J $
- K ! % L M $ + , - . / - G - N O $ ! % # P @ ! ! $ * $ ! " # ! $ ! % # ) ! * $ = / -
G - & Q
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 14/206
0 1 2 3 4 2 5 6 4 6 7 2 8 9
! "
" #
" $
! " " % & '
!
(
! & ) # $ * ! '
& %
! ! & ' ' )
! +
& +
' , - . / . - . - . - & %
' - . - # ' ' : ; - < = . # ' + = . # ' ' - . - - # ' " # & ' & # # ' # # % ' % % + ) > ? - - - / - . @ - % "
+ > ? - - - / - . @ - % &
' A . - - . / - . ) + ' - ? - - . ) ' ' A - . - - - ) " ' + B / - . - - C - - @ - . ) & ' B - / - ? - - . - . ) % ' " D E - ) ' & F . - ) ' # A - ' % > ? - - G -
' ) > ? - - G '
' > ? - - G . - +
' > ? - - G . - ' ' > ? - - G " ' + > ? - - G & ' , - . / . - . & ' " A H C # ' & I - - - J - K L '
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 15/206
0 1 2 3 1 4 5 3 5 6 1 7 8 9
! " # $ % & ' ( ) * ! " # * $ & ! + ! $ ! # , - ! . ! + ! / ! " # $ & + # ! " ( $ ! ! ! " " ! $ / $ ! ! + $ " $ ! $ / $ ( + + ! $ / )
+ + ! $ / )
" + ! " ! ! !
) : $ & & ; / $ + . ! + < " # =
> ? @
A % & ' : B + # ! A % & ' : $ & : ! & ( B + # ! A % & ' : $ & B + # ! A % & ' : & $ &
B + # ! C % & ' :
&
$
&
( D ! " # $ & E $ " . + $ !
: $ % & ' : $ % $ & ' ) B + # ! F
>
( B + # ! G H & I
>
( ( B + # !
>
E
J >
( B + # !
K
% & ' L " $ M + / # ! $ ( L " $ M + / # ! $ . + $ ! $
+ + ! # # + ! ! + . ! ! ) )
N ! ! ) N ! + ! ) + ! N + + ! # # + ! + ! . ! + ( L " # + . ! ! $ . !
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 16/206
0 1 1 2 3 4 5 3 6 7 5 7 8 3 9
! " # $ # % & ' ( # ' & ) * + , ( ) - ( . / ( ) ( . / ! * * % ( - * & $ . / & ( * & $ . / & ( * & $ . / & % * & $ . / & % * & $ . / & ( * & $ . / & (
* & $
:
;
<
*
* ! & $
*
:
;
<
+ = & % ' & ) * = ) ' & ) & $ . /
<
> * & $ . /
<
<
> * = & % ' = ) ' ! & $
?
<
; ;
+
= & % ' *
& $ . /
<
:
<
; ! = & % ' + & $ . / (
<
; ( > * = & % ' & $ . / * (
?
> * (
?
@ ( % % & ( A % ( * B C @ *
B % D A ( A & ' & #
B % D A ( A & ' & #
B % E # ' & A & ( & % ( ! B % D A ( A & ( A % ( + = & & ( * F ' A ( F ' A ( ( ! +
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 17/206
0 1 2 3 1 4 5 3 5 6 1 7 8 9
! " # $ % & ' (
)
* + % , (
)
* - + % . +
)
* ( ' +
)
* - ( ' % / # % # / $ % $ # / .
% # ! /
%
% % $ % ' # # ! ! ! $ % , # ! " ! % . ' % , ' / . ' ' $ # ! : $ ' ' $
' .
' % .
' ' # # # ! ! / ' , # ; ' ' . < # . ' = , / # , # # # ! ! % / , $ % , % , , % .
, % % .
, ' %
, , % , . ' / , ' / . / ' / . ' . $ '
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 18/206
0 1 2 3 4 5 6 4 7 8 6 8 9 4
! " ! # $ % & ' ( ' ) * + , - . ' + & - % / $ . * ' * . ' * % - ( & * - + ' ( $ & $ , - - % * + * ' % ( + - % - + ( ' $ , - % $ , ' * %
% ) $ : ( * , - + $ - . ' ; -
)
< % - $ ( * ; % - + , ' , $ - + & % - " =
> ? @ ?
% ) $ : ( * , - . ) $ % - $ ( * ; % - + , ' , $ - + & % - A - + A - . - B - C ( * + D E F G H % ) $ : ( * , - . ) $ % - $ ( * ; % - + , ' , $ - + & % - - + * I ( * - + * - + & % - I G % ) $ : ( * , - . ) $ % - $ ( * ; % - + , ' , $ - + & % - - + I A ( * A ( * + - + & % - I G % ) $ : ( * , - . ) $ % - $ ( * ; % - + , ' , $ - + & % -
J
K
L I . $ % - ( & $ " I % ) $ : ( * , - . $ % - $ - + ( - % % $ , $ - + & % - - . - B - C -
J
"
M
% ) $ : ( * , - . ) $ % - $ $ ( * & $ , $ ; * % ; * % . $ ( % / $ =
@
=
> @
I . $ % - ( & $ " I % ) $ : ( * , - . $ % - $ - + & % - ( * N -
< & % * ' , -
' ( . * ' , -
O - . & * ' , - % ) $ : ( * , - O $ & * P - Q . $ , - R ' ; * + % ) $ : ( * , - A
S T
U ! A
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 19/206
0 1 2 3 1 4 5 3 5 6 1 7 8 9
! " # $ % " & '
( ) * + , - . / , , , . , . ! " # $ , - : ; , , ! " # $ " " , < + ) = * = + , ,
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 20/206
01234 5 5 5
6787 5 5 5
9
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 21/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 22/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5172821
9 5 1 7 2 8 2 1
! " # $ % % & ' % % $ ( $ % ) * % ) * " + * % , ) * % * ! - " ! ! , . / * " $ % * % % % % * $ ' " $ % * % ! ! % ! * ! % % ' ! ! " % " % ! " % . " ! $ % : ; < = < : * " + * % " ! - " ! * " ! - " ! % > % ! * " % + ! $ % % * % ? @ A B C D @ E F D C G B F E @ A B C G B F H
9 5 1 7 2 8 2 1 I 2 1 J 7 1
K % % ! ! % ' " % ) * " ! % ! " L % ! * ! - " M . N ! " % $ ' ! ' % % ! ! - " % % ' ! $ ! " % O P Q R = S T U T U V . W " + * X ? F D C G B F Y Z % * + * ! " F D C [ @ > ' ! [ \ F D C G B F > % $ % ? ]
^ _
` X a b c d b e " ( $
f g ^ _
]
f
` X a b c d b C
* % " ( $ h % .
i . W " + * X ? @ A B C D @ Y Z % ! " F [ C D @ ' ! [ \ @ A B C D @ > % $ % ? ]
` j _
X a b c d b e " ( $
f g j _
]
` f
X a b c d b C * % " ( $ h % . k l l
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 23/206
0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 7 3 9 6 4 4 6 3 6
! " # $ % & $ ' ( ) * + , - * . / ) * + , * + +
, * / * + . / . +
: ; < = ; >
?
: ; < = ; @ * , * + * A + !
?
: ; < = ; B
: ; < = ; &
?
: ; < = ; C D + , , * / , E * . * * * , / + *
F
: ; < = ; C G H I J K L M N O P Q R S T U T V D + . / , , * , / - * * A * , * / . / . + E / * , * W
/ * + . / . , ) * . * * * . , * * X / Y * / * + , * Z + , / . ,
[ > + . + W . / A Z / + * + W - * [ \ C D , * + @
: ; < = ; B
]
: ; < = ; &
]
: ; < = ; ^ + _ @
]
: ; < = ; * + , * @ > . / , , @ , * /
: ; < = ; , E * * + , * G H I J K L M N O P Q R S T U T ` * + , * * _ , * _
a b ?
a
: ; < = ; B
?
: ; < = ; @ / * + - *
, * /
?
: ; < = ; * + Y * / * , * c * * / @ + * + , * _
a b ?
a
: ; < = ; B
: ; < = ; @ / * + - * , * /
: ; < = ; * + Y * / * , * d + _ , * + - * * A * + , * / * + . / . + * * A e f f @ * + , * / * + - * + , * / * + Y * / * g h J i j k Q S T U T l * ! ' f % $ ' ( ) , - * : ; < B f ;
m
C ^ * + * + , * * , * / * + E / * +
?
n
: ; < = ; B
?
n
;
m
= ; B _ a b
a
n
= ; ;
m
B _ a b ? # f ; o o o
a
n B _ a b ? p # f q & f r B f C
g h J i j k Q S T U T s ^ * + Y * / * * , * /
?
t
u
v
= ;
? t
u
v
= ; B _
a b ?
a t
u
v
= ; B _
a b ?
w # u
v
o o o
a t
x B _
a b ?
' f # u
a
" B f C
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 24/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 6 3 8 3 9
! " # $ % # & ' ( & & ) & * + ! , $ & ' & - . ! # / . & ! & ) & * + ! , , ' " ( # ( % &
% ' . & ! . " . " & " + . - . % " . - ! , " - # ( & - # , " & , ' & - $ & ' # . : ; < # = > ? @ A B & ' ( , ' & " ! . # ' ( & $ - . ! # * + - , + # . & + - # * & - . ! . " & C
D E
F
G
H
I G J K L M =
N O H
? P " # ? > Q R " # ? S T ' & U & ( , B < # ? J C
D E
F
G
I G J ! V W *
X Y D E
Z ! ' [ P ! ' = \ J Q R T
< # ? ] J C
X F
G
H
I G J G
O H D N
P ? Q ^ ^ ^ ^ ^
X F
J [
N O H
P ? P =
N O H
P ? T ' ( , ' & " B C
D E
F
G
H
I G J ! V W *
X Y D E
_ [
N O H
P ? P =
N O H
P ? ̀J =
N O H
? P Q P ? ! V W *
X Y D E
[
N O H
T Z \
! V % ! ( # * , ! V W * # ( & & ! . & % . # V , ' ( # & ' & # " ( # ' ( , . ! , - " & $ V % ' ? " & . * . , - , * & ' , -
a % &
b < # ? > c & ' & " ( & . " , P ? d B . " V W ! V W *
X Y D E
[
N O H
J ! V W *
X Y D E
[
H O N
J T b < # ? d c & ' ( , ' & " B P ? > B . " V W ! V W *
X Y D E
[
N O H
J Q R T : e f . " , " + . - ( # % ! . - & " & ! & ) & * + ! , g " , ' c
C
D E
h
G
i
I G J
j
N O i
k P
J
T
C
D E N l h
G
i
I G J Z m j \
N O i
k P J j T C
D E
h
n
o G I G J Q R T
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 25/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
! " ! # $ % " ! & ! & ' " !
( ) * + , - + . / ) / * ) * . ) * / ) . / , ) . / ) * / / : . / / ; / . ) / + , - / * - * / + ) * ) , ) < . / ; ) ) * . / , ) / * . + , - + . ) * = > - , / ? / + - @ A = B C D E F G C H F H I J . K L M * - . / , ) / * / N O P Q N + ) , ) - - Q R S ; Q T O L * . * U * , / * + / V . W ) * . / , ) / * . + , - + . ) * * - , / N O P X Y N * - - W / , / / * ; / - / * ) . / / : . * / V / * / . , V / * - W / , / / ) . / , ) . + , - + . ) / Z K X [ M * - , / N O P X Y \ U ) / * ] U . / , ) * / ) - * U / , - * , / ) / * Z L [ L * / U + / ) . U ) ) @ ^
_ `
a
b Z K X [ M c b d c e d f Z ^
_ `
a
K b d c e d X [ ^
_ `
a
M b d c e d g
2 = h E i G F H E j F k k l m J . K @ N O P X Y N n S / * U ) o U . - - . U ) / N O P X Y N L * . p @ N O P X Y \ n S / * U ) + , . . . W ) / K / N O P Q \ + ) , ) - - Q R S ; Q T O L * . ) . / , ) / K * - , / N O P X Y N / : . * / ; * / U + / ] U / @ ^
_ `
a
K b d c e d f <
q r _ `
b p b Q c s p b O c c f p b d c t t t t
_ `
a
u = v F w x C l H E y F k C F x G E I
J . K @ N O P X Y N n S / * U ) o U . - - . U ) / N O P X Y N L * . z @ N { P | N n S / * U ) o U . - - / , . W ) ) - . U ) / N { P | N } ~ - / s Y { | X Y } L * . ) / ) * z b { c f O P z b c n
P U ) - n |
L * . z b N { P | N c f N O P X Y N ; / - / * @ ^
_ `
a
K b d c e d f ^
K b z b c c z
b c J . U ) / ) * . / , ) / * / * - W / , / / b . W / , / / c ; ) - , ) ) . / - / * =
= D E i k F C l D l k F k E I J . K P M * - - * o U . - / * - / , . W ) ) * - . U ) * /
N O P X Y N L * - - W / , / / * - * / - * , / * / , . - * * . U . / / * ; / - / * @
^
_ ` a
K b d c M
b d c e d f K b d c M b d c t t t t
_ ` a
s ^
_ ` a
K
b d c M b d c e d x E k F C l D - ) * ) * + , - + . / ) / * ) / , . - , / * * - W ) . ) * + ) , ) . / , ) / * * - , / . / , W ) - * / . + - \ s Y P O \
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 26/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 27/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
! " # $ % & % ' ( " # $ ) * % + % , % ' # $ - . # ! / ! * - . # ! * $ - , % ' # $ . # ' # ! / % , - "
% , % % , % ! . - " - + $ / - % ! % " % & % ' ( " # 2 ) * % % $ * ! - ! / % , - " . # ! + % , % ! / % : ; - ! / % , - " < =
> ?
@ A B A
C
% $ . # ! + % , % ! % % . / # A
C
D 1 E F # , / - ! / # 1 G A
C
G B A
C
H 1 G B A
C
G A
C
H =
>
?
@ A B A
C
G =
>
?
@ A A
C
I J K : ; - ! / % , - " =
L >
?
M $ % ! A M A
C @ A
% $ . # ! + % , % ! / % N $ - ! # % " . , / % , # % . # ' ( - , - . # ! / % ! % ' # $ <
M $ % ! A M G H M $ % ! A M A
C
G A
C
H =
L > ?
$ % ! A A
C
@ A G =
L > ?
M $ % ! A M A
C
@ A G =
L > ?
A
C
@ A J O # ' # =
L > ?
A
C
@ A % $ . # ! + % , % ! / % " - ! / % , - " - - ! . - " ' % ! / % / - ' P % ! . # ! Q + % , % R : S T U U V W X Y T Z V [ X Z [ X [ Z V \ T ; - ! / % , - " ] I =
L >
?
A A
C
B @ A + % , %
A G ' ( " . - A
C
B G A
C
B A ( # , " # / - ! / #
A
C
B A
G
A
C
B
J
' * " / ( " . - ! # " - % $ * - " - ( # , A ) * % % $ ( # $ / + # # P / % ! % ' # $ A A
C
B A G A A
C
B " # ) * % ' ( " . - ) * % A B G A A
C
B J ; - ! / % , - " % A B + % , % ( # , . # ' ( - , - . # ! / - ' P % ! + % , % ] ^ X V _ X V U Z [ X [ Z V \ T [ \ ` V _ a X [ b c % - ! d e A : E f e A : * ! . # ! % $ . # ! / ! * - $ ( # $ / + - $ ! / # ! . % $ ( - , -
A D g / % ! % ' # $ ) * % <
c " h '
i j L >
d e A : f e A : I k l k m I 1 % ! / # ! . % $ - ' P - $ ! / % , - " % $ ' ( , # ( - $ $ # P , % n g E B o n =
L > p
d e A : @ A E =
L > p
f e A : @ A . # ! + % , % ! # - ' P - $ + % , % !
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 28/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 6 3 8 3 9
! "
#
$ %
&
' ( ) * + ) , - !
" #
$ % &
. ( ) * + ) / " ! " #
$ % &
' ( ) * + ) , - " ! " #
$ %
&
. ( ) * + ) /
: ; : ; ; < = > ?
#
$ %
@
A
B C
)
D
+ ) ! E
F G
#
$ %
@
H
)
I
+ ) ! J K L ,
C M $ %
A
B C
)
D
H )
I
K L ,
C M $ %
N A
B C
)
D
O )
I
P K L ,
C M $ %
A
B C
)
D $ I
K L ,
C M $ %
)
D $ I
A
C
/
F Q , K L , Q " G , " " Q ! Q G , " , R
" " -
- Q - , S T U V - J W , < K L ,
C M $ %
)
D $ I
A
C
K L ,
C M $ %
( = X * )
D $ @
A
C
/ Y Q Q " Q ! Q G , " , " " - - - , Q , S T U V - W , < K L ,
C M $ %
)
D $ I
A
C
K L ,
C M $ %
( = X * ( = H * O / / / O X O H
A
C
Z K L ! "
#
$ %
@
H
)
I
, - ! "
#
$ %
@
A
B C
)
D
+ ) E : ; : ; [ \ ] ^ _ ! " ! ` #
$ %
@
)
a
H )
b
+ ) ]
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 29/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
! " # # " $ ! # % "
&
'
( ) *
+
# " $ !
, - . /
'
*
& '
(
& '
( ) *
# " $ !
, - . /
'
(
& '
(
& + ! & ! # : ! : ; < ! ! = >
. /
?
& '
( ) *
: @ A B C & D : @ A B E & ! = F : @ A B C & + F : @ A B E & +
G H I J K L M N O P O P Q R S S ! # " # T ! # ;
U V < # F >
. / ?
W ' &
X
W ' Y ' : ! # T ! # Z D = B & [ D @ & \ ! # = @ A B & \ A & [ ] & + ^ V ! # # _ >
. /
?
W ' & '
`
Y ' : ; B & [ D @ [ ! # = @ A B \ [ C & +
G H I J K L M N O P O P a G H I J K L M b I c K L d e c e d f M g b I L h I M I i I J c N O P O P j e k c g b M l 1
U V < : F
>
. /
?
m n A '
`
V Y ' ! " # # " $ ! o n ' V & '
`
; % ; p n ' V o n ' V '
`
q
,
r
s # " $ !
, - . /
p n ' V o n ' V 1 + l 1 D # % " # # ! ! # ! : ! # # F : ; ^ V t # = # l 1 # : o ! # # : Z
# # p ! # T ! # ;
u F
>
. /
?
m n A '
`
V Y ' D # ! # ! v ; & ; & 1 o n ' V
&
' D # w & x y w : ; p n ' V o n ' V ' q
,
r
s # " $ !
, - . /
p n ' V o n ' V 1 + t ! D ! # # p : D # o : ;
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 30/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 6 3 8 3 9
! " ! " # $ % & ' (
) * + , - . / . , - &
: ; < = < > ? - @ A B C > @ @ D > , , . E @ , F F E G D . B @ H I < * & : < J K L B @ J M I < * H I < * & < ; < & N F E G D
O P
M I < * H I < * & ' ( Q K C B , C @ % & ' ( R F , L ? . E @ @ F , ? , F @ D > , , D @ C B . . B , F
. D > @ > . , - . / B S > @ B , D B @ F , . B , F C - . / B J
T * U , , . F ? C B , V ? F , C @ - % & ' ( F , @ / . , - H @ . D > F . , F ,
@ / . , - F , . B , F - M S @ C . C > . , D @ C F W D > F @ , B . @ J X , &
: < = < R , > F . , D @ C F B @ D , Y J : J : @ H I < * & : <
Z
S ? R , . B , F C @ A [ : \ ' ( [ @ / J M I < * H I < * & < & N F E G D
O P
M I < * H I < * & ' ( Q U @ S @ D @ R , C , A D @ C S F , . B , F - M - . / R F , - H @ / J
] ^ _ ^ ` ^ a b c d e f g h d i j k l f m l j g i n d i d e o b n g p h g i d
K C B , C . B , F C . D > @ > . , C @ C > @ - , F , C @ V ? F , L ? . E @ @ C , @ B , - , F . B / , F @ - . B , . E @ J q r ! " ! " s : J X . M t u v \ w u x y ? , L ? . E @ B , F V ? S > , , B @ - @ z { u v \ w [ S M C . B , A F [ z \ w u \ B @ C C - |
}
~
M I < * = < & F E G D
P ~
}
M I < * = < \
? , - @ C B F E G D . B . C B J
J X . M t [ v \ w [ x y ? , L ? . E @ B , F V ? S > , , B @ - @ z { u v \ w [ S M C . B , A F [ v \ z [ \
B @ C C - |
}
~
M I < * = < & F E G D
P }
~
M I < * = < \ ? , - @ C B F E G D . B . C B J
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 31/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
! " # $ % & ' ( $ ) * + , -
.
/
+
$ ( ' ! $ & ! ! ! + - 1 : ! ; % # ; ! < ( ; !
& $ = ! ; & < ( & ! > ?
@ A
B
. / + C + - ; ' D <
E F A
B
?
@ E
. / + C + - ; ' D <
E F A
B
+ G G G G G
@ E
- ; ' D <
E F A
B
* . H I , - . J K L M N M O L P Q & ) > R S T U V W X # $ ! " # $ % & ' ( $ ! ; Y # ! ! ( (
I @
Z I [
\ R S T U V T ) & $ = ! ] ; $ V I @
T I [
V $ ( $ % $
?
^
_
) * + , C + - ; ' D <
E
`
F _
?
a b
E
`
) * + , C + c ; ' D <
E
d
F ^
?
E d
a
b
) * + , C + T ! ! % # ! ; Y # & +
A
\ R S T U V & ; ( ; ' D < & e & $ . Q ! ) > V H . T . R W X ! ; Y # ) * + , - f
@
g
h
a
T + i - 1 . T + - 1
j ! " # $ % & ' ( $ $ ( ! % ( ! ! $ ; & $ k ! ; ( V H . T . R ] & ( ! Y # $ ( $ ( ! % ( & $
! l m n ! < ( ; ! $ & % & ' ( $ 2 . . 0
?
@ o @
) * + , C + - ; ' D <
E F A
p
?
E o @
.
g
+ C + c ; ' D <
E F A
B
?
@ E
.
g
+ C + - ; ' D <
E F A
p
q / +
[ r s
G G G
E o @
c ; ' D <
E F A
B
q / +
[ r s
G G G
@ E
- ; ' D <
E F A
p
q / t I
[ r s
H * H . ,
[ r s
u c ; ' D <
E F A
B
q / t .
[ r s
H I
[ r s
u - H q / c q / - 1 v
/ Q ! ) $ & ! ( > ) > V H . T . R W X v
) * + , - f . w +
[
T + i - 1 1 T + - 1 v : ( < ( $ ; % ! ( ! $ & ( ! " # $ % & ' ( $ $ ( ! % ( ! ! $ ( $ ( ; % ( x ! < ( & e & ; ! & $ = ! ; & < ( & ! ?
@
o @
) * + , C + v
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 32/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 6 3 8 3 9
!
"
#
$
%
!
&
#
$
'
% '
$
( ) * + , - . ) / , , # # - - + ) - , ) * - , : ) * - . ) ; ) , , : ) * ) - ; - < , ) * - ) < = ) - < - < < ) - - . '
!
"
>
? ? ?
!
"
@ > # A > # B % C D E - , - , ) * - . : ) * )
F G H I J K L M N O P Q R S T S T U V - ; ) , < ) + ) . ) , - - ) < - < . ) / , , ) < + - , . W - X : - < + , Y
< , Z : < [ \ A
\ A
$
\ ] ] ] \ A
^
\ _
` a
b
a
%
c
b
% ] ] ] %
d
d " b
%
`
d
e . , . ) - . - , ) * - . ) - . ) ) W - < ) W - ; ) , . + , ) f Q g I h J L i j I J I k I J I Q M N L l m I n o i P R S T S p q r ) s ) + ) : ) ) < - W - , < + X ) + , - , ) * - . ) ) t ) ) , - - -
- - . < , < ) < . ) , : ) * ) , -
( _ u X v w x - , ) * - - . ) < ) * + , . - - < ) y
` !
&
z
{ | } _
z
# > v < v \ # % C < v ~ # D r , ) t ) < u ) , ) <
`
z
_
z
>
z
# > v v # D r , , ) <
'
`
!
z
!
`
z
!
@ _
z
# > v >
z
# > v B _
z
# > v >
!
z
# > v D
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 33/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
2
! "
# $ %
& ' (
)
* + ,
- . / / / / / / # $ %
& ' (
)
1
, + *
1 2 # $ %
& ' (
)
* + ,
1 2 # $ %
& ' (
)
* + ,
- : ; < ! = 1 2 2 ! = 1 2
> = - 1 ? !
@
A (
1 B C B - # $ %
& ' (
)
# B D D D
A &
- ; < E F G = ? # ! H @
* I J
(
)
1 B
* I J
C B - K L K E @
J
(
)
1 B
* I J
C B - K L K E
@
* I M
(
)
1
B
M I J
C B ! = N O G ! # P G B ! Q H 1 R
S T U V W X Y Z Y X [ Y X \ Z [ W ] ^ X _ T Z \ X [ W ` V T U V W Z [ Y X [ X _ a ] Y Z b \ Z [ X c ! G G = ! # = O # d = ! P = = G ? ! ! G ! # # $ % = # ! = O # ! = G G = ! R e G # " 1 R f W ] X Z \ W Y Z Y g > = h Q i ! = O j # ! k l m n k Q ! = ! ! ! G ? = N ! = O # ! = G o G = ! ! ? N O ! ? ! j = $ P = ! ! ? = ! ? N O # = O # = G G = p h ; C i ! j k l m n k ? # ! H = ! p m C q r Q ! = "
@
A
s
t
u p h u B v ; C i u B v v C B - p
@
A
s
t
h u B v C B ; C
@
A
s
t
i u B v C B
K R w X _ \ Z Y X x Z T T U y g > = h " k l m n k r ! ? = k l m n k ! = z " k l m n k r ! { ? = $ G = = = N h k l m n k Q ! = P = ! # # $ % = " @
A
s
t
h u B v C B - # $ %
| ' A
s
} z u ~ v z u l v E
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 34/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 6 3 8 3 9
!
"
#
$
% & ' ( ) ' * + , -
. & ' ( / / / /
"
#
$
: ; < = % - > ? @ A > B C * > ? @ A D
= E - > F @ G > B C * * H I J K F K G L M J
N * E & F ( O ? @ E & G ( B A
P
* Q B G
P
R
E & > F @ G > ( O > ? @ A D !
"
#
$
% & ' ( ) ' O !
S
#
T
% & E & Q ( ( E
U
& Q ( ) Q V = * W W & W ( , X Y Z [ \ ; ] ^ Z _ ; _ ; [ ` a = b R c d * * > ? @ A > R W * e f H
, R W * -
!
"
#
$
b & ' ( c
U
& ' ( ) ' O b & ' ( c & ' (
/
/
/ / /
"
#
$
I
!
"
#
$
b
U
& ' ( c & ' ( ) ' & e f ( g ` ; : ] ^ Z h i j i k j l + + + W , d D ? @ A D H , ? + ?
m
R A
P
+ A ; [ ; ` ] Z : ; \ Z ] _ ; Z [ \ ; < ` ` \ n Z ] < ` ; [ ; _ ; ] ^ Z
= % R o d * + H W , > ' @ A D H + ' p D ? @ A > N * % & ' ( L
o & ' ( + ' p D ? @ A > V -
= !
" $
o & ' ( ) ' W H !
" $
% & ' ( ) ' W * + N * !
"
$
% & ' ( ) ' L !
"
$
o & ' ( ) ' V
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 35/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
! " # ! $ ! % & ' % ( ! )
* ! " # ! +
, - . / : ; ; < = ! > ' ) & " = ( ? ' % ! @ ( " & ! " ' ! ( ' > A = " = ( ? ' % ! ) & ? = B = ) = ' ! % @ = ) A " ' A ! = ! ) ! @ = % & ! # " = @ ! C ! > = % % D ! @ ' ) @ ? E > & ! ) + F % A = " & ( G @ = " ! @ = A " ' A ! = ) # G ! % & ! H I H J K L M N O P ! ) ( " ! ( ! % & ! D = ( ' & = = ) G A ! " ' " > ! % & ! $ ! % & ' % ( ! ) @ ? E >
Q R
S
I ! T ) & ! + U V / W / X Y / / Z Z [ X V / @ = ) \ G % ( ' % ! ) L * ) ' % A ' ) & = ) ! % & ! # " = B @ ! ) ! % N L M J A = " = & ' ' ] J K L M N $ & = @ ! ) ^ G !
@ ? E >
Q R
_
*
` a
a b ` c L ! % & ' % ( ! ) @ = ) % & ! # " = @ ! ) > A " ' A = )
D
* = > B = ) ( ' % ! " # ! % ' = > B = ) ! " # ! % + a ` c $ ! % & ' % ( ! ) @ = ( ' % ! " # ! % ( = !
* > A @ ( = @ = ( ' % ! " # ! % ( = !
d
a ` e f $ ! % & ' % ( ! ) @ = ! " # ! % ( = !
* > A @ ( = @ = ! " # ! % ( = !
d
g h / X Y Z : ; i 1 + < = % & ! # " = @ j ̀
k l
m
n
k
e o n o ! " # ! + F % ! \ ! ( & ' $ ( ' > ' ! @ % & ! # " = % ' & ! % ! G % = ) ( ' % & % G = ! % ` 1 D G ) = % ' ! @ ( " & ! " ' ! ( ' > A = " = ( p ' % = @ @ ? E > & ! $ ! ) ( ' # ! " ! > ' ) ( ' > ' * @ = \ G % ( ? ' % 1 n 1 d * ` 1
m
n
k
e o n o 1
n 1
`
n 1
m
n
k
e o n o ` n 1 n 1
k
e o ` 1
k
e o d
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 36/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 6 3 8 3 9
!
" # $ % & $ ' ( ) *
!
+ , - . / . - - . . . . - . / . *
!
, : ; ; / < = > ?
@
: ; ? : $
@
A ; $ (
B ; > . ; ; ; = > ; . ; / ; . C
; - . / > ; - / . -
* D
E
, : F - ; > . = > *
!
, : ; / . *
G
H
:
I
- . / J = > H
:
I
?
I !
$ H
K
?
@
H
:
I
I !
$
@
H
$ K L F . = > . - > . > - M ' ; F ; . ; / ; - . / N < . *
I !
; - . / F > ; O F - ; < = > F - ; > . = > *
G
H
:
I
- . / P ; = > < Q ; ; > - . - / . > . / - . F R $ S ' K T U N T V
W < Q ; > . - = > . ; - . / ; ; . ; > - . = >
> - W
X
F > ; . - . / R Y W
X
- . / - W
X
Z [ \ [ ] [ ^ _ ` a b c d b ` e f g g h i _ j k l g
; . . ; - / . / . ; ; ; / . - ; > - ; m > . ; ; . / ; > - ; > - . / . - . ; - m > . ; . - ; . ; ; ; = > - n . . ; - . n . - F . ; / . ; >
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 37/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
! " # $ % & ' ( ) * + # , - . / + * # # +
: ; < . = # > . + ? < * @ - + . , - .
> , A . / . , - . < # * + # , - . / + *
B : B ; . < > , A . / . , - . C D E F G H I J + # , - . / + * # # + = . # . + . < . > # .
K L
M
> <
N
; . < + ? < * @ - + . , - . > , A . / . , - . C O , . P . > - ) @ < + , = > # - . # = . > + + > # Q , > , R : S 1
N
- . , . < T U U
U
> <
N
U U
U V
1
N
% ' W 1 % X Y W Z
[ \ ] \ ^ \ _ ` a b c d a e ` f a e b c
J < > # - . # < / . , . + * . < . < - @ = # + = < + , - . # . , - . , < , < @ g > # . , - . < + + - = + < * + < = # < h - # , - + < < # ? # * # = + = . < i @ . @ . = . , = + < . ) . j . * * + # , - . / + *
K L
k
< . , ; % , @ . = . < . . < - @ = # + = + > , = # > l < > # - . # < C m + + . * * < . , . > . < # - + , - . . + < Q + < . < . > Q n g > < > . * < # / @ # . , - . C
o p F q r " # s R < , P @ , > # , . < - + * . < i @ . T 1 C . < > , - # , @ + . , W $ % Y W C t C / u . < > , - # , @ + . , W $ % Y W ) R
v
: V w s * Q n
x y K L
R : S w Z z C { : S
x
| : ; | . < + > - + = + + + } $ ) . , - , > . <
K L
: R : ; %
. < > , A . / . , - . C D E F G H ~ J + # , - . / + *
K L k
< . , ; Z > , A . / . C O , . P . > - ) > , < # = . . < T
K L
k
< . , ; Z
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 38/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 6 3 8 3 9
! " # $ % &
' ( )
*
*
+ , % & "
* + ! - - . / " - - - # % - . - ! # - - " # - + " % & :
; < )
* * = * + :
> )
* * = * :
; < >
* * = * ? # % & @ " . - # A - B " C D E * F + G * * , * H + !
, * + !
? #
:
> )
D E * F = * + :
> )
* * = * I J :
> )
* * = * $ ? # :
; <
>
* * " K E * F + * L E * F + * ? # L
M
E * F + N *
O
P K E * F + * # Q " #
L
M
E * F + N
*
O
# . - # R . " - %
% &
' ( ; <
L E * F + % &
' ( ; <
* + ! S E * F + :
'
>
K E T F = T + :
'
>
T = T + N # T U U U U
'
>
+ # N # * " # V S E * F V W V # N # * V W V # V V # * V W X I " S E * F # - " - * Y
Z % & " # R % - [ X \ "
:
; <
>
K E * F L E * F = * +
:
; <
>
* * # . J # :
; <
)
* * = * + :
>
)
* * = * :
; <
>
* * = * # .
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 39/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
! " #
$ % & ' ( ) * + , ' , - . - / % % - , - , - , - ' + & - , ' / % , . ' , % % & % % % + - : & % , - % , - ; % < = ( > ? @
A B C
D
E F G
H
F I
J D K L / % , . ' , . M - % / / ; - , - / M ' M - & % & - / N 1 O < = ( > - / % P - , & - , & % M % % ' & ' ( ) * K = O - O < = ( > Q R > O S % % - ' & T & % - , - T % ' & - , - ; % . ' , - , & ' / M % - / N & - / & - D ? * U % / % 1 V & - / & - 1 U % / % D ? W V % , % . - % . ' , T - ; - , . % & - % P % / , - ; % - / M ' M % / O
X O < = 1 > ? 1 O
Y O < = ( > ? = ( Z 1 > < = ( Z 1 > K [ O \ ( Q ] + - , ' , . - / < = ( > ? = ( Z 1 > ^ K _ O \ ( ? ` a b . ' , ` Q ] V b Q = * c 1 > + - , ' , . - / < = ( > ? = ( Z 1 > = ( Z X > K K K = ( Z ` > < = b > K L / ' , ' / & . - d - P % / % % P % % - , = * c 1 > K
2 O e - & % , - - . % P ' & - T % % P - D ? f
g
/ - - , -
< = ( > ? X
@
A B
C
f
g E F G
H
F h
i
J f K j M % & - ' . % M ' & - ' / & - & . d - N < = 1 X > ? X @
A B
C
f
C
H
F h
i
J f ? X @
A B
C
H
F I
i
J D K 1 X < = ` a 1 X > ? @
A B
C
D
k
H
F I
i
J D K
0 O \ ` Q ] + / - - , -
< = ` l X > ? X
@
A B
C
f
k F G
H
F h
i
J f K m O \ ` Q ] + / - - , - < = ` l X > ? = ` Z X > @
A B
C
f
k F n
H
F h
i
J f K
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 40/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 6 3 8 3 9
! " # $ % & ' ( ) & ' * $ * + , + - " . / " + * + + * + . $ - # + * / $ - " * , / $ * " " # " + " + # / " * + " / * + . " : ; % < ) = > ?
@ A
B
C D @
; E B =
F D @
G B H I " , " , J + " - - / / + * + - J . $ J / + # " # + - K L : ; % < ) = + - " M / + * # + * / # " J " . " $ # $ % & ' < ) & ; / L + L : ; % < ) = N O = P L
: ; % < = >
%
H
Q L ; R / + . S " = : ; % < ) = > : ; ) < % = H T L : ; % < ) = > ) E % : ; % U < ) E = H
V L R / ) N W + * $ * , + -
: ; % < ) = >
; ) E = X
% ; % U = H H H ; % U ) E =
<
( " * " $ " + * + - / % + - + * + . $ L Y L R / ) N W + * $ * , + - / J / , " * # $ * + . " # $ . ( # + * $ / * " # $ . J $ . Z ; % = - + / + * + : ; % < ) = > Z ; ) = Z ; % = Z ; % U ) = H L [ " , / + * # $ + , " M / $ B > - + *
\
; ] = - + / + * +
: ; % < ) = > P
?
^ _ \
A
- / *
\ C D @
; ] = , $ -
\ F D @
; ] = G ] H ` L : ; a P < a P = > b H
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 41/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
! " # $ % ! & ' ( ) * $ + ! ) % $ % ) % ) + $ ! $
, & 1 - . ( /
:
; < / . =
> ? @ A B C B C D E A @ E F @ G H D E
1 I ) ! % J ) * $ ! K $ ! * ! ! * L $ J $ ! * $ * # ! M
$ % $ $ N M O ) + P ) ) Q L ) J N R ! R ! J ! $ + S ! K $ J T U
V ! Q W ! $ ! $ % $ $ X % ! L $ % $ ! % J $ ! ) J $ ) K ! !
) J + + J $ ! Y
Z Z
1 <
[
; < ! ) * # ) * $ $ * + ! L K $ # ! N R ! R ! J ! $ + S ! K $ J T V ! Q L ) L K $ # ! N M O ) U + P ) ) Q \ ) $ ! ) J ! % J $ X % ! ) X ! ) + ! + " # ! * L ! * + ! ) ! " # ] L $ ) K Y
Z
Z
1 <
[
/
Z
Z
<
[
; < / <
Z
^ 1 _ _ _ _
Z
Z
/ ^ 1 ^ 1 / ^ .
M $ % $ * + * ) Y N \ $ $ % ) ! K $ % * ! Q
` ( a \ # % $ % $ ! % J L ) $ ) K $ ! + J $ ! L ) ! X $ + $ ) K * # b c ( a \ # ! " $ $ $ ) J ! % J b a \ # ! ) K $ ! $ K ! $ $ X % ! $ ) + b d e f g h i j e k l ` ( $ ) K $ ! + J $ ! L $ % $ ! % J + # * % <
[
m n ! $ ! + < o p L + * ) 1
<
[
q n L ! $ ! + < o r ^ 1 s 1 t u R J L * ) ! $ ! % + L ) J # ! + $ # ] ! L
Z
Z
1
<
[
q n P ) # ] L ) $ ) K $ ! + J $ ! L + * + # ! ) * # $ ! * $ $ * + !
c ( M $ $ $ " ) J + Y v & < ( / 1 <
[
u \ v Y r ^ 1 s 1 t w p u + * ) n - o x y z & v ( L $ + ! + L ! + J $ ! ) X ) ! $ ! $ ) * ! ) ) Y
Z
Z
; < <
[
/
Z
; < <
[
{
Z
; < <
[
u
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 42/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 43/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 44/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 6 3 8 3 9
! " ! # ! $ # % # & # ' # ( ) *
+ ! ' , ! $ # $ ! - . / & , , # & ! $ % , $ ! ' / # * * - $ !
! : ' ; * < * = / . $ ' > . ?
,
@
@
A B C A D E
F G H I J K L G M N ,
@
,
@
O G P Q J K L G M N R ! % ' / ! ?
,
@
S ! $ / ! > . T U D V W X , - & ! ' , ! $ # $ ! % Y / ! # , . , # ' ?
Z
,
@
[ \ - : ' $ . % % , # % ] ! % $ ; ' # , / & ' ! & # % ; . % # , # ?
Z
,
@
, \ /
^ _
Z
^
,
@
` # ? a
b
c $ ! ? a
b
d e & ! ' $ # $ ! ? ` - $ ! ?
a
b
f g
d , f g
d T ` T - $ ! ? a
b
h f g d , h
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 45/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 46/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 6 3 8 3 9
! " #
$ % & '
(
)
* + ,
-
(
.
/
- $ % & '
(
)
* + ,
-
( * /
.
/
- $ % & '
(
$ & ' : ; $ % & '
(
< = #
)
,
(
> $ % & '
(
< : ; ,
? @ = A $ > ' > & >
B
C ' D ! )
* +
,
A $ > ' > E ' D ! )
* +
F
A $ > ' >
G ' H #
)
I
A $ > ' > D # J K > : L # M > M N O
P Q R S T U V Q W X C ' Y ! Z ! ! ! Z [ \ [ ! ! ] ^ _ ` ] _ a b ^ c : d e f $ A ' Z g ! ! ! ! Z ! b h ] ^ _ ` ] ] ^ _ i ] j ] i _ ` ] @ [ " h b k ! i : L
*
Z i & l b m #
)
* +
,
> &
>
B
>
)
,
> &
>
B
>
)
* +
> &
>
B
> n k ! ! b ! Z # b m
o p ,
q
)
o
> & >
B
> b m
r p * +
)
r
> & >
B
> n
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 47/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 48/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 6 3 8 3 9
! "
# $ # % & ' & ( ) * " +
, - .
/ % & /
/ ' & +
/ / ' +
.
- / / % +
, -
. / /
'
+
.
-
&
/
.
/ %
+
.
-
&
/
/ %
+
, -
.
&
/
.
/ %
+
, -
.
&
/
/
! * ! * +
, - :
& /
;
/ < = > & ? @ > # A * B ! < & /
.
! * C & /
! * < ! * " +
& /
.
/ ' +
, -
.
& /
.
+
&
/
/ ' #
) * " +
/ / ' +
, - .
& /
.
/ '
D E , -
F +
D
.
& /
.
G '
D E , -
F $ & / G H H H H
D
.
'
D E , -
F
$
&
I
%
&
G
' & J B K " / ' & L
M N M
O / P Q
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 49/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
! "
#
$ %
& %
' ( ) * )
+ , - ( ) . #
/ & %
' ( * , " " : ; ' < 1 , ' < = > ? ? " " " < @ A B C " D ? -
E
( ) < F ! " ? " D G " H " - <
I -
E E
( ) < F " - <
J ; " ! " " " K L " H " - M N D - O < ; L P Q - ( ) Q : R D ! " #
S
) ' ( ) * ) #
S
)
T
' ( ) * ) U ; " V W X " - ( V . :
1
Y ; " Z W X " - ( Z . [
\ ] ^ _ ` a b ] c d , " X
$
e f P g h f i ) i . ) ? e ? " #
$ %
j
: 1 k
& l / l
* ) . : 1 #
$ %
j
k
& /
* ) , m . #
$ %
j k
& /
* ) < n " " ? " ? ? e <
: o p D
m . #
$ % j
k
& /
* ) . D G
q r $ %
#
q j
k
& /
* ) . D G
q r $ %
s k
& /
t t t t
q j
. D G
q r $ %
( s k
& q
g :
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 50/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 6 3 8 3 9
! " # ! $ ! % & ! '
( )
*
+ , + - . & ! / '
*
& ! / ! ! & " : ! ' ; ;
, < $ : = & $ > # $ / '
? ( @ ,
A
B * C
* D
A > ! # $ " ! / ! E ! F G ! " = '
*
*
C * C
*
? ( , H I " ! $ ! ? ( , J - & ! / ! ! & " : ! '
;
;
K ( ,
* L L
! & $ = & $ > # $ M ! $ " $ > ! M : ! : ! > # % & ! '
*
K ( ,
*
* L L
- '
*
K ( ,
* L L
;
N , O # P ( ,
*
K ( Q , Q ! $ " $ > ! '
P ( ,
*
* L R L
Q - ! # $ " ! / $ : K ( Q ,
* L R L
! > $ " # $ & M " : Q H S T F ! % & ! # $ " ! / : ! ! " = & $ > # $ > $ E ! / ! ! $ S ! $ " $ > ! P # ! M ! ! U # " ! #
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 51/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
! " # " ! $ % & ' ( " ) * + & , - + $ . # + $ + & , " ( $ / / , $ ' # $ # / , ! ,
" % $ + ! + & $ / 1
% # " " ! : ; < = ( * $ >
?
@
1
A ; = # " " ! : B C D $ + # " ! , & * ( " / , B E F G = H E D H < % # ( ! " + ! H ?
I
J
K ; A ; D # " " ! : H < L M * $ > % $ / / , $ ' # $ # / , ! , " N O $ / ( , $ + : ( " , + ! $ > " (
H
? P
J
K ; A ;
? P
J
1
A ; L
Q ! $ ' / % R * $ & ' S " T * + " ( " U / ( * ! $ + $ ( , + ! $ > " + : % : $ U $ ' / : , / ! , + > * , $ + ! $ ( / & " / / H V = H W L X $ " Y E F G = H E X , H W % $ + ! + & $ / Y C
% # ! " + ! Z ; Z F ; % # " " ! : ; < Y [ / - \ H ?
]
1
A ; ?
]
1
^ _
A ;
M * $ > % $ ( # U ( $ ' " / $ $ : * & $ " & " ( & * ( "
H ?
P J
1
A ; L ` & * # " + : ( " : $ a + , & , - + ! $ + $ ' / R * $ H ?
P
J
1
A ; ( - \ '
b c J
?
P
b
1
A ; d " ( & * ( " + : ( " # , ' , ! , " % T $ " ( * " + : $ + ( / ( -\ ' , ! $ / : $ , + ! $ > " & , - + % U ! $ + $ ' / H ( - \ '
b c J
1
e e e
e
P
b
1
( - \ '
b c J
P
F
b
d ' / " U $ ' / R * $ / , f g F G % $ + ! + & $ /
b
g + / R * $ : " R * $
1 ( - \ '
b c J
P
F
b
1
P
M * $ > % # : $ ' / & + & ( * , R * $ H 1
P
D H
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 52/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 6 3 8 3 9
!
"
# $ % % $ & ' & (
)
* + , -
. /
!
: ;
< =
!
> ? @ A B C % B C D @ @ E A @ - . /
:
;
< =
!
:
;
!
F
=
!
? A G H G @ I I E G H G % J $ K I I L E G H G % J
!
"
A C M - . /
:
;
F
=
!
N O C H @ @ + G @ E A E C % H H @ -
. /
" ! P
F
Q "
!
? A G H G @ A E H @ H @ @ D H % A G C @ G . / R * +, . / . / F
Q
"
!
F
Q
"
!
S A T % A G M H G A T A C H G % G D @ O C - . / F / L
!
U U U U
Q
"
/ L
! Q
F L
! Q
V H A G -
. / L
! Q
W
* + , - . / X Y Y Y Z Y Y Y [
Q
\ L
Q
] % A G H G @ G E H G O C ^ _ ` / . G % @ + G @ A G a C + b E c G A @ E H E T G T @ O C A G E H @ H G H G @ G % A G a C + A C G G A G M C % G H G @ G @ O C
! Q
C G a C + % H C K
@ + G b @ T G A H
)
"
G A G d G A K T G A H G E G H H % G e A G
a C + @ E H % H K E H G A G H H G H G @ G @ E H E T G R
f S H % @ O C A g H @ G h C % G @ G A % A ? + G A C A % O C - . /
Q i
j / k k W l J W - .
m
/
Q
i
j / k k j /
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 53/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
! " # $ " " % & ' " " ! ! %
( ) * + , - . /
: /
;
: <
;
: = ( " > ? @ ' # * +
A
, - . / - B
;
: <
;
: C
;
: D % E ( " " % ' 2 F G " ( ' "
;
: % ( > ? @ % ' " " # $ " " % E ! " % ! ! ( H I ' " " J ( ' % K J L * +
A
, - . / 2 <
/
/ M , - . N O ' # * +
A
, - . / 2 P E P
/ 2 N O ( ' Q J ( ' = J L % I ( ( ! ' " ( J L ( F R % (
+
A
, - . /
S 2 % ! - ? @ % I ! ( ( " F
T . +
A A
, - . / - , +
A
, - . . / - B
C U & ' * +
A
, - . / M , - . / V W X W Y
Z [
= - \ 2
Z
[
- S 2 O ' # *
] - \ 2 *
- , +
A
, - . . /
-
B
C
/
] - ^ 2 * - , +
A
, - . . / - B
C / _
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 54/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 55/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
! " # ! $ # %& ! $ # " # ' ( !
) * + , 2 % & !
- . /
-
, , 2 , 2 % & ( ! ) * % & ! * $ $ ' # $ :
; ;
< * = +
:
; ;
> ?
;
>
@ A A A B
A
A
A
C
, 2
D
E > F
,
2
G D
E > H
) * ! ! + :
; ;
> , 2 I = >
G J D J
E > K L M N O P # ( $ " # ! $ :
; ;
( ! ) * :
; ;
H > F ' :
; ;
F > H * = " * % Q + R ( P # S T U V
R ( P # S U W T V
# # ) * * * $ X % # : ) * :
; ;
% $ Y $ E # Z % ) * > [ ' * * $ ! P $ * # ( * # # * # $ ) * : % $ Y $ \ ] , ^ # + R ! : * # $ ( # \ 2 _ # Z + % & !
D . ` a
: > % & !
D . ` a
b
D
G a
, 2
G J D J
c > b
` a
G a
, 2
G J D J
c > , # ( d e \ < * = # f , * [ # Z
% & !
D . G a
: > % & !
D . G a
b D
G a
,
2
G J D J
c >
b G a
G a
,
2
G J D J
c > * g
= #
b
h
G a
, 2
G J D J
c > ( # = # $ i K L \ < * = # f # [ # Z j R ! Q $ # ( P $ L : * $ L E $ ! % ! : ! # # ' ( ' # ( # # f f , k l ? S , U , V E * = m : > m ,
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 56/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 6 3 8 3 9
! " #
$
%
& ' ( & ) & *
$
%
& +
,
-
. / /
) &
! " #
" # ! : : $
;
<
& -
.
) & * ( = & -
.
> $ -
.
) & ? ? ?
; <
@ A " B ! C " D E > F G H C " ! # ! I # : " C H C ' : J & : G J : G C : " C ! : B G # I !
K L M N O P Q R S T U V W X : : C " C C " Y C ! Z [
! " C " H C G ! \ ! ! G C I : I B H C
C ! : " , ] C I ! " # : :
X : C " ! C " " ^ ! Y C ! Z " _ M Q V ` U a Q ` N b V S R S T U V G $
c
<
&
d
-
.
) & * @
e # " : : f
g
h * &
d
* i ) h * , & ) & ) j * -
.
) & * i j * = -
.
@ B G H C B
; k c
$
;
<
&
d
-
.
) & * B
; k c
l = -
.
&
d
? ? ? ? ?
;
<
> , $
;
<
& -
.
) & m @ : ! " : : " " " B G
B
; k c
l
= -
.
&
d
?
?
?
?
?
;
<
m
> , B
; k c
$
;
<
& -
.
) & @
: ! " C I # ! : : f g h * & * i ) h * ) & ) j * -
.
) & * i j * = -
.
@
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 57/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
! " # $
% & '
( )
*
+
, , , , ,
! -
. /
! " # $
% & '
( )
* , , , , ,
! -
/
! -
' & * * .
! " # $
&
+
'
!
/
! " # $
& '
!
/
! " # $
& '
( )
, , , , ,
!
-
&
! " # $
&
+
'
!
&
! " # $
'
!
&
! " # $
'
( !
&
: ; < ; = > ? @ < @ A ; < > A B ; A < @ ; < A @ A @ < :
C
C
: A ; A D ? A ? A ; ; > A @ E F G : < A H ; D ; @ < ; D H A I : ; < J J K ? @ A D L &
! " # $
'
!
&
! " # $
'
!
& M & &
! " # $
'
!
/ N O ; A
P
*
+
Q * *
# $
-
'
( R ) R
* N
S T U V W X Y U Z [ V \ ] ^ X V _ U ` ` U
P
*
+
Q * *
# $ -
*
+
'
( )
*
# $ -
*
a ( b
'
( )
* c 1 N d 1 e f D c 1 g H h i j k l
m
( $
'
( R ) R
* N
O ;
i j
n
b
+
'
m
o j p M & '
( m q +
o j r M N s < j p M i j k l '
m
k l '
m
k l j k l j M N
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 58/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 6 3 8 3 9
! "
! "
! " # $ % & ' ( ) ! " # * + , ! " -
.
/
, #
( & ( % & ,
) & ( & + : ( ; < ( = ( & > ? @ A ( ( & ; & & & )
, B " + B C & D % E ( < E F & G H ( F & ( D ; & I
) C , J " + J C & D % E % E F ( < E F & G H ( F & ( D ; & I
K
@ , B + ! "
.
, ! "
.
, ! " + < , # , B
+
! "
.
, ! "
.
, ! " ,
.
! " + < , #
L H M ) + N O O P O O Q < , , B ,
R S
< , , J
R
S
#
T U V W X Y X Y Z [ \ W Z \ ] V [ ^ Z [
@ _ & % & ; & % & < E ' % & & & ' ; E < & ( = & ; ' & & & ; : ; & & ' & ( H& ; E & & @
`
-
K /
a
S
b c -
K / a
d
b e -
K /
a
S
d
b
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 59/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 60/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 6 3 8 3 9
! " #
$
! "
% & ! ' ( ! ) * ! + ( !
,
-
. / " " ! : * ' ( ; ! * ! ( " < ( " " = ' %
> % & ! ' ( ! ) * ! + ( !
,
? @ . A @
B
C % & ! ' ( ! ) * ! + ( ! D
E
A . F G H ; " A F A
B
I F A
B
A F * ) " ? F A A F * ) " ? F I A J K L " "
A
E
. A
E
A F
B
I F
B
. ? A
B
B
I F
B
. ? I F A
B
? A F A
B
L M N " ( ! " ) * ! ! ; O ; * !
B
E
A P % & ! ' ( ! ) * ! + ( ! D
B
E
A . F G H ; " I F A
B
A F A
B
A F * ) " ? F A A F * ) " ? F I A J K L
M
E
A
.
F Q
> % & ! ' ( ! ) * ! + ( !
A
B
A
E
A
R
. Q > " " S T ! * O ! + ( ! A
B
A
E
A
R
. ? A
B
? A
E
U ( ! ; ! V ! * D W C M W P M %
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 61/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 62/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 6 3 8 3 9
! " # ! ! $ # " % % & # % %
' ( % & # " % $ % ! % ) ! # ' ) # # * % $ % + , - % $ % + , $ % . / * % # # $ % : ; ) % % ! % % # & # # & % $ & < = >
? @
A
/
B
C / $ % D # ! % # % D E , F / G >
? @
A
/ /
H
C / I # J K L K
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 63/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 64/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 65/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
! " # " $ "
% & ' ( ) & ' * + , - . + ' / * + ) / * ) & ) / ' . ) + ) & ' ) + : : ; < = > ? = @ A B = C > D A ; = @ < A B ; = E A D ? = ; ; F = G @ : ; A G H
I
J K L M ) * & ) N . O P Q P R % & ' ( ) & ' * ) S . ' ( ) & . S P T ;
U V
W
I X Y
H
I
> A ; @ < A B ; = = E ; F = Z ; [ \ ] ^ _ ` ] a b > c > : ; < = = E ; F G @ : A : ; ; E A d D G D C > D <e B f g U V [ h i j k K Z [ h l j k H
I
_ ? A = @ = l m n L
= : G
h ; j K o D < e B
I g U V
p
q
I
r
s
I
Y
[ h i j t i
u
o H
Y
v h ; ; j
U V
W
I X Y
H
I
: = F A E ; Z < = D = ; s
U V Y
[ h i j t i : = F A E L w ) N * + ( & . / ' - * x h ; j c : = G ? A : @ y m n Z i m ] y _ y z ^ { Z > @ = C > [ @ : A : ; G ; D @ ; E > D @ @ \ [ h y j J [ h i j J [ h y z ^ j
| = A D ? A = ? ; @ @ @ ; E A D G ? = @ B = : A ; d ; A \
s
} U Y }
[ h y j t i J s
} U Y }
[ h i j t i J s
} U Y }
[ h y z ^ j t i ~ = B = s
} U Y
}
[ h y j t i k [ h y j T ; C > G H }
k [ h y j k s
} U Y
}
[ h y j t i J s
} U Y
}
[ h i j t i J s
} U Y
}
[ h y z ^ j t i k H } U Y
v
T > B @ = @ ; E > D @ @ @ @ y k ^ y k l r ^ d B = G
q
I Y
k H
Y
z H
z z H
I Y
J s
I Y
[ h i j t i J H
z H
z z H
I
k q
I
r H
Y
v > E = G r q
I Y
k H
I
r q
I
o r s
I
Y
[ h i j t i o H
Y
r q
I
v
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 66/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 8 9 4 5 6 3
! " # $ % #
& ' ( ) * + , - ( ) . - ) ( - / - * + ,
* + ,
! " # $ % # * + ,
& + , - + - : * + ,
! " # $ % #
;
" - - $ ( ) ( < * + ,
! " # $ % #
= - > ? ( ( * * ) ( @ < * ( - + A
B
! " # $ % # ) - C * * ( ) ( - ( D < ( ( ) ( - E - > F E
A
A
B
! " # $ % #
! " # $ % #
B
" ! " # $ ! " . G H $ $ % # I : ; ! ) - > - ) ( ) * ( - ) ( ) ) * ( - + ( * ( - + A
- * + , - ) - * + ,
A
J K - ( ) * ( = - - ( ) * * + , - ) A
L - * ( - M ( * - - (
! " # $ % # N M * ( -
O
P
N M C ( < ( ) - D -
O
P
B * + ,
A
G
! " # $ % #
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 67/206
0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 7 3 9 6 4 4 6 3 6
!
" # $ % & ' $ ( # $ " $ ( & ) * # *
+
, - . / . " # $ % & '
( * " " # ) # +
, - . / .
!
: )
;
<
= % & $ " > # $ ? # ) ) ' ? $ " ) * " # $ % & ' # $ # ) * " $ " ) $ ( " $ " # $ % @ ) * * # * # A
B
C D E F G H I J K L K M C D E F G H I N E O E P E O E Q R S T U H T V E O S E W S G E O T O F X I Q S R T Y & $ ( ' ) W S G E O T O F X I Q S R T ' ) " # ) # ? $ " $ # " ( # " # ) Z * " # $ A " # ) * # ( ) $ ( # # ( $ " # ) # * " " # $ " ( # $ ( & A
[ \
]
̂ " # $ % & $ ( _ ` [ % & $ ( _ a [ b E I O E F T J K L K c d O S e E O S I N E d I F G T O T R S X I Q
!
f
# $ ( ) $ #
* # ( % # ( * & $ g h i & $ j h k " ) *
- / !
a g f
* ( # # \ l j m $ ( # $ " ' " # $ % & $ "
n
f
) * " " # $ % & $ "
n
!
A - / !
l g f
* ( # # \ l j $ ( # $ " ' % & $ "
n
f
) * "
% & $ "
n
!
A
o E F I V e O T R S X I Q U
n
f
" # $ % & ' $ ( # $ " ) * " # $ " # ( ' # % > ) * " ) * "
n
!
( ) $ # # $ A = # # ( $ ( # ' " # $ % & A
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 68/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 69/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 70/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 8 9 4 5 6 3
! " # $ % &
' ( ) * + , - .
/
/
: ; < : = > + ? > @ ( A ; , @ . ( : < > B < > ( ; ( C < > D
E
/ F G
/
> H I J
I
K
= < : C @ L : ; > ( ) M N A ( C @ L : ; > ( ) O N
: < > B P A = < : = + P ( @ : ? A ? > ( ) * N Q
R S # T U V ? A . < > ; @ ? = ( , < : A > ; @ > P + ; ? A < > > ( . ( + ? @ ? + ? A . < > ; @ ? = ( , < : A + = @ ( ; @ ( < A + ? @ ? W , < : X > A Y ? A Y @ = ( = ( < & Z [ \ ] ^ < : > ( A @ . < > + ? > @ ( A ; , @ . ( : < L : @ ? +
/
* _
` / ` a ` b c
& d B + ( = ? : A < = @ ( ; @ ( < A + ? @ ? , - W D ; : . < > D
+ , - .
/
b e / /
* + , - .
/
f
_
` / ` a ` b c
g
* + , - .
/
_
h h i h j
* + , - .
/
_
` b
_
i h j k i h j
* + , - .
/
_
` b
_
i h j
l
m > ? : A < + ? = < : ; ( : P ( A ? A A + ? n P : = ( , < : _
o
* _
` b
p _
+ , - .
/
i h j
l
* _
` b
p _
G
* N _ M N q < @ + < ; ? : ; < D + ? > @ ( > = < : C @ L : ; &
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 71/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
! " #
$ % & '
! ( )
*
+ , - . - . / / / /
% & $ % & '
! ( )
& % & * $ % & '
! ( )
* & * %
! " ( #
& *
! " ( #
$ % & '
! ( )
*
! " ( #
& *
,
! " ( #
$ % & '
! ( )
*
,
: ; < = > ? @ ? A @ B C = D E F : G G H ; C D ; E H ; E : I C = ; = F J K L I C = ; = K F : G M N
! " ( #
O
! ( )
O
!
P / - P
! " ( #
Q
R O
!
S / T M U V W ; X = D E F : G > ? @ ? A Y Z / 2 M [ M & [ / / / T / \ / - / \ ] / / M ^ / - . / / / - P / / \ / T S / / M Z / _ . / 2 M [ M & & - .
! " ( #
O
! ( )
O
!
/ P M `
O ! ( )
O !
+
[
a b ! ( ) c a b a ) c
Q d e
[
a ! a b a ) c
Q
+
[
a ! a ) a b a ) c
Q
( )
[
a ! a b a ) c
Q
+ [
a ! a ) a b a ) c
Q d e
( ! ( b a ) c
Q
+ [
a ) a b a ) c
Q
f b a ) c ( b a ) c
Q
+ [
a ) ( g b a ) c
Q
h i / O
! ( )
O
!
/ . - O ! ( )
O !
+ [
a ) ( g b a ) c
Q
+
j k k l
k
k
m
[ * .
&
2
* .
n o p o q o r s t u s v w s x y s t z u { | v } ~ x s t { } w | v t u x s t u | w s s u { u
G E D E F : G > ? @ ? A N O
!
. / / . -
( #
! )
$ % & '
! ( )
O
!
M
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 72/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 73/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
!
" # $
% & ' (
"
)
*
+ , - . + , / , + , + + + ,
+ , , - , , ,
!
" # $
% & ' (
"
)
*
!
" # $
' )
*
+ , - . + , / , + , + / : ; / , < = 1
> ? @ ? A ? B C D E F G H F D I J K K L M C N O P K Q I C D R J I J C D K N R F M F G J F M
S T U V W X W Y Z V [ \ ] \ ^ _ ` / , a
!
" # $
b "
X Z V c T d e T f g h Z i j k f l T V k T
!
" # $
m b
"
m + , - . n + , - . o - , , , - . / , a X Z V p W X W Z V f i l T V k T X Z V c T d e T V k T q r T l s i Z [ \ ] \ ^ [
!
" # $
% & ' (
"
)
t
u
, / + , - . v w '
+ , + , / + , - . 2 x v y '
z T Z d T l f [ \ ] \ ^ { n
!
" # |
m b
"
m + , - . , +
!
" # |
b
"
+ , - . } d W k T d W Z h s f d f X Z V c T d e T V X W f X Z V p W X W Z V f i , + , + , - . + , , , / / , a - / , + , - . + : / , , - , ~ . + / , . , + ,
+ , - . + + , + ,
z T Z d T l f [ \ ] \ ] n
"
+ : , + + o
"
+ : , + , , +
!
# $
"
%
"
&
" $
( , / + , - . S T l Z h k d f X W Y Z V
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 74/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 75/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 76/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 8 9 4 5 6 3
! " # $ % &
'
( )
*
+ , - . ,
, $ , % / . , + + , % . # - % . % , +
(
% $ / # . , # ! + , % )
&
&
'
*
&
&
'
! " , / % , # % , . $ - # . &
/ % , / . , - % &
'
/ % / , / . , . : . # + ; % <
<
% . . % # / , / # % , % . &
'
; % - = , # % + - = . # ! > % , % , + , % . < ?
+ , . . # @ % , A B : ?
C
( ?
D
( E E E ( ?
F
/ + , $ % $ . , ?
G
G
$ , % , H ( ( E E E ( I
C
I
C
+ $ % . % - = . / $ , % , + / , + < G J
F
K C
G J C
G
L M L
< G J
F
G J C
G
N O . , : . ?
F
P G
G
$ , % , H ( ( E E E I D
I D
+ $ % . % - = . / $ , % , + / , + / $ +
<
G J F
P Q
G J C
? G
L M L
<
G J F
P Q
K C
G J C
? G
N R
: . ?
F
P
Q
P G
F
P G
$ , % , H ( ( E E E I
S
I
S
+ $ % . % - = . / $ , % , + / , + / $ + <
G J
F
P
Q
P
T
K C G J C
?
G
L M L <
G J
F
P
Q
P
T
G J C
?
G
, - = / . , # ! B , U
<
G J G J C
?
G
+ , - . , , $ , % / . , + + , % . ! B / $ + + , . . # $ % $ . , A M L U
F
( U
F
P
Q
L M ( M L U
F
P
Q
P
T
( E E E ! V - , / + , % , # / $ + A U
F
M L ?
F
( U
F
P Q
W L ?
F
P Q
( U
F
P Q
P T
M L ?
F
P Q
P T
/ . , # U
F
P Q
P T
P X X X P Y
M L ?
F
P Q
P T
P X X X P Y
! Z ; % , # % - = . / I
G
I
G P C
# . U
F
P Q
P T
P X X X P Y
M L U
F
P X X X P Y
P [
M L U
F
P Q
P T
P X X X P Y \ F
M $ , % , / , , ] / # , $ % $ . , ! ^ % + # , # # + -=
_ `
U
M !
+ , % .
<
?
/ # . + # - % .
<
/ % / / + . / # . #
, % % , / . -
/ / / . , # + % + # , , / . , ! a
b c d c e c f g h i j k h j l m l j n o p q r s r t j r s q r i n r t u j p o s k o s j i j v o s
B ,
P `
w
J x
(
P `
w
J x
% . / , + . % , ! B . . . % , , / % , + # . $ + . / , / . - + # . $
x
C
D
N N N
y
x
C
D
N N N
z
$ % / % - = , + , . . # @ % , A x C D N N N y x C D N N N z
x
x
x
C
x
D
N N N x
z
C
x
N N N C
z
N N N y
x
N N N y
z
x
x
x
C
C
x
x
D
C
C
D
x
N N N
y K C
z
y
z K C
y
z
O # . $ . % , + , . . # : . / . - ! { | } ~ ~ R + , , % | | |
P `
w
J x
P `
w
J x
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 77/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 78/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 79/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
! " #
$
% &
'
$
( &
! ) " * ! " #
$
+ &
, - . " . /
" ) " / " . " ) " %
&
' (
&
! ) " * ! " # " # ) , : ; < ; = > ? " $ %
&
' $ (
&
! @ ) . ) A " B ' C ) $ +
&
! @ ) . ) A " B C , D E F G H I J K " ! L ) . %
M
(
M
N O %
M
(
P
N %
P
(
P
N %
P
(
M
Q N O %
M
(
R
N %
P
(
R
N %
R
(
R
N %
R
(
P
N %
R
(
M
Q N S S S
! A " # ) B C ,
T ) # .
$
U % &
U '
$
U ( &
U ! / ) " L
U %
M
(
M
U N O U %
M
(
P
U N U %
P
(
P
U N U %
P
(
M
U Q N O U %
M
(
R
U N U %
P
(
R
U N U %
R
(
R
U N U %
R
(
P
U N U %
R
(
M
U Q N S S S ! ) ? V
M
W U %
M
(
M
U V
P
W U %
M
(
P
U N U %
P
(
P
U N U %
P
(
M
U V
R
W U %
M
(
R
U N U %
P
(
R
U N U %
R
(
R
U N U %
R
(
P
U N U %
R
(
M
U
,
,
,
- L U V
X
U Y V
X
, T ) ) $ U V
X
U Y $ V
X
Z [ , L $ V
X
@ ) . ) ! ) O ' ! $ V
X
! Q / # " / \ , %
M
(
M
N O %
M
(
P
N %
P
(
P
N %
P
(
M
Q N O %
M
(
R
N %
P
(
R
N %
R
(
R
N %
R
(
P
N %
R
(
M
Q N S S S ! @ ] ) . ) ' ! ^ , %
M
(
M
N %
M
(
P
N %
P
(
P
N %
P
(
M
N %
M
(
R
N %
P
(
R
N %
R
(
R
N %
R
(
P
N %
R
(
M
N S S S ! @ ) . ) , ? _ ) . , - . ` " O ^ Q @ ) " # ` " O \ Q " . " ]
# ) " ) . _ W B C ,
T ) # U +
&
U Y U %
M
(
&
U N U %
P
(
& a P
U N S S S N U %
&
(
M
U ' ! b U +
&
U Y V
M
N V
P
N V
R
N S S S Z [ T ) ) $ +
&
@ ) . ) ! ) , c
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 80/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 8 9 4 5 6 3
! " " # $ % & ' ! ' & ( ) & * $ ( ) & + $ & ' ( , - . ! , & / & - " & " ) ( & ' &
( ) * $ ) ( ' & % ! & ) ' ! / $ * : ! / & ( % ; ( & ' & < = > ? @ A B C
D
E F C
D
E G
D
H
I
/ ! " / &
H
G
J
J
J
K J
G
L
K M
M
L
K N
N
L O O O L
M
K M
L
G
L
K M
P Q R S
M
R L
K N
P Q T S
N
T L O O O L O O O L
( % ) - * ( " / ! ! ' , ! ; : & " & % ! U H
G P L S
I V ! ' ) ! : ( " : ! ) ( & ' & ' ! / $ * : ! &
D
P L S
O W X Y Z
Z
* ! " [ & ' \ & " ( ] ^ Z H
* ! " [ & ' \ & ( _ & " : ! " * & _ G ] ^ P ( S & ( ] P ` S G
`
I ^ P ` S G
`
* ! "
a
a b c I
a
a b c d " & : & * ( ! ] P ` S b c ^ P ` S b c ( ' ( a ` a e R ! % ! Z a H
a b c & " : ! " * &
H P ` S G
H
`
b c ( ' ( a ` a e R * ) ( ' ! + $ & H P ` S G ] P ` S ^ P ` S V ( ' ( ` f R ,
H P R S G _ G ] ^ P ; S V ' ! ; ( ' + $ &
P Q R S
g R P Q R S F R L R Q T L O O O L R R F P L R S h G P ) ! \ P T S S
N
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 81/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
!
" # $ %
& ' $
( & ) *
+
,
+
- .
" # $ %
& ' $ / " % + !
,
+
- .
" # $ %
& ' $ / " %
" # $ %
$
" & # $ % $
' $
& #
' ' $
$ " & ' $ %
: & ; :
< $ " & ' $ % $ ' $ & # ' ' $ "
= >
& ' $ %
>
?
@
A
B =
=
C D D " & ' # D % ' E F $ & G & ' ?
@
A
B =
=
H $ D ' $ & ' # D I C D ' E F $ & G
& '
/ " & ' $ % ' E
J $
&
G
; : / K L K M
< E " $ % N O L P K L K Q R L S / T Q L K Q ; : & U T ; :
E " $ % < N V W Q C
X
X Q L K L O Q P C
Y =
) C
X
Y =
X # X
X $ & # $ ' $ " & # $ % ' ' $ & # $ # $ " & ' $ % $ # $ & # # # $ & ' $ $
&
H $
$
# $
I ' $
& # $
H $
# $
Z
I ' ' $
$
H $
&
# $
& ' $
I # $
& ' $
)
$
&
H
$
$ #
$
'
$
#
$
Z ' '
$
& #
$
& ' $
I
#
$
& ' $ $ & # $ & " & ' $ % # $ & ' $ * ; : / K L K M X
Y =
X ) X
X
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 82/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 8 9 4 5 6 3
! " # $ %
&
'
(
)
*
'
+
) , , , '
&
)
(
'
*
)
+
' , , , " - .
/ ! $
$ -
(
: ; < = > ? @ = > A B C D E B @ B F @ G D H I G A B
J K L M K N O P Q R Q S T U M V W K M V L X K Y Z N N K M [ \ ] ! - ^ ] _
` a b c
` a # ^ ]
d
e f
_
g h , i , j k /
l
m n / o $ ^ ]
p
e f
_
q
r k , \ $ %
s d
t u _
c
c
l &
' u _
l &
v , \ ` a
d
e f
c
" - # w a
d
e f
c
" - x y K N L z W M O { V | L } ~ \ ] ! - ^ ] ` a x \ n / o $ ^ ] r n ! $ ^ ] t u
_
c
c l &
'
u
_ l &
v
`
*
x ] $ ! $ ! c l &
# " !
*
c
l &
w
c
_
' c
l &
_
l &
b $ ] - .
p l l & q e p l &
c
q
*
.
q e p l q e p
'
'
x % $ ] .
p l l & q e p l &
c
q
# $ % ^ ] $ ^ ] ! x z K M O { V | L } P Q R Q S $ $ ] ! ] $ $ $ ] ] _
u b / o x - $ $ ] $ - ] [ \
$ %
g
t
u
_
c
c
l &
'
u
_
l &
v
#
$ %
g t u _
c
c
l &
' u _
l &
v \ ` a
d
e f
c
" - # w a
d
e f
c
" - x
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 83/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
! " " ! " # $ $ " " " % " " " " $ &
' ( ) * ( + , - . / . * ( * ) ( , , ( % $ " :
;
< 2 = :
;
:
; > ?
@ A B C D B E F D G H IJ $
; K L
D M E F D G @ 2 N O "
L
P
; Q R
:
;
S " % " C < A = ! S " % " C T A & O " U " H V ! " W
;
@ A D = " " ! " # $ $ " & X Y ( + Z [ ) - . / . \ ] ^ S " % " ! " " " ! " I " $ % " "
: ;
@
A M _ M ` M M M F a D b A G
a M c M M M a D
A
D
N
d ) [ e f g ) h i O " " j :
;
:
; > ?
@ F a D B a G F D B A G F a D B A G D @ A B _ a D B A c D F D B A k a G N l " " ! " ! " m V " F " " " C @ _ k a G " " S " % " & n V " S " " " " ! " ^ I ! % U $ I & o p ( * q , f g ) h - . / . - O r " ! " m V " % % U $ I ! C @ A & s S ^ $ I " " " " " " r " ! " t &
' ( ) * ( + , - . / . u * ( * ) ( v , e p p " : ;
< 2 =
: ;
:
; > ?
@ A B
A
D
B
w ;
D M D
N
I J $
; K > L
w
;
< A " "
L
P
; Q R
:
;
" S " % " " = " " I J $
; K L
w
;
T A " " " " " ! S " % " " & n " " ! " " ! " m V " = ! " " ! " t " j ' ( ) * ( + , - . / . x y :
;
:
; > ?
@ A B C D B E F D G z ! ! " I J $
; K L
D
? > {
E F D G @ 2 z % I | < 2 " " " " S " % " C < A = ! S " % " C } A N
O C ~ @ A " " " ! " m V " = " C @ A " " " ! " t &
A & r " % " " $ " " " " & " " " I " & G
> L
P
; Q R
`
;
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 84/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 8 9 4 5 6 3
! " # $
%
&
' ( )
*
'
$ + , - . * . /
%
&
' ( )
*
'
*
%
&
' ( )
'
:
; %
&
' ( <
'
%
&
' ( <
'
%
&
' ( )
= :
; %
&
' ( >
'
%
&
' ( >
'
%
&
' ( )
? @ @
A
@
B
@
C
D
E
F
F
F G
>
H
I
I
I J
@
>
>
>
C
>
K
C
L :
; %
&
' ( )
M :
'
'
%
&
' ( )
M :
'
'
%
&
' ( )
'
N :
; %
&
' ( <
M :
'
'
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 85/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 86/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 87/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
! " #
$
%
& ' (
) * + ) * + , - -
$
%
& ' (
, . /
$
$
%
& ' (
) * + ) * + , - - / : ; < = > ? @ A > ? B C A D E ? F @ A G > E D H I ! " J " K L J ;
M -
N
%
& ' (
,
*
O
, P B D Q = ? R B F S T
&
, , *
O
U V ) - , ,
O
W X K V ) * - T
&
U V I K K ; Y K I J J " ! "
%
& ' (
T
&
K L J U Z
( V ) [ - \ [ K L J ;
Z
&
(
V ) [ - \ [
Z
&
(
\ [
, [
O
) K [ -
&
(
K * + K , /
]
&
T ^ _ [ T * * ` a K Z
(
V ) [ - \ [ ` a + , ; ] K I J b K ! " c
&
&
%
$ ' (
T
$
U d
&
Z
&
(
V ) [ - \ [ K e c
&
+ d
&
e T
(
; K " H ! "
e
%
& ' (
c &
+
Z
(
V ) [ - \ [ e T (
/
Y H b " K K H " I # e
%
& ' (
, , *
O
+ f ` a + , g e , a /
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 88/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 8 9 4 5 6 3
!
"
# $ %
&
!
'
( %
&
!
"
!
'
) * + , - . / * %
'
: %
"
# ; < = ; > ?
% : % @ A = B # C ? D E F
&
% G F
&
: % G # C ? D E @ A H A ; A ; = H < @ A H ; I ; D A I F
% G H J A D K L M A < E @ I ; H = I H A ; A ; = I ; D A I E ; > ?
!
'
H J A D #
N %
! O
P
Q
K ) * + , - . / * % O
P R
Q
# @ A @ I ; H A I H A ; A ; = I ; D A I = S < = < A A > ? < T = H A H ; U @ ; ; J @ A B K M H E
V
% O
P R
Q
O
P R
Q
% O
P R
Q
"
% #
I ; D =
V
I ; D =
"
% K @ A ; H ? I A E
V
D ; J @ A
W
X
K Y I ; H < Z A I H J A D H ; = I ; D A I K ; [
"
H
G [ G E H F
O
P R
Q
G F
P
Q
P
O
\
G [ O
\
] ] ] ]
P
Q
P
O
P
Q
O
P
% O
P
O
P
Q
% #
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 89/206
0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 7 3 9 6 4 4 6 3 6
! "
#
$
% &
' (
)
* % +
,
-
&
' $
.
/ 1 : ; < = ; > ? @ : ; A ? > B C D E / E / / C / F G
! "
H
I $
J J
K
L , M < > N O < @ P Q R S % G + % %
K
L , C T T / / / U D E V E /
B / / W C / B % X , . / Y /
C / Z [ / C / [ \
] + %
K
L , ^ * ] + - % * % . #
$
% %
K
L , * % + , - #
$ !
)
K
* ] ] + , - ] _ _ _ _
$ !
)
K
+ , - ` S , L J
K
G a - b . c
"
#
$
%
, L %
K
* % + L d / C C C / C / \
"
H
e I $
J f
K
L , + L d . g G
! "
H
I K
, J J M < > N O < @ P Q R S % G + , % % C T E C / [ T C / U D E R / V Z / B / C / / C / C [ / C / [
] + % ^ * ] +
* %
%
.
#
K
* % % % + #
h i h i K
* ] ] + ] _ _ _ _
h i h i K
+ S J G a S - G . j
! "
#
K
* % % % + L d .
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 90/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 8 9 4 5 6 3
!
"
# $ %
&
' ( '
) * + ,
- .
/ !
"
# $
& & * ' . , : ; < ( = > . ) & * > .
?
@ A > . ) & * > .
?
B C ( D A > . E = > . , F
#
G > & * > ) ( & * > . H H H H
#
) ( & * ' . * ( I . ,
J D ( D
K L
# M !
F
#
G >
& * > ) * + , N K L F
!
G > & * > ) * + ,
!
"
# $
& & * ' B B O P Q R P S R T U V P V : D ( D ( ( B
W .
/ !
"
# $
&
'
%
* &
,
: ; X '
%
E & * '
%
( D ( & & * '
%
E & '
%
B X
!
"
# $
& '
%
( ( ( D D (
!
"
# $
& & * '
%
Y Z , [ .
/ !
"
# $
& '
#
: ; J D ' \ & & '
#
E & '
%
, J D ( D
!
"
# $
& '
#
Y Z , - .
/ !
"
# $
' ]
? #
'
%
* & ,
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 91/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
! "
# $
%
!
&
' (
) ! "
# $
%
* + , - . / , , , / / , , : ; , <
= , : , / ,
>
?
$ @ A
! "
# $
%
, - . , B , - , C D : - +
>
?
$ @ A
! "
# $
%
( ' !
&
E F G 2 C H , , I J K I L K M N O I O P : : , : = , : / B / , - , , / , / . , B , - C Q R
S >
?
$ @ A
T ! ! ' ( G
D : : ! U ( V
T
! U ( G W , B +
T
!
! ' (
U
(
! ' (
G
S >
?
$ @ A
X Y Z ( ! ' ( , / . , B , - , + , / , - , = , : , / ,
>
?
$ @ A
T ! ! ' ( [ ' \ G ] R
S >
?
$ @ A
( ^ ! ' ( G ( ^ ! ' ( [ ( ^ _ ! ' ( ` ^ R / P / :
>
?
$ @ A
( ^ ! ' ( [
[
>
?
$ @ A
(
^ _ ! ' ( ` ^ R
[
(
^
>
?
$ @ A
(
! ' ( ` ^
G
! ' ( ` ^ ) ! ' ( , / , - , ( ! ' ( ) ( ! ' ( ` ̂G H : - = ,
>
?
$ @ A
( ! ' ( [ ' \ + - / = ,
>
?
$ @ A
( ! ' ( ` ̂ [ ' \ G a C H , , I J K I L K M N O I O O b M J K P : : , : = , : / B / , - , , / , - . , B , - C
Q R
S >
?
$ @ A
!
&
, c P _ d e ! R
!
&
' (
f , : g
$
[ , c P _ d e ! R G h - - , : / B / , - , , - : , / , B , i, / : - . , B , - , j
S >
?
$ @ A
g
$
[
>
?
$ @ A
_ "
# &
R
$
[ ( ( d "
# &
d ( [ ( "
&
d ( G
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 92/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 93/206
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 7 3 9 6 4 4 6 3 6
! " # ! " $ " % & %
'
(
) * + ! $ ! # , ! # ! # , !
! " # $ - . $ ! ! # ! ! / ! # " ! ! , / ! # " ! ! ! # * * # 1 ) # / ! # " ! , ! ! # ! , ! ! # - " ! ! #
"
:
; < = > ? @ A B = C D E ! F & &
G (
" &
G :
; # H 1 & ! $ - I ! . $ ! F ! ! " # J ! ) - , ! # ! ! ! ! " / *
K
' (
L & & " &
:
M
N
N N N N N O N N N N N N P
" " & %
'
Q R S T
U
V
G : W (
X Y %
' Q R S T
U 1 Z [ U \ M N N O N N P ] U 1 Z [ " ^
( G :
X U + ! ! _ # - ) ! # ! , ! ! # - " ! ! #
"
:
, / ! # " ! I # 1 Z Z ; / ! # " ! I # ;
^ * # [ 1 ) , ! - $ ! # ! , / ! # " ! , ! ! # ! , ! ! # - " ! ! # ! `
'
a
b T
"
:
;
'
a
b c
" " "
:
;
'
a
b ( d
" " " " " "
:
;
< = > ? @ A B = C D e ! _ ! \ !
" " "
:
\ f
"
* g -
H f
I # # ! # , ! - I # ! ! - . $ !
'
a
b c
, / ! # " ! * E $ ! / - ! ! ! h ! - I # ! I # I # J # , / ! # " ! , ! ! ! # ! * e I J ! I # J # ! i ! # . $ ! ! ! # ! / ! # " ! ! I # , / ! # " ! ! I # Z *
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 94/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 8 9 4 5 6 3
! " #
$ % &
' (
) * + , - . / , : ;
! <
=
!
> : ;
! <
$ % &
' (
) > ? @ A B C : ;
! <
$ % &
' (
) &
' (
> : ;
! <
D % &
' (
E
F
G
H I
> : J = !
> $ % &
' (
) @ K !
> &
' (
; L M
N O ; P O
! " #
$ % &
' (
) L Q @ L R
S T U V @ W O ; L J % T V X W % T $ T % ) V $ V % ) X Y W X $ W % ) % X X X * + , - . / , Z [ =
\
> U =
#
> T V X W J
= ]
>
T $ T % ) V $ V % )
X Y X W $ W % )
U X X X U = !
>
T $ T % ) X X X $ T % & ^ ) V $ V % ) ^ $ V % & ^ )
X X X X & W $ W % ) X X X $ W % & ^ )
*
: J =
!
=
! _ #
> T $ T % ) X X X $ T % & ^ ) V $ V % ) X X X $ V % & ^ ) X X X & W $ W % ) X X X $ T % & ^ ) X X X X Y X X X $ & % ) W $ W % % ) X X X $ W % & ) T X X X $ T % & ) V X X X $ V % & ) > > $ & % ) $ W % & ) $ T % & ) $ V % & ) > &
]
% $ W % ) & % W &
]
% $ T % V ) & % T V >
>
&
]
% $ T % V ) & % T V
&
]
% $ T % V ) & % T V
%
$ W % ^ $ T % V ) ) &
&
]
% $ T % V ) & % T V
%
W ^ T X V
&
]
% $ T % V ) & % T V
` $ & ) > W ^ T X V &
]
% $ T % V ) & % T V Z P O : ;
! <
&
# _ a
` $ & ) > L b : P O O c O ; P O W ^ $ T % V ) Q $ W Q T % V ) W ^ $ T % V ) R O ; L $ : W R T % V )
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 95/206
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 7 3 9 6 4 4 6 3 6
! " # $ % # & # " ' ' ( ) % ( & * + & ' ' % , " ' - ' ( & ' . % & & / ( ' + & * ( * & / ( ' + & * % ' + ( . % & . % &
:
;
< = >
? @ A B
<
C
:
;
< = D
? @ A B
<
E
:
;
< = F
? @
A
B
<
G
:
;
< = >
H I
<
?
@ A
B
<
J
:
;
< = D
H I
<
? @ A B
<
K
:
;
< = F
H I
<
? @ A B
<
1 ! " # $ % # & # " ' ' % , " ' " $ ( " # & ' L & # " ' ' ( ) % ( & * + & ' ' & ( & ' M L & , % & ' + & . % & N
:
;
< = D
O H O P Q R * L ( $ " $ ( * N S ' & T " $ $ ( * & ' " $ ( " # & ' C
:
;
< = D
O H O P H O P U Q 0 U V R * L ( $ " $ ( * N S ' & T " $ $ ( * & ' " $ ( " # & ' U S ' & & # W X Y Z [ X Y \ ] [ ^ _ Y ` Z [ a X _ ^ " " L & , ' + " . % & # " ' ' ( ) % ( & * + & ' ' & ( & ' $ * b & ) & *
:
;
< = D
O c
d <
e
C
:
;
< = D
H O P H O P 1 E
:
;
< = D
O H O
f
P g
f
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 96/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 8 9 4 5 6 3
! " ! # $ % & " ! " ' ( ! ) * ( ) + & " ) # ) , " * +
- .
/
+ .
/
: . ; . < .
/
: : = . >
? @ A B ! " ! # $ % & " ! " ' ( ! ) * ( ) + & " ) C % + , " * +
- .
/
: .
D E
.
/
+
> F @ A B ! " ! # $ % & " ! " ' ( ! " )
/
: =
: # ) , " *
@ A B B G @ ! " ! # $ % & " ! " ' ( ! ) * ( ) + & " )
C % + , " * + - .
/
: : . ; : .
E
.
/
H
: I
: .
E D
> I + C % " % ! " ) % J ( & ) # C " ) & " ) % # C % $ ! " ! C ) J % + ! J K $ ) & ) * ( ) + & & % " $ ! ' ( ( ! $ ! " A @ L
M ) N . ( + % ) + % $ ) % # * " ! # % O P Q . ( + % ) + % $ ) % # * " ! # % R S ! " )
/
N . Q . . T % + , " * ) R U O : > V ) , " * ) R W O : >
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 97/206
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 7 3 9 6 4 4 6 3 6
! " #
$ % ! " # ! # # # " # & # # " ' ( " # ) # ( " *
+ ,
-
. /
+ ,
-
. /
0
+ ,
- . /
+ ,
-
. /
+ ,
-
. /
: ; < =
. > + ,
? @ A B B B C D " @ B E # # * F G # @ A B B B " # # ) H # " " )
I J D
J
" K L @ M B
$ N O ; ! ; < ) P # # " ' ( # Q
I J R J B S : % # " ) # & " # " ) T # " ) ; * < =
. > + ,
?
@
A
B B B
C D U 1 B : % # " ) # & " # " ) T # " ) ; *
< =
. > + ,
V
.
-
W /
"
X U
Y
D
@
U
B
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 98/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 4 8 9 4 6 3
!
" # $ # % & ' ( ) * + , - . $ . / ) + # + . $ , .
% : ; + < # + . $ , . = > . - . ( ) * ? . $ @ . = # $ # # @ > * ) + ? # ) $ . + - . % A - , ? . $ @ . $ = # $ # ) < $ ) + B ; * @ . * . $ # C # ( ) * ? . $ @ . * ( , # + . - # . * , * < . $ ? # ) + B D , # + . $ , .
% ( ) * ? . $ @ . = # $ # < ) - ) % . * # @ E > * , * < . $ ? # ) ( . $ $ # - ) F G H I J C . * < ) * ( . + + . = > . - . - . K * , $ > * # L > * ( , E ) * ( ) * - ) / , * , ) F G H I J < # M > .
% N
% : ; * . + < ) + ( # + ) + = ) - . / ) + - . - > ( , $ = $ ) = , . - # - . + - . # L > * ( , E ) * # = # $ < , $ - . # + = $ ) = , . - # - . + - . # + . $ , . ) ? , ( . ? . $ + # B O ? . ( . + C # $ . + ) ? . $ . ( > # ( , ) * . + - , L . $ . * ( , # . + , * . # . + > + # * - ) + . $ , . + - . = ) < . * ( , # + C + > $ @ . . = $ ) P . / # - . . + < > - , # $ = $ ) = , . - # - . + - . # L > * ( , E ) * - . K * , - # / . - , # * < . > * # + . $ , . B Q < $ # + ? . ( . + C - # - # > * # L > * ( , E ) * + . M > , . $ . - . + # $ $ ) # $ # . * + . $ , . C . + < . . + . ( # + ) - . # + + . $ , . + - . R # A ) $ A - . S ) > $ , . $ B " # $ # . . + < > - , ) - . # + = $ ) = , . - # - . + - . L > * ( , ) * . + - . K * , - # + / . - , # * < . + . $ , . + C . + , / = ) $ < # * < . ) P + . $ ? # $ . < , = ) - . ( ) * ? . $ @ . * ( , # B
; * # + + . $ , . + * > / E . $ , ( # + < . * . / ) + - ) + < , = ) + - . ( ) * ? . $ @ . * ( , # T ( ) * ? . $ @ . * ( , # # P + ) > < # A ( ) * U
? . $ @ . * ( , # ( ) * - , ( , ) * # ) + , / = . B
" # $ # . ( # + ) - . # + + . $ , . + ) + > ( . + , ) * . + - . L > * ( , ) * . + < . * . / ) + ( ) * ? . $ @ . * ( , # = > * < > # ) + , / = . A ( ) * ? . $ @ . * ( , # > * , L ) $ / . B V # ( ) * ? . $ @ . * ( , # = > * < > # C . + ( > # * - ) # = $ ) = , . - # - - . + . $ ( ) * ? . $ U @ . * < . - . = . * - . - . W X Y ( ) * + , - . $ # - ) B Z [ \ ] ^ _ ^ ` a ] b c d c e " # $ # ( # - # f & g + . #
T F G H I J h ' > * # L > * ( , E ) * $ . # B i , $ . / ) + M > . # + > ( . + , E ) * - . L > * ( , ) * . + j
k _ a ] l [ m n [ o p ] q p r s t [ ] q [ a u ^ t o s [ t [ ] q [ # # L > * ( , E ) * + , = # $ # ( # - # % & F G H I J A ( # - # v w x C . X , + < . y
& g H y
N y
v H % H < # M > . z
% { % z | v = # $ # f } f
v H % B
V ) , / = ) $ < # * < . - . . + < # - . K * , ( , E ) * . + * ) < # $ M > . . y
# = # $ < , $ - . ( > # # - . K * , ( , E ) * - .
( ) * ? . $ @ . * ( , # + . $ . # , ~ # - . = . * - . - . v A - . % ( ) / ) ? . $ . / ) + . * . + , @ > , . * < . . . / = ) B [ t o s a b c d c ) * + , - . $ . / ) + # + > ( . + , E ) * - . L > * ( , ) * . + j
k C - ) * - . ( # - #
T F x H J h . + < E # - # - # = ) $
% N %
: D . # T F x H J h ' C # L > * ( , E ) * - . K * , - # = ) $ % N x + , x % | A N B
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 99/206
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 7 3 9 6 4 4 6 3 6
! " # $ %
& ' " ( ) * " " + " ! " $ ,
- . / / " " ! "
%
' ' ) ) * " . " ' ) ) : ! ; ' < ) ) = > * " . " ! ) ) " "
%
?
@ / ( '
A B C >
< )
)
=
. * " . " . D . , : . ! '
( * E > F D E > G ,
- " H " ( ) " . ! " " > G ' / ( $
%
A G C > G
%
> G B * , . " ! " " " G ' ( " " ( ) " G , - " ' " '
A B G C > G " " ! ) ' " * > F ' ! " ! " " " F ' " " / ! " * . )
A B F C > G I " ! ; " ' ! ;
% J K L
$
%
A C > $ A C B . " .
$ A C >
M F F ? G
G > G
N O P Q R S R T U Q V W X W X - . Y Z $
%
[ \ ] B ^ _ ` a " + " ! " , ! " . + " " # $
%
& S U Q b O c d O e Q R f U c g O g O Q h O + " ! " $ [ \ ] B ^ _ ` a ' * . i F ' j
Y Z B
>
A C B $
%
A C k $ A C ? * .
D Y \ ] B ^ _ , - " ( ) " " +
. * " . " . D * . * " ' . l ! ; " / e Q R f U c g O , ' * . " " * . " ( ) " " + ! + . " ( ) " * " , : ! ; ' " [
" ( ) " " + > m " ( ) " * "
" ( ) " * " E > m " ( ) " " +
n o O g p q U V W X W r s ! " . + " " . * t , u , v " ( ) * " " ' * " " + " , s " ( ) " " * . " + D ? G w v " " * j
x
Y Z
x
*
%
i * ) ! " Y _ F B G \ I " + ' / *
%
G w v , , ) k ) v ,
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 100/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 101/206
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 7 3 9 6 4 4 6 3 6
!
"
# $
% & ' ( ) * + , - . /
!
"
# $
: ; < = ; > ? @ A B C > B D E < F ; F ; C ; ; G H I J K ' L B ; @ M
I > N B ;
O P A > @ ; < D ;
!
"
# $
; @ : ; < = ; C ;
Q
R
S
T
!
"
# $
U
@
: ; < = ; > ? @ A B C > B D E < F ; F ; C ; ; G H I J K '
V F R
S W ; X ; W ; W ; M ? > @ C > > X A D > < ; A < D C ; < D >
!
"
# $
U
@
F X > < Y > W A >
!
"
# $
' Z C < @ < D C ; < D @ X > < > A > : ; < = ; D > B D E < F ; @ A @ @ D = B D ; C ; @ [ \ * . ] * + ^ / _ ` a B X = > F @ N B ; [
b > @ B ; @ D Y W ; E B D ; @ J
[ G H I J K c & @ > C D @ E > ; [
L > < > > W > % G H I J K A > @ B ; @ D Y d J
e ; @ F Y C > W ; < ; D ; C ; M J
f M X > < > > W > % g % G H I J K ' Q b > @ ; < D ;
!
"
# $
H
; @ B D E < F ; F ; C ; : ; < = ; C ; ; G H I J K h C ; @ M A > @ ; < D ;
!
"
# $
H
i J
; @ B D E < F ; F ; C ; : ; < = ; C ;
( ) * + , - . / _ _ V @ D W ; < ; F @ J
I U H
U
b > @ B ; @ D Y
J
@ > C D @ E > ; A > @ j X Y C ; @ D @ W ; A C ; < ; F > 1 S P A > @ ; < D ;
!
"
# $
H
; @ B D E < F ; F ; C ; : ; < = ; C ; L < A C > C M X W ; F @ A B D < N B ; A > @ ; < D ;
!
"
# $
U
; @ B D E < F ; F ; C ; : ; < = ; C ; X > < > U '
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 102/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 4 8 9 4 6 3
! " # $ % &
' ( ) ! # * % # + , - % . * + % # /
& / # ! + # . ! * % & ! ! * ! - ! : ; / ) ! # * % # + , < /
= : > ? % # " , ! - % * % * + % % @ A ! # * % # + , < /
= : > ? * B % % + . " % " % % ! ) ! . * + , ) ! % / C D ( ! ! * ! - ! E ; F G * ! - ! : ; / # % * " ) % $ % H
I
J
K L
M
= : > H N O @ ! ! ! ) , O ; % * % # ) ! # % + %
P I
J
K L
= : > / = : > * B % % + . " % " % % % / (
Q R S T A ! # % + %
I
J
K L
U
' ) E V '
W
X
:
E
Y
% # + . " % " % % * B % % % % Z ' ( ! ! * ! - ! [ \ Z \ ' C ] % . % * @ U ' ) E V ' W
X
N ) = E V ' >
^ _
! ! * ! - ! Z ; [ ' G : ; Z ' C ) ! @ % # ! # * % # + , " , ! - % * % * + % % $ % * B % % ! ) ! . * + , ) ! G # % + % %
H
`
J
K L
:
E
Y
H N
`
J
K L
'
E
Y
N O a
I
J
K L
'
E
Y
C
b c d c e c f g h i j k l m l k n l k o m n n k g j k n p q j r h g s k s k q t k u h q v k g w k q t k n
A ! * B % % * + ! + . " % + % % ! ) ! # + % - ! - % # $ % ) ! x ! * % % # % * + ! ) " % % , + ) % % ) * , ! ) * ) - + . % % * + ! ) % + % ! ) ( ] # ! # # & + ) ! # % + %
P I
J
K L
y
= : > * B % % + . " % " % % % / ! ) ! . * + , y = : > @ % * % # # % + % % & ' ( z { | } { ~ } T ~ { } { ~
+ ! ! * ! - ! E ; F @ y
% # * + ! % : a :
% * % # ( y % # * + ! % : a :
C
D ( { | } { | } { | } { + * ! - ! y
% # * + ! % / G
I
J
K L
y
= : > * B % % + . " % " % % ! y = : > @ % * % # &
P I
J
K L
y
= : > : * B % % + . " % " % % ! ) , " %
y = : > : C
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 103/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
! " ! "
# $ % & ' & (
)
* $ + , + ' + - $ . & ' & % / , * $ , & + ,
) :
(
; )
< = > % / , . + - ? + , $ @ / - A + A + , * + + , B
) :
(
)
< = > % / , . + - ? + , $ @ / - A + A + , * + & ( < = > + , * / , % + C ( + C ' + - $ . & D E + + , = B (
;
< = > F
G
) :
(
;
)
< = > H I J " K L M N O N P Q R & - & S T U = U T . & A / C & % & E % E & - + E . & E / - ' + E & C + - $ +
T
T V = V
W =
T V =
X
V
Y =
Z
T V =
[
V
1 =
\
T V =
]
V ^ ^ ^ _ / , C $ ' + - & A / C E & C + - $ + E / ? < T S = > V E / ? < T V = > V E / ? < T V =
X
> V E / ? < T V =
[
> V ^ ^ ^ H # C A & + , ` + C $ A & + C
a )
< = > F E / ?
b
< T S = > ^ < T V = > < T V =
X
> ^ ^ ^ < T V =
X
c d e
>
f
F E / ?
b
< T S =
X
> < T V =
X
> ^ ^ ^ < T V =
X
c d e
f
F E / ? g T S =
X
c
h i C $ , A + ' $ & * / j + + C * & C A & * $ + , ' + & % + - / k & - & l = l U T m C ` n E / ? < T V =
X
> V E / ? < T V =
[
> V ^ ^ ^ % / , . + - ? + , $ @ / - A + A + , * + & S E / ? < T S = > S E / ? < T V = > H o + & % + - ' / & E - + C E * & ' / & , * + - $ / - E & C + - $ + ' + ' + - $ . & ' & C ' + + C * & C + - $ + ' + E / ? & - $ * A / C % / , . + - ? + & E & ' + - $ . & ' & ' + E & @ , % $ ` / , E ` n A $ * + + C ' + % $ - p
W =
T V =
X
V
Y =
Z
T V =
[
V ^ ^ ^ F
T
T S = S
T
T V = H _ / , % E $ A / C + , * / , % + C j + T T V = V W = T V =
X
V V Y =
Z
T V =
[
V ^ ^ ^ F T T S =
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 104/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 4 8 9 4 6 3
! " # $ % & $ ' & " ( # ) * & $ & + ( & $ * & , - ! " ( % ! & $ & $ & ) . - & $ & % / ( & ! & # ) " % ! $ ( * & + # + ) # $ # ' ) ( " # " ( % ! & $
:
;
< = ; > < ? ;
:
< = @ A . - B C - $ # + & D % $ ) # " % ! E & ! " ( B % !
:
:
F & $ - * ( # + & D % $ ) # $ $ & + ( & $
G
H
I :
:
;
& ! . - & # ) J - ! % $ B & + D ( ! % $
' - & * & ! $ & + " & + % K
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
B & $ # " % ! E & + V # ' # + # # ) J - ! % $ E # ) % + & $ * & W # " ( # ) # , - ! " ( B % ! * # * # K
Q X ( $ & ! # ) J - ! # $ , - ! " ( % ! & $ ! % & ) & D & ! # ) & $ . - & $ & * & O ! & ! D & * ( # ! & $ & + ( & $ " % D % ) # , - ! " ( B % ! W ( ' & + J & % D B & + ( " # F ) # , - ! " ( B % ! * & Y & $ $ & ) K Z [ \ ] ^ _ ` ^ \ a b c d ^ e \ c f ^ _ b ^ d ^ g [ h ^ \ a b c f ! # $ & + ( & * & ' % & ! " ( # $ M
i G
H
I :
:
( & ! & + & $ # ) & + ! # ( # $ & ! " - # ! % # $ - " % ! E & + J & ! " ( # M
K L % ! E & + J & $ B % ) % ' # + #
:
@ R K L % ! E & + J & ' # + # % * % < = @ j K L % ! E & + J & & ! # ) J B - ! ( ! & + E # ) % $ ( D B & + ( " % & ! % + ! % # ) ' - ! %
:
K
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 105/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
! " # $ % & ! % ' % ( ) * % + , ! # $
- .
/
, ) + % & : % % +
; < = < > ; ? " #
$ % & ! % % $ # @ $ ) " A * # B % + * % , ) + % & : % + * % ( # & # * ) ' ) % + C C D C
C E , ) + % & : % A + ! F ) & B % B % + * % % + C
C G H C < C I ( # & # * ) ' ) H * # " J A % ? D H D K L M N O P Q R S T !
- .
/
, ) + % & : % % + < ;
I % + * ) + , % $
<
U ? I , A # + ' ) V U W X L Y ) B ) " # $ A , % $ ! Z ) + [
<
\ % $ , ) + % & : % + * % I % " " # % $ # , ) * # ' # L ] + * ) + , % $ I % ^ ! $ * % H _ ? * # "
J A %
C
<
C G H = ( # & # , A # " J A ! % & % + % " ! + * % & # " ) I C
C D C < C ` a $ Z b I % ^ ! $ * % A + c * # " J A % I d d d d
< d d d d G c D K
e $ # + ' ) , & ! * % & ! ) ' % , ) B ( # & # , ! Z ) + % + * & % I
- .
/
C
C E
- .
/
H c
J A % % $ A + # $ % & ! % : % ) B Z % * & ! , # I * % + % B ) $ C
C ; C
<
f
C g d d d d
< d d d d
G H c
` Y ) B ) ? D c D K I " # $ % & ! % : % ) B Z % * & ! , # , ) + % & : % E ( ) & , & ! * % & ! ) ' % h % ! % & $ * & # $ $ " # , ) + % & i : % + , ! # ' % " # $ % & ! % ' % ( ) * % + , ! # $ % $ A + ! F ) & B % E # @ $ ) " A * # B % + * % % + % " ! + * % & # " ) I C j
C G c C < C `
k
l m N n P Q R S o ! " # $ % & ! %
- .
/
, ) + % & : % # " B % + ) $ ( # & # A + > ;
I % + * ) + , % $ ( # & # # " : A + < ;
> ; ? L p ) & % " * % ) & % B # # + * % & ! ) & I % ^ ! $ * % # " B % + ) $ A + ! + * % & # " ) # @ ! % & * ) C
C D C < C =
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 106/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 4 8 9 4 6 3
! " # $ # % " & # $ ' & ( ' ) '
*
( & ( ' ) + ( & , -
.
/ ' ) +
.
" # $ # # $ % & $ % ( ' ) '
*
( " $ # ' & ( ' ) '
*
(
: " ; < = > ? = @ A ? B C @ ; D @ B A > < $ $ #
E @ F B > A > G ? B H I J I K L M $
N O
,
. P *
-
.
/ ' ) '
*
.
" Q ; < = > ? = @ A ? B C @ ; D @ B A > < $ % & R S % T
. U N O
V
W -
.
Q > B X @ ; C < Y ? = @ A ? B C @ ; D @ B A > < $ $ '
*
Z $ $ " $ " [
( ' ) ' *
(
\ ] ^ @ ; C < A > G ? B H I J I K H _ % % $ $ $ $
O
,
. P *
-
.
/ ' ) '
*
.
$ $ ` % ! $ R S % T
. U N O
( -
. N a
-
.
( : " # $ $ $ % T
. U N O
( -
. N a
/ ' ) '
*
. N a
-
.
/ ' ) '
*
.
( # $ b # % $ % $ $ $ % T ` !
[ % % $
c @ ? ; @ d < H I J I K e _ $ #
N O
,
. P *
-
.
/ ' ) '
*
.
# Z % $ f
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 107/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
! " # $ % & ' & (
) * ! + " , $ # $ - , . # # $ , " / , $ " - $ $ $ " / , " + " , $ # $ ! $ % $ & $ " / , & &
(
: - ! $ % $ & &
(
: - , . # # $ ! $ , " / , $ " $ & &
(
: : $ " & &
(
; < = > ? @ A B C D E F E G H * # "
I
J
K L (
M ) N
K
O P
M & N
K
Q
R + $ " ! , # " % S $ T
' " S U #
K V I
W W W M ) N
K X Y
O P ) Z O P M ) N
K
W W W ' ) Q [ S U : " ! % & \ ) " / , " # # ! % ] ) & 0 ) Q
[ ^ + # " _ % # $ " $ # " $ "
R & ' ] \ ) ` $ #
X I
J
K L (
M ) N
K
O P a ] ) b
K
'
I
J
K L (
O P '
I
J
K L Y
O Q $ " # S - : , $ # $ : ! c & ' 0 \ ) $ # :
X I
J
K L (
M ) N
K
O P
a
)
b
K
'
I
J
K L (
M N
K
O P
Q
$ " # S " $ - : " , ! : ! d $ . # " , # / , " ! % ] ) & ; 0 ) - , ! ) Q
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 108/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 4 8 9 4 6 3
! "
# $
%
& ' (
) * + , - ,
(
.
&
/ ! ! , ,
(
: / ;
< " , = ,
(
> ? @ A B
& C # $
D D D D + ) E ? . * + , - ,
(
.
& #
) * + , - ,
(
. D D D D A B
& C # $
D D D D + ) E ? . + , - ,
(
. D D D D F , - ,
(
F A B
& C # $
+ ) E ? . E G H ! I ! J " J / ! / " @ K I L M " " N / L M ! " / ! ! , , (
O
! "
# $
%
& ' (
+ , - ,
(
.
&
) * " ! J " J / ! / " @ E G P : / I " , = ,
(
I ; ? @ A B
& C # $
D D D D + , - ,
(
.
& # Q
+ ) E ? . * ) * + , - ,
(
.
&
D D D D A B
& C # $
D D D D , - ,
(
) E ? D D D D K ! " / ! R M ! J , S T I J / " ! @ E G O P ! " / M ! I / ! M " : ! J " ! / ! ! J U / J O
# $
%
& ' (
+ - ? .
&
V
&
,
&
W ) E ?
< " , = K ; ? @ A B
& C # $
D D D D + - ? .
& # Q
V
& # Q
W ) E X Y W ) E ? + - ? .
&
V
&
D D D D A B
& C # $
V D D D D W ) E ? W ) E X D D D D V
H ! I @
?
V
O
Z [ ! J R " \ ! L M M / J / ! J " ! / ! J K U J ! J " ? V O J / " ! I ! F , F ? V O < " , ? V I ! "
# $
%
& ' (
+ - ? .
&
W ) E ? / M / ! ! / ! " ! " J ! " ! J O
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 109/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
! " # ! $
% &
'
( ) *
+ , - . / : ; < = ; > ! ; > ! # ? " < ? ; # ! $ ; < @ > = " A ! " B ; > ? C = = < " ; = D > ! B ? A ! !
% &
'
( ) *
E F
(
G
(
E , - F
H
+
( % I
J
K
L M B
( N % &
O O
O
O
P ( % I
P (
O O
O
O
L M B
( N % &
O O
O
O
E F
( % I
Q E , - F - R
H
+
( % H
S
E , - F
H
+
( % I
E F
(
O O
O
O
L M B
( N % &
O
O O O E F S E , - F
H
+ Q , - + R
H
O
O O O L M B
( N % &
+ S T ,
H
- T , - T ,
H
- , - U L M B
( N % &
+ S T ,
H
V - , - T ,
H
W T ,
H
V - + , - U T ,
H
W + J X ! < ? ; # ! $ Y ? = > B ; > ; ; > ! # ? R + Z + Q J : > = " ? ; ? D > ! B ? " [ " [ ! < < ? \
. / ] : ; < ? ; > ! ! ; > ! # ? " < ? ; # ! $ ; < ; ; ^ ! ? C = A ; ?
D > ! B ? A ! ! _
% &
'
( ) I
,
(
(
, ̀J K L M B
( N % &
O O O O P
(
- P
(
O O O O L M B
( N % &
O O O O E , - F
( % I
E , - F ̀S , ` ,
(
O O O O L M B
( N % &
O O O O a , - , b S E , - F , ` E , - F ̀O O O O
L M B
( N % &
V
-
,
W (
L M B
( N % &
V - , W
(
c J d L M # B ? C = ! < ? ; # ! $ Y ? = > B ; > < = ; " ? > C = e e f c J
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 110/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 4 8 9 4 6 3
! " # $ % & ' ( ) *
+
,
- . /
-
# (
+
,
- . /
-
: /
-
% ; < % & = # & > ? & > ; @ :
/
@ A ) B C # & > " # D ; & ) : E
F
G E
H
: E
I
G E
J
K K K % * ; % " ; L M ; ; @ E @ N ) L ) G E
F
O P
Q R S ; > # = " & # ; = " & # # " # T U
V
/
) ) G E
F
W E (
+
,
- . /
U
V
/
: )
-
E
F -
W E (
(
+
,
- . /
: )
-
F - X P
Y Z G )
( :
[
\
G
]
^
:
_
G
` # # # D ; > # L # " # W W E ; ; E ( ) ) G E
F
a " # U
V /
W W E ; ; E W E ( ; ; : ; ; b ( ; ; B c % S # L ; ; ( :
[
\ G
]
̂:
_
G B B B d B B B B C # " # ; ; ) ( e f L " # T
e
f
( ) :
)
\
G
)
^
:
)
G K K K B
g M h ; > # e L # $ % > ; L e ( f : f \ G f ̂: f G K K K $ % M % > # & > ; > ; # " # % ; > ? & & = # > D = % " # e * M " & ; D % D ; ! ; D # ; M # i & " ; > # > = D # D S ; > # > i ; & % > $ % % # $ % & ; Q j k l m n o p m o p k n p q r o m n l p
s k l t u &
(
X +
,
- . /
-
:
-
L @ : @ N '
P
L v (
X +
,
- . /
w
-
:
-
L @ : @ N '
F
a
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 111/206
0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 7 3 9 6 4 4 6 3 6
!
" #
$
% & '
(
%
)
%
* (
%
+ , * ( , - . / !
" #
$
% & '
%
$
& '
(
)
%
* (
%
+ , * ( , - . + . ! .
+ .
:
; <
= > ? @ A B A B C D @ ? D E ? F G C D
H I J K L K K K M K N K O P M O L O Q O K R L O M O L S K N T L K O S L P O K U
" #
$
% & '
%
V W X Y Z [ \ W ] ^ _ K (
%
!
%
R (
% "
!
% "
I ` K N L O L O N K L K a
b M
N
% c " #
d
d
d d
(
% "
(
%
d
d
d d ! N
% c " #
d
d
d d
% "
%
d
d
d d ! N
% c " #
, , ! , , e M P R N K L O S L P O , , - H f g * H - - H
e M P R N L K O S L P O K . ! H I h M K K N O L S K N S L P i
O K R M O b M M L L N S K N L j L k * H + H l I _ O ! H R N K L O R
" #
$
% & '
H
%
!
" #
$
% & '
H ! m e M P R ! H N K L O O S L P I
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 112/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 4 8 9 4 6 3
! "
# $
% & ' ( ( ) * ' + + & * , + + ) - ( & # ) . $ + ) - ( * / ' - , ( + ) - ( * ) , + & , ( ) - ( & + $
! "
# $
: ; < = > ? @ A
# $
( * , ( & A B
# $
B
B
C ( + , & D
* , + E , ( * ( F , G ' H F
I
J J J J A
B
A
J J J J F
I
J J J J # $
B
B
# $
J J J J F
I
K K K K % ' - , & , ( ) - H
K K L M N L L
% ' - , + , + & , ( ) - ( & O P ( & ' ( * , ( * ) , + & , ( ) - ( D & * ' + F , G ' , & ' ( , ) , Q * F , +
! "
# $
! "
# $
% & ' ( ) * ' + + & * , + + ) - ( & # ) . $ + ) - ( * / ' - , ( + ) -
! "
# $
! "
# $
# $
! "
# $
R
! "
S T
% ' - , ( + ) - ( * ) , + & , ( ) - ( & + U $
! B
V
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 113/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
! "
#
$
"
%
& ' ( ) ' * + ! " , -
#
$
" , -
% . /
+ ' ) * ( )
) ' ( ' ) + : ; <
" = , >
? ? ? ? !
" , -
!
"
? ? ? ? # <
" = , >
? ? ? ? ? ? ? ? $
" , -
% . / $
"
% ? ? ? ? ? ? ? ? # <
" = , >
? ? ? ? $
" , -
% . / @ % $
"
? ? ? ?
# <
" = , >
?
?
?
?
% . /
%
@ $
?
?
?
?
# A $ A B : C ) & + * ) ' D C + ; A $ A E / F G H / E $ E / B : C ) & ) * ) ' D C ' * + I # / J ' * : ' ( ) ' ( D ) * ) ' D C ' K * & + ( : ) + : ) * : ' ) + D ) + L ( ) + M H / N / O
$ # / & + + &
, >
P
" Q -
/
"
% #
, >
P
" Q -
/ % B * : & ' D ( : R S ) T U V + D C ' ( W : C ) ' $ # / + D C $ # H / & + + &
, >
P
" Q -
X H / Y
"
%
B * : & ' D ( : * ( ) B Z ' + * ) ' D C ' ( W : C ) & ' $ # H /
+ * ) ' D C [ + < & ' ( D ) * ) ' D C ' * + + O H / N / O \ Y
, >
P
" Q -
$
"
] %
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 114/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 115/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
! "
#
$ % & '
"
(
"
$ 2 ) * & '
+
, -
" . /
! " . /
#
$ % & '
" . /
(
" . /
$ 2 ) * - '
+
, -
" . +
: ; < ; < : ; = > ? @ A B : > C ?
" D . E
F F F F !
" . /
!
"
F F F F # : > C ?
" D . E
F F F F F F F F $ % & '
" . /
(
" . /
$ 2 ) * - '
+
, -
" . +
$ % & '
"
(
"
$ 2 ) * & '
+
, -
" . /
F F F F F F F F # : > C ?
" D . E
F F F F $ % & '
" . /
(
" . /
$ 2 ) * - '
+
, -
" . +
, $ 2 ) * & '
+
, -
" . /
$ % & '
"
(
"
F F F F
# : > C ?
" D . E
F
F
F
F
$ % & ' ( $ 2 ) * & '
+
- $ 2 ) * - '
+
F
F
F
F
# F F F ( - F F F : > C ?
" D . E
F F F F $ 2 ) * & '
+
$ 2 ) * - '
+
F F F F # F F F ( - F F F G A H : ; < I ; H < B F F F ( - F F F J & K L % - J ( J -
G A H : ; < I ; H < M # - N A : < ; I : I ; H
< A < ? @ A A ; ; : I : ; O ; ? P % - Q - R
< ( # - : ; <
. E
S
" T /
$ % & '
"
, -
"
$ 2 ) * & '
+
, -
" . /
# & -
. E
S
" T /
$ % & '
"
$ 2 ) * & '
+
G A : I < ; A : ; < ; < G < U < = I ; H V : A H ( # - : ; < I ; H < ( # % - : ; <
. E
S
" T /
$ % & '
"
$ % - '
"
$ 2 ) * & '
+
, -
" . /
#
. E
S
" T /
$ % & '
"
$ % & '
"
, -
"
$ 2 ) * & '
+
, -
" . /
#
. E
S
" T /
& $ 2 ) * & '
+
, - # & -
. E
S
" T /
& $ 2 ) * & '
+
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 116/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 4 8 9 4 6 3
! " ! # $ % & % $
' ( ) $ % * + , $ $ % - ) . /
: ' ; "
; < = > ? @ A B C > D E F G
(
: ' ; "
; < $ G
H
( : ; <
: ' ; "
H
; " ! I $ $ J + $ K $ L M
+ , K
N
O
O
O O
G H
G
O
O
O O ( + , K
N
O
O
O
O
O O O O
: ; <
: ' ; "
H
; "
: ' ; "
; <
O
O
O
O
O O O O ( + , K
N
O O O O : ; <
: ' ; "
H
; " P ; <
: ' ; "
O O O O ( + , K
N
O O O O : ' ; " P : ; <
Q
: ; O O O O ( R ' ; " R + , K
N
O O O
O
: ; <
Q
: ;
O O O
O
( R ' ; " R % $ $ % M R ' ; " R S < T U ) S ' S ) < % $ $ $ % V ( < ! W $ $ $ % X K $ L $ $ $ Y K $ / ) . ) < - ! F ' ( ) <
P <
; <
(
; <
Z $ K $ L M + , K
N
; < ( ; [ \ ( ] % $ $ % % & % $ ' ( ) < % !
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 117/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
! "
#
$ % &
'
(
) * + ,
$
' - + . / / / :; / / < = + > ? ,
! "
#
$ % &
'
(
* - + ,
$
@ A B C D E F A G H I $
'
(
* - + ,
$
/ I $ ! J
* ' - + ,
(
* - + ,
$ ! J
K / L : M N O : ; M
$ P ! "
Q Q Q Q I
$ ! J
I
$
Q Q Q Q : ; M
$ P ! "
Q Q Q Q * ' - + ,
(
* - + ,
$ ! J
'
(
* - + ,
$
Q Q Q Q : ; M
$ P ! "
Q Q Q Q * - + , ) * ' - + ,
(
'
(
Q Q Q Q R - + R : ; M
$ P ! "
Q Q Q Q * ' - + ,
(
'
(
Q Q Q Q
R - + R
. / O R - + R S + T U V S S W . / / X + Y / / Z / M N / [ M < V = W > V
! "
#
$ % &
'
(
* V - + ,
$
! "
#
$ % &
'
(
* + ,
$
. / / / * + \ , V W
! "
#
$ % &
'
(
* W - + ,
$
! "
#
$ % &
'
(
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 118/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 4 8 9 4 6 3
! " # $ $ %
& ' ( $ ) * $ + , $ $ - . / ( / ) + $ $ $ + $ $ $
:
& # '
; <
=
: > ?
. ! #
@
&
A @ ; :
B C D E B F F ! # D /
A @ ; :
G # H $ I
:
$ J K # H $ &
:
:
& # L $ + M $ I N O O & &
:
:
& # # ' &
:
: P Q
& #
R # $ L $ &
: P Q
S
I I N &
T :
& # ' &
: P Q
& # .
:
& # U V W X Y Z [ V \ ] G #
:
& # '
; <
=
: > ?
. ! #
@
&
A @ ; :
B C D E B F F ! # D /
A @ ; :
^ _
@
' . ! #
@
&
A @ ; :
B C D E B F F ! # D /
A @ ; :
_
@ ; Q
' . ! #
@ ; Q
&
A @ ; A ; :
B F ! # C D E B F F / # D /
A @ ; A ; :
) * ` + $ I N
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 119/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
! " # $
%
& & '
! ( ) # $ * + , ! ( ) - ) . $ + .
& & '
! " # $
%
& '
( * + , ! ( ) - ) # $ + .
& '
! " # $
%
& & '
! ( ) # $ * + , ! ( ) - ) . $ + .
& & '
+
( * + , ! ( ) - ) # $ + .
& '
! " # $
%
& '
! " # $ %
&
! ( ) # $ ! ( ) - $
%
&
! ( ) # $ ! ( ) - $ / #
: ; : < = > = < ; ? @ ) A B C = C D E F ! G '
! % $ H $
I $ J C ? K L G
'
! % $ M % . N
'
+
O
P Q
! " # $
( * + , ! ( ) - ) # $ R %
&
.
&
S
T = C = < ? L %
'
G
'
! % $ %
& '
.
'
+
O
P Q
! " # $
( * + , ! ( ) - ) # $ R %
&
.
&
S
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 120/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 4 8 9 4 6 3
!
"
# $
%
& ' (
) *
&
+ , " - + . . * /
&
.
"
# $
%
& ' (
) *
&
+ , " - + . . * " + " /
& !
"
!
# $
% & ' ( ) *
&
+ , " - + . . * " . + " /
&
!
# $
%
& ' (
) *
&
+ , " - + .
"
/
&
"
!
!
.
!
: ; <
!
.
!
; = > > ? = @ A B * C D E
; F D < : < G H
.
!
H I J
!
)
K L M N O P O P Q R S N Q T U M R V Q R
* E W
# $
%
' !
,
X
# $
%
' !
# $
%
' !
Y Z
# $
%
' !
= < . *
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 121/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
!
"
#
$
% !
& % '
(
! ( )
*
+
&
*
!
*
,
-
"
! ( &
% . (
&
!
& / : ; < = > : ; < ? @ A : : < A > B < & C D < A > B < ; E < B < F G H A I > C > < : ; < J
C I > F
!
K
J
! L
M
(
N
!
" N
O % P Q O P &
" N
R S T > B A C A U < A C I > F V V ! W !
K
J
! X L
M
(
N
!
" N K
O ( % P Q O P &
" N K
Y Z T < ;E : > T B < A C U A I > I > F V V !
W !
K
J
! X L
M
(
N
!
" N
O % P Q O P &
" N
L ( !
K
M
(
N
!
" N
O % P Q O P &
" N
[ \ A U < ; > B T A : < I > J
! C U A I > I > F V V ! W !
K
J
! X L ( !
K
J
!
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 122/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 4 8 9 4 6 3
!
" #
$ %
& '
( #
!
" #
' %
)
( #
$
" #
* + , -
( #
$ %
. , -
( #
!
$ % ! /
( #
:
$
$
:
! %
:
; < = > = ?
@ = A = >
:
B
$ B
$
:
! %
:
B ; = C D
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 123/206
0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 7 3 9 6 4 4 6 3 6
! " ! # $ % $ ! & ' " ( ) * $ + ) ' , # - ! , , $ # . % ' , , + ) % + , . + % $ ) + # $ + , / ! ( ' , + ) # ( / " - ! * $ % ' , & ' & ' $ ! / & ' $ ) ' ! % ' + ' # ! & ' ! / % + . ' # $ ' ! : + * $ ' ! , ; $ . - + ' , $ , ! . + < $ # ! " ( ) * $ + ) ' , # ' & $ ! ) ' . + % $ ) + # $ + , % + ( ' " ! * $ % $ ! * - ! % * ( % + , ) ( # - ' $ * + , & $ ' * + , ( ' . ( ' & ' ) , ' # ( / & $ " - = * $ % ' , / ! ' * ' , ; ! , ! $ # . + , $ % ' , > + ) , $ & ' ' # + , ( ) ! " ( ) * $ - + ) ? & ' @ ) $ & ! ' ) ! % - ( ) $ ) ' ! % + & ' A ! % ( ' % ! ) B - ' , $ # ! & ' $ ! & ! ?
C D E
F G H ' < $ , ' ' ) ( ) $ ) ' ! % + ( ' * + ) $ ' ) ' ! ( ) . ( ) + I @ : + / , $ G ' , ( ) . ( ) + * ( ! % ( $ ' ! & ' & $ * ; + $ ) ' ! % + ' ) + ) * ' , ) ( ' , + + : ' $ + ' , ( , * ! ( ) ! , ' $ ' & ' . + ' ) * $ ! , ( ' * + ) ' : ! ; ! * $ ! ? ' ) ! % - ( ) $ ) ' ! % +
J $ # ' + ( , * ! ' # + , . + % $ ) + # $ + , ( , ! ) & + & ' " + # ! ' * ( , $ ! $ ) ' ! * $ - + ) . + . ! ' ,
K ( . + ) ! # + , ( ' ? / ?
L
, + ) * + ) $ ) ( ! , ' ) M I N O P ) + ) * ' , . ! ! * ( ! % ( $ ' G Q M I N O P , ' $ ' ) ' ( , ! ) & + ' % ' + ' # ! R ( ) & ! # ' ) ! % & ' % > - ! % * ( % + S
T
U
?
L
F V H W V X ? F G H Y ? F I H Z F 0 [ H ) + ) * ' , ? F G H X ? F I H \ S
T
U
?
L
F V H W V F 0 ] H
K ( . + ) $ ' ) & + ( ' ?
L L
' < $ , ' . + & ' # + , + % ' ! $ ) ' ! . + . ! ' , % ! $ ) ' ! % & ' % ! ' * ( ! * $ - + )
0 ]
̂ _ X ?
L
F V H ` W _ X ?
L L
F V H W V W a X W V ` a X V Y G X Y F G Y V H N + # ! ) & + ! G * + # + * + ) , ! ) ' * + ) ' ) $ ' ) ' b ; + ! ? . ( ' & ' ' , * $ $ , ' * + # + c ? F G H X ? F I H Y F G Y V H ?
L
F V H d d d d
T
U
\ S
T
U
F G Y V H ?
L L
F V H W V Z
? F G H X ? F I H \ F G Y I H ?
L
F I H \
S
T
U
F G Y V H ?
L L
F V H W V F 0 0 H
e ( ' ! # ' ) ' $ ) ' ! ) & + . + . ! ' , % ! $ ) ' ! % & ' % ! ' * ( ! * $ - + ) 0 0 f g h _ X ?
L L
F V H ` W _ X ?
L L L
F V H W V W a X F G Y V H W V ` a X Y i j F G Y V H
k
Z ) + ) * ' , % ! ' * ( ! * $ - + ) 0 0 , ' ! ) , " + # ! ' ) c
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 124/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 7 8 9 4 3 8 5 6
! " # $ % & ' ( ) & $ * ( + ( ' & , - . , * / % . , + ( , . + / ( , - ( ) . ( $ % ( * ( # / ) + ( % . / + / ) + ( & % + ( , + ( ( . ) - / , ) ( / , ' & , - . , * / ) / ) - & + / ) # / ) . , - ( : % / # ( ) ( . ) - ( , ; < $ # . ' / , + & ( ' ( ) ( ) - ( $ % & ' ( + . . ( , - & & = - ( , ( & ) ( # ) . : * . ( , - ( - ( & % ( / > ? @ A B @ C D E F G F H ? @ A B @ C D I @ ? D J K A B L M A B C D H N . ) * ) $ % . ( % / ) + ( % . / + / ) ) & , ' & , - . , * / ) ( , O
P
Q O
) . O
P
R R O
( , - & , ' ( ) $ / % / ( , ( # . , - ( % / # & + / + & ) ( - . ( , ( >
S
T
U V P
W U X
U
Y Z
[ S
Q Q ; \
+ & , + ( [
S
Q Z
S
W S ] P X
! ^ @ _ ` a b a c A ` E F G F d " # - ( % . , & [
S
Q ) ( # # / / % ( ) - & ;
S
T
U V P
W U X
U
Z ) ( # # / / $ & # . , & . & + ( e / # & % + ( : % / + & ' ( , - % / + & ( , + ( ;
N . - . ( , ( # / ) + ( % . / + / ) ' & , - . , * / ) + ( - & + & ) # & ) & % + ( , ( ) ( , - & , ' ( ) # & ) $ & # . , & . & ) + (
e / # & % ) ( $ * ( + ( , - % / , ) f & % / % ( , * , / ) ( % . ( # # / / + / g @ B a @ h A B C D K I @ ? D J K A B >
] i
T
S V P
W S X
Z
] i
T
S V j
W S X
S
Z ! k ( + ( ' . & ) f & % / # $ & % * ( , & ) ( ) / = ( / $ % . & % . ) . % ( / # ( , - ( ( ) - / ) ( % . ( ' & , ( % : ( / ; l ( # ( , * , ' . / + & + ( # - ( & % ( / ; \ $ & + ( & ) + ( + * ' . % * (
] i
T
S V j
W S X
Z ' & , ( % : ( / ( , / # : * , . , - ( % / # & ' ( , - % / + & ( , ) . ) & # & ) . [
S
Q m ' * / , + & m n ;
o / % / + ( & ) - % / % ( ) - ( - ( & % ( / , ( ' ( ) . - / & ) + / % # ( * , / f & % / + . ) - . , - / / # % ( ) - & [ S
Q ;
? @ A B @ C D E F G F p ? @ A B @ C D I @ ? D J K A B L M A B C D d q N * $ & , : / & ) * ( - . ( , ( ) * ) $ % . r ( % / ) + ( % . / + / ) ' & , - . , * / ) ) # / + ( % . / + /
W
( . ) - ( ( , * , . , - ( % / # & O
P
Q O
; N ( / - / # * ( O
P
R R O
; " , - & , ' ( ) $ / % / - & + & ( , O
P
Q O
) ( - . ( , ( >
S
T
U V P
U
U
Y Z [
S
Q Q ;
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 125/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
!
" #
$
" #
%
&
' ( ) *
+ , - , , . / %
&
, . %
&
: ; < = > ? @ A B C ,
D E + - F $ $ (
G
H I #
$
H
!
H
J * (
K L - , M N E - , - O N . , P M E Q D E , + - Q R $ ! $ R !
G
H I #
$
S H T
R ! R
H
J * ! ! R
" #
U
' ( ) * V 0 ) )
W O N - , - O N Q N , E N P , M . X - O , Y . . Z . E - [ , . \ R \ M
]
#
]
^
_ ]
#
]
^
Y O + . , ` , R . , M , M E 0 ) ) Z O N Q 1 _ Q $ ! $ ! G $
S H T
!
H
J * ! !
" #
U
' ( ) * Q 1 a ! R
" #
U
!
b ( )
0 ) 2
c - . , Z . / E O N U
! O N M O + . , . , E / , . , 0 ) 2
d , P M E Q N , E N P , M . , N L E + N E N . - O , Y . . . E - [ , . e f Z + - . M , . g E N + %
&
f e Q
h
%
&
1 Q
h
R ! $
h
R !
G
H I #
$
H " #
R !
H
J * (
G
H I #
$
S H T
R ! R
H i #
J ! ) * ( ! R
U
' * W N , - - . . , . , N N O , - E , N Z , D , . O Z
Q
h
R !
$
S " # T
R ! R
' *
(
! R
U
' *
c - X - O , Y . . Z g E N %
&
j f e , . Q
h
%
&
a ! $
S " # T
%
&
! %
&
' * ( ! %
&
U
' * 1 a U
! $
S " # T
%
&
k %
&
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 126/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 7 8 9 4 3 8 5 6
! " # $ # % & ' (
! " # )
* " #
+ ,
-
. + , /
#
#
'
" : ; < = > ? @ A B C D E F G H I J I J : K L (
! " # M N ' M O N - # ' P L L Q N " ' L & ' N L ' " : $ : R ' " ) L ' S > ? @ D ? T ? U B C V B W @ D G L X Y
- # ) - #
+ Z
[
+ ,
-
. /
#
\
: ] X & ' L N L % L * ^ #
_ ,
-
. /
^ # * #
! ' ^ ` ! # \
a b c b d b e f g h i j h k l m n k h o p k q o k r s r m t o m r l m u g s h k t n g t g v j p i o k p m r m h m q m p w x g h m r
: y B > ? @ D ? ? z { F G ? G C D B V | L Q N L } N ' L - # ) ~
:
L L Q N " )
# :
# ) - #
[
,
-
. /
#
# ) - # ) ~
)
,
# ) - # -
# )
# ) ,
# -
#
$
)
$
R L & ' -
. /
# ) ~
) ~
) ` & ' Y
# )
$
\ ' L N N L L N L ' N ' ) \ N & ' L N L N ) " :
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 127/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
! ! ! ! "
# $ "
# $ ! ! ! ! % ! ! ! !
# $ &
! ! ! ! % ' ' # $ ( ) * + ) , - . , ) / + ' ' # $ % 1 - * - , ) ) + - : ; * < ; = ) . > ; * ? ; - * - , ) ) @
( - * - : - A ; * : < ; : , - : ; * < ; = ) . > ; * ? ; . , ; * ; * ; : ; . , - - + - B C . = < ) . D # $ % E
F
/ ; A ; ) :
- . - + < G - * ; + * ; : , ) - ) ) * ; + H ; ) * ; - ; H - + ) * I J
# K 1 $ %
E
L
M
# $ = ) . N
O
P 1 K Q R < ; S - ) : T S ) / J
# K 1 $ U 1 = C - . ) U V C ; :
# $ U 1 ) * : ; * ; + , ; * < . ) ? ; . ; * - + ; C . - : ; * < ; = ) . > ; * ? ; . , ; @
( - * - , ) ) : ; , < ; . ; W C ; /
E
F
%
X
Y . - * , < = C + - * : < % E %
X
Y : , - B ) * C + - ; * < , ; = - + = C + - * > - + ) * - * ) Z < - ) : ; E = ) . ; + ? * - ) ; ; Z - = , < , C W C ;
C . ) W C < ; * - @ ( ) * ; S ; + ) / = - + = C + ; ) : ; + . C ; * ) E = ) . 2 ; = < - + ; : ; Z - = , ) : @ Y : , ) W C < ; * ; ; = < * W C ; J
# K 1 $ % E
L
M
# $ K = ) . N
O
; . , * ; 1 / ; A ; : ; * ; . ) * W C ; 1
[ \
@ ( - * - B - = < + < , - * + ) : = - + = C + ) : ) ; ) : C : - * - = ) , - = < ) . ; : < . , ; * ; < - : = ) ) ) : , * - * ; ) : - = ) . , < . C - = < ) . @
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 128/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 7 8 9 4 3 8 5 6
! " # $ # ! % & ' ! ( ) ' $ & " " % * + ' & % " # $ * # ! % & ' , - . / # " # # % , - - / % ! ! ( ) ' ! # ( ! " , " # # ) $ & $ / " . / # . / # ! # % , - " # # % , - ! # - , ( # ! ( & ' # ) / ) & * , ' $ , % ' " , ) , % , & ' ) * , ' & $ & ' # ) / ) & * , ' # - # . / & ( # ' $ #
:
; , ' / ' ) ( ) / ( " , ! - # / # " # # ' ) , ' $ ! ! . / # < = = > , ! ( , $ ' $ , - $ $ , % ! ? - * + $ # ' # % , - . / # @ > = A < @ > <
> B C D E F G E H E I J D E K J L
M # ( N / ' ) & * , ' O P ) , - P Q R # ' # % , - . / #
O
S
P T - # ' P O
S S
P T ) , - P O
S S S
P - # ' O
U V W X
P ) , - P O
U W X
T - # ' P O
U W V X
P T ) , - P
O
W V V
P - # ' P
O
U W V V V X
P ) , - P
Y ' # ' # ! ( O
U Z [ X
P - # ' P O
U Z \ X
P T ) , - P O
U Z ] X
P - # ' P
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 129/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
! " # $ % & $ '
( )
1 1
( *
1 + ,
( -
1 1
1 ,
. / # & $ % # "
1
:
; % " % # % " & '
( )
( -
1
( *
+ , < = > :
, < : ? @ A # % " % # "
1 =
( B
C
D )
+ ,
*
> :
, =
( B
C
D )
+ ,
*
> :
E
F $ % " & G " A ; % " % $ H I E F $ J % ; % " % K @ # # $ " # G " K @ L M L N O P Q R S Q T Q P Q U V &
( B
C
D W
+ ,
* ( )
> = , : X H I E < L N O P Q R S Q Y Q V Z [ Q \ R S ] O ,
, +
( B
C
D W
X ^ ^ _ , E
` L # & , = C + ,
( )
X + , _ a , E 2 L N O P Q R S Q b S U V Z S O c , =
d
, =
( B
C
D )
e e + , e + > f f f e + = , :
X ^ ^ _ , E
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 130/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 7 8 9 4 3 8 5 6
! " # $ !
%
& ' ( # ) * + ,
- # $ !
%
" .
% /
) : # $ !
%
; " .
% /
< = # $ " = # $ !
% >
" = # $ !
% >
?
?
# $ !
%
! " @ = # $ !
% >
A " = = ( # ! # $ !
% > ?
B C , D , E + F
# $ !
%
! " = = ( # ! < < < = ( G $ # ! # $ !
% >
+ " F
= # $ !
%
! H
I J
" = = ( # ! < < < = ( G $ # ! + , K L + D - # $ !
%
" # $ = # M $ = = ( # ! N M
?
$ < < < $ = = ( # ! < < < = ( G $ N ! G ( # ! M
>
$
$
# ( O !
>
G ( # ! M
< = = ( # ! < < < = ( G $ # ! < # $ O !
% >
<
B P
+ K L - P
" # $ = $ = = ( # ! N M
?
$ < < < $ = = ( # ! < < < = ( G $ # ! G M
H P
( # $ !
%
! H " Q Q Q # ( O !
>
G ( # ! M = = ( # ! < = ( G $ # ! # $ O !
> %
( = = ( # ! < < < = ( G $ # ! G M Q Q Q H H
Q Q Q # ( O !
>
G ( # ! M # $ O !
> %
( # G M Q Q Q Q Q Q = = ( # ! < < < = ( G $ # ! Q Q Q H H
"
Q
Q
Q
R
# ( O
# $ O
S
>
<
# $ O !
>
# $ O !
> %
(
#
G
Q
Q
Q
Q
Q
Q
= = ( # ! < = ( G $ # !
G ( # ! M
Q
Q
Q H H
T C U * Q Q Q = = ( # ! < < < = ( G $ # ! G ( # ! M Q Q Q V W ) + X , , W Y , ) # $ O !
>
# $ O !
> %
" # $ O !
% >
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 131/206
0 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 6 7 3 9 6 4 4 6 3 6
1 ! " # $ % ! & ' ! ( ! ) * + ! + , , , - .
/
- .
/
- .
, , , , , - . - . - . , , ,
! ( # ! + ! & ) ( # ) ( ) ( * ! &
' : ; %
/ < =
> ?
/
- .
> @ 1 A ! $ ! # + # > > B : ; & - .
C =
D
/ E F
- . - .
/
G + H ! ( # % # H $ ( * ( * # I $ * J ( ! $ K ! $ * + * I $ L A ! $ ! # ( ! # A ! $ * ( ' ! $ + ' ! $ * M * ) # % * ! ' # ) N
G * ) ' ! $ * M * ) # % * ! ' ) % # &
=
D
/ E F
- . - O . - P . - .
/
=
D
/ E F
- .
/
/
Q % A ' ! R ! ) + # A # $ & ) % #
=
D
/ E F
- .
/
- .
/
/
=
D
/ E F
/
G * O ! ) + # ) I R + & ) % #
- .
S
O P
S
T A ! $ ! U V W X Y Z [ \ ] ^ ] _ ` a ! ) + # ' ! + J ) * ( * : # ) + ( # b ' ! $ * c A # ) ) ( * ! ' & A # + % # # M d ) $ ' ! $ * K $ A $ ) ! ! ) # ) ( ( # b `
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 132/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 7 8 9 4 3 8 5 6
! " # $ % $ & ' ( )
* + ,
!
* + - ,
! .
/ &
-
!
* + - ,
!
- * + - ,
! .
% : $ % ; < = = > # $ % ? & @ A = & % B C % @ < $ @ ? # ' >
% % = = % @ $ % = >
D
E D
* F , ! " # $ % $ & ' ( ) .
E D
* F , ! " G G H I . B / & % $ % @ $ % = ' # & = $ # $ % $
@ * - J ,
K $ ' @ & % > $ ' @ $ $ % = & > L & = $ ' % = B M N O P Q R S N T U
* + - ,
! " G G H I
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 133/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
1
!
" 1
!
#
$ % % & 1 ' 0 ( 1 )
* + , - . + ) / - - + 0 ( 1 ) - , - . + . # + # 1 - - + . + , : - - + ; - . + < + = > . - ? 1 ) /
@
" 1
)
!
/
!
# 1 $ % / % & 1 ) A + . , + = + . ; + . B - C . = = ?
D
E
F D
G
F
H
$ . + . < H
I !
E
I
G
J I
< E
I
" 1
I
/
I
K L M G
I
" 1
I
)
I !
/
I !
K 1 ' H
I @
" 1
I
K L /
I
N " 1
J I
)
J O I ! P
/
J I !
# " K 1
I @
)
J I J !
K L # " K 1
" 1
/
!
$ % / % &
1
)
Q ; + = ? R
J S
1 ) /
T @
U
I @
)
J I J !
# " K 1 V " 1
/
!
A + . , + = > - - > + . ; + . = = + W X - - + . ; + . = = = Y ; W - = = , - = - + W Z - . = - = + ; - (
[ \ ] ^ _ ` a b c d e f g h i h j k = W , + = - . , - = > - l + , - = ; - ; m = - = . + ; Y - = = ; - - + , - n ( o W = . = . - = + = > + = ; - . ; + + ; - l + , - + , - . - = . + ; - = ( p + X , + ? q
@
E
/
r
s q
@
G
/
s '
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 134/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 7 8 9 4 3 8 5 6
!
" # $
%
"
&
' "
(
!
" # $
)
"
&
"
( *
!
" # $
+ ,
- " . ' /
!
# $
%
)
" '
&
"
: ; < = > = ? @ A A B C D D C D D E F G H
I J & K *
L
M
N . O
P & Q R
R P & S R
I
T " U
J R K * R A D V W R F
!
# $
I
T U
J R K X Y J & Z R K
* R [ * M
N . O
* I J & K P A & Q R
\ ] ^ _ ` a ` a b c _ ^ c d ^ e f b c
G g I J & K *
h
& A D E F D i D j D
% * k l A C G m ; : n o p q ; r s A D E F D i D V D I J & K D & * % g I J % K t I
u
J % K v J & Z % K t I
u u
J % K w Y J & Z % K
'
t v v v t I
T " U
J % K V Y J & Z % K
"
x
"
J & P y K * I
T " N U
J y K J V t K Y J & Z % K
" N
z % S y S & { I J & K * h &
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 135/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
1 2
1 2
1
! 2
1
"
# 2
$
%
& '
! (
2
)
1
*
$ & '
! ( + 2
"
, 1
-
$ & . '
! ( + / 2
1
& . .
! ( + / 1 1 2
*
1
: : ! ; 1 2 !
! 1 2 < 1 2
1 !
!
; 1 ! < ! 2
1 !
"
!
1 = < ! ( 2
)
1 !
!
)
; 1 ( < ! ( + 2
"
1 !
-
!
"
1 > < ! ( + / 2
1 !
!
;
1
+ <
! ( + / 1 1
2
*
1
?
!
*
, @ ! A ? A
2 B C D E F G E H E I E J K I E @ E I E = K @ @ L E G L H E M K I H I E @ M E F E @ H N O P Q R S T U P V W E E X G
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 136/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 7 8 9 4 3 8 5 6
!
" # $ % # $ # & ' (
)
) * +
, -
)
. / ( ' / # & # # ' ( & # ( $ # $ & ' # $ # / :
( $ ;
<
=
) > +
) * +
, -
)
, -
)
( $ ;
<
=
) > +
) * +
)
,
)
? ' & ' # / @ ' & / @ $ # & A ' ( & ' # $ A # & % # $ ' $ # B / C @ # # ( # & B $ % # $ # & ' ( # ( ' / # & # # / # ( ' D & B ' :
E )
) * +
)
,
)
F & # $ # E
) * +
) *
) * +
, ;
) * +
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 137/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
! " #
" $ %
& ' ( )
* * * * +
& ( ,
+
&
* * * * - " $ %
& ' ( )
* * * * * * * * . / 1
& (
. / 2
& ( ,
. 1 2
& ( ,
. / 1
& ( ,
. / 2
&
2
&
* * * * * * * * - " $ %
& ' ( )
* * * * . / 1
& (
. / 2
& ( ,
. 1 2
& ( ,
2
&
. / 1
& ( ,
. / 2
&
* * * * - " $ % & ' ( )
* * * * . / 1 . / 2
2 . 1
* * * *
-
*
*
* *
/ 2
2
*
*
* * " $ %
& ' ( )
*
*
* *
2
*
*
* * - * * * * / 2 2 * * * * " $ %
& ' ( )
2 - * * * * / 2 2 * * * * 1 - * * * * / 2 2 * * * *
" $ %
& ' ( )
*
* * * +
& ( ,
+
&
*
* * * - -
*
* * * / 2 2
*
* * * : ! " ; < = > ? 1 < > % @ " % ; < # * * * * / 2 2 * * * * ? 1 A B C / 2 C ? 2 A B / 2 ? / 2 ? 2 A B D ? ? 0 E = > F - 2 < % ; < < G % H D I 0 J K
L - D
+
&
- . / 1
& ( ,
. / 2
&
2
&
- . / 1
& ( ,
. / 2
&
2
&
- . / 1 . / 1
&
. / 1
&
. 2
&
2
&
- . / 1 E
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 138/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 7 8 9 4 3 8 5 6
! " #
$ % & '
! " #
$ ( ) * ( ) + , - . % / , -
!
-
! #
,
!
$
!
* '
!
-
! #
$ % * * (
! " #
! #
$ * (
! " #
! #
$
: * ( ; < ) * = * * )
, - % * ) ( ) ( * > . ? > % @ A : '
B
, - C C , = ( ' *
B
, -
! " #
!
C
B ! D #
,
B !
C $ E
F G H I J K L G M N A ( + ( * : , ) + * ( , O P % , -
! " #
!
,
B !
C $ E % Q ' + ( , + C R ; * '
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 139/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
1
! "
# 1
$ %
&
'
&
'
1 1 (
! "
# 1
$ %
'
'
) 1
! "
# 1
%
' * "
'
+ , - . / .
'
1
! " # 1
$ %
' * "
'
. - - / : ; < =
> ? @ A B C B C D E F A D F G @ E H D E
/ - I . , / , 1 J # 1 K L
M
K J K , J K - , J 1 N - / O / , / - , , P / / I , / = Q / R - ST , / . U = O , N . , . V . , / / , . / - R S R O . / , : - , W , / = 1 = Q / O - / W . / , : I . , / , - - / , / X N - W 2 , : ,
Y - : / :
Z L
M
R Y = [ , J R Y \ ] = ^ _ J R Y ` = = a O : , W - / W . / , : / . , - b , / / S , - / X N - = + - . - . / , : - , W , / = Z L
M
, : , / J # c d
[ L
M
, : , / J d
^ J , : , / J \ e c d
f - , J , : , / J # ] d g 1 h J 1 , : , / J # c d c = , - / W . / , : i / / : / , - / - I . , / , . , . : / P : . / , / , - / I , /
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 140/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 7 8 9 4 3 8 5 6
!
" # $ %
& $ % #
' ( % ) *
+
* , - $ ( . / ( . $ %
) . . $ % $ ( . $ : $ ; $ $ %
, < $ : = > $ ( . : ; $ % : ; . ; / % ; . $ % . ( ; $ ( . : ? % $ @ . . % ; ( . $ : $ $ % : ; . $ % $ $ $ A $ : : B $ ( . % $ : , C , - $ $ ( $ $ . ; $ ; ; $ $ : $ . . . ( ( . ( . $ : $ ; $ D $ %
+
*
( % ) E )
+
" F , G . ( ( $ ( . $ : $ ; $ . $ % . % ; D H ( I $ $ . J % ; . $ % . ( ; $ ( G . ( ( . . $ : : . $ % % . : % $ ? . ( $ % $ K B , - $ ( . $ : $ : % : . ( . .
#
L
,
- $ $ ( $ $ . ; $ : % $ ? . : % ; $ $ : $ . . $ % $ ( . $ : $ ; $ . $ % : % $ M
? . % ; ( . $ : $ ; $ # L
, N $ $ : % $ $ ( : % $ O . ( ; $ % O $ ? $ % : . ; $ ( . $ : $ $ % : ; . , , G . ( ( $ ( . $ : $ ; $ . . % . % ; $ ( : $ ; : : $ % > $ $ ( $ $ % $ ( $ A $ : : ) F ,
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 141/206
0 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 6 7 3 9 6 4 4 6 3 6
0 ! " # " ! $ # % # & " ' # ( )
* + " ! $ # % " % , - " % # ! " . / - % " " # # % " ' # " ( ) % - ' 1 ! " " , - # " # % # " % & 1 ! " " , - # " " % # - % # ' " !
:
;
# " & ! < = > 1 1 = ! " " , - # " " % # - % # ' " ! % & & # "
& ! < = >
?
1 1 @ % % ' " - ! " " , - # " # $ < # % $ # % A
B C
D 1 E F G %
H
& I & J K " L M $ < # " $ # % # ! " # " % $ < N % % L O 1 P ? ? J J J 1 ? ! " " , - # " # $ Q A
B R S
C ( " % &
T R U
I & V $ % $
- " L
W % ' Q
A
B R S
C
" % &
X
1 E %
H
Y R U
I &
A
Y R H
C
( 1 E Z
H
Y R [
I & \ # " # Z % & * @ % % ' " - N % % L O = P G G J J J J J J J ] % % % # ^ > " - ' % ! $ " % < - % W % " % % " % % % % " " $ " % - " % # % \ " % % " " " - " $ < -
: _ C
% ` & E % &
&
a
J N % % L 1
F
J
* < -
: _ C
" % ` & E " % &
&
H
J N % % L 1 J
. < -
: _ C
% & E ( 1 b & &
H
J N % % L
Y H
J 1 F " " - " # ^ > " # $ # " c > # " &
C
= # d " L e ( & " % ` &
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 142/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 7 8 9 4 3 8 5 6
! " # $ # $ # % ! & $ #
$ # ' ( " ) * + # + " $ # ' ( " ) , - " " . / " $ " ! & ! " # # ) ( " $ $ # + & + % ! ( " ! % + ! ( " $ + ! " ! ( # ! " # & + # ! ! ( + # ! ' " " ! ' : ; < ) " # " + + # ! # + # $ # + ! + ! ! " # ! $ # $ # ' ( " ) = > + ' ( ! " # # # " " & + ! # ! # " $ # ! + ? ) @ * # ! ( A ! # " ' " " ! ! ' " # ! # # ! # # $
A " # ! $ + ! " ! :
B / C D / C D
E
F G ( + " # ! $ + ! D B ! + # " # ! ) , G ( + " # ! $ + ! ( $ # " " # . . H I ! & " % + ) + # & ! " # # " " # ! $ + ! J D B F
K ! ! ' : L & $ " ! M " + ! ( # ! " $ # D $ # # ! ( ! # :
J
D
B
< D
C
D
E
F
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 143/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 4 7 5 5 7 4 7
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 144/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
86
! " # # $ ! % & ' ( ' ) * # # ! $ ! ) $ + ! , # $ # ! * # * # ! $ ! " # ! # # ! - ! ) " ! * ! . / - ! # ) # - ! $ * ! * * ) # * ! * # % ! , * & ! # # # ! # # & : # # ; < ! ) / = = >
9 ? @ ? A B 5 8 6 C C 3 8 B
! ! $ D ) E # - * F ! - ! # ! # * < * ! * # # ! * , # ! # ! ) ! - ! $ G F ! # # & ) G H I J K L
M
N L
O
I N P P P N L
Q
I
Q
N # R
L S
K
G
T S U
H J
V W
X V K R / R P P P R Y P
& $ ! * * ! ! $ ) * ! < * ! # - ! ! ! " ! # # * - ! # * # ! ) # - $ * $ ! ) ! * - ! # & $ # ! Z # $ ! # ) . " " [ /
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 145/206
0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 8 6
! " # $ % & ' 0 ( % 0 ) * + , - # # . % 0 1 1 # .
/ ! - # ! # / # . ! . # # # # # . # # , # # . ) 1 0 , # - # # : # - # # # # . ; < . ; # # = - # # # - # ! > ! # # ?
@ $ A + B C D A E F D A G C F
: # , - # @ $ A + B H $ D A E I + G ? H # # , D # # # I # D G # # = # " # ! D B 1 J K B % L ,
L
#
M ; , . # # # , # # , - # ( . " # - # # M # , # # # # # N , # - # O $ A + = ( # O $ A + # # , # - # ! # # # # ? O $ A + B
P
Q
R S T
H
R
$ U D A E I
R
+
V / # . # # (
# D # # , # ,
, # , W H
R
I
R
, # # . ; # O N " # # # . # # . X , # , #
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 146/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 8 7 9 4 5
! " # $ % & ' ( ) & * # + " , * # * ( - + " , * # $ % * , ) & . * / & ( . " # * & " # * ' ' ( ) & ) , " * , * - ) # " % & " # + , ) + ( * . " . * # . * * # " # $ % & ' ( ) & * # : % * ( * & * & , * * " & ' ( " * & * * - " : % * " ; ) , . " , * - ) # * & * # * ' " + < % ) = > ? @ > A B C D E D F G % " : % ( * , $ % & ' ( ) & H I J K L M L N K O P + % * . * # * , * Q + , * # " . " ' ) - ) # % - " . * % & " $ % & ' ( ) & + " , R % & " $ % & ' ( ) & ( - + " ,
S > A ? T U @ B V W X ? Y Z [ # $ " ' ( ' ) - + , ) ; " , : % * I
\ ( ] ^ \ _ ] `
\ H \ _ ] a H \ K _ ] ] * # % & " $ % & ' ( ) & + " , \ ( ( ] b \ _ ] ̀ \ H \ _ ] K H \ K _ ] ] * # % & " $ % & ' ( ) & ( - + " , \ ( ( ( ] H \ _ ] ` ^ \ _ ] a b \ _ ] c d ) , * # " , " e ) & " ^ # * * " - " " ' ) - + ) & * & * + " , . * H R " b " ' ) - + ) & * & * ( - + " , . * H f
g h > A i j ? C D E D E k ( H \ _ ] ` l
m
# % ' ) - + ) & * & * + " , * # ^ \ _ ] ` ' ) # _ R # % ' ) - + ) & * & *
( - + " , * # b \ _ ] ` # * & _
= > ? @ > A B C D E D n k ( H I J K L M L N K O P * # % & " $ % & ' ( ) & . * , ( " ; * * & ) & ' * # I k ( H * # + " , # % . * , ( " . " H
o
* # ( - + " , k ( H * # ( - + " , # % . * , ( " . " H
o
* # + " , S > A ? T U @ B V W X ? Y Z p * ' " ' % ) . ( $ * , * & ' ( " # " ; * - ) # : % * I
H
o
\ _ ] ` < -
q r s
H \ _ a b ] K H \ _ ]
b
< -
q r s
^ \ _ a b ] ` < -
q r s
^ \ _ K b ] c p * \ t ] R \ t ] # * # ( % * : % * H
o
\ K _ ] ` < -
q r s
H \ K _ a b ] K H \ K _ ] b ` < -
q r s
H \ K _ K b ] K H \ K _ ] K b c
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 147/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 9 7
! " # # $ ! " # % # $ # & ' ( ' ) * ) '
+
# $ ( , - .
/
! " # # " $
+
# , - . '
+
. 1 . ! " # # $ ! " # % # $ # & ' ( ' ) * ) '
+
# $ ( , - .
/
! " # ! # " $
+
#
, - ' ) * . '
+
: ; < = ; > ? @ A B A C D E F % F G H I * J * K , ' * * ) L ( . * ) ' * K M
N O N
# P $ Q 1 * ) ' * K M
N
O N
# P $ 1 M
N
# P R ; > < S T = ? U V W < X Y
M
N
O N
# P $
M
O N
# P !
M
N
# P
Z K * ' ( K . ' ( [ $ ( . * ) L ( \ K ' . ' D M
O N
# P $ M
N
[ # P [ # $ M
N
[ # P [ $ M
N
[ # P [ $ M
N
# P ] . ( ^ * ' ) ( ' * ( . K K , ' * ' ) * . ' ( ( ) ' 1 Z K * ' ( . . ' K . ' ( * ( , - ) . * ) ' D M
N
O N
# P $
M
O N
# P !
M
N
# P $
M
N
[ # P [ # !
M
N
# P
$ M
N
[ # P [ ! M
N
# P $ M
N
[ # P [ ! M
N
# P $ 1 M
N
# P
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 148/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 8 7 9 4 5
! " # $ ! $ % " & ' ( ) * + , - . / '
" : ; < = > ? ! " # $ @ % " " % A B $ ( - + * ) , $ A & C D & - C * C E ( - + * ) , F " " : G ; < = > ? ! " # $ @ % " " % A B $ ( - + * ) , $ A & C D - & - C * C E ( - + * ) , F
H I H J J I H J
J
K L M N O P Q R S T U Q V H I H J J I H J
J
K L W N X Y Z [ Q \ S T U Q S ] ^ M _ ` [ V H I H J J I H J
J
K L R N X Y Z [ Q \ S U Q ^ M _ ` [ V
a " b A c F d '
e f g h i j i j k l m h k m n g l o k l
d F % A " b " % p A $ p $ " ! " $ '
q r " & s t $ ! " $ " p A s " u v
s u w
$ ! $ % % % $ ! u v
& x u w
t
! " # $ " p A F y r " & s t $ ! " $ p A s " u
v
s u
w
$ ! $ % % % $ ! u
v
& x u
w
t ! " # $ p A F z r " & s t $ ! " $ " p A % $ ! & t ! " # $ p A F { r " & s t $ ! " $ p A % $ ! & t ! " # $ p A F | r " & " p A s t p A % $ ! & t " p A F F % A } ! " # $ & C D ) p A % $ $ C E / # " ! ! " # $ } p A " p A B ~ F
F % A } " & C p A % $ ! t C D & C p A F
F ! " # $ & ! } " A ! $ & D / ' q % A } t C D d , & C x & - C ( ! " # $ p A F y % A } C D d , & C - & - C ( ! " # $ " p A F
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 149/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 9 7
! " #
$ % & ' ( ( ) * % + , ( & - - - ( . ( - ( / % . % + + ' ( ( " - ( / % . % + + ' . ( ' . + - ( / % . % + + ' ( . ( ! # : ; < & = > . ( ? @ & & & ' ( & ( . ( ' A ( , & / B ( - ( . % & ' ( / * % + < + / ( & % / % + ' ( % , * + / % + ' ( C . - % ( ( . % & ' ( + % & . (
2 D + ( - / - ( ( ( % . ( ( - ( & E + / % + & = > ! = >
" = > = > F * ( - ( &
G H I H I H J K L M N O L P Q R P S N T O U N M V Q
W / % . % & - ( + / * % + + ( E + / * % + * % / ( ( - X + ( & % ( & Y Z [ \ ] ^ ] _ ` \ a b c b d e + ( E + / * % + f g h g & / ' + * i % % j , & k & ' j l
' ( -
! j ( ( ' % % m g # n
% + j & - . + % + * . % ( - & ( ' & E ( / n < + ' ( - / ( & % o ( B - ( . % & + ( E + / * % + j * % / ( p q r Z s t u ^ ] _ ` \ a b c b v < & E * ( / - / % . % B ( & & + ( E + / * % + j * % / ( , + ' % + / & & / . - ! w j , ( ( ' % % w m x # $ % & ' ( ( ) * % + , - * i % % & + / % . % - . + %
+ * . % ( - & ( ' & E ( / n
y Z ` s Z z u a b c b { e + ( E + / * % + f = | } > h g & k ' + ( ( g / % . % + ( E + / * % + j * % / ( , % + j } | Y Z z ` r ~ s u ^ ] _ ` \ f ( & ' ( + f g h g ' ( - ! j ( E + / * % + & - - ( . ( k ' + & * % + * % / (
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 150/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 8 7 9 4 5
! " # $ % & ' ( ) * ' + & ) * , - . & - % & . , & / - * ( , & ' , * & ' & . ' % & . * : ! ; < = > < ? @ A B C B A D / & ( ' E ' - ) * ' F + & ) * , - G ' % & H . & ( * H & I G & ' % * ' - & ( ( & - J + . & K & "
L
M N O P Q
M R O P Q
/ S
L
O P Q
R O P Q
/ S T
L
M N O O
/ S L
M U
/ S T V W X < > Y @ Z [ \ = ] A B C B ^ _ ` ' E ' - ) * ' F a + & ) * , - ( * H & I & ( % ) - * J + . & % J & ' % & , & % & J ' , + * ( ( . * & ( & ' : F b F b : * ( * H & : c F : d + K & ( & - * ' % ' ( * H & I G H ( % K & . * ( & ( * H & : F b F b : * ( * H & : c F : ! # ' & E & - % * G . - * ' % ' , , ( * H & & . ' % & . * H & % * & ( E ) - . , & & - ! e * H % & ' & . - * ' % ' , , & ' F b G , & H & J * ( & - K & . ) f J
g h O P Q
i
/ . ) f J
g h O P Q
j
/ / F b T # ' + ' - + * G . - . - . . ) f J
g h O P Q
j
/ G & ( % J * ( E , & . ' % & . * G + & * ( ' , * . + & * , - , , * H % & J * ( K & . ) f J
g h O P Q
i
/ . ) f J
g h O P Q
j
/ T
k l m [ Z @ Z [ \ = ] n < m o < = > < ? @ A B C B A D / & ( ' E ' - ) * ' p a + & ) * , - G % * J ' , * & ' & . % & J p d F p G ( & % & ' & K & L
q R q
/ S L
Q q U
/ S e - ) . - . * ( - * ' - & % * ( ( & & . & ) . E * J J ) ( - ) * J * , ( & ) ' & . - ( * !
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 151/206
0 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 6 8 6
! " # $ % " &
' ( ) * + , + - . * / : ; < = > ? @ A B @ A C A D E F ; G H I J K L A @ A ; C C D M ; L ; L A ; F M A C A ; C L A N L C A : M A D ; B C ; @ A O C ; L H P H
Q
R H
S
R H
T
R U U U R H
V
P J @ A M ; @ ; W A X < A L ; C A K H
Y Z S
I H
Y
G I [ P \ I 1 I U U I ] ^ _ @ H
Y
` F : ; < C A A F : a M C A F @ A D A b c F d W A D @ ^ _ L @ A D ` < = H
e
Y
? c < = H
Z
Y
? L ; : M A D ; D A F A L ^
f A @ A W A < X g h i g A L ; C C D M ; L A g L < = > ? A L ; C C D M ; L A F W A D
C A D E F ; G H I J K j g U
_ L M O ; D C C A ; k L A D E D @ A F @ A B : ; W A ` ; M O ; D C A F E F ; D @ A < A H
Y
^ l @ A M : L ` A L C L ; A L L ; C A m D k F A L c L A C A A W A X n
o
p
< = > ? q > P
Y r V
s
Y r S
n
p t
p t u v
< = > ? q > w x ( y z { . / | L m A C A : ; A L A } A M O F ; @ A : ; ; C C D M ; L ^
< = > ? P ~ >
T
L > K I \ G = > h 1 ? L > K \ I 1 G > L > K 1 I G
m D ^ X : ; ; C C D M ; L n
Q
< = > ? q > P n
S
Q
>
T
q > n
T
S
= > h 1 ? q > n
T
> q > P \ h \ 1 1 P U
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 152/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 8 7 9 4 5
! !
"
# $ % & ' ( ) * + , - . / : ; < = > ! ? = = < ; < = > ! ? = ;
@
A ;
B
= = C > < = < = > ! ? = D E A F G H I = < ;
@
J K L M ;
B
J K L < = > ! ? = N O = P ! Q < R = J S L < = < O > ? = T > O < = U > = C > < = V W ; X D E A F G I A < = > ! ? = Y V > Z < = Q < = ! O ! O
[ & \ . + * + , - . / ] ^ C > < R = ; J K L _ > ! Q O = D E A F G < ! Q P O
! ? = = < < = O ? ! Q P O ` > R > ? ! = _ = Z > = E a E b
c E @
c
E
B
c d d d c E
e
a F ? = = T > ; ! Q P O G E
f g @
A E
f
D A h a A A d d A i : ;
j
O R k ? O l T > ! : O ! < m < E
f
V < ! O = O ? X O R k ?
n o b
p
a ; J E
g f
M q L H ; J E
g f
L q : ORk ?
n o b
r
a ; J E
s f
M q L H ; J E
s f
L q ` < T > ; X H I ! Q P O ! ? = ; J K L ! Q P O ! ? = < > O T > ! ! Q O = D E A F G t d
[ & \ . + * + , - . / u ^ C > < R = ; J K L _ > ! Q O = D E A F G < v Q < ! w
Q P O ! ? = = < < = O ? v Q < ! Q P O ` > R > ? ! = _ = Z > =
E a E
b
c E
@
c E
B
c d d d c E
e
a F : ; v Q < ! Q P O G E
f g @
A E
f
D A h a A A d d A i : O C > < = ; V ;
j
V ;
j j
A d d d A ;
x y z
O R k ? O l T > ! : O ! < m < E
f
O = O < > < R = < T > ; X H I v Q < ! Q P O ! ? = ; J K L v Q < ! Q w P O ! ? = < > O T > ! ! Q O = D E A F G t d
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 153/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 9 7
! " # $ % " & ' % " # ( % ' ) ! " * + % , " - # . % ' /
( & ( % % . " ! " ) /
*
: ;
;
; :
<
= , " > * ? @
A B C B D B E F G H I J K L M N H O P G Q G I F R N H O S L M
T " % , ' " ' % ! * U * V W X Y Z [ V W Z V Y Z \ V W Z V Y Z V > * ] Z V W \ Y Z [ V W Z V Y Z X V W Z V Y Z V > * 1 Z ^ V > * ] Z ! V > * 1 Z & $ @
] V W Z V Y Z [ V W X Y Z X V W \ Y Z _
% , V W Z V Y Z [ V W X Y Z X V W \ Y Z ] ` V > * ? Z a " % " % , " % @ b
c
d c
V e f Z V g f Z h f [
i j
k
j
l
2 e m [ g
n e [ g m [ 2
] n e [ g [ 2
V > * o Z
] * V W \ Y Z [ V W Z V Y Z X V W Z V Y Z V > * p Z V W X Y Z [ V W Z V Y Z \ V W Z V Y Z V > * q Z
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 154/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 8 7 9 4 5
! " # $ % " & # & % " ' # ( ) * + , % - . / + + , , / +
$ : ; $ < $ =
" ' # $ " % # ' # % "
" & # $ " % # & # % " : > : ? ! " % # $ " ' # ' " & # @ ? " % # $ " ' # ' " & # ! (
) . A ? B
% $ : C * / C / , D
E F G F H F I J K L M N K O P N Q R N S N K T U O P V U T P O Q M O W O I N J Q M O Q
X Y Z [ \ ] \ ^ _ [ ` a b a c d > e f
g
h % , . - % , % , / / , / D + i j C k l m , / B + % , . / + % / * % + - % , . * n
, . + ,
o
p
f
g
f
q
n
: , ; $
; $ : , $ ! r s Y t u v _ ` a b a c w e C C % C x y h % z - % , / { + % / * % + - % , . n $ ! > | + * + , , } / , , + , , * / * ,
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 155/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 9 7
! " # " $ % & ' $ ( )
*
+ " ( , - . / # !
- : )
;
< ! / = / " > $
? ) @ $ % & ' & # $ " ' > ! ' A B & # ! '
- C ?
D
E F G ) ? 1 < > ! " # " A & # ' / H > $ A / " & > % ' ! / & / > '
I -
) < ' & > " / ! ' & J
- ? K
- K *
-
*
C
?
2
1 ) + $ = ! ! " # " $ L % $ & # $ " ' > ! ' " % " > & " $ ' $ M
! " # " $ % & ' $ ( ) M
*
+ " ( , - . / # !
- : ) M
;
? - ? ) < ' & > " / ! ' & N
O J
- ?
P
-
Q *
-
?
2
1
*
C ? R ;
-
?
2
S
;
C 1 F
L ! " # " $ L % $ & A & # ' / H > & > % ' ! ! ' / " $ ! ' A T / " / > " ' ' > & ' # $ = " $ ' U & V C ? K ? W X Y Z [ \ ] \ ^ _ [ ` a b a c d e ' $ / H > $ A / " & > % ' ! V f K g W / & / > ' ! ' A / " B I N ! ! ' # ' & " A & # ' ! $ h & " & $ ' A / " B i ' ' j & " B $ ! > "
k
l J
m
n
K G ) ? o
$ $
m
-
p q
i n
I F G ) ? S < > ' ! / ' / & " U " & # i r
k
l J
m
n
F G ) ? s
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 156/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 8 7 9 4 5
!
" # $ % & ' ( ! ) * + $ , - . / % #
, : ; < = > > ' ? ? . + $ -
@ A B
. C / % #
, D
@ A B
: ;
E F > *
$ , . ? , ? : ; G H I J K L K M N J O P Q P R O S E , > + $ , - . T : / T
U V W V X V Y Z [ \ ] ^ \ _ \ ` a b ] ^ \ ] c a d a e Z d \ f a ] Z g ] a h ^ d Z c ^ i a j \ j d \ _ ^ Z c b Z _ ] i Z k ^ l c Z
m n o > p q
r
s '
o t ) ( )
: ; : = ' ! ! p q r
s ' u
F ! ) E ( ( n : = * v
r
.
r
w
x y @
z
x
q
x
! ) u E .
{ |
w
} y @
#
}
q
}
' #
}
( n : ~ z
x
u $ v
r
. ? v
r
? . + v
r
$ v
r
-
@ A B
: / ; ) : ) ) F ! F
! : ' u *
+ v r
$ v r
- . + $ - / + $ v r
- + v r
$ v r
-
u ? v
r
? .
r
w
x y @
z
B x
E + $ v
r
- .
r
w
x y @
#
x
z
x
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 157/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 9 7
! " # #
$
%
&
' ( )
*
$ '
+
&
' ( )
,
'
*
'
- . /
! " # #
$
%
&
' ( )
,
'
*
'
$
&
' ( )
,
$
'
. : / . ; .
<
' ( )
, '
* '
$
" = > ? @
A *
'
B C >
D E F E G H I J H K L H M N O I J H I P Q I Q R O S T J N S H K P H I J U N L J T Q K
? V C B W B @ X . Y . . . / Z . @ / . V . > [ Z / . \ C / ] / Z . ^ / ; + _ Z B X . ] + _ / >
` a b c d e d f g c h i j i k . . - X ] C Z / l Z
X ] ] V / / m n > m o p o . > + > q % + _ " q r s a t u v g h i j i w n > x q y l / x y z + > x q y l Z / x y z
1 > , x q % { x q y l
2 > ,
|
+ %
&
' ( )
,
'
} q % {
'
} q y l ~ > : / ] @ , { / X l
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 158/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 4 8 9 5 6 4 5 5 8 6 9 4 3 4 5 6 9 7 6 3
! " # $ % $ & & ' " $ " " " % ( " # % )
* " $ " + , $ - . / , " - . / , $ - . / , " - . / , , $ - . / , " - . / $ " ' " % $ $ % $ $ " # $ % " % $ * " ' " % " & # " & " % & ! ( " % $ $ ' & $ & ! * $ " # % $ $ " " % $ + , $ - . / , " - . / , : ; <
- . / =
> ?
@
A B
C
D E F
- > D
$ - G . / @ H D
" - G . / / , - I ( /
" $ $ " % $ " < >
J
K + L M
N O N
- . / $ - . / P . , K Q , + , , - I ( / H
J
K + L M
N
O N
- . / " - . / P . , K Q , + , , - I ( R / S " $ ' % " % & $ $ " % & $ * " & $ $ " % ( T # % " & $ & & <
- . / K
> ?
@
A B
C
D E F
- >
D
$ - G . / @ H
D
" - G . / / , U % # " & $ ' V $ & $ # $ $ - . / " % " & $ " % W L L * " $ & < M
N
O N
- . / $ - . / P . K >
?
M
N
O N
$ - . / P . @
A B
C
D E F
X >
D
M
N
O N
$ - . / $ - G . / P . @ H
D
M
N
O N
$ - . / " - G . / P . Y S " & $ $ % & $ & V $ " I ( ( R * $ V % " ' $ <
>
J
K
+
L
M
N
O N
- . / $ - . / P . , K Q , + , , Z # % " & $ # $ & ' " % $ ' % # " & $ # $ " - . / * $ V % " ' $ < H
J
K + L M
N
O N
- . / " - . / P . , K + , ,
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 159/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 9 7
! " # ! " $ %
& $ '
& ( '
) * + , " # - # . "
, /
$
%
: ; / < ,
= * $
'
: ; / 2 ,
* (
'
: ; / > ? " - " # @ " - A B " # " C D B ! - = " = - # = #
- = E " . = # ! B B - " # ; C " E " F ! - = = = B " . B
" # - A B " # " - @ B = # ! " # - # = ;
G H I J K L M N O P O P Q # ! " # - # = - @ B = # # . - = # " # . R S T & S ; Q B " # @ " - A B " # " U $
%
/ V
W X
Y
' Z [
\ $
'
= * V (
'
* S : ; / 0 ] ^ _ L ` a L M b I L M c ` M I d ` e I f g I c _
h
i j @ B = # # . # ! " ! " - = k l = # $ '
& * m & , & / & & n n n B ;
] ^ _ L ` a L M b I L M c ` M I d ` e I f g I c o h
i
(
'
,
* ,
# . * , p
%
T , * V
%
* q /
%
* / * T = * r r r
%
s t u v * # * # ! " m # * ! "
w x w y w z z y x
z
{
T T , A # . B " : ; < U j @ B = # # .
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 160/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 4 8 9 5 6 4 5 5 8 6 9 4 3 4 5 6 9 7 6 3
! " # $ %
$ & ' ( ) * & + , & , - & - , . . . / ( )
, + : & . ; < = > ? @ A B C D C E F G & : ) H I & I H ) J & K ) L # M # " G G & : N
,
O P
Q N
O
" R & , S
O
R & T . U V U :
W X
Y
Z
) H )
G & : ) H I & I
[ \ ] @ ^ _ @ A ` = @ A a ^ A = b ^ c = d e = a ] f
g h i G M G & : " R & : M M
N
+ )
j
k
l k
G & : m & )
j
k
) H & : m & ) ) & H &
n
:
o
o o o
k
) )
n
H )
n
: ) . N
O
+ ) j
k l k
G & : " R & : m & ) j
k
) H & : " R & : m & p $ M M " % q ) H & r s t
u
" R & : r i M " q
u
H + r t + R R & :
j
k
) H & : " R & : m & ) H & R R & : o o o o
k
, + R j
k
R & : m & v w x y
z
{ + R j
O k
q m q + R H " q : o o o o
O k
+ R + H " R ) : : + R + H H + :
O
: .
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 161/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 162/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 3 9 3 3 4 4 5 5 4
! "
#
$
% &
' ( '
) ) * + ! "
#
) * + +
$
, * -
$
% &
' ( '
) ) * + +
$
, * - .
#
/
$
$
: ;
/
)
$
<
$
+ -
= > ? &
'
( '
) ) * + ! "
#
) * + +
$
, * % &
'
( '
) ) * + +
$
, * ! )
$
#
/
$
-
#
/
<
$
+ - ) @ + A B A A > ) @ + C D C A > A A @
E
&
'
( '
) ) * + +
$
, * ! )
$
#
/
$
-
#
/
<
$
+ F G H A I J K - ) @ + L C A A A I A
#
/
$
#
/
<
$
M A > ? &
'
( '
) ) * + +
$
, * F
$
: ;
/
)
$
<
$
+ - ) @ +
N A A A C A A A O @ P Q R S R T U S V R W X Y X Z [ ! \ ] * ^ \ > ?
_ : ;
% > ?
_ : ;
<
% G -
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 163/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 9 7
! " # $ ! % & # ' & ! # ( " ) & * " ) & % ( + ' " * ) " ) ) & , & % % & * & % * " # $ ! - & . + & ! # ( " ) & * "
% & . ( & ) & / & . ( ! $ % $ % ( / ( - $ %
:
;
< =
;
> ? @ $ . * $ / " ! / $ A & * / & . ( ! $ + & ! & . " * ) & & * * " / ( & ! ) & " # & . $ ? :
;
< =
;
B C 2 D E ? F 1 > * $ G ' & ( * ( # " :
;
B C 2 H =
;
C 2 % ( I C < J K E ? F L >
@ $ . * $ / " ! / $ A
:
B C 2 H =
B C 2 % ( I C < J K E ? F M > E ? F N > O % " ! ) $ * " % P $ . " % & Q * R # ( / " % ) & * $ % # $ & S # ( & ! / & % ) & T $ ' . ( & . A / & ! & $ % U * R
V W
X
Y
Z Y
[ \ > # $ % I \ > ] \ ^ 2 D * R
V W
X
Y
Z Y
[ \ > % & ! I \ > ] \ ^ 2 K _ ! " . / ( # ' * " . A & % / " . $ ( & ) " ) ( * ( # " G ' & * $ % " . $ ! ( # $ % ) & ' ! " P ' ! # ( $ ! & . ( $ ) ( # " / ( & ! & !
' ! " " * ( / ' ) G ' & ) ( % ( ! ' H & # ' " ! ) $ I # . & # & ? ` " S + ' . " E ? M ' & % / . " * $ % # ' " / . $ . ( & . $ %
" . $ ! ( # $ % ) & * " & Q / & ! % ( $ ! ( " . ) & P ' ! # ( $ ! [ \ > ^ a D \ b c 2 D d e K
f g h f i
j k l m n k o k m p q r l s q
f g h f i
t n u v r w q o k m p q r l s q
f g h f i
x n k s n k o k m p q r l s q
f g h
f
i
y v o k z q o k m p q r l s q
T ( + ' . " E ? M U ` $ % # ' " / . $ . ( & . $ % " . $ ! ( # $ % ) & [ \ > ^ a
{ | } | ~
@ " . " ' % " . * " % " . $ Q ( " # ( $ ! & % ) & ' ! " P ' ! # ( $ ! & . ( $ ) ( # " & ) ( " ! / & $ * ( ! $ ( $ % ) & T $ ' . ( & . A & % ! & # & % " . ( $ % " & . " $ G ' & # $ ! ) ( # ( $ ! & % * " % & . ( & ) & T $ ' . ( & . # $ ! - & . + & ' ! / ' " * & ! / & ?
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 164/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 6 9
! " # ! ! $ ! % ! & ' " (
! # ( ( ! ) " " " * ( ! ) & + , -
.
/
.
:
/
! / ; <
/ ; / = & > ?
.
/ @ / A -
.
/ / = & > = B
.
/ C ! / C ! / C D D D D ! / ; C E ( ) ! F ! $ ; & / = & G
H I J K L M N O P Q R S T U V U W & ' ( X B .
/ C Y B .
/ C Z " [ \ A Y E Y \ D
&
: ]
^
] _ ]
B
.
/ C ` C D ! ! ! X Y
^
] _ ]
` C a Y
^
] _ ]
! / b C ` C G E b c D d K R L K e N T U V U f g h i j k l m n o n j n p m j p q r i s p g i l j t p j p u r h p j k t u i s p m u h l v m p i s p w t x j t v y m p r + @ [ z Z ?
.
/ { @ a B
.
/ C ) ! F ! $ & + ! ( " X , ?
.
/ Y ^
]
_ ]
| @ / A @ / A C \ B
.
/ C ` C / = &
} K e R J ~ L N O P Q R S ' * " ) " ( { Z ( " ( ! !
" ( * " ) ! Z # , -
.
/
:
! / <
:
/
! / <
/ D D D D D D
.
! / ; <
.
/ ; Y ^
] _ ]
@ / C ` C ! / Y ^
] _ ]
@ / C ! / C ` C / Y ^
] _ ]
@ / C / C ` C D D D ! / ; Y ^
]
_ ]
@ / C ! / ; C ` C / ; Y ^
]
_ ]
@ / C / ; C ` C " ( ( Z X ,
Y
^
]
_ ]
@ / C ` C
Y
^
]
_ ]
@ / C | ! / ! / C / / C \ ` C Y ^
] _ ]
@ / C | ! / ! / C / / C \ ` C D D D Y ^
]
_ ]
@ / C | ! / ; ! / ; C / ; / ; C \ ` C
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 165/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 9 7
! ! " # "
$ ! % & ' ( ) * + 2 , -
. / .
+ , -
. / .
+ , -
. / .
2 + , -
. / .
* + 2 , -
.
/ .
: + 2 2 ; * + 2 , -
.
/ .
<
=
> " % ? & ? " @ * ' % @ * A " " ( % $
@ * , A @ * , B C " ' " " % D =
! ? % )
D
=
* + , -
E / . E F .
@ <
=
@ @ * + , -
E F . E / .
@ <
=
@ @ * + , -
. / .
@ <
=
@ @ G & ! 2 , * H < @ 2 , * < @ B
I " 2 " ? & J B K B + ' % ? )
* L + * -
. / .
<
=
* + , -
. / .
<
=
M ( ' % ) N
=
* D
=
* + , -
.
/ .
<
=
@ @ + , -
.
/ .
@ <
=
@ @ J B 1 2 * + , -
.
/ .
@ <
=
@ @ J B 1 O
" P ! % " % B Q
M R & % ! ! ! % <
=
B S T U V T W X Y Z [ Z \ ] ^ _
`
<
=
* a a
b c
d d 2 a
E
c
d e * 2 f , H f ^ g J B 1 1
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 166/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9 6 9
! " # $ % & ' " ( ) * + , , ( - ' ) % ) . /
( .
: ; ' $ ' < $ # = # $ < % > " % ) ? ? . @
A
B
C C : " % ) D : E : F
; ' $ < # ) < ' G # H - ' $ & + G # I / % " J - # G ( * # = # $ # . F
+ = ' ) K # & ' " L + % I / % " J - # G ( * # = # $ # . M N . O F ; ' $ P ( = - ' < % " ( " * % ( ) * + , , ( - ' ) < % ) % & ' " L + % >
Q
M , ' " . : @ , ' " @ , ' " : @ F F F F @ , ' " . M " % ) ? ? . M
A B
C C : " % ) ?
R
B
C + & # ) * ' , ' " . # # & S ' " G # * ' " < % ) % & ' "
Q
" % ) ? ? . M
A
B
C C : " % )
? R
B
C @ , ' " . " % ) ? ? . M
A
B
C C @ : " % ) ?
R
B
C , ' " . : " % )
? R
B
C I / T
! " # ) * ' G # " H - ' $ & + G # " * % " % ) ' * % + ) # * ( H % $ % ) , ( # U * % + ) # " + & # ' S < % ) % & ' " L + % >
" % ) V V . M : W W " % ) . , ' " D : E M " % ) D : E , ' " . " % ) V V . @ : W W " % ) . , ' " D : E @ " % ) D : E , ' " . " % ) . , ' " D : E M " % ) D : E , ' " . @ : " % ) D : E , ' " . I / X " % ) V V . @
:
W W " % ) V V . M
:
W W @ : " % ) D
:
E , ' " . I / Y
Z % % & = G # [ # ) * ' I / Y % ) I / T ' S < % ) % & ' " >
Q
" % ) V V . @ : W W : " % ) D : E F \
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 167/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 168/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 3 8 9 6 4 6 5 6 4
! " # $
%
&
$ " #
%
&
' ( $
)
*
" +
,
# ! - .
/ /
" # " # $ % & $ " # % & " # ! - .
/
/
" # $ % & " # - .
/
/
" # % & $ " # " # : ; < = $ >
" # $ % & ?
" # % & $ ( > = ; ; ( @ ; ' A B ; A C > $ ; @ C $ @ C ; @ > B C ; B > D = ; C B ; B B E C ' ? ( F
C G H
* I J K
-
.
/
/
" # $
%
&
" # ! L
C G H
* I J K
- .
/ /
" # % & $ " # ! L ( @ = C ( ; B ? C ; $ = ; $ > G " # ' $ $ C = > M = C G H
* I J K
)
*
" +
,
# ! L N O P Q R S T U V W X W Y > B @ C ; < = $ > G > D Z " + # ! > D " + # [ C \ A C ] ] ' ^ ( = _ ` > C ; @ > < @ ; C B a = @ > @ B Z > D " + # b -
" + # ] -
" ] + # -
" + #
c d @ ; ' ` > @ ( = B B C ( @ ; e ? > B > D " + # B @ > ` ; ^ C + !
-
( C ; > D = ; C B ; B F
> D % - & ! - ] - " f # - g - " f # " L # > D % - & ! - h f ] f g f i " # ! -
K
j
k l ,
" f #
k
m " # [ A ; @ ( > $ = C ; @ ( F
> D
%
-
&
! !
-
- n
] - n
]
- n
!
-
f
]
f
g
: M = B ; = ; < @ ; B ; A @ o > ; @ - F - ! f ] f g
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 169/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 170/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 3 8 9 6 4 6 5 6 4
! " # $ % & ' ( & % & % ) * & + # , - , . & + #
, # $ - , # $ . / & ' & & % ) & / ' & % ) ' + # , - , . ' * / % & '
$ : ! ; , <
= > ? @ = > = @
A $ B : C
# : D ! ; , <
@ = @
A $ B : C
: D - ' C
# : ! C
: E F % & % /
$ : # G ! ; , <
@
= @
A $ B : # G : C
: D E H I J :
F % % / K # / & % . # , - L + & % . L - , +
M & % . L - , + & % . # , - L + / ' * % & '
$ : ! # ; , <
= @ @
A $ # : C : D : ! ; , <
@ = @
A $ # : C
: D E H I : F % & % /
$ : # G ! ; , <
@
= @
A $ # : # G : C
: D E N ' & ; , <
@
= @
C
: D ! ; E H I : O & H I I : M H I J : / % & '
P
$ : # G : !
;
,
<
@
= @
A $ # : # G : C
: D B
;
,
<
@
= @
A $ B : # G : C
: D
! ; , <
@ = @
A $ # : B A $ B : # P G : C
: D F % & % /
$ : # G ! ; P , <
@
= @
A $ # : B A $ # : # P G : C
: D E Q R S T U & ' % ' % $ ! $
V
M G !
W
X
Y A $
?
V
: B A $
=
V
: Z / % & '
$ V
: #
;
P
Y
A $
?
V
: B A $
=
V
:
Z
!
;
P ,
<
@
= @
Y
A $ V
# : # A $
=
V
: B A $ V
B : # A $
?
V
:
Z
C
: D E
[ & & & & % Y A $
V
# : # A $
? V
: B A $
V
B : # A $
? V
: Z C
: ! ! Y A $
V
# : # A $
? V
: B A $
V
B : # A $
? V
: Z C
: P ' & \ P ] P ' & \ P ] E
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 171/206
0 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 6 8 6
!
"
#
#
$
% & ' ( & ) * + , + * - . /
/
/
/
: :
; ) & ) & <
) &
= ) & > ? @ & A
B
.
/
/
C
D
E
F
C F
) &
D
E
F
C F
) &
$
G H ' & I * ? I J H ' & ' I K H & A
) &
! "
L
! "
& M ? ) + & ) & J + ? H K & * J * H ( & N D L D O A I & P ? & K * ( + J ? H * I ) & * & I H * + & ' I H ' + @ ? H I ' H ' ' Q I R ) * + , + * - D E
F
C F
) & S T + S U D E
F
C F
) & + S T + S U $
V + H I ( J A ) & ) I ? + ( & -
I W X (
Y Z
B
.
/
/
C
$ [ \ W X J + J ( & I + @ ? + J * ? I J H ' & & , * I H ) & ] * @ ) + H ' I H * + ' V & ? * + * ^ _ ` a b ` c d e f g f h _ ` a b ` c d i ` j k b k l m n ` o p H / ? H M ? ) + W & ' q + ' H & , * r A D s K * + W & ' + ) H A t
!
H J * H ( & ^ \ J & ) A K H * H J & ' &
u r A I H * + ' V & ? * + * ' / ) & ] * @ R ) ? ( K I P ? v
Z
w
x !
v
) &
y
z {
|
/
+ / ) & J + ? H
/
C
#
/
#
+ / ' + ) & J + ? H
} ~ ` c n a e f g f J & ( H ' & I ( K I & ^ ^ 1 A H , ( & P ? I H * + M & * ( H I ' V & ? * + * ' / D A D D - / D 1 D ) & 1
"
D ) & 1
"
D ) & $ $ $ $ $ 1
"
D ) & $ $ $ $
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 172/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 3 8 9 6 4 6 5 6 4
! "
#
$ % & ' ( $ ) ! * & % + & $ % ) $ & ) , -
. / '
) $ & ! & + ) $ & & ) $ ) % ) ) $ ( ! /
. /
.
/
.
/
. : ; < + ! ) & ! $ & % = > & ( ! ! $ & ?
@
,
-
) ,
-
. / ' $ ) % & A ! B C %
@ D E
?
@
,
-
. F G /
H /
I . ; &
/
F
H
/
& / H
>
J
/
& > / H ; ; ; .
/ F H /
K
: H : >
J
H : L
J
H : M
J
H ; ; ;
N
. : / K H H H >
J
H H L
J
H H M
J
H ; ; ; ; N . : / F & ! & $ ) $ & ' H >
J
H L
J
H M
J
H ; ; ; . /
J
.
E
O
@ P -
Q F R H S
J
; T ) ! & & $ & + ) $ & ' & ) U $
' + ! ! $ & % = $ ) % &
, . / : V , V .
/
F H
/ & , H
>
J
/ & > , H
L
J
/ & L , H ; ; ; ; ; H
F R H
J
/ & F R H , H ; ; ; ; W X Y Z [ \ ] ^ _ ` _ ` a b & , . , ' , c d : / / e A , . f
-
F H
E
O
@ P #
d f
@
& R , H g
@
) R , e L h i j \ k l \ ] m Y \ ] n k ] Y o k p Y q r Y n j
s
t a u ) B & ) B ) $ % + ' + & $ ) $ & ' $ & & ! & & ) $ f @
R . F ; ; ; & ) ) ! &
h i j \ k l \ ] m Y \ ] n k ] Y o k p Y q r Y n v s
t T ! B ! ! & g @
! * ) & ) $ w B & ) + &
+ $ g
@
. / x
y y
, ) R , z , . / x
y y
, ) R , z , . F / x
y
-
, ) R , z , . F / K : , & R , R H ) R , R
J
N { { {
y
-
. : F / :
@
R / . :
@ #
R :
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 173/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 174/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 3 8 9 6 4 6 5 6 4
! " # $ % & ' ( ) ' * + , '
- . / ! , : + : % & ' ( ) ' * + , ' ; ' < = > ? , $ % & ' ( ) @
A
B C
D E
F
G H I
= @
G
* + , J ' C K
G
, L J ' ? & " # M ( N O P Q R S / T Q / U Q V / W X / T P
Y
Z ! [ L * \ + L % , ] ^ ! ; ^ + _ ! L _ + ; _ + : + , ` + , * + a * L _ , @
G
> J ) b > > B > > c c c , + L L ` + , #
N O P Q R S / T Q / U Q V / W X / T d Y
Z e ` * \ ! ` * ` + : K G
, ! ` f ! , ! L : + L _ ! * \ + L ^ +
^ ! _ , # K
G
) g
h i h
% & ' ( , L J ' j ' ) g
h i h
' * + , ' , L J ' j ' ) B g
h
A
' * + , ' , L J ' j ' ) g
h
A
' = , L & J C ( ' C , L & J ( ' ? j ' ) B & (
G
J J
k
c l ^ ` * ! L : + ` _ + ] ! : m * n ` _ _ L ] + , $
D E
F
G H I
& (
G
B J * + , J '
J
k
)
o ' * + , ' > ^ ! ! _ + : + ' < ? > =
b > , ' ) & B p C ( > p < q c
- . / ! , : + : % & ' ( ) r ' r ; ' < = > ? , $ % & ' ( s @
A
B C
D E
F
G H I
= @
G
* + , J ' C K
G
, L J ' ? & " # M B (
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 175/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 9 7
! " # $ " % & ' " % ( # % ' ) # * ' + , ' ( - .
/ : ; < = ; < > > = > ? : @ : A > :
B
C
D E F D 2 D D G G G : @ : H
! " # $ " % & ' " % ( # % ' ) # * ' + , ' ( !
.
/ I @ @ @ ? J
C
: < @ K : ? > L < ; < ; < > : H J
C
F M
N
O N : E P F M
N
O N : E P
2
M
N
Q
: E P 2
F
C
F
E
R
D E S F
J
Q
T U @ V > : ; < ? ? : > = @ : < ? W < < ? X < L ; > @ U > @ > ? Y Z H 2 [
\ ]
^
C _ Q
: 2 E ` F 2 E ` F
R
D ; < > ? Y a D a G
I ; < > @ < = : b = c > U : d
R
0
\ ]
^
C _ Q
F 2 E ` F
R
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 176/206
0 1 2 1 3 4 5 6 7 3 8 9 6 4 6 5 6 4
! " # $ % % # $
& '
(
) * +
,
-
.
/
& '
(
) * +
, -
.
& '
(
) * +
, -
.
& '
(
) *
, - ,
.
& '
(
) * +
, -
.
& '
(
) *
, - ,
.
,
& '
(
) * +
, -
.
& '
(
) *
, - ,
.
!
/ :
& '
(
) * +
, -
.
;
.
: < = > ? @ A B C D E F E G H $ I $ J ! % $ K ! $ ! L M N O P P P Q P P P R ; N ; $ N S T U ; V W X ; U N
;
$ N S T W V ; X
M N
Y
& '
(
) * +
T Y
)
% - N Z
)
! - N X / : [ \ ] B ^ _ B C ` ? B C a ^ C ? b ^ c ? d e ? a ]
f
g % K % Y
)
$ ! $ ! L % $ K ! " " / Y
, ; h
i
j i
M N k N ;
.
h
i
; U N k N , Y
)
, ; h
i
j i
M N % - N k N
;
.
l h
i
; % - N k N U
h
i
N % - N k N
m
;
.
n U ; ! - N - o o o
i
U n N ! - N - % - N -
.
p o o o
i
p ;
.
T , U U ,
)
X O Q R W $ - " ;
.
-
.
$ - $ # "
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 177/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 178/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 179/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 9 7
! " # $ % % & ' ( ) *
+
! , - .
/ +
! , -
,
/ +
! , - , ! - ) *
! , - .
/
+
% & # & " ) : $ ; : % % $ $ % < : % = ! # >
?
! % & $ : < % =
?
! @ # > ! : & @
&
)
A % B % $ : $ %
*
! , - C @ & : &
/ +
D @ & .
/ +
: & E ! , - F @ &
G D @
D @ H ! I " &
J K
/ L M N O
P
& < Q R S B % : % T U T ! ! - , D V - % D V W
- % W D V 1
- % 1 D ) ) ) # $ % % ' H " # - G )
A % X $ : B : % T ! X < % % : B Y $ : R % : <
T B : $ Z B % G D - # - H U [ ! I T ' G " # - H D T D ' G D - # " H A % [ \ : ] \ : R % : < B % % ^ : $ *
% : $ % % : \ B % B R B \ B %
B _ \ : % : $ ; R % : % $ < : : R B % ; B B R B \ B % B % : %
! @
-
.
/
J /
T : & ! @
-
.
/
J /
: &
!
,
-
.
/
+
: & !
,
-
C
D % &
&
`
: &
&
E
/
+
!
D , - D @
& -
!
D @
M N
&
D
A % B % $ : $ % B : % T ! U ! ,
M a
b
c N
D @
M N
: & & # $ % % ' H " # - G )
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 180/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 181/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 182/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 4 8 9 5 6 4 5 7 4 3 4 9 3 9 3 4 9 3
! " # $ % " % & & & & &
' ( '
) *
' ( '
+ , " )
-
. # $ % " % / "
" # $ % " % & & & & &
'
( '
) % *
'
( '
, " # $ % " "
:
-
. % *
'
( '
# $ % " " ; < = ) >
%
? % @ A
B C D E F C G $ $
-
F # H # I F $ J )
-
K L
M
N O
E # % A P $ H Q # F # P I F $
) >
% ? $ $ H # J
-
.
K L
M
N O
)
>
%
E # % A
>
*
'
( '
" # $ % " " D $ R P C C $ # E
S " T U
V
# $ % " ?
G $ $ H # S
V
, " )
-
. T U ) E # % " % A
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 183/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 184/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 4 8 9 5 6 4 5 7 4 3 4 9 3 9 3 4 9 3
!
" #
$
% & '
% " '
( ) )
* + ( , - . / + , -
!
" #
$
% & '
% " '
( ) )
( + ( . ( ( - ( : . ( +
, - ; - + ( / + - + + ( ( < =
> ? @ ? A ? B C D E F G H E I J K L C M C D E C M L C N J O D E C D
P Q R S Q T U V W X W Y Z [ ( - ( : \ * ] ^ [
_
+ `
'
. ( \ * ] + , - [ a
b
c
" #
$
% & '
a
%
( ) c d
%
) * * e \ * ] f = g ( + ( - [ h : + . ( . ( ^ + i ( : ( h [
_
= j Q T R k l S U m n o R p q r ( [
_
+ `
'
. ( \ * ] +
a
b
[
_
c
" #
$
% & '
a
%
[
_
( ) c d
%
[
_
) * f = g ( a
b
[
_
s
t
u t
[
_
v w v \ [
u
[
"
] x * / ( , - [ ( - = a
%
[
_
s
t
u t
[
_
v ( ) v w v * ) y
d %
[
_
s
t
u t
[
_
v ) v w v * ) y
( h [
_
= z { ( h . ( , - + ( ( < + / ( + - ( f = g ( : / ( h ( + ( / h ( ( < + [ = a
%
[
_
s
t
u t
[
_
v ( ) v w v
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 185/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 9 7
! " # $ % &
'
" (
'
) $ * + , - !
'
" . # # $ % & " ( ) $ * /
) (
'
* " ( ) $ * # $
# :
( ) $ * # $ ; $ <
"
=
>
?
@ @
@
@
@
@
@ A
B
( ) $ * # $
#
:
( ) $ * # $ ; $
C
D
E
" # F
+ # G H F
) (
'
* " :
(
'
) $ * # $ ; $
! " # $ % &
'
" (
'
) $ * + , -
!
'
" # # $ % & " ( ) $ *
/ F
) (
'
* " ( ) $ * # $
. # :
( ) $ * # $ ; $ < " = > ?
@
@
@
@ @ @ @ A
B ( ) $ * # $
. # :
( ) $ * # $ ; $ C D E
" . #
+ # G H
I J K L M N O P Q R S R S T U V W V ( ) X * " Y ) X * Z . + [ Y ) X * " Y ) * 2
\ ]
^
_ `
) . *
# X
a
#
a
< H ) b c d e *
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 186/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 4 8 9 5 6 4 5 7 4 3 4 9 3 9 3 4 9 3
! " ! # $ % & ' ( ) * $ + % , ! " , - . ) + ' % / /
% & & % ( ( & ' & / ( ( ( / $ ( ) ) ( % & ( $ ( & + % & / % ( / / & ( $ & / & / : ' & ) + % ( % ) + / ; % ( & / : ' & /
/ & ( / + $ % & $ < $ & % = > ! !
? @
A
B C D
E
B ? D
F F
G
H F
G
" - # ! " ! I J = K L
M N O N P N Q R S T R U R V W X S T R S U R Y X Z [ T W Z R \ ] R S T ^ W U T [ _ \ U R ] R S ^ ` W U W [ X _ a b X T R S _
c & ' ( ' $ & d e + & / & $ ( ) d f > ! ) ' ( / $ ( ; & / ( & ( ; d
> !
g )
; % ' ( ' $ & h g g / + / > ! = i $ % j
h g H > ! g H > !
k
g H > ! d > !
l
k
d g > ! H d
l
H d h g I ) + / ( + & $ ( ( h % / % ' / & ( / + $ / % % ) ; % & / j m
n
> H
? @
A
B C D
k
B
$ > F ! d H o
B
> F ! d l J = K p / / j
J = K
B
> d
q
r n
$ > F ! d s " F t " E " > " I I I J = K K o
B
> d q
r n
> F ! d s " F E " > " I I I J = K u v w x y z { | } ~ } c ( # t " E ) $ ( $ ' ( ( & / : ' & / ' / & % * % & = E = ( * % & + & / & $ ( / % & + / d E =
z z { w z { { w w w
n
>
q
D
n
s >
B
> q
D n
$ > F ! s t I o
B
> q
D
n
> F ! s E F ! I
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 187/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 9 7
!
"
# $ %
& ' ( ) * ) + , - . / ' & / - & ' ' - & & ' ' ' '
!
"
# $ %
& ' ( ) * ) : ; < = * > & * ? @ A @ B C ( & * @ A @ B C
( D E ' F ' & G ' G ' ' ' G ' H I ( D
J K L M N O M P Q R M P S N P R T N U R V W R S X
Y
Z
% [ %
\ * \ ] * + X
#
Z
%
[ %
\ * \ & ( ) * ] * ( = ) >
^
= = >
#
> : ; < _ & ) ' & G 2 = ) >
^
& ) ' & - G D + `
#
_ +
( 2
̂ !
"
a $ %
& = ( @ b > * = ( @ b >
^
+ , - . / ' & / ' ' - & & ' ' ' '
!
"
# $ %
& ' ( ) * ) = * > A * B c +
d e d f d g g f e
g
h d i d e d f d g g f e
g
h d g
g
h
j / k D _ l F ' & ' & G ' & ' = * > * ' m _ A n o D E ' F ' & G ' - G ' ' ' G ' H I ( D
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 188/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 4 8 9 5 6 4 5 7 4 3 4 9 3 9 3 4 9 3
! " # $
! %
& ' &
( ) ( * + , - . ) / ) !
&
- . : ; , : < = > .
?
@
A B &
A &
* + , C . ) C # D E ; F G , H I J , + * H , : I , G ; ; : ; E * K L + I M ; N + ; : ; E * O ; * + I + H , M + P + <
.
?
@
A B &
A &
* + , C . )
- !
Q
= ) * I ) R ! C S T C U V
" * I ) ! C S T C U V W X Y Z [ \ ] \ [ ^ + I + L + _ G I + L + = ) ! ( * + , ) ( # ` * : ; F G , H I J , + * L + a + J b L . K + * a ; c d * J b O : + , + E * e G + * H + f H I + , : + * $
! " a ; ; : L - U g c
h i h j h k h l l k j i m n o p q
h l
l
k
r
= ) ! ( * + , ) ( s , L ; + H : I f H ; L ;
t
! . %
u
t
* + , ) / ) ! v . # ^ I - w O : + , + E * <
!
.
%
u
t
* + , ) H * - ) / )
x ; , * F E ; , L + a L G H : + , * G E ; O , * e G + L ; < ! . %
u
t
y * + , - S ) S * + , - ) z / ) ! v . v -
{
#
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 189/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 190/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 4 8 9 5 6 4 5 7 4 8 6 9 4 3 9 5 4 3 9 4 9 3
! " # $ % & ' # $ ( ) * + , - . ! $ / , ! (
$ / $
/ $
/ $
/ # " # : ; & & < & & ! & = % & $ $
/ # " # : ; & & < & & ! & = % ! > $ - ? ! : = # ( $ / @ / $ / A / $ /
B C D E F G F H I E J K L K M N O
) < ! ' # & " # : $ ( ) * + , <
$
/ P Q R $ / S T $
/ U V R $ / S (
/ . % #
O
$
T $
% #
O
W / N ; &
O
$
T $
; &
O
W / X % > & R Y Z S $
T $
% > & R Y Z S T # ! = & ' # [
\
]
$ / ^ [
\
]
$
/ [
\
]
$
/ ^ -
_ ; % # % ` : < = ` & a # # " # : ; &
! = & b < ' # & = % & T & = % ! > & & " # &
b # % c W d C I e C f g J K L K h i = & " # : j = & ! = & b Q
k l
* m n n m - o W p Q
k l
p o < = % ) - q W Q
k r l s
t l u
v
Q
k r l s
v
w Q
k r l u
v
-
x W Q
k l
Q
y k l
W
z W { V | : # ! % # ! = & ' # ( o q } [
~ y ~
Q
k l
w Q
k l
^ o | V V | - B C f I e g G F H I E
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 191/206
0 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 6 8 6
!
"
"
# $ % & % ' ( ) * +
,
-
.
/
"
"
"
"
"
"
0 , & ' & % $ % & ' ' : ;
- .
<
-
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
0 = > $ % & % ( 0 , ? 0 = # @ ' : ;
- .
/
- .
<
-
=
- .
- A .
+
B
- C
<
- D
- C
<
- A D
- C A D
- - C A D
E F E F + G H I ' : ; , J K
L
A L
- C
<
- D
M , J K
L
A L
E F M , J K
L
A L
E F M +
N O E F P
- C
<
- A C
, J K
L A L
M N O F Q E P % @ % O ' R & % S % : S % T
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 192/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 4 8 9 5 6 4 5 7 4 8 6 9 4 3 9 5 4 3 9 4 9 3
! " # $ " % & ' (
) * + , - . / * , , / * , + : + - , ; * . < : + = , + * > - . * ? : * @ = > @ A B C D = = E . . / - * / * . * = . F = + . / = . ; * > * / - * + * * + . D G , H / * * - * , + : + - , * : * ; * ; * I + = / : + / , ; : - , * . . / * ; = . + - * . / * . = J , + @ K > L M N O
P Q
R
S
T S
> U M U V U W D X
Y + Z = / - : ; ; * * - . ; * I + = = J , + [ * - * , / * . D D P \ Z * , ? : * . < : + = , + * ]
^ _ `
L a b c \ < , / . + : + , + : + - , , / - , F , + . * + \ , / , : . , ; * , ; * I + = / . * / = * ; * d , : / = * / < , / . ; * > b \ ; * . + * / . . + J . , F . . . , ; * < : + = , + * , + Z . , / * / * . * D e f g h i j i k l h m n o n p G = > U b : * / = * < , / . ; * d , : / = * / , * . * - J . ; . ; . , / @
q r
s
t u T r
v
_
]
^ _ `
L
; , + ; * , , * I = * + - * v _
b L * - J . + ; * I + = ; , , / @
v
_
w O P Q
R
S T S
> U ]
T ^ _ `
V U W * + - . . , * / = H = , > x
q r
s
t u T r
v
_
]
^ _ `
W Y + Z = / - : ; ; * . / * . = J , + ; * Y : * / D y \ . / * . = J , + * + - / * , , * I = * + - * z
_
\ {
_
[ v
_
, + @ z
_
w v _
| v T _
{ _
w } v _
B v T _
~ f l f m n o n e f i f f f G = > U b [ > U x
q r
s
T r
v
_
]
^ _ `
* + - , + *
q r
s
t u T r
v
_
O P Q R
S
T S
> U
V U W D
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 193/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 9 7
! " # $
%
& ' ( ) " * + , " - " . / " ) ! . ! # ! ) " * ! . ! ! + . ! . / , - ) ! " !
%
& ' ( + # - ) # , . : # , ;! . / / , - ) ! ! . ! # # / + " ) < + ! . " = > * ! / . ? $
%
& ' ( @
%
A
B C D %
E
%
F
G B H
%
& ' ( @
%
A
B C D %
I
%
F
G B H
J K * " # ) " - . - ! " ! . : # " ) " ! ) " * ! L - # ! # / " ) ! * / , - ) ! " * ? ! # ! , * M
N
O P
Q
R
D R
%
& ' ( S & T ' ( I ' U @ 2 U T @ V & W N ( U V & W O ( U J J J J J
N O P Q
R D R
& & ' ( X $
%
( & ' ( ( S & T ' ( I ' U @ 2 U T @ 2 U V N U J J J U V J N O P Q
R D R
$
%
& ' ( Y $
%
& ' ( I ' @ Z E
D %
Z
[
W Z E
D \ % D ] ^
Z
[
W J J J J W Z E
_
Z
[
W Z E
]
Z
[
W J J J J W Z E
%
Z
[
J ` * ; a ? ! # ! , * < + ! M N O P Q
R
D R
Z & ' ( Z
[
I ' @ N O P Q
R
D R
& & ' ( X $
%
& ' ( W $
%
& ' ( ( Y & & ' ( X $
%
& ' ( W $
%
& ' ( ( I '
@
N
O P
Q R
D R
Z & ' ( X $ %
& ' ( Z
[
I ' W
N
O P
Q R
D R
$ %
& ' ( Y $ %
& ' ( I '
b " - . , ! . " # ! : . " ) ! * + # # ; + , ! . # # ! : " c ? - . " # ! # ! , * M d Z E
D %
Z
[
W Z E
D \ % D ] ^
Z
[
W J J J J W Z E
_
Z
[
W Z E
]
Z
[
W J J J J W Z E
%
Z
[
U - " . " e f J > * ! , + ! * . " < + ! N O P Q
R
D R
Z & ' ( Z
[
I ' ? ! * + # " / " * + - ! . . ! ) " * * + , " * - " . / " ) ! * ! ) " * ! . ! ! ; ! . , # * - * c *
g h
A
D h
Z E
%
Z
[
J / # ) / + " ) < + ! " ! , * . " ! ) ! . ! , " = i
j k l m l n o p q r s r t u v s w ! " & ' ( e x & y (
" ) < + !
z
& '
_
( ! L * ! & ' ( {
g h
A
D h
E
%
F
G % H
= $
%
& ' ( @
%
A
D %
E
%
F
G % H
! * ) " * + , " - " . / " ) ! . ! # ! ) " * ! . ! ! + . ! . / , - ) ! " ! & ' ( * ! / + , - ) ! < + ! | ) ; a ,
% } g h
$
%
& '
_
( @ & '
_
( J & ~ = 0 (
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 194/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 4 8 9 5 6 4 5 7 4 8 6 9 4 3 9 5 4 3 9 4 9 3
! " ! # " $ " # % & # " ' ( ! ) # "
* +
,
-
. ,
/
,
+
: *
; < = > ? @ ' A B C " # " D " ! % " # " ' ) A % ( A E # " ' ( ! ) # " * B
,
-
F G . ,
A < : ? A < H : ? A < H < H ? : ? ; ; ; ; A < H : ? A < : ? ; ; ; ; ; A < : ?
*
I
*
A < : ? A < * : ? ; ; ; ; A < : ?
J
*
,
-
F G . ,
A < : ? * K ,
< : ? ;
L D # % A " # " D ! D % " % D " ! % " # " ' ) A % ( M N O ) B
,
-
F G . ,
< P : ? < H : ? < H < H ? : ? ; ; ; ; < H : ? < Q ? < : ? ; ; ; < : ? H < : ? H < < H ? : ? H ; ; ; ; H < : ? < : ? < * : ? ; ; ; ; < : ? Q ; R ! # " M
* +
S ,
-
, G . ,
A < : ? T
,
-
, G . ,
< : ?
U
* +
,
-
, G . ,
< A < : ? T < : ? ?
* +
V * K ,
< : ? ;
< = > ? @ ( W % M B * +
,
-
F G . ,
/
,
+ K
,
< : ? + X X * Y : Y * Z : * [ ; < = > = ? \
] D # " ^ " # " & D ! % ( & D # ( W A % " # A _ A % ` ) ! % ! # " ) " D " ! A % " # a ,
< : ? M
D A ! % N % ! B
a
,
< : ?
,
-
. ,
b
,
/
,
,
-
. ,
/
,
V * + c
d . d
e < f ? /
, g
h f
,
-
. ,
* + c
d
. d
e < f ? /
, i . g j
h : c
d
. d
e < f ? * +
,
-
. ,
/
, i . g j
h f ;
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 195/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 196/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 4 8 9 5 6 4 5 7 4 8 6 9 4 3 9 5 4 3 9 4 9 3
! " # !
$
%
& ' ( ) * + ) , - .
/ %
+ ) , - .
/ %
' ( ) ' , -
.
/ %
& + '
% : ;
, - ' ( ) , -
< , + ' ( ) ,
, $
%
& + '
% : ;
, - = $
>
& ' ( )
& ? =
@ A B ! " # C D E # D F
: G
H
G
$
%
.
/ %
&
;
H
G
$
%
.
/ %
: G
H
;
$
%
.
/ %
&
;
H
G
+ '
% : ;
, - < , - ,
G
H
;
+ '
% : ;
, - < , - , I < D C < J K D L D K C D < M & + ,
&
: G
H
;
+ '
N : ;
+ M -
< + M - + M
: G
H
;
+ '
% : ;
, -
< , - ,
& +
G
H
;
( + '
N : ;
M M & + (
: G
H
;
+ '
N : ;
M M = O J K L " # C J D J C C C P D A D J Q & ! R ? S ) T U
V W X W Y W Z [ \ ] ^ _ ^ _ ` a ] \ a b \ c d ` a
' U e P C < f < D E # D Q +
>
A J D C < f < D Q g h i U
j k l m n o p k q r s f J C t # < D A u & Q +
>
U v " # Q g h i ! J " # J K D A u g h i ! D < # C D C J D J A B U @ A B ! C < f < D u F $
%
u & ' ( )
u .
/ %
& ' ( )
Q +
>
.
/ %
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 197/206
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 9 7
! " # " $
% & ' ( )
*
+
, - . ! /
, .
+ : ;
<
=
> ! /
, .
;
<
+
> !
;
<
/
, .
+
> !
; <
*
+
, . ? @ & A B C ( & D B & E ( - , " . ! F & " F
C B & D B & , " . ! F & " F G
H I J K L M N I O P @ & A C Q ? 1 ? Q % & & ' ( ? ? ? ? ? ? - , " . ! F & " F ! F & , " R S . F ? T U & %
V + W V
!
+
! & X # Y & X ! & X ! , # / .
+
? Z B B % [
+
! 2 , # / .
+
, / # 2
V
. \ ]
+
! ^ G
_ ` a ` b ` c d e f d g d h i j e f d e g d j k l e i g j m n i g d o j k m f i k d p
q \ - r ( & & s
t
B & u # v w % B & C ( B - B U
& & s
t
B & u # v w ? T & Ux % B & B C y ( B & C & E ( r ( U C ( B ?
+
, " . !
+
z
{ | +
*
{
, .
{ ;
-
+
, " . !
+
z
{ | +
*
{
, - .
{ ;
* {
, +
- +
. !
+
, " . - +
, " .
{ ;
> "
!
+
z
} | +
*
}
, - . ~
+
z
| +
*
, .
: } { =
> " @ & B y & C & C A & % B & ' ( U ( B y ' ( & ( & ( R # ! ^ ?
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 198/206
0 1 2 1 3 4 5 6 4 3 7 4 8 9 5 6 4 5 7 4 8 6 9 4 3 9 5 4 3 9 4 9 3
!
"
#
"
$ %
"
&
' ( ) "
'
# $
) '
! $ * + ,
" - . /
!
"
#
"
$ %
! # $ %
. /
&
' ( ) /
'
# $
) '
! $ * , * : : , ; < = > ? ; @
. /
&
' ( ) /
A '
# $ ) '
! $ A B
C
D
E
F
. /
&
' ( ) /
A '
# $ A
. /
&
( ) /
A
! $ A
G
H B I J
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 199/206
012345678970645
! ! " # $
% ! # & & ! # & ' ( ! ) # & ' # & & & * + & ) % & $ # ' % & , '
- # ,
) ! ' . / . / ' ! $ $ . , ( # # , $ ' & ! $ - $ ' &
+ ! % & $ '
+ ! % &
# ) ! ! - '
- ! - !
! ) ! &
- & ' & & #
! - ! & ) ! + % # $ ( . # $ ( # # # ! # - ! & ( & '
. % &
% % $ ' . % $ , . ) ! - . ! , ) ! ( # ' ! $ % $ ( : ; % & '
( ! ! - &
+ .
% < ' & $ ) ! $ ' ! $ # ! % . / # $
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 200/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 201/206
0 1 0 2 3 4 5 3 6 7 8 9 8 2 7 3 6
0 0 ! " # 0 ! # $ # % & # ' 0 ! # 0 $ 0
' #
( ) *
+ ' , $ # * ! - ! * & * . % . ! 1 # ! ' / * * # ! ' / / * # ! ' *
# ! ' * *
. $ #
! # 0 - ! $ # ! # ' # & / / # # & 1 # , 1 . # . ' # % . # & /
! # * 0 1
. $ * 0 0
. $ 1 ! ! & / & % & % ! ! & % / ! & /
& % & 0
! ! & % & % : ! 1 / % - $ & # ! $ ! & / / & / & ' $ # $ ; ! 0 $ " & & " 1 ! ! / % ! 1 1 1
! ! 1 1
" < & &
! & / % & & / ! ! & / % & / ! ! ' # ! $ ! / % : # 1 0 1 ! ! ' # !
" , # & % 1
" & % 1
- , # & % 1 ! ! ! ! 0 & & ! ! ! ! & < ' # & 0 < ! & = 1 / 0 + ' , $ # & 0 / ! & 0 ' & 0
+ ' , $ # " & 0
# - /
' $ ; > % 0 " ? ! " * & # # ! ! / % # ! & 1
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 202/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 203/206
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 204/206
0 1 2 3 1 4 5 6 7 8 6 9 0 5 1 4
! " # $ % & ' ! " & ( ! & ( $ % " % % ! ) % & * & " % + ) " ! $ % % " % ,
) ! "
! - ! %
) % * . - % & / ! % ) ( % ! - ! % % / " # $ % / $ " % " % - ! % . &
" % - ! %
! % .
) ( % ! % * " # % $ % / * " # $ % - ! % ) ( " # ! . ' - ! % $ " % * % ! % % / ! % . *
! % ! ) % .
$ " $ + $ " # $ & .
$ % + % % + * % % - ! % / * ! $ " % / . % ! $ % " # $ % . ! /
% "
$ " & $ " . ! $ % " ! $ % % & . . * . $ " # ! " # " & .
" #
% " # % & , " % $ " * $ ) $ & " $ ( & / % " & / $ & / $ ' . ' * .
" /
! % / /
% ' & * . - % + % % - ! % % + , % * " # $ % - ! % $ " % & ) % - % + % * '
: ' & / *
; & . *
* < $ % * / % ! " ! % ( % $ + ! / $
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 205/206
0 0 1 2 3 4 5 3 6 7 8 9 8 2 7 3 6
0 0
! " # " $ % % ! " & ' $ $ # ( $ ) 1 ' $ " ) * ' $ " $ ) *
& " $ ' " ) + 0 0 *
$ " " $ ' $ $ # ( $ ) 1
$ # ( $ ) 1 " " $ # ( $ " , & ) ' " $ ) % ' " $ - ' " ) ) $ " " $ ) 1 - . ) + / " " ) " $ ( )
" & $ " . )
. $ " $ ) )
$ ) + ) $ " $ ) % ) $ ' $ $ # ( $ ) % + $ " ' ' $ $ # ( $ ) % + " $ ) + $ " ) ) ' $ " ) ) % ' $ " $ ) ) % $ # ( $ " ) )
" $ " " $ ) ) 1
" $ ( " $ ) ) *
" $ # $ # ( $ " ) ) ) 0 " $ # ( $ " ) ) ' ) 0 $ ) + 0 ' " $ $ )
' ) +
" # ( $ ) 1 " " " # ( $ " ) $ $ " ) + ) 1 ( ' " 0 ) ) + 0 ( ' " . $ 0 " ' $ " ) % ' ' ) * ' " " " $ " ' " $ :
" " # )
$ ' " ) 1
; " $ ' " ) % ) ) & ) 1 ' ) 1 ' " ) 1 ' " $ ( $ ) 1 ! " $ % % % $ # ( $ )
$ # ( $ $ ' $ $ )
" $ %
< " & $ " + % $ ' % " # ( $ % ) ) " ' $ " $ % " ' $ " $ % ' $ $ % % ' $ $ % + ' $ $ $ % ) ! '
" ' $ $ % * % 1 % 0 % ) 0 ) % %
" $ " 0
" 0 ! ' % = + = ) ' > . $ : ? " * ) + * + 1 $ " $ ' *
8/3/2019 Apunte Usach - Cálculo III
http://slidepdf.com/reader/full/apunte-usach-calculo-iii 206/206
0 1 2 3 1 4 5 6 7 8 6 9 0 5 1 4
! " # " # $ % " & ' ! ( # ) * ( # # # & " & " &
( ! # )
( ! + , - # .