8/16/2019 ÁREA DE REGIONES PLANAS
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍACIVIL
ASIGNATURA :
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
DOCENTE :
ING. HORACIO URTEAGA BECERRA
TEMA :
ÁREA DE REGIONES PLANAS EN COORDENADASRECTANGULARES
ALUMNOS :
MOSTACERO ORDAZ JONATHAN CHRISTIAN
MUÑOZ MUÑOZ JHONY SAMUEL
SALAS MENDOZA MARIO DANIEL
GRUPO :
A
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Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil
1) Calcular el área e la re!"#$ %la$a ac&'aa %&r la !rá("ca e la (u$c"#$
f ( x ):( x+1)(3− x) el e*e +,
a. Gr()ca "# !a R#*+ R
C : f ( x )=( x+1)(3− x)
f ( x )=−( x−1)2+4
I-#rc#-/ c/ !/0 #j#01
S )2345% #-/c#0 3 5 66& ∨ 3 5 7
R= {( x , y )|−1≤ x≤3∧0≤ y ≤f ( x )
b. Ár#a "# !a r#*+ R. A2R4
dA=f ( x)dx
A ( R )=∫−1
3
f ( x ) dx
A ( R )=∫−1
3
[−( x−1)2+4 ] dx
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A ( R )=−( x−1)3
3+4 x ¿−1
3
A2R4 532
3u2
-, Calcular el área e la re!"#$ %la$a ac&'aa %&r la !rá("ca e la (u$c"#$ g ( x ) : xcos x
la. rec'a. /ue %a.a$ %&r x=−π 2∧ x=
π
2 el e*e +,
a. Gr()ca "# !a R#*+ R C : g ( x )= xCos( x )
89c+ Imar, 09 *r()ca #0 0m:-rca r#0#c-/ a! /r*#.
R={( x , y)|(−π 2 ≤ x ≤0∧ xcos ( x ) ≤ y ≤0)∨(0≤ x ≤ π 2 ∧0≤ y ≤ xcos ( x ))}
R1={( x , y)|−π 2 ≤x≤0∧ xcos ( x) ≤ y≤0}
R2={( x , y)|0≤ x ≤ π 2 ∧0≤ y ≤ xcos ( x )}
R= R1∪ R
2
R
2 A (¿¿ 2)Como R= R1∪ R2∧ A ( R1 )= A ( R2) entonces A ( R )=2 A ( R1)=¿
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b. Ár#a "# !a r#*+ R. A2R4
dA=g( x )dx
A ( R1 )=∫0
π
2
xcos ( x ) dx
S#a1
u= xd (v )=cos ( x) dx
→d (u)=d ( x)
v=sen ( x )
E-/c#01
A ( R1 )=∫0
π
2
xcos ( x ) dx
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xsen( x )/ ¿0
π
2−∫0
π
2
sen ( x )dx
A ( R1 )=¿
cos ( x )/¿0
π
2=π
2−1
A ( R1 )=π
2−¿
8a!m#-#1 R
2 A (¿¿ 2)entonces A ( R )= (π −2 )u2
Como A ( R )=2 A ( R1 )=¿
0, Calcular el área e la re!"#$ %la$a ac&'aa %&r la !rá("ca e la (u$c"#$
f ( x ): x2cos x la. rec'a. /ue %a.a$ %&r x=−π 2∧ x=
π
2 el e*e +,
a. Gr()ca "# !a R#*+ R
C : f ( x )= x2cos( x )
R={( x , y)|−π 2 ≤ x ≤ π 2 ∧0≤ y ≤ x2cos ( x )}
R1={( x , y)|0≤ x≤ π 2 ∧0≤ y ≤ x2 cos ( x)}
A ( R )=2 A ( R1 )
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b. Ár#a "# !a r#*+ R. A2R4
dA=f ( x)dx
A ( R1 )=∫0
π
2
x2
cos ( x )dx
S#a1
u= x2
d (v )=cos ( x) dx →
d (u )=2 xd ( x )v=sen ( x )
E-/c#01
A ( R1 )=∫0
π
2
x2
cos ( x )dx
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x2
sen( x )/¿0
π
2−∫0
π
2
2 xsen ( x ) dx
A ( R1 )=¿
S#a1
m= xd (n )=sen ( x )dx
→d (m )=d( x)n=−cos ( x )
x2
sen( x )/¿0
π
2−∫0
π
2
2 xsen ( x ) dx
A ( R1 )=¿
− x cos ( x)/ ¿0
π
2−∫0
π
2
−cos ( x ) dx
¿
A ( R1 )= π 2
4−2¿
senx /¿0
π
2
A ( R1 )= π
2
4−2¿
A ( R1 )= π
2
4−2
Como A ( R )=2 A ( R1 ) entonces A ( R )=(π
2
2−4 )u2
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Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil), Calcular el área e la re!"#$ %la$a ac&'aa %&r la
!rá("ca e la (u$c"#$ f ( x ) : x2cos x el e*e +,
a. Gr()ca "# !a r#*+ R C : g ( x )=( x+2) ( x−3 )
g( x)= x2− x−6
g ( x )=( x−12)2
−25
4
Gr()ca "# 9a ar(b/!a "# ;:r-c# 2&
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b. Ár#a "# !a r#*+ R
d ( A )=−g ( x ) dx
A ( R )=−∫ g ( x ) dx
A ( R )=−∫−2
3
[( x−12 )2
−25
4 ]dx
A ( R )=125
6unid
2
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2,3 Calcular el área e la re!"#$ ac&'aa %&r la !rá("ca e la (u$c"#$ !4+) 5 +arcc&.4+)6 la.rec'a. +5316 +51 el e*e +
a. Gr()ca "# !a r#*+ R.
C : g ( x )= xarccos ( x ) , x∈ [−1, 1 ]
b. Ár#a "# !a r#*+ R. A2R4
R1= {( x , y )|−1≤ x ≤0∧ g ( x ) ≤ y ≤0}
R2= {( x , y )|0≤ x ≤1∧0≤ y≤ g ( x ) }
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→ I 1=∫ x
2
√ 1− x2dx . 2I-#*ra! @9# 0# r#09#!;#
/r #! m:-/"/ "# 090--9c+, # #0-# ca0/ 090--9c+ -r*//m:-rca4
S#a1
x=sen→dx=cosd
A"#m(0, # !a ;arab!# 31
arcsen ( x )=
I 1=∫ sen
2
√ 1−sen2 (cos ) d
I 1=∫ sen2d
I 1=∫1−cos2
2d→I 1=
2+
sen2
4
I 1=
arcsenx
2
+1
2
x√ 1− x2
2&4
R##m!aa"/ 2&4 # 24
x
2
2
arccos ( x )
A ( R )=¿
arcsenx
2+1
2 x√ 1− x2¿ <
x
2
2
arccos ( x )
¿
arcsenx
2+1
2 x√ 1− x2 4<
A2R45π
2unid !
2
1 x
√ 1− x2
1
0-1
0
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