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ARITMÉTICA ENTERA LOS NÚMEROS ENTEROS
= {..., n, ..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ..., n, ...} (Zahlen, en alemán, números) Recordamos la estructura de sus propiedades aritméticas la relación de orden usual, compatible con esas operaciones
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Operaciones en : suma y producto que verifican las propiedades: 1) asociativa a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c
2) conmutativa a + b = b + a a b = b a
3) existencia de elemento neutro a + 0 = a a 1 = a
4) existencia de elementos opuestos a a a + (a) = 0
5) distributiva a (b + c) = a b + a c
6) cancelativa Si a 0 y si a b = a c b = c
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Relación de orden total en ( , ) compatible con las operaciones definidas en :
si a b entonces a + c b + c y a c b c, si c
Axioma de buena ordenación Si S es un subconjunto no vacío de y S tiene una cota inferior,
entonces S tiene un elemento mínimo.
En el conjunto de los números racionales ℚ no es cierto:
S = {x = tal que n } no tiene mínimo.
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PRINCIPIO DE INDUCCIÓN El conjunto de los números naturales es el menor conjunto inductivo: 1) 1
2) si n , entonces n + 1 , n
Principio de inducción (B. Pascal, “Tratado del triángulo aritmético”, 1665)
Sea S un subconjunto no vacío de tal que
1) 1 S
2) si k S, entonces k + 1 S, k
Entonces S = .
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Ejercicios 1) Demostrar, por inducción, que n
a)
n
knk
1
2)12(
b)
n
kk
1
2)12( = 3
)12)(12( nnn
c)
n
k
nnnk
1
2
6)12)(1(
d) 2
11
3
n
k
n
kkk
2) Probar que si n 1, entonces n se puede expresar como suma de
treses y ochos.
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Principio de inducción fuerte Sea z0 y S un subconjunto de 0 = {z / z z0} tal que
1) z0 S
2) si {z0, z0 + 1, …, n} S, entonces n + 1 S
Entonces S = 0.
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Ejercicios 1) Demostrar, por inducción, que
a) 2n > n + 1, n 2
b) 2n + 1 < n2, n 3
c) n! ≥ 2n, n 4
2) Probar que
a) n2 + 3n es par b) n3 + 3n2 + 2n = n (n + 1) (n + 2) es múltiplo de 6 c) 42n 1 es divisible por 15
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DIVISIBILIDAD Relación de orden parcial en ( , ) Sean a, b , b 0. b divide a a ( ba ) si y sólo si existe c / a = b c. Propiedades Sean a, b, c se tiene que 1) 1a
2) a0
3) Si ca y cb entonces ca + b
El recíproco no es cierto: 49 + 3 y 4 no divide a 9 ni a 3
4) Si ca y cb entonces ca x + b y, x, y
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5) Si a b = 1 entonces a = b = 1 ó a = b = 1
6) Si a b y b a entonces a = b o a = b
En se puede dividir: Ejemplos a) 27 = 4.6 + 3 = 4.5 + 7 = 4.4 + 11 = 4.3 + 15 = ...
R = {3, 7, 11, 15, ...} = {3 + 4 k / k }
b) 27 = 4 (7) + 1 = 4 (8) + 5 = 4 (9) + 9 = ... R = {1, 5, 9, 13, ...} = {1 + 4 k / k }
a = b q + r 0 r b
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Consecuencia del axioma de buena ordenación:
El conjunto R de los restos de la división entera de a entre b es un
subconjunto no vacío de y R tiene una cota inferior, entonces R tiene
un resto mínimo r tal que 0 r b.
Teorema de la división entera Sean a, b , b
Existen unos únicos q, r , tales que a = b q + r con 0 r b.
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SISTEMAS DE NUMERACIÓN Una consecuencia importante del teorema de la división entera es la
justificación del sistema de numeración.
Teorema Sean b y b 2. Cualquier n se escribe de manera única como
⋯ …
con 0 rj < b, j {0, 1, …, k} y rk 0.
En este caso se dice que n está expresado en base b.
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Demostración Por el teorema de la división entera n = b q0 + r0 0 r0 b 0 q0 n q0 = b q1 + r1 0 r1 b 0 q1 q0 n q1 = b q2 + r2 0 r2 b 0 q2 < q1 q0 n ...... qk1 = b qk + rk 0 rk b 0 qk < qk1 … < q0 n qk = 0 El conjunto de los cocientes R = {qi / i = 0, 1, ..., k} está acotado
inferiormente por 0. Por el axioma de buena ordenación, existe mín R = 0.
n = b q0 + r0 = b (b q1 + r1) + r0 = b (b (b q2 + r2 ) + r1) + r0 = … =
k
j
jjbr
0
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Ejemplo 1006 = 2. 503 + 0 1006 = 8. 125 + 6
503 = 2. 251 + 1 125 = 8. 15 + 5
251 = 2. 125 + 1 15 = 8. 1 + 7
125 = 2.62 + 1 1 = 8.0 + 1
62 = 2. 31 + 0
31 = 2. 15 + 1
15 = 2. 7 + 1
7 = 2. 3 + 1
3 = 2. 1 + 1
1 = 2. 0 + 1
100610 = 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 23 + 22 + 21 = 11111011102 100610 = 1.83 + 7.82 + 5.81 + 6.80 = 17568
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ALGORITMO DE EUCLIDES (c. 325 265 a C.) Definición Sean a, b , se dice que d = mcd (a, b) si y sólo si 1) d 1 2) d a y d b 3) c tal que c a y c b, se tiene que c d. Teorema Si a, b tales que a = b q + r, entonces mcd (a, b) = mcd (b, r) Demostración Si d = mcd (a, b) entonces d a y d b d a b q = r. Sea c tal que c b y cr c b q + r = a c d. Por tanto, d = mcd (b, r).
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Algoritmo a = b q1 + r1 0 r1 b b = r1 q2 + r2 0 r2 r1 r1 = r2 q3 + r3 0 r3 r2 .......... rk-2 = rk-1 qk + rk 0 rk rk-1 rk-1 = rk qk+1 0 = r k+1 El conjunto de los restos R = {ri / i = 0, 1, ..., k} está acotado inferiormente por 0. Por el axioma de buena ordenación, existe mín R = 0.
mcd (a, b) = mcd (b, r1) = mcd (r1, r2) = ... = mcd ( rk-1, rk) = rk
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Teorema de Lamé ( 1795 1870 ) El nº de pasos del algoritmo de Euclides es k < 5. nº de dígitos mín (a, b). Ejemplo Hallar el mcd (654, 444) El número de pasos es k < 5. nº de dígitos mín (654, 444) = 15. 654 = 444.1 + 210 444 = 210.2 + 24 210 = 24.8 + 18 24 = 18.1 + 6 18 = 6.3
mcd (654, 444) = 6
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Teorema de Bézout Si a , b , entonces x, y tales que a x + b y = d = mcd (a, b) Demostración Por el algoritmo de Euclides, d = mcd (a, b) = mcd ( rk1, rk) = rk Entonces, sustituyendo los restos, d = rk = (rk2 rk1 qk ) = rk2 (rk3 rk2 qk1 ) qk
= (1 + qk1 qk ) rk2 qk rk3 = ... Ejemplo d = mcd (a = 654, b = 444) = 6 d = 6 = 24 18.1 = 24 ( 210 24.8 ) = 210 + 9.24 = = 210 + 9 ( 444 210.2 ) = 19.210 + 9.444 = = 19 ( 654 444 ) + 9.444 = 28.444 19.654 Existen x = 19, y = 28 tales que d = 19 a + 28 b.
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Definición
a, b son primos entre sí si y sólo si mcd (a, b) = 1.
En este caso, x, y tales que a x + b y = 1.
Lema de Euclides
Sean a, b, c tales que ab.c y mcd (a, b) = 1, entonces ac.
Demostración Si mcd (a, b) = 1 entonces x, y tales que
a x + b y = 1 c a x + c b y = c.
Si ab.c ac b y y como ac a x , entonces ac.
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“Si ab.c no implica que ab o ac”:
428 = 2 .14 y 4 no divide a 2 ni a 14.
Proposición
Si se dividen dos números enteros por su mcd, resultan dos números
primos entre sí.
Sean a, b
mcd (a, b) = d d , d a, db y , 1
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Demostración
) Si mcd (a, b) = d d a, d b y x, y con a x + b y = d
x, y tales que 1 , 1.
) Si da, db, 1,mcd
db
da x, y con 1
a x + b y = d.
Sea c tal que ca y cb ca x + b y = d
d = mcd (a, b).
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ECUACIONES DIOFÁNTICAS Diofanto de Alejandría (s. III a C.)
“Aritmética” (se conservan 6 de los 13 volúmenes)
a, b, c conocidosa x + b y = c x, y incógnitas
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Teorema La ecuación diofántica a x + b y = c tiene solución en
si y sólo si d = mcd (a, b) c. Si ( x1, y1 ) es una solución particular obtenida mediante el algoritmo de Euclides, entonces todas las soluciones son de la forma
, ∀ ∈
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Demostración ) Si la ecuación a x + b y = c tiene solución en y mcd (a, b) = d
entonces da, db dc.
) Si mcd (a, b) = d x0, y0 tales que dyax 00 b
Si dc entonces c ydcb x
dca 00 , por tanto
es una solución particular de la ecuación a x + b y = c.
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Si (x, y) es otra solución de la ecuación, entonces a x + b y = c
a (x x1) + b (y y1) = 0 )()( 11 yydbxx
da
.
Como 1,mcd
db
da
|
|
t tal que
. Por tanto, , ∀ ∈
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Ejemplos 1) Hallar las soluciones enteras de la ecuación 150 x + 100 y = 200
Solución mcd (150, 100) = 50200 entonces existe solución de la ecuación 150 x + 100 y = 200
2.50100501.100150
mcd (150, 100) = 50 = 150 100 200 = 4.150 4.100
44
1
1
yx
tty
tx,
3424
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2) Hallar las soluciones enteras de la ecuación 84 x 30 y = 60
Solución mcd (84, 30) = 660 entonces existe solución de la ecuación 84 x 30 y = 60
4.62461.2430242.3084
mcd (84, 30) = 6 = 30 24 = 30 (84 30.2) = 84 + 3.30
60 = 84.10 + 30.30
3010
1
1
yx
tty
tx,
1430510
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NÚMEROS PRIMOS Definición p 1 es primo si los únicos divisores positivos de p son {1, p}.
Si n no es primo se dice que es compuesto.
Un número n es compuesto si y sólo si a, b { 2, 3, ..., n 1 }
tales que n = a b.
Teorema fundamental de la aritmética (Euclides) Todo n 1 es primo o se puede expresar de forma única como
producto de números primos, salvo el orden de los factores.
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Teorema de Euclides
Existen infinitos números primos.
Demostración
Si el conjunto de los números primos P es finito entonces P = { p1, ..., pn }.
Se considera el número p = p1 ... pn + 1
pi divide a p1 ... pn = p 1 i n
pi no divide a p i n p es primo y p P.
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Proposición de Fermat (1601 1665) Si n es un número compuesto, entonces tiene un divisor primo p n . Demostración Si n es compuesto, entonces a, b {2, 3, ..., n 1} tales que n = a b. Si a b, entonces a2 a b = n a n . Si a es primo, ya está demostrado. Si a es compuesto a = p1 ... pr con pi números primos pi a n y pi a n.
Consecuencia Sea n 1 . Si para todo número primo p n se cumple que p no divide a n, entonces n es primo.
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DISTRIBUCIÓN DE NÚMEROS PRIMOS
El método de la criba de Eratóstenes (s. III a C.) para obtener los números primos < n, se aplica con los números n , exclusivamente.
Este método de división es inviable porque el método proporciona la factorización del número como producto de números primos.
n = 244497 1 es primo y tiene 13395 cifras.
Un computador que se pare en n , necesitaría 106684 años.
El Big-Bang ocurrió hace 1.426940639 . 1010 años
La estrella más antigua tiene 1.3 . 1010 años El Sol tiene 4.6 . 109 años.
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Teorema de Marin Mersenne (15881648) Si 2n 1 es primo, entonces n es primo. Demostración Si n es compuesto, entonces a, b {2, 3, ..., n 1} tales que n = a b y como 2ab 1 = (2a 1) (2a (b 1) + 2a (b 2) + …+ 2a + 1), entonces 2n 1 es compuesto.
Los primeros números primos de Mersenne son:
22 1 23 1 25 1 27 1 213 1 217 1 219 1 231 1 2127 1
(los marcados no los encontró Mersenne) 261 1 287 1 2107 1
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“El recíproco no es cierto”: 211 1 = 2047 = 23 . 89 no es primo
Mersenne afirmó que 267 1 y 2257 1 eran primos y no lo son.
En 1903, Frank Nelson Cole, de la Universidad de Columbia, en la
conferencia “Sobre la factorización de números grandes” en la Sociedad
Americana de Matemática demostró a mano que
267 1 = 147.573.952.589.676.412.927 = = 193.707.721 761.838.257.287
El 48º número primo de Mersenne, el mayor conocido es 257.885.161−1,
tiene 17.425.170 dígitos y ha sido hallado con el proyecto GIMPS
(Great Internet Mersenne Prime Search), formado en 1996.
http://www.mersenne.org
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