AULA 1 – CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA II
Fonte: Anton, Stewart, Material Profa. Daniela Buske
Prof. Guilherme J. WeymarCEng - UFPel
Superfícies cilíndricas
TÓPICOS:
O Espaço tridimensional
Representação de ponto
Distância Esferas e Bolas
O Espaço TridimensionalCoordenadas retangulares no espaço; esferas, superfícies
cilíndricas.
Sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas:
Eixo x: {(x,0,0) / x є R}Eixo y: {(0,y,0) / y є R} Eixo z: {(0,0,z) / z є R}
Plano xy: {(x,y,0) / x, y є R} Plano yz: {(0,y,z) / y, z є R} Plano xz: {(x,0,z) / x, z є R}
1º octante: {(x,y,z) / x>0, y>0, z>0}
Representação de um ponto:
Plano bidimensional Plano tridimensional
Exemplo ...
Distância no espaço tridimensional:
A distância |P1P2| entre os pontos P2 (x1,y1,z1) e P2(x2,y2,z2) é:
Prova: Vamos construir uma caixa retangular como na
figura ao lado, onde P1 e P2 são vértices opostos
e as faces dessa caixa são paralelas aos planos
coordenados.
Se A(x2,y1,z1) e B(x2,y2,z1) são os vértices da caixa
indicados na figura então:
Como os triângulos P1BP2 e P1AB são retangulares, duas aplicações do teorema de Pitágoras fornecem:
Continuação da Prova:
Combinando as duas equações anteriores obtemos:
Lembrando:
cqd
Exemplo ...
(0 - 5)2
Esferas e Bolas:
Definição: Lugar geométrico: É um conjunto de pontos em
satisfazendo alguma condição (com valor de verdade definido).
Exemplos:
1) Parábola
2) Circunferência
Lembrar: Equação do círculo com centro (xo,yo) e raio r é dada por:
3) Esfera:
Em particular se o centro é a origem a equação da esfera é:
Definição: Bolas:
Teorema: Uma equação da forma
representa uma esfera, um ponto ou não possui gráfico.
Exemplos ...
Em geral completando os quadrados na equação do teorema anterior resulta uma equação da forma:
Se K > 0 então o gráfico dessa equação é uma esfera com centro e raio .
Se K = 0 então a esfera tem raio zero e portanto o gráfico é o único ponto .
Se K < 0, a equação não é satisfeita por quaisquer valores de x, y, z e logo não há gráfico.
Superfícies Cilíndricas:
Gráficos:
de equações de 2 variáveis no espaço 2D OK
de equações de 3 variáveis no espaço 3D OK
de equações de 2 variáveis nos espaço 3D ??
Superfícies Cilíndricas:
Teorema:
Uma equação que contém apenas duas das variáveis x, y, z
representa uma superfície cilíndrica em um sistema de
coordenadas xyz. A superfície pode ser obtida fazendo-se o gráfico
da equação no plano coordenado das duas variáveis que aparecem
na equação e, então, transladando este gráfico paralelamente ao
eixo da variável que não aparece na equação.
Exemplo:
Como fazer este gráfico?
Geometricamente, o ponto (x,y,z) situa-se na reta vertical que passa pelo
ponto (x,y,0) no plano xy. Isto significa que podemos obter o gráfico de y=x^2
em um sistema de coordenadas xyz fazendo 1º o gráfico da equação no plano
xy e então transladando este gráfico paralelamente ao eixo z para obter o
gráfico inteiro.
O processo de gerar uma superfície transladando uma curva plana
paralelamente a alguma reta é chamado de extrusão, e as superfícies que são
geradas por extrusão são chamadas superfícies cilíndricas.
Exemplos:
1) Esboce o gráfico de x2 + z2 =1 no espaço tridimensional.
Uma vez que y não aparece nessa equação, o gráfico é uma superfície
cilíndrica gerada por extrusão paralelamente ao eixo y. No plano xz, o
gráfico da equação x2 + z2 =1 é um círculo.
Assim, no espaço tridimensional o gráfico é um cilindro circular reto ao
longo do eixo y.
Espaço bidimensional Espaço tridimensional
Exemplos:
2) Esboce o gráfico de z = seny no espaço tridimensional.
Espaço bidimensional
Espaço tridimensional
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