Estatística e Probabilidade
Prof. Dr. Alysson Steimacher
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Aula 4 – Cap 03
Probabilidade
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Estatística Descritiva
Método Estatístico
Estatística Inferencial
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aprenderemos como usar informações para determinar a probabilidade de um
evento ocorrer.
Nesta aula...
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é um número entre 0 e 1 utilizado para exprimir o grau de certeza acerca da ocorrência de um evento associado a um experimento probabilístico.
Probabilidade
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Experimentos Probabilísticos
Se um metereologista diz que há 90% de chances de chover
Se um médico diz que há 35% de chance de sucesso em uma cirurgia
Você deveria submeter-se a cirurgia?
Você levaria o carro para lavar?
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Um experimento probabilístico satisfaz as seguintes condições:
São experimentos probabilísticos:
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Experimento Probabilísticoé uma ação ou ensaio por meio do qual os resultados específicos (contagens, medidas ou respostas) são obtidos. Ex: Jogar um dado de seis faces
A conseqüência de um único ensaio em um exp. probabilístico é um resultado (ponto amostral). Ex: Obter o número 6
O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento probabilístico é o espaço amostral. Ex: Para um dados de 6 faces, o espaço amostral é {1,2,3,4,5,6}
Um evento consiste em um ou mais resultados e é subconjunto do espaço amostral. Ex: Obter um número par {2,4,6}
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Tipos de ProbabilidadeProbabilidade clássica (ou Teórica)Usada quando cada resultado no espaço amostral tem mesmas probabilidade de ocorrer
P(E)=Número de resultados em E
Numero total de resultados no espaço amostral
P(E)=Probabilidade do evento E ocorrer
Exemplo: Um dado de 6 faces jogado. Obtenha a probabilidade dos seguintes eventos:
1- Evento A: obter um 3:2- Evento B: obter um 7:3- Evento C: obter um número menor que 5
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Probabilidade Empírica (ou estatística)
Baseia-se em observações obtidas de experimentos probabilísticos. A probabilidade empírica de um evento E é a freqüência relativa deste evento.
P(E)=Freqüência do evento E
Freqüência total nf
=
Lei dos grandes números:
A medida em que se repete um experimento probabilístico, a probabilidade empírica de determinado evento aproxima-se da probabilidade teórica deste evento.
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Probabilidade SubjetivaResulta em intuição, estimativa ou de um “palpite bem fundamentado”.
Exemplo:
Dado o estado de saúde de um paciente e a extensão dos ferimentos, um médico pode sentir que este paciente tem 90% de chances de se recuperar completamente
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-1000 0 1000 2000 30000.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Pro
babi
lidad
e
Números de Vezes Jogado
• O mapa de dispersão abaixo mostra o resultado de simular a jogada da moeda 3000 vezes. Observe que, à medida que o número de jogadas cresce, a probabilidade de obter cara fica cada vez maisperto da probabilidade teórica, que é de 0,5.
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Espaço amostralEx: Determine o espaço amostral para o lançamento de dois dados
1a jogada
Você pode obter 36 resultados
2a jogada
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
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1,11,21,31,41,51,6
2,12,22,32,42,52,6
3,13,23,33,43,53,6
4,14,24,34,44,54,6
5,15,25,35,45,55,6
6,16,26,36,46,56,6
Detemine a probabilidade de que a soma seja 4.
Determine a probabilidade de que a soma seja 11.
Determine a probabilidade de que a soma seja 4 ou 11.
Dois dados são jogados e sua soma é anotada.
3/36 = 1/12 = 0,083
2/36 = 1/18 = 0,056
5/36 = 0,139
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Propriedades da ProbabilidadeA soma das probabilidade do todos os resultados de um espaço amostral é 1 (100%).
Se você conhece a probabilidade de um evento E ocorrer, poderá obter a probabilidade do complemento do evento E
Complemento do Eventoé o conjunto de todos os resultados em um espaço amostral que não estão incluídos no evento E. O complemento édenotado por E’ (E linha)
E 1 2 3
E’ 4 5 6 7 8 9 0P(E’) = 1 - P(E)
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A produção diária é de 12 carros, 5 dos quais sãodefeituosos. Se um carro for selecionado ao acaso, determine a probabilidade de que ele não seja defeituoso.
Solução:
P(defeituoso) = 5/12
P(não defeituoso) = 1 – 5/12 = 7/12 = 0,583
Complemento do Evento
Exemplo:
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Exemplo: Uma pesquisa feito com uma amostra de 1000 funcionários de uma companhia registra a idade de cada um. Os resultados estão mostrados abaixo.
1.0004265 ou mais12555-6418045-5423335-4436625-345415-24freqüênciaIdade 1- Se for selecionado um
outro funcionário ao acaso, qual é a probabilidade dele ter entre 25 e 34 anos?
2-Qual a probabilidade de escolher um funcionário que não tenha idade entre entre 25 e 34 anos?
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Probabilidade Condicional e Regra da Multiplicação
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Probabilidade Condicional
• Como obter a probabilidade de um evento ocorrer, dado que um outro ocorreu.
• Como distinguir eventos dependentes e independentes.
• Usar a regra da multiplicação para determinar a probabilidade de dois eventos ocorrerem em seqüência.
• Usar a regra da multiplicação para determinar probabilidades condicionais.
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Probabilidade Condicional é a probabilidade de ocorrer um evento, dado que um outro já ocorreu.
A probabilidade condicional de o evento B ocorrer, dado que o evento A já ocorreu, é denotada por:
P(B|A)
que significa Probabilidade de B, dado A
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Dois carros são selecionados em uma linha de produçãocom 12 carros, 5 deles defeituosos. Qual é a probabilidadede o segundo carro ser defeituoso, dado que o primeirocarro era defeituoso?
Dado que um carro defeituoso já foi selecionado, o espaçoamostral condicional possui 4 carros defeituosos entre 11.
Logo, P(B|A) = 4/11.
Probabilidade Condicional Exemplo:
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Dois eventos A e B são independentes se:
P(B|A)=P(B) ou se P(A|B)=P(A)
Eventos Independentes e Dependentes
Dois eventos são independentes se a ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de ocorrência do outro.
Os eventos que não são independentes, são dependentes.
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Dois dados são lançados. Determine a probabilidadede sair 4 no segundo, dado que no primeiro já saiu 4.
Espaço amostral original: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Dado que no primeiro dado saiu 4, o espaço amostralcondicional é: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Logo, a probabilidade condicional, P(B|A) = 1/6
Eventos Independentes e DependentesExemplo:
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Eventos Independentes e DependentesExemplo:Classifique os eventos abaixo como independentes oudependentes:
• Selecionar um rei de um baralho comum (A), nãorecolocando-o, e então selecionar uma dama (B)
• Jogar uma moeda, obter uma cara (A) e jogar um dado e obter um 6 (B)
• Praticar piano (A) e ser um pianista de sucesso (B)
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Para determinar a probabilidade de que dois eventos, A e B, ocorram em seqüência, multiplique a probabilidade de A ocorrer pela probabilidade condicional de B ocorrer, dado que A já ocorreu.
P(A e B) = P(A) . P(B|A)
A Regra da Multiplicação
Se os eventos A e B são independentes, a regra pode ser simplificada para:
P(A e B) = P(A) . P(B)
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De volta à nossa linha de produção.
Dois carros são selecionados em uma linha de produção com 12 unidades, 5 delas defeituosas.
Determine a probabilidade de ambos os carros serem defeituosos.
A = o 1o carro é defeituoso. B = o 2o carro é defeituoso.
P(A) = 5/12 P(B|A) = 4/11
P(A e B) = 5/12 . 4/11 = 5/33 = 0,1515
Exemplo:
A Regra da Multiplicação
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Próxima Aula:
• Regra da Adição• Eventos mutuamente exclusivos• Princípios de contagem• Fim do cap. 03...