Liburu honek UPV/EHUko Euskara eta Eleaniztasuneko Errektoreordetzaren dirulaguntza jaso du
Materialen elastikotasun eta erresistentzia
Juan Luis Osa Amilibia
EUSKARA ETA ELEANIZTASUNEKO ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA
AURKIBIDEA
0. GAIA SARRERA0.1 MATERIALEN ERRESISTENTZIA. ARAZOAK ETA METODOAK0.2 SISTEMA ERREALA ETA KALKULU-ESKEMA0.3 KANPO- ETA BARNE-INDARRAK0.4 TENTSIOAK0.5 DESPLAZAMENDUAK ETA DEFORMAZIOAK
1. GAIA BARNE-INDARREN BANAKETA: TENTSIOAK1.1 SARRERA1.2 TENTSIO NORMALA ETA DEFORMAZIOAK1.3 TENTSIO-DEFORMAZIO DIAGRAMAK1.4 ELASTIKOTASUNA ETA PLASTIKOTASUNA1.5 ELASTIKOTASUN LINEALA ETA HOOKE-N LEGEA1.6 TENTSIO EBAKITZAILEA ETA DEFORMAZIO ANGELUARRA1.7 TENTSIO ETA KARGA ONARGARRIAK
2. GAIA AXIALKI KARGATUAK DAUDEN BARRA PRISMATIKOAK
2.1 SARRERA2.2 INDAR AXIALAK ERAGINDAKO LUZAPENAK2.3 DESPLAZAMENDU-DIAGRAMAK2.4 EGITURA HIPERESTATIKOAK: MALGUTASUNEN METODOA2.5 EGITURA HIPERESTATIKOAK. ZURRUNTASUNEN METODOA2.6 TENPERATURAREN ETA AURREDEFORMAZIOEN ONDORIOAK2.7 TENTSIOAK EBAKIDURA INKLINATUETAN2.8 TENTSIO-KONTZENTRAZIOAK2.9 INDAR ZENTRIFUGOAREN ERAGINA ERAZTUNETAN
3. GAIA BIHURDURA3.1 SARRERA3.2 BIHURDURA ARDATZ ZIRKULARRETAN3.3 BIHURDURA EZ-UNIFORMEA3.4 EBAKIDURA HUTSA3.5 E ETA G ELASTIKOTASUN-MODULUEN ARTEKO ERLAZIOA3.6 POTENTZIA-TRANSMISIOA ARDATZETAN3.7 ESTATIKOKI ZEHAZTUGABEKO ARDATZAK BIHURDURAN3.8 TENTSIO-KONTZENTRAZIOAK ARDATZ ZIRKULARRETAN
4. GAIA INDAR EBAKITZAILEA ETA MAKURDURA-MOMENTUA HABETAN
4.1 HABE-MOTAK4.2 INDAR EBAKITZAILEA ETA MAKURDURA-MOMENTUA4.3 KARGAREN, INDAR EBAKITZAILEAREN ETA MAKURDURA-
MOMENTUAREN ARTEKO ERLAZIOA4.4 INDAR EBAKITZAILEEN ETA MAKURDURA-MOMENTUEN DIAGRAMAK
i
5. GAIA TENTSIOAK HABEETAN5.1 SARRERA5.2 DEFORMAZIO NORMALAK HABEETAN5.3 TENTSIO NORMALAK HABEETAN5.4 HABEEN ZEHARKAKO SEKZIO MOTAK5.5 TENTSIO EBAKITZAILEAK EBAKIDURA LAUKIZUZENETAN5.6 TENTSIO EBAKITZAILEAK HEGAL ZABALEKO T-BIKOITZ HABEETAN I5.7 TENTSIO EBAKITZAILEAK EBAKIDURA ZIRKULARRETAN5.8 HABE ARMATUAK5.9 HABE KONPOSATUAK5.10 KARGA AXIALDUN HABEAK (KARGA INKLINATUAK ETA ESZENTRIKOAK
HABE ETA ZUTABEETAN)5.11 MAKURDURA ASIMETRIKOA
6. GAIA TENTSIO ETA DEFORMAZIOEN AZTERKETA6.1 SARRERA6.2 TENTSIO LAUA6.3 TENTSIO NAGUSIAK ETA TENTSIO EBAKITZAILE MAXIMOAK6.4 MOHR-EN ZIRKULUA TENTSIO LAUAN6.5 HOOKE-REN LEGEA TENTSIO LAUAN6.6 PRESIOPEAN DAUDEN HORMA MEHEKO EDUKIONTZI ESFERIKO ETA
ZILINDRIKOAK. TENTSIO BIAXIALA6.7 KARGA KONBINATUAK TENTSIO LAUAN6.8 TENTSIO NAGUSIAK HABEETAN6.9 EBAKIDURA LAUKIZUZENEKO HABEEN DISEINUA6.10 INDAR ZENTRIFUGOAREN ERAGINA ERAZTUNETAN6.11 MAKURDURA ETA BIHURDURA KONBINATUAK ARDATZ
ZIRKULARRETAN
7. GAIA MAKURDURAK HABETAN ERAGINDAKO DEFORMAZIOAK
7.1 SARRERA7.2 DEFLEXIO-KURBAREN EKUAZIO DIFERENTZIALA7.3 DEFLEXIO-KURBAREN EKUAZIO DIFERENTZIALAREN INTEGRAZIO
BIKOITZA7.4 MOHR-EN TEOREMAK7.5 HABE KONJOKATUAREN METODOA7.6 GAINJARPEN-PRINTZIPIOA7.7 SEKZIO ALDAKORREKO HABEAK (HABE EZ-PRISMATIKOAK)
8. GAIA HABE HIPERESTATIKOAK8.1 SARRERA8.2 DEFLEXIO-KURBAREN EKUAZIO DIFERENTZIALAK ERABILIZ EGINIKO
ANALISIA8.3 MOH-EN TEOREMAK ETA GAINJARPEN PRINTZIPIOA ERABILIZ EGINIKO
ANALISIA8.4 HABE JARRAITUAK
9. GAIA GILBORDURA9.1 SARRERA9.2 KARGA KRITIKOA9.3 EULER-EN FORMULAK9.4 ZUTABEAREN BERMA_BALDINTZAK9.5 EULER-EN FORMULAREN APLIKAZIO-EREMUA9.6 OMEGA ω KOEFIZIENTEEN METODOA
ii
0. GAIA SARRERA
0.1 MATERIALEN ERRESISTENTZIA. ARAZOAK ETA METODOAK0.2 SISTEMA ERREALA ETA KALKULU-ESKEMA0.3 KANPO- ETA BARNE-INDARRAK0.4 TENTSIOAK0.5 DESPLAZAMENDUAK ETA DEFORMAZIOAK
0.1 MATERIALEN ERRESISTENTZIA. ARAZOAK ETA METODOAK
Solido guztiek, neurri ezberdinean, erresistentzia eta zurruntasun
propietateak dituzte. Beraz, kargak jasan ditzakete hautsi gabe eta deformazio
handirik izan gabe muga batzuen barruan.
Materialen erresistentzia zientzia bat da, egitura-elementuen erresistentzia
eta zurruntasuna aztertzen dituena.
Materialen erresistentziak garatu dituen metodoen bidez, elementuen
dimentsioak segurtasunez zehazten dira, bai makinen osagaientzat, bai egitura
estatikoentzat.
Materialen erresistentziaren oinarriak mekanika orokorraren teoremetatik
eratorriak dira, batez ere estatikatik.
Materialen erresistentziaren eta mekanikaren arteko ezberdintasuna zera
da: lehenengoarentzat solidoak deformagarriak direla, eta mekanikarentzat
zurrunak. Materialen erresistentzia mekanikaren adartzat har daiteke, solido deformagarrien mekanika deitua.
Solido deformagarrien mekanikaren barruan elastikotasunaren teoria dago, materialen erresistentziak baino ikuspuntu zehatzagoak erabiltzen dituena.
Baina horren emaitza zehatzak lortzeko lantresna matematiko konplexuetara jo
behar da, eta zenbait kasutan ezin da emaitzarik lortu. Beraz, elastikotasunaren teoria era murriztuan aplikatzen da, nahiz errealitatea era zehatzago eta osoago
11/10/30 r3.2 MEE 0 - 1
batean deskriba dezakeen arren.
Beraz, MEEren (Materialen Elastikotasun eta Erresistentzia) helburua da
kalkulu-metodo sinplifikatuak eraikitzea, ikuspuntu teknikotik elementu seguruak
izan daitezen eta era onargarrian diseina daitezen. Horretarako, hurbilpenezko
prozedurak erabiltzen dira. Metodoen emaitzak zenbakizkoa eta zehatza izan
behar du, hipotesi sinplifikatuak erabiliz, eta horien emaitzak errealitatean eta
elastikotasunaren teoriaren emaitza zehatzarekin konparatuz balioztatuko dira.
Beraz, materialen erresistentziaren aplikazio-eremuak, bere ezaugarri
praktikoengatik, elastikotasun-teoriarenak baino zabalagoak dira.
Gainera MEEk elementuen barne-egoera aztertzeaz gainera, lan-gaitasuna
eta aztertutako egituraren erabilpena ere balioztatzen ditu. Elastikotasunaren teoriak ez du puntu hori aztertzen.
0.2 SISTEMA ERREALA ETA KALKULU-ESKEMA
Kalkulu-eskema bat aukeratuz hasten da objektuaren erresistentziaren edo
sistema errealaren azterketa. Egituraren kalkulua hasi aurretik, egituraren
ezaugarri nagusiak identifikatu behar dira, eta sobera daudenak baztertu. Hau da,
egituraren eskema eraiki behar da, egituraren portaeran eragin gutxi duten
faktoreak kontuan hartu gabe.
Arazoaren sinplifikazio hori guztiz beharrekoa gertatzen da kasu guztietan,
zeren egituraren ezaugarri guztiak kontuan hartzen dituen problemaren emaitza
lortzea ezinezko baita (elementu finituen metodoa bera ere emaitzaren hurbilpen
bat da).
Horrela, igogailu baten kablearen erresistentziaren kalkulua egitean:
– garrantzitsuak diren faktoreak:– kabinaren pisua– kablearen pisua (oso luzea bada)– kabinaren azelerazioa
– sobera daudenak:– igogailuaren erresistentzia aerodinamikoa– presio barometrikoaren aldaketa altueraren
arabera– tenperaturaren aldaketa altueraren arabera– zenbatezinak diren beste hainbat faktore
11/10/30 r3.2 MEE 0 - 2
Objektu errealari garrantzia ez duten faktoreak kenduz, kalkulu-eskema lortzen da.
Gorputz edo sistema berak kalkulu-eskema bat baino gehiago izan ditzake,
kalkuluak behar duen zehaztasunaren eta aztertu nahi den faktorearen arabera.
Horrela, aurreko adibidean kablearen erresistentzia soilik aztertu nahi bada,
kabina eta karga solido deformaezintzat har daitezke, eta kablearen muturrean
aplikatutako indar baten bidez ordezkatu. Aldiz, kabinaren erresistentzia
aztertzean ezingo litzateke solido zurruntzat hartu. Haren ezaugarriak aztertu eta
haren kalkulu eskema bereizia egin beharko da.
Kalkulu-eskemaren aukeraketa materialen ezaugarriak definituz hasten da.
Normalki, materialak homogeneoak, jarraituak eta isotropoak direla jotzen da.
– Materiala homogeneoa da, baldin eta edozein puntutan propietate berak
baditu.
– Materiala jarraitua da, baldin eta materiak elementuari ezarritako
bolumen osoa okupatzen badu.
– Materiala isotropoa da, baldin eta edozein norabidetan propietate berak
baditu.
Kalkulu-eskema eraikitzean solidoaren geometrian sinplifikazioak ezartzen
dira. Materialen erresistentzian oinarrizko sinplifikazioa da, solidoa barra edo oskol
batekin ordezkatzea.
Barra deritzo, dimentsio bat beste biak baino handiagoak dituen gorputzari.
Geometrian, irudi lau bat kurba batean zehar mugituz lortzen da barra. Kurba horri
“barraren ardatza” deritzo. Irudi lauari, bere GZ (grabitate-zentroa) ardatzean
duela, “zeharkako sekzio” deritzo
Barrak sekzio konstantea edo aldakorra izan dezake. Ardatzaren arabera,
barra zuzena, kurbatua edo alabeatua izan daiteke. Egitura asko barraz osatuak
daudela jo daiteke.
11/10/30 r3.2 MEE 0 - 3
Materialen erresistentzian erabiltzen den bigarren eskema mota “oskolak”
dira. Dimentsio bat beste biak baino txikiagoa dituzten elementuak dira oskolak.
Adibidez, mota horretakoak dira edukiontzien paretak, industria-pabiloien teilatuak,
eta abar.
0.3 KANPO- ETA- BARNE-INDARRAKObjektu errealak eskemekin ordezkatzean, aplikatutako indar-sistemak ere
sinplifikatzen dira. Horrela, indar kontzentratuaren eta banatuaren kontzeptuak
sortzen dira.
Indarrak aldi berean barne- eta kanpo-indarrak izan daitezke. Indarrek bi
gorputzen arteko akzioa neurtzen dute. Egitura ingurunetik isolatua dagoela
kontsideratuz gero, inguruneko elementuek egituran eragiten duten indarrak
kanpo-indarrak izango dira. Bi kanpo-indar mota daude:
– bolumenekoak (pisua, indar magnetikoak,...)
– azalerakoak (uraren bultzada,...)
Euskarrietan gertatzen diren
erreakzioak ere kanpo-indarrak dira.
Adibidez, garabi batean:
Irudiko sistemaren baldintzen
arabera, sistema isostatikoa (R1, R2),
edo hiperestatikoa (R1', R2', ..., RN') izan
daiteke.
11/10/30 r3.2 MEE 0 - 4
Aztertzen ari garen gorputzaren zatien arteko interakzioei barne-indarrak deitzen zaie. Barne-indarrak, sistema osatzen duten elementuen arteko indarrez
gainera, gorputza osatzen duten partikulen arteko indarrek ere osatzen dituzte, eta
sistema kanpo-indar sistema baten pean dago.
∑ (PN)ezk+(PΔ)=0
−(P Δ)+∑ (PN)esk=0
∑ (PN)ezk+∑ (PN )esk=0
Pieza bitan banatuz gero sekzioetan barne-indarrek duten banaketak, haiek
sortutako deformazioak kontuan hartuz, bi sekzioak hurbilduz bat egiteko gai izan
behar du. Baldintza horri deformazioen jarraipen-baldintza deitzen zaio
materialen erresistentzian, eta baita elastikotasunaren teorian ere.
Oreka- eta jarraitasun-baldintzak betetzen dituen barne-indar sistema bat
existitzen dela eta bakarra dela frogatu daiteke.
11/10/30 r3.2 MEE 0 - 5
Oreka-baldintzek R indar eta MG momentu erresultanteak lortzen bakarrik
laguntzen du (betiere kanpo-indarrak ezagunak badira), baina ez du barne-
indarren banaketaren informaziorik ematen. Estatikaren oinarriak aplikatuz barne-
indarren sistema sekzioaren GZra eramanez, R eta MG lortuko ditugu. Horiek hiru
ardatzetan proiektatuz, sei osagai lortuko ditugu: hiru indar eta hiru momentu.
Osagai horiei sekzioaren barne-indarreko faktore edo orekatzaile deitzen zaie.
R OX ardatza → N indar normala
OY ardatza → VY indar ebakitzailea
OZ ardatza → VZ indar ebakitzailea
MG OX ardatza → MX bihurdura-momentua (torsor)
OY ardatza → MY makurdura-momentua (flector)
OZ ardatza → MZ makurdura-momentua
Kanpo-indarrak ezagutuz sei osagai orekatzaileak ezagutu daitezke
barraren zati batean sei oreka-ekuazioak aplikatuz.
Era berean, barrako karga motak sailkatzen dira:
– A sekzioan N ≠ 0 eta beste osagaiak = 0 badira
→ TRAKZIOA edo KONPRESIOA
11/10/30 r3.2 MEE 0 - 6
0.4 TENTSIOAK
Sekzioan barne-indarren banaketa definitzeko, aurretik intentsitatearen
kontzeptua azaldu behar da. Neurri horri tentsio deituko diogu.
A sekzioa aztertuko dugu. B puntuaren inguruan ∆A eremu infinitesimala
aztertuko dugu, haren barnean Δ F barne-indarra dagoela. Zatiki honek
definitzen du ∆A eremu infinitesimalean batez besteko tentsioa:
pm=Δ FΔ A
∆A eremu infinitesimala nahi adina txikiagotu dezakegu, materiala jarraitua
11/10/30 r3.2 MEE 0 - 7
baita. Beraz, limitea ∆A zerorantz doanean:
p= limΔ A→0
Δ FΔ A
p osagai bektorialari A sekzioko B puntuko tentsio oso deritzo. Tentsioa
indarra zati azalera unitatean definitzen da.
– sistema internazionala → Pa (pascal) kg⋅ms2
1m2 (MPa = 106 Pa =
Nmm2 )
– sistema teknikoa → kgcm2 edo
kgmm2 (≈ 10MPa)
p σ → n-ren norabidea TENTSIO NORMALA
τ' → t'-ren norabidea TENTSIO TANGENTZIALA
τ'' → t''-ren norabidea TENTSIO TANGENTZIALA
Noranzkoaren eta ardatzen notazioaren arabera, σ eta τ aurrerago azalduko
diren azpi-indizez adierazten dira.
Tentsioak B puntuan baina sekzio ezberdin batean aztertuz, tentsio egoera
ere ezberdina izango da. Sekzio bakoitzeko puntu batean agertzen diren tentsio multzoak puntuaren tentsio-egoera osatzen du.
Tentsio-egoera bektorialki adierazten da, eta materialen erresistentziaren
oinarrietako bat da. x , y , z , xy , yz, zx
– Tentsio normala σ gisa adieraziko da, dagokion ardatza azpiindize gisa
duelarik (x, y edo z)
– Tentsio ebakitzailea τ izendatuko da, bi azpiindize dituelarik: lehenengoa
planoarekiko elkarzut da, eta ardatzarena izango da; bestea dagokion
11/10/30 r3.2 MEE 0 - 8
ardatzaren norabidearena
Tentsio-tentsorearen osagaiak(era matrizialean adierazita:
σ ii=σx , σ ij=τxy )
σx , σy , σz , τxy , τ yz , τzx τxy=τyx τyz=τzy τxz=τzx
0.5 DESPLAZAMENDUAK ETA DEFORMAZIOAK
Material guztiak, kanpo-indarren eraginpean deformatzen dira. Horrek
eragina du solidoaren barne-indarren banaketan, hala ere normalki deformazioak
oso txikiak direnez oharkabean pasatzen dira.
Solidoaren puntuak
desplazatu egiten dira kanpo-
indarren eraginez.
11/10/30 r3.2 MEE 0 - 9
Puntu baten desplazamendu-bektorea zera da: jatorritzat deformatu
gabeko puntua duen (A puntua) eta muturrean (gezia) puntuaren posizioa solidoa
behin deformaturik (A' puntua) duen bektorea da.
Desplazamendu-bektoreak ardatzetan dituen proiekzioak, desplazamendu-ardatzen noranzkoetan dira. u ,v eta w gisa izendatzen dira (x, y eta z
ardatzetan hurrenez hurren).
Desplazamendu linealez gainera, desplazamendu angeluar kontzeptua ere
kontuan hartu beharrekoa da. Solidoaren bi puntuk sortzen duten segmentuak
deformatu aurretik eta ondoren, biraketa ere jasaten du espazioan. Biraketa hori
definitzeko ardatzekiko deskonposatzen da:
x, y eta z γ=γ x i +γy j+γz k
Solido-sistema batek bere desplazamendua espazioan saihesteko behar
adina lotura badu, sistema zinematikoki aldaezina dela esaten da. Bestela,
puntuen deformazio-desplazamendua lortzeko solido zurrunaren desplazamendua
kendu beharko zaio desplazamendu absolutuari.
Materialen erresistentzian aztertuko
ditugun kasu gehienetan, edozein puntutako u ,v eta w desplazamenduak solidoaren
dimentsio geometrikoak baino txikiagoak
izango dira. Hori kontutan hartuta, barne-
indarrak aztertzean, sinplifikazioak aplikatzen
dira funtsezko oinarrietan.
Sinplifikazio bat hasierako dimentsioen printzipioa da, non, estatikako
oreka ekuazioak planteatzean, solidoa
deformaezintzat jotzen baita. Hau da, haren
dimentsio geometrikoak berdinak dira
kanpoko indarrak aplikatu aurretik eta
ondoren.
Printzipio hori ezin da aplikatu deformazio handien kasuan. Eta deformazio
txikien kasu gutxi batzuetan ere salbuespenak daude, non printzipio hau ezin baita
11/10/30 r3.2 MEE 0 - 10
aplikatu. Adibidez:
Aldaketaren intentsitatea neurtzeko:
Δδδ =ϵm εm batez besteko luzapen unitarioa (adimentsionala)
lims →0
Δδδ
=ϵAB εAB A puntuko deformazio lineala (unitarioa) AB norabidean
A puntu honetan baina beste norabide batean deformazioa aztertuz, oro har,
emaitza ezberdina lortuko da. Ardatz kartesiarretan:
OX → εx OY → εy OZ → εz
limOC →0
(COD−C ' O ' D ' )=γCOI deformazio angeluarra edo distortsio angelua
Deformazioak planoetan:
xy → γxy xz → γxz yz → γyz
Puntu batekiko norabide eta plano guztietako deformazio lineal eta
angeluarren multzoak puntuaren deformazio-egoera osatzen du. Deformazio-
egoera sei osagaiek definitzen dute
εx, εy, εz, γxy, γxz, γyz
γxy = γyx, γyz = γzy, γxz = γzx
11/10/30 r3.2 MEE 0 - 11
1. GAIA BARNE-INDARREN BANAKETA: TENTSIOAK
1.1 SARRERA1.2 TENTSIO NORMALA ETA DEFORMAZIOAK1.3 TENTSIO-DEFORMAZIO DIAGRAMAK1.4 ELASTIKOTASUNA ETA PLASTIKOTASUNA1.5 ELASTIKOTASUN LINEALA ETA HOOKE-REN LEGEA1.6 TENTSIO EBAKITZAILEA ETA DEFORMAZIO ANGELUARRA1.7 TENTSIO ETA KARGA ONARGARRIAK
1.1 SARRERAMaterialen elastikotasuna eta erresistentziak, MEEk, solidoen portaera
aztertzen du karga motak kontuan izanda.
KAUSA → KARGAK EFEKTUAK → TENTSIOAK eta DEFORMAZIOAK
Analisiaren helburua da kargek sortutako tentsio eta deformazioak
ezagutzea. Balio horiek kargen balio guztietarako kalkulatzen dira, haustura-karga
lortzeraino.
Portaera mekanikoaren jakintza beharrezkoa da edozein egitura – hala nola
eraikin, zubi eta makinak – diseinatzerakoan.
Materialen propietate fisikoak esperimentalki lortzen dira, eta, ikasturtean
zehar garatuko ditugun kontzeptu teknikoak aplikatuz, egitura mekanikoen
portaera aurreikusi ahal izango dugu.
11/10/30 r3.2 MEE 1 - 1
MATERIALEN PROPIETATEEN
EZAGUTZAEMAITZA
ESPERIMENTALAK
PORTAERA AURREIKUSTEN DUTEN FORMULA ETA EKUAZIOAK
+ANALISI TEORIKOAK
Kasu praktiko asko ezin dira prozedura teorikoekin ebatzi, eta kasu horietan
beharrezkoa da neurketa esperimentalak egitea errealitatean izango diren lan-
baldintza berdinetan.
Adibideak.
– Kable, barra eta habeen erresistentzia zehazteko egindako proba
esperimentalak:
– Leonardo da Vinci XV. mendea (1452 – 1519)
– Galileo Galilei XVI. mendea (1564 – 1642)
Ez zuten teoriarik formulatu proba horien emaitzak azaltzeko
– Zutabeen teoria matematikoa eta gilbordurako karga kritikoa Leonard Euler-
ek garatu zituen XVIII. mendean (1707 – 1783)
Haren ekarpenak urteetan erabili gabe egon ziren, eta gaur egun zutabeak
aztertzeko oinarrietako bat da.
1.2 TENTSIO NORMALA ETA DEFORMAZIOA
Barra prismatikoa luzeran ebakidura konstantea duen egitura-elementu bat
da.
Luzapen uniformea jasaten du: trakzioa.Barne-tentsioen analisia:
σA=P → σ=PA trakzio-tentsioa
11/10/30 r3.2 MEE 1 - 2
σ n-m sekzioarekiko norabide elkarzutean agertzen denez, tentsio normal deitzen zaio.
Indarren noranzkoa aldatuz gero,
konpresio-tentsioa
Tentsio normalentzako zeinu-irizpidea
TRAKZIOA: σ (+)KONPRESIOA: σ (–)
TENTSIOAREN UNITATEAK
Sistema Internazionala (SI) σ=PA(Newton)
m2 =Pa (Pascal) (oso unitate txikia)
Normalki megapascal unitatea erabiltzen da → 1 MPa = 106 Pa = 1N
mm2
Sistema Teknikoa (ST)kg
cm2≃10 Ncm2=10MPa
Sistema Ingelesa librainch2 psi (pound square inch) 103 psi = 1 ksi
Adibidea. A42b altzairuaren haustura-tentsioa: σR=42 kgmm2=420MPa
σ=PA bete dadin, tentsioak barraren zeharkako sekzioan uniformeki
banatua egon behar du. Baldintza hori bakarrik betetzen da, P indar axiala
sekzioaren grabitate-zentroan (GZ) aplikatuta dagoenean. P indarra sekzioaren
GZn aplikatua ez badago, makurdura agertzen da, eta, hala, tentsio-banaketa
aldatzen da.
11/10/30 r3.2 MEE 1 - 3
FROGAPENA
Jo dezagun indar axial bat ardatzarekiko e distantzia batera dagoen puntu
batean aplikatuta dagoela, eta ardatzarekiko perpendikularra den sekzio batean
tentsioa uniformeki banatua dagoela. Aurreko gaian aipatu den bezala, barra
ebakiz gero, sekzioan kanpo-indarrek eragindako tentsio-egoera existitzen da eta
bakarra da. Indar horren posizioa bilatuko dugu arbitrarioki hautatutako jatorri eta
koordenatu-ardatzekiko.
Tentsioa uniformeki banatua dagoenez, P-ren balioa:
P=∫Aσ ·dA=σ∫A
dA=σ ·A
Indar horrek x eta y ardatzetan sortutako momentua:M x=P⋅y=σ A y M y=−P⋅x=−σ A x
Momentu berdina dA azalera infinitesimaleko indarra azalera osoan integratuz:
M x=∫Aσ ·d A· y=P · y=σ · A · y M y=−∫A
σ · dA· x=−P · x=−σ · A· x
Bi momentuak berdinduz eta x eta y balioak askatuz, sekzioaren GZren
definizioa lortzen da, lehen aipatutakoa berretsiz:
σ∫AdA · y=σ · A · y → y=∫ dA
Ay=∫dA
∫A
−σ∫AdA· x=−σ · A· x → x=∫dA
Ax=∫dA
∫A
Karga muturrean uniformeki banatua badago, tentsio-banaketa berdina da
sekzio guztietan.
Karga puntu batean edo eremu txiki batean aplikatua dagoenean, puntuaren
11/10/30 r3.2 MEE 1 - 4
inguruan tentsio-kontzentrazioa dago. d distantziara dagoen sekzio batetik aurrera
tentsioa uniformeki banatua dago.
LUZAPENAK
– Barra prismatikoa (A azalera
konstantea)
– Material homogeneoa
(propietate berdinak puntu
guztietan)
– Kargak GZn aplikatuak
LUZERA LUZAPENAL δ1 ε
ϵ=δL ε luzapen unitarioa da
Adibidea. Barra batek L = 10 m-ko luzera dauka, eta δ = 6 mm-ko luzapena jasan
badu:
ϵ=δL=6 mm
10 m=6·10−3 m
10 m=0,6· 10−3 Luzapen unitarioa adimentsionala da
Tentsio-egoera horri, tentsio eta deformazio uniaxial unitario deitzen zaio.
σ=PA
ϵ=δL
11/10/30 r3.2 MEE 1 - 5
1.3 TENTSIO–DEFORMAZIO DIAGRAMAK
Adibidea. TRAKZIO-PROBA
Har dezagun probeta zilindriko normalizatu bat, muturretan diametro
handiagoa duena.
(Ø0,5 in, L = 2”)
Karga = P Luzapena = δ σ=PA
ϵ=δL
KONPRESIO-PROBA
Kubo (2x2 in) edo zilindro zirkularra (Ø1 in, L 1 – 12”)
Hormigoia ASTM → probeta (Ø6”, L 12”)
A42b egitura-altzairuaren tentsio-deformazio diagrama
A – Proportzionaltasun-muga
B – Isurpenaren hasiera
D – Haustura-tentsioa
D-E zonan estrikzioa → σ=PA itxurazkoa A =, σ↓, P↓
erreala A↓, σ↑, P↓
11/10/30 r3.2 MEE 1 - 6
Material harikorrek, hautsi aurretik deformazio handia jasan dezakete:
altzairua, Al, Cu, Mg, Pb, Mo, Ni, letoia, brontzea, nylona, teflona,...
Luzapena ehunekotan (%) adierazten da.
Luzapena=L f−L0
L0x 100
Altzairuarentzat % 25-30
Altzairuaren tentsio-deformazio diagramak karbono-edukiaren arabera
Kurben azpiko azalera xurgatutako energia edo lana da
Altzairu ez den beste metal baten
eta aleazioen tentsio-deformazio
diagrama
Isurpenaren hasiera ez dago garbi definitua. Itxurazko isurpen-muga metal
edo aleazio bakoitzarentzat deformazioa ehunekotan (%) adierazten da. Adibidez,
aluminioaren itxurazko isurpen-tentsioa σAl %0,2 da.
Sekzioaren azaleraren txikiagotzea edo estrikzioa ehunekotan:
estrikzioa=A0−Af
A0x 100
Hautsi aurretik deformazio txikia jasaten duten materialak hauskorrak dira.
11/10/30 r3.2 MEE 1 - 7
1.4 ELASTIKOTASUNA ETA PLASTIKOTASUNA
PORTAERA ELASTIKOA PORTAERA PARTZIALKI ELASTIKOA
Elastikotasuna da, karga kentzean hasierako dimentsioak berreskuratzeko
materialek duten propietatea.
E puntua: materialaren muga elastikoa
Plastikotasuna zera da: materialaren muga elastikoa behin gainditu
denean, materialak deformazio inelastikoak jasateko duen propietatea.
Material harikor batek eremu plastikoaren barnean deformazio handiak
jasaten dituenean, fluxu plastikoan dagoela esaten da.
Materiala eremu elastikoan mantentzen bada, hainbat aldiz kargatua izan
daiteke bere portaeran eta dimentsioetan aldaketa iraunkorrik jasan gabe (nekea
kontuan hartu gabe).
Muga elastikoa iraganez gero,
bigarren karga-zikloa C puntuan hasiko da,
eta C-B-F tentsio-deformazio diagrama
berriari jarraituko dio. Orain isurpen-muga
B puntuan izango da, aurrekoa baino
handiagoa, eta harikortasuna galtzen da
(deformatzeko gaitasuna).
11/10/30 r3.2 MEE 1 - 8
1.5 ELASTIKOTASUN LINEALA ETA HOOKE-REN LEGEA
– Materialak portaera elastikoa du OA eremuan
– Tentsioaren eta deformazioaren arteko erlazioa lineala da
σ1ϵ1=σ2ϵ2=σ3ϵ3= tanβ=E=ktea
E proportzionaltasun konstante bat da eta materialaren elastikotasun-modulu edo Young-en modulu deitzen zaio.
E σ−ε diagramako eremu elastiko-linealaren (OA) malda da (tan β).
E-ren unitatea E= σ kg /cm2
ϵ(adimentsionala)→ E ( kg
cm2) , tentsioaren berdina da.
Altzairuentzat E = 2,1·106 kg/cm2
σ=E · ϵ adierazpena Hookeren lege deritzo. Trakzio eta konpresio
sinpleko egoeretan bakarrik aplika daiteke. Egoera konplexuagoentzat Hookeren lege orokortua erabiltzen da (aurrerago ikusiko dugu).
POISSON-EN ERLAZIOA
Trakzioan dagoen barra baten luzapen axialaren eta alboko kontrakzioaren
arteko erlazioa adierazten du:
Poissonen erlazioa =−alboko deformazioa unitarioa
deformazio axialaunitarioa
ϵy=−νϵx
Adierazpen hori material homogeneo (propietate berdinak puntu guztietan)
eta isotropoentzat (propietate berdinak norabide guztietan) da baliagarria.
Metal askorentzat 141
3 (altzairuak ν = 0.3)
11/10/30 r3.2 MEE 1 - 9
BOLUMEN-ALDAKETA
Trakzioan dagoen barra baten bolumena handitu egiten da. Trakzioan lan
egiten duen barra homogeneo eta isotropo bat aztertuz:
a1 → a1 + a1·ε = a1 (1 + ε)
b1 → b1 – b1·νε = b1 (1 – νε)
c1 → c1 – c1·νε = c1 (1 – νε)
Vf = a1·b1·c1 (1 + ε)(1 – νε)(1 – νε)
ε2 eta ε3 terminoak mespretxatuz:
Vf = a1·b1·c1 (1 + ε – 2νε)
Bolumen-aldaketa: ∆V = Vf – Vo = a1b1c1(1 + ε – 2νε) – a1b1c1 = a1b1c1ε (1 – 2νε)
Beraz, bolumen-aldaketa unitarioa:
e=ΔVV O
=a1 b1c 1ϵ(1−2ν)
a1 b1 c1=σ
E(1−2 ν) e deformazio bolumetrikoa izanik.
νmax = 0,5 bada, e = 0 da. ν > 0,5 bada, e negatiboa da (fisikoki ezinezkoa).
1.6 TENTSIO EBAKITZAILEA ETA DEFORMAZIO ANGELUARRA
Tentsio ebakitzailea sekzioan tangentzialki agertzen da.
11/10/30 r3.2 MEE 1 - 10
τm=VA=P /2
A Ebakidura sinple edo zuzenaren adibidea
Torloju, berno, errematxe, falka (cuña), soldadura eta lotura itsatsien
kalkuluan agertzen da.
TENTSIO EBAKITZAILEEN EFEKTUA
Trakzioan lan egiten
duen barra bateko puntu
batean paralelepipedo forma
daukan elementu infinitesimal
bat aztertuko dugu. Haren
bere aldeak ∆x, ∆y eta ∆z dira.
1. Kontrako aurpegi paraleloetako tentsio ebakitzaileek modulu berdina eta
kontrako noranzkoa dituzte.
∑F H=0 τ ·Δ xΔ z=τ ´ Δ x Δz → τ=τ ´ eta τ1=τ ´1
2. Aurpegi perpendikularretako tentsio ebakitzaileek modulu berdina dute, eta
haien noranzkoa ertzerantz gerturatu edo aldentzen da.
∑M=0 τ ·Δ xΔ zΔ y=τ1Δ xΔ zΔ y → τ=τ1
DEFORMAZIOAK
Tentsio ebakitzaileak soilik jasaten dituen elementuak ebakitzaile hutsean lan egiten du.
Materiala deformatu egiten da, eta deformazio angeluar bat sortzen da.
11/10/30 r3.2 MEE 1 - 11
Deformazio mota hau aztertuz, ondorengoa ondoriozta dezakegu:
• Tentsio ebakitzaileek ez dute elementua luzatzen edo mozten x, y eta z
norabideetan: hau da, ertzen luzera ez da aldatzen.
Elementua: paralelepipedo laukizuzena → paralelepipedo zeiharra
Aurpegia: laukizuzena → erronboidea
• Aurpegien arteko angeluak b eta d puntuetan:
lehen 2 → ondoren
2− (aldaketa: γ↓)
• Aurpegien arteko angeluak a eta c puntuetan,lehen
2 → ondoren 2 (aldaketa: γ↑)
γ angeluak, elementuak jasaten duen distortsio maila edo forma aldaketa
adierazten du. Deformazio angeluar (unitarioa) deitzen zaio, eta radianetan
ematen da.
ZEINUAK
NOLA ZEHAZTEN DIRA ESPERIMENTALKI MATERIAL BATEN
EBAKIDURAREKIKO PROPIETATEAK?
Bihurdura-proben bidez, sekzio zirkularreko hodietan ebakidura hutseko
egoera bat sortzen da. Trakzio-proben antzeko diagramak lortzen dira (balio
ezberdinekin noski). Eremu elastiko-plastikoak eta karga-deskarga prozesuak
antzekoak dira. Altzairuetan, eremu elastiko-linealean, tentsio ebakitzailearen eta
deformazio angeluarraren arteko erlazioa ere proportzionala da (G).
11/10/30 r3.2 MEE 1 - 12
tanφ= τγ=G τ=G⋅γ G, elastikotasun-modulua da.
Egituretan erabiltzen diren altzairuek duten τF-a, 0,5-0,6 aldiz σF da.
Ebakidura-tentsio diagramaren OA zatia trakzioan lortutakoaren antzekoa da.
HIRU KONSTANTE ELASTIKOEN ARTEKO ERLAZIOA: E, G eta ν
G=E
2(1+ν)
E, G eta ν ez dira materialarekiko independenteak diren propietateak.
ν-ren balioak 0 eta 0,5 artean egon behar duenez:
ν = 0 denean, G= E2(1+0)
=E2
ν = 0.5 denean, G=E
2(1+1/2)=
E2⋅3 /2
=E3
beraz, E3<G<E
2
1.7 TENTSIO ETA KARGA ONARGARRIAK
Ondorengo esaldiak ingeniaritzako kontzeptu garrantzitsu bat azaltzen du:
«Elementuak kargak jasateko edo transmititzeko ahalmenaren arabera diseinatzen dira».
Elementuak: eraikinen egiturak, makineria, hegazkinak, ibilgailuak,
itsasontziak,... hau da, egiturak.
11/10/30 r3.2 MEE 1 - 13
Egitura bat kargak jasan edo transmiti ditzakeen edozein elementu da.
Benetan jasan dezakeen karga zerbitzuan jasango dituenak baino handiagoa
izango da. Egitura batek kargak jasateko duen ahalmenari erresistentzia deritzo.
Egituraren erresistentzia erreala > zerbitzuko erresistentzia
Erresistentzia errealaren eta zerbitzukoaren arteko erlazioari, n, segurtasun-koefizientea deritzo. Horrela:
n= erresistentzia errealaerresistentzia zerbitzuan
1 egoeraren arabera 1,5 < n < 10
Materialaren hutsegiteak egitura baten haustura edo eraistea (colapso)
dakar, edo deformazioek egiturak bere funtzioa ongi betetzeko duen muga
onargarria gainditzen dute. Deformazio-hutsegite bat haustura-karga baino balio
txikiagotan gerta daiteke.
n-REN AUKERAKETA. KONTUAN HARTU BEHARREKO IRIZPIDEAK:
1. Egiturak gainkarga izateko probabilitatea:
eraikuntzak (lurrikara), makinak, ibilgailuak, barkuak, hegazkinak...
2. Karga motak (estatikoak, dinamikoak, ziklikoak)
3. Nekeagatik huts egiteko probabilitatea
4. Hutsegiteak fabrikazioan eta muntatzean (perdoiak, prozedurak...)
5. Kalitate-ikuskaritza fabrikazioan
6. Materialen propietateetan aldakuntzak
7. Ingurumenaren eragina
8. Diseinu-metodoen zehaztasuna (besteen iritziak)
9. Bat-bateko hutsegitea edo mailakatua
10.Hutsegitearen ondorioak: istripu txikia edo hondamendia
- n txikiegia bada → hutsegite-arriskua ↑↑ - egitura onartezina
- n handiegia bada → egitura garestia - ezegokia bere funtziorako
- aukeraketa konplexua → ingeniariaren irizpide, esperientzia eta arauak
11/10/30 r3.2 MEE 1 - 14
Hainbat segurtasun-koefiziente ingeniari espezialistek zehaztu dituzte, eta
kode tekniko eta espezifikazioek jasotzen dituzte, diseinatzaileek erabil ditzaten.
σMAXonarg – lan-tentsio maximoa
σMAXonarg=
σL
n σL – tentsioaren muga-balio bat
n > 1 - segurtasun-koefizientea
Faseak diseinuan n aurretik zehazten da
bilatzen ari garen dimentsioa σLANEAN ≤ σMAXonarg
non σMAXonarg=
σL
n
egiaztapena σMAX kalkulatu
eta n-ren balioa aztertzen da: n=σL
σMAXonarg
– Ze σL hartuko dugu?
– Nola aukeratuko dugu segurtasun-koefizientea?
> Material harikorrak
[σ ]=σL
n=σF
nF
nF, isurpen-muga kontuan hartuz zehaztutako segurtasun-koefizientea
> Material hauskorrak
[σ ]=σL
n=σR
nR
nR, haustura-karga kontuan hartuz zehaztutako segurtasun-koefizientea
11/10/30 r3.2 MEE 1 - 15
n koefizientea zehazteko, aurretik antzeko egituretatik jaso den esperientzia
eta uneko teknologiaren egoeraren arabera zehazten da.
Teknikaren adar bakoitzak bere ohiturak, eskakizunak eta metodo
espezifikoak garatu ditu, bakoitzaren berezitasunak kontuan hartuz, bakoitzaren
segurtasun-koefizientea zehazteko.
11/10/30 r3.2 MEE 1 - 16
2. GAIA AXIALKI KARGATUAK DAUDEN BARRA PRISMATIKOAK
2.1 SARRERA2.2 INDAR AXIALAK ERAGINDAKO LUZAPENA2.3 DESPLAZAMENDU-DIAGRAMAK2.4 EGITURA HIPERESTATIKOAK: MALGUTASUNEN METODOA2.5 EGITURA HIPERESTATIKOAK: ZURRUNTASUNEN METODOA2.6 TENPERATURAREN ETA AURREDEFORMAZIOEN ONDORIOAK2.7 TENTSIOAK EBAKIDURA INKLINATUETAN2.8 TENTSIOEN KONTZENTRAZIOA2.9 INDAR ZENTRIFUGOAREN ERAGINA ERAZTUNETAN
2.1 SARRERA
Barra prismatikoak luzeran ardatz zuzena duten egitura-elementuak dira, eta indar
axialak soilik jasaten dituzte. Beraz, trakzioan edo konpresioan egiten dute lan.
Mota honetako elementuen adibideak:
– eraikuntzen zutabeak
– egitura artikulatuen barrak
– motorren bielak
– zubien tiranteak/kableak
– Erabil daitezkeen sekzioak:
– barne-beteak (macizas) ▲, ●, ■
– horma mehe barne-hutsak (huecas) O, □, ∆
– irekiak ∏, ┴, ∟
Diseinuan eta diseinuaren berrikuspenean, tentsioak eta deformazioak aztertzen
dira diseinua balioztatzeko.
11/10/30 r3.2 MEE 2 - 1
ANALISI, DISEINU ETA OPTIMIZAZIOA
- Egitura baten analisian, > dimentsioak eta materiala ezagunak dira
> tentsioak eta deformazioak ezagutu nahi dira
Egituraren portaera aztertzeko karga ezagunak aplikatzen dira.
- Egitura baten diseinua egitura baten konfigurazio geometrikoa zehaztean datza,
ezarri zaion funtzioa betetzeko gai izan dadin.
- Optimizazioa da eskakizunak betetzeko gai den egiturarik onena diseinatzea.
Adibidez, pisu minimoa duen egitura edo, baliokidea dena, kostu minimoa duena.
2.2 INDAR AXIALAK ERAGINDAKO LUZAPENA
P indarra GZn aplikatua badago,
muturretatik distantzia batera dauden
sekzioen barne-indarrak uniformeki
banatuak egongo dira.
σ=PA
- Material homogeneoa
- A, zeharkako sekzioaren azalera
Deformazio unitarioa: ϵ=δL=σ
E→ δ=σL
E=P⋅LΔE
non δ luzapena baita
Materiala linealki elastikoa bada (Hookeren legea betetzen du)
δ=P LAE δ zuzenki proportzionala da P-rekiko eta L-rekiko
δ alderantziz proportzionala da A-rekiko eta E-rekiko
AE barraren zurruntasun axiala da.
11/10/30 r3.2 MEE 2 - 2
BARRA-MALGUKI ANALOGIA
- Malgukiaren konstante elastikoa edo zurruntasuna,
K, zera da: luzapena unitatea izateko beharrezkoa den
indarra.
K=Pδ =tanβ
P – δ
K – 1
K=P⋅1δ =
Pδ
- Malgukiaren malgutasuna, f, konstante elastikoaren
alderantzizkoa da, hau da, karga unitate batek sortzen
duen deformazioa.
P – δ
1 – f
f=δ⋅1P
= δP=
1K
Axialki kargatua dagoen barra baten K zurruntasuna, malguki baten
konstantearekin alderatuz, luzapen-unitatea deformatzeko beharrezkoa den
indarra da.
K=Pδ baina δ=
P LAE
→ K=Pδ =
AEL
Malgutasuna (f) karga unitarioak sortutako luzapena da.
f= δP=
LAE
11/10/30 r3.2 MEE 2 - 3
Malgutasuna zurruntasunaren alderantzizkoa da. Biek dute garrantzia
egituren analisian.
KONTUZ! L handi batek K txikitu eta f handitzen du
Jo dezagun orain barra hainbat indarrekin kargatu dela edo/eta
sekzio/material ezberdinak ditugula. Adibidez:
Luzapen osoa lortzeko: δ=∑i=1
n P i L i
Ai E i
11/10/30 r3.2 MEE 2 - 4
INDAR AXIALAREN EDO/ETA SEKZIOAREN AZALERA BARRAREN
ARDATZEAN MODU JARRAITUAN ALDATZEN DENEAN
Barraren elementu diferentzial baten portaera aztertu eta luzapena
definitzen duen adierazpena garatuko dugu, eta ondoren integratuko dugu, barra
osoaren luzapena lortzeko.
➔ Bere pisua jasaten duen barra prismatiko baten luzapena
DATUAK: a, L, γ
EZEZAGUNA: δ
➔ Kalkulatu bere pisuarekin kargatua dagoen barra konikoaren luzapena.
DATUAK: γ, E, L
➔ Konpresioan tentsio konstantea mantentzen duen barra
DATUAK: P, r0, γ
11/10/30 r3.2 MEE 2 - 5
2.3 DESPLAZAMENDU-DIAGRAMAK
Axialki kargatutako bi barrako egituraren desplazamenduak geometrikoki
lortzeko metodo bat deskribatuko dugu atal honetan. Bi barra hauek muturretan
giltzatuta daude.
Desplazamendu-diagrama edo Williot-en diagrama izenekoak erabiliko
dira.
➔ Irudiak bi barrek osatutako egitura erakusten dute: AB eta BC barrak. P
kargaren ondorioz, B puntuaren desplazamendua ezagutu nahi da.
DATUAK: L, , AAB, EAB, ABC, EBC, P
2.4 EGITURA HIPERESTATIKOAK: MALGUTASUNEN METODOA
Egituren sailkapena:
- estatikoki zehaztuak (isostatikoak)
estatikako ekuazioak → ezezagunak askatu
- estatikoki zehaztugabeak (hiperestatikoak)
estatikako ekuazioak + baldintza osagarriak → ezezagunak askatu
EGITURA HIPERESTATIKOEN ANALISIA
- Bi metodo orokor daude: - malgutasunen metodoa (método de flexibilidades)
- zurruntasunen metodoa (método de rigideces)
- Bi metodoak osagarriak dira, eta bakoitzak bere abantailak ditu.
- Egitura mota askotarako baliagarriak dira, betiere materialaren eremu elastiko-
linealean lan egiten bada.
11/10/30 r3.2 MEE 2 - 6
2.4.1 MALGUTASUNEN METODOA (indarren metodo ere deitua)
Adibidea:
Estatikako ekuazioa → RA + RB = P
+
Deformazioan oinarritutako ekuazio osagarria δA = 0
- Erreakzio ezezagunetako bat soberako erreakziotzat hartuko dugu; adibidez: RA
A=0= A /P A /RAδA /P=
PbAE ↓
A=0=A /P−A /RAδA /RA
=RA bAE ↑
- Bateragarritasun-ekuazioa
0=−PbAE
+RALAE
→ RA=PbL
RB=P−RA=P−PbL=
P (L−b)L
=PaL
Malgutasunen metodoa aplikatzeko pausoak:
1. Soberako erreakzioa aukeratzen da erreakzio ezezagunen artean
2. Egitura askatzen da landapena ezabatuz
3. Egitura askea, egonkorra eta estatikoki definitua dagoena, bananduta
aztertzen da, alde batetik P kargarekin eta beste alde batetik RA soberako
erreakzioarekin.
4. Bi magnitude horiek sortutako desplazamenduak kalkulatzen dira bakoitza
11/10/30 r3.2 MEE 2 - 7
bere aldetik, eta ondoren emaitzak desplazamenduen bateragarritasun-
ekuazioa aplikatuz erlazionatzen dira (δA = 0).
5. Ekuazio osagarria eta estatikako ekuazioa erlazionatuz, erreakzio
ezezagunak lortzen dira.
Analisi-metodo horri malgutasunen metodo deitzen zaio, malgutasunak
agertzen baitira bateragarritasun-ekuazioan. Kasu honetan, bateragarritasun-
ekuazioak ( bAE ) eta ( L
AE ) malgutasunak erabiltzen ditu.
– Metodo hau soberako indar bakarra duten egitura hiperestatikoetan aplika
daiteke
– Materialaren portaera elastiko-lineala denean soilik da erabilgarria
2.5 EGITURA HIPERESTATIKOAK: ZURRUNTASUNENMETODOA (desplazamenduen metodoa)
Desplazamenduak ezezaguntzat hartzeak bereizten du zurruntasunen
metodoa malgutasunen metodotik. Horregatik, desplazamenduen metodo ere
deitzen zaio.
Desplazamendu ezezagunak zurruntasun-koefizienteak barneratuak
dituzten oreka-ekuazioak askatuz lortzen dira.
Zurruntasunen metodoa guztiz orokorra da eta hainbat erredundante
estatiko dituzten egituretan erabil daiteke. Haren erabilera eremu elastiko-linealean lan egiten duten egituretara mugatua dago.
Adibidea:
11/10/30 r3.2 MEE 2 - 8
Estatikako oreka planteatuz: RA + RB = P (1)
eta deformazioak: δC=RAaEA
→ EAa
· δC=R A (2)
δC=RBbEA
→ EAb
· δC=RB (3)
(2) eta (3) (1)-n ordezkatuz, oreka-ekuazioa: EAa
·δC+EAb
·δC=P
EA·δC (b+a)=Pab → δC=PabEAL (4)
(4) → (2)-n RA=EAa
· PabEAL
→ RA=PbL
(4) → (3)-n RB=EAb
· PabEAL
→ RB=PaL
Zurruntasunen metodoa aplikatzeko pausoak:
1. Desplazamendu egoki bat ezezagun gisa aukeratu. Desplazamendua
egokia da, egituraren banako indarrak desplazamendu horren bidez
adierazi badaitezke.
2. Indarrak oreka-ekuazio baten bidez erlazionatzen dira.
3. Oreka-ekuazioan desplazamenduaren funtzioan dauden indarrak
barneratuz, desplazamendu ezezaguna lortuko da.
4. Azkenik, indarrak lortzen dira desplazamendua dagokion ekuazioan
ordezkatuz.
ONDORIOAK
Adibidean erabili dugun egitura hiperestatiko sinplean, bi metodoen arteko
aukeraketa arbitrarioa da, bien arteko ezberdintasunak txikiak baitira. Egitura
konplexuetan, zurruntasunen metodoa da erabili daitekeen bakarra, eta
sinpleagoetan, malgutasunen metodoak abantaila gehiago izan ditzake.
11/10/30 r3.2 MEE 2 - 9
2.6 TENPERATURAREN ETA AURRE DEFORMAZIOEN ERAGINA
Tenperatura-aldaketak dimentsioetan aldaketak dakartza material guztietan.
Material homogeneo eta isotropo batean, tenperatura-gehikuntza uniforme eta oso
batek norabide guztietan dimentsio handitzea dakar.
A puntua erreferentziatzat hartuz,
Materialak εt deformazio termiko uniformea jasaten du, eta neurri
adimentsionala da.
εt = α · ∆T - α, dilatazio-koefizientea (1/K, 1/ºC)
- ∆T, tenperatura-aldaketa
(+) → dilatazioa
(–) → kontrakzioa
Material arruntek ∆T↑ εt↑(+)
– Deformazio termikoak itzulgarriak dira.
– Kontuz urarekin: - T > 4ºC denean dilatatu egiten da
- T < 4ºC denean ere dilatatu egiten da
- T = 4ºC denean dentsitatea maximoa da
BLOKEAREN ALDAKETA DIMENTSIONALA
Dimentsio originalak deformazio termikoaz biderkatuz lortzen da (εt).
Adibidea: L → L + δt
δt = εt·L = α ∆T·L
Egitura isostatikoetan elementuak aske handitu edo txikitu daitezke: ez da
barne-tentsiorik sortzen. Egitura hiperestatikoak, berriz, ezin dira aske mugitu, eta
barne-tentsioak sortzen dira.
➔ Egitura isostatikoaren adibidea: tenperatura-gehikuntzak deformazioak eragiten
ditu, baina elementuak aske luza daitezke:
11/10/30 r3.2 MEE 2 - 10
– C korapiloa mugituko da
– ez da tentsiorik sortzen barren
artean
– ez da erreakzio gehigarririk
sortzen euskarrietan
➔ Egitura hiperestatikoen adibidea (malgutasunen metodoa erabiliz):
- zenbat eta ∆T handiagoa, orduan
eta tentsio handiagoak,
deformazioak mugatuta baitaudeδA=0=δT−δR
0=α(ΔT )L− RLAE
ALDEZ AURREKO DEFORMAZIOAK
Jo dezagun egitura batean, barra batek nahi gabe L luzera teorikoa ez den
beste luzera batekin muntatzen dela.
– egitura isostatiko batean haren hasierako konfiguraziotik pixka bat aldenduko
da, eta ez dira tentsio gehigarriak sortzen
– egitura hiperestatiko batean, berriz, barne-deformazioak eta tentsioak sortuko
dira
Batzuetan nahita sortzen dira aurretiko deformazioak, egiturak kargapean
tentsio-baldintza hobetan lan egin dezan. Adibidez, hormigoi armatuzko habeak,
gas-turbinen euste-eraztunak...
11/10/30 r3.2 MEE 2 - 11
2.7 TENTSIOAK EBAKIDURA INKLINATUETAN
Demagun trakzioan lan egiten duen eta ondorengo baldintzak betetzen
dituen barra bat dugula:
– barra prismatikoa
– material homogeneoa
– P karga sekzioaren GZn aplikatua dago
Barra p-q plano inklinatuan moztuz gero, oreka mantentzeko indarren
erresultantea N eta V osagaietan deskonposatzen da, planoarekiko elkarzut eta
paralelo hurrenez hurren.
Norabide elkarzutean N osagaia:
N=P · cosθ →
Tentsio normala:σθ=
NAθ=P cosθ
Acosθ
=σxcos2θ
Norabide paraleloan V osagaia (noranzko negatiborantz doa):
V=−P · sinθ →
Tentsio ebakitzailea:τθ=−
VAθ=−P sinθ
Acosθ
=−σx sinθcosθ
11/10/30 r3.2 MEE 2 - 12
Tentsio normalak angeluaren arabera aldatuz doaz. Angeluari balio
ezberdinak emanez:
σθ=σx cos2θ =0º =x
=±45º = x 12
2
= x
2=±90º =0
Tentsio ebakitzaileak ere aldatu egiten dira ebakiduraren angeluaren
arabera. Angeluaren balio guztietarako:
=− xsin cos=−x
2sin 2 =0º =0
=45º =− x
2 eta =−45º =x
2=±90º =0
Tentsio-egoera berdina da, baina tentsio normal eta ebakitzaileen balioak
aldatuz doaz aztertzen ari garen planoaren inklinazioaren arabera. Tentsioen
balioak angeluaren funtzioan grafikoki adierazten baditugu:
−2
−4 0
42
σθ 0 2
2 0
τθ 0 2 0 −
2 0
Angelua 0º denean tentsio normalak bere balio maximoa lortzen du, eta ez
dira agertzen tentsio ebakitzaileak. Tentsio normala eskuinaldera eta ezkerraldera
gutxituz doa, ±90º-ra zero balioa izateraino (trakzioan dagoenez, emaitza
zentzuzkoa da). Tentsio ebakitzailea angelu horretan ere (±90º) zero da, 0º
angeluan bezala, eta horien balio maximoa ±45º-an agertzen da (τMAX = σx/2).
Tentsio ebakitzailea erabakigarria izan daiteke, materiala ebakidurarekiko
ahulagoa bada trakzioarekiko baino.
11/10/30 r3.2 MEE 2 - 13
Trakzio edo konpresio sinplean lan egiten duen barrak, tentsio-egoera lau uniaxiala duela esango dugu. Egoera horretan orientazio garrantzitsuenak:
- =0º =x=MAX
- =45º = x
2=MAX (45º-ra irristadura-bandak agertzen dira, Luders-en bandak)
ADIERAZPEN GRAFIKOA
Puntu bateko tentsioak karratu baten bidez adierazten dira, eta karratua
biratuz tentsio-egoera aldatzen da. Tentsioak marrazten dira, EZ INDARRAK.
MAX= x MAX= x
2
τ > 0 karratua: erlojuaren
orratzen aurkako
noranzkoan biratzen dira
τ < 0 karratua: erlojuaren
orratzen aldeko
noranzkoan biratzen dira
ZEINU-IRIZPIDEA
Norabide positiboak (horregatik tentsio ebakitzaileak zeinu negatiboa du)
11/10/30 r3.2 MEE 2 - 14
2.8 TENTSIOEN KONTZENTRAZIOAAxialki kargatuak dauden barren azterketa egitean σ = P/A formula aplikatu
dugu, tentsioa sekzioan uniformeki banatua dagoela jota.
Baina errealitatean barrek zuloak, erretenak, hariak (roscas), mataderak
(chavetero), koskak, sekzio edo geometria-aldaketak izan ditzakete. Ez-
jarraitutasun horiek tentsio-kontzentrazioak sortzen dituzte eremu oso txikietan.
Kargak aplikatzen diren puntuetan ere tentsio-kontzentrazioak sortzen dira.
Arraroa da karga banatu bat uniformeki banatua egotea luzera edo gainazal
batean. Normalki eremu txiki batean banatzen da, eta tentsio-kontzentrazioak
agertzen dira.
Tentsio-kontzentrazio horiek metodo esperimentalaren edo zenbaki-
analisiaren (elementu finituak, diferentzia finituak...) bidez zehaztu daitezke.
Ingeniaritzako hainbat eskuliburu teknikok tentsio-kontzentrazioen gehikuntza-
faktoreak biltzen dituzte taulatan kasu bakoitzerako.
SAN VENANT-EN PRINTZIPIOA
“Puntu batean aplikatutako karga
batek mutur batean sortutako tentsio-
kontzentrazioaren eragina b distantzia batera
desagertuko da, b sekzioaren luzera
handiena izanik”.
Ondorio hori esperimentalki eta
behaketaz lortu zen, lege fisiko edo
teorikoetan oinarritu gabe.
Tentsio-kontzentrazioen kokapena ezaguna denez, formula estandarrak
erabiltzen jarrai dezakegu eremu horietatik urrun dauden sekzioetan. Elementu
osoen desplazamenduak, deformazioak eta energia aztertzea baliagarria da, nahiz
eta tentsio-kontzentrazioak kontuan ez izan, horiek eragin txikia baitute multzoaren
portaeran.
TENTSIO-KONTZENTRAZIOKO FAKTOREAK
Kasu partikular bat aztertuz, zulodun barra baten, zuloaren parean sortzen
den tentsio maximoaren eta batez besteko tentsioaren arteko erlazioak definitzen
11/10/30 r3.2 MEE 2 - 15
du tentsio-kontzentrazioaren faktorea.
K=σMAXσm
K-ren balioa tauletatik edo elementu finituen bidez aztertuz lortzen da.
DISEINUA TENTSIO-KONTZENTRAZIOAK KONTUAN HARTUZ
Egiturak duen lan egiteko moduaren eta erabilitako materialaren araberako
garrantzia izango dute tentsio-kontzentrazioek diseinuan.
Argi dago nekearen kasuan, karga aldakorrekin lan egiten duen egitura
batean, pitzadura tentsio maximoa duen puntuan sortuko dela. Baina, hala ere, K
faktoreak diseinu-tentsioa gehiegi handitzen duela ikusi da, eta praktikan K hori
txikitu egiten da, haren efektua gutxitzeko.
Inpaktuko kargen kasuan K osoa aplikatu behar da, informazio esperimental
gehigarria ez bada ezagutzen behintzat. Tenperatura baxuetan metalak hauskor
bihurtzen dira: beraz, K osoa erabili beharko da.
Material motak ere garrantzia dauka diseinuan. Material harikorretan,
tentsioak isurpen-muga gaindituz gero, eremu txiki bat plastifikatzen da, eta, karga
ez bada handitzen, ez dago hausteko arriskurik. Material hauskorretan berriz,
behin tentsio jakin bat gaindituz gero, bat-batean hausten da. Beraz, K serio hartu
beharko da.
Tentsio-kontzentrazioa gutxitzeko diseinua hobetzeko soluzioak badaude:
11/10/30 r3.2 MEE 2 - 16
ez-jarraitutasunak biribildu, zuloak ekidin edo handitu...
2.9 INDAR ZENTRIFUGOAREN ERAGINA ERAZTUNETANUniformeki banatua dagoen indar erradiala eraztun mehe zirkular baten
perimetroan aplikatua badago, eraztunean luzapen uniforme bat gertatzen da.
Eraztunean gertatzen den luzapen-indarra definitzeko, plano diametral batean
moztuko da, solido askearen ekuazioak aplikatuz:
∑FV = 0
dP=q· r · d φ → 2P=∫0
π
q ·r ·dl ·sinφ· d φ=q· dl · r [−cosφ]0π=2· q · r ·dl
P = q·r·dlσ=
PA=
Pt ·d l
=q ·r ·d l
t · d l=
qrt
q: karga uniformea zirkunferentzia-luzera unitatekoq·sinϕ, osagai bertikala
r: zirkunferentziaren erradioa ds = rdϕ, arkuaren luzera diferentziala
dl: luzera diferentziala
Fz INDAR ZENTRIFUGOAK SORTUTAKO TENTSIOA
f=m· a=d s ·d l ·t · γg
·(ω2 r )
q= fdA
= fds ·dl
=t γg
·ω2 r
P=q ·r ·dl= t γg
·r ω2r dl
σ=PA=
t γg
·r ω2 r dl
t ·dl= γ
g·ω2 r 2
non m: masa luzera unitatekoq: Fz luzera unitatekoγ: pisu espezifikoag: grabitatea
11/10/30 r3.2 MEE 2 - 17
3. GAIA BIHURDURA
3.1 SARRERA3.2 BIHURDURA ARDATZ ZIRKULARRETAN3.3 BIHURDURA EZ-UNIFORMEA3.4 EBAKIDURA HUTSA3.5 E ETA G ELASTIKOTASUN-MODULUEN ARTEKO ERLAZIOA3.6 POTENTZIA-TRASMISIOA ARDATZETAN3.7 ESTATIKOKI ZEHAZTUGABEKO ARDATZAK BIHURDURAN3.8 TENTSIO-KONTZENTRAZIOAK ARDATZ ZIRKULARRETAN
3.1 SARRERA
Gai honetan bihurdurak barra zirkularretan sortzen dituen tentsio eta
deformazioak aztertuko dira.
Adibideak: makinen transmisio-ardatzak, egitura aeroespazialetan erabiltzen
diren hodiak...
3.2 BIHURDURA ARDATZ ZIRKULARRETAN
Kausa Mt, τ → Efektua γMAX
Helburua, kausaren eta efektuaren arteko erlazioa aurkitzea da.
11/10/30 r3.2 MEE 3 - 1
Momentua ardatzaren norabidean aplikatua duen barra zirkularrak
bihurdura hutsean lan egiten du. Simetria kontuan hartuta, ondokoa frogatu
daiteke:
• barra zirkularraren zeharkako sekzioak luzetarako ardatzaren inguruan
biratzen dira gorputz zurrunak balira bezala
• erradioak zuzen mantentzen dira, eta zeharkako sekzioak ere lau eta
zirkular irauten du
• L barraren luzera eta R erradioa ez dira aldatzen; bihurdura-angelua, bai
Bihurdurak barraren biraketa sortzen du luzetarako ardatzean, barraren bi
muturren artean.
Eskuineko muturra Φ angelu txiki bat biratzen da ezkerreko muturrarekiko.
p-q zuzenak edo zuntzak γMAX angelu txikia bira egiten du p-q' posizioa
hartzeraino.
11/10/30 r3.2 MEE 3 - 2
Horren arabera:
Biraketa horretan, elementuaren aldeek ez dute luzera-aldaketarik jasaten, baina
ertzetako angeluak ez dira 90o-koak. Elementua bihurdura hutsean dagoenez:
γMAX=bb 'ab baina bb' = r·dΦ
ab = dx
orduan, MAX=r ddx
θ=dΦdx bihurdura angeluaren aldaketa-ratioa bezala definituz,
γMAX=r ·θ
Bihurdura hutsa bada, θ=dΦdx=ktea izango da
barra osoan, zeharkako sekzioa pare (bihurdura-
momentu) berdina jasaten baitu.
Orduan, θ=ΦMAX
L→ γMAX=r ·θ=r
ΦMAX
L bihurdura hutsa kasuan
11/10/30 r3.2 MEE 3 - 3
Aurreko bi adierazpenak irizpide geometrikoak kontuan hartuz garatu
direnez, edozein materialezko barra zilindrikoentzat erabilgarriak dira, bai eremu
elastiko bai ineslastikoan, eremu lineal edo ez-linealean.
Tentsio ebakitzaileak irudiko noranzkoak ditu.
Material elastiko-lineala bada, tentsio ebakitzaileak eta deformazio
angeluarrak erlazionatuak daude (Hookeren legearen antzera).τMAX=G ·γMAX=G· r ·θ
non G: elastikotasun-modulua ebakitzailean
τMAX: azalerako puntu bateko tentsio ebakitzailea
θ: azalerak jasaten duen bihurdura-angelua luzera unitateko
TENTSIO ETA DEFORMAZIOAK BARRAREN BARNEAN
Orain, b1b ' 1=ρ ·ΦMAX γ=ρ ·ΦMAX
Lb1b ' 1=γ ·L = ·
τ=G·γ → τ=G ·ρ·θ
G = kte, θ = kte τ = f(ρ) non ρ = 0 → τ = 0non ρ = r → τ = τMAX
11/10/30 r3.2 MEE 3 - 4
Ekuazio horiek deformazio
angeluarra (γ = θ·ρ) eta tentsio
ebakitzailea (τ = G·θ·ρ), ρ
erradioarekiko linealki aldatzen
direla adierazten dute.
ardatzean tartean gainazalean
ρ = 0 ρ ρ = 0
γ0 = 0 γ = θ ρ γ = θ rτ0 = 0 τ = G θ ρ τ = G θ r
Zeharkako plano horretan dauden tentsio
ebakitzaileak, luzetarako planoetan ere agertzen dira.
Material bat ebakiduran hauskorragoa bada
luzetarako planoetan zeharkakoetan baino (adibidez
egurra), lehen pitzadurak gainazalean agertuko dira.
Gainazaleko bihurdura hutseko egoera, elementua 45º biratuz gero, trakzio-
eta konpresio-egoera bati dagokio.
Bihurduran lan egiten duen barra baten materiala, trakzioan ebakiduran
baino ahulagoa bada, haustura trakzioagatik gertatuko da ardatzarekiko 45o-ra
dagoen helize batean.
APLIKATUTAKO MOMENTUAREN ETA BIHURDURA-ANGELUAREN ARTEKO
ERLAZIOA
Zeharkako sekzioetan agertzen diren tentsio ebakitzaileen erresultanteak
aplikatutako M momentuaren balioaren berdina izan behar du (estatikan).
ρ erradio batera τ tentsio ebakitzailea:
τ = G·γ = G·ρ·θ
dF = τ·dA = G·ρ·θ·dA
dM = ρ·dF = G·ρ2·θ·dA
M=∫A
G ·ρ2·θ·dA=G ·θ∫Aρ2·dA=G·θ· IP
IP=∫0
R
2πρ ·d ρ·ρ2=2π∫0
R
ρ3d ρ=2πR 4
4=πR4
2=πD4
32≈0,1D4
11/10/30 r3.2 MEE 3 - 5
θ= MGI P
bihurdura-angelua luzera unitateko
bihurdura hutsean: θ=ΦMAX
L→ ΦMAX=θ·L
ΦMAX=MLGI P
non GIP barraren bihurdura-zurruntasuna
eta GI P
L bihurdura-zurruntasun unitarioa boitira. Angelu unitate bat
biratzeko beharrezkoa den bihurdura-momentua adierazten du. Ondorengo
formulan, MAX=1 eginez lortzen da.
M=GIP
L·ΦMAX
M = 1 bada, ΦMAX=1 ·LGIP
; eta
LGI P
terminoari bihurdura-
malgutasuna deituko diogu.
Momentu unitario batek sortutako
biraketa-angelua da.
MAX=MLGIP
ekuazioa materialen G ebakidurako elastikotasun-modulua
lortzeko erabiltzen da.
Probeta zirkular bati egindako bihurdura-probaren bidez, bihurdura-
momentu jakin batentzat MAX biraketa-angelua neurtzen da. Ondoren, aurreko
ekuazioa aplikatuz G-ren balioa zehaztu daiteke.
11/10/30 r3.2 MEE 3 - 6
TENTSIO EBAKITZAILE MAXIMOA MAX
τMAX=G ·r ·θ eta θ=M
GIP→ τMAX=G ·r · M
GIP=
M ·rIP=
MIP / r
=Mzt
r=d2 eta IP=
πd 4
32 denez, z t=I P
r=πd 3
16≈0,2d3
zt bihurdurako modulu erresistentea izanik.
Unitateak: M (cm·kg, m·N, mm·N)zt (cm3, m3, mm3)beraz, τ (kg/cm2, Pa, MPa)
BARRA ZIRKULAR HUTSAK (HODIAK)
– Barra barne-beteak baino eraginkorragoak dira
bihurduran lan egiteko
– Tentsio ebakitzaile maximoak gainazalean gertatzen
dira: MAX=onargarria
– Barra barne-bete batean, barneko material
gehienak onarg tentsio ebakitzaile
onargarriaren oso azpitik lan egiten du.– Pisu- eta material-aurrezpenak garrantzia badu, barra hutsak edo hodiak
erabiltzen dira.
– Barra huts baten bihurduraren azterketa barra barne-bete baten azterketaren
antzera egiten da. Kasu horretan: θ=M
GI P→ IP=
π2(r 2
4−r 14)= π
32(d 2
4−d 14)
– Hodia oso fina bada (t lodiera izanik): IP≈2π r 3 t=πd3 t4
r eta d batez besteko erradio eta diametroak izanik hurrenez hurren
ΦMAX=MLGI P
eta τMAX=M · r 2
IP
3.3 BIHURDURA EZ-UNIFORMEA
– Barrak ez du zertan prismatikoa izan (sekzio ez-konstantea).
– Aplikatutako pareak luzeran aldakorrak izan daitezke.
– Barra bihurdura-formulak era berezian erabiliz aztertzen da, adibideak
erakusten duen bezala.
11/10/30 r3.2 MEE 3 - 7
ADIBIDEA
BIHURDURA EZ-UNIFORMEAN LAN EGITEN DUEN BARRA BAT
Barraren mutur batek bestearekiko bira egiten duen bihurdura-angelu osoa
lortzeko, zati bakoitzak jasan dituen biraketak batzen dira:
Φ=∑i=1
n M i L i
G i IPi
Ekuazio horretan, i azpiindizea barraren zati bakoitza banatzen duen
zenbaki-indizea da, eta n zati kopurua. Diametroa bat-batean aldatzen den
inguruneetan tentsio-kontzentrazioak agertzen dira. Hala ere, tentsio-kontzentrazio
horien eragina txikia da, eta Φ kalkulatzeko formulak zehaztasun egokia
eskaintzen digu.
Parea edo zeharkako sekzioa aldakorrak badira barraren ardatzean zehar,
orduan batukaria duen formula integral bihurtzen da.
dx luzera duen biraketa-angelua:
dΦ=M x d x
G IPx
non IPx muturretik x distantzia
batera dagoen zeharkako sekzioaren
momentu polarra baita.
Barraren bi muturren arteko
bihurdura-angelu osoa, orduan:
Φ=∫0
L
d Φ=∫0
L M xd x
G ·IPx
11/10/30 r3.2 MEE 3 - 8
3.4 EBAKIDURA HUTSA
abcd elementua bihurdura hutseko egoeran dago, elementuak jasaten
dituen tentsio bakarrak alboko lau aurpegietako ebakidurazkoak baitira.
A1
A0=tanθ A1
tanθ=A0 A1=A0tanθ
Norabide normalean, indarren proiekzioen oreka:
σθ·A0
cosθ−τ A0 sinθ−τA0 tanθcosθ=0
σθ−τ sinθcosθ−τ sinθcosθ
cos2θ=0
=2sin cos=sin2=0
Ardatz tangentzialean proiektatuz gero:
·A0
cos−A0cos A0 tan sin=0
− cos2sin2=0= cos2−sin2= cos 2=0
θ -90º -45º 0º +45º +90ºσθ 0 -τ 0 -τ 0
τθ -τ 0 τ 0 -τ
11/10/30 r3.2 MEE 3 - 9
Tentsiopean dagoen elementu bat 45º ez den angelu bat biratzen badugu,
tentsio normalak eta ebakitzaileak, biak, aldi berean agertuko dira alboko
aurpegietan.
σθ tentsio normalaren balio maximoa 45º biratzean lortzen da, haren balioa τ
tentsio ebakitzaile maximoaren berdina izanik. =−45ºrentzat =− betetzen
da (konpresioan lan egiten du).
Horrela, 45o biratua dagoen
elementu batek balio berdina
duten trakzio- eta konpresio-
tentsioen pean lan egingo du,
eta tentsio ebakitzaileak
desagertuko dira.Azter ditzagun orain bihurdura hutsean dagoen elementu batek jasaten
dituen deformazio unitarioak.
a) elementua deformatzen da b) elementua luzatu eta laburtu egiten da
Materiala elastiko-lineala bada, a) elementuaren deformazio angeluarra:θ=0º → γ= τ
G
θ = 45o-ra dagoen b) elementuarentzat, σθ = τ trakzio tentsioak τ/E luzapen
positiboa sortzen du, eta norabide perpendikularrean −ν τE
laburtzen da. Antzeko
analisia eginez, σθ = −τ konpresio-tentsioak -τ/E luzapen negatiboa sortzen du, eta
norabide perpendikularrean ν τE
luzapen positiboa duelarik.
11/10/30 r3.2 MEE 3 - 10
Beraz 45o-ko norabidean luzapen erresultantea ondokoa izango da:
ϵ45º= τE+ντE= τ
E(1+ν)
ϵ−45º=−τE+−ν τ
E=− τ
E(1+ν)
Ebakidura hutsean dagoen elementu baten lodiera ez da aldatzen, σθ = τ
tentsioak −ν τE
laburtu eta σθ = −τ tentsioak berriz +ν τE
luzatzen baitu. Horrela,
ϵ=−ν τE+ντ
E=0
3.5 E ETA G ELASTIKOTASUN-MODULUEN ARTEKO ERLAZIOA
x norabidean σx trakzioan eta y norabidean σy konpresioan lan egiten duen
elementuaren deformazioa aztertuko dugu, σx = -σy = τ izanik. Elementua x
ardatzean luzatu eta y ardatzean laburtuko da, hau da, laukizuzen bihurtuko da.
abcd elementua aurrekoarekiko
45o-ra biratuta dago. Elementuaren
aurpegietan tentsio normalik agertzen
ez denez, ab, ad, bc eta bc luzerak
mantendu egingo dira deformatzean,
baina diagonal bertikala laburtu eta
horizontala luzatuko da.
11/10/30 r3.2 MEE 3 - 11
Elementu deformatugabearen eta deformatuaren azterketa geometrikoa eginez:– elementu deformatugabearen diagonalaren luzera: bd=√2h
– eta elementu deformatuarena, berriz, trakzioaren eraginez jasandakoa izango da: luzera originala gehi beraren luzapena izango da (ε luzapen unitarioaren bidez kalkulatua): b ' d '=√2h(1+ϵ)
– kosinuaren legea hirukiari aplikatuz: b ' d ' 2=h2+h2−2h2 cos(π2+γ)(1+ϵ)2=1−cos(π2+γ)
– ondorengo erlazio geometrikoa ezagutuz:
cos2=cos 2
cos−sin2
sin=−sin≈−
– eta aurreko formula garatuz eta ordezkatuz: 12MAXMAX2 =1
– azkenik, bigarren mailako terminoak mespretxatuz, deformazio linealaren eta angeluarraren arteko erlazioa lortzen dugu:
MAX=2
– ϵ=σmax
E= τ
E , γ= τG eta ϵMAX=
τE(1+ν) (ikusi 3.4 puntua) ekuazioak
erlazionatuz, G-ren, E-ren eta n-ren arteko erlazioa lortzen da:
G= E2(1+ν)
11/10/30 r3.2 MEE 3 - 12
BARRA KONPOSATUAK
Sekzio zirkular eta zentrukideko diren barrek osatzen dituzte: pieza bakar
baten portaera izateko beraien artean sendo itsatsiak daude.
DATUAK A: dA IPA GA
B: dB IPB GB
M = MB + MA (1)
Sendo itsatsita daudenez, Φ bihurdura-angeluak bi zatientzat berdina izan
beharko du.
Φ=M AL
G AT PA=
MB LGB T PB
(2)
τA=M A·(d A/2)
IPAτB=
MB ·(d B/2)IPB
3.6 POTENTZIA TRANSMISIOA ARDATZETAN
Sekzio zirkularreko ardatz baten funtzio nagusia potentzia-transmisioa da,
adibidez:
– ibilgailu baten transmisio-ardatza
– itsasontzi baten helizearen ardatz propultsatzailea
– zentral hidrauliko, termiko edo nuklear baten sorgailuaren ardatza
Potentzia ardatzaren biraketa-mugimenduari esker transmititzen da, eta
transmititutako potentzia-kantitatea bihurdura-momentuaren eta ardatzaren
11/10/30 r3.2 MEE 3 - 13
abiadura angeluarraren funtzioan dago.
Helburua diseinatzean, P potentzia jakin bat (kW, CV) N biraketa-abiadura
jakin batean (rpm) transmititzeko, ardatzaren diametroa definitzen da, materialaren
MAXonarg gainditu gabe.
Ondorengo ardatzak:
- ω abiadura angeluarra du (rad/s)
- T bihurdura-momentua transmititzen du
Ardatzak dΦ angelua biratzeko egindako lana: dW = T·dΦ
Potentzia dt denbora tartean egindako lana denez: P=dWdt=(T ·dΦ)
dt=T ·ω
Bihurdura-momentua beraz: T=Pω
TRANSMISIO-ARDATZEN DISEINUA
Potentzia = Parea x Abiadura angeluarra
P = T·ω
baina ω rad/s-tan dago
ω=2π f f biraketa-maiztasuna izanik (bira segundoko)
P=2π · f ·T → T= P2πf
Sistema Internazionaleko (SI) unitateak erabiliz:
f → Hz Potentzia N·m
s Wwatt
T → N·m
1rpm= 160
bira segundoko= 160
Hz
1HP Horse Power ZP=550 pd· fts=6600 pd·inch
s
11/10/30 r3.2 MEE 3 - 14
3.7 ESTATIKOKI ZEHAZTUGABEKO ARDATZAK BIHURDURANOrain arte landapeneko Mt bihurdura-momentua estatikako ∑M t=0
ekuazioaren bidez lortzen genuen.
Ardatzak landapen gehiago baditu, eta beraz, estatikako ekuazioak baino
ezezagun gehiago, egoera hiperestatiko baten aurrean gaude.
Kasu horietan beharrezkoa da ekuazio osagarriak aurkitzea, deformazioan
oinarrituz.
Malgutasunen edo zurruntasunen metodoak erabil daitezke, baina normalki
malgutasunen metodoa aplikatuko dugu.
ADIBIDEA
3.8 TENTSIO-KONTZENTRAZIOAK ARDATZ ZIRKULARRETAN
Bihurdura-ekuazioa, τMAX=T ·(d /2)
I P= T
0,2d 3 , garatu genuenean, sekzio
konstanteko ardatz batentzat ondorioztatu genuen.
Praktikan bihurdura-
momentuak akoplamendu
edo txabeten bitartez
aplikatzen dira ardatzetan.
11/10/30 r3.2 MEE 3 - 15
Bi kasuetan, tentsioen banaketa ezberdina da momentua aplikatua dagoen
inguruneetan, eta tentsio-kontzentrazioak sortzen dira erretenaren inguruan.
Tokiko tentsio horien azterketa metodo esperimentalen bidez egiten da, batzuetan
elastikotasunaren teoria matematikoa aplikatuz, edo gaur egun elementu finituen
metodoa (FEM) konputagailuz eratutako eredu bati aplikatuz zehazten da.
MAX=T·d /2
IPbihurdura-ekuazioa sekzio zirkular aldakorra duten
ardatzetan ere aplika daiteke. Baina diametroaren bat-bateko aldaketa badago,
ez-jarraitutasunaren ingurunean tentsio-kontzentrazioak agertzen dira. Tentsio
hauek gutxitu daitezke eta, hala, trantsizioa 'leundu' daiteke. Horrela, tentsio
ebakitzailearen balioa:
MAX=K · T0,2d3
Hau da, ardatz txikienean izango dira tentsio-balio handienak. Bestalde, K
tentsio-kontzentrazioko koefizientea D/d eta r/d erlazioen funtzioan dago.
11/10/30 r3.2 MEE 3 - 16
4. GAIA INDAR EBAKITZAILEA ETAMAKURDURA-MOMENTUAHABEETAN
4.1 HABE MOTAK4.2 INDAR EBAKITZAILEA ETA MAKURDURA-MOMENTUA4.3 KARGAREN, INDAR EBAKITZAILEAREN ETA MAKURDURA-
MOMENTUAREN ARTEKO ERLAZIOA4.4 INDAR EBAKITZAILE ETA MAKURDURA-MOMENTUEN
DIAGRAMAK
4.1 HABE MOTAK
Habearen definizioa: zeharkako kargak jasateko diseinatua dagoen
egitura-elementua.
HABE ESTATIKOKI ZEHAZTUAK
Bi muturretan bermatua Hegal-habe landatua Bermatua eta hegalean
Habeak egitura lauak dira, karga eta deflexio guztiak irudiko planoan
kokatzen direlako. Plano horri makurdura-plano deitzen zaio.
11/10/30 r3.2 MEE 4 - 1
Habeek simetrikoak izan behar dute
makurdura-planoarekiko. Habeen zeharkako
sekzioek simetria-plano bat izan behar dute ardatz
batekiko.
KASUAK:
- Habe ISOSTATIKOAK: erreakzioak estatikako ekuazioak erabiliz lortzen dira.
- Habe HIPERESTATIKOAK: erreakzioak lortzeko estatikako ekuazioak eta
ekuazio osagarriak erabiltzen dira.
4.2 INDAR EBAKITZAILEA ETA MAKURDURA-MOMENTUA
V = VA
M = VA·x
V: indar ebakitzailea
M: makurdura-momentua orekatzaileak sekzioan
ZEINUEN IRIZPIDEA
ONDORIOAK
11/10/30 r3.2 MEE 4 - 2
4.3 KARGAREN, INDAR EBAKITZAILEEN ETA MAKURDURA-MOMENTUAREN ARTEKO ERLAZIOA
ΣFV = 0 V – (V+dV) – q·dx = 0 -dV – q·dx = 0
−dVdx
=q dVdx
=−q
Karga banatuak positiboak (+) dira beherantz jarduten dutenean ↓
Karga banatua V-ren deribatua da x-rekiko, zeinua aldatuta.
∑M A=0 M+V · x+q·dx · dx2
−(M+dM )=0
2. mailako diferentziala mespretxatuz:
V·dx = dM → V=dMdx
V indar ebakitzailea M makurdura-momentuaren deribatua da x-rekiko
∑FV = 0 V – P – (V+V1) = 0 V1 = -P
P karga kontzentratua aplikatzen den puntuan, (P baliodun) jauzi bortitz bat gertatzen da indar ebakitzaileen diagraman
∑M A=0 M+V ·dx−P · dx2
−(M+M1)=0
M1=V ·dx−P · dx2
Momentu-aldaketaren adierazpenean, lehen mailako infinitesimalak
agertzen dira: hau da, momentuen diagraman ez da jauzirik jasotzen (malda-
aldaketa, bai)
Bi aldeetan momentuak x-rekiko deribatuz, momentuen diagraman
gertatzen den malda-aldaketari antzeman diezaiokegu:
11/10/30 r3.2 MEE 4 - 3
ezkerraldean, dMdx
=V ; eta eskuinaldean, berriz, dMdx
=V−P
∑FV = 0
V – (V + V1) = 0 → V1 = 0
Momentu bat aplikatua dagoenean, indar
ebakitzailea ez da aldatzen.
∑MA = 0 M + m + V·dx – (M + M1) = 0
infinitesimoa mespretxatuz:
M1 = -m (momentuetan gertatzen den aldaketa)
Momentu kontzentratu bat dagoen den puntuan, jauzi bortitz bat jasotzen da
momentuen diagraman.
4.4 INDAR EBAKITZAILEEN ETA MAKURDURA-MOMENTUENDIAGRAMAK
Adibidea:
11/10/30 r3.2 MEE 4 - 4
11/10/30 r3.2 MEE 4 - 5
5. GAIA TENTSIOAK HABETAN5.1 SARRERA5.2 DEFORMAZIO NORMALAK HABETAN5.3 TENTSIO NORMALAK HABETAN5.4 HABEEN ZEHARKAKO SEKZIO MOTAK5.5 TENTSIO EBAKITZAILEAK SEKZIO LAUKIZUZENETAN5.6 TENTSIO EBAKITZAILEAK HEGAL ZABALEKO T-BIKOITZ
HABETAN 5.7 TENTSIO EBAKITZAILEAK SEKZIO ZIRKULARRETAN5.8 HABE ARMATUAK5.9 HABE KONPOSATUAK5.10 KARGA AXIALDUN HABEAK. KARGA INKLINATUAK ETA
ESZENTRIKOAK HABE ETA ZUTABEETAN5.11 MAKURDURA ASIMETRIKOA
5.1 SARRERA
Habeak, luzetarako ardatzarekiko elkarzut dauden kargak jasaten dituzten
egitura-elementuak dira. Habeen luzetarako ardatza zuzena da.
KAUSAZeharkako karga
EFEKTUADeformazioa
Karga aplikatu aurretik luzetarako ardatza zuzena da
Ondoren luzetarako ardatza makurtzen da
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 1
Ardatzak hartzen duen kurbadurari, habearen makurdura-kurba edo kurba elastiko deitzen zaio.
ZEINUEN IRIZPIDEA. y norabideko
deflexioari gezi (y) deituko diogu.
HABEAREN KURBA ELASTIKOA
m1 eta m2 kurba elastikoaren
gainean dauden bi puntu dira eta
jatorritik x eta x + dx distantzietara
daude, hurrenez hurren:ds: m1-en eta m2-ren arteko arkua
O': puntua, kurbadura-zentroa
ρ,: kurbadura-erradioa
κ,: kurbadura
=1
geometrikoki,
·d=ds 1=
dds
deflexioak txikiak badira ds = dx
κ=1ρ=
d θdx hau da, κ kurbadura x posizioaren funtzioan
Kurbaduraren ekuazioa erabiliko da deformazioak zehazteko eta kurba
elastikoaren ekuazioa ondorioztatzeko.
ZEINUEN IRIZPIDEA
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 2
MAKURDURA HUTSAREN ETA MAKURDURA EZ-UNIFORMEAREN ARTEKO
DIFERENTZIA (Adibidea)
Aurreko gaian ikusi genuen
V=dMdx betetzen dela. Irudiko
habea aztertuz, bi egoera aurkitzen
ditugu:
a eremuak – makurdura bakuna:
M ≠ kte V ≠ 0
b eremua – makurdura hutsa:
M = kte V = 0
5.2 DEFORMAZIO NORMALAK HABEETAN
Makurdura hutsean lan egiten duen AB habea aztertuko dugu, hain zuzen,
a-ren eta b-ren arteko habe zatia:
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 3
M0 momentuen ekintzak
habea xy planoan
deformarazten du, eta
ardatzak kurba zirkularra deskribatzen du. Kurba
elastikoa zirkunferentzia bat da.
– Habearen zeharkako sekzioak, adibidez m-n edo p-q, lau (deformatu gabe)
eta ardatzarekiko elkarzut mantentzen dira.
– Alde ganbileko (convexo) luzetarako zuntzak luzatu egiten dira, eta alde
ahurrekoak (concavo), berriz, laburtu
– Goialdeko zuntzek trakzioan lan egiten dute; behealdekoek, berriz,
konpresioan
– Goiko eta beheko zatien artean badago azalera bat, non haren luzetarako
zuntzak ez baitira ez luzatzen ezta laburtzen ere. Azalera horrek azalera neutroa (AN) izena du, eta, M0 konstantea denean, azalera neutroa
zilindro zirkular bat da
– Azalera neutroaren eta makurdura-planoaren arteko ebakidurari lerro neutro (LN) deitzen zaio
– Bi planoen arteko dx distantzia ez da aldatzen azalera neutroan
(ρd θ=dx )
– Bestalde, gainerako zuntzak luzatzen edo laburtzen dira (εx)
ANtik y distantziara kokatua dagoen e-f zuntza azter dezagun. Zuntzaren L1
luzera:
L1=(ρ– y )d θ=ρd θ−y d θ
baina ρd θ=dx eta d θ=dxρ denez, L1=dx− y
ρ dx– Hasierako luzera L0 = dx bada, ∆L luzapena:
Δ L=L1−L0=dx−yρ dx−dx=−y
ρ
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 4
– Eta luzapen unitarioa: ϵx=ΔLL0
=−
yρ dxdx
=−yρ
baina baita ere =1
, orduan ϵx=−κ y
Azken ekuazio hori, jatorria zeron duen -κ maldako zuzen baten ekuazioari
dagokio. Luzapena κ kurbadurarekiko proportzionala da, eta y-rekin linealki
aldatzen da.
– Zuntz bat ANren azpitik badago,
y distantzia (+) da eta εx (–).
– Zuntz bat ANren gainetik badago,
y distantzia (–) da eta εx (+).
– x=−y=− y ekuazioa habe deformatu baten geometria aztertuz
ondorioztatu da: materialaren propietateak ez dira formulazioan erabili.
Beraz, ondorio horiek edozein materialezko habeentzat baliagarriak dira
(elastiko edo inelastiko, lineal edo ez-lineal)
ZEHARKAKO DEFORMAZIOAK
ϵx=−yρ =−κy ekuazioak adierazten dituen εx luzerako deformazioez gainera, εz
zeharkako deformazioak eratortzen dira, Poissonen erlazioaren efektuen ondorioz.
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 5
ANren gainetik dagoen εx (+) deformazio positiboak εz (–) negatiboekin
erlazionatuak daude, eta alderantziz.
Zeharkako sekzioan trakzioan dagoen goiko zatiak kontrakzioa jasaten du z
ardatzean, ϵz=−νϵx=νκy , ν Poissonen modulua izanik.
εz deformazioek zeharkako sekzioaren zabalera handitzen dute ANren
azpialdean, eta goialdean kontrakoa gertatzen da, eta, ondorioz, sekzioa estutzen
da.
Lerro horien O” kurbadura-zentroa, habearen goialdean dago, eta ρ1
kurbadura-erradioa ρ luzerako erradioa baino handiagoa da, εx εz baino handiagoa
den proportzio berean: εz = – ν εx
5.3 TENTSIO NORMALAK HABEETAN
εx deformazio normaletatik abiatuz, zeharkako sekzioarekiko elkarzut
agertzen diren σx tentsioak lor daitezke.
Habearen luzetarako zuntz bakoitzak
trakzioan edo konpresioan lan egiten du.
Tentsio-deformazioko diagramek εx-ren eta
σx-ren arteko erlazioa erakusten digute.
Materiala elastikoa bada, σx-εx diagraman
Hookeren legea aplika dezakegu. Horrela:
tanβ=E=σxϵx
σx=E ϵx=−E κy
Beraz, σx = Kte·y, tentsioa linealki aldatzen da ANtik neurtutako y
distantziarekiko.
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 6
Azter ditzagun orain zeharkako sekzioan σx tentsioen indar eta momentuen
erresultanteak. Bi ekuazio ditugu:
(1) ∑F x=N=0
(2) ∑M=M 0
(1) ∑F x=N=0 bada → ∫dF=∫σx dA=−∫E κy dA=0
κ kurbadura eta E elastikotasun-modulua konstanteak direnez, ∫ y dA=0
izan behar du. Integral horrek momentu estatikoa definitzen du, eta, zerorekin
berdinduz, GZren posizioa lortzen da. Beraz, z ardatza edo lerro neutroa (LN) GZtik igarotzen da.
(2) ∑M=M 0 dF = σx dA indarrak LNrekiko momentu bat sortzen du.dM=+σx ·dA· yM=+∫σ x · y ·dA=−κ ·E∫
A
y 2 dA
Momentu horrek M + Mo = 0 betetzen du; beraz M = M0
Bestalde badakigu: ILN=∫A
y 2dA
beraz: M=−κ ·E IL N
eta horrela kurbadura: κ=1ρ=−
ME ·IL N
Habe baten luzetarako ardatzaren kurbadura M makurdura-momentuarekiko
zuzenki proportzionala da, eta EILN balioarekiko alderantziz proportzionala da
(habearen makurdurarekiko zurruntasun deitzen zaio EILN konstante horri).
Alde batetik, erraz kontura gaitezke zeinu-irizpideak errespetatuz, momentu
positibo batek kurbadura negatiboa sortzen duela eta alderantziz:
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 7
Bestalde, σx=E ϵx=−E κy eta orain κ=1ρ=
−MEIL N
σx=−E ·− ME ·I ln
· y=MI ln
· y NAVIER-en EKUAZIOA
Ekuazio horrek erakusten du σx tentsio normala M-rekiko eta y-rekiko
zuzenki proportzionala eta ILN-rekiko alderantziz proportzionala dela.
Tentsio maximoa LNtik urrun dauden puntuetan gertatzen da.
Diseinua errazteko, Z modulu erresistentea definitzen da,
σ1=M ·c1
I ln=M
Z1Z1=
Ic1
Z1 eta Z2 modulu erresistenteak, c1 eta c2
σ2=M ·c2
Iln= M
Z 2Z2=
Ic2
profilean urrunen dauden puntuak dire.
KASU PARTIKULARRAK
Sekzio laukizuzena Sekzio zirkularra
I ln=bh3
12 I ln=πd 4
64
Z ln=I ln
h /2=bh2
6 Z ln=Iln
d /2=πd3
32 ≈0,1d 3
σ=Mbh2
6σ=
M0,1d 3
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 8
5.4 HABEEN ZEHARKAKO SEKZIO MOTAKDISEINU-PROZESUA → FAKTOREAK - eraikuntza mota
- materialak- kargak- ingurune-baldintzak
→ PROFILAREN AUKERAKETA eta DIMENTSIOAKERREALA≤onarg bete behar da
→ ANALISIA soilik makurdura aztertzen da
DISEINU OSOAN - tentsio ebakitzaileak ERREALA≤onarg
- tentsio normalak ERREALA≤onarg
- gilbordura
- tentsio-kontzentrazioen azterketa
PROFILAREN AUKERAKETA. Modulu erresistentea zehaztu behar da:
Z f=MMAX
σMAXonarg
non, σMAXonarg : f (materialaren propietateak , 'n' segurtasun−koefizientea)
Aukeratutako habearen sekzioak Z f≥MMAX
σMAXonarg baldintza bete beharko du.
Helburua: habearen pisua minimoa izatea, materiala aurreztuz. Hau da,
beharrezko modulu erresistentea lortzea zeharkako A sekzio-azalera
minimoarekin.
SEKZIO-PROFILEN ARTEKO KONPARAZIOA
- Sekzio zirkularra
I ln=π · r 4
4 =πd4
64
A=πd2
4
Z f=I ln
d /2=π ·d 3
32 =πd 2
4 · d8=
A·d8 =0,125 · A·d
- Sekzio karratua
Azalera berdina izateko:
a2=d2
4 a=
2·d
Iln=b·h3
12= a4
12
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 9
Profil karratuaren modulu erresistentea orduan:
Z f=16
·a ·a2=16
·a · A=16
· √π2
d· A=0,148· A·d
Profil karratua zirkularra baino efizienteagoa da makurduran.
- Sekzio laukizuzena
A=h2 ·h=h2
2 =πd 2
4
h2=πd 2
2 → h=√π2 ·d
I ln=h /2·h3
12= h4
24
Z f=h4
242h=1
6 · h2 h· h=1
6 A h=0,209 Ad
Sekzio laukizuzena karratua eta zirkularra baino efizienteagoa da.
- T-bikoitza
Z f=I ln
y MAX yMAX gero eta ↑, Zf ↑
Z f≈0,35 Ad
T-bikoitz sekzioa orain arteko efizienteena da.
Diseinu egokiena: materiala LNtik ahalik eta urrunen
duen sekzioa izango da.
I=2(A2 )(h
2)2
=A ·h2
4
Z f=I
h/2= Ah2/4
h /2=0,5 Ah
Baina tentsio ebakitzaile maximoak sekzioaren erdigunean daudenez,
makurduran lan egiteko profil ideala hegal zabaleko T-bikoitza da.
Z f≈0,35 Ah
Hegal zabaleko T-bikoitza eraginkorragoa da azalera eta altuera berdineko
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 10
sekzio laukizuzen bat baino.
Profil honen material gehiena LNtik urrun dago.
T-bikoitzaren arima oso mehea bada, gilbordura ager daiteke edo tentsio
ebakitzaileak balio onargarriak gaindi ditzake.
5.5 TENTSIO EBAKITZAILEAK HABE LAUKIZUZENETAN
Habe bat makurdura bakunean
(makurdura ez-uniformea) lan egiten
duenean, aldi berean M-k eta V-k parte
hartzen dute zeharkako sekzioan.
Makurdurak σx=MyIln
tentsio
normalak sortzen ditu.
Atal honetan, V ebakitzaileak
sortutako τ tentsio ebakitzaileak
aztertuko ditugu.
HASIERAKO HIPOTESIAK
1. τ tentsio ebakitzaileek V-ren norabide eta noranzko berdinetan eragiten
dute.
2. Tentsio ebakitzaileen banaketa uniformea da sekzioaren zabaleran.
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 11
Gainera, badakigu elementu baten aurpegian agertzen den tentsio
ebakitzailea norabide elkarzutean beste tentsio ebakitzaile batera lotua dagoela.
Horrela, tentsio ebakitzaileak aldi berean habearen geruza horizontaletan eta
zeharkako sekzio bertikaletan agertzen dira.
τh-ren (→) eta τv-ren (↓) arteko berdintasunak habearen goialdeko eta
behealdeko azaleretako tentsio ebakitzaileei buruzko ondorio garrantzitsu bat
ematen digu: bertatik elementu bat isolatuz gero, τh = 0 da, eta, beraz τv = 0 (y =
±h/2).
Ondorengo esperimentuaren bidez, τh tentsio horizontalen existentzia
frogatu daiteke:
- Bi habeak itsatsi gabe: goiko habearen luzetarako zuntzak behekoarekiko labaintzen dira.
- Bi habeak itsatsita: tentsio ebakitzaileek LNn zehar labaintzea galarazten dute.
2h altura duen habea h altuerako bi habe baino zurrunagoa eta
erresistenteagoa da.
Azter dezagun pp'n'n azalera (ikus baita ere 11. orrialdeko irudiak),
dA azalera duen elementua aztertuz, han eragina duen indar normala:
σ x dA=MyI
dA
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 12
Ezkerraldean aztertzen ari garen eremuan eragina duen F1 indarra orduan:
F1=∫Aσ x dA=∫
h/2
y 1 MyI
dA
Eskuineko aurpegian: F1=∫h/2
y 1 (M+dM )yI
dA
pp'-ren goialdeko b·dx azaleran agertzen den indar horizontala:
F3=τ⋅b⋅dx
F1, F 2 eta F3 indarrek oreka estatikoan egon behar dute:
F3 = F2 – F1
τbdx=∫A
(M+dM )yI
dA−∫A
MyI
dA
τbdx=∫A
dM yI
dA
τ=dMdx
⋅ 1b I∫A
y dA= VI b
⋅Q
Beraz, τ tentsio ebakitzailea ondoko aldagaien menpe dago:
– V: ktea puntu guztietan
– b: sekzioaren zabalera
– I: LNrekiko inertzia-momentua
– Q: pp'n'n azaleraren momentu estatikoa
(aldakorra)
Q=∫A
y dA=A ·y Agz
Berehalakoa da V indar ebakitzailea tentsio ebakitzaileen erresultantea dela
ondorioztatzea. Beraz, tentsio ebakitzaileek V-ren norabide eta noranzko berdina
izango dute.
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 13
SEKZIO LAUKIZUZENETAKO APLIKAZIOA
Tentsio ebakitzaile maximoa:
τMAX=VQIln b
Momentu estatikoa:
Q=∫A
y dA=A ·y Agz =
= b(h2−y 1)(y 1+
h/2−y 1
2 ) =
=b2 (h
2−y 1)( h
2+y 1)=b
2 (h2
4−y1
2)
Tentsio ebakitzailea, orduan: τ=VQI ln b
= VI ln b
· b2 (h2
4−y 1
2)= V2Iln (h2
4−y 1
2)y1 = 0 denean, QMAX=
bh2
8 eta I ln=
bh3
12 dela jakinik,
orduan, τMAX=VQMAX
I lnb=V · bh2
8· 12
b· bh3=3V2bh
=3V2A
V indar ebakitzailea τ tentsio ebakitzaileen erresultantea da. Ondorioz,
tentsio ebakitzaileek V-ren norabide eta noranzko berdinak dituzte.
5.6 TENTSIO EBAKITZAILEAK HEGAL ZABALEKO T-BIKOITZ HABEETAN
τ=V QI b formula orokorra da, eta edozein profiletan aplika daiteke.
Adibidea:
h = 300mm h1 = 260mm t = 10mm
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 14
5.7 TENTSIO EBAKITZAILEAK HABE ZIRKULARRETANTentsio ebakitzaileek
(τ) ez dute indar
ebakitzailearekiko V
paraleloan lan egiten.
Sekzioen kanpoaldean
dauden puntuen tentsio
ebakitzaileak
zirkunferentziarekiko
tangenteak dira, eta indar
ebakitzailearen noranzko
berdina dute.HIPOTESIA: pq lerroko puntuen tentsio ebakitzailearen osagai bertikala
konstantea da.
Hipotesi hori sekzio karratua aztertzean aplikatu genuenaren berdina denez,
kasu hartarako lortu zen formula aplika daiteke.
Q=∫y 1
r
2√r 2−y 2 y dy=23 (r
2−y 12)3 /2
b, zabalera, b=2√r 2−y12
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 15
I, inertzia-momentua: I=π r 4
4
τy=VQI⋅b
=V 2
3(r 2−y 1
2)3 /2
π r 4
4 ⋅2(r 2−y 12)1/2
=4V( r 2−y 1
2)3π r 4
τ=
τy
cosθ=
τy
√r 2−y 12
r
=r⋅τy
√r 2−y 12 τy=
4V(r 2−y 12)
3π r 4
Tentsio maximoa LN-n agertzen da, τ = τy izanik
τMAX=4Vr3π r 3=
4V3A
5.8 HABE ARMATUAK
DEFINIZIOA: Habe armatua bi piezaz edo gehiagoz osatua dagoen habe bat da.
Habe horiek profilak konbinatuz lortzen dira, helburu jakin bat lortzeko
(adibidez, pisua gutxitzeko), edo profil arruntak/estandarrak/komertzialak baino ILN
eta ZLN handiagoak lortzeko.
Adibideak,
IPN sekzio soldatua Kaxoi-habea (egurra edo altzairua) Habe ijetzia, itsatsita
DISEINUA. Habe armatua beraren elementuak era egokian itsatsita daudela joz
diseinatzen da, eta, hala, habea elementu bakarraren portaera du.
Pausoak: 1. Habe bat dela, barne-betea dela jotzen da → σx, τ
2. Elementuen arteko lotura aztertzen da (soldadura, torloju, iltze,
kola...), habeak pieza bakar baten portaera izan dezan.
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 16
Lotura-elementuek jasandako kargak habearen elementuen artean
transmititutako ebakidura-tentsio horizontalak dira.
EBAKIDURA-TENTSIO
HORIZONTALAK KALKULATZEKO
FORMULA
5.5 atalean eginiko azterketan
ondokoak agertu dira:
– (pu) ezkerraldean: F1 indarra– (p'u') eskuinaldean: F 2 indarra– (pp') aurpegi horizontalean: F3
indarra
Egindako azterketan, F3 (= F2 - F1) indarra b·dx azaleran uniformeki banatua
dago. Horrela: τ=F3
b⋅dxHala ere, kasu orokor batean suposizio hori ez da betetzen. Beraz, τ tentsio
ebakitzaileak hala kalkulatu beharrean (F3 azalera unitateko, τ = F3/b·dx),
elementuaren pp' aurpegian agertzen den dF indar horizontal osoa kalkulatuko
dugu. Indar hori definitzeko, dF = f·dx adierazpena erabiliko dugu, f izanik
habearen luzera unitateko urradura-indarra, eta f=dFdx izanik dF habearen dx
luzeran eragiten duen indarra.
Gainera, f = τ·b
Orduan, F3=f ·dx=F 2−F1=dM∫y dA
I
f =dMdx
· 1I ∫ y dA → f=V ·Q
IPraktikan marratutako zeharkako
sekzioak hainbat forma izan ditzake. Kasu
horietan, f luzera unitateko urradura-
indarra sekzio marratua gainerako
sekziotik banantzen duen lerroaren luzera
unitateko indarra da.
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 17
Hori argitzeko ondoko adibideak aztertuko ditugu:
– Altzairuzko habe armatuaren kasuan, soldadurek hegalaren eta arimaren
artean tentsio ebakitzaile horizontalak transmititu behar dituzte. Indar hori
(luzera unitateko) kontaktu-azaleran zehar luzetarako urradura-indarra da,
f =V ·QI
non Q marratutako azaleraren
LNrekiko momentu estatikoa baita
f kalkulatzean, soldadura-kordoiaren eztarri-lodiera
egokia aukeratu beharko da, f luzera unitateko indarra
jasan dezan.
– Beste kasu honetan, f, cc' eta dd' lerroetan eragiten
du. Q marratutako azalerarentzat kalkulatzen da.
f-ri eskuinaldeko eta ezkerraldeko iltzeek eusten
diote.
5.9 HABE KONPOSATUAK
Material batez baino gehiagoz osatuak dauden habeei habe konposatu deitzen zaie. Adibidez,
– habe bi-metalikoak: termopareak (cromel, constantan)
– sandwich-habeak
– hormigoi armatuzko habeak
Habe konposatuak habe arruntentzat ondorioztatu dugun makurduraren
teoria aplikatuz aztertzen dira.
Kasu horretan, makurdura hutsean onartzen diren Navieren hipotesiak
aplikatzen dira, materialarekiko independentea izanik: makurtu ondoren ere
sekzioak lauak eta paraleloak mantentzen dira.
Hipotesi horien ondorioz, εx luzerako luzapenak linealki aldatzen dira
habearen goialdetik behealderaino. Kasu horretan, LN ez dago zeharkako
sekzioaren GZn.
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 18
Zeharkako sekzioan azaltzen diren tentsio normalak ε deformazioekiko
proportzionalak dira.
Jo dezagun materialek portaera elastiko-lineala dutela (Hookeren legea
betetzen dute). Orduan: σ = E ε
E2 > E1 bada, σx1 = +E1 ε1 = - E1 κ y
σx2 = +E2 ε2 = - E2 κ y
LNren POSIZIOA orain ez dago sekzioaren GZn. Makurdura hutsean indar
axialen erresultantea zero izango
da. N=ΣFN=0 eginez,
∫A1
σx1⋅dA+∫A2
σx2⋅dA=0
∫A1
E1⋅κ⋅y dA+∫A2
E 2⋅κ⋅y dA=0
E1∫A1
y dA+E2∫A2
y dA=0
E1Q 1+E2Q 2=0 (1)
(1) LNren posizioa zehazteko formula orokorra bi materialez osatutako habeentzat
MAKURDURA-MOMENTUA sekzioan ∑M ln=M (makurdura hutsa)
M=∫ σx dA⋅y=∫A1
σx1⋅y dA+∫A2
σA2⋅y dA=−∫A1
E1⋅κ⋅y 2dA−∫A2
E2⋅κ⋅y2dA =
= −E 1κ∫A1
y 2dA−E 2κ∫A2
y 2dA=−κ(E1 I1+E 2I2)
I1 eta I2 A1 eta A2 azaleren LNrekiko inertzia-momentuak izanik.
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 19
κ=1ρ=−
ME 1I1+E 2I2
E1I1 + E2I2 zatitzaileak habe konposatuaren makurdurarekiko zurruntasuna
adierazten du. Tentsioak, beraz:
σx1=−E1⋅κ⋅y=−E1( −ME 1I1+E 2I2 )y
σx1=M⋅y⋅E1
E1 I1+E2 I2eta σx2=
M⋅y⋅E2
E 1 I1+E 2I2
Adibidea:DATUAK: M, E1, E2, b, h1, h2
EZEZAGUNAK: x1MAX , x2
MAX
5.9.1 SEKZIO BALIOKIDEAREN METODOAMetodo honen funtsa da material batez baino gehiagoz osatua dagoen
zeharkako sekzioa material bakarrezko sekzio baliokide batean bihurtzea. Sekzio
baliokide horrek aurrekoaren portaera berdina izango du.
BALDINTZAK: sekzio baliokideak LN eta makurdurarekiko erresistentzia berdinak izango ditu.
Lehenik n definituko dugu, modulu elastikoen arteko erlazioa: n=E 2
E 1
1. baldintza: LN berdina
E2=nE1 (erlazio modularra)E1∫
A1y dA+E2∫
A2y dA=0
E1∫A1 y dA+nE1∫A2 y dA=0∫A1
y dA+n∫A2
y dA=0
Sekzio baliokideak material bakarraz osatzen da, eta haren LNk jatorrizko
sekzioaren LNn posizio berdina dauka.
2. baldintza: erresistentzia-ahalmen berdina makurduranHabean agertzen diren tentsioak: σx=−E1κy
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 20
M=∫ σx y dA=∫A1σx y dA+∫
A2σx y dA=−κE1∫
A1y 2dA−κE2∫
A2y 2dA =
= −κ[E1 I1+E 2I2]=−κ [E1I1+E1n I 2]
Habe baliokideko tentsioak orain arte erabili dugun makurdura-formularen
bidez kalkula daitezke:
σx=M · y
I ln non I ln=I1+n I2=I1+
E2
E1I2=
E1 I1+E2 I2
E1
orduan σx=M · y ·E1
E1I 1+E2I 2
– '1' materialean tentsioak berdinak dira, bai jatorrizko habean, baita
transformatuan ere
– '2' materialeko tentsioak σJATORRIZKOA=σBALIOKIDEA ·n
5.9.2 TENTSIO EBAKITZAILEA LUZETARAKO PLANO ARBITRARIO BATEAN
f luzera unitateko indarra izanik, plano gorrian agertzen den indar ebakitzailea:
f =Hx=∫Aσx dA
x=∫A
M · yI
·dA
x=∫
A
P · x · y dAI · x
=P∫
Ay dA
I=
P · QI
=V ·Q
I
H=∫AσxdA=∫
A
P · xI
·dA=PI ∫A
x · dA=P ·QI
=V ·Q
I
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 21
5.9.3 SANDWICH-HABEAKAurpegi deritzen bi plaka meheen artean beste
material batez egindako nukleo lodi bat duten habeak dira.
Nukleoa arinagoa eta erresistentzia gutxiagoko materiala
izan ohi da, eta betegarri- eta/edo isolatzaile-lana betetzen
du. Aurpegiek, berriz, erresistentzia altua dute (E2 >> E1).
Osatzen den sekzioa arina da, eta makurdura-momentuak jasateko gaitasun
handia dauka. Arintasuna eta zurruntasuna aldi berean eskatzen duten
aplikazioetan erabiltzen dira. Adibidez, hegazkin eta autobusen zoruak, industria-
eraikinen itxiturak, eta abar.
Elementu horiek lehen deskribatu diren metodoak erabiliz azter daitezke.
Kalkulua sinplifikatzeko, aurpegiek makurdura-momentuak eta nukleoak,
berriz, indar ebakitzaileak jasaten dituztela joko dugu.
Tentsio normalak: σx=M ·d /2
I AURPEGIAK
non d: habearen altuera IAURPEGIAK: aurpegien inertzia-momentua LNrekiko
I AURPEGIAK=112
bd3− 112
b h3
Tentsio ebakitzaileak: τ=Vbh
5.10 KARGA AXIALDUN HABEAK. KARGA INKLINATUAK ETA ESZENTRIKOAK HABE ETA ZUTABEETANOrain arteko kargak habearen ardatzarekiko elkarzutak izan dira, eta GZn
aplikatuak zeuden. Atal honetan, indar inklinatuak eta GZn aplikatuak ez daudenak
aztertuko ditugu.
Adibidez:
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 22
INDAR INKLINATUAK P karga, V (Q)
indar ebakitzailean eta N (S) indar
normalean deskonposa daiteke.
Bi egoera ager daitezke:
1. habea motza eta zurruna da
2. habea lerdena eta malgua da
1. Geziak oso txikiak dira luzerarekin alderatuz.
Gezien agerpenak aldaketa oso txikia sortzen du S kargaren akzio-lerroan.
2. Makurdura-deflexioen balioak makurdura-momentuetan eragina izateko beste
badira. S-ren akzio-lerroa gorantz (irudiko adibidean) desplazatzen da, eta,
horrenbestez, makurdura-momentu gehigarri bat sortzen da, bere balioa S·f
izanik.
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 23
KARGA AXIAL ESZENTRIKOAKasu honek interes praktiko handia
dauka.
P konpresio-kargak zeharkako
sekzioarekiko perpendikularki eragiten du
GZtik igarotzen den inertzia-ardatzarekiko
e distantzia batetara.
P karga eszentrikoa ordezka
daiteke GZn aplikatutako P konpresio-
indarraren eta P·e makurdura-
momentuaren bidez.
Zeharkako sekzioko edozein
puntutako tentsio normala:
σ=−PA
−P · e· yI z
LNren ekuazioa (posizioa) σ = 0
eginez lortzen da. Horrela:
0=−PA
−P ·e· yIz
→ y=−Iz
A ·e
Ekuazio horrek zeharkako sekzioan
z ardatzarekiko paraleloa den zuzen bat
definitzen du. Minus (-) zeinuak, P indarra
z ardatzarekiko ezkerretara dagoenean,
z-ren eskuinetara kokatzen dela
adierazten du.
e ↑ bada, IA ·e ↑ ↓ eta orduan LN
GZrantz hurbiltzen da.
e ↓ bada, IA ·e ↑ ↑ eta orduan LN GZtik
urruntzen da, eta LN zeharkako sekziotik kanpo gera daiteke. Kasu horretan, puntu guztiak konpresioan egongo lirateke.
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 24
Adibidez, sekzioa karratua bada:= N M
σ=−PA±P ·e · y
I z
LNren ekuazioa tentsioaren ekuazioa zero eginez lortzen da:
−PA±P · e· y
I z=0 → y=
I z
Ae
e↑ bada, y ↓=I z
Ae ↑ LN
GZrantz hurbiltzen da
e↓ bada, y ↑=I z
Ae ↓ LN
GZrantz hurbiltzen da
P indar eszentrikoa zeharkako sekzioaren ardatz nagusietako batean
aplikatua ez badago, orduan makurdura bi ardatz nagusietan agertuko da aldi
berean.
σN=NA , σMy=
M y ·zI y
=N ·ez ·z
I y eta σMz=
M z · yI z
=N ·ey · y
I z
σ=−PA−
P ·ez · zIY
−P ·ey · y
I z
LNren posizioa definitzeko σ = 0 eginez:
1+A·ez
IY· z+
A·ey
Iz· y=0
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 25
Ekuazio hau lineala da y eta z ardatzetan, LN zuzen bat izanik aurreko
kasuan bezala.
LNk zeharkako sekzioa moztu dezake edo ez, sekzioaren formaren eta P
kargaren aplikazio-puntuaren arabera. y eta z ardatzetako n-n' lerroaren mozte-
puntuak, z eta y zero eginez lor daitezke, hurrenez hurren.
z = 0 → y=−Iz
ey A eta y = 0 → z=−I y
ez A
P indarraren aplikazio-puntuaren posizioaren eta LNren arteko erlazioa
garrantzitsua dela esan dezakegu: P karga m-m' lerroan zehar mugitzen bada, LN
R puntuarekiko biratzen da.
P P1 → LN1 → y=s1=IZ
Ae1
P2 → LN2 → z=s2=I Z
Ae2
R LN1 eta LN2 zuzenen arteko
intersekzioan dago.
SEKZIO BATEN NUKLEOAAplikatutako P kargaren e eszentrikotasuna txikia denean, LN zeharkako
sekziotik kanpo geratzen da eta sekzio normalek zeinu bera dute sekzio osoan.
Baldintza hori oso garrantzitsua da trakzioarekiko hauskorrak diren materialentzat,
adibidez hormigoia eta zeramika.
Beharrezkoa da ziurtatzea kargak ez duela trakziorik sortuko sekzioaren
inongo puntutan. Baldintza hori karga GZ barnean duen eremu batean aplikatuz
gero betetzen da.
Eremu horretan aplikatutako konpresio-karga batek konpresio-tentsioak
sorraraziko ditu sekzio osoan. Eremu horri sekzioaren nukleo edo bihotz deitzen
zaio.
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 26
Sekzio laukizuzen baten nukleoa
P GZtik e1 distantziara
aplikatua badago (P1), LN n1n1'
lerroa izan dadin (R12, R41) e1
distantzia ezagutu nahi da:
y=−h2
I= bh3
12→ e1=
Iz
Ay=
bh3
12
bh· h2
=h6
A=bh
Era berean, karga P2 bada: e2=b6
P karga, P1-tik P2-ra mugituz, LN R12 puntuarekiko biratzen da.
Nukleoa erronbo bat dela ondoriozta dezakegu, eta haren diagonalak b/3
eta h/3 dira.
Erronboaren barnean aplikatutako edozein konpresio-kargak ez du trakzio
tentsiorik sortuko sekzioan.
5.11 MAKURDURA ASIMETRIKOA
Habeen makurdura-teoria luzetarako ardatzean simetria-plano bat duten
habeetan bakarrik aplika daiteke.
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 27
Hegalean dagoen irudiko habean xy planoa simetria plano axial bat da.
Kargak simetria-planoan aplikatzen badira, habea y noranzkoan bakarrik
deformatuko dela ondorioztatzen da.
xy planoari makurdura-plano deitzen zaio.
y ardatza simetria-ardatza denez, sekzioaren ardatz nagusi bat da. Lerro
neutroa ere (x ardatza) ardatz nagusia da, eta y ardatzarekiko elkarzuta da.
Habearen portaera elastiko-lineala bada, lerro neutroa grabitate-zentrotik
pasatuko da. Beraz, 'y' eta 'z' ardatzak sekzioaren ardatz zentralak dira.
Sekzioekiko elkarzut agertzen diren makurdurako tentsio normalak lerro
neutroarekiko distantziaren arabera aldatzen dira, eta Navieren ekuazioaren
bitartez kalkulatzen dira:
σx=M yI z
Habeen makurdura asimetrikoak zeharkako sekzioak simetrikoak EZ
direnean agertzen dira, edo kargak simetria-planotik kanpo aplikatzen direnean.
Zeharkako sekzioa simetriaren arabera honela sailkatzen da:
– simetria bikoitza
– soilki simetrikoa
– asimetrikoa
Makurdura asimetrikoa jasaten duten habeek normalki zeharkako
sekzioarekiko bi ardatz nagusietan makurdura-momentuak jasaten dituzte.
MY ETA MZ MAKURDURA-MOMENTUEN ZEINU_IRIZPIDEAK
Aurpegi positiboan eragiten duten momentuak positiboak izango dira, haren bektoreek ardatz bakoitzaren noranzko positiboa badute
Aurpegi negatiboan eragiten duten My eta Mz makurdura-momentuak positiboak izango dira, haren bektoreek norabidea y eta z ardatzen noranzko negatiboa badute
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 28
5.11.1 ZEHARKAKO KARGA JASATEN DUTEN SIMETRIA BIKOITZEKO DUTEN HABEAK
Makurdura asimetrikoko kasu sinpleena zera da, simetria bikoitzeko habe
bat LNrekiko zeharka kargaturik dagoenean.
Adibidea: hegalean dagoen habea, bere
muturrean zeharkako P karga bat duena.
P karga bi ardatzetan deskonposatuz,
y ardatza → Py = P cos θ
z ardatza → Pz = P sin θ
Orain habearen makurdura
gainezarpen-printzipioa erabiliz azter
daiteke.
KONTUZ! Karga-sekzioaren G grabitate-zentroan aplikatua egon behar du
bihurdurarik ager ez dadin luzetarako ardatzean.
Landapenetik x distantziara, sekzioan eragina duten makurdura-momentuak
hauek dira:
Mz = Py (L – x) = P cos θ (L – x)
My = Py (L – x) = P sin θ (L – x)
My eta Mz makurdura-momentuek habearen simetria-planoan eragiten
dutenez, makurdura-tentsioak Navieren formularen bidez lor daitezke. A puntua (y,
z) koordenatuetan kokatua badago:
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 29
Tentsio normala puntu horretan:
σx=M y z
I y−
M z yIz
Iy: sekzioaren inertzia-momentua y ardatzarekiko
Iz: sekzioaren inertzia-momentua z ardatzarekiko
Lerro neutroa, σx = 0 duten puntuek osatzen duten zuzena denez:M y z
Iy−
M z yIz
=0 → y=M y
M z
I z
Iyz
G puntua zeharkatzen duen zuzen baten ekuazioa lortzen da (jatorrian
y = 0), haren malda tanβ=M y
M z
Iz
I yizanik. tanθ=
My
M zdefinituz, orduan:
tanβ=Iz
Iytanθ
Ekuazio horretatik, β eta θ angeluak ezberdinak direla ondorioztatzen da (β ≠ θ).
LN lerro neutroa ez da karga-planoarekiko elkarzuta.
SALBUESPENAK
1. θ = 0o bada,
kargak XY planoan eragiten du, eta z ardatza LN da.
2. θ = 90o bada,
kargak XZ planoan eragiten du, eta y ardatza LN da.
3. Iy = Iz bada, tanβ=Iz
Iytanθ eta θ = β
Iy = Iz denez, inertzia-momentu nagusiak berdinak dira.
Beraz, G-tik igarotzen diren ardatzak nagusiak dira.
Ondorioz, kargaren planoa LNrekiko elkarzuta da.
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 30
Simetria bikoitza duen habe batek zeharkako kargak jasaten baditu,
habearen geziak edo deflexioak lortzen dira kargaren osagai bakoitza bere aldetik
aztertuz eta gainezarpen-printzipioa aplikatuz (ikus 7. gaia)
δy=
12
P cosθL2 23
L
EI z=P cosθL3
3EIzδz=
12
P sinθL2 23
L
EIy=P sinθL3
3EIy
Lortzen den gezia:
=y2z
2
tanβ=δz
δy=
P sinθL3
3EIyP cosθL3
3EIz
=Iz
Iytanθ
(Aurreko ekuazio bera lortu da: deflexioa plano neutroarekiko elkarzuta den
plano batean egongo da).
5.11.2 MAKURDURA HUTSA HABE ASIMETRIKOETAN
Habe baten sekzioa asimetrikoa bada, makurdura-analisia konplexuagoa
da. Momentua ezaguna izanik, ezinezkoa da zuzenean sortzen duen tentsio
normala eta ardatz nagusia ondorioztatzea. Baina
lerro neutro bat proposatu eta makurdura-
momentuarekin duen erlazioa aztertuko dugu.
Irudiko habeak M makurdura-momentua jasaten du
Helburua: y eta z ardatzak bete behar dituzten baldintzak zehaztea makurduran
LN izan daitezen.
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 31
Hasteko elkarzutak diren z eta y ardatzak eraikiko ditugu sekzioaren
edozein puntutan. Ondoren, z planoa LN dela joko dugu. Beraz XY planoa
makurdura-planoa izango da, eta habea plano horretan deformatuko da.
Makurdura pean dagoen habearen κy kurbaduraren zeinua definitzeko
irizpidea:
LNtik y distantziara dagoen dA azalera-elementuan dagoen tentsio normala:
ϵx=−yφ =−κy y → σx=E ϵx=−κy E y
eta dA elementuan momentuak eragiten duen indarra:
dF = σx dA F=∫σx dA=∫−κy E y dA=−κy E∫y dA
Makurdura hutsa dela jo denez, dF azaleran integratuz F = 0 da eta orduan
∫ ydA=0 . Ekuazio horrek LN sekzioaren GZtik igaro behar duela frogatzen du.
dA azaleran eragiten duen tentsio normala, beraz: σx=−κzE z
Indar normal erresultantea:
∫σx dA=−κz E∫ zdA=0 → ∫ zdA=0
Ondorioz, y ardatzak ere GZtik pasatu behar du. Beraz, y eta z ardatzen
jatorria GZ puntuan kokatzen da.
Orain σx tentsioek sortzen duten tentsio erresultantea
aztertuko dugu.
Makurdura x ardatzean gertatzen dela joz, momentuak:
M z=−∫σx y dA=κy E∫y 2dA=κy EIz=M z
M y=∫σx z dA=−κy E∫ yzdA=−κy EIyz=M y
Iz z ardatzarekiko inertzia-momentua da, eta Iyz y eta z ardatzen inertzia-
momentuen biderkadura.
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 32
ONDORIOAK:
- Lerro bat LN izango da, baldin eta My eta Mz momentu jakin batzuk aplikatzen
badira.
- LN (kasu honetan z ardatza) inertzia-ardatz nagusi bat bada: My da eragiten
duen momentu bakarra, eta XZ planoan gertatuko da makurdura, makurdura
simetrikoaren kasuan bezala. Eta ardatz-sistema ortogonala denez, y ardatza
ere ardatz nagusia izango da
Makurdura hutsa jasaten duen habe asimetriko baten makurdura-planoa
LNrekiko elkarzut izango da, baldin eta y eta z ardatzak sekzioaren inertzia-ardatz
nagusiak badira.
Makurdura-momentu batek plano nagusi batean eragiten badu, plano hori
makurdura-planoa izango da (LNrekiko elkarzuta), eta makurduraren teoria erabili
ahal izango da.
HABE ASIMETRIKO BAT AZTERTZEKO METODO ZUZENA
1. Sekzioaren GZ puntua definitu.
2. y eta z inertzia-ardatz nagusiak definitu.
3. Aplikatutako M momentua deskonposatu, My eta Mz .
My = M sin θ
Mz = M cos θ
θ : M momentuak OZ ardatzarekin osatzen
duen angelua
4. Sekzioko edozein puntuk (adibidez A) jasaten
duen tentsioa habe simetrikoen antzera lortzen
da.
σx=M y z
I y−
M z yIz
=(M sinθ)zI y
−(M cosθ)yIz
y eta z, A puntuaren koordenatuak izanik.
5. LNren ekuazioa σx = 0 eginez lortzen da.
11/10/30 r3.2 MEE 5 - 33
6. GAIA
TENTSIO ETA DEFORMAZIOEN AZTERKETA6.1 SARRERA
6.2 TENTSIO LAUA
6.3 TENTSIO NAGUSIAK ETA TENTSIO EBAKITZAILE
MAXIMOAK
6.4 MOHR-EN ZIRKULUA TENTSIO LAUAN
6.5 HOOKE-REN LEGEA TENTSIO LAUAN
6.6 PRESIOPEAN DAUDEN HORMA MEHEKO EDUKIONTZI
ESFERIKO ETA ZILINDRIKOAK. TENTSIO BIAXIALA
6.7 KARGA KONBINATUAK TENTSIO LAUAN
6.8 TENTSIO NAGUSIAK HABEETAN
6.9 EBAKIDURA LAUKIZUZENEKO HABEEN DISEINUA
6.10 INDAR ZENTRIFUGOAREN ERAGINA ERAZTUNETAN
6.11 MAKURDURA ETA BIHURDURA KONBINATUAK
ARDATZ ZIRKULARRETAN
6.1 SARRERA
Sekzio bateko puntuetan tentsioak definitzeko, ekuazioak hauek erabiltzen
dira:
σ=M · y
I zτ=
V ·Qb·I z
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 1
Gai honetan, tentsioak edozein norabidetan aztertzeko metodoa ikasiko
dugu. Trakzioan eta bihurduran sekzio inklinatuetako tentsioak aztertu genituen:
HELBURUA: Ardatzen edozein orientaziotarako tentsio-osagaiek dituzten
transformazio-erlazioak lortzea izango da.
Hau da, ebakidura-plano bateko puntu baten tentsio-egoerak ezagunak
izanik, ebakidura-planoa biratuz haren tentsio-egoera baliokidea ezagutu nahi da.
Prozesuari tentsio-transformazio deritzo.
Tentsiopean dagoen puntu bat aztertzean, elementua biratzean,
elementuaren aurpegietako tentsioak aldatuz doaz, eta tentsio-egoera berdina
adierazten dute.
Tentsio-egoera bakarra da, elementua edozein orientaziotan dagoela ere.
Orientazio ezberdineko tentsioek egoera berdina adierazten dute. Nahiz eta
gezien bidez adierazi, tentsioak ez dira bektoreak. Tentsore deitzen zaie
matematiketan, deformazio unitario eta inertzia-momentuen antzera.
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 2
6.2 TENTSIO LAUA
Axialki kargatuak dauden barrak, bihurdura hutsa edo makurdura jasaten
duten habeen tentsio-egoerak dira tentsio lauaren adibideak.
A puntua inguratzen duen elementu infinitesimal batek ondorengo tentsio-
egoera jasaten du:
x : tentsio normala x noranzkoan
xy : tentsio ebakitzailea x ardatzarekiko
plano elkarzuta eta y noranzkoa dituena
Plano elkarzutetako tentsio ebakitzaileek balio berdinak dituzte, eta haien
noranzkoak ebakidura-ertzerantz gerturatu edo urruntzen dira:
xy=yx
Tentsioak bi dimentsiotan adieraziz:
datuak:
x , y , xy , yx
ezezagunak:
σx1 , σy1, τx1y1 (τy1x1)
Elementua erpin batean ebakiz gero, falka-itxura duen elementu bat lortzen
da. Falkak jasaten dituen indarrek ere orekan egon beharko dute (tentsioa x
azalera):
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 3
x1 ardatzean indarren oreka planteatuz: ∑FX1=0
σx1
Ao
cosθ−σx Aocosθ−τxy Aosinθ−σy Ao tanθsinθ−τyx A0 tanθcosθ=0
eta y1 ardatzean antzera eginez: ∑F Y1=0
τx1y1
Ao
cosθ+σx Ao sinθ−τxy Ao cosθ−σy Ao tanθcosθ+τxy A0 tanθ sinθ=0
xy=yx da, eta aurreko bi ekuazioak berrantolatuz:
x1= x cos2 y sin22xy sincos (1)
x1y1=− x− ysincosxycos2−sin2 (2)
(1) eta (2) ekuazioen bidez, x1 ardatzean tentsio normal eta ebakitzaileak
lortzen dira θ, τxy, σx-ren eta σy-ren funtzioan. Formulek ondorengoa ere betetzen
dute:
θ = 0º denean x1=x θ = 90º denean x1=y
x1y1=xy x1y1=−xy
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Erlazio trigonometrikoen berrikuspena
sin2=2 sincos (a)
1=cos2sin2 (b) cos 2=cos2−sin2 (c)
_______________________
(b+c) 1cos 2=2cos2 → 1cos 22
=cos2
(b-c) 1−cos 2=2sin2 → 1−cos 22 =sin2
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 4
Aurreko ekuazioetara itzuliz eta erlazio trigonometrikoak aplikatuz:
x1=xy
2 x− y
2cos 2xy sin2 (3)
x1y1=− x− y
2sin2xy cos 2 (4)
(1), (2), (3) eta (4) ekuazioei tentsio lauko transformazio-ekuazio deitzen
zaie. A puntuko tentsio-egoera, xy planoan eta x1y1 planoan berdina da.
Transformazio-ekuazioak indarren oreka planteatuz definitu direnez, edozein
materialentzat aplika daitezke.
θ angelua (θ + 90º)-z ordezkatuz, σx1 → σy1 lortzen da. Hirugarren ekuazioan
ordezkatuz:
y1=x y
2 x−y
2cos2180xy sin2180
y1=xy
2− x− y
2cos2− xy sin2 (5)
(3) eta (5) ekuazioak osagaiz osagai batuz:
x1y1=x y (6)
Elementu batean gainazalekiko elkarzut agertzen diren tentsio normalen
batura konstantea da tentsio lauan.
- TENTSIO-EGOERA BEREZIAKTentsio lauan, tentsio-egoera orokor honen hiru kasu berezi agertzen dira:
tentsio egoera uniaxiala, biaxiala eta ebakitzaile hutsa.
1 - Tentsio guztiak nuluak badira σx ezik, elementua tentsio-egoera uniaxialean
dagoela esaten da. (1) eta (2) ekuazioetan, y=0 eta xy=0 bada:
x1=x
21cos2=x cos2
x1y1=−x
2sin2=− x sin cos
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 5
2 – Tentsio ebakitzaile hutsa beste kasu berezi bat da, x=0 eta y=0 ,
orduan (1) eta (2) ekuazioak:
x1=xy sin2=2 xy sincos
x1y1=xy cos2= xycos2−sin2
3 – Tentsio-egoera biaxiala berriz, x≠0 , y≠0 eta xy=0 :
x1=x y
2 x− y
2cos2
x1y1=−x−y
2sin2
tentsio biaxiala besteak beste, presiopean dauden
edukiontzietan agertzen da (ikusi 6.6 atala)
6.3 TENTSIO NAGUSIAK ETA TENTSIO EBAKITZAILE MAXIMOAK
σx1 tentsio normala eta x1y1 tentsio ebakitzailea modu jarraituan aldatzen
dira elementua θ angelua biratzen den heinean.
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 6
Diseinuaren ikuspegitik balio maximoak aurkitzea komeni zaigu, bai
positiboak, bai negatiboak. Aurreko irudiak erakusten du tentsio normal eta
ebakitzaile maximoak 90º-ro kokatzen direla (non σy = 0,2σx eta
τxy = 0,8σx). Tentsio normal maximo eta minimoei tentsio nagusi deitzen zaie, eta
1 eta 2 azpiindizeen bidez adierazten dira.
(3) ekuaziotik abiatuz: x1=xy
2 x− y
2cos 2xy sin2
Maximoa lortzeko θ-rekiko deribatuz eta zerorekin berdinduz:
d x1
d=−x− ysin22xycos2=0 → tan2p=
2xy
x−y (7)
p azpiindizeak plano nagusia adierazten du. θp-ren bi balio daude:
2θp → θp = θp1
2θp +180º → θp +90º = θp2
'Tentsio nagusiak plano elkarzutetan agertzen dira'
Orain, tentsio nagusien balioak aurkitu nahi dira. Horretarako, ondorengo
hirukia aztertuko da. Pitagoras aplikatuz, R lortzen da, eta, gainera, hiruki
horretatik ondokoa ondoriozta daiteke,
sin2θp=τxy
R eta cos2θp=(σx−σy
2 )R
θp-ren balioa (3) ekuazioan ordezkatuz:
x1=xy
2 x− y
2cos 2xy sin2
σ1=σx+σy
2+σx−σy
2 (σx−σy
2 ):R+τ xy( τxy
R )1=
xy
2x−y
2 2
xy2 σ1, tentsio nagusi maximoa
eta tentsioen batura erlazioa aplikatuz, (6) ekuazioa, σ1+σ2=σx+σy ,
2=xy
2−x− y
2 2
xy2 σ2, tentsio nagusi minimoa
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 7
eta orokortuz, tentsio nagusien ekuazioa:
1,2= xy
2±x−y
2 2
xy2
Tentsio nagusien ezaugarri garrantzitsuenetako bat da, tentsio
ebakitzailearen balioa orientazio horretan zero dela. Orduan, elementua tentsio
egoera uniaxial edo biaxialean egongo da.
'Tentsio-plano nagusitan tentsio ebakitzaileak zero dira'
6.3.1 Kasu bereziak
1 – Tentsio uniaxialaren eta biaxialaren kasuan:
uniaxiala biaxiala
tan2p=xy
x− y
2 =0 xy=0
θp1 = 0º eta θp2 = 90º, x eta y ardatzak
norabide nagusiak dira.
2 – Tentsio ebakitzaile hutsaren kasuan:
tan2p=xy
x− y
2 =xy
0=∞
2θp = 90º → θp1 = 45º eta θp2 = 135º
1=xysin90º=xy
2=xysin270º=−xy
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 8
6.3.2 Tentsio ebakitzaile maximoak
Tentsio ebakitzaile maximoak aurkitzeko, x1y1 θ-rekiko deribatuko da,
dx1y1
d=−
x−y
22cos2−2xysin2=0 → tan2s=−
x−y
2xy(8)
non 2θs → θs = θs1
2θs + 180º → θs + 90º = θs2
s azpiindizeak tentsio ebakitzaile maximoko planoa izendatzen du, eta
90º bakoitzean errepikatuko da. θs eta θp erlazionatuz, (7) eta (8) ekuazioetatik,
bien arteko erlazioa:
tan2s=−1
tan2p=−cotan2p dela ondorioztatzen da
Hori garatuz
sin2scos2s
cos2psin2p
=0
sin2ssin2pcos2pcos2s=0
cos 2s−2p=0 (cos±90º=0º)
→ 2θs = 2θp ± 90º
θs = θp ± 45º
'Tentsio ebakitzaile maximoko planoak plano nagusiekiko 45º-ra kokatzen dira'
(4) transformazio-ekuazioan 2θs ordezkatuz, tentsio ebakitzaile maximoa
lortzen da:
x1y1=x− y
2 2
xy2 =max
Bestalde, σ1 eta σ2 tentsio nagusiak erabiliz tentsio ebakitzaile maximoa
lortzeko:
max=1−2
2
Oro har, tentsio ebakitzaile maximoko planoek tentsio normalak dituzte,
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 9
ebakidura hutsaren kasuan ezik. σx1 ekuazioan θs ordezkatuz, haren balioa xy
planoko tentsio normalen batezbestekoa dela ondorioztatzen da:
s=med= xy
2
6.4 MOHR-EN ZIRKULUA TENTSIO LAUAN
Ondoko ekuazioak:
x1=xy
2 x− y
2cos 2xy sin2 (3)
x1y1=− x− y
2sin2xy cos 2 (4)
Mohr-en zirkulu (MZ) deritzon grafikoaren bitartez adieraz daitezke.
Horretarako, ekuazioak berrantolatuko ditugu:
x1−xy
2= x− y
2cos 2xy sin2
x1y1=− x− y
2sin2xy cos 2
Zirkunferentziaren ekuazioa,
(x – xc)2 + (y – yc)2 = R2
2θ parametro gisa erabiliz, adierazpen horiek zirkulu baten ekuazio
parametrikoak direla ohartzen gara. Ekuazioen bi aldeak ber bi eginez, parametroa
desagertzen da:
(σx1−σx+σy
2 )2
+τxy2 =(σx−σy
2 )2
+τxy2
Formulan ondokoak ordezkatuz: σmed=σx+σy
2 R=√(σx−σy
2 )2
+τxy2
(σx1−σmed)2+τx1y1
2 =R2
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 10
A aurpegitik A1 aurpegira joateko, A → A1:
– elementua θ angelua biratu behar da
– zirkuluan 2θ angelua biratu behar da (A1 puntua)
Zirkuluko P1 puntuan, tentsio normalek balio maximoa lortzen dute, eta
tentsio ebakitzailea zero da. P1 puntua plano nagusi bat da.
Zirkuluan A-tik P1-era joateko 2θP1 angelua biratu behar da. Elementua
berriz, θP1 angelua biratu beharko da.
Tentsio nagusiaren balioa:
σ1=OC+CP1=σx+σy
2+R
R=√(σx−σy
2 )2
+τxy2 denez,
σ1=σx+σy
2+√(σx−σy
2 )2
+τ xy2
2θP1 angelua: cos 2θP1=
σx−σy
2R edo sin 2θP1=
τ xy
RS eta S1 puntuek tentsio ebakitzaile maximoko planoak adierazten dituzte,
eta zirkuluan P1-ekiko eta P2-ekiko 90º-ra kokatuak daude (elementuan 45º).
Tentsio ebakitzaile maximoaren balioa:
MAX=R= x−y
2 2
xy2
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 11
6.4.1 Noranzkoak (OSO GARRANTZITSUA!)
MZ bi eratara marraztu daiteke. Lehenengoan, (ezkerreko irudia) σx1 tentsio
normal positiboak eskuinerantz kokatzen dira, eta x1y1 tentsio ebakitzaile
positiboak gorantz. Disposizio horren abantaila nagusia zera da: 2θ angeluaren
biraketa positiboak erlojuaren aurkako noranzkoa duela, transformazio-
ekuazioetan ondorioztatzeko erabili dugun irizpide berdina. Beste eran (eskuineko
irudia), x1y1 tentsio ebakitzaile positiboak beheranzko noranzkoa dauka, 2θ
angeluaren biraketa erlojuaren noranzkoa izanik, elementuan aplikatutako
biraketaren aurkakoa.
Biak dira matematikoki zuzenak, baina guk ezkerrekoa erabiliko dugu,
argiagoa baita. Horrela, elementuaren biraketaren noranzkoa eta MZrena bat
etorriko dira.
Tentsio ebakitzaileen zeinua definitzeko berriz, erreferentziatzat beraren
noranzkoa hartzen da. Tentsio ebakitzaileak elementuaren erdiko puntuarekiko
erloju-orratzen alderanzko biraketa sortzen badu positiboa da, eta, aurreko
irizpidearen arabera, MZren goialdean kokatuko da. Eta, alderantziz, erloju-
orratzen aurkako biraketa sortzen badu, MZren behealdean egongo da puntua.
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 12
Irizpide horrek, positibo-negatibo kontzeptua barik biraketa kontuan hartzen
duenez, tentsio-egoera argiago azaltzen du.
6.4.2 Mohr-en zirkulua eraikitzeko pausoakPuntu bateko tentsio-egoera ezaguna izanik, MZ eraiki nahi da, tentsio eta
norabide nagusiak aztertzeaz gainera, edozein orientaziotan izango dituen
tentsioak ezagutzeko. Datu izango dira x, y eta xy .
1. Ardatz-sistema marraztu: horizontalean x1 ardatza izango da (positiboa
eskuinerantz) eta bertikalean x1y1 (positiboa gorantz)
2. C puntua aurkitu: C puntua MZren zentroa izango da, eta
(σC=σ x+σ y
2 , τx1y1=0) puntuan egongo da
3. A puntua aurkitu: A puntuak x aurpegiko tentsio-egoera adierazten du.
x1= x eta x1y1=−xy koordenatuetan dago (erlojuaren orratzen aurkako
norazkoa)
4. B puntua aurkitu: B puntuak berriz, y aurpegiko tentsio-egoera adierazten du,
eta x1y1= xy koordenatuetan dago (erlojuaren orratzen aldeko noranzkoa)
5. A eta B puntuak lotuz, AB lerroa zirkuluaren diametroa da, eta x ardatza C
puntuan ebakitzen du, C Mohrren zirkuluaren zentroa izanik. A eta B puntuak
90º-ra dauden elementuaren bi aurpegi dira
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 13
6. C puntua zirkunferentziaren zentroa izanik, Mohren zirkulua marrazten da.
Haren erradioa formula honekin definitzen da:
OA=R=√(σx−σy
2 )2
+τxy2
7. P1 eta P2 zirkuluko puntuek plano nagusiak adierazten dituzte. Tentsio nagusien
norabidea lortzeko, MZn A-tik 1-era pasatzeko (irudiko adibidean!) erlojuaren
kontrako noranzkoan 2θ angelua biratu behar da, baita B-tik 2ra ere.
Elementuan, berriz, θ angelua biratu beharko da.
8. σ1 tentsio nagusiaren balioa: O1 zuzenaren luzera izango da. Irudia aztertuz: O1=OC+CA
OC=σx+σy
2eta OA=R=√(σx−σy
2 )2
+τ xy2 orduan,
O1=σx+σy
2+√(σx−σy
2 )2
+τ xy2
9. σ2 tentsio nagusien balioa, berriz O2 segmentuaren luzera da, eta haren
balioa:
O2=OC –CA=σx+σy
2−√(σx−σy
2 )2
+τxy2
6.4.3 MOHR-EN ZIRKULUARI BURUZKO IRUZKINAK- Plano bateko tentsio-egoera ezaguna bada, edozein planotako tentsio-egoera
ezaguna da MZ erabiliz, xy planoa bakarrik aztertzen ari garela (bi dimentsio,
tentsio laua), biratutako angeluak bikoitzak izanik (2θ) eta horien noranzkoa
kontuan hartuz.
- Tentsio uniaxial eta biaxialaren, eta ebakidura hutsaren kasuetan, MZ erraz
eraikitzen da.
- MZ eskalan marraztu, eta zuzenean erlazioak eta balioak lor daitezke hainbat
planotan. Teknika grafikoak gero eta gutxiago erabiltzen dira ingeniaritzan,
baina MZk begirada batean informazio asko eskaintzen du
- MZ deformazio-transformazioen azterketan ere erabil daiteke, hala nola inertzia-
momentuetan ere
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 14
6.5 HOOKEREN LEGEA TENTSIO LAUAN
Orain arte, elementu lau baten orientazio-aldaketak aztertu dira estatika
bakarrik erabiliz eta materialaren propietateak kontuan hartu gabe. Orain,
materiala kontuan hartuko dugu. Demagun aztertzen ari garen materiala
honelakoa dela:
- homogeneoa: materiala uniformea da pieza osoan
- isotropoa: propietate berdinak ditu norabide guztietan
- portaera elastiko-lineala: Hookeren legea betetzen du
Baldintza horietan, elementuan tentsioaren eta deformazioen arteko erlazioa
aurkitu nahi da.
Kubo infinitesimal baten ertzen luzera-aldaketak aztertuko ditugu: x , y , z
1- Deformazioak tentsioen funtzioan aztertuz:
DATUAK: σx, σy, xy , G, eta E
EZEZAGUNAK: εx, εy, εz eta xy
(bi konstante independente daude: G= E2 (1+ν) )
Tentsio normalen eraginez, dagokion ardatza deformatzeaz gainera, beste
ardatzetako luzerak ere Poissonen erlazioaren arabera deformatuko dira,
−(ν/E )σx, y . xy ebakitzaileak berriz elementuan distortsioa sortzen du, eta z
aurpegia erronbo bihurtzen ( xy , deformazio angeluarra)
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 15
ϵx=1E(σx−νσy )
ϵy=1E(σy−νσx) γxy=
τ xy
G
ϵz=−νE(σx+σy )
2 – Tentsioak ere kalkula daitezke deformazioak ezagunak badira:
DATUAK: εx, εy, εz, xy , G, eta E
EZEZAGUNAK: σx, σy eta xy
σx=E
(1−ν2)(ϵx+ν ϵy)
σy=E
(1−ν2)(ϵy+νϵx)
τxy=Gγxy
6.5.1 BOLUMEN-ALDAKETA UNITARIOAAurreko orrialdeko (6-15) irudia aztertuz:
– Hasierako bolumena: Vo = 1 · 1 · 1 = 1
– Bolumena kargapean: Vf = (1 + εx)(1 + εy)(1 + εz) = 1 + εx + εy+ εz
Luzera-aldaketa txikien arteko biderkadurak mespretxatzen dira.
– Orduan bolumen-aldaketa: ΔV = Vf – Vo = εx + εy+ εz
– Eta deformazio bolumetrikoa edo bolumen-aldaketa unitarioa:
e=ΔVV o
=ϵx+ϵy+ϵz
εx + εy+ εz ordezkatuz:
e= 1E(σx−νσy+σy−νσx−νσx−νσy)=
1E(σx−2 νσy+σy−2νσx)
e=ΔVV o
=1−2ν
E(σx+σy )
Ondorioz, materialak Hookeren legea betetzen badu, aurreko
adierazpenaren bidez edozein objekturen bolumen-aldaketa kalkula daiteke
gorputza bolumenean integratuz.
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 16
6.5.2 DEFORMAZIO UNITARIOAREN NEURKETA
Erresistentzia elektrikoko galga estentsometrikoak erabiltzen dira pieza batean
gainazaleko deformazio unitarioak neurtzeko. Txikiak
dira (lekuko efektuak hobeto neurtzeko) eta piezaren
gainazalean itsasten dira. Gorputza kargapean
dagoenean, galgak ere deformatzen dira, eta haren
erresistentzia elektrikoa aldatu egiten da. Tentsioelektrikoaren aldaketa neurtuz (ΔV), deformazioak ezagutu daitezke, eta galgen
transformazio-ekuazioak erabiliz tentsioak. Zehaztasun handia eta erantzun
azkarra dira haien ezaugarri nagusiak (10-6 ordenako deformazio unitarioko
aldaketak neurtzeko gai dira)
6.5.3 TENTSIO EGOERA TRIAXIALA
Tentsio-egoera triaxialean,
σx, σy eta σz tentsioak agertzen
dira (tentsio nagusiak), tentsio
ebakitzaileak zero izanik. Egoera
hori oso berezia da, eta
presiopean dauden edukiontziak
dira egoera horren adibide.
Elementua OZ ardatzarekiko plano
paralelo batez ebakiz gero, plano inklinatuan σ
eta tentsioak agertuko dira. Horiek xy
planoan indarren oreka-ekuazioak planteatuz
definitzen dira, σz-rekiko independenteak
izanik.
Beraz, σ eta tentsioak kalkulatzean,
tentsio lauko transformazio-ekuazioak erabil daitezke eta baita MZ ere.
Ondorio berdinak lortzen dira, elementua x eta y ardatzekiko paraleloak
diren planoekin moztuz gero.
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 17
z ardatzarekiko planoa // x ardatzarekiko planoa // y ardatzarekiko planoa //
TENTSIO EBAKITZAILE MAXIMOAK TENTSIO-EGOERA TRIAXIALEAN
(τmax)z=±σx−σy
2 (τmax)x=±
σy−σz
2 maxy=±
x− z
2
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 18
HOOKEREN LEGEA TENTSIO-EGOERA TRIAXIALEAN
Deformazioak Tentsioak
ϵx=σx
E− ν
E(σy+σz) σx=
E(1+ν)(1−2ν)
[(1−ν)ϵx+ν(ϵy+ϵz)]
ϵy=σy
E− ν
E(σx+σz) σy=
E(1+ν)(1−2ν)
[(1−ν)ϵy+ν(ϵx+ϵz)]
ϵz=σz
E− ν
E(σx+σy) σz=
E(1+ν)(1−2 ν)
[(1−ν)ϵz+ν(ϵx+ϵy)]
BOLUMEN-ALDAKETA UNITARIOA
Vo = 1·1·1 = 1 V f=(1+ϵx )(1+ϵy )(1+ϵz)
Bolumen-aldaketa unitarioa
e=ΔVV o
=V f−V o
V o=
V f
V o−1
e=(1+ϵx )(1+ϵy )(1+ϵz)
1−1=ϵx+ϵy+ϵz
e=1−2νE
(σx+σy+σz)
6.6 PRESIOPEAN DAUDEN HORMA MEHEKO EDUKIONTZI ESFERIKO ETA ZILINDRIKOAK. TENTSIO BIAXIALA
Presiopean dauden edukiontziak, likido edo gasak gordetzen dituzten
egitura itxiak dira. Adibidez: likidoak gordetzeko tanke esferikoak, gas konprimitua
gordetzeko tanke zilindrikoak, presiopean dauden hodiak, eta abar.
Edukiontzien horma kurbadunak normalki oso meheak dira, diametroarekin
eta luzerarekin konparatuz. Egitura mekaniko horiei oskol deritze.
Baldintzak: - horma mehea, r > 10t (erradio/lodiera erlazioa)
- barne-presioa > kanpo-presioa (bestela, egitura barrurantz
eraits daiteke alboko gilborduraren eraginez)
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 19
6.6.1 EDUKIONTZI ESFERIKOAKHauxe da barne-presioa jasateko edukiontzi ideala. Adibidez, xaboi-ponpak
esferikoak dira: energia minimoa eta erresistentzia maximoa dituen geometria da
esfera. Hormako tentsioa kalkulatzeko, esfera plano diametral bertikalean zatituko
dugu gasaren eragina aztertzeko.
Indarrak: - Presioa (barnekoa – kanpokoa) x Azalera (πr2)
- Tentsioa x Sekzioaren azalera: σ·2πr·t
Indarren oreka ΣFH = 0 → σ·2πr·t - Pπr2 = 0
σ=Pr2t
Ekuazio hori baliagarria da, esferaren zentrotik igarotzen den edozein
norabidetako plano ebakitzailearentzat.
Presiopean dagoen esferak σ tentsio uniformea jasango du norabide guztietan.
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 20
Edukiontzi esferiko baten kanpo-azaleran, azalerarekiko tentsio normalik
ez da agertzen. Beraz, σx = σy den tentsio biaxialeko egoeran dago. Haren
MZa puntu batera murrizten da, edozein plano orientazio-plano nagusia izanik.
Tentsio nagusiak σ1 = σ2 = Pr/2t dira, eta tentsio ebakitzailea nulua da.
Kontuan hartu behar da elementua tridimentsionala dela eta σz = 0 dela.
Tentsio ebakitzailea planoan zero da (egoera biaxiala baita), baina ebakitzaile
maximoa x edo y ardatzean biratuz agertuko dira, haren balioa τmax=σ2=Pr
4t
izanik.
Edukiontzi esferiko baten hormaren barne-azaleran, elementuak, kanpo-
azaleran dituen tentsioez gainera, z norabidean P presioa jasaten du.
σ1=σ2=pr2t
σ3=−p τmax=σ+P
2=Pr
4t+P
2
OZ ardatzarekiko perpendikularra den planotan tentsio ebakitzailea zero
da edozein orientaziotan (xy planoan zero da). XZ edo YZ planoak biratuz,
tentsio ebakitzailea maximoa OZ-rekiko 45º-ra dago (90º MZan). r/t erlazioa
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 21
oso handia bada, tentsio ebakitzaile maximoaren bigarren osagaia
mespretxa daiteke, eta orduan:
τmax=Pr4t (σ3 = -p mespretxatzearen baliokidea)
Edukiontziak gutxienez sarrera bat edukiko du, eta, horretaz gainera,
euskailuak eta hainbat osagarri. Horiek horman bermatzen direnez, tentsio-
kontzentrazioak sortzen dituzte, eta ondorioz horien inguruak indartu behar izaten
dira. Beraz, ekuazio horiek edukiontziaren edozein puntutan dira baliagarriak, ez-
jarraitutasun horien inguruetan ezik.
Edukiontzien diseinuan kontuan hartu beharreko beste faktoreak: korrosio-
efektuak, ezbeharren inpaktu eta prebentzioa, eta efektu termikoak (soldadurak,
eta abar).
6.6.3 EDUKIONTZI ZILINDRIKOAK
Horma-lodiera txikia duen edukiontzi zilindrikoa aztertuko da, kontuan izanik
bi aldeetako muturrak itxita daudela eta P barne-presioa jasaten duela.
σ1: tentsio tangentziala (uztai-tentsioa [zuncho])
σ2: luzetarako tentsioa edo axiala
Tentsio horiek oreka-ekuazioen bidez ondorioztatuko ditugu.
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 22
Tentsio tangentziala, σ1
Edukiontzia ardatz axialean bertikalki
banatuz, m-n eta p-q:
P·b·2r – σ1·2b·t = 0 → σ1=Prt
Tentsio axiala, σ2
Ardatz axialarekiko elkarzut ebakiz:
P·πr2 = σ2·2πr·t → σ2=Pr2t
Bi tentsioak konparatuz, σ1 = 2σ2 dela ohartzen gara. Beraz, luzetarako
soldadurek zirkunferentzialen halako bi indartsuago izan beharko dute.
– Kanpo-azaleran agertzen diren tentsio nagusiak: σ1, σ2 eta σz =0
( τmax )z=σ1−σ2
2=σ1
4=Pr
4t
( τmax )x=σ1
2=
Pr2t
( τmax )y=σ2
2=Pr
4t
– Barne-azaleran, σ1, σ2, σ3 = -P
(τmax)z=σ1−σ2
2=Pr
4t
(τmax)x=σy−σz
2=
Prt+P
2=
Pr2t
+p2
(τmax)y=σx−σz
2=
Pr2t
+P
2=Pr
4t+p
2
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 23
6.7 KARGA KONBINATUAK TENTSIO LAUAN
Egituren osagaiek normalki karga mota bat baino gehiago jasaten dituzte
aldi berean. Adibidez, bihurduran lan egiten duen ardatz batek makurdura eta
trakzioa jasan ditzake aldi berean.
Karga konbinatuak jasaten dituzten egitura-osagaien analisia karga
bakoitzak eragiten dituen tentsioen gainezarpenaren bidez azter daiteke.
Gainezarpena erabiltzea onargarria da, betiere tentsioek kargekiko portaera
lineala badute.
Analisia hasten da indar axialak, ebakitzaileak, makurdura-momentuak eta
bihurdurak sortutako tentsioak banaka aztertuz. Ondoren, tentsio horiek konbinatu
egiten dira, tentsio erresultanteak lortzeko. Behin puntu horretako tentsio-egoera
ezagututa, Mohrren zirkulua erabiliz tentsioak edozein orientaziotan tentsio
nagusiak kalkula daitezke transformazio-ekuazioak erabiliz.
Diseinatzean tentsio nagusiak eta tentsio ebakitzaile maximoak ezagutu
nahi dira, eta horiek materialaren tentsio onargarriarekin konparatzen dira
(hutsegite-irizpideak: Von Mises, Tresca).
Adibidez, habe landatu batek mutur librean P karga eta Mt bihurdura jasaten
ditu.
Sekzio bakoitzean, V, MF eta MT ezberdinak agertzen dira. A elementua
isolatuz, ondoko tentsioak jasaten ditu aurreko kargen ondorioz:
A σx=M f rI ln
τMt=M t rIP
eta barraren goialdean V=0
Hortik aurrera eta biratutako edozein planotan lor daitezke.
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 24
σ1,2=σx
2±√(σx
2 )2
+τ2
max= x
2 2
2
eta horiek tentsio onargarri maximoekin konparatzen dira.
Aztertutako puntua landapenetik gertu badago, makurdura-momentua
handiagoa da. Beraz, A puntua landapenaren gainean aztertzea komeni da.
Aztertzeko beste puntu interesgarri bat lerro neutroko B puntua da:
B x=0
τMt=M t rIP
eta τV=4V3A beraz, τ=τMt+τV=
M t rIP
+4V3A
B elementuak ebakitzaile hutsean lan egiten du:
Egiturako analisi-puntuak aukeratzean, tentsio normal edo ebakitzaileak
maximoak diren posizioek dute interes berezia. Aukeraketa on baten bidez, tentsio
maximo absolutuak lor daitezke, puntu asko aztertu beharrik izan gabe.
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 25
6.8 TENTSIO NAGUSIAK HABEETAN
Habe batean, tentsio normala: σ=My
I
tentsio ebakitzailea: τ=VQbI
Tentsio makurtzailea, σ, sekzioan LNtik urrunen dauden puntuetan da
maximoa, eta zero da LN-n.
Tentsio ebakitzailea, τ, nulua da LNtik urrunen dauden puntuetan, eta
maximoa LN-n,
Kasu askotan, egitura bat diseinatzean, tentsio horiek aztertzea nahikoa
izaten da. Hala ere, analisi sakonago batek puntu guztietan tentsio nagusi eta
ebakitzaile maximoak aztertzea eskatzen du.
Sekzio bateko bost puntu aztertuko ditugu: A, B, C, D eta E.
σ=MyI ln
τ=VQbI ln
(uniaxiala muturretan, ebakitzaile hutsa zentroan)
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 26
Eskemak aztertuz, tentsio nagusien bilakaera erakusten dute sekzioan
zehar.
Habearen goialdean, konpresio-tentsio nagusiak norabide horizontalean
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 27
jarduten du. LNrantz hurbiltzen garen heinean, tentsio-egoera biratuz doa, LN-n
45º-ra iristeraino arte. Bertan konpresio-tentsioa desagertu eta tentsio-egoera MZn
ardatz bertikalean agertzen zaigu, tentsio ebakitzaile huts bihurtuz. Beherantz
jarraituz gero, tentsio nagusiaren norabidea horizontalerantz bueltatzen da, trakzio
hutseko egoera lortzeraino. Tentsio-egoera linealki aldatzen da goitik behera.
Tentsioak habearen puntu guztietan aztertuz, tentsio nagusien bilakaera
zehaztu daiteke. Tentsio-egoera adierazteko, bi kurba mota erabiltzen dira.
Grafikoetako tentsioen ibilbideek kurba ortogonalek tentsio nagusien
norabideak adierazten dituzte. Irudiko adibidean (ezkerrekoa), lerro jarraituek
trakzio-tentsio nagusiak adierazten dituzte, eta ez-jarraituek konpresiozkoak. Bi
kurbak beti elkarzut ebakitzen dira. Habeko goiko eta beheko azaleretan, tentsio
ebakitzailea zero izanik, ibilbideak horizontalak edo bertikalak dira.
Tentsioen ingurune grafikoetan (contorno de tensiones), berriz, tentsio
nagusi berdineko puntuak lotzen dira (eskuineko irudia).
Lerro jarraituek trakzio-tentsio nagusiak adierazten dituzte; lerro ez-jarraituak, berriz, konpresio
tentsio nagusiak dira; ezkerreko irudian, tentsioen ibilbideak eta eskuinekoan, tentsioen ingurunea.
6.9 EBAKIDURA LAUKIZUZENEKO HABEEN DISEINUA
Habe baten diseinuan, makurdura-momentuaren balio maximo absolutua
zer sekziotan dagoen identifikatzea erabakigarria da, hark sortzen baititu
gainazalean (normalki) tentsio normal maximoak. Ondoko formulak definitzen du:
σMAX=M ·yMAX
I ln
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 28
Profil mota batzuetan, σx tentsio maximoa sekzioaren barnean ager daiteke.
Horrez gainera, kasu batzuetan indar ebakitzaileek, IVMAXI, makurdura-
momentuek, IMMAXI baino garrantzia handiagoa dute.
Habe baten diseinuan faktore horiek guztiak kontuan hartu behar dira,
profilik egokiena aukeratzeko. Tentsio onargarria berdina izanda, material
berdineko habeen artean luzera unitateko pisu gutxien duen profila aukeratu behar
da, merkeena izango baita.
Diseinuak pauso hauek ditu:
1. Aukeratutako materialarentzat onarg eta onarg balioak propietateen
tauletatik eskuratzen dira, edo diseinu-eskakizunek definituak daude,
haustura- edo isurpen-tentsioak segurtasun-koefizienteaz zatituz
2. Indar ebakitzaile eta makurdura-momentuen diagramak marrazten dira
diseinuko kargen arabera, eta IVMAXI eta IMMAXI agertzen diren sekzioak
identifikatzen dira.
3. Habearen diseinua, makurdura-momentu maximoa dagoen sekzioan,
y = ±h/2 gainazaleko tentsio normalak definitzen du. Sekzioaren modulu
erresistente minimo onargarria definitzen da: S=I z
h /2. σmax σonarg-z
ordezkatuz, Smin=IM MAX Iσonarg
lortzen da4. Habeen profilen artean, S > Smin direnak bakarrik hartzen dira kontuan, eta
talde horretatik pisu espezifiko txikiena duena aukeratzen da. Profil hori
izango da ekonomikoena, eta σmax ≤ σonarg erlazioa beteko da. Hala ere, ez
da beti S balio txikiena duena aukeratzen, aukeraketan beste faktore batzuk
ere kontuan hartzen baitira, hala nola profilaren altuera-muga edo habearen
deformazio onargarria.
5. Orain aukeratutako profilak indar ebakitzaile maximoa jasaten duen
frogatuko da. Kasu orokorrean, tentsio ebakitzaile maximoaren balioa:
τmax=I V max I Q
b·I ln
Sekzio laukizuzena bada, τmax=32
IV max IA
eta T-bikoitz eta hegal zabaleko T-bikoitz profiletan esfortzu ebakitzaile
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 29
guztia ariman banatua dagoela joz:
τmax=I V max IAarima
max≥onarg bada, aukeratutako profila egokia da. Kontrako kasuan
hurrengo neurriarekin saiatu edo profil mota aldatu beharko da.
6. IPN, IPE eta HEB profilen kasuan beharrezkoa da frogatzea arimen eta
hegalen arteko lotunean tentsio maximoak onargarria ez duela gainditzen.
Aurreko diseinu-prozedura trakzio- eta konpresio-tentsio onargarri berdinak
dituzten materialentzat definitu da. Trakzio eta konpresio σonarg-ak ezberdinak
badira, profilaren aukeraketan bakoitza bere aldetik aztertu beharko da.
Profila LNrekiko simetrikoa ez bada, trakzio- eta konpresio-tentsio
maximoek ez dute zertan IMMAXI den sekzioan agertu beharrik. Bat IMMAXI den
lekuan eta bestea IMMINI-an agertuko da. Horrela, bigarren pausoari IMMAXI-aren
eta IMMINI-aren kalkulua gehitu behar zaio, eta hirugarrenak trakzio- eta konpresio-
tentsioak kontuan hartuko ditu.
6.10 INDAR ZENTRIFUGOAREN ERAGINA ERAZTUNETAN
Uniformeki banatua dagoen indar erradiala eraztun mehe zirkular baten
perimetroan aplikatua badago, eraztunean luzapen uniforme bat gertatzen da.
Eraztunean gertatzen den luzapen-indarra definitzeko, plano diametral batean
moztu eta solido askearen oreka-ekuazioak aplikatuko dizkiogu:
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 30
dP=q· r · dρ → P=∫q · r · sinρ ·d ρ=q ·2r ·1 (0tik π2
ra)
σ= P2A
=q ·2r ·12·t ·1
=qrt
q: karga uniformea zirkunferentziaren luzera unitateko
r: zirkunferentziaren erradioa
Fz INDAR ZENTRIFUGOAK SORTUTAKO TENTSIOA
q=m·ω2 · r=m· v2
r
P2=
q·2r2
=q· r baina q=m· v2
r→
P2=m· v2
r· r=γ
g· A·v 2
σ=P /2
A=γg
· Av 2
A=γg
·v 2
non, m: masa luzera unitateko
q: Fz luzera unitateko
γ : pisu espezifikoa
6.11 MAKURDURA ETA BIHURDURA KONBINATUAK ARDATZ ZIRKULARRETAN
Transmisio-ardatzen aplikazio praktikoetan, ohikoa da ardatza aldi berean
makurdura- eta bihurdura-momentuen pean egotea.
Polea, engranaje edo bolante batek ardatz bati eragindako indarrek
makurdura eta bihurdura sortzen dituzte. Adibidez, ondorengo irudiak mutur
batean landatua dagoen ardatz zirkular bat erakusten digu, beste muturrean P
indar bertikala ardatzetik R distantziara aplikatua dagoela.
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 31
Kasu honetan, indar bertikalak ardatzean bi karga sortuko ditu: Mt bihurdura-
momentua (Mt = P R), eta P indar ebakitzailea aske dagoen muturrean.
Bihurdura-momentua konstantea da ardatzean zehar. P indar ebakitzaileak,
berriz, landapenera dagoen distantziarekiko proportzionala den makurdura-
momentu aldakorra sortzen du (Mf = -P (L – x)).
Ardatzean eragindako tentsio maximoa aztertzeko, Mt-k, Mf-k eta V-k
sortutako tentsioak kontuan hartu beharko dira,
1. Mt bihurdura-momentuak sortutako tentsio ebakitzaileak (ardatz osoan
konstante)
τmax=M t
0,2d3=M t
πd 3
16
=M t
2Z f=
M t
Z t (ebakitzaile maximoa gainazalean)
non Zt = 0,2 d3 eta Zf = 0,1 d3 modulu erresistentea baita
[τ= Mt r12π r 4
=M t
12π r 3
=M t
12π(d
2)3=
Mt
πd 3
16
=Mt
0,2d3 ]11/10/30 r3.2 MEE 6 - 32
2. Mf makurdura-momentuak sortutako tentsio normalak (maximoa
landapenean)
σmax=M f
πd 3
32
=M f
0,1d 3=M f
Z f (maximoa gainazalean, ±ymax)
[σ=M f rIz
=M f r14π r 4
=Mf
14π r 3
=M f
14π d3
8
=Mf
πd 3
32
=M f
0,1d 3 ]3. V ebakitzaileak sortutako tentsio ebakitzailea
τmax=43
VA=4
3Pπd2
4
[τ=V y Qz
ty I z=
P 23
r 3
2r(14π r 4)
=43
P(π r 2) ]
y 1=4r3π
A1=π r 2
2
Qz=π r 2
24r3π
=32
r 3
V-k sortutako tentsio ebakitzaileek normalki bigarren mailako garrantzia
dute. Haren balio maximoa sekzioaren LN-n kokatzen da, makurdurak eraginik ez
duen puntuan.
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 33
Landapenean, goiko gainazaleko puntuan agertzen diren tentsioak:
σmax=σx
2+√(σx
2 )2
+τ2=σx
2+1
2 √σx2+4 τ2
σmax=Mf
2z+1
2 √(M f
z )2
+4(M t
2z)2
= 12z (M f+√M f
2+Mt2)=
12 (M f+√M f
2+M t2)
z=
M fIDEALA
z
Lortutako σMAX Mf baliokide (ideal) batek makurdura hutsean lortutako balio
berdina dela ondorioztatzen da, non Mf baliokide horren balioa baita:
M fi=1
2 (M f+√M f2+M t
2)
Tentsio ebakitzaile maximoa, τMAX Mohrren zirkuluan aztertuz:
τMAX = MZ erradioa = MZ diametroa2
=σMAX−σmin
2
σMAX=1
2zf(M f+√M f
2+M t2) σmin=
12zf
(M f−√Mf2+M t
2)
τMAX=√M f
2+M t2
2zfτMAX=
MtIDEALA
zt non zt = 2 zf
Ardatzak egiteko erabiltzen diren metal harikorretan normalki
MAXonarg=0,55·MAX
onarg denez, diametroa zehazteko tentsio ebakitzaile maximoa erabili
ohi da irizpide gisa.
τMAX τonarg-rekin berdinduz:
τMAX = τonarg τMAXonarg=√M f
2+M t2
πd 3
16
→ d=3√16√M f2+Mt
2
π τMAXonarg
11/10/30 r3.2 MEE 6 - 34
7. GAIA MAKURDURAK HABETAN ERAGINDAKO DEFORMAZIOAK
7.1 SARRERA7.2 DEFLEXIO-KURBAREN EKUAZIO DIFERENTZIALA7.3 DEFLEXIO-KURBAREN EKUAZIO DIFERENTZIALAREN INTEGRAZIO
BIKOITZA7.4 MOHR-EN TEOREMAK
7.4.1 Mohr-en 1. teorema7.4.2 Mohr-en 2. teorema
7.5 HABE KONJOKATUAREN METODOA7.5.1 Mohr-en 3. teorema edo habe konjokatuaren 1.a7.5.2 Mohr-en 4. teorema edo habe konjokatuaren 2.a
7.6 GAINJARPEN-PRINTZIPIOA7.7 SEKZIO ALDAKORREKO HABEAK (habe ez-prismatikoak)
7.1 SARRERA
Habe bat kargatzean, hasieran zuzena zen luzetarako ardatza kurba-forma
hartuz deformatzen da, eta deformazio-kurba horri deflexio-kurba, makurdura-kurba edo kurba elastiko deituko diogu. Gai honetan, deflexio-kurbaren ekuazioa
nola lortzen den azalduko da, ondoren habearen ardatzean zehar puntu
zehatzetan deflexioa kalkulatzeko baliagarria izango dena. Deflexioen kalkulua
oso garrantzitsua da estatikoki lan egiten duten habe eta egituretan. Egoera
zehaztugabeak hurrengo gaian aztertuko dira.
7.2 DEFLEXIO-KURBAREN EKUAZIO DIFERENTZIALA
xy planoa simetria-planoa bada eta karga plano horretan aplikatua badago,
orduan xy planoa makurdura-planoa izango da.
DEFLEXIOA (y): y norabidean puntu baten translazioa (desplazamendua), x
ardatzetik deflexio-kurbara neurtua.
11/10/30 r3.2 MEE 7 - 1
BIRAKETA-ANGELUA (θ): x ardatzak eta deflexio-kurbaren tangenteak
definitzen duten angelua.
arkua: ds = ρ · d θ
κ kurbadura: κ=1ρ=d θ
ds
ρ kurbadura erradioa izanik
tanθ=dydx → θ=arctan(dy
dx ) azken horrek malda adierazten du
ds · cos θ = dx → ds= dxcosθ
cos θ ≈ 1 denean, θ oso txikia da eta, beraz, tanθ≃θ=dydx
→ ds=dx
κ=1ρ=d θ
ds=d 2 y
dx2 kurbadura
11/10/30 r3.2 MEE 7 - 2
Materiala elastiko-lineala bada eta Hookeren legea betetzen badu, orduan
kurbadura: κ=1ρ=− M
EI(ikus 5. gaia). Lehen lortutako kurbaduraren
ekuazioarekin erlazionatuz:
d 2 ydx2 = d θ
dx2=− MEI (1) DEFLEXIO-KURBAREN EKUAZIO DIFERENTZIALA
Ikurren hitzarmena gogoratuz:
Eta (1) ekuazioa diferentziatuz:
d 3 ydx3 =−
( dMdx )EI
=− VEI
eta d 4 ydx 4 =−
(dVdx )EI
= qEI
Deflexio-kurbaren ekuazioak lortzeko (biraketa eta desplazamendua),
hainbat aldiz integratu beharko da.
θ=dydx
=∫− MEI
dx+C1 biratutako angelua
y=∫∫[− MIE
dx ]dx+C1 x+C2 gezia
7.3 DEFLEXIO-KURBAREN EKUAZIO DIFERENTZIALAREN INTEGRAZIO BIKOITZA
d 2 ydx2 =−
MEI (1) ekuazioa bigarren mailako ekuazio diferentziala da; beraz,
hura askatzeko bitan integratu behar da.
PAUSOAK
- Makurdura-momentuaren ekuazioa formulatu luzerarekiko.
Karga edo sekzioa bat-batean aldatzen bada, adierazpen banatuak
egongo dira habe zati bakoitzarentzat. Zati bakoitzean M-ren adierazpena
ordezkatzen da ekuazio diferentzialean.
- Lehen integrazioak θ=dydx angeluaren adierazpena lortzen du, eta C1 integrazio
11/10/30 r3.2 MEE 7 - 3
konstantea ezezagun gisa agertzen da.
- Bigarren integrazioak y deflexioaren adierazpena ematen du, oraingoan C2
integrazio konstantea agertuz
- C1 eta C2 integrazio konstanteak kalkulatzeko, euskarrietako mugalde-
baldintzak (y eta y '=dydx
=θ ) eta integrazio-eremuan jarraitasun-baldintzak
(y eta y') aplikatzen dira. Baldintza bakoitzak konstante bat edo bi jasotzen
dituen ekuazio bat eskaintzen du. Baldintza kopurua konstante kopuruarekin
egokitzen denez, ekuazio-sistema askatuz lortzen dira konstanteen balioak.
Konstante horiek ekuazioan ordezkatuz, deflexio-kurbaren ekuazio orokorrak
lortzen dira.
Deflexioak lortzeko era horri segidako integrazio-metodo deritzo.
Adibideak:
1) C1 → θ=dxdx
=0 x=L2
C2 → x = 0 → y = 0
x = L → y = 0
2) C1 → θ = 0 → x = 0
C2 → x = 0 → y = 0
3) C1 → x = a → θ1 = 0
C2 → x = a → y1 = 0
C3 → x = 0 → y = 0
C4 → x = L → y = 0
11/10/30 r3.2 MEE 7 - 4
7.4 MOHR-EN TEOREMAK
Integralaren esanahi matematikoa funtzio batek sortutako azalera denez,
makurdura-momentuaren diagramako azaleraren propietateak erabiltzen ditu.
Bereziki erabilgarria da, puntu jakin batean θ angelua eta y gezia ezagutu nahi
direnean.
7.4.1 MOHR-EN LEHEN TEOREMA
A eta B habearen
makurdura-kurbako
edozein bi puntu badira,
A eta B puntuen
tangenteek osatzen duten
angelua zera izango da:
makurdura-momentuen
diagraman bi puntu
horien artean dagoen
azalera zati habearen
makurdurarekikozurruntasuna.
θB /A=S
EIz
κ=1ρ=d θ
ds≈ d θ
dx=−
MEI
d θ=M · dx
EI=
dsEI
θB /A=∫A
B
d θ=∫xA
xB MEI
dx=[ MEI
(xA−xB)]x A
xB
= SEI (radianetan!!)
Lehen teoremaren aplikazioa:
Mutur bat landatua eta bestea libre duten habeen biraketa-angelua lortzeko:
11/10/30 r3.2 MEE 7 - 5
θB /A=SAB
EI=
12
P ·L· L
EI
Adibideak:
θB? θB?
7.4.2 MOHR-EN BIGARREN TEOREMA
A eta B makurdura-
kurbako bi puntu badira,
B-tik A-ren tangentera
dagoen distantzia honela
lortzen da: momentuen
diagraman A eta B
puntuen arteko
azaleraren B-rekiko
momentu estatikoa (A eta
B puntuen arteko
makurdura-momentuen
diagramako azalera bider azaleraren grabitate-zentroarekiko distantzia) zati habearen zurruntasuna.
δB /A=S · xG
EI , xG=x B puntutik momentuen azaleraren GZrako distantzia izanik
OHARRA: B-tik A-ren tangentera distantzia norabide bertikalean neurtuko da.
11/10/30 r3.2 MEE 7 - 6
d δB/ A=x 1· d θ , eta d θ=MEI
d x denez, d δ=x 1MEI
d x
δB /A=∫A
B
d δ=∫xA
xB
x 1MEI
dx=∫x A
x B
(x B−x ) MEI
dx=SAB xG (B )
EI
Bigarren teoremaren aplikazio zuzena: Mutur bat landatua eta bestea libre
dituzten habeetan gezia kalkulatzeko balio du.
δB /A=[1
2P · L ·L]· 2
3L
EI
δB? δB?
7.5 HABE KONJOKATUAREN METODOA
Makurdura bakunean dauden habeetan, puntu bateko eta lor daitezke
habe konjokatuan puntu horretan estatikako ekuazioak aplikatuz.
Hasieran karga-egoera jakin bat jasaten duen habea izango dugu. Horri
jatorrizko habe (viga primitiva) deituko diogu.
Haren habe konjokatuaren karga izango da karga errealek habean sortzen
duten makurdura-momentuen diagrama. Habearen makurdura-momentuen
11/10/30 r3.2 MEE 7 - 7
diagrama kalkulatu ondoren, EIz zurruntasunaz zatituz habe konjokatuaren q'
karga-diagrama lortzen da. Ondorioz, habe konjokatuak M/EIz indar-sistema
banatua jasaten du.
M (+) --> Indar banatua berantz (↓)
M (-) --> Indar banatua gorantz (↑)
Habe konjokatuaren puntu bateko indar ebakitzailea jatorrizko habean puntu
horrek duen tangentearen angelua da, eta puntu horretako makurdura-momentua
habearen gezia da. Metodo hori Mohrren teoremen erabilera ezkutua da.
- HABE KONJOKATUAREN PROPIETATEA
“Jatorrizko habeak bermapuntu batean biratutako angelua habe konjokatuan
bermapuntu horren erreakzioa zati habearen zurruntasuna izango da”
θA=RA
'
EI, non R'A habe konjokatuan oreka planteatuz:
∑MB' =0 RA
' L=12
PabL
a(13
a+b)+12
PabL (2
3b)
Frogapena: Demagun bi muturretan bermatua dagoen habe bat dugula.
Haren habe konjokatua haren momentuen diagrama jasango duen habe berdina
izango da. Jatorrizko habeko A puntuak biratutako angelua θA Mohrren teoremak
aplikatuz:
θA=δB / A
L (integratzean momentuen diagramaren azalera kalkulatzen da)
baina δB /A=SB /A · xG
EIdenez, orduan θA=
1L
·SB / A· xG
EI
11/10/30 r3.2 MEE 7 - 8
eta R'A1 erreakzioa habe konjokatuan:
RA1' =
SB /A· xG
L, beraz, θA=
1L
·RA1
' ·LEI
=R A1
'
EI
Adibideak
1. ∑M B' =0
(habe konjokatuan)
R1' ·L−
12
ML· 23
L=0
R1' =
13
ML
∑M A' =0
R2' · L−
12
ML· 23
L=0
R2' =
16
ML
2.
11/10/30 r3.2 MEE 7 - 9
3. Azalera osoa = 0 θA(-) θB(+)∑M B
' =0
R1' ·L−
18
ML·(L2+
13
· L2)+1
8ML(2
3· L
2)=0
R1' =
ML12
−ML24
=ML24
R2' =
ML24
7.5.1 MOHRREN 3. TEOREMA EDO HABE KONJOKATUAREN 1. TEOREMA
Soilki bermatua dagoen habe bateko puntu bateko tangentearen angelua zera da:
haren habe konjokatuak puntu horretan jasaten duen indar ebakitzailea zati
habearen zurruntasuna.
FROGAPENA
AB habea soilki bermatua badago, C puntuan tangentearen angelua
θC = θA – θA/C izango da. Habe konjokatuaren propietatearengatik:
θA=R1
'
EI
11/10/30 r3.2 MEE 7 - 10
eta Mohrren 1. teoremaren arabera: θA /C=SC
EI
Beraz, θC=R1
'
EI−
SC
EI, baina R1 - SC = VC → θC=
V C'
EI
Aplikazioa: Mohrren 3. teoremak soilki bermatuak dauden habeetan
biraketa-angeluak lortzeko balio du.
Adibideak: θC?
θA?
θMAX?
7.5.2 MOHR-EN 4. TEOREMA EDO HABE KONJOKATUAREN 2. TEOREMA
Soilki bermatua dagoen habe batean edozein puntutako gezia zera da habe
konjokatuan: puntu horretan dagoen makurdura-momentua zati habearen
zurruntasuna da
FROGAPENA:
AB habea aztertuz, C puntuan gezia:
yC = θA x - yC/A
θA=R ' 1
EI eta y C/ A=
SC · xG
EI
direnez:
→ yC=R1
' · xEI
−SC ·x G
EI=
M C'
EI
11/10/30 r3.2 MEE 7 - 11
Aplikazioa: Soilki bermatutako habeetan gezia edozein sekziotan
kalkulatzeko balio du.
ad, yC? yMAX?
BERMA-BALDINTZAK ANTZINAKO HABEA → HABE KONJOKATUA
BERMAPUNTU SOILAy = 0 θ ≠ 0
BERMAPUNTU SOILAM' = 0 V' ≠ 0
LANDAPENAy = 0 θ = 0
HEGALKINAM' = 0 V' =0
HEGALKINAy ≠ 0 θ ≠ 0
LANDAPENAM' ≠ 0 V' ≠ 0
GILTZADURAy1 = y2 θ1 ≠ θ2
TARTEKO BERMAPUNTUAM1' = M2' V1' ≠ V2'
TARTEKO BERMAPUNTUAy = 0 θ1 = θ2
GILTZADURAM' = 0 V1' = V2'
11/10/30 r3.2 MEE 7 - 12
7.6 GAINJARPEN-PRINTZIPIOA
Egitura batean kargen konbinazioaren efektua karga bakoitza bere aldetik
aztertu eta emaitzak batuz lor daiteke, ondorengo baldintzak betetzen badira:
1- Efektu bakoitza linealki erlazionatua dago sortu duen kargarekin.
2- Edozein kargak sortzen duen deformazioa txikia da, eta beste kargen
aplikazioan ez du eraginik.
Karga multiaxialen kasuan, materialaren proportzionaltasun-muga
gainditzen ez bada lehen baldintza betetzen da. Eta bigarrena betetzeko nahikoa
da edozein sekziotan aplikatutako kargek beste sekzioetan sortutako
deformazioak haien tentsioen kalkuluan eraginik ez izatea.
Adibidea:
Gainjarpena oso erabilerraza da, karga-sistema ezagunak diren karga-
baldintzetan banatzen bada, horien deflexioak ezagunak izanik.
R1' =
13
M 1L+16
M 2L R2' =
16
M 1L+13
M 2L
Gainjarpen-printzipioa oso erabilia da Materialen Mekanikan (MEE), eta
11/10/30 r3.2 MEE 7 - 13
onargarria da aztertzen den propietatea aplikatutako kargekiko lineala bada.
Habeen deflexioen kasuan, gainjarpen-printzipioa baliagarria da, materialak
Hookeren legea betetzen badu eta sekzioetan biraketa-angeluak eta geziak txikiak
badira.
– Angelu txikien baldintzak kurba elastikoaren ekuazio diferentzialaren
linealtasuna bermatzen du.
– Gezi txikien baldintzak bermatzen du kargen akzio-lerroak eta erreakzioak
era adierazgarrian ez direla aldatuko.
7.7 SEKZIO ALDAKORREKO HABEAK(habe ez-prismatikoak)
Orain arte habe prismatikoetan erabili diren metodoak habe ez-
prismatikoetan ere erabil daitezke y eta θ lortzeko.
Ondoko habeak, adibidez:
Habe batek bere zeharkako sekzioan aldaketa bortitza badauka, sekzio
horretan tentsio-kontzentrazioak agertuko dira. Hala ere, tentsio lokal horiek ez
dute gezien kalkuluan eragin nabarmenik izango.
Habe koniko batean, orain arte erabilitako habe prismatikoen teknikek
emaitza nahiko onak ematen dituzte, betiere konoaren angelua txikia bada.
Adibidea. Kalkulatu ondorengo habea kurba elastikoaren ekuazio
diferentzialaren bidez:
11/10/30 r3.2 MEE 7 - 14
Datuak: P, L, E, I
1. METODOA: KURBA ELASTIKOAREN EKUAZIO DIFERENTZIALA
(ad)
2. METODOA: MOHRREN TEOREMAK
(ad)
Habearen kurbadura 1ρ=M
EIda. Habearen inertzia-momentua konstantea
ez bada ere (Iz ≠ kte), konstantea dela joko dugu:
Adibidean, inertzia-momentua 2Iz-tik Iz-ra txikitzean, kurbadura berdina
mantentzeko1ρ= M
E · 2I=
M /2EI makurdura-momentua proportzio berdinean gutxitu
beharko da.
3. METODOA: GAINJARPEN-PRINTZIPIOA
(ad)
11/10/30 r3.2 MEE 7 - 15
8. GAIA HABE HIPERESTATIKOAK
8.1 SARRERA
8.2 DEFLEXIO-KURBAREN EKUAZIO DIFERENTZIALAK
ERABILIZ EGINIKO ANALISIA
8.3 MOHR-EN TEOREMAK ETA GAINJARPEN PRINTZIPIOA
ERABILIZ EGINIKO ANALISIA
8.4 HABE JARRAITUAK
8.1 SARRERA
Habe hiperestatikoetan, estatikako ekuazioak aplikatzean, oreka lortzeko
beharrezkoak diren baino erreakzio gehiago agertzen dira.
– Habe isostatikoetan: erreakzioak ezagutuz V, M → θ, y
– Habe hiperestatikoetan: estatikako oreka-ekuazioak ez dira nahikoak
erreakzioak lortzeko. Ekuazio osagarriak beharko dira oreka-ekuazioak
osatzeko, deformazioetan oinarriturik
Hiperestatikotasun-maila: ezezagun kopurua – ekuazio kopurua
Soberan dauden erreakzioak → soberakin estatikoak
HABE HIPERESTATIKOEN ADIBIDEAK
1-
Hiperestatikotasun-maila = 4 ezezagun – 3 ekuazio = 1 soberakin estatiko
(soberan dagoen erreakzio bat)
h = 4 err. - 3 ek. = 1
11/10/30 r3.2 MEE 8 - 1
Erreakzio bat indar (VB) edo momentu (MA) batez ordezkatuz egitura askatua edo lehen mailako egitura (estructura liberada o primaria) lortzen da.
2-
h = 6 err. – 3 ek. = 3
Egitura askatua edo lehen mailako egitura lortzeko, sei erreakzioetako hiru
aukeratu, eta hiru indar edo momentuz ordezkatu behar da (adibide honetan, MB,
HB, VB edo MA, MB, HB).
3-
h = 4 err. - 3 ek. = 1
Ezezaguna den erreakzioetako bat indar batez ordezkatu beharko da.
Egitura askatu ondoren, indar edo momentu ezezagun horien balioak
ezagutzeko, habearen deformazioan haien eragina erabiliko da baldintza gisa.
Helburua: soberako erreakzioak kalkulatzea, eta behin erreakzioak
ezagututa → σ, y, θ (tentsioak, geziak, angeluak).
11/10/30 r3.2 MEE 8 - 2
8.2 DEFLEXIO-KURBAREN EKUAZIO DIFERENTZIALAK ERABILIZ EGINIKO ANALISIA
Prozedura estatikoki definitua dagoen habearen antzekoa da.
1- Ekuazio diferentziala planteatu.
2- Bitan integratu, haren emaitza orokorra lortzeko.
3- Ingurune-baldintzak aplikatu, integrazio konstanteak lortzeko.
Beti egongo dira nahiko ingurune-baldintza, ez bakarrik konstanteak
lortzeko, baita soberako erreakzioak lortzeko ere.
Adibidea:
soberako erreakzioa VB aukeratuz (edo MA)
8.3 MOHR-EN TEOREMAK ETA GAINJARPEN-PRINTZIPIOA ERABILIZ EGINIKO ANALISIA
PROZEDURA:
1. Soberako erreakzioak zein diren zehaztuz hasiko gara.
2. Ondoren soberan dauden erreakzioei dagozkien bermapuntuak/landapenak
kentzen dira.
3. Soberako erreakzioei dagozkien desplazamenduak edo biraketak
zehaztuko ditugu (ingurune-baldintzak).
4. Gainjarpen-printzipioa aplikatuz, puntu bateko desplazamendua karga
11/10/30 r3.2 MEE 8 - 3
errealek eta soberakoek puntu horretan sortutakoak batuz lortzen da.
5. Soberan dauden bermapuntuen kasuan, desplazamenduen batura zero
izango da. Soberako landapenen kasuan, berriz, habeak biratutako angelua
ere zero izango da.
6. Aurretik definitu diren desplazamenduen ekuazioetan ingurune-baldintza
horiek aplikatuz (desplazamendua zero edo/eta angelua zero), soberako
erreakzioen balioa kalkulatzen da.
7. Gainerako ekuazioak oreka-ekuazioen bidez definitzen dira.
Adibidea:
soberako erreakzioa VB aukeratuz (edo MA)
8.4 HABE JARRAITUAK
Bi bermapuntu baino gehiago dituzten habeak, habe jarraitu deritze, eta
ohikoa da industria-eraikin, hodi, zubi eta bestelako egituretan horiek aurkitzea.
Kargak bertikalak badira eta deformazio axialik ez badago, orduan erreakzio
guztiak bertikalak izango dira.
Normalki bermapuntu horietako bat finkoa da, eta besteak labainkorrak dira.
Orduan, erreakzio kopuruak bermapuntu kopuruarekin bat egingo du, eta
11/10/30 r3.2 MEE 8 - 4
hiperestatikotasun-maila tarteko bermapuntu kopurua izango da, barnean geratzen
direnak (kopuru osoa ken bi).
Aurreko irudiko habean: - erreakzio kopurua: 5
- hiperestatikotasun-maila: 3
Lehen aipatutako edozein metodorekin azter badaiteke ere, erabilgarriena
gainjarpen-metodoa da (Mohrren teoremekin batera). Horrela, hiru momentuen metodoa garatuko dugu, habe jarraituak era sistematizatuan askatzea
ahalbidetuko baitigu.
Tarteko bermapuntu bakoitza analizatuko dugu, bermapuntuaren bi aldeetan
dauden habe zatiak aztertuz. Tarteko bermapuntuetan agertzen diren momentu
makurtzaileak soberako erreakzio bezala aukeratuko dira.
Adibidea:
(...)
HABEAREN MUTUR BATEAN EDO BIETAN LANDAPENA. Habeko mutur bat
edo biak landatuak baldin badaude, ezezagun kopurua handituko litzateke.
Egoera hori saihesteko, landapena beste habe zati batez ordezkatzen da,
zati berri horrek inertzia-momentu infinitua duela.
Inertzia infinitua duen zati gehigarri horren zeregina A bermapuntuan
biraketa saihestea da, landapenak sortzen zituen baldintza berdinak lortuz.
Ordezko habean A eta B puntuetan lortutako makurdura-momentuak eta
11/10/30 r3.2 MEE 8 - 5
berezko habeak dituenak berdinak dira. Gehitutako habe zatiaren luzerak ez du
inongo eraginik emaitzan (> 0 bada), hiru momentuen ekuazioan beti desagertuko
baita.
Adibidea:
Hiperestatikotasun-maila 2
11/10/30 r3.2 MEE 8 - 6
9. GAIA GILBORDURA
9.1 SARRERA
9.2 KARGA KRITIKOA
9.3 EULER-EN FORMULAK
9.4 ZUTABEAREN BERMA-BALDINTZAK
9.5 EULER-EN FORMULAREN APLIKAZIO-EREMUA
9.6 OMEGA ω KOEFIZIENTEEN METODOA
(ERREFERENTZIA-LIBURUA: Resistencia de Materiales, Manuel Vázquez)
9.1 SARRERA
Konpresioan lan egiten duen habe lerdenari zutabe deitzen zaio:
σ=PA
≤σonarg
Karga axialak balio kritiko bat gainditzen duenean,
zutabeek alboko makurduragatik huts egiten dute, nahiz eta
konpresio-tentsioak materialaren isurpen-muga gainditu ez.
Gilbordura (pandeo) ez da erresistentzia-arazo bat,
desoreka-egoera bat baizik.
P → P·e → e↑ → P·e↑ → e↑↑ → P·e↑↑
Gilbordura-haustura (alboko makurdura), sekzioaren
inertzia-momentu txikienarekin edo kurbadura-
erradioarekin erlazionatua dago.
11/10/30 r3.2 MEE 9 – 1
9.2 KARGA KRITIKOA
BALDINTZAK
1. P konpresio-indarra habearen ardatz geometrikoan aplikatua dago; hau da,
karga zentratua dago.
2. Barraren materiala homogeneoa eta elastikoa da; beraz, E konstantea da.
3. Barrak ez du alboko indarrik jasaten.
4. Sekzioa uniformea da luzera osoan (A konstantea).
KARGA KRITIKOA: zutabeari H indar horizontala aplikatuz gero (perturbazioa),
sistemak oreka-egoera galarazten duen P konpresio-karga minimoa da.
Hiru kasu ager daitezke:
a. P < Pk bada, H ezabatuz gero habea jatorrizko
posiziora itzultzen da; oreka-egoera egonkorrean
dago.
b. P > Pk bada, H kenduta ere, habeak deformatzen
jarraituko du haustura gertatu arte; oreka-egoera
ezegonkorrean dago
c. P = Pk bada, H kenduz gero habeak une horretan
duen deformazioa mantenduko du; oreka-egoera
indiferentea da.
Aipatutako Pk karga kritikoa zera da: egoera ezegonkorrera pasatu aurretik
zutabe lerden (esbelto) batek jasan dezakeen konpresio karga axial maximoa.
11/10/30 r3.2 MEE 9 – 2
9.3 EULER-EN FORMULAK
Ezegonkortasun elastikoa definitzen duen karga kritikoaren formula Euler-ek
garatu zuen analitikoki orain dela 300 urte. Ezegonkortasun plastikoa sortzen duen
karga kritikoa, berriz, enpirikoki definitzen da, eta emaitzak esperimentazio bidez
frogatu dira.
OINARRIZKO KASUA: BI MUTURRETAN BERMATUTAKO ZUTABEA
Demagun deformatua dagoen AB zutabea dugula.
A-tik x distantzia batera eragindako momentua:
Mx = + Pk y
Makurdura-kurbaren ekuazioa:
d 2 ydx 2
=− MEI min
=−PK
EI min
y
PK
EImin=k 2 eginez, d 2 y
dx 2 =−k 2 y ekuazio diferentziala lortzen dugu, eta
haren emaitzak ondorengo itxura du:y = C1 sin kx + C2 cos kx
x-rekiko bitan deribatuz:dydx
=C1k cos k x−C 2k sink x
d 2 ydx2 =−C1k 2 sink x−C2k 2cos k x=−k 2(C1 sink x+C2cos k x )=−k 2 y
11/10/30 r3.2 MEE 9 – 3
C1 eta C2 konstanteen balioak muga-baldintzak (MB) aplikatuz lortuko dira:
1. MB A puntuan (x = 0) → y = 0C1 sin0+C2 cos0=0 C2 ·1=0 → C2 = 0
2. MB A puntuan funtzioaren (y = f(x)) malda edo angelua aztertuko dugu, α
C2 konstantea 0 denez, dydx maldaren ekuazioa, dy
dx=C1k cos k x
x = 0 → dydx
= tanα=C1k cos0=C1 k
Deribatuaren esanahi geometrikoa eta α oso txikia dela kontuan hartuz:
tan α ≈ α beraz C1 k = α → C1=αk
Habearen makurdura-kurbaren ekuazioa honela geratzen da:y=α
ksink x
3. MB x = L puntuan geziak y = 0 izan behar du (B puntuko bermapuntua):0=α
ksink L beraz sin kL = 0
Aurrekoa bete dadin, kL = 0 izan behar du, zentzurik
ez duen emaitza (biak ≠ 0 dira). Irudiak agertzen duen
bezala, kL = π edo n·π izan beharko du.
baina k=√ PK
EIminberaz √ PK
EIminLG=π
erro karratua kentzeko bi aldeetan ber bi eginez,PK
EIminLG
2 =π2
L = LG → PK=π2 EImin
LG2
Sekzioaren inertzia-momentu txikiena erabili behar da beti.
PK karga kritikoan eragina duten faktoreak:
– barraren ezaugarri geometrikoak: I, LG (Imin ↑ PK ↑; LG ↑ PK ↓)
– materialaren propietateak: E
Sekzioaren azalera aldatu gabe PK karga
kritikoa handitzeko, inertzia-momentua handitu
behar da, materiala inertzia-ardatz nagusietatik
ahalik eta urrutien kokatuz. Adibidez:
11/10/30 r3.2 MEE 9 – 4
9.4 ZUTABEAREN BERMA-BALDINTZAK
Zutabea bermatuta dagoen baldintzen arabera, aurreko atalean ondorioztatu
den formula erabilgarria da, LG gilbordura-luzera berma-baldintzei egokituz gero.
LG = c·L PK=π2 EImin
LG2 =
π2 EImin
c2L2
c = 2
LG = 2·L
PK=π2 EImin
4L2
c= 1√2
LG=L√2
=0,7L
PK=2π2 EImin
L2
c=12
LG=L2=0,5 L
PK=4π2EImin
L2
11/10/30 r3.2 MEE 9 – 5
9.5 EULER-EN FORMULAREN APLIKAZIO-EREMUA
Habeak gilborduragatik apurtzen dira, kargak PK balioa gainditzen badu
(P ≥ PK ), zeren, nahiz eta konpresio-tentsioa isurpen-muga baino txikiagoa izan
σ=PA
≤σF , gilbordurak alboko makurdura eragiten baitu. Orain, Eulerren
formulatik abiatuz, gilbordura sortzen duen tentsio kritikoa aurkitu nahi dugu:
Gilbordura-karga kritikoa (Euler) PK=π2 EImin
LG2
Gilbordura-tentsio kritikoa σK=PK
A=
π2 EImin
LG2 A
=π2ELG
2
Imin
A=π2E
LG2 ρmin
2
non ρmin=√ Imin
A (sekzioaren biraketa-erradioa)
eta beraz, σK=π2 E
( LGρmin)
2 =π2Eλ2 non λ=
LGρmin
(lerdentasuna)
ZUTABEEN LERDENTASUNA, λ (esbeltez)
Gilbordura-luzeraren eta biraketa-erradio minimoaren arteko erlazioa da.
λ < 20 gilbordura ez dago kontuan hartu beharrik
λ > 250 piezak onartezinak dira
9.5.1 EULERREN HIPERBOLA
λ−ren balio altuei σK tentsio kritiko txikiak dagozkie. Beraz, pieza oso lerdena
bada, gilbortuko da eta erresistentzia erraz galduko du σK tentsio kritiko txikiekin.
Tentsio kritikoa lerdentasunarekiko
grafikoki adieraziz gero,
Nola sendotu daiteke pieza?
ρ ↑ edo λ ↓ =LG
delako
ρ biraketa-erradioa handitzeko, sekzio-
azalera berdinarekin inertzia-momentua handitu
behar da. Hori materiala ahalik eta urrutien kokatuz lortzen da. Horregatik, profil
tubularrak sekzio oso-beteak baino erabiliagoak dira zutabeetan.
11/10/30 r3.2 MEE 9 – 6
Bestalde, λ txikiagoa den heinean, σK tentsio kritikoa handitzen da.
Makurdurak, materialaren egoera elastiko-linealean, proportzionaltasun-
eremuaren barnean agertu behar du, K≤P , Eulerren formula Hookeren legea
aplikatuz ondorioztatu baita. Baldintza hori bete dadin, habeak λL lerdentasun-
muga gainditu beharko du:
σK=π2 Eλ2 ≤σ p → λL
2=π2Eσp → λL=√π2E
σp=√ π2 2,1 ·106
2100≈100
λ < λL ZUTABE MOTZAK (eremu plastikoa)
λ > λL ZUTABE LERDENAK (eremu elastikoa)
Altzairuetan Eulerren formula erabilgarria da λ > 100 balioentzat. Beste
metalentzat kalkulatu egin behar litzateke bakoitzaren σp-aren arabera.
9.5.2 TETMAJER-EN FORMULA
λ < 100 diren barretan, Tetmajerrek esperimentazio bidez zera ondorioztatu
zuen: λ aldakorra zuten barrak hausteraino kargatuz diagramako σK = f(λ) puntuak
lerro zuzen batean zeudela, Tetmajerren zuzena deitua.
Egituretan erabiltzen diren altzairuetan, Tetmajerren zuzenak 2900-3100
kg/cm2 tentsioen inguruan koordenatuen ardatza mozten du, σR haustura-tentsioari
dagokiolako. Puntu hori zuzen baten bidez lotzen da Eulerren tentsio kritikoaren
mugara (σp, λL puntua). Tentsioak elastikotasun-muga (σE = 2400 kg/cm2) gainditu
ezin duenez, Tetmajerren zuzena lerro horizontal batek isurpen-mugaren balioan
mozten du. Altzairuetan λ = 60 lerdentasuna dagokio.
σK=π2 Eλ2
Altzairuentzat: σK = σR - a λ
Egituretako altzairuak
(%C gutxikoak):
60 < λ ≤ 100
σK = 3100 - 11,4 λ
11/10/30 r3.2 MEE 9 – 7
9.5.3 FORMULA PARABOLIKOA
Tetmajerrek proposatutako σK = f(λ) aldaketa linealaren ordez, ω metodoak
eremu ez-elastikoan σK tentsio kritikoaren balioa zutabe motzentzat (λ < 100),
bigarren mailako parabola baten bidez definitzen du (Johnston edo Ostenfeld-en
parabola).
Parabolaren ekuazioa altzairuentzat,
σK = σE - a λ2 = 2400 – 0,03 λ2
horrela, λ = 0 σK = σE
non σE = 2400 kg/cm2
9.6 ω KOEFIZIENTEEN METODOA
Egituren diseinuan gilbordura kontuan hartzeko erabiltzen den irizpidea da.
Johnston-en formula parabolikoan oinarritzen da. λ lerdentasunaren arabera v
segurtasun-koefizientea definitzen du:
v=K
Gonarg
- Eremu elastikoan, λ > λL v = 3,5 Gonarg=
K
3,5=
2 E3,52=
59 106
2 (altzairuetan)
- Eremu plastikoan, v = f(λL) aldakorra da.
11/10/30 r3.2 MEE 9 – 8
λ = 0 denean,
Gonarg=KONPRESIOA
onarg v=24001400
=1,7
hortik aurrera v λ-rekin handitzen da
λL denean v-k bere balio maximoa lortzen du,
3,5, eta, beraz, puntu horretan:
σGonarg=
σp
v=2100
3,5=590kg/cm2
Eremu plastikoan erabilgarria den ekuazio parabolikoa, σK = f(λ2), egokituz,
Gonarg = 1400 – 0,08 λ2
Tentsio kritikoa dagokion v-az zatitzen ibili beharrean, ω koefizienteen
prozedurak material eta λ bakoitzarentzat ω koefizientea definitzen du, materialak
konpresio sinplean duen tentsio onargarriaren arabera:
=onarg
Gonarg =konpresio sinplean tentsio onargarria
gilborduran tentsio onargarria non σonarg=σF
v (λ=0)
ω > 1 izanik, onargGonag izan behar duelako.
Beraz, ω koefizientea, gilbordura-tentsio onargarria lortzeko, konpresio
sinpleko tentsio onargarriari σonarg-z zatitu behar den zenbakia izango da.
Gonarg= onarg
ω-k konpresio-tentsio onargarria zein proportziotan gutxitu behar den
11/10/30 r3.2 MEE 9 – 9
frakzioa adierazten duen gilbordura-tentsio onargarria lortzeko.
ω koefizienteen balioak lerdentasunaz gainera, materialaren propietateen
funtzioan daude, konpresio-tentsio onargarria ere kontuan hartzen baitute.
Eremu plastikoan: 0 < λ < 100 = onarg
1400−0,082
Eremu elastikoan: λ ≥ 100 =onarg2
59105
TAULAK
Karga onargarriaren edo efektiboaren kalkulua errazteko, w koefizienteak
materialaren eta lerdentasunaren arabera tauletan biltzen dira.
σGonarg=
PKONPR
A· 1ω=σonarg
ω
σonarg=PK
Aω
PK=σonarg A
ω
A, sekzioaren azaleraσonarg, konpresio sinplean tentsio-onargarria
Karga (P) eta azalera (A) ezagunak direnean,PA
= onarg bete behar da.
PROZEDURA. Adibidea
Datuak: P Ezezaguna: A
A42b, σonarg = 1800 kg/cm2
LG A↓
11/10/30 r3.2 MEE 9 – 10
11/10/30 r3.2 MEE 9 – 11
Top Related