8/14/2014
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BienvenidosBienvenidos y y BienvenidasBienvenidas
Laboratorio de Química Física IQQUIM 4051
Ileana Nieves Ileana Nieves MartínezMartínez
agosto de 2014 1
ConocimientoConocimiento en en laslas CienciasCiencias NaturalesNaturales
BiologíaBiología
MedicinaMedicina
FísicaFísica
QuímicaQuímica
BiologíaBiología
MétodosMétodosQuímicoQuímico FísicosFísicos
MatemáticaMatemática
2agosto de 2014
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REPASO:REPASO:
MedidasMedidas y y CifrasCifras significativassignificativas
Tro: Chemistry: A Molecular Approach, 2/e agosto de 2014 3
¿¿QuéQué eses unauna medidamedida?? Observación cuantitativa Comparación de un
Menisco
estándard conocido Cada medida tiene un
número y su unidadcorrespondiente
Tro: Chemistry: A Molecular Approach, 2/e
4.5?
4.57 0.02mL
agosto de 2014
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Cifras SignificativasCifras Significativas12.3 cm
Cifras significativas:3
12.30 cm
3
Incertidumbre ±± 0.10.1:12.2 a 12.4 cm
Cifras significativas:
5Tro: Chemistry: A Molecular Approach, 2/e agosto de 2014
g4
Incertidumbre ±± 0.010.0112.29 a12.31 cm
DeterminaciónDeterminación de de laslas CifrasCifras SignificativasSignificativas
1. Todos los dígitos son significativos◦ 1.5 tiene 2 cifras significativas (cs)1.5 tiene 2 cifras significativas (cs)
2. Todos los ceros internos son significativos◦ 1.05 tiene 3 cifras significativas
3 Ceros a la izquierda NO son significativos
6
3. Ceros a la izquierda NO son significativos◦ 0.001050 tiene 4 cifras significativas 1.050 x 10−3
Tro: Chemistry: A Molecular Approach, 2/e agosto de 2014
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4. Ceros al final del dígito:a) Después del punto decimal son significativos
1.050 tiene 4 cifras significativas
DeterminaciónDeterminación de de laslas CifrasCifras SignificativasSignificativas
b) Antes del punto decimal son significativos si se escribeel punto decimal 150.0 tiene 4 cifras significativas
c) Al final del dígito sin el punto decimal son ambiguos y se deben evitar usando notación científica si 150 tiene 2 cifras significativas entonces se ecribe
7
si 150 tiene 2 cifras significativas entonces se ecribe1.5 x 102
Si 150 tiene 3 cifras significativas entonces se debeescribir 1.50 x 102
Tro: Chemistry: A Molecular Approach, 2/e agosto de 2014
CifrasCifras SignificativasSignificativas y y númerosnúmeros exactosexactos
• Número infinito de cifras significativas•
• g – aceleración de la gravedad
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EjemploEjemplo: : DeterminarDeterminar el el númeronúmero de de CifrasCifras SignificativasSignificativas
¿Cuántas cifras significativas hay en los siguientes números?
0.04450 m 4 cifras sig.; (4’s y 5, y 0 al final)
5.0003 km
10 dm = 1 m
1.000 × 105 s
5 cifras sig.; (5 y 3, y los 0’s internos)
infinito, número exacto
4 cifras sig.; (1, y 0’s al final)
9
0.00002 mm
10,000 m
1 cifras sig.; (2, y los 0’s izda. no cuentan)
Ambiguo y se asume 1 cifras sig.
Tro: Chemistry: A Molecular Approach, 2/e agosto de 2014
ReglasReglas parapara sumasuma y y restaresta Redondeo antes de llevar a
cabo la operación según el número con: 543.2◦◦ menosmenos sitios decimales
◦ incertidumbre o error absoluto error absoluto mayormayor.
El resultado tendrá el mismo
41.5
5214.55799.2
70.0
7512229.5
10
número de sitios decimales deaquél con menos sitiosdecimales en la operación.
7.5976.5122.2
Tro: Chemistry: A Molecular Approach, 2/e agosto de 2014
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ReglasReglas parapara MultiplicaciónMultiplicación y y DivisiónDivisión
Resultado tiene las cifras significativas (CS) del número que tenga menos cifras en la operación.
5.02 89.665 0.10 = 45.0118 3 CS 5 CS 2 CS
5 892 6 10 = 0 96590
= 452 CS
= 0 966
11
5.892 6.10 0.965904 CS 3 CS
Tro: Chemistry: A Molecular Approach, 2/e agosto de 2014
0.966
3 CS
ReglasReglas de de MultiplicaciónMultiplicación y y DivisiónDivisión Al multiplicarmultiplicar oo dividirdividir se redondean todos los
números de acuerdo con el menosmenos precisopreciso (el demayormayor errorerror relativorelativo) de manera que lamayormayor errorerror relativorelativo), de manera que laincertidumbre del resultado será la del menospreciso.
47 61 0 0024
2 830 040375971
. .
..
47 61 0 01 0 0024 0 0001
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.. (?) incert relativa mayorIncert absoluta del resultado
entre las medidasresultado
47.61 0.01 0.0024 0.0001
2.83 0.010.040375971 ?
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Ejemplo:Ejemplo: Absoluta
0 0001 1
Relativa
47.61 0.01 0.0024 0.0001
2.83 0.010.040375971
◦ 0.0024 ± 0.0001
◦ 47.61 ± 0.01
0 0001
0 0024
1
240 04
.
..
0 01
47 61
1
47610 0002
.
..
13
◦ 2.83 ± 0.010 01
2 83
1
2830 004
.
..
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EjemploEjemplo ((continuacióncontinuación))
0.04 ( )0 040375
Incertidumbre absolutaincertidumbre relativa mayor
.( . )
Incert absolutaincert relativa mayor
resultado
0.040375
. 0.04 0.040375 0.0016Incert absoluta x
Resultado es 0.040 0.002
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MultiplicaciónMultiplicación//DivisiónDivisión y Suma/y Suma/RestaRestacon con cifrascifras significativassignificativas
L é d l f Los paréntesis primero y determinar las cifrassignificativas y luego continuar con los otros pasos
3.489 (5.67 – 2.3) =
2 pd* 1 pd
3.489 3.37 = 12
4 1 d & 2 2
15
4 cs 1 pd & 2 cs 2 cs
* pd = pd = puntopunto decimaldecimal
Tro: Chemistry: A Molecular Approach, 2/e agosto de 2014
EjemploEjemplo: : CalculeCalcule usandousando el el númeronúmero correctocorrecto de de cifrascifras significativassignificativas
Tro: Chemistry: A Molecular Approach, 2/e
4(0.35)
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EjemploEjemplo: : CalculeCalcule usandousando el el númeronúmero correctocorrecto de de cifrascifras significativassignificativas
17Tro: Chemistry: A Molecular Approach, 2/e
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(0.35)
LogaritmoLogaritmo de un número se mantiene en elresultado el número de dígitos a la derecha delpunto decimal igual al número de cifras
Otras operaciones matemáticasOtras operaciones matemáticas
punto decimal igual al número de cifrassignificativas del número original.
AntilogaritmoAntilogaritmo de un número se mantiene en el resultado el número de dígitos que sean iguales a los dígitos a la derecha del punto decimal del
log . .9 57 10 4 9814x
los dígitos a la derecha del punto decimal del número original.
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anti xlog .12 5 3 1012
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P i ióP i ióPrecisiónPrecisióny y ExactitudExactitud
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PrecisiónPrecisión y y ExactitudExactitud Depende de la limitación
de la instrumentaciónusada.usada.
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Cálculos e interpretación de resultadosCálculos e interpretación de resultados Equipo usado para obtener datos tiene cierto
error o incertidumbre, por lo que hay que:h ál d d l bl ◦ hacer análisis de todos los posibles errores. ◦ determinar el grado de precisión que afecta el
resultado numérico.◦ hacer análisis estadísticos de resultados.
Ej l Ejemplos:◦ buretas ◦ pipetas◦ balanzas
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FUENTES DE ERROR FUENTES DE ERROR Y Y CLASIFICACIÓNCLASIFICACIÓN DE DE LOS LOS ERRORESERRORES
Comparación entre exactitud yi ióprecisión
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IncertidumbreIncertidumbre de de medidasmedidas experimentalesexperimentales Provienen de las limitaciones de los instrumentos.
E ióE ió d d fi bilid dfi bilid d
PrecisiónPrecisión indica cuán cercanas estánuna serie de medidas repetidas(reproducibilidad).
ExpresiónExpresión de de confiabilidadconfiabilidad
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PrecisiónPrecisión se se afectaafecta porpor:: Errores indeterminados◦ fluctuaciones
íf ◦ No tienen causa específica y no se puedencorregir◦ son inherentes en la observación◦ no se puede predecir su origen ni su magnitud◦ tienen signo algebraico positivo o negativo
(ambos con igual probabilidad)
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(ambos con igual probabilidad)
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PrecisiónPrecisión reproducibilidadreproducibilidad que reside en un resultado
numérico. medida del gradogrado dede incertidumbreincertidumbre debido a
errores indeterminados. se puede mejorarmejorar tomando un númeronúmero
grandegrande de medidas y haciendo análisisestadístico.
se expresa como el error mismo (absolutoabsoluto)p ( )o como función de la magnitud de la medida(relativarelativa)
5.0 0.10.1 1
0.025.0 50
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EjemploEjemplo
Incertidumbre = 0.5 metros.◦ Incertidumbre absolutaabsoluta
10.0 metros
◦ Incertidumbre absolutaabsoluta 0.5 metros
◦ Incertidumbre relativarelativa 0.5
0.0510 0
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como % resulta en un 5%.
10.00.5
100 5%10.0
x
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0.510n
UnidadesUnidades relativasrelativas parapara la la precisiónprecisión
0.510
10.0nx
nn Unidad
2 %
Copyright 2011 Pearson Education, Inc.
%
3 ppmil (ppt)
6 ppm
9 ppb
2727
ExactitudExactitud indica cuán cercana es la medida del valor valor realreal (verdadero).
OtraOtra expresiónexpresión de de confiabilidadconfiabilidad
( )
◦ E = X? - XV
Debido a que el valor verdadero (real) nono seconoce, usaremos el promediopromedio aritméticoaritméticode una serie de determinaciones como elvalor verdadero.
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ExactitudExactitud se se afectaafecta porpor:: Errores sitemáticos
◦ Limitaciones instrumentales o del diseñoLimitaciones instrumentales o del diseñoexperimental e inclusive error personal
◦ Se pueden reducir usando instrumentos o diseños experimentales más sofisticados
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EjemplosEjemplos de los de los erroreserroresDeterminados Indeterminados
Fricción entre partes del instrumento Cambios en voltaje, humedad, presión
condiciones ambientales (humedad,temperatura)
atmosférica, temperatura (Ej.: Siaumenta la temperatura, el brazo de labalanza se expande)
HumanosHumanos: paralaje, lectura errónea deuna escala, reflejos lentos, usoincorrecto de cierta técnica.
HumanosHumanos: se puede leer una escalaun poco más arriba o abajo de loverdadero sin que incluya paralaje,menisco, reflejos
InstrumentalesInstrumentales: falta de calibración;cambio en línea base; escape de gas enlínea de vacío, no nivelar las balanzas.
InstrumentalesInstrumentales: límite de con-fiabilidad del instrumento (no hayinstrumento perfecto).
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CaracterísticasCaracterísticas
Determinados IndeterminadosSe deben a desperfectos del Se pueden identificar en fluctuacionesSe deben a desperfectos del instrumento o la técnica
Se pueden eliminar usando correcciones
No aparecen como fluctuaciones en la medida
Se pueden identificar en fluctuaciones al azar en las medidas experimentales sucesivas, afectan reproducibilidad.
Se pueden reducir y obedecen a la función de distribución de probabilidad de Gauss. Se usan métodos estadísticos e interpretación probabilística
Se pueden identificar al cambiar la técnica experimental
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ÍNDICESÍNDICES DE DE PRECISIÓNPRECISIÓNY Y CONFIABILIDADCONFIABILIDAD
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DefinicionesDefiniciones de los de los índicesíndices de de precisiónprecisión y y confiabilidadconfiabilidad
EjemploEjemplo::
Datos
10.03
9 99
PromedioPromedio: xN
xii
Ni
1
1
= 10.02
9.99
10.06
9.98
MedianaMediana - el valor central (del medio) Colocar los datos en orden ascendente o
xmed
9.98
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descendente9.99
10.03
10.06
9.99 10.0310.01
2medianax
DefinicionesDefiniciones de los de los índicesíndices de de precisiónprecisión y y confiabilidadconfiabilidadEjemploEjemplo ((continuacióncontinuación))::
Medidas de exactitud y precisión◦ Desviación o residuo, i ix x
||
= 0.01
= 0.03
= 0.04
= 0 04
|| = | (xi ─ xprom) |
|10.03─10.02 |
|9.99─10.02 |
|10.06─10.02|
|9 98─10 02|
Datos
10.03
9.99
10.06
9 98 0.04|9.98 10.02|
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9.98
x = 10.02
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DefinicionesDefiniciones de los de los índicesíndices de de precisiónprecisión y y confiabilidadconfiabilidadEjemploEjemplo ((continuacióncontinuación)):: Desviación promedio
d pN i
i
N
. .1
1
||
0.01
0.03
0 04= 0.03
Desviación estándard
sN
i
2
1
0.04
0.04 ()2
0.0001
0.0009
0.0016
0 0016
0.00420.037
4 1
w
Intervalo o alcancew x xmayor menor
0.0016w
9.98
9.99
10.03
10.06
= 0.08
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LímiteLímite de de confiabilidadconfiabilidad y y distribucióndistribución de de erroreserrores
x
y f xdn
Ndxei
i
x xi
( )/
1
21 2
2
2
2
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TratamientoTratamiento estadísticoestadístico y y evaluaciónevaluación de los de los datosdatos
InocenteInocente convictoconvicto vs culpableculpable librelibre. El análisisanálisis estadísticoestadístico◦◦ agudizaagudiza elel juiciojuicio sobre los datos experimentales.◦◦ estimaestima lala probabilidadprobabilidad de que la diferencia entre
dos valores experimentales sea real o solo elresultado de erroreserrores alal azarazar.◦ determina sisi unun datodato sese rechazarechaza con gran
probabilidad.
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Prueba Q para datos sospechososPrueba Q para datos sospechosos Aceptar o rechazar un resultado anómaloAceptar o rechazar un resultado anómalo (“outlier”)◦ Se producen por errores o fallos en la metodología.
◦ Método Se ordenan los datos en forma ascendente y se calcula QQ Se ordenan los datos en forma ascendente y se calcula QQ
? vecino
mayor menor
entre dato sopechosos x y x más cercanoQ
entre x y x
x x
Qcalculado > Qtabulado
El dato se descarta
? ?vecinox xQ
alcance w
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TablaTabla estadísiticaestadísitica parapara la la pruebaprueba QQ
Si Qcalculado > Qtabulado el resultado se rechaza
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EjemploEjemplo:: Al efectuar una serie de experimentos para
determinar [SO42-] en una muestra de H2O para
riego se obtienen los siguientes resultados.riego se obtienen los siguientes resultados.Determine si hay alguna medida es dudosa.
Muestra Medida
1 5.0
2 5.2
3 5.5
4 5 6
1. Se ordenan los datos en orden descendiente (para . Se ordenan los datos en orden descendiente (para facilitar el cálculo)facilitar el cálculo)
6.0, 6.0, 5.6, 5.6, 5.5, 5.5, 5.25.2, , 5.05.02. Se calcula Se calcula QQ
Q = Q = (x(x?? –– xxvecinovecino)/w )/w Q = Q = ((6.06.0--5.6)/ (5.6)/ (6.06.0--5.0) =0.405.0) =0.40
6.0
4 5.6
5 6.03. SeSe comparacompara QQcalculadocalculado concon QQtabuladotabulado parapara 55 medidasmedidasyy unun nivelnivel dede confianzaconfianza deldel 9090%%.. ((QQtabtab==00..6464))
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0.40 < 0.64, por lo tanto el valor 6.0 0.40 < 0.64, por lo tanto el valor 6.0 NONO se rechazase rechaza
RESUMEN DEL MÉTODO PARA DESCARTAR DATOSRESUMEN DEL MÉTODO PARA DESCARTAR DATOS
Definir que tan grande es la diferencia entre el valor sospechoso y los otros datos.
Aplicar Prueba Q.◦ Ordenar los datos◦ Calcular el intervalo o alcance, w◦ Encontrar la diferencia entre el resultado sospechosos (x?)y su vecino
mas cercano (xvecino)◦ Dividir la diferencia obtenida en el paso anterior entre el alcance. De
esta forma obtiene el coeficiente Q para descartar datos. p◦ Consultar la tabla de valores Q. Si el valor calculado es mayor que el de la tabla el resultado se puede descartar con
un 90% de confianza.
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Parámetros usados en Tratamiento EstadísticoParámetros usados en Tratamiento Estadístico
Nivel de confianza es la probabilidad deque el promedio (experimental overdadero) esté en cierto intervaloverdadero) esté en cierto intervalo.
Nivel significativo “significance level” esla probabilidad de que el resultado estéfuera de los límites de confianza
43
Límites de confianza son las fronterasdel intervalo de confianza
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Parámetros usados en Tratamiento EstadísticoParámetros usados en Tratamiento Estadístico
Intervalos de confianza del promedio esel intervalo de valores donde se espera congran probabilidad que el promedioexperimental esté cercano al real.
◦ donde: tt es un parámetro estadístico que representa la
IC para xts
N
44
tt es un parámetro estadístico que representa ladesviación de un dato del valor promedio por unidadde desviación estándar. Depende del nivel de confianzay de los grados de libertad (NN).
ss es la desviación estándar
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Propagación de erroresPropagación de errores
Cantidades físicas medidas indirectamente◦ Incertidumbre o error en el resultado final◦ Incertidumbre o error en el resultado final
dependerá de la precisión y exactitud de lasmedidas experimentales afectando opropagándosepropagándose enen elel resultadoresultado deldel valorvalor calculadocalculado
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FórmulasFórmulas generalesgenerales de de PropagaciónPropagación
Tipo de operación matemática
Ejemplo* Error
SSuma o resta
Multiplicación o división
Exponenciales
y a b c
y a bc
y a x
y a b c 2 2 2
yy
aa
bb
cc
2 2 2
yy
aax
Copyright 2011 Pearson Education, Inc.
Logaritmos
Antilogaritmos
y a log
y anti a log
y aa 0 434.
yy a 2 303.
* a, b y c son variables experimentales y a, b y c son los errores en esasvariables (instrumentales o desviaciones estándard).
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EjemploEjemplo: : DensidadDensidad Datos experimentales para determinar la densidad◦ m = 0.2852 g m = 0.0001 g
◦ V = 10.0 cm3 V = 0.1 cm3
m m m
V V V
Para determinar el error propagado de una división en términos del error relativo usamos:
33
0.2852 0.0001
10.0 0.10.02852g gm m
V V cmcm
0.0001 0.1 1 10.1000
0 2852 10 0 2852 100 m V
m V
El error abosoluto es:
Se informa el valor como: ((0.029 0.029 0.0030.003) g/cm) g/cm33
0.2852 10.0 2852 100
0.1000 0.02852 0.002852 0.003x
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m V
EjemploEjemplo Determinación del área de un círculo:
A = r2
rr•
2
2
dA r dr
A r r
El error en AA se representa como AA.
Depende de el error en rr , r.r.
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A 20 0 02A A r r r 2
0r ya que
2
0 0
220 0 02
A A r r
A A r r r r
2 2A A
≈0≈0
A0-
+A
20 0 02A A r r r
r0
+r-r
ragosto de 2014 49
Caso general de propagación de errorCaso general de propagación de error
F F FF dF dx dy dz
, ,,y z x yx zx y z
, ,y z x yx z
F F FF x y z
x y z
50agosto de 2014
, ,,y yx z
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Error Error máximo propagadomáximo propagado (EMP)(EMP)
, ,,y z x yx z
F F FdF dx dy dz
x y z
,
, ,,
y y
y z x yx z
F F FF x y z
x y z
51
agosto de 2014
Error Error másmás probable probable propagadopropagado (EMPP)(EMPP)
1
2 22 22 2 2
, ,,y z x yx z
F F FdF dx dy dz
x y z
1
222 22 2 2
, ,,y z x yx z
F F FF x y z
x y z
52agosto de 2014
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Ejemplo de Propagación de Error usando la Ejemplo de Propagación de Error usando la termometría de gasestermometría de gases
PVT
nR
T T T
PV nRT
, , , , , ,V n R P n R P V R
T T TdT dP dV dn
P V n
1
22 2 22 2 2
, , , , , ,V n R P n R P V R
T T TEMPP dP dV dn
P V n
53
, , , , , ,V n R P n R P V R
T T TEMP dP dV dn
P V n
agosto de 2014
Ejemplo de termometría de gasesEjemplo de termometría de gases 1PV PV
T x nnR R
T T TdT dP dV dn
2, , ,V n P n V P
V P PVdT dP dV dn
nR nR n R
1; ;
T V T P T PV
, , , , , ,V n R P n R P V RP V n
54
; ;P nR V nR n nR n
agosto de 2014
T T TdT dP dV dn
P V n
8/14/2014
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Ejemplo de termometría de gases Ejemplo de termometría de gases ((ContinuaciónContinuación))
1/22 2 2
2 2 2T T TEMPP T P V n
P V n
1/22 222 VP
dP dV dnT T TP V n P V ndT dP dV dn T
Factor Factor comúncomún::
Factor común:
T T TEMP T P V n
1/22 2 2T P V n
T P V n
2 222 V nPP V nT T
55agosto de 2014
EMP T P V nP V n
T P V n
T P V n
REGRESIÓNREGRESIÓN LINEALLINEAL
agosto de 2014 56
8/14/2014
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MétodoMétodo parapara ajustarajustar datosdatos experimentalesexperimentales en en unauna ecuaciónecuación
Cuadrado mínimo: y = mx + bxx
teórica experimental
experimental
i i i
i i i
y y y
y mx b y
yagosto de 2014 57
s s Er
rore
sEr
rore
s
Posición de un caracol moviéndose en linea recta
ació
nac
ión
de lo
sde
los
Pos
ició
n, (
x
x), c
m
Rep
rese
nta
Rep
rese
nta
Tiempo, (t t), segundos
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MATERIAL MATERIAL SUPLEMENTARIOSUPLEMENTARIO
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Regresión linealRegresión lineal--definicióndefinición
Escoge la mejor línea que predice y de x.◦ Discrimina entre las dos variables◦ Se utiliza cuando éstas variables se conocen ◦ Se utiliza cuando éstas variables se conocen
definitivamente. Encuentra la línea que minimiza la suma de
los cuadrados (SS) de las distancias verticales (o residuales) de los puntos de la línea. ◦ Se determina cuán óptima es la línea usando el
60
Se determina cuán óptima es la línea usando el parámetro r2 de la regresión de la minimización.
Determina la pendiente “steepness”(m) y el intercepto (elevación) (b).
agosto de 2014
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Cálculo del cuadrado mínimoCálculo del cuadrado mínimo
Determinar el valor de m y b que mejor represente las observaciones experimentales.
Asumir que la mejor línea recta que se ajusta a los puntos experimentales es donde la suma de los cuadrados de las desviaciones (yi]2) entre el valor medido experimentalmente y el que predice la mejor línea es un mínimo.
61
Obedece la distribución de errores Gaussiana. Se consideraran solo desviaciones en la variable
dependiente ya que generalmente estas son mayores que en la variable independiente.
agosto de 2014
Representación gráficaRepresentación gráficaSSreg = 0.85 SSTot = 4.907
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r2 = 1 ─ (Ssreg / SSTot) = 1─ (0.86/4.91) = 0.84
agosto de 2014
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Suma de cuadradosSuma de cuadrados
SSreg es la suma de los cuadrados de las regdistancias verticales de la mejor línea.
SSTot es la suma de los cuadrados verticales de la distancia a la línea que
l di d l l d
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representa la mediana de los valores de y
agosto de 2014
Definición de CorrelaciónDefinición de Correlación
Cuantifica la correspondencia entre x y ypara aquellos eventos que se ha medido experimentalmente (no incluye el control)experimentalmente (no incluye el control)
Coeficiente de correlación (r)◦ Va desde -1 hasta + 1 : + 1 es una correlación perfecta entre ambas variables - 1 es una correlación inversa.
Coeficiente de determinación (r2)
64
Coeficiente de determinación (r )◦ Fracción de varianza de las dos variables◦ Se comparte la varianza por las dos variables: Ejemplo r2 = 0.59 implica que el 59% de la varianza en x
se explica por la variación en yagosto de 2014
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Ejemplo de correlaciónr2 << 1r2 0
r2 = 1r2 < 1
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ResidualResidualSon las distancias verticales de cada punto a
la línea
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8/14/2014
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DERIVACIÓNDERIVACIÓNMATEMÁTICAMATEMÁTICA DE DE REGRESIÓNREGRESIÓN LINEALLINEAL
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Suma de Suma de las desviaciones al cuadrado (SS)las desviaciones al cuadrado (SS)22
D esviació n , :
teó rica ex p erim en tal
exp erim en tal
i i i
i i i
y y y S
y m x b y S
pi i iy y
2
2 2
Suma de las desviaciones al cuadrado [sum of squares] ( ):
( ) 2N N
i i i i i i
SS
SS mx b y mx b mx b y y
1
Suma de las desviaciones (sum):N
i ii
S mx b y
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1 1
2 2 2 2
1 1 1 1 1
( )
( ) 2 2 2
i i i i i ii i
N N N N N
i i i i i ii i i i i
y y y
SS m x mb x Nb m x y b y y
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Mínimo de suma desviaciones al cuadradoMínimo de suma desviaciones al cuadradoCondición para que SS sea un mínimo
0 0S S
ym b
m b
2
1 1 1
1 1
0 2 2 2
0 2 2 2
N N N
i i i ii i i
n n
i ii i
Sm x b x x y
m
Sm x bN y
b
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2
1 1 1
1 1
Re-arreglando: N N N
i i i ii i i
N N
i ii i
m x b x x y
m x bN y
Mínimo de suma desviaciones al cuadradoMínimo de suma desviaciones al cuadrado
2
1 1 1 1
Resolviendo ecuaciones simultáneasN N N N
i i i i i ii i i i
N N N
x y x x x y
1 1 1
2 2
1 1 1 1
1 1
N N N
i i ii i i
N N N N
i i i ii i i i
N N
i ii i
y N x y
m b
x x x x
x N x N
70
1 1 1
Resolviendo los determinantes:N N
i i i ii i i
N x y x y
m
2
1 1 1 12 2
2 2
1 1 1 1
N N N N N
i i i i ii i i i
n N N N
i i i ii i i i
x y x x yb
N x x N x x
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Error en la Error en la pendiente y el interceptopendiente y el intercepto
2
1
N
ii
xN
12 2
2 2
1 1 1 1
2
1donde: y (exp) ( )1
i
i
im y b y
N N N N
i i i ii i i i
N
yi
y y i i
N x x N x x
y y mejor lineaN
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REGRESIONESREGRESIONESNO NO -- LINEALESLINEALES
agosto de 2014 72
8/14/2014
37
Si el modelo de regresión lineal es correcto Si el modelo de regresión lineal es correcto pregúntesepregúntese
¿Tiene apariencia lineal? ¿Tiene un valor de P (probabilidad entre ¿Tiene un valor de P (probabilidad entre
eventos) alto? ¿ Tiene residuales al azar?
Si algunas de las respuestas es NO debe
73
Si algunas de las respuestas es NO debe considerar la regresión no-lineal
agosto de 2014
RegresiónRegresión NoNo--lineal y lineal y ajustesajustes de la de la curvacurva
Se utilizan modelos matemáticosmodelos matemáticos que sean una descripción de un proceso físico, químico o biológico biológico.
Los modelos se derivan usando lógica simple, álgebra y algunas veces cálculo.
Usar los modelos en los intervalos adecuadosintervalos adecuados. La meta de la regresión no-lineal es ajustar un ajustar un
d l d td l d t
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modelo a su datamodelo a su data. El programa de regresión encuentra los valores de
las variables que mejor se ajusten en el modelo. Escoger el modelo es una decisión científica.
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RegresiónRegresión NoNo--lineal y lineal y ajustesajustes de la de la curvacurvacontinuacióncontinuación
Es más general que la lineal. Ajusta datos a cualquier ecuación que define y
como función de x y uno o más parámetroscomo función de x y uno o más parámetros. Encuentra el valor de los parámetros que generan
una curva que minimiza SSreg No se puede derivar la ecuación directamente para
calcular los mejores valores que se ajustan a los datos.
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Se requiere un proceso intenso de iteraciónproceso intenso de iteración. La matemática de una regresión no-lineal requiere
que esté familiarizado con el álgebra de matrices
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PasosPasos parapara la la regresiónregresión nono--lineallineal
Comenzar con valores iniciales estimadosvalores iniciales estimadospara cada variable en la ecuación.
Generar la curva con valores iniciales Generar la curva con valores iniciales. Calcular la suma de los cuadrados de las
distancias verticales. Ajustar las variables para hacer que la curva se
acerque a los datos. (Hay varios algoritmos algoritmos para ajustar las variablespara ajustar las variables.)
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Ajustar las variables nuevamente para acercar mas la curva.
Repetir
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PasosPasos parapara la la regresiónregresión nono--lineallineal((continuacióncontinuación))
Detener los cálculosDetener los cálculos cuando los ajustes no hagan diferencia en la suma de los cuadrados (criterio de convergenciacriterio de convergencia).
Informar los resultados que se ajustan mejor. Nota: Los valores precisos van a depender
de los valores iniciales y del criterio de detener los cálculos Por lo tanto los
77
detener los cálculos. Por lo tanto los resultados de análisis repetitivos no siempre van a dar exactamente los mismo resultados.
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Ajuste de curvas de regresiones noAjuste de curvas de regresiones no--lineales.lineales.Escogiendo el modeloEscogiendo el modelo
Decaimiento exponencial en una fase
y Ae bkx
Decaimiento exponencial en dos fases
Asociación exponencial de una fase
y Ae b
y Ae Be bk x k x 1 2
kx( )1
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Asociación exponencial de dos fases
y y e kx max( )1
y y e y ek x k x max max( ) ( )
1
1
2
21 1
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Crecimiento exponencialy Aekx
Ajuste de curvas de regresiones noAjuste de curvas de regresiones no--lineales.lineales.
Escogiendo el modeloEscogiendo el modelo
Serie de potencias
Ecuación de polinomiosy = a + bx + cx2 + dx3 + ....
Sinosoidal
y Ax CxB D
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Distribución gausiana
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