8/18/2019 Cálculo I Instituto de Matemática UERJ
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CÁLCULO: VOLUME I
MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA
Departamento de Análise - IMEUERJ
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Copyright by Mauricio A. VilchesTodos os direitos reservados
Proibida a reprodução parcial ou total
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PREFÁCIO
"Por favor, poderia me dizer que caminho devo seguir agora?Isso depende bastante de até onde você quer chegar."Lewis Carrol - Alice no País das Maravilhas
Através dos séculos a Matemática tem sido a mais poderosa e efetiva ferramenta para a com-
preensão das leis que regem a Natureza e o Universo.Os tópicos introdutórios que apresentamos neste livro originaram-se, inicialmente, dos pro- blemas práticos que surgiram no dia a dia e que continuaram impulsionados pela curiosidadehumana de entender e explicar os fenônemos que regem a natureza.Historicamente, o Cálculo Diferencial e Integral de uma variável estuda dois tipos de proble-mas: os associados à noção de derivada, antigamente chamados de tangências e os problemasde integração, antigamente chamados de quadraturas. Os relativos à derivação envolvem va-riações ou mudanças, como por exemplo, a extensão de uma epidemia, os comportamentoseconômicos ou a propagação de poluentes na atmosfera, dentre outros. Como exemplos deproblemas relacionados à integração destacam-se o cálculo da áreas de regiões delimitadas porcurvas, do volume de sólidos e do trabalho realizado por uma partícula.
Grande parte do Cálculo Diferencial e Integral foi desenvolvida no século XVIII por IsaacNewton para estudar problemas de Física e Astronomia. Aproximadamente na mesma época,Gottfried Wilhelm Leibniz, independentemente de Newton, também desenvolveu considerá-vel parte do assunto. Devemos a Newton e Leibniz o estabelecimento da estreita relação entrederivada e integral por meio de um teorema fundamental. As notações sugeridas por Leibnizsão as universalmente usadas.O principal objetivo do livro foi apresentar os primeiros passos do Cálculo Diferencial e Integralde uma variável com simplicidade, através de exemplos, mas sem descuidar do aspecto formalda disciplina, dando ênfase à interpretação geométrica e intuitiva dos conteúdos.O livro inclui a maioria da teoria básica, assim como exemplos aplicados e problemas. Asprovas muito técnicas ou os teoremas mais sofisticados que não foram provados no apêndice,foram ilustrados através de exemplos, aplicações e indicações bibliográficas adequadas e estãoincluidos como referência ou leitura adicional para os leitores interessados.Os conceitos centrais do Cálculo Diferencial e Integral de uma variável são relativamente pro-fundos e não se espera que possam ser assimilados de uma só vez. Neste nível, o importante éque o leitor desenvolva a habilidade de calcular e adquira a compreensão intuitiva dos proble-mas. As expressões do tipo "é facil ver"ou semelhantes, que aparecem no texto, não devem serencaradas de forma literal e tem o propósito de dar um aviso ao leitor de que naquele lugar aapresentação é resumida e os detalhes, perfeitamente acessíveis, deverão ser preenchidos.Esperamos que o livro permita ao leitor um acesso rápido e agradável ao Cálculo Diferenciale Integral de uma variável. Não podemos deixar de recomendar aos alunos a utilização, cri-
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teriosa, dos softwares de Cálculo existente no mercado, pois eles são um complemento útil aoaprendizado da disciplina.Desejamos agradecer aos nossos colegas do Departamento de Análise e do IME-UERJ que, de
algum modo, nos motivaram e deram condições para escrever estas notas e à Sra. Sonia M.Alves pela digitação. Certamente, todos os erros são exclusivamente de responsabilidade dosautores.
Mauricio A. Vilches - Maria Luiza CorrêaRio de Janeiro
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Conteúdo
1 INTRODUÇÃO 91.1 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Distância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Plano Coordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Equação da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.1 Equação Geral da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.2 Equação Reduzida da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.3 Paralelismo e Perpendicularismo de Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Equações das Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.7 Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7.1 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL 312.1 Definições e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2 Gráficos de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3 Função Modular ou Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4 Funções Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.1 Função Polinomial do Primeiro Grau ou Afim . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4.2 Função Polinomial de Segundo Grau ou Quadrática . . . . . . . . . . . . . 472.4.3 Função Polinomial de Grau n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.4.4 Funções Pares e Ímpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5 Interseção de Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.6 Álgebra de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.6.1 Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.7 Composta de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.8 Inversa de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.8.1 Método para Determinar a Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.9 Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.10 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.10.1 Economia: Cálculo de Juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.10.2 Crescimento e Decrescimento Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.10.3 Função Logística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
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2.11 Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.11.1 Desintegração Radioativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.12 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.12.1 Função Seno e Função Co-seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.12.2 Função Tangente e Função Secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.12.3 Função Co-tangente e Função Co-secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.13 Funções Trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.13.1 Função Arco seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.13.2 Função Arco co-seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.13.3 Função Arco tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.13.4 Funções Arco co-tangente, Arco secante e Arco co-secante . . . . . . . . . 86
2.14 Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.15 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3 LIMITE E CONTINUIDADE 993.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.2 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.3 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.3.1 Cálculo de Limites de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.4 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.5 Símbolos de Indeterminação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.6 Limites Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.7 Assíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.7.1 Esboço Aproximado de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203.8 Continuidade de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4 DERIVADA 1414.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.2 Reta Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.3 Funções Deriváveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.4 Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.5 Derivada da Função Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524.6 Derivadas das Funções Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.6.1 Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1544.6.2 Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.6.3 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.6.4 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1584.6.5 Funções Trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1604.6.6 Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.7 Derivação Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1644.7.1 Cálculo da Derivada de uma Função Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.8 Famílias de Curvas Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.9 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.10 Aproximação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.11 Velocidade e Aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
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4.12 A Derivada como Taxa de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.13 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5 APLICAÇÕES DA DERIVADA 1915.1 Variação de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915.2 Funções Monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1975.3 Determinação de Máximos e Mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015.4 Concavidade e Pontos de Inflexão de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2065.5 Esboço do Gráfico de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2105.6 Problemas de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2165.7 Teorema de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.7.1 Outros tipos de indeterminações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2275.8 Diferencial de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2315.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6 INTEGRAÇÃO INDEFINIDA 2396.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2396.2 Tabela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2426.3 Método de Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
6.3.1 Outros Tipos de Substituições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2456.4 Integrais de Produtos e Potências de Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . 2456.5 Método de Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2466.6 Método de Substituição Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2496.7 Método para Integração de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2526.8 Mudança: Tangente do Ângulo Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2616.9 Aplicações da Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
6.9.1 Obtenção de Famílias de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2616.9.2 Outras aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
6.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
7 INTEGRAÇÃO DEFINIDA 2717.1 Intodução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2717.2 Definição e Cálculo da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2767.3 Métodos para Calcular Integrais Definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2807.4 Construção de Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2847.5 Aplicações da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
7.5.1 Aceleração, velocidade e posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
7.6 Cálculo de Áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2897.7 Volume de Sólidos de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
7.7.1 Cálculo do Volume dos Sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3067.7.2 Outros Eixos de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3117.7.3 Método das Arruelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
7.8 Cálculo do Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3177.9 Definição de Logaritmo Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
7.9.1 Logaritmo como Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3207.10 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
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8 CONTEÚDO
7.11 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
8 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 333
8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3338.2 Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3338.2.1 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
8.3 Integrais de Funções Descontínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3398.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
9 EXEMPLOS DIVERSOS 3479.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3479.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3509.3 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3569.4 Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
10 APÊNDICE 37310.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37310.2 Funções Deriváveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37410.3 Funções Integráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
11 RESPOSTAS 38111.1 Capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38111.2 Capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38111.3 Capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38411.4 Capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38511.5 Capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
11.6 Capítulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38811.7 Capítulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38911.8 Capítulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
Bibliografia Básica 392
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Capítulo 1
INTRODUÇÃO
Neste capítulo apresentaremos uma breve revisão de alguns tópicos do
grau essenciais para
o estudo do Cálculo de uma Variável Real. Admitiremos a familiaridade do leitor com o con- junto dos números reais, denotado por , com as operações fundamentais e suas respectivaspropriedades, bem como com a visualização geométrica de como uma reta e dos númerosreais como pontos dessa reta.
1.1 Desigualdades
A representação geométrica dos números reais sugere que estes podem ser ordenados. Usandoos símbolos usuais para maior ( ), maior ou igual ( ), menor ( ), menor ou igual ( ), podemosver, por exemplo, que se
e
, então
; no eixo coordenado temos que está
à esquerda de . Para todo
temos: ou , ou
, ou
.
1.2 Intervalos
Muitos subconjuntos de são definidos através de desigualdades. Os mais importantes são osintervalos.
Sejam tais que .
Intervalo aberto de extremidades e , denotado por
é definido por:
a b( )
Figura 1.1: Intervalo aberto.
Intervalo fechado de extremidades e , denotado por é definido por:
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10 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
a b][
Figura 1.2: Intervalo fechado.
Intervalo semi-aberto e intervalo semi-fechado, são denotados e definidos, respectivamente,por:
e
a b[ )
a( ]
b
Figura 1.3: Intervalos semi-abertos e semi-fechados.
Os quatro intervalos assim definidos são ditos limitados. Introduzindo os símbolos e ,os quais não são números reais, podemos definir os intervalos ilimitados:
e
e
Note que
. Os intervalos aparecem de forma natural na resolução de inequa-ções, pois, a solução é, em geral, dada por um intervalo ou uma reunião de intervalos.
Desigualdades Lineares:
Determinemos o conjunto-solução de:
é equivalente a
; logo, se ,
; o conjunto-solução é
. Se
,
; o conjunto-solução é
Desigualdades Quadráticas:Seja
a equação de segundo grau. Denotemos por
o discri-minante da equação e
,
as raízes reais da equação (
). O conjunto-solução
de umadesigualdade quadrática depende do sinal de e de
.
Para
. Se , a desigualdade
tem conjunto-solução
e
tem conjunto-solução
Se , a desigualdade
tem conjunto-solução
e
temconjunto-solução
.
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1.3. VALOR ABSOLUTO 11
Para
. Se , a desigualdade
tem conjunto-solução e
tem conjunto-solução
.
Se , a desigualdade
tem conjunto-solução
e
tem
conjunto-solução .
Para
. Se , a desigualdade
tem conjunto-solução e
tem conjunto-solução
. Se , a desigualdade
tem conjunto-solução
e
tem conjunto-solução .
Exemplo 1.1.
[1] Ache a solução de:
. Fatorando
; então,
éequivalente a
, da qual obtemos
ou
. O conjunto-soluçãoé:
[2] Ache a solução de:
Note que a desigualdade não é equivalente a
. Se
, isto é
;então,
, de onde obtemos
. Se
, isto é
; então,
, de onde obtemos
. Logo, o conjunto-solução é:
[3] Ache a solução de:
Resolvemos
, que é equivalente a
, da qual obtemos
ou . Logo, o conjunto-solução é:
1.3 Valor Absoluto
O valor absoluto ou módulo de um número real , denotado por é definido como o maiornúmero do conjunto
, ou equivalentemente:
se
se
Observe que o valor absoluto de um número real é sempre não negativo e possui as seguintespropriedades imediatas. Sejam
; então:
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12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
1.
, para todo
2.
se e somente se
,
3.
4.
se e somente se
ou
5.
, se
6.
.
Exemplo 1.2.
[1] Achar a solução de:
.
Pelas propriedades anteriores,
é equivalente a:
ou
.
Se
, então
e ou
; se
, então
,
o que é impossível. O conjunto-solução é:
[2] Achar a solução de:
.
Pela propriedades anteriores,
é equivalente a:
ou
;Se
, então
; logo,
Se
, então
, que não possui solução. O conjunto-solução é:
1.3.1 Distância
Usando o valor absoluto podemos definir a distância entre dois números reais. A distânciaentre os números reais e
é
. Então
é a distância de à origem.
Exemplo 1.3.
[1] A distância entre os números e é
.
[2] A distância entre os números
e
é
e a distância entre osnúmeros
e é
.
[3] A distância entre os números
e
é:
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1.4. PLANO COORDENADO 13
1.4 Plano Coordenado
Um par ordenado de números reais é uma dupla de números reais
, tais que
se e somente se . O elemento do par ordenado é chamado primeira coordenada dopar e
é chamado a segunda coordenada do par. De forma análoga à representação geo-
métrica dos reais, podemos representar geometricamente os pares ordenados. Para isto con-sideramos duas retas, que por conveniência impomos que se intersectem perpendicularmen-te. A reta horizontal é chamada eixo das abscissas ou eixo dos e a reta vertical é chamadaeixo das ordenadas ou eixo dos
. A interseção das retas é chamada origem, à qual asso-
ciamos o par
e atribuimos sentidos a estas retas, que descrevem um plano, chamadoplano coordenado. As quatros regiões determinadas no plano por estas retas são chamadasquadrantes. A representação de um par ordenado como um ponto do plano ( e reciproca-mente), é feita de forma análoga a do eixo coordenado. Por exemplo, os seguintes pontos
, tem a seguinte representação no plano
coordenado:
D
A2
1
-1
-2
-2 10x
y
B
C
Figura 1.4:
Usando o teorema de Pitágoras podemos definir a distância entre dois pontos do plano coor-denado.
B
x
y
x
y
1 2
1
2
A
d
y
x
Figura 1.5:
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14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Sejam
e
pontos do plano. A distância
entre
e é:
A distância possui as seguintes propriedades imediatas.
Proposição 1.1. Sejam
, e pontos do plano, então:
1.
e
se e somente se
.
2.
.
3.
.
Exemplo 1.4.
[1] Calcule a distância entre os pontos
e
. Aplicando a fórmula:
-2 -1 1 2
-4
-3
-2
-1
1
2
Figura 1.6:
[2] Determine o ponto , que divide na razão o segmento de reta que liga os pontos
e
.
Sejam
,
ospontosdadose
o ponto procurado e
,
pontos auxiliares como no desenho:
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1.5. EQUAÇÃO DA RETA 15
P
Q
S T
R
Figura 1.7:
Os triângulos
e
são semelhantes; logo:
e
Por outro lado,
e
Aplicando a fórmula da distância, temos que:
,
e
.Obtemos o sistema:
que tem como solução:
; logo
.
1.5 Equação da Reta
1.5.1 Equação Geral da Reta
Sejam
e
dois pontos distintos no plano:
x1 2
2
1
P
P
1
2y
y
x x
y
Figura 1.8:
A equação da reta que passa pelos pontos
e
é:
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16 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
onde
,
e
. Veja [TA], [LB].
Se
a reta é horizontal; se a reta é vertical. O ponto
pertence à reta
se
.
Exemplo 1.5.
[1] Ache a equação da reta que passa pelos pontos
e
.
Neste caso:
,
e
; logo, a equação é:
.
1 1 2 3 x
4
2
2
4
y
Figura 1.9: A reta
.
[2] Determine
tal que o ponto
pertença à reta
.
O ponto
pertence à reta
se, e somente se
; logo,
.
1 1 2 3 4 5 x
1
1
2
3
4
y
Figura 1.10: A reta
e o ponto
.
1.5.2 Equação Reduzida da Reta
Se uma reta não é paralela ao eixo dos , então
. Fazendo:
e
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1.5. EQUAÇÃO DA RETA 17
obtemos a equação reduzida da reta:
é chamado coeficiente angular da reta e
coeficiente linear da reta. É fácil ver que a equaçãoda reta que passa pelo ponto
e tem coeficiente angular é:
Exemplo 1.6.
[1] Obtenha a equação reduzida da reta que passa pelos pontos
e
.
Neste caso:
e fazemos
ou
; então, se
e
, temos,
ou
.
1 1 2 3 x
2
1
1
2
y
Figura 1.11: A reta
.
[2] Escreva na forma reduzida a equação:
.
A forma reduzida é do tipo
; então,
1.5.3 Paralelismo e Perpendicularismo de Retas
Sejam
e
as equações de duas retas. As retas são paralelas se, esomente se:
As retas são perpendiculares se, e somente se:
Logo, as retas de equações
e
são perpendiculares, se, e
somente se:
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18 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Exemplo 1.7.
[1] Ache o valor de
tal que as retas::
(a)
e
sejam paralelas.
(b)
e
sejam perpendiculares.
(a) As retas são paralelas se os coeficientes angulares são iguais; logo,
; donde
.
(b) As retas são perpendiculares se:
, donde
.
0.4 0.2 0.2 0.4 x
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
y
1.0 0.5 0.5 1.0 x
0.5
1.0
1.5
2.0
y
Figura 1.12: As retas do exemplo (a) e (b), respectivamente.
[2] Determine a reta que passa pelo ponto de interseção das retas
e
e é perpendicular a
.
Primeiramente, determinemos o ponto de interseção das retas, resolvendo o sistema:
Obtemos o ponto
. A reta que procuramos tem equação
tal que
,
onde
é o coeficiente angular da reta
; logo,
e
. Como
a reta passa por
, a reta procurada é
.
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
Figura 1.13: As retas do exemplo [2].
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1.6. EQUAÇÕES DAS CÔNICAS 19
1.6 Equações das Cônicas
A equação do segundo grau em duas variáveis:
sendo
e não simultanemente nulas representa, em geral, uma curva no plano chamada
cônica, cuja natureza depende dos coeficientes
, ,
, e . Podemos considerar dois casos:
e
e
.
Caso1: Se
e
, completando quadrados dos binômios nas variáveis e
, a equação
acima pode ser escrita como:
onde
,
e
. Se , o lugar geométrico é um ponto.
Se
e
ou
tem sinais opostos, não existe lugar geométrico. Se
, a equação pode serescrita como:
Se
(
e
tem o mesmo sinal) e tem o mesmo sinal de
ou
, a equação
pode
ser escrita como:
onde
e
. A equação
representa uma elipse centrada em
e eixosparalelos aos eixos coordenados; no caso particular
, a equação representa um círculo deraio , centrado em
:
Se
(
e tem sinais opostos). Se
e
(ou
e
), a equação podeser escrita como:
onde
e
.
Se e
(ou
e
), a equação pode ser escrita como:
onde
e
. As equações
e
representam uma hipérbole de eixos paralelosaos eixos coordenados.
Se , a equação pode ser escrita como:
, que representa duasretas que se intersectam.
Caso 2: Se
ou
. Supondo
e
, a equação é:
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20 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
que representa uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos .
Se
e
a equação é:
que é a equação de uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos . Se
, a equação
representa uma reta.
Exemplo 1.8.
Diga o que representam as seguintes equações:
[1]
.
[2]
.[3]
.
[4]
.
[5]
.
[6]
.
[7]
.
Soluções:
[1]
,
,
;
,
e
; logo, ,
,
,
e
. A equação representa uma elipse centrada no ponto
de equação:
[2]
,
;
,
e
; logo, ,
,
e . Aequação representa um círculo centrado em
, de raio
e tem a forma:
.
1 2 3 4 5 6 x
2
4
6
8
10
y
1 1 2 3 x
2
1
1
2
y
Figura 1.14: Desenhos do exemplo [1] e [2], respectivamente.
[3] Como
,
,
e
, temos:
,
,
,
e
. A equação representa uma hipérbole e pode ser escrita como:
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1.6. EQUAÇÕES DAS CÔNICAS 21
[4] Como
,
,
, e
, temos:,
,
,
,
,
e
. A equação representa uma hipérbole:
4 2 2 4 x
3
2
1
1
2
3
y
2 2 4 x
4
2
2
4
y
Figura 1.15: Desenhos do exemplo [3] e [4], respectivamente.
[5] Como
e
, a equação representa duas retas concorrentes; de fato:
. Logo,
; então,
ou
.
[6] Como
, , a equação representa uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos .
4 2 2 4 x
4
3
2
1
1
2
3
y
1 1 2 3 4 5 x
2
1
1
2
y
Figura 1.16: Desenhos do exemplo [5] e [6], respectivamente.
[7] Como
, a equação representa uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos .
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22 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
3 2 1 1 2 3 x
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
y
Figura 1.17: Desenho do exemplo [7].
1.7 Trigonometria
Inicialmente faremos uma revisão do conceito de radiano. Sabemos que arcos de círculos quesubtendem o mesmo ângulo central são semelhantes e que a razão da semelhança é a razãoentre os raios. Num círculo de centro
e raio
, seja
o comprimento do arco
subtendido
pelo ângulo central .
A
B
l
rα
O
Figura 1.18:
é diretamente proporcional a
e à medida do ângulo . Admitindo que o arco e o raio sejam
medidos com a mesma unidade e denotando por
a medida do ângulo , temos
, onde a constante
depende da unidade de medida de ângulos escolhida. Radianoé a unidade de medida de ângulos para a qual
, ou seja, tal que
. Emresumo, a medida do ângulo
em radianos é dada pela razão:
, onde
é o comprimentodo arco subtendido no círculo cujo centro é o vértice do ângulo e
é o raio do círculo. Como ocomprimento de um semi-círculo ou arco de
é , então
radianos; logo,
Note que a medida de um ângulo em radianos não depende da unidade de comprimento consi-derada. No plano coordenado consideremos um círculo orientado no sentido anti-horário,centrado na origem e de raio igual a . Este círculo é denominado círculo trigonométrico. Oponto
, interseção do círculo com o semi-eixo positivo das abscissas é chamado origem. Ospontos
, ,
,
, interseções do círculo com os eixos coordenados o dividem em quatro partes
congruentes.
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1.7. TRIGONOMETRIA 23
B
C A
D
III
II I
IV
Figura 1.19:
Como a equação do círculo é
, seu comprimento é
. Portanto, a medida dequalquer arco deste círculo é igual a sua medida em radianos.Considere o ângulo
que determina sobre o círculo de raio , o arco de origem
e
extremidade
tais que
e
, como no desenho:
M
Oα
P A
Figura 1.20:
O seno do ângulo é denotado por e definido por:
O co-seno do ângulo
é denotado por
e definido por:
A tangente do ângulo é denotada por
e definida por:
se
; equivalente-
mente,
se
A co-tangente do ângulo
é denotada por
e definida por
se
; equiva-lentemente,
se
Identidade Fundamental : Do triângulo
e como
, tem-se:
As definições de seno, co-seno, tangente e co-tangente de um ângulo agudo são coerentes comnossa definição. Por simetria, podemos obter os valores para os arcos maiores que
. Como
8/18/2019 Cálculo I Instituto de Matemática UERJ
24/392
24 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
dois arcos são congruentes se suas medidas diferirem por um múltiplo de
, temos que doisarcos congruentes tem a mesma origem e a mesma extremidade, portanto o mesmo seno, co-seno, etc. É comum representar todos os arcos congruentes ao arco por
, onde
é um
número inteiro. A partir das relações anteriores, definimos a secante e a co-secante do ângulo
por:
e
onde e , respectivamente. A seguir apresentamos algumas propriedades:
Se
:
Se
:
Se
:
Observamos que para qualquer ângulo tem-se:
e
Adição dos arcos :
A verificação destas propriedades pode ser considerada como exercício. Usando as definiçõesé possível deduzir muitas outras propriedades ou identidades trigonométricas. Por exemplo:
1.
2.
3.
4.
A seguir os valores mais utilizados de seno e co-seno:
1.7.1 Aplicações
Lei dos Senos Para qualquer triângulo
verifica-se:
onde
,
,
são os lados opostos aos ângulos
,
e
, respectivamente. Considere o seguinte desenho:
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1.8. EXERCÍCIOS 25
C
B
α
β
D
b
a
A
c
γ
Figura 1.21:
Seja o ponto obtido pela interseção da reta que passa por
e é perpendicular ao lado
.
Logo:
o que implica:
. Portanto:
. Analogamente,obtemos:
Área de um triângulo : Como aplicação direta da lei dos senos, obtemos a área do triângulo
:
1.8 Exercícios
1. Ache a solução das seguintes desigualdades e represente no eixo coordenado o conjuntosolução:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
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26 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
(p)
(q)
(r)
2. Determine os valores de tais que:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
3. Verifique se é verdadeiro ou falso, dando um exemplo no caso de serem falso:
(a) Para todo , e
:
e
(b) para todo e :
.
4. Marque os seguintes pontos no plano coordenado e calcule a distância entre eles:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
5. Utilize a fórmula da distância para verificar que os pontos
,
,
são coli-neares.
6. Utilize a fórmula da distância para verificar que os comprimentos das diagonais de umretângulo são iguais.
7. Verificar que os seguintes pontos:
,
e
são os vértices de umtriângulo equilátero.
8. Determine os pontos equidistantes dos pontos
e
.
9. Verifique que a distância do ponto à reta é
10. Determine a distância entre as retas
e
.
11. Ache a equação da reta que passa pelos pontos:
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1.8. EXERCÍCIOS 27
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) f)
12. Obtenha a equação da reta paralela à reta
e que passa pelo ponto
.
13. Ache a equação da reta perpendicular à reta
e que passa pelo ponto
.
14. Verifique que as retas
e
são perpendiculares.
15. Determine a natureza das curvas representadas pelas seguintes equações:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
16. Seja
um ponto numa parábola ou numa elipse. Uma reta que passe por
é dita tangen-te à parábola ou à elipse no ponto
se a parábola ou a elipse estão contidas inteiramente
num dos semi-planos determinado pela reta. Verifique que a a reta
é tangenteà parabola
no ponto
.
17. Dada a reta
e o círculo
, determine
tal que:
(a) sejam secantes;
(b) sejam tangentes.
18. Para que valores de
a reta
é tangente ao círculo
?
19. Obter o valor simplificado de:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
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28/392
28 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
20. Verifique as seguintes identidades trigonométricas:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
21. Prove as seguintes propriedades:
(a)
(b)
(c)
(d)
22. Num triângulo de ângulos
e
e lados e tal que
, verifique:
(a)
e
(b)
(c) A área do triângulo é
. Esta expressão é chamada Fórmulade Herón.
23. Lei dos Co-senos: Para qualquer triângulo
, verifique:
(a)
(b)
(c)
onde
,
,
são os lados opostos aos ângulos
,
e
, respectivamente.
24. Determine a área do triângulo
, se:(a)
(b)
(c)
(d)
25. Sejam a reta
e
o ângulo formado pela reta e o eixo positivo dos . Verifique
que
. Determine a equação da reta que passa pelo ponto indicado e forme como eixo dos o ângulo dado.
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1.8. EXERCÍCIOS 29
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
26. Dada a equação
, sendo :
(a) Para que valores de a equação tem soluções reais?
(b) Para que valores de a equação admite raízes reais negativas?
27. Resolva as inequações:
(a)
(b)
(c)
(d)
se
28. Um poste na posição vertical, colocado num plano horizontal, encontra-se a
de umaparede plana e vertical. Neste instante, o sol projeta a sombra do poste na parede. Saben-do que esta sombra tem
e que a altura do poste é
, determine a inclinação dosraios solares em relação ao plano horizontal.
29. Um retângulo com lados adjacentes medindo e
com
tem períme-tro igual a
Calcule a área do retângulo.
30. Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos
, e
. O
comandante, quando o navio está em
, observa um farol e calcula o ângulo
. Após navegar
milhas até
, verifica o ângulo
. Quantas milhas separao farol do ponto
?
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30/392
30 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
8/18/2019 Cálculo I Instituto de Matemática UERJ
31/392
Capítulo 2
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
2.1 Definições e Exemplos
Neste capítulo estudaremos uma das noções fundamentais da Matemática, o conceito de fun-ção. Uma função de uma variável real é uma regra que descreve como uma quantidade édeterminada por outra quantidade, de maneira única. Existem várias alternativas para definirformalmente uma função. Escolhemos a seguinte:
Definição 2.1. Sejam
. Uma função
definida em
e com valores em é uma regra que
associa a cada elemento
um único elemento
.
As notações usuais são:
tal que
ou
O número é chamado variável independente da função e variável dependente da função.
Exemplo 2.1.
[1] A seguinte tabela, que mostra a vazão semanal de água de uma represa, representa umafunção:
Dia 2 3 4 5 6 7
870 870 950 497 510
De fato, a tabela representa uma função, pois a cada dia fica associada uma única quantidade devazão. Note que, possivelmente, não existe uma fórmula matemática para expressar a funçãodo exemplo, mas, a definição de função é satisfeita.
[2] Foi feita uma pesquisa de preços (em R$) de produtos da cesta básica em três supermercados
31
8/18/2019 Cálculo I Instituto de Matemática UERJ
32/392
32 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
de um determinado bairro, obtendo-se a seguinte tabela:
Produto Sup. A Sup. B Sup. C
Esta tabela não representa uma função, pois a cada produto corresponde mais de um preço.
[3] A área de qualquer círculo é função de seu raio.
Se o raio do círculo é denotado por
, então,
. Um círculo de raio igual a
,tem área
; um círculo de raio igual a
, tem área
.(
=unidades de comprimento) e (
=unidades de área).
[4] Um tanque para estocagem de oxigênio líquido num hospital deve ter a forma de um cilin-dro circular reto de ( metros) de altura, com um hemisfério em cada extremidade. Ovolume do tanque é descrito em função do raio
.
r
Figura 2.1: Tanque de raio
.
O volume do cilindro é
e o dos dois hemisférios é
; logo, o volume total é:
Por exemplo, se o raio for
, o volume é
.
[5] Dois satélites artificiais estão circulando ao redor do Equador em uma órbita de raio igual a
. O comprimento que separa os satélites, se eles tiverem uma separação angularde
(em radianos), é , onde
é o raio.
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33/392
2.1. DEFINIÇÕES E EXEMPLOS 33
sθ
Figura 2.2: Satélites em órbita.
Logo, podemos descrever o comprimento em função da separação angular:
[6] Lei de Boyle: O volume de uma massa gasosa é inversamente proporcional à pressão a queela está submetida, isto é, o produto da pressão pelo volume é constante, se a temperatura dogás é constante. Denotamos a pressão por
, o volume por
e a temperatura constante por ;
então,
. Podemos escrever a pressão em função do volume:
ou o volume em função da pressão:
[7] Lei do fluxo laminar de Poiseuille: (Fluxo sanguíneo através de um vaso, como artériasou veias). Como as quantidades envolvidas são pequenas, podemos considerar que vasos temformato cilíndrico não elástico.
R
Figura 2.3: Vaso de raio .
Denotemos por
o raio e
o comprimento. Devido a fricção nas paredes do vaso, a velocidade do sangue é maior ao longo do eixo central do vaso e decresce se a distância
do eixo à
parede cresce e é zero na parede. A relação entre a velocidade da circulação e
é dada por:
onde
é a viscocidade do sangue e a diferença entre a pressão de entrada e a da saída do
sangue no vaso. Experimentalmente, para o sangue humano numa veia:
,
,
e
, logo:
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34 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
[8] Temos metros de arame para fazer um curral de formato retangular. Podemos escrever
a área do curral em função de um dos lados. De fato, se e são os lados do curral, seu
perímetro é
e a área do retângulo é
; logo:
[9] Fisiologistas desenvolveram uma fórmula para determinar a superfície corporal de animaisem função de seu peso. Se denotamos por
a superfície corporal, então:
onde
é o peso em quilos do animal e
é uma constante que depende do animal. Experi-
mentalmente, é conhecido que
para humanos e
para primatas. Por exemplo,um homem de
quilos tem uma superfície corporal aproximada de:
uma criança de
quilos tem uma superfície corporal aproximada de:
20
54
70
86
90
120
[10] Considere
e
a regra que associa a cada número real
, o seu cubo, isto é:
Por exemplo, ao número associamos o número
; ao número
associa-mos o número
; ao número
associamos o número
, ao número
associamos o número
, etc.
-1
2
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2.1. DEFINIÇÕES E EXEMPLOS 35
[11] Seja
e
a regra que associa a cada número real sua raiz quadrada, isto é:
Por exemplo, ao número associamos o número
; ao número
associamos o número
e ao número
não podemos associar nenhum número
real, pois, não é um número real.
0 2
4
-4 indefinido
[12] Seja
e
a seguinte função :
se
se
Ao número associamos o número
; ao número
associamos o número
; ao número
associamos o número
, etc.
-1 -3 2
[13] Seja
e
a seguinte função :
se
se
Por exemplo, ao número associamos o número ; ao número
associamos o núme-ro
; ao número
associamos o número
, pois
é irracional;
;
.
-1 2
Nos exemplos [3], [4], [5], [6],[7], [8], [9], [10], [11] e [12] as funções são definidas por equações(que fornecem
quando são atribuidos valores a ). No exemplo [13], a função não é dada
por uma equação, mas, a definição de função é satisfeita. Em geral, nem todas as funções sãonecessariamente, definidas de maneira explícita. Por exemplo:
[14] Se, durante o verão de 2006, no Rio de Janeiro, registrássemos a temperatura máximaocorrida em cada dia, obteríamos uma função. De fato, a cada dia, está associado uma única
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36 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
temperatura máxima, isto é, a temperatura é função do dia. Embora não exista uma fórmulaexplícita para expressar a função do exemplo, a definição de função é satisfeita.
Em geral, a maioria das funções usadas nas aplicações são dadas por fórmulas ou equações.Mas é preciso ter um pouco de cuidado, pois nem toda equação de duas variáveis define umafunção. Por exemplo, a equação
não define uma função, pois para
temos doisvalores para
, a saber:
; mas
dá origem a duas funções:
e
Podemos imaginar uma função como uma máquina que utiliza uma certa
matéria prima (input) para elaborar algum produto final (output) e o conjunto dos númerosreais como um depósito de matérias primas. Fica evidente que é fundamental determinar,exatamente, neste depósito, qual matéria prima faz funcionar nossa máquina; caso contrário,com certeza, a estragaremos; esta analogia nos leva às seguintes definições:
x f(x)
Figura 2.4:
Definição 2.2.
1. O conjunto de todos os
que satisfazem a definição de função é chamado domínio da função
e é denotado por
2. O conjunto de todos os
tais que
, onde
é chamado imagem dafunção
e é denotado por
.
É claro que
, , e que
é o conjunto dos valores da variável in-dependente para os quais
é definida;
é o conjunto dos valores da variável dependentecalculados a partir dos elementos do domínio. Duas funções
e são ditas idênticas se tem omesmo domínio e , para todo ; por exemplo as funções
e
são diferentes pois seus domínios são diferentes. Antes de ver alguns exem-plos, voltamos a insistir que para estudar qualquer função, devemos sempre determinar osconjuntos
e
Exemplo 2.2.
[1] A área de um círculo de raio é
; sendo o raio, temos: ; logo,
[2] Considere a função
; é claro que não existem restrições para o número real ;logo, temos que:
e
, para todo ; então
, então:
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2.1. DEFINIÇÕES E EXEMPLOS 37
[3] Considere a função
. Uma raiz quadrada existe somente se ; então:
Como todo número real possui raiz quadrada:
[4] Considere a função
. Como no caso anterior,
existe somente se
; resolvendo a inequação temos:
e, novamente, temos:
[5] Considere a função
; é claro que
é definida se e somente se
; logo temosque:
por outro lado, uma fração é nula se e somente se o numerador é nulo; então
[6] Considere a função
; como no caso anterior o denominador da fração não
pode ser nulo; logo
; então,
e:
[7] Considere a função
; como a raiz cúbica de um número positivo ou negativoé positiva ou negativa,
[8] Considere a função
. A função é definida se e
simultaneamente. Resolvendo as inequações, obtemos
; logo,
e
Agora que determinamos nos exemplos os domínios e imagens das funções, podemos avaliar,sem perigo, estas funções.
[9] Se
, então
,
e
, pois
é semprepositivo.
[10] Se
, calculamos
, se e
.
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38 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
2.2 Gráficos de Funções
A representação geométrica de uma função de uma variável real é dada por seu gráfico no
plano coordenado
.
Definição 2.3. O gráfico de uma função
é o seguinte subconjunto do plano:
Geometricamente
é, em geral, uma curva no plano. Nos exemplos [1], [13] e [14] da seção2.1,
não é uma curva. Nos casos em que
é uma curva, intuitivamente podemospensar que os conjuntos
e representam a “largura” e “altura” máxima da curva,respectivamente. Inicialmente, a construção dos gráficos será realizada fazendo uma tabela,onde as entradas da tabela são os elementos do domínio e as saídas, as respectivas imagens.Este processo é demorado e ineficiente e será abandonado nos capítulos seguintes, quando
serão dadas técnicas mais eficientes para fazer o gráfico. É importante não confundir a funçãocom seu gráfico, pois o gráfico é um subconjunto do plano.
Exemplo 2.3.
[1] Esboce o gráfico da função dada pela seguinte tabela, que mostra a vazão semanal de águade uma represa:
Dia
O gráfico desta função não representa uma curva. A primeira coluna da tabela representa aabscissa e a segunda coluna as respectivas ordenadas; logo, obtemos:
1 2 3 4 5
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