Apostila de
Clculo Zero
Este material visa auxiliar os estudos em Matemtica promovendo a reviso de seu contedo bsico, de forma a facilitar o aprendizado nas disciplinas de clculo e tambm melhorar o aproveitamento nas disciplinas que envolvam o raciocnio lgico.
Autora: Eloisa Mrcia da Silva
Maro de 2012
Apostila de
Clculo Zero
visa auxiliar os estudos em Matemtica promovendo a reviso
contedo bsico, de forma a facilitar o aprendizado nas disciplinas de clculo e tambm melhorar o aproveitamento nas disciplinas que envolvam o raciocnio lgico.
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Prezado(a) Aluno(a),
Faa uma leitura atenciosa do contedo e das situaes problemas propostas para compreenso e interpretao.
Participe das discusses das idias matemticas em sala e busque manter presena regular s aulas para que seu raciocnio e compreenso do contedo seja contnuo.
Leia a situao problema, formule hipteses e estime resultados. Elabore estratgia para resolve-los e siga os passos:
Anote os dados mais importantes; verifique o que se deseja descobrir no problema; faa um esquema ou desenho que o auxilie a visualizar e interpretar a situao; anote o raciocnio que voc usou na resoluo; registre os clculos; analise a soluo obtida, verificando se ela coerente com os dados do problema; anote a resposta completa.
Atravs da leitura do problema, utilizando os passos acima, voc ir identificar qual contedo, mtodo, propriedade e/ou frmula que ser(o) necessrio(s) para a soluo da situao proposta.
Tente identificar como se d sua aprendizagem: gosto de estudar sozinho ou em grupo; sua aprendizagem depende de voc e de sua dedicao.
Busque resolver os exerccios propostos antes de pedir ajuda. No copie uma resoluo sem compreend-la, esclarea a dvida e depois refaa o exerccio para verificar se realmente aprendeu.
As respostas dos exerccios servem como uma forma de conferir seu raciocnio. Se no estiver conseguindo resolver um exerccio, uma situao problema, procure esclarecimento antes de desistir.
Enfim, participe das aulas de forma efetiva e com ateno. Sempre que necessrio recorra s anotaes, ao livro e/ou apostila e esclarea suas dvidas com o(a) professor(a).
Organize um horrio de estudos para criar o hbito de estudar todos os dias. Lembre-se: a dvida s aparece quando nos exercitamos atravs da resoluo de exerccios diferentes.
Para seu sucesso realize as tarefas com organizao clareza e pontualidade.
Sucesso! o que desejamos.
Instituto de Engenharias e Tecnologias
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Contedo 1. CONJUNTOS ................................................................................................................................ 5
1.1 Notao de conjuntos .................................................................................................................. 5 1.2 Tipos de conjuntos ...................................................................................................................... 5 1.3 Operaes com conjuntos ..................................................................................................... 6
2. CONJUNTOS NUMRICOS ......................................................................................................... 7 2.1. N Naturais ......................................................................................................................... 8 2.2 Z Inteiros ........................................................................................................................... 8 2.3 Expresses numricas .......................................................................................................... 9
3. POTNCIAS .................................................................................................................................. 9 3.1 Nmeros Primos e Compostos ........................................................................................... 11 3.2 Decomposio de um nmero em um produto de fatores primos ...................................... 12 3.3 Mnimo mltiplo comum (m.m.c.) ........................................................................................ 12 3.4 Mximo Divisor Comum (m.d.c.) ......................................................................................... 12 3.5 Q Racionais: ................................................................................................................... 12
4 OPERAES ENTRE FRAES .............................................................................................. 13 4.1 Reduo de fraes ao mesmo denominador .................................................................... 13
5 NMEROS DECIMAIS ................................................................................................................ 13 5.1 Operaes com nmeros decimais ..................................................................................... 14
6 PORCENTAGEM ........................................................................................................................ 15 7 I IRRACIONAIS....................................................................................................................... 15 8 R REAIS .................................................................................................................................. 15 9 RADICAIS .................................................................................................................................... 17 10 PRODUTOS NOTVEIS ......................................................................................................... 18 11 OPERAES ALGBRICAS .................................................................................................. 20
11.1 Expresses algbricas ........................................................................................................ 20 11.2 Operaes com expresses algbricas .............................................................................. 20
12 EQUAES DO 1 GRAU ...................................................................................................... 20 13 EQUAES DO 2 GRAU ...................................................................................................... 21 14 INEQUAES ......................................................................................................................... 25 15 INEQUAO DO 2 GRAU ..................................................................................................... 27 16 FUNES ............................................................................................................................... 29
16.1 Tipos de funes ................................................................................................................. 30 17 FUNO DO 1 GRAU OU FUNO AFIM ........................................................................... 37
17.1 Zero da funo de 1 grau ................................................................................................... 38 17.2 Crescimento e decrescimento ............................................................................................. 39
18 FUNO DO 2 GRAU ........................................................................................................... 41 19 FUNO MODULAR .............................................................................................................. 45
19.1 Mdulo (ou valor absoluto) de um nmero: ........................................................................ 45 19.2 Equaes modulares ........................................................................................................... 45 19.3 Inequaes modulares ........................................................................................................ 46 19.4 Mdulo e raiz quadrada ....................................................................................................... 47 19.5 Funo modular ................................................................................................................... 47
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20 FUNO EXPONENCIAL ....................................................................................................... 49 21 FUNO LOGARTMICA ....................................................................................................... 52
21.1 Equao logartmica ............................................................................................................ 53 21.2 Inequao logartmica ......................................................................................................... 53
22 TRIGONOMETRIA .................................................................................................................. 54 22.1 Funes trigonomtricas bsicas ........................................................................................ 55 22.2 Unidades de Medidas de arcos: .......................................................................................... 56 22.3 Arcos de uma volta .............................................................................................................. 56 22.4 Mudana de unidades ......................................................................................................... 56 22.5 Crculo Trigonomtrico ........................................................................................................ 57 22.6 Arcos com mais de uma volta ............................................................................................. 57 22.7 Arcos Cngruos ................................................................................................................... 58 22.8 Seno e cosseno ................................................................................................................... 58
BIBLIOGRAFIA.................................................................................................................................... 66
1. CONJUNTOS
As seguintes convenes sero utilizadas nas teorias dos conjuntos:
a) Os conjuntos sero indicados por letras maisculas do alfabeto. Exemplo: A, B, C, ...
b) Os elementos sero indicados por letras minsculas do alfabeto. Exemplo: a, b, c, ...
c) Pertinncia: quando se quer relacionar elementos que pertencem a um conjunto, utiliza, que lido como elemento de a. O smbolo a negao do smbolo de pertinncia, portanto lido como no elemento de ou no pertence a.
1.1 Notao de conjuntos
Representamos de trs modos distintos os elementos de um conjunto.
1) Representao Tabular: Essa notao consiste em citar os elementos do conjunto separadosvrgulas e entre chaves. Exemplos:
a) A={a,e,i,o,u} b) B={1,3,5,...} c) C={0,2,4,6,...} d) D={verde,amarelo,azul,branco}
2) Representao descrevendo a propriedade que comum a todos os elementos que a esse conjunto. Exemplos:
a) A={ x / x consoante } b) B={ x / x negativo e par } c) C={ x / x pas da sia} d) D={ x / x cor da bandeira do Flamengo
3) Representao Grfica
C
1.2 Tipos de conjuntos
1) Conjunto Unitrio: Aquele que possui um nico elemento.
Exemplos: A={ 5 } B={ x/x capital de Minas Gerais C={ x / 3+x=5 }
Apostila de Clculo Zero
As seguintes convenes sero utilizadas nas teorias
Os conjuntos sero indicados por letras do alfabeto. Exemplo: A, B, C, ...
Os elementos sero indicados por letras minsculas do alfabeto. Exemplo: a, b, c, ... Pertinncia: quando se quer relacionar elementos que pertencem a um conjunto, utiliza-se o smbolo
, que lido como elemento de ou pertence a negao do smbolo de
lido como no elemento
Representamos de trs modos distintos os elementos
notao consiste em citar os elementos do conjunto separados por
D={verde,amarelo,azul,branco} Representao descrevendo a propriedade que comum a todos os elementos que pertencem
Flamengo}
Aquele que possui um nico
2) Conjunto Vazio: elementos. Pode ser representado por { } ou
Lembre-se: { } no representa conjunto vazio.
3) Conjunto Universo:contm todos os elementos possveis em um dado universo de discurso.
Exemplos: U={ a, b, c, ... , z} U={ ...,-2,-1,0,1,2,...} U={ x/x um nmero}
4) Conjuntos Disjuntos:possuem nenhum elemento em comum.
Exemplos: A={ 3,4 } e B={ 5,6 } E = { 5,6 } e F={56}
5) Conjunto Finito e Conjunto Infinito
5.1. Conjunto Finito aquele que possui um nmero finito de elementos. Exemplos: A = { 1, 5, 9 } B = { x/x rio do Brasil }
5.2. Conjunto Infinitoinfinidade de elementos.Exemplos: A = { 0, 1, 2, 3 } B = { x/x mpar e negativo
6) Subconjunto Subconjunto o conjunto A que est contido no conjunto B, ou seja, todo elemento de Apertence ao conjunto B.Exemplos: A={ 1, 3} subconjunto de B={ 1,2,3,4 }D={ x/x capital brasileira} subconjunto de F = { x/x cidade do Brasil }
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aquele que no possui elementos. Pode ser representado por { } ou .
} no representa conjunto vazio.
o Universo: aquele conjunto que contm todos os elementos possveis em um dado universo de discurso.
Conjuntos Disjuntos: So os conjuntos que no possuem nenhum elemento em comum.
Conjunto Finito e Conjunto Infinito
aquele que possui um nmero
}
Conjunto Infinito aquele que possui uma infinidade de elementos.
B = { x/x mpar e negativo }
Subconjunto o conjunto A que est contido no conjunto B, ou seja, todo elemento de A tambm pertence ao conjunto B.
A={ 1, 3} subconjunto de B={ 1,2,3,4 } D={ x/x capital brasileira} subconjunto de F = { x/x
7) Simbologia:
Obs.: Todo e qualquer conjunto sempre subconjunto do conjunto universo (dentro de um dado universo de discurso). Alm disso, o conjunto vazio por definio sempre subconjunto de qualquer conjunto.
1.3 Operaes com conjuntos
1) Interseo Na interseo entre dois (ou mais) conjuntos tomamos os elementos comuns aos conjuntos dadoSimbolicamente: A B = { x/x A e x
2) Unio Na unio entre dois (ou mais) conjuntos reunimos os elementos dos conjuntos dados em um nico conjunto. Simbolicamente: A B = { x/x A ou x
3) Diferena Na diferena entre dois conjuntos tomamos os elementos pertencentes ao primeiro conjunto e no pertencente ao segundo. Simbolicamente: A A e x B }.
Apostila de Clculo Zero
Obs.: Todo e qualquer conjunto sempre subconjunto (dentro de um dado universo de
discurso). Alm disso, o conjunto vazio por definio sempre subconjunto de qualquer conjunto.
Operaes com conjuntos
Na interseo entre dois (ou mais) conjuntos tomamos os elementos comuns aos conjuntos dados. B }.
Na unio entre dois (ou mais) conjuntos reunimos os elementos dos conjuntos dados em um nico conjunto.
x B }.
conjuntos tomamos os elementos pertencentes ao primeiro conjunto e no pertencente ao segundo. Simbolicamente: A - B = { x/x
Observaes:
1) Em geral, A B 2) Se B A, ento A
Complementar de B em relao a A3) A =
A A = A A B = B A
4) A = A A = A A B = B A
5) O nmero de elementos da unio de dois conjuntos igual a diferena entre a soma do nmero de elementos de cada um desses conjuntos, e o nmero de elementos da interseo:
Onde: n(A B) = nmero de elementos de A n(A) = nmero de elementos de An(B) = nmero de elementos de Bn (A B) = nmero de elementos de A
Exemplos:
1) Conjunto os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 5, 7, 9 }, determine.
a) A B b) A B c) A B d) B A
Soluo:
a) A B = {3, 5} b) A B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}c) A B = {1, 2, 4}d) B A = {7, 9}
2) Numa pesquisa realizada, verificoupessoas consultadas 100 liam o jornal A, 150 liam o jornal B, 20 liam os dois jornais A e B e 110 no liam nenhum dos jornais. Quantas pessoas foram consultadas?
a) 250
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B A. A, ento A B = (L-se:
Complementar de B em relao a A).
O nmero de elementos da unio de dois conjuntos igual a diferena entre a soma do nmero de elementos de cada um desses conjuntos, e o nmero de elementos da
B) = nmero de elementos de A B n(A) = nmero de elementos de A n(B) = nmero de elementos de B
B) = nmero de elementos de A B. Conjunto os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3,
, determine.
, 2, 3, 4, 5, 7, 9} {1, 2, 4}
Numa pesquisa realizada, verificou-se que, das pessoas consultadas 100 liam o jornal A, 150 liam o jornal B, 20 liam os dois jornais A e B e 110 no
dos jornais. Quantas pessoas foram
b) 230 c) 340 d) 380
Soluo: A soluo deste problema s pode ser realizada com a utilizao de diagramas uma vez que existem pessoas que GOSTAM DE DUAS COISAS AO MESMO TEMPO. Toda vez que o problema trouxer tal informao iremos utilizar deste recurso de diagrama.
3) Sabendo que os smbolos U e I significam unio e interseo, respectivamente e dados os conjuntos A = { a,b, c, d }, B = { c, d, e, f }, C = { e, f, g, h } analise os itens abaixo e assinale o CORRETO:
a) (A B) C = {a,b,c,d,e} b) (A B) C = {b,d} c) (B C) A = {a,b,c,d,e,f} d) A (B C) = { }
Soluo: Neste tipo de questo teremos que resolver todas as letras para perceber qual destas a correta.
Tomemos a afirmao da letra a - (Aconjunto formado a partir dos elementos que so comuns aos conjuntos A e B em unio a todos os elementos do conjunto C tendo como resposta o conjunto {c, d, e, f,g,h} por isto esta letra est errada.Vamos observar a afirmao da letra este item deseja unir os elementos do conjunto A e C e a partir desta unio separar os elementos comuns com o conjunto B tendo como resposta o conjunto {c, d, e, f} novamente nos deparamos com uma afirmao errada. Resolvendo a operao da letra c (B que os elementos que so comuns aos conjuntos B e C unidos ao conjunto A resultam nos elementos {a, b, c, d, e, f} por isto este item est certo. S para concluirmos o item d est errado porque no tem sentido unir trs conjuntos A, B e C e dizer que estes conjuntos representam uma operao vazia, ou seja, como se afirmssemos que no existem elementos nos conjuntos A, B e C o que um absurdo.
Inscreveram-se num concurso pblico 700 candidatos para 3 cargos - um de nvel superior, um de nvel mdio e um de nvel fundamental. permitido aos candidatos efetuarem uma inscrio para nvel superior e uma para nvel mdio. Os candidatos ao nvel fund
Apostila de Clculo Zero
A soluo deste problema s pode ser realizada com a utilizao de diagramas uma vez que existem pessoas que GOSTAM DE DUAS COISAS AO MESMO
problema trouxer tal informao iremos utilizar deste recurso de diagrama.
Sabendo que os smbolos U e I significam unio e interseo, respectivamente e dados os conjuntos A = { a,b, c, d }, B = { c, d, e, f }, C = { e, f, g, h }
xo e assinale o CORRETO:
Neste tipo de questo teremos que resolver todas as letras para perceber qual destas a correta.
A I B) U C este conjunto formado a partir dos elementos que so comuns aos conjuntos A e B em unio a todos os elementos do conjunto C tendo como resposta o conjunto {c, d, e, f,g,h} por isto esta letra est errada.
b - (A U C) I B este item deseja unir os elementos do conjunto A e C e a partir desta unio separar os elementos comuns com o conjunto B tendo como resposta o conjunto {c, d, e, f} novamente nos deparamos com uma afirmao errada.
B I C) U A temos que os elementos que so comuns aos conjuntos B e C unidos ao conjunto A resultam nos elementos {a, b, c, d, e, f} por isto este item est certo. S para
est errado porque no tem A, B e C e dizer que estes
conjuntos representam uma operao vazia, ou seja, como se afirmssemos que no existem elementos nos conjuntos A, B e C o que um absurdo.
se num concurso pblico 700 candidatos um de nvel superior, um de nvel mdio
e um de nvel fundamental. permitido aos candidatos efetuarem uma inscrio para nvel superior e uma para nvel mdio. Os candidatos ao nvel fundamental
somente podem efetuar13% dos candidatos de nvel superior efetuaram 2 inscries. Dos candidatos de nvel mdio, 111 candidatos efetuaram uma s inscrio, correspondendo a 74% dos candidatos desse nvel. Qual ento o nmero de candidatos ao nvel fundamental?
Soluo: Sejam: M o nmero de candidatos de nvel mdio; SM o nmero de candidatos aos nveis superior e mdio; S o nmero de candidatos ao nvel superior; F nmero de candidatos ao nvel fundamental. Da Matemtica Financeira = 0,74 e 13% = 13/100= 0,13.
Ento, 0,74M = 111, segue que, M = 111 / 0,74 = 150 e S150 - 111 = 39 .Assim, 0,13S = 39, implicando em S = 39 / 0,13 = 300 . Observe o diagrama de Venna quantidade de elementos.
Temos: 150 - 39 = 261. Logo, 261 + 39 + 111 + F = 700. Conseqentemente, F = 700
(PUC) Um levantamento sciohabitantes de uma cidade revelou que,exatamente: 17% tm casa prpria; 22% tm automvel; 8% tm casa prpria e automvel. Qual o percentual dos que no tm casa prpria nem automvel?Soluo: Com base nos dados, fazemos um diagrama de Venn-Euler, colocando a quantidade de elementos dos conjuntos, comeando sempre pelo nmero de elementos da interseo.
Como a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, ento 9% + 8% + 14% + x = 100 %. Da,vem que 31% + x = 100%. Logo, o percentual dos que no tm casa prpria nem automvel x =100% 69%
2. CONJUNTOS NUMRICOS
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somente podem efetuar uma inscrio. Sabe-se que 13% dos candidatos de nvel superior efetuaram 2 inscries. Dos candidatos de nvel mdio, 111 candidatos efetuaram uma s inscrio, correspondendo a 74% dos candidatos desse nvel.
nmero de candidatos ao nvel
Soluo: Sejam: M o nmero de candidatos de nvel M o nmero de candidatos aos nveis
superior e mdio; S o nmero de candidatos ao nvel superior; F nmero de candidatos ao nvel fundamental.
ica Financeira sabemos que: 74% = 74/100 = 0,13.
Ento, 0,74M = 111, segue que, M = 111 / 0,74 = 150 e SM = Assim, 0,13S = 39, implicando em S = 39
/ 0,13 = 300 . Observe o diagrama de Venn-Euler com lementos.
39 = 261. Logo, 261 + 39 + 111 + F = 700. Conseqentemente, F = 700 - 411 = 289.
(PUC) Um levantamento scio-econmico entre os habitantes de uma cidade revelou que,exatamente: 17% tm casa prpria; 22% tm automvel; 8% tm
prpria e automvel. Qual o percentual dos que no tm casa prpria nem automvel? Soluo: Com base nos dados, fazemos um diagrama
Euler, colocando a quantidade de elementos dos conjuntos, comeando sempre pelo nmero de elementos da interseo.
Como a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, ento 9% + 8% + 14% + x = 100 %. Da,vem que 31% + x = 100%. Logo, o percentual dos que no tm casa prpria nem automvel x =100% - 31% =
CONJUNTOS NUMRICOS
2.1. N Naturais
O conjunto dos nmeros naturais indicado por N e representado pelos nmeros positivos inclusive o zero, que representem uma contagem inteira.No h nmeros naturais negativos.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} ( um conjunto infinito)N*= {1,2,3,4,...} (exclui o zero, e subconjunto de N)
1) Operaes em N
a) Adio Na adio os nmeros so chamados de parcelas, sendo a operao aditiva, e o resultado a soma.Sendo a, b N e a b, a diferena D = a onde a, b so parcelas e o S a soma.
b) Subtrao Na subtrao os nmeros so chamados de subtraendo, sendo a operao a subtrao, e o resultado o minuendo. Sendo a, b N e a b, a diferena D = a onde a o minuendo, b o subtraendodiferena.
c) Multiplicao Na multiplicao os nmeros so chamados de fatores, sendo a operao multiplicativa e o resultado o produto. Sendo a, b N, o produto P = ab N, onde afatores e P o produto.
d) Diviso Na diviso, os nmeros so chamados de dividendoparte que est sendo dividida) e divisor (a quantia de vezes que esta parte est sendo dividida), a operao a diviso, e o resultado o quociente.Sendo a, b N e b 0, a diviso aproximada de a por b, consiste em encontrar dois nmeros q, r que a = bq + r.
Exemplo: Existe na diviso, o que se pode chamar de resto. Isto , quando uma diviso no exata ir sempre sobrar um determinado valor, veja no exemplo a seguir:
843 / 5 = 168 34 43 3 resto (r)
Observaes:
1) O resto sempre menor que o divisor (r $>$ =
Observao: Podemos representar o inverso de uma frao atravs da potncia com expoente C ;D ;
5 NMEROS DECIMAIS
Observe o resultado da diviso de 125 por 4:
125 05
O nmero 31,25 um exemplo de nmero decimal. Nos nmeros decimais a vrgula separa a parte inteira da parte decimal:
31 parte inteira ,25 parte decimal
E, para transformar uma frao em um nmero decimal, basta efetuar a diviso entre numerador e denominador.
Transformao de um nmero decimal em frao decimal: 1) O numerador o nmero decimal sem a vrgula2) O denominador o nmero 1 acompanhado de
tantos zeros quantos forem os algarismos da parte decimal.
5,36 = "2
0,65 = 2
0,047 = 1
13
= "
Observao: Podemos representar o inverso de uma frao atravs da potncia com expoente -1:
NMEROS DECIMAIS Observe o resultado da diviso de 125 por 4:
125 4 05 31,25
10 20 0
O nmero 31,25 um exemplo de nmero decimal. Nos nmeros decimais a vrgula separa a parte inteira
E, para transformar uma frao em um nmero decimal, basta efetuar a diviso entre numerador e
Transformao de um nmero decimal em frao
O numerador o nmero decimal sem a vrgula denominador o nmero 1 acompanhado de
tantos zeros quantos forem os algarismos da parte
5.1 Operaes com nmeros decimais
1) Adio Na adio os nmeros so chamados de parcelas, sendo a operao aditiva, e o resultado a soma.
Exemplos: 4,32 + 2,3 + 1,429 = 8,049
4,32 2,3 + 1,429 8,049 7 " 7 EE2 212 1,1166 ,E2E,%= ,= 1,1166
2) Subtrao Na subtrao os nmeros so chamados de subtraendo, sendo a operao a subtrao, e o resultado o minuendo.
Exemplos: As regras para a subtrao so as mesmas da adio, portanto podemos utilizar os mesmos exemplos apenas alterando a operao. Numa subtrao do tipo 4-7 temos que o minuendo menor que o subtraendo; sendo assim a diferena ser negativa e igual a -3.
3) Multiplicao Na multiplicao os nmeros so chamados de fatores, sendo a operao multiplicativa, e o resultado o produto.
Pode-se representar a multiplicao por: *, x ou .
Exemplo:
7,32 * 12,5 = 91,500
7,32 x 12,5 3660 1464 + 732 91,500
Na multiplicao de fraes multiplicadivisor, dividendo com dividendo (ou simplesmente, o de cima pelo de cima e o de baixo pelo de baixo). 12 23 8 166 83 2,6
4) Diviso Na diviso, os nmeros so chamados de dividendo( a parte que est sendo dividida) e divisor (a quantia de
Apostila de Clculo Zero
Operaes com nmeros decimais
Na adio os nmeros so chamados de parcelas, ditiva, e o resultado a soma.
ou 7 " 7
Na subtrao os nmeros so chamados de a operao a subtrao, e o
Exemplos: As regras para a subtrao so as mesmas da adio, portanto podemos utilizar os mesmos exemplos apenas alterando a operao. Numa
7 temos que o minuendo menor aendo; sendo assim a diferena ser
Na multiplicao os nmeros so chamados de fatores, sendo a operao multiplicativa, e o resultado o
se representar a multiplicao por: *, x ou .
Na multiplicao de fraes multiplica-se divisor com divisor, dividendo com dividendo (ou simplesmente, o de cima pelo de cima e o de baixo pelo de baixo).
Na diviso, os nmeros so chamados de dividendo( a parte que est sendo dividida) e divisor (a quantia de
vezes que esta parte est sendo dividida), a operao a diviso, e o resultado o quociente.
Exemplo: Existe na diviso, o que se pode chamar de resto. Isto , quando uma diviso no exata ir sempre sobrar um determinado valor, veja no exemplo a seguir:
843 / 5 = 168 34 43 3 resto (r)
Se o resto for igual a zero a diviso chamada exata.
5) Potncia de nmeros decimaisTodo nmero decimal equivalente a um produto do qual um fator o nmero escrito como inteiro, e outro uma potncia de dez com expoente negativo, com tantas unidades no expoente quantas so as ordens decimais.
6) Diviso por potncias de 10:Para dividir um nmero decimal qualquer por uma potncia de 10, basta deslocar a vrgula para a esquerda um nmero de casas decimais equivalente ao expoente da potncia.
Exemplos: 379,4 > 103 = 0,3794 4251 > 102 = 42,51
Um nmero qualquer pode ser expresso como o produto de um nmero compreendido entre 1 e 10, por uma potncia de 10 adequada.
1) Conta-se o nmero de casas decimais que a vrgula deve ser deslocada para a esquerda; este nmero nos fornece o expoente positivo da potncia de base 10.
Exemplo: 43.300.000 = 4,33 x 107 De zero at entre 4 e 3, contamos sete casas.
2) Conta-se o nmero de casas decimais que a vrgula deve ser deslocada para a direita; este nmero nos fornece o expoente negativo da potncia de base 10.
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vezes que esta parte est sendo dividida), a operao a diviso, e o resultado o quociente.
diviso, o que se pode chamar de resto. Isto , quando uma diviso no exata ir sempre sobrar um determinado valor, veja no exemplo a seguir:
Se o resto for igual a zero a diviso chamada exata.
ia de nmeros decimais Todo nmero decimal equivalente a um produto do qual um fator o nmero escrito como inteiro, e outro uma potncia de dez com expoente negativo, com tantas unidades no expoente quantas so as
potncias de 10: Para dividir um nmero decimal qualquer por uma potncia de 10, basta deslocar a vrgula para a esquerda um nmero de casas decimais equivalente ao
r pode ser expresso como o produto de um nmero compreendido entre 1 e 10, por uma potncia de 10 adequada.
se o nmero de casas decimais que a vrgula deve ser deslocada para a esquerda; este nmero nos fornece o expoente positivo da
base 10. 7
De zero at entre 4 e 3, contamos sete casas.
se o nmero de casas decimais que a vrgula deve ser deslocada para a direita; este nmero nos fornece o expoente negativo da potncia de base 10.
Exemplo: 0,000008 = 8,0 x 10-6 Da vrgula at depois de oito, contamos 6 casas.
6 PORCENTAGEM
A porcentagem toda frao com denominador igual a 100. Dessa forma, o nmero G pode ser escrito como x%, onde o smbolo % indica a diviso por 100.Observe ainda que todo nmero decimal pode ser escrito como uma frao centesimal. Exemplos: 25% = = 0,25
125% = = 1,25
0,25% = , = 0,0025
Exerccios: 01) Determine o valor das seguintes expresses:a) 5% de 400 b) 12% de 1500 c) 0,3% de 88000
Soluo: a) 5% de 400 = . 400 20
b) 12% de 1500 = . 1500 180
c) 0,3% de 88000 = 0,003.88000
7 I IRRACIONAIS
Um nmero ser irracional quando no se pode traduzir por uma frao do tipo a/b inteirosmaneira : Um nmero real diz-se irracional qupode exprimir-se por uma dzima finita ou peridica. Ou ento, so todas as decimais no exatas e no peridicas.
I= {..., 2 , 3, H, I2 , }
1) 2 um nmero irracional por que no pode ser expresso como uma frao cujos termos sejam nmeros inteiros. Entretanto, podemos aproximar 2 com o nmero de casas decimais que desejarmos. Exemplificando, 2 Japroximao de um dcimo de milsimoaproximaes se tornam nmeros racionais
2) H tambm irracional (H 3,1415926535...)
Expresses irracionais:
Apostila de Clculo Zero
Da vrgula at depois de oito, contamos 6 casas.
A porcentagem toda frao com denominador igual a pode ser escrito como
x%, onde o smbolo % indica a diviso por 100. a que todo nmero decimal pode ser
Determine o valor das seguintes expresses:
180 264
Um nmero ser irracional quando no se pode traduzir inteiros. Dito de outra
se irracional quando no se por uma dzima finita ou peridica. Ou
o todas as decimais no exatas e no
um nmero irracional por que no pode ser expresso como uma frao cujos termos sejam nmeros inteiros. Entretanto, podemos aproximar
com o nmero de casas decimais que J 1,4142, com a aproximao de um dcimo de milsimo. Essas aproximaes se tornam nmeros racionais
3,1415926535...)
Uma expresso irracional um polinmio que contm um ou mais nmeros irracionais.Exemplos: 5 7 3,23 12 3 K12 31B
8 R REAIS
a unio dos conjuntos numricos citados acima. Portanto, todo nmero, seja N, Z, Q ou I um nmero R (real).
Observao: Racionais Irracionais = ReaisN Z Q R e irracionais
Intervalos Os intervalos so subconjuntos de nmeros reais, representados na reta numrica, geometricamente, ou representados algebricamente, podendo ser abertos ou fechados.
Intervalos Finitos Representao Grfica
Intervalo aberto Intervalo fechado Intervalo semi-aberto direita Intervalo semi-aberto esquerda Intervalos Infinitos Representao Grfica
Intervalo fechado indo para o infinito positivo Intervalo fechado indo para o infinito negativo Intervalo aberto indo para o infinito positivo Intervalo aberto indo para o infinito negativo
Exerccios:
1) Escreva na forma de intervalo cada representao geomtrica dada abaixo.
a) -2 3
15
Uma expresso irracional um polinmio que contm um ou mais nmeros irracionais.
dos conjuntos numricos citados acima. Portanto, todo nmero, seja N, Z, Q ou I um nmero
Irracionais = Reais R e irracionais R
Os intervalos so subconjuntos de nmeros reais, reta numrica, geometricamente, ou
representados algebricamente, podendo ser abertos ou
Representao Grfica Notao de Conjuntos Notao de intervalo
{x R / a < x < b} ]a,b[
{x R / a x b} [a,b]
{x R / a x < b} [a,b[
{x R / a < x b} ]a,b]
Representao Grfica Notao de Conjuntos Notao de intervalo
{x R / x a} [a,+[
{x R / x a} ]-,a]
{x R / x > a} ]a, +[
{x R / x < a} ]-,a[
1) Escreva na forma de intervalo cada representao geomtrica dada abaixo.
2 3
b) 4 c) -5 d) 0 1
2) Dados os conjuntos abaixo, expressede intervalo e na forma geomtrica:
a) { }106/ xx b) { }/ 1 5x x < c) { }/ 4x x d) {x / x < 1}
3) Dados os intervalos abaixo, expressegeomtrica:
a)[ , +) b) (0, 7] c)(-, 3) d) [6, +)
Operaes com intervalos: Unio,diferena
Como intervalos so conjuntos natural que as operaes mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resoluo de alguns problemas. E a maneira mais fcil e intuitiva de realizar essas operaes atravs da representao grintervalos envolvidos. Para encontrarmos um intervalo primeiramente, marcamos todos os pontos que so extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos dados. E, por fim, s utilizar a definio de unio, interseco e diferena para determinar os trechos. Vamos um exemplo prtico de como efetuar tais operaes.
Exemplos: Dados A = {x R / 1 < x < 1} e B = [0, 5), determine:
a) A B b) A B d) B A
Resoluo: a) [0, 1)
b) (-1, 5)
Apostila de Clculo Zero
2) Dados os conjuntos abaixo, expresse-os na forma
3) Dados os intervalos abaixo, expresse-os na forma
)
Operaes com intervalos: Unio, Interseo e
intervalos so conjuntos natural que as operaes mencionadas possam ser realizadas. E,
se de um procedimento muito comum na
E a maneira mais fcil e intuitiva de realizar essas operaes atravs da representao grfica dos
Para encontrarmos um intervalo primeiramente, marcamos todos os pontos que so extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traamos os intervalos que
juntos dados. E, por fim, s utilizar a definio de unio, interseco e diferena para determinar os trechos. Vamos um exemplo prtico de como efetuar tais operaes.
1 < x < 1} e B = [0, 5), determine: c) A B
c) (-1, 0)
d) [1, 5)
Exerccios 1) Determine A B, quando:a) A = {x R / x < 3} e B = {x b) A = {x R / 3 x < 1} e B = {x c) A = {x R / x 5} e B = {x
2) Determine A B, quando:a) A = {x R / 0 < x
7) Dados os conjuntos A={ x R /1 < R / 2 < x < 7}, C={ x R / x < 1} e D={5}, determine:
a) A B b) A B c) C D
8) Resolva a equao 5x2 12x+4=0, sendo:
a) U= b) U = Q c) U= R
9) Considere os conjuntos:
, dos nmeros naturais; Q, dos nmeros racionais; Q+, dos nmeros racionais no-negativos; R, dos nmeros reais.
O que no expressa:
a) a quantidade de habitantes de uma cidade um elemento de Q+, mas no de . b) a medida da altura de uma pessoa um elemento de . c) a velocidade mdia de um veculo um elemento de Q, mas no que Q+. d) o valor pago, em reais, por um sorvete um elemento de Q+. e) a medida do lado de um tringulo um elemento de Q.
10) Se ao dobro de um nmero real somarmos 5, multiplicarmos esse resultado por 3, subtrairmos 15 e dividirmos pelo prprio nmero, podemos afirmar que oresultado obtido:
a)pode ser fracionrio. b) pode ser negativo. c) sempre 2. d) sempre 6. e) depende do nmero considerado.
Gabarito
1) a) {x R / 1< x < 3} x < 1} c) { x R / x
2) a) { x R / 0 < x< 5} < x 1 ou 2 x 3} c) {x R /
3) a) ]5,7] b) [1,2[ c) [2,3[
4) a) ] 4, 1[ [ b) ] 2, 1[
5) a) ] 2, 4] b) [ 2, 6] d) ]1, 5]
6) a) A B b) A B
Apostila de Clculo Zero
x < 5} e B={ x D={ x R /2 < x <
D d) C
12x+4=0, sendo:
R
negativos;
a) a quantidade de habitantes de uma cidade um edida da altura de uma pessoa um elemento
c) a velocidade mdia de um veculo um elemento de d) o valor pago, em reais, por um sorvete um e) a medida do lado de um tringulo um elemento de
ro de um nmero real somarmos 5, por 3, subtrairmos 15 e
dividirmos pelo prprio nmero, podemos afirmar que o
b) { x R / 0 2}
b) { x R / 4 R / x -2}
c) [2,3[ d) ]5, 9[ ] 2,4 [
c) [2, 3]
c) A B
7) a) ]2, 5[ ]2, 5[ d) R
8) a) S={2}
9) d
10) d
9 RADICAIS
Definio: Denomina-se raiz de ndice sima) de A, ao nmero ou expresso que, elevado potncia n reproduz ) ; ;
Observaes: Representa-se a raiz pelo smboloAs razes em que o radicando seja negativo e o
ndice par no so reais.
Exemplos: a) 4 2 4 b) 83 2 c) 25 NP QRSTUQ
Propriedades possvel retirar um fator do radical, bastante que se divida o expoente do radicando pelo ndice do radical. Exemplos:
a) 12 V22. 3 b) 180 V22. 32c) V38. 54. 2.4 32.d) V384 38:4 32
Reciprocamente, para introduzir multiplica-se o expoente do fator pelo ndice do radical. Assim:
33
1) Adio e subtrao de radicais semelhantesRadicais de mesmo ndice e mesmo radicando so semelhantes. Na adio e subtrao de radicais semelhantes, operam-se o radical. Exemplos:
a) 32 7 52 10b) 323 7 623 5
17
b) ]1, 7[ c) ] 2, 1[
b) S={2, 25} c) S={2, 2
5}
se raiz de ndice n (ou raiz n-, ao nmero ou expresso que, elevado reproduz A.
se a raiz pelo smbolo As razes em que o radicando seja negativo e o
ndice par no so reais.
22 8 23 QRSTUQ QX Y possvel retirar um fator do radical, bastante que se divida o expoente do radicando pelo ndice do
23 2. 5 2.35 65 524 2
Reciprocamente, para introduzir um fator no radical, se o expoente do fator pelo ndice do radical.
2 K33. 23 Adio e subtrao de radicais semelhantes
Radicais de mesmo ndice e mesmo radicando so semelhantes. Na adio e subtrao de radicais
-se os coeficientes e conserva-
102 22 523 23 923 623 323
2) Multiplicao e diviso de radicais de mesmo ndice
Multiplicam-se (dividem-se) os radicandos e dao produto (quociente) o ndice comum.Exemplos:
a) 2. 3 2.3 6 b) 62 K62 3 c) 3. 5. 2 3.5.2 30 d) 54 . 3424 15424 K1524
3) Potenciao de radicais Eleva-se o radicando potncia indicada e conserva-se o ndice. Exemplos:
a) Z34 [3 V334 274 b) CV22. 35 D2 KZ22. 3[25 V24. 3251445
4) Radiciao de radicais Multiplicam-se os ndices e conserva-Exemplos:
a) V3 32.2 34 b) KV343 33.2.4 324
5) Expoente fracionrio Uma potncia com expoente fracionrio pode ser convertida numa raiz, cujo radicando a base, o ndice o denominador do expoente, sendo o numerador o expoente do radicando. Exemplos:
a) \/^ \_ b) 21/2 2 c) 22/3 V22 433 d) V634 634 e) 5 51/2
6) Racionalizao de denominadores1 Caso: O denominador um radical do 2 grau. Neste caso multiplica-se pelo prprio radical o numerador e o denominador da frao.Exemplos: a) 12 12 . 22 1.22.2 24 22
b) 123 123 . 33 1.323.3 329 32.3 36
c) 23 23 . 33 2.33.3 69 63
d) 2256 2256 . 66 22.656.6 22.656.6 212536 2
Apostila de Clculo Zero
Multiplicao e diviso de radicais de mesmo
se) os radicandos e d-se ao produto (quociente) o ndice comum.
se o radicando potncia indicada e
V 2 16.95 -se o radicando.
Uma potncia com expoente fracionrio pode ser convertida numa raiz, cujo radicando a base, o ndice o denominador do expoente, sendo o
Racionalizao de denominadores O denominador um radical do 2 grau.
se pelo prprio radical o numerador e o denominador da frao.
2125.6 21230 1215
2 Caso: O denominador uma soma ou diferena de dois termos em que um deles, ou ambos, so radicais do 2 grau. Neste caso multiplicanumerador e o denominador pela expresso conjugada do denominador.OBS: A expresso conjugada de
Na racionalizao aparecer no denominador um produto do tipo: (a + b) * (a Assim: (5 + 3) * (5 3) = 5 - 3 = 25 Exemplos: a) 15E2 15E2 . 555252 523
b) 523 523 . 2E32E3 Z
10E531
10 7 53
10 PRODUTOS NOTVEISH certos produtos de polinmios, que, por sua importncia, devem Vejamos alguns deles:
1) Quadrado da soma de dois termosdiferena):
O quadrado da soma de dois termos igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.` 7 a ` a Exemplos: a) 7 3 7 2.3. b) 5` ; 5` ;
2) Produto da soma de dois termos por sua diferena:
O produto da soma de dois termos por sua diferena igual ao quadrado do primeiro do segundo. ` Exemplos:
a) Z2 `[Z2 7 `[ C b) 7 ; ;
18
O denominador uma soma ou diferena de dois termos em que um deles, ou ambos, so radicais do 2 grau. Neste caso multiplica-se o
umerador e o denominador pela expresso conjugada do denominador. OBS: A expresso conjugada de a + b a b.
Na racionalizao aparecer no denominador um produto do tipo: (a + b) * (a b) = a - b
3 = 25 9 = 16
22 1.52Z5E2[.52 52Z5[222 5.2E3Z23[.2E3 5.2E32232 10E5343
PRODUTOS NOTVEIS H certos produtos de polinmios, que, por sua
ser conhecidos desde logo. Vejamos alguns deles:
Quadrado da soma de dois termos (Ou O quadrado da soma de dois termos igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo. ` 7 2`a 7 a
` 2`a 7 a 7 3 7 6 7 9 2.5`. ; 7 ; 25` 10`; 7
Produto da soma de dois termos por sua
O produto da soma de dois termos por sua diferena igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado
` 7 ` [ CZ2[ `D 2 ` ;
3) Cubo da Soma (ou diferena) ` 7 a" `" 7 3`a 7 3`a ` a" `" 3`a 7 3`a
Exemplos: a) 7 2" " 7 3 2 7 3 2 712 7 8
b) Z26 1[" 26 " 326 . 1 72 346 7 3. 26 . 1 1 346 7 3
4) Fatorao Fatorar um polinmio escrev-lo sob a forma de um produto de fatores de grau menor. polinmio, destacaremos alguns casos:
5) Fator comum em evidncia Fator comum dos termos de um polinmio o monmio cujo coeficiente numrico o mximo divisor comum dos coeficientes dos termos do polinmio e cuja parte literal formada pelas letras comuns com os menores expoentes. Apresentando um fator comum, o polinmio pode ser escrito como o produto de dois fatores: o 1 o fator comum e o 2 obtido dividindo-se o polinmio original pelo fator comum. Exemplos: a) ? 7 ;? ? 7 ; b) ` 7 2` ` 7 2 c) "; 7 ;" ; ;
6) Agrupamento Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinmios especiais. Como por exemplo: ax + ay + bx + by Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a, os dois ltimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidncia:a.(x+y) + b.(x+y) Este novo polinmio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidncia: (x+y).(a+b)
Ou seja: ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b)
Exemplos: a) `2 3` 7 ` 3 `` 3 7` 3` 7 b) 2; 7 ; 7 2?" 7 ?" ;2 72 7 ; 7 ?"
Apostila de Clculo Zero
a 7 a" a a"
2" " 7 6 77 3. 26 . 1 1" 326
sob a forma de um Para fatorar um
polinmio, destacaremos alguns casos:
termos de um polinmio o monmio cujo coeficiente numrico o mximo divisor comum dos coeficientes dos termos do polinmio e cuja parte literal formada pelas letras comuns com os menores
Apresentando um fator comum, o polinmio pode ser crito como o produto de dois fatores: o 1 o fator
se o polinmio original
vezes o caso do fator comum
Os dois primeiros termos possuem em comum o fator , os dois ltimos termos possuem em comum o fator . Colocando esses termos em evidncia:
Este novo polinmio possui o termo (x+y) em comum.
ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b)
7 ` 3 7 ?"2 7
7) Fatorao por diferena de quadrados:Consiste em transformar as expresses em produtos da soma pela diferena, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado.
Assim: `2 9 ` 7 3 Exemplos: a) 2 ;2 ; 7 b) 16 1 4 7 1 c) 1 16` 1 4` 8) Fatorao do trinmio quadrado perfeito:
O trinmio que se obtm quando se eleva um binmio ao quadrado chama-se trinmio quadrado perfeito.Por exemplo, os trinmios (
) so quadrados perfeitos porque so obtidos quando se eleva (a+b) e (arespectivamente.
Assim:
2x 3y |__________|
| 2.2x.3y = 12xy note que igual ao segundo termo de
Portanto trata-se de um trinmio quadrado perfeito. =
Logo: fatorada
Exemplos:
a) 3` 7 6` 7 3 3` 7b) 25 100; 25 2; 9) Outros casos de fatorao:
1) `3 7 a3 ` 7 a. `19
Fatorao por diferena de quadrados: Consiste em transformar as expresses em produtos da soma pela diferena, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado.
` 3 7 ;
4 1 1 7 4`
Fatorao do trinmio quadrado perfeito: O trinmio que se obtm quando se eleva um binmio
se trinmio quadrado perfeito. Por exemplo, os trinmios ( ) e (
) so quadrados perfeitos porque so eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado,
2.2x.3y = 12xy note que igual ao segundo
se de um trinmio quadrado perfeito. forma fatorada
= forma
7 2` 7 1 3` 7 1 4; 25 7 2;
Outros casos de fatorao:
`2 `a 7 a2
2) `3 a3 ` a`2 7 `a 7 a2 3) `2 7 a2 `2 7 2`a 7 a2 2`a 2`a ` 7 a 2`a` 7 a 7 2`a 11 OPERAES ALGBRICAS
11.1 Expresses algbricas
So indicaes de operaes envolvendo letras ou letras e nmeros. Exemplos: a) 5ax 4b b) ax + bx + c c) 7ab OBS: No exemplo 3, onde no aparece indicao de soma ou de diferena, temos um monmio em bc@ d f ?f@gh?h@ij@ icklh?f @ +n
11.2 Operaes com expresses algbricas
1) Soma algbrica Somente possvel somar ou subtrair termos semelhantes (monmios que possuem a mesma parte literal). Para somar ou subtrair termos semelhantes (reduzir termos semelhantes) repete-se a parte literal e opera-se com os coeficientes.Exemplo: 3xy 4xy + 7xy + 5xy = 8xy + 3xy
2) Multiplicao Multiplica-se cada termo do primeiro fator por todos os termos do segundo fator e reproduzemsemelhantes. Exemplo: (3ay) * (2ay) = 6ay
3) Diviso 1 Caso: Diviso de monmios: Dividenumrico do dividendo pelo 1 coeficiente do divisor, e a parte literal do dividendo pela do divisor, observando-se as regras para diviso de potncias de mesma base.
2 Caso: Diviso de polinmio por monmiose cada termo do dividendo pelo monmio divisor.Exemplo: (42abx4) : (7ax) = 6abx
Apostila de Clculo Zero
` 7 a2
OPERAES ALGBRICAS
So indicaes de operaes envolvendo letras ou
OBS: No exemplo 3, onde no aparece indicao de soma ou de diferena, temos um monmio em o lj@ phj@l p.
Operaes com expresses
possvel somar ou subtrair termos semelhantes (monmios que possuem a mesma parte literal). Para somar ou subtrair termos semelhantes
se com os coeficientes.
se cada termo do primeiro fator por todos os termos do segundo fator e reproduzem-se os termos
: Divide-se o coeficiente
coeficiente do divisor, e a parte literal do dividendo pela se as regras para diviso de
Diviso de polinmio por monmio: Divide-se cada termo do dividendo pelo monmio divisor.
12 EQUAES DO 1 GRAU
Equao toda sentena matemtica abexprime uma relao deequao tem o prefixo equa, que em latim quer dizer igual.
Exemplos: a) 2` 7 8 0 b) 5` 4 6` 7 8 c) 3 ; ? 0
Chama-se equao de 1 grau de incgnita x, toda equao que, aps simplificada, se reduz forma ` 7 ; 0, com , ;
A soluo, tambm chamada raiz, de uma equao de 1 grau nica e dada por: ` 7 ; 0
1) Conjunto verdade e conjunto universo de uma equao
Considere o conjunto A={0,1,2,3,4,5} e a equao ` 7 2 5.
Observe que o nmero 3 do conjunto A, que denominado conjunto universoequao, logo, o conjunto {3} o dessa equao.
Da conclumos que: Conjunto universo: o conjunto de todos os valores que a varivel pode assumir. IndicaConjunto verdade: o conjunto dos valores de tornam verdadeira a equao. Indica
Observaes: O conjunto verdade subconjunto do conjunto universo. No sendo citado o conjunto universo, devemos considerar V U como conjunto universo o conjunto dos nmeros racionais: O conjunto verdade tambm conhecido por soluo e pode ser indicad
2) Raizes da equaoOs elementos do conjunto verdade de uma equao so chamados de razes da equao.Para verificar se um nmero raiz de uma equao, devemos obedecer seguinte sequncia:
Substituir a incgnita por esse nmero. Determinar o valor de cada membro da equao. Verificar a igualdade, sendo uma sentena
verdadeira, o nmero considerado raiz da equao.
20
EQUAES DO 1 GRAU Equao toda sentena matemtica aberta que exprime uma relao de igualdade. A palavra equao tem o prefixo equa, que em latim quer dizer
se equao de 1 grau de incgnita x, toda equao que, aps simplificada, se reduz forma Y e 0 A soluo, tambm chamada raiz, de uma equao de 1 grau nica e dada por: ` ; ` ; r
njunto verdade e conjunto universo de uma
Considere o conjunto A={0,1,2,3,4,5} e a equao
Observe que o nmero 3 do conjunto A, que conjunto universo, soluo da
equao, logo, o conjunto {3} o conjunto verdade
: o conjunto de todos os valores que a varivel pode assumir. Indica-se por U.
: o conjunto dos valores de U, que tornam verdadeira a equao. Indica-se por V.
conjunto verdade subconjunto do conjunto No sendo citado o conjunto universo, devemos
U como conjunto universo o conjunto dos nmeros racionais: U = Q O conjunto verdade tambm conhecido por conjunto
e pode ser indicado por S.
Raizes da equao Os elementos do conjunto verdade de uma equao so chamados de razes da equao. Para verificar se um nmero raiz de uma equao, devemos obedecer seguinte sequncia:
Substituir a incgnita por esse nmero. valor de cada membro da equao.
Verificar a igualdade, sendo uma sentena verdadeira, o nmero considerado raiz da
Exemplo: Resolva a equao 2` 5 1 sendo U={
Para ` 1, substituindo na equao dada, temos como resultado -7=1 (F)
Para ` 0, substituindo na equao dada, temos como resultado -5=1 (F)
Para ` 1, substituindo na equao dada, temos como resultado -3=1 (F)
Para ` 2, substituindo na equao dada, temos como resultado -1=1 (F)
Resposta: A equao 2` 5 1 no possui raiz em U, logo V = .
3) Resoluo da equao Resolver uma equao significa determinar o seu conjunto verdade, dentro do conjunto universo considerado.
Exemplos: 1) Sendo U = Q, resolva a equao
Soluo: MMC(4,6) = 12 =G 9` 10 Devemos multiplicar por -19` 10 ` =
Resposta: Como ` = , s, ento V=
2) Sendo U = Q, resolva a equao 31 ` 2` 4.
Soluo: 2` 2 31 ` 2` 4 2` 4 3 7 3` 2` 8. 2` 7 3` 4 3 2` 8 2` 7 3` 2` 8 7 4 7 3 3` 1 ` 13 Resposta: Como ` " , s, ento V=
3) Sendo U = Q, considere a seguinte equao e resolva: 26` 4 34` 1.
Soluo: 26` 4 34` 1 2.6` 2.4 3.4` 3.1
Apostila de Clculo Zero
sendo U={-1,0,1,2}.
, substituindo na equao dada, temos
, substituindo na equao dada, temos como
, substituindo na equao dada, temos como
, substituindo na equao dada, temos como
no possui raiz em U,
Resolver uma equao significa determinar o seu conjunto verdade, dentro do conjunto universo
Sendo U = Q, resolva a equao "G 2
1
, ento V=t = u. Sendo U = Q, resolva a equao 2` 2
, ento V=t "u. Sendo U = Q, considere a seguinte equao e .
12` 8 12` 3 12` 12` 3 7 8 0` 5
Uma equao do tipo ` 0 e ; 0.
Resposta: Como nenhum nmero multiplicado por zero igual a 5, dizemos que a equao impossvel e, portanto, no tem soluo. Logo, V =
1) Sendo U = Q, considere a seguinte equao e resolva: 10 3`
Soluo: 10 3` 8 2 3` 3` 7 3` 2 7 8 10 0` 0
Como Toto nmero multiplicado por zero igual a zero, dizemos que a equao possui infinitas solues.Equaes desse tipo, em que qualquer valor atribudo varivel torna a equao verdadeira, so denominadas identidades.
Resposta: A equao equao identidade, logo possui infinitas solues.
13 EQUAES DO 2 GRAUEquao do 2 grau na incgnita x, toda igualdade do tipo: onde a, b, c so nmeros reais e A equao chamada de 2 grau ou quadrtica devido incgnita x apresentar o maior expoente igual a 2. Se tivermos b 0 e c completa. Exemplos: ` 9` 7 20 0, 2equaes de segundo grau em que possamos identificar os coeficientes a, b e c. Se tivermos b = 0 ou c = 0 teremos uma equao incompleta. Exemplos: ` 36 0 b=0 2` 10` 0 c=0 4` 0 (b=c=0)
21
` 7 ; 0 impossvel quando Como nenhum nmero multiplicado por zero igual a 5, dizemos que a equao impossvel e, portanto, no tem soluo. Logo, V = .
Sendo U = Q, considere a seguinte equao e ` 8 2 3`.
Como Toto nmero multiplicado por zero igual a zero, dizemos que a equao possui infinitas solues. Equaes desse tipo, em que qualquer valor atribudo varivel torna a equao verdadeira, so denominadas
Resposta: A equao 10 3` 8 2 3` uma equao identidade, logo possui infinitas solues.
EQUAES DO 2 GRAU Equao do 2 grau na incgnita x, toda igualdade do
so nmeros reais e a no nulo (a 0).
chamada de 2 grau ou quadrtica devido incgnita x apresentar o maior expoente igual a 2.
0 e c 0 teremos uma equao
2` 7 10` 16 0, e outras equaes de segundo grau em que possamos identificar
Se tivermos b = 0 ou c = 0 teremos uma equao
c=0
1) Resolvendo Equaes de 2 Grau
Resolver uma equao do 2 grau significa determinar suas razes.
Raiz o nmero real que,ao substituir a incgnita de uma equao, transforma-a numa sentena verdadeira. O conjunto formado pelas razes de uma equao denomina-se conjunto verdade ou conjunto soluo.
2) Resoluo de equaes incompletas:
Quando a equao de 2 grau for incompleta sua resoluo bastante simples. Encontraremos o seu conjunto verdade, logo, suas razes.
Utilizamos na resoluo de uma equao incompleta as tcnicas da fatorao e duas importantes propriedades dos nmeros reais:
1 propriedade: Se ` Y, a Y e `a ou a 0.
2 propriedade: Se ` Y, a Y e ` Va ou ` Va.
1 caso: Equaes do tipo +vw x b = 0 e c = 0; temos ento: Exemplo: 3 x = 0 x = 0 x = 0 S = {0}
2 caso: Equaes do tipo +vw 7 nv c = 0 e b 0; temos ento: Exemplo: 3 x - 12 x = 0 x . (3 x 12) = 0 12 =0 3 x = 12 x = 4 S = {0; 4}
3 caso: Equaes do tipo +vw 7 y b = 0 e c 0; temos ento: Exemplo: x - 4 = 0 x = 4 x = 4 S = {-2;2}
3) Resoluo de equaes completas:
A resoluo da equao completa de 2 grau obtida atravs de uma frmula que foi demonstrada por Bhaskara, matemtico hindu nascido em 1114, por meio dela sabemos que o valor da incgnita satisfaz a igualdade: ` ; z ; 4 ?2
Apostila de Clculo Zero
Resolvendo Equaes de 2 Grau Razes
Resolver uma equao do 2 grau significa determinar
Raiz o nmero real que,ao substituir a incgnita de a numa sentena verdadeira.
O conjunto formado pelas razes de uma equao se conjunto verdade ou conjunto soluo.
Resoluo de equaes incompletas:
a equao de 2 grau for incompleta sua Encontraremos o seu
Utilizamos na resoluo de uma equao incompleta as tcnicas da fatorao e duas importantes propriedades
0, ento, ` 0 e ` a, ento,
S = {0}
x x = 0 ou 3 x
S = {0; 4}
x x = 2 e x = -2
Resoluo de equaes completas:
A resoluo da equao completa de 2 grau obtida atravs de uma frmula que foi demonstrada por Bhaskara, matemtico hindu nascido em 1114, por
lor da incgnita satisfaz a
O nmero ; 4 ? equao e representado pela letra grega (delta). Teremos ento: ;
As razes reais, x e x, sero encontradas por: ` 8z(
Observao: A frmula de Bhskara s se aplica quanto 0; quando solues que pertenam ao conjunto dos nmero reais.
Exemplos: 1) Calcule as razes, se existirem, da seguinte
equao do 2 grau: x + 4x
Soluo:
Temos que: a = 1 b = 4 c =
Resposta: O conjunto soluo S={
Observao: Lembramos que nem sempre o valor do discriminante ser um nmero quadrado perfeito.
Discriminante Dada a equao ` 7 > 0 a equao possui duas = 0 a equao possui duas razes reais e iguais < 0 a equao no possui razes reais. Ela possui duas razes imaginrias, ou seja, pertencentes ao conjunto dos nmeros complexos.
22
chama-se discriminante da equao e representado pela letra grega (delta). 4 ? As razes reais, x e x, sero encontradas por:
Observao: A frmula de Bhskara s se aplica ; quando { 0, a equao no tem
solues que pertenam ao conjunto dos nmero reais.
Calcule as razes, se existirem, da seguinte equao do 2 grau: x + 4x 5 = 0.
que: a = 1 b = 4 c = -5
Resposta: O conjunto soluo S={-5,1}.
Lembramos que nem sempre o valor do discriminante ser um nmero quadrado perfeito.
;` 7 ? 0, temos: a equao possui duas razes reais e diferentes a equao possui duas razes reais e iguais a equao no possui razes reais. Ela possui
duas razes imaginrias, ou seja, pertencentes ao conjunto dos nmeros complexos.
Observao: Nunca teremos a = 0, pois se houvno existir a equao de segundo grau visto que o x seria anulado.
Exemplos: 1) Para quais valores de k a equao | 2 0 admite razes reais e desiguais?
Soluo: Para que a equao admita razes reais e desiguais,devemos ter > 0. Temos: a = 1, b = -2 e c = | 2
Usando a frmula de Bhskara definio teremos: ; 4 ? ~ 0 2 4.1. | 2 ~~ 0 4| 7 12 ~ 0 4| 7 12 ~ 0 4| 7 12 ~ 0 1{ 0 4| { 12 |Resposta: Conclumos que para que a razes reais e desiguais os valores de os valores devem ser menores que trs.
2) Determine o valor de p, para que a equao ` o 1` 7 o 2 0 possua raizes reais e iguais.
Soluo: Para que a equao admita razes devemos ter = 0. Temos: a = 1, b = o 1 e c = o 2
Usando a frmula de Bhskara definio teremos: ; 4 ? 0 o 1 4.1. o o 6o 7 9
Como o 6o 7 9 0 um trinmio quadrado perfeito, temos: o 3 0 o 3
Resposta: Logo, o valor de o 3.
3) Para quais valores de m a equao k 0 no admite nenhuma raiz real?
Soluo: Para que a equao no admita nenhuma raiz realdevemos ter < 0.
Temos: a = 3, b = 6 e c = k
Apostila de Clculo Zero
: Nunca teremos a = 0, pois se houver, no existir a equao de segundo grau visto que o x
Para quais valores de k a equao ` 2` 7admite razes reais e desiguais?
Para que a equao admita razes reais e desiguais,
; 4 ? , pela ~ 0 4 4| 7 8
1 4| 12| { 124 | { 3 Resposta: Conclumos que para que a equao admita razes reais e desiguais os valores de | { 3, ou seja,
valores devem ser menores que trs.
Determine o valor de p, para que a equao possua raizes reais e
Para que a equao admita razes reais e iguais,
; 4 ? , pela o 2 0 0
um trinmio quadrado perfeito,
3
Para quais valores de m a equao 3`2 7 6` 7no admite nenhuma raiz real?
no admita nenhuma raiz real,
; 4 ? { 0 6 3636 7 12k ~ 0 12
Resposta: Logo, os valorque 3.
4) Soma e produto de razes de uma equao de 2 grau:
Nos casos em que equao possui razes reais algumas relaes so observadas. Veja:
Soma das razes:
Produto das razes:
Exemplos: 1) Determine o valor de k para que o produto das
razes da equao x 9.
Soluo:
Atravs da equao, podemos constatar que a = 1, b = 8 e c = 27k. Para que o produto das razes seja igual 9, deve-se ter:
Produto das razes: (x 1 9 27| Resposta: | deve ser igual a
2) Qual equao do 2 grau possui como razes e coeficiente a = 1?
Soluo: Como a equao procurada do 2 grau e apresenta coeficiente a = 1, ela pode ser escrita da seguinte forma:
x2-Sx+P=0
Onde S a soma das razes e P o produto.
As razes da equao foram fornecidas pelo problema. Assim, temos que: S = 1 + ( 11) = 12 = ( 1)( 11) = 11
Dessa forma, a equao procurada :
x2 ( 12)x + 11 = 0 x2 + 12x + 11 = 0
23
4.3. k { 0 36 12k { 0 36 12k { 0 1 12k ~ 36 k ~ 3612 k ~ 3 valores de k devem ser maiores
Soma e produto de razes de uma equao de
Nos casos em que equao possui razes reais algumas relaes so observadas. Veja:
Soma das razes: (x1 + x2) = 8( Produto das razes: (x1 . x2) = 9(
Determine o valor de k para que o produto das razes da equao x2 + 8x 27k = 0 seja igual
Atravs da equao, podemos constatar que a = 1, b = 27k. Para que o produto das razes seja igual
Produto das razes: (x1 . x2) = 9( 9( 9 9 | =1 | 13 deve ser igual a ".
Qual equao do 2 grau possui 1 e 11 como razes e coeficiente a = 1?
Como a equao procurada do 2 grau e apresenta coeficiente a = 1, ela pode ser escrita da seguinte
Onde S a soma das razes e P o produto.
As razes da equao foram fornecidas pelo problema.
Dessa forma, a equao procurada :
Resposta: A equao que possui razes e coeficiente a = 1 x2 + 12x + 11 = 0.
5) Sistemas de equaes
Para a resoluo de problemas que apresenta duas incgnitas desconhecidas, utilizamos um sistema de equaes.
Vejamos agora os mtodos para a sistema de equaes:
a) Mtodo da adio: Basta eliminar uma das variveis, atravs de termos opostos, recaindo numa equao do 1 grau com uma varivel. Exemplos:
1) t` 7 a 12` a 4
Soluo:
Notamos que as duas equaes possuem termos opostos (y e -y), com isso basta somar as duas equaes:
A seguir, basta substituir o valor encontrado para x em uma das equaes. 8+y=12 ou 8-y=4 y=12-8 ou -y=4-8 y=4 ou y=4
Resposta: O par ordenado (x,y)=(8,4) a soluo dosistema.
2) t 2` 7 3a 34` 7 6a 12
Soluo:
Note que as equaes no possuem coeficientes opostos, logo se somarmos membro a membro, no eliminaremos nenhuma varivel. Para a resoluo deste sistema, devemos escolher uma varivel para ser eliminada. Para isso, multiplicamos a equao I (a primeira)2:
I
II 0x + 0y = 6 III Observe que a equao III no possui soluosoluo do sistema ser vazio. Resposta: S= { }
Apostila de Clculo Zero
1 e 11 como + 12x + 11 = 0.
Para a resoluo de problemas que apresenta duas incgnitas desconhecidas, utilizamos um sistema de
Vejamos agora os mtodos para a resoluo de
Basta eliminar uma das variveis, atravs de termos opostos, recaindo numa equao do 1 grau com uma
Notamos que as duas equaes possuem termos om isso basta somar as duas
A seguir, basta substituir o valor encontrado para x em
O par ordenado (x,y)=(8,4) a soluo do
Note que as equaes no possuem coeficientes opostos, logo se somarmos membro a membro, no
Para a resoluo deste sistema, devemos escolher
(a primeira) por -
Observe que a equao III no possui soluo, logo a
b) Mtodo da substituio:Consiste em eliminarmos uma das variveis isolando seu valor numa das equaes do sistema, para em seguida substitu-la na outra.
Exemplos: 1) x+y=12 ... I
x-y=4 .... II
Escolhemos uma das variveis na primeira equao, para determinarmos o seu valor:x+y=12 x=12-y
Substitumos na outra equao
(12-y) - y = 4 12-2y = 4 -2y = -8 y=4
Substituindo o valor encontrado em uma das equaes:x+4=12 x=12-4
Resposta: Logo a soluo do sistema
2) ... II
Escolhemos a varivel y da equao II: ... II
Substituindo na equao I :
Substituindo o valor de x encontrado em II:
Resposta: Logo a soluo do sistema
c) Mtodo da comparao:Consiste em compararsistema, aps termos isolado a mesma varivel y) nas duas equaes.
Exemplo: x+2y=2 x=2-2y x+y = 3 x=3-y
Comparando as duas equaes:
2-2y=3-y -2y+y=3-2 -y = 1 y = -1
24
Mtodo da substituio: Consiste em eliminarmos uma das variveis isolando seu valor numa das equaes do sistema, para em
na outra.
Escolhemos uma das variveis na primeira equao, para determinarmos o seu valor:
Substitumos na outra equao - II:
Substituindo o valor encontrado em uma das equaes: x=8
Resposta: Logo a soluo do sistema S = {(8,4)}.
... I ... II
Escolhemos a varivel y da equao II:
Substituindo na equao I :
Substituindo o valor de x encontrado em II:
Resposta: Logo a soluo do sistema S = {( 10,4 )}
Mtodo da comparao: armos as duas equaes do
sistema, aps termos isolado a mesma varivel (x ou
Comparando as duas equaes:
Substituindo o valor de y encontrado:
x = 2-2.(-1) x=2+2=4
Resposta: Portanto S= {(4,-1)}
14 INEQUAES
1) Smbolos de desigualdades So smbolos que permitem uma comparao entre duas grandezas. Exemplos: ~, {, .
2) Inequao do 1 grau
Inequaes do 1 grau so condicionadas em que a incgnita de 1 graupodem apresentar-se nas seguintes formas:
` 7 ; ~ 0 ` 7 ; { 0 ` 7 ; 0 ` 7 ; 0
Lembrando que todas possuem 0
A soluo de uma dessas inequaesexposta acima, dada da seguinte maneira:1. Iguala-se a expresso ax + b a zero;2. Localiza-se a raiz no eixo x; 3. Estuda-se o sinal conforme o caso. ` 7 ; ~ 0 ` ; @ gfl ofhjhf ~ 0, fpc@ gfl i@ jhf { 0, fpc
E o conjunto soluo ser dado por:
o l ~ 0 T ` Y / o l ~ 0 T ` Y /
Exemplos:
1) Resolva as inequaes:
a) -2x + 7 > 0 Soluo: -2x + 7 = 0 x = 7/2
Apostila de Clculo Zero
So smbolos que permitem uma comparao entre
desigualdades em que a incgnita de 1 grau. Elas
se nas seguintes formas:
0
A soluo de uma dessas inequaes do 1 grau, exposta acima, dada da seguinte maneira:
se a expresso ax + b a zero;
f @l: ` ~ ; f @l: ` { ;
` ~ ; / ` { ;
Resposta: T ` Y /
b) 2x 6 < 0 Soluo: 2x 6 = 0 x = 3
Resposta: T ` Y /
c) 2 -4x x + 17
Soluo:
Resposta: T ` Y /
d) 3(x + 4) < 4(2 x)
Soluo:
Resposta: T ` Y /2) Encontrar o conjunto soluo do sistema de
inequaes:
25
/ ` { 1
/ ` { 3
/ ` 3
/ ` ~ 1 Encontrar o conjunto soluo do sistema de
Chamaremos de inequao A e de inequao
Inequao A:
Observe que o conjunto soluo que satisfaz a A definido por { }
Inequao b:
Oobserve que multiplicaremos ambos os termos da inequao por um nmero negativo, sendo assim inverteremos o sinal da desigualdade, assim o resultado ser:
O conjunto soluo que satisfaz b {
Soluo do Sistema:
A soluo do sistema obtida fazendo a i() das solues individuais, ou seja, inequao A e B:
Analisando o interseco dos resultados de cada inequao do intervalo real temos que a soluo da desigualdade S = { }
Resposta: S = { }
3) Inequao Produto
Algumas inequaes apresentam, no 1 membro, produto de funes que para obter a resoluo dessas inequaes preciso fazer o estudo do sinal de todas
Apostila de Clculo Zero
de inequao B:
junto soluo que satisfaz a A
que multiplicaremos ambos os termos da inequao por um nmero negativo, sendo assim
aldade, assim o
}.
A soluo do sistema obtida fazendo a interseco das solues da
Analisando o interseco dos resultados de cada que a soluo da
Algumas inequaes apresentam, no 1 membro, produto de funes que para obter a resoluo dessas inequaes preciso fazer o estudo do sinal de todas
as funes, a soluo seria a interseco do estudo dos sinais das funes que pertencem inequao.
Exemplos:
1) Ache o conjunto sol(-3x + 6) (5x -7) < 0 :
Soluo: Primeiro o estudo do sinal de cada funo: I) -3x + 6 = 0 -3x = -6 -x = - 6 : (3) -x = - 2 x = 2
II) 5x 7 = 0 5x = 7 x = 7
5
Fazendo o jogo de sinal com o estudo de sinal em cada coluna formada por uma funo:
Como a inequao quer valores que sejam menores que 0, escrevemos que o conjinequao ser S = {x
Resposta: S = {x R / x <
2) Ache o conjunto soluo da equao produto x . (x 1) (-x + 2) 0 :
I) x = 0
II) x 1 = 0 x = 1
III) -x + 2 = 0 -x = -2
26
as funes, a soluo seria a interseco do estudo dos sinais das funes que pertencem inequao.
Ache o conjunto soluo da equao produto
Primeiro o estudo do sinal de cada funo:
Fazendo o jogo de sinal com o estudo de sinal em cada coluna formada por uma funo:
Como a inequao quer valores que sejam menores escrevemos que o conjunto soluo da
R / x < 75 ou x > 2}.
R / x < 75 ou x > 2}
Ache o conjunto soluo da equao produto
x = 2
Fazendo o estudo de sinal em cada
Como a inequao quer valores que sejam menores ou iguais a 0 escrevemos que o conjunto soluo da inequao x . (x 1) (-x + 2) 0, ser S={x R / 0 2}.
Resposta: S={x R / 0 x 1 ou x 2}.
4) Inequao Quociente
Inequaes do tipo E32 0 ou 252
de inequaes quociente, pois representam a diviso entre polinmios de 1 grau. Na inequao-quociente, tem-se uma desigualdade de funes fracionrias, ou ainda, de duas funes na qual uma est dividindo a outra. Diante disso, deveremos nos atentar ao domnio da funo que se encontra no denominador, pois no existe diviso por zero. Com isso, a funo que estiver no denominador da inequao dever ser diferente de zero.O mtodo de resoluo se assemelha muito resoluo de uma inequao-produto, de modo que devemos analisar o sinal das funes e realizar a interseco do sinal dessas funes.
Exemplo:
1) Resolva a inequao .
Soluo: Como o denominador deve ser diferente de zero, podemos afirmar que o valor de x no poder ser igual a 2.
Vamos estudar os sinais das funes.
Funo f(x)=x+5 Zero da funo: x=-5
Apostila de Clculo Zero
Fazendo o estudo de sinal em cada coluna:
inequao quer valores que sejam menores ou iguais a 0 escrevemos que o conjunto soluo da
R / 0 x 1 ou x
2}.
2 so exemplos representam a diviso
se uma desigualdade de funes fracionrias, ou ainda, de duas funes na qual
e disso, deveremos nos atentar ao domnio da funo que se encontra no denominador, pois no existe diviso por zero. Com isso, a funo que estiver no denominador da inequao dever ser diferente de zero. O mtodo de resoluo se assemelha muito
produto, de modo que devemos analisar o sinal das funes e realizar a
ferente de zero, podemos afirmar que o valor de x no poder ser igual
Sinal do coeficiente aportanto uma funo crescente.
Sendo assim, analisando os sinais dessa funo, temos:
Funo: g(x)=x-2 Zero da funo: x=2 Sinal do coeficiente aportanto uma funo crescente.
Agora devemos realizar a interseco dos intervalos das duas funes, lembrando que o aberto, pois no pertence ao domnio da desigualdade.
Veja que ao fazer a interseco das funes deve ser feito tambm o jogo de sinal, assim como na equao produto. Sendo assim, podemos esboar o conjunto soluo
Resposta:
15 INEQUAO DO 2 GRAU
As inequaes do 2 grau so resolvidas utilizando o teorema de Bhskara. O resultado deve ser comparado ao sinal da inequao, com o objetivo de formular o conjunto soluo.
Exemplos:
1) Resolver a inequao
Soluo:
27
a: a=1, valor maior que zero, portanto uma funo crescente.
nalisando os sinais dessa funo,
a: a=1, valor maior que zero, portanto uma funo crescente.
Agora devemos realizar a interseco dos intervalos das duas funes, lembrando que o ponto 2 um valor aberto, pois no pertence ao domnio da desigualdade.
Veja que ao fazer a interseco das funes deve ser feito tambm o jogo de sinal, assim como na equao produto. Sendo assim, podemos esboar o conjunto
.
INEQUAO DO 2 GRAU As inequaes do 2 grau so resolvidas utilizando o teorema de Bhskara. O resultado deve ser comparado ao sinal da inequao, com o objetivo de formular o
Resolver a inequao 3x + 10x + 7 < 0.
Resposta: S = {x R / 7/3 < x < 1} 2) Determine a soluo da inequao
0.
Soluo:
Resposta: S = {x R / x 1 ou x 1/2}
3) Determine a soluo da inequao
Soluo:
S = {x R / x 0 ou x 4}
4) Calcule a soluo da inequao
Apostila de Clculo Zero
Determine a soluo da inequao 2x x + 1
1/2}
Determine a soluo da inequao x 4x 0.
Calcule a soluo da inequao x 6x + 9 > 0.
Soluo:
Resposta: S = {x R / x < 3 e x > 3}
1) Inequaes simultneas
Exemplo: -8 < x2 2x 8 < 0
Soluo:
1 passo) Separar as inequaesintervalo dado.
Temos: I) x2 2x 8 > -2 passo) Determinar as razes ou zeros de cada uma das funes obtidas pela separao.
I) x2 2x > 0 x = 0 x = 2
3 passo) Determinadas as razes, fazer o estudo do sinal para cada funo.
I) x2 II) x diferente de 1
4 passo) Calcular a soluo S, que dada pinterseo dos intervalos das solues de I e II
Obs: o quadro de resposta ser preenchido intervalo achado.
28
R / x < 3 e x > 3}
Inequaes simultneas
8 < 0
1 passo) Separar as inequaes, obedecendo o
-8 e II) x2 2x 8
Resposta: {x R| x2}
2) Inequao produto e inequao quociente
Exemplo:
1) (x2 9x 10) (x2 4x +4) > 0
Soluo: 1 passo) Trabalhar f(x) e g(x) separadamente:x2 9x 10 = 0 (I) x2 4x +4 = 0 (II)
2 passo) Determinar as razes das funes:(I) Razes: x= -1, x = 10 (II) Raozes: x= x = 2
3 passo) Fazer o estudo do sinal para cada funo:
I) x10 II) x= x = 2
4 passo) Calcular a soluo, que daddesigualdade da funo de origem, isto intervalo positivo e bolinha fechada > intervalo positivo e bolinha aberta intervalo negativo e bolinha fechada < intervalo negativo e bolinha aberta
Observao: 1) No quadro de respostas (ou solues), se os
intervalos forem em: f(x) positivo e g(x)positivo o h(x) ser +, assim temos: + e + = + ; + e ; - e + = - ; - e - = +
2) Na inequao quociente observar a CE(condio de existncia) do denominador, que influenciar o resultado nos intervalos, no que diz respeito a intervalo fechado ou aberto
Apostila de Clculo Zero
Inequao produto e inequao quociente
1 passo) Trabalhar f(x) e g(x) separadamente:
Determinar as razes das funes:
3 passo) Fazer o estudo do sinal para cada funo:
passo) Calcular a soluo, que dada pelo sinal de e origem, isto
o quadro de respostas (ou solues), se os positivo e g(x)positivo
o h(x) ser +, assim temos: + e + = + ; + e - = -
Na inequao quociente observar a CE do denominador, que
influenciar o resultado nos intervalos, no que fechado ou aberto.
Assim, as nicas regies positivas (maiores que zero) so em x10
Resposta: {x R | x10}
16 FUNES
Dados os conjuntos A e B, uma funo lei que associa cada elemento x elemento a g` .
Domnio (D): Conjunto A (conjunto de partida)Contradomnio (CD):chegada) Imagem (Im): Conjunto formado pelos elementos que possuem correspondentes x no domnio.
Grfico de uma funo
A = {1,2,3,4,5,6} B = {0,2,4,6,8,10,12} g` {(x,y) A x B / g
1) Paridade das Funes
Seja A um conjunto tal que x g: .
29
Assim, as nicas regies positivas (maiores que zero)
1 ou x>10}
Dados os conjuntos A e B, uma funo g: uma lei que associa cada elemento x A a um nico
Conjunto A (conjunto de partida) Contradomnio (CD): Conjunto B (conjunto de
Conjunto formado pelos elementos que possuem correspondentes x no domnio.
Grfico de uma funo g: ` = 2x}
Paridade das Funes
Seja A um conjunto tal que x A -x A e a funo
f par f(-x) = f(x), x simtrico em relao ao eixo Ou, pois (x,y) o ao eixo Oy, pois (x,y) f (-x,y) f.
So funes pares f(x) = x2 , f(x) = cos x, e outras.
Exemplo: y = x4 + 1 uma funo par, pois f(x) = f(x.
Por exemplo, f(2) = 24 + 1 = 17 e f(- 2) = (O grfico abaixo de uma funo par.
f mpar f(-x) = -f(x), x simtrico em relao origem, pois (x,y) f. So funes mpares f(x) = x3 , f(x) = sen x, e outras.
Apostila de Clculo Zero
A o grfico simtrico em relao ao eixo Ou, pois (x,y) o ao eixo
, f(x) = cos x, e
+ 1 uma funo par, pois f(x) = f(-x), para todo
2) = (-2)4 + 1 = 17 O grfico abaixo de uma funo par.
A o grfico simtrico em relao origem, pois (x,y) f (-x,-y)
, f(x) = sen x, e outras.
Exemplo: y = x3 uma funo mpar pois para todo x, teremos f(x) = - f(x). Por exemplo, f( - 2) = (-
O grfico abaixo de uma funo mpar:
Observao: Se uma funo no par nem mpar, dizemos que ela no possui paridade. A funo f(x) = x2 + x 1 no par nem mpar.
Exemplo: O grfico abaixo, representa uma funo que no possui paridade, pois a curva no simtrica em relao ao eixo dos x e, no simtrica em relao origem.
16.1 Tipos de funes
Sejam a funo g:
1) Funo Sobrejetora
f sobrejetora quando todo elemento de B est associado por f a pelo menos um elemento de A, ou seja, quando a imagem igual ao contradomnio. No diagrama, todo elemento recebe seta. No grfico, retas horizontais traadas no contradomnio interceptam o grfico em pelo menos um ponto. n(A) forem finitos.
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uma funo mpar pois para todo x, teremos f(- 2)3 = - 8 e - f( x) = - ( 23 ) = - 8.
O grfico abaixo de uma funo mpar:
Se uma funo no par nem mpar, dizemos que ela
1 no par nem mpar.
O grfico abaixo, representa uma funo que no possui paridade, pois a curva no simtrica em relao ao eixo dos x e, no simtrica em relao
Tipos de funes
Funo Sobrejetora
f sobrejetora quando todo elemento de B est associado por f a pelo menos um elemento de A, ou seja, quando a imagem igual ao contradomnio. No diagrama, todo elemento recebe seta. No grfico, retas
ais traadas no contradomnio interceptam o grfico em pelo menos um ponto. n(A) n(B), se A e B
2) Funo Injetora
f injetora quando elementos distintos de A esto associados a elementos distintos de B. No diagrama, no h elemento em B que receba mais de uma seta. No grfico, retas horizontais cruzam seu grfico em no mximo um ponto. n(A) n(B), se A e B forem fin
3) Funo Bijetora
f bijetora se, e somente se, for sobrejetora e injetora. Todo elemento de B est associado por f a um nico elemento de A. No diagrama, todo elemento de B recebe uma seta. No grfico, retas horizontais traadas pelo contradomnio cruzam o grfico em exatamente um ponto. n(A) = n(B), se A e B forem finitos.
Exemplos: 1 - Considere trs funes f, g e h, tais que:
A funo f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade. A funo g atribui a cada pas, a sua capitalA funo h atribui a cada nmero natural, o seu dobro. Podemos afirmar que, das funes dadas, so injetoras: a) f, g e h b) f e h c) g e h d) apenas h
Apostila de Clculo Zero
f injetora quando elementos distintos de A esto associados a elementos distintos de B. No diagrama, no h elemento em B que receba mais de uma seta. No grfico, retas horizontais cruzam seu grfico em no
n(B), se A e B forem finitos.
f bijetora se, e somente se, for sobrejetora e injetora. Todo elemento de B est associado por f a um nico elemento de A. No diagrama, todo elemento de B recebe uma seta. No grfico, retas horizontais traadas
omnio cruzam o grfico em exatamente n(B), se A e B forem finitos.
Considere trs funes f, g e h, tais que:
A funo f atribui a cada pessoa do mundo, a sua
A funo g atribui a cada pas, a sua capital A funo h atribui a cada nmero natural, o seu dobro. Podemos afirmar que, das funes dadas, so
e) nenhuma delas Soluo: Sabemos que numa funo injetora, elementos distintos do domnio, possuem seja: x1 x2 f(x1) f(x2) . Logo, podemos concluir que:
f no injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade. g injetora, pois no existem dois pases distintos com a mesma capital. h injetora, pois dois npossuem os seus dobros tambm distintos.
Conclumos que a alternativa correta a de letra C.
2 - Seja f uma funo definida em R nmeros reais - tal quef(x pede-se determinar f(x + 5)
Soluo: Vamos fazer uma mudana de varivel em f(x da seguinte forma: x - 5 = u
Substituindo agora (x por (u + 5), vem: f(u) = 4(u + 5) \ f(u) = 4u + 20
Ora, se f(u) = 4u + 20, teremos:f(x + 5) = 4(x+5) + 20 \ f(x+5) = 4x + 40
3 (UEFS 2005-1) Sabendoax + b tal que f(2x2 + 1) = pode-se afirmar que b/a igual a:a) 2 b) 3/2 c) 1/2 d) -1/3 e) -3
Soluo: Ora, se f(x) = ax + b, ent
Como f(2x2 + 1) = - 2x2 + b = - 2x2 + 2
Efetuando o produto indicado no primeiro membro, fica: 2ax2 + a + b = -2x2 + 2
Ento, poderemos escrever:E, tambm, a + b = 2 ; como a = 1) + b = 2 \ b = 2 + 1 = 3
Logo, o valor procurado a/b sernos leva tranquilamente alternativa D.
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Sabemos que numa funo injetora, elementos distintos do domnio, possuem imagens distintas, ou
Logo, podemos concluir que:
f no injetora, pois duas pessoas distintas podem ter g injetora, pois no existem dois pases distintos com h injetora, pois dois nmeros naturais distintos possuem os seus dobros tambm distintos.
Conclumos que a alternativa correta a de letra C.
Seja f uma funo definida em R - conjunto dos tal quef(x - 5) = 4x. Nestas condies,
se determinar f(x + 5).
Vamos fazer uma mudana de varivel em f(x - 5) = 4x, 5 = u \ x = u + 5
Substituindo agora (x - 5) pela nova varivel u e x f(u) = 4u + 20
Ora, se f(u) = 4u + 20, teremos: f(x+5) = 4x + 40
) Sabendo-se que a funo real f(x) = + 1) = - 2x2 + 2, para todo x / R,
se afirmar que b/a igual a:
+ b, ento f(2x2 + 1) = a(2x2 + 1) + b + 2, vem, igualando: a(2x2 + 1)
Efetuando o produto indicado no primeiro membro, fica:
Ento, poderemos escrever: 2a = -2 \ a = -2 /2 = -1 b = 2 ; como a = -1, vem substituindo: (-
b = 2 + 1 = 3
Logo, o valor procurado a/b ser a/b = -1 / 3 , o que nos leva tranquilamente alternativa D.
4) Funo Constante
Toda funo g: Y Y na forma f(x) = kdenominada funo constante. Em uma funo constante qualquer que seja o elemento do domnio eles sempre tero a mesma imagem, ao variarmos x encontramos sempre o mesmo valor k. Para exemplificar vamos observar a funo constante g: Y Y, g` 3 representada graficamente no plano cartesiano:
Neste exemplo a constante k possui o valor Observe os pontos (-2, -3), (0, -3)destacamos no grfico da funo. Em cada um destes pontos distintos temos uma abscissa diferente, no entanto todos os trs possuem a mesma ordenada. Isto vale para qualquer ponto do grfico desta funo, pois qualquer que seja o valor de sempre ser igual a -3, j que y no depende de y no faz parte da lei de formao da funo, que meramente a constante -3. Assim como este grfico , o grfico de qualquer funo constante definida de R em uma reta paralela ao eixo x, que passa pelo ponto (0, k), que neste nosso exemplo o ponto
Exemplos:
Diagrama de flechas da funo constante
Apostila de Clculo Zero
f(x) = k, com k R qualquer que seja o
eles sempre tero a mesma encontramos sempre o mesmo
Para exemplificar vamos observar a funo constante representada graficamente no
possui o valor -3. 3) e (4, -3) que
ada um destes pontos distintos temos uma diferente, no entanto todos os trs possuem a
Isto vale para qualquer ponto do grfico desta funo, pois qualquer que seja o valor de x, o valor de y
no depende de x, pois da funo, que
o grfico de qualquer em R sempre ser
, que passa pelo ponto que neste nosso exemplo o ponto (0, -3).
Diagrama de flechas da funo constante
Domnio
Imagem: Constante, ou seja, sempre a mesma.
Todas as flechas lanadas do acertam o mesmo elemento do
5) Domnio da funo
Quando a funo dada em forma de equao, o domnio ser a sua condio de existncia. Atravs de alguns exemplos demonstraremos como determinar o domnio de uma funo, isto , descobrir quais os nmeros que a funo no pode assumir para que a sua condio de existncia no seja afetada.
1 Caso: No existe denominador igual a zero, assim todo contedo no denominador ter que ser diferente de zero. Exemplo:
Nesse caso o denominador no pode ser nulo, pois nexiste diviso por zero na Matemtica. x 1 0 x 1 Portanto, D(f) = {x R / x
2 Caso: No existe raiz quadrada de um nmero negativo, assim todo contedo dentro do radical ter que ser maior ou igual a zero.Exemplo:
Nos nmeros reais, o radicando de uma raiz de ndice no pode ser negativo. 4x 6 0 4x 6 x 6/4 x 3/2
Portanto, D(f) = {x R / x
3 Caso: Exemplo:
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Contradomnio
Imagem: Constante, ou seja, sempre a mesma. Todas as flechas lanadas do conjunto de partida acertam o mesmo elemento do conjunto de chegada.
Domnio da funo
Quando a funo dada em forma de equao, o domnio ser a sua condio de existncia. Atravs de alguns exemplos demonstraremos como determinar o domnio de uma funo, isto , descobrir quais os
funo no pode assumir para que a sua condio de existncia no s
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