UNIVERSIDAD DE LAMBAYEQUEESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA DE SISTEMAS

MATEMATICA I

presentado por:

Lic. Mat. Walter Arriaga Delgado

LAMBAYEQUE PERU 2011

DedicatoriaPara mis padres, Martha y El para mi as; adorable esposa, Flor Angela y para los ms grandes tesoros de mi vida, mis hijas a Alessandra Anghely y Stefany Grace.

PrefacioVisin general oUna de las situaciones ms diciles a que se ve enfrentado comunmente un investigador en a matemtica es la de tratar de explicar su labor profesional. a La respuesta a sta interrogante a lo largo de la historia de la humanidad han sido de la ms e a variable ndole: hay quienes plantean que cultivan esta ciencia por satisfaccin personal, sin o buscar sus aplicaciones inmediatas; otros aseguran que, siendo la busqueda de conocimiento consustancial a la naturaleza humana y siendo la matemtica lenguaje universal, sta debe a e cultivarse como contribucin al acervo cultural de la humanidad, para permitir a los diversos o pueblos comprender su propia y particular realidad. Tambin se estima necesario que todos e los pa ses, especialmente aquellos en desarrollo, cultiven las disciplinas bsicas para as poder a lograr independizarse cient ca, tecnolgica y econmicamente. o o Concordando en mayor o menor medida con estos planteamientos, se puede constatar que pese a ser la matemtica la ms comn de las ciencias, en el sentido de que est presente a a u a y es utilizada por todos en la vida cotidiana, ciertamente no es la ciencia con mayor grado de popularidad; mucha gente tiene sentimientos de aprensin, disgusto e incluso miedo a la o matemtica. a An considerando estas dicultades, creemos que no ha sido sucientemente difundido el u muy relevante papel que juega nuestra disciplina en la formacin integral de cada ciudadano; o de manera privilegiada, la matemtica aporta a esta formacin capacitando a las personas para a o tomar decisiones en la vida, para enfrentar situaciones nuevas, para poder crear y expresar ideas originales; esto se logra por ejemplo a travs de desarrollar la capacidad de abstraccin, e o de ensear a relacionar objetos o situaciones diversas, de desarrollar la intuicin; en n, la n o matemtica ayuda a desarrollar una mentalidad cr a tica y creativa. Es entonces muy preocupante que sea la ms desconocida de las ciencias para el ciudadano a medio; es lo que nos atrevemos a llamar el analfabetismo matemtico, o, ms generalmente, a a el analfabetismo cient co. El libro que se encuentra en estos momentos en sus manos pretende presentarle una introduccin, a nivel elemental y bsico, de una parte de las matemticas sumamente util y o a a aplicable a casi todas las ramas del saber: El Clculo Diferencial. a i

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De la experiencia de dictar cursos sobre Clculo Diferencial es que surgieron apuntes de a clase que, despus de sucesivas revisiones y ampliaciones, fueron transformndose hasta optar e a la forma que ahora presentamos, con la intencin de que sirva como texto gu que inicie al o a alumno en esta fascinante rama de las matemticas, cuyo origen se remonta al siglo XVII con a Newton y Leibniz. Objetivo El objetivo de este libro es presentar los temas de manera clara y comprensible para los estudiantes de cualquier nivel, de forma que los motive a preguntar porqu y transmitirles el e entusiasmo y gusto por el estudio del Clculo Diferencial y a la vez proporcionar al lector una a herramienta de consulta, dando la informacin bsica para la resolucin de stas, as como o a o e reforzar la comprensin de los temas y conceptos por medio de una amplia gama de interesantes o aplicaciones en el mundo real. El texto se ha diseado para brindarle una comprensin slida n o o e intuitiva de los conceptos bsicos, sin sacricar la precisin matemtica. a o a Aplicaciones Una de mis metas fue convencer a lo estudiantes de la importancia del Clculo Diferencial a en sus campos de estudio. As este libro pretende implementar el estudio de las aplicaciones , del clculo diferencial a la Geometr F a a, sica, Qu mica, Biolog Econom etc. a, a,

Caracter sticasContenido El contenido del presente manuscrito se desarrolla de la siguiente manera: En el Cap tulo I, se realiza un anlisis general de los Nmeros Reales y sus axiomas, a u as como tambin se desarrolla la teor de ecuaciones e inecuaciones. e a En el Cap tulo II, se estudian las Relaciones y las grcas importantes de relaciones a como la l nea racta, la parbola, la circunferencia, la elipse, la hiprbola,etc. a e En el Cap tulo III, se estudia las funciones, las funciones especiales, tipos de funciones y el lgebra de funciones. a Caracter sticas pedaggicas o En base a nuestra experiencia docente y en consejos de muchos colegas, hemos inclu do varios aspectos pedaggicos para ayudar a los estudiantes a aprender y a ampliar su perspectiva o acerca del Clculo Diferencial. a

Walter Arriaga D. Problemas resueltos y propuestos

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Un problema en matemtica puede denirse como una situacin, a la que se enfrenta un a o individuo o un grupo, que requiere solucin, y para lo cual no se vislumbra un camino aparente o y obvio que conduzca a la misma. La resolucin de problemas debe apreciarse como la razn de ser del contenido matemtico, o o a un medio poderoso de desarrollar conocimiento matemtico y un logro indispensable de a una buena educacin matemtica. El elemento crucial asociado con el desempeo ecaz en o a n matemtica es que los estudiantes desarrollen diversas estrategias que le permitan resolver a problemas donde muestren cierto grado de independencia y creatividad. La elaboracin de estrategias personales de resolucin de problemas crea en los alumnos o o conanza en sus posibilidades de hacer matemtica, estimula su autonom as como expresa a a, el grado de comprensin de los conocimientos y le facilita mecanismos de transferencia a otras o situaciones. Concebimos entonces que la resolucin de problemas es el proceso ms importante que o a posibilitar a los estudiantes experimentar la utilidad y potencia de la matemtica. Implicarlos a a en esa labor les permitir indagar, construir, aplicar y conectar lo aprendido. De ah que una a responsabilidad importante de los docentes del rea de matemtica sea elaborar, seleccionar, a a proponer y discutir problemas de diverso tipo y exigencia conjuntamente con los estudiantes y con otros colegas. Aprender matemtica signica entender y usar la matemtica a travs de la resolucin a a e o de problemas, aprender matemtica no slo es memorizar frmulas tcnicas para resolver a o o e ejercicios propuestos. Hay que hacer que los alumnos trabajen dinmicamente en actividades que permitan la a construccin del saber matemtico por etapas, a partir de fenmenos y de situaciones cotidio a o anas de modo que vayan elaborando conceptos de dicultad creciente, observando claramente y de inmediato su uso. Todo usuario de la Matemtica recopila, descubre o crea conocimiento en el curso de la a actividad que realiza con un n. El desarrollo de las actividades debe estar organizado para que los estudiantes comuniquen ideas oralmente y por escrito. El proceso de construccin del o lenguaje matemtico no puede ser una actividad individual. Es un proceso de comunicacin: a o alumno-profesor, profesor-alumno y sobre todo alumno-alumno. La capacidad de usar con facilidad el lenguaje matemtico es muy importante para comprender la matemtica y por eso a a las formas de comunicacin matemtica deben ser cada vez ms formales y simblicas. o a a o El libro contiene problemas resueltos y propuestos para que el estudiante ponga a prueba su aptitud. En los ejemplos resueltos enseamos a los estudiantes a pensar sobre los problemas n antes de que empiecen a resolverlos.

iv Res menes u

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Al nal de cada cap tulo, aparece un repaso detallado de los resultados importantes del mismo, esto permitir una clara comprensin del texto. a o Uso de Software La tendencia cada vez mayor a que el docente se convierta en un facilitador del aprendizaje ms que un presentador de hechos ha producido una expansin en la esfera de los a o paquetes de informtica especializados como los software matemticos preparados para ayua a dar al docente. Estos paquetes tienen por objeto suplementar el trabajo prctico, permitiendo a as ampliar la presentacin de la ciencia a los estudiantes. Estos software han adquirido tal o grado de complejidad en la enseanza de la Ciencia que han recibido el nombre de Tecnolog n a Educativa. Entre los software matemticos ms importantes podemos citar: Maple, Matlab, Derive, a a Mathematica, Cabri Geometry, etc. El software matemtico Maple que se ha utilizado para la preparacin de este libro, se a o caracteriza por realizar clculos con s a mbolos que representan objetos matemticos. a Se trata de un sistema de clculo cient a co (simblico, numrico y grco) interactivo, con o e a una sintaxis prxima a la notacin matemtica, disponible para una amplia gama de sistemas o o a operativos. Algunas de sus capacidades son: Operaciones numricas en aritmtica racional exacta o decimal de precisin arbitraria. e e o Manipulacin algebraica de variables y s o mbolos. Operaciones con polinomios, fracciones algebraicas y funciones matemticas elementales. a Clculo de l a mites, derivadas y primitivas. Resolucin de ecuaciones y sistemas. o Operaciones con vectores y matrices. Capacidades grcas en 2 y 3 dimensiones. a Lenguaje de programacin de alto nivel. o

La historia de la matemtica aLa historia de la matemtica est llena de ancdotas, de problemas interesantes que pueden a a e motivar a los jvenes a estudiarla y desarrollar actitude positivas hacia ella. El uso de tpicos o o de historia de la matemtica, de biograf de matemticos, de acertijos y problemas clsicos a as a a permite acercarnos a esta ciencia desde un punto de vista humano. Los estudiantes comprenden que la matemtica es simplemente una actividad creada por seres humanos iguales a

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a ellos, quienes desarrollaron ideas creativas y resolvieron situaciones que en su tiempo eran importantes, pero que en otros momentos sufrieron frustracin y desengao, ya sea al no o n poder resolver los problemas que se plantearon, porque la sociedad no estaba preparada para sus ideas renovadoras, o porque sufrieron la marginacin de las comunidades cient o cas de la poca, como ocurri en el caso de las mujeres matemticas. e o a Es sumamente util explorar con nuestros alumnos los inicios de un concepto, las dicultades con las que tuvieron que enfrentarse estos investigadores y las ideas que surgieron al enfrentar una situacin nueva. Todos estos hechos encarnan una verdadera aventura intelectual que o muchas veces se deja de lado en las clases tradicionales donde un tema aparece presentado de manera acabada e inerte, sin posibilidad de descubrimiento, ni cr tica.

Introduccin oDesde los comienzos de su existencia, el hombre ha estudiado su medio ambiente con la nalidad de mejorar su situacin. Empez por observaciones, como hacemos hoy en d y o o a, sigui por la reunin de informacin y su aplicacin a la vida cotidiana. o o o o La ciencia es hoy d algo ms compleja. Nuestra capacidad de observacin ha aumentado a a o enormemente gracias al desarrollo de los modernos instrumentos desde los que nos permiten ver diminutas part culas de materia ampliadas millones de veces hasta los que nos permiten ver estrellas distantes en los l mites exteriores del universo tal como lo conocemos. Nuestros procesos de acopio de datos tambin se han vuelto muy complejos. No solo disponemos de e medios muy rpidos para registrar informacin sino que, mediante el uso de calculadoras y a o software, podemos recuperar la informacin en una fraccin de segundo. Sin embargo, muo o chos de nosotros no tenemos todav la posibilidad de usar los ultimos inventos de la ciencia a moderna. Tenemos que trabajar con las cosas existentes en nuestro medio inmediato que van a inuir en nuestras vidas y en las de quienes nos rodean. Hay que tener en cuenta que los cambios rpidos e incesantes del mundo de hoy hacen que tambin cambien a su comps los a e a conocimientos necesarios de matemtica a Entre todas las disciplinas matemticas, la teor de las ecuaciones diferenciales conjuna a tamente con el Clculo Diferencial es la ms importante. Proporciona la explicacin de todas a a o esas manifestaciones elementales de la naturaleza que involucran al tiempo. Esta obra es un intento para lograr que la enseanza y el aprendizaje de la ciencia sean los n ms ecaces posible. Como no hay una manera perfecta de ensear la Ciencia, sta publicacin a n e o no pretende ser el non plus ultra de la enseanza de la Matemtica. Los profesores deben buscar n a constantemente los mejores mtodos para ellos mismos y para sus alumnos, as como leer con e la mayor amplitud y profundidad posibles. Sin embargo, se espera que este trabajo sirva de documento bsico para empezar. Se ha reunido las contribuciones de docentes que se han a especializado en estos temas a n de presentar un amplio panorama de la enseanza de sta n e Ciencia. Es importante que el pensamiento creador en todos los niveles de educacin se centre en o crear las situaciones de aprendizaje ms ecaces para los estudiantes. En consecuencia, este a texto est destinado tanto a estudiantes de ciencias e ingenier como a docentes en ejercicio a a as como tambin a los futuros docentes de varios niveles acadmicos para que lo utilicen e e en las situaciones ms diversas. Su nalidad es mejorar la enseanza cotidiana de la ciencia a n vii

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examinando los numerosos temas que inuyen sobre el estudiante. Este es el compromiso que como docente de la Facultad de Ciencias F sicas y Matemticas a de la Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo he asumido: el contribuir a la formacin integral o de los estudiantes del presente siglo. Se tiene siempre la esperanza de que una publicacin sea tan buena que haya demanda o de una segunda edicin. Esto permite siempre corregir las inexactitudes y las equivocaciones, o as como aadir material pertinente nuevo u omitido inadvertidamente antes. Se agradecer a n a los lectores que comuniquen sus propias contribuciones y sugerencias al autor.

Indice general INTRODUCCION 1. RELACIONES 1.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Par Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Igualdad de pares ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Relacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.3.1. Dominio y Rango de una Relacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.3.2. Composicin de relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.3.3. Clases de relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Grcas de Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.6. La L nea Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Secciones cnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.8. La Parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.9. La Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10. La Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11. La Hiprbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.12. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.13. Funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.14. Dominio Rango y Grca de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a o 1.15. Funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.15.1. Funcin Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.15.2. Funcin Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.15.3. Funcin de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.15.4. Funcin Cuadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o a 1.15.5. Funcin Raiz Cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.15.6. Funcin Polinmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o ix

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1 1 3 3 3 4 5 5 6 6 11 11 12 13 14 16 18 20 23 26 26 29 29 29 30 31 33 34

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Matemtica I a 1.15.7. Funcin Seccionada . . . . . . . . o 1.15.8. Funcin Valor Absoluto . . . . . . o 1.15.9. Funcin Escaln Unitario . . . . . o o 1.15.10.Funcin Signo . . . . . . . . . . . . o 1.15.11.Funcin Mximo Entero . . . . . . o a 1.16. Tipo de Funciones . . . . . . . . . . . . . 1.16.1. Funcin Inyectiva . . . . . . . . . . o 1.16.2. Funcin Sobreyectiva . . . . . . . . o 1.16.3. Funcin Biyectiva . . . . . . . . . o 1.17. Caracter sticas de algunas funciones reales 1.18. Funcin Trigonomtrica . . . . . . . . . . o e 1.19. Funcin Exponencial . . . . . . . . . . . . o 1.20. Funcin Logaritmo . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. LIMITES 2.1. Introduccin . . . . . . . . . o 2.2. Vecindad de un punto . . . 2.3. Punto de acumulacin . . . o 2.4. L mite de una funcin . . . o 2.5. Teoremas de Limites . . . . 2.6. Propiedades . . . . . . . . . 2.7. Formas de indeterminacin o 2.8. L mite de una funcin en un o 2.9. L mites laterales . . . . . . 2.10. L mites al innito . . . . . . 2.11. L mites innitos . . . . . . . 2.12. As ntotas . . . . . . . . . . 2.12.1. As ntota Vertical . . 2.12.2. As ntota Horizontal 2.13. L mites trigonomtricos . . e 2.14. L mites exponenciales . . . Bibliograf a Indice de Materias

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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RELACIONESObjetivos: Determinar el dominio y el rango de relaciones y su inversa, como el inicio del estudio de los fenmenos en los cuales est presente la relacin causa efecto. o a o Trazar gracas de secciones cnicas, determinando el dominio y el rango de las mismas, o como ejemplo de relaciones de gran aplicacin en el campo de la ciencia. o Valorar el estudio de la geometr anal a tica como pilar del pensamiento geomtrico que e necesita un profesional en ciencias e ingenier a.

1.1.

Introduccin o

Las relaciones entre dos o ms conjuntos son frecuentes tanto en las Matemticas como a a en sus aplicaciones, especialmente en Informtica. Ejemplos prcticos de relaciones son las de a a orden y divisibilidad entre nmeros, las relaciones de equivalencia entre los datos de entrada u de un programa en cuanto a la deteccin de posibles errores de programacin (validacin de o o o programas), la relacin de dependencia entre las distintas fases produccin en una industria o o o la agrupacin de datos aislados en complejas bases de datos con relaciones de dependencia o entre sus campos. Desde el punto de vista matemtico, estas relaciones se pueden describir a simplemente como subconjuntos de un cierto producto cartesiano. De entre los diversos tipos de relaciones, las funciones pueden considerarse un caso especial en donde se interpreta que uno de los campos es el resultado de realizar una cierta operacin o con el resto. Asimismo, las relaciones de equivalencia describen similitudes entre elementos con respecto a una propiedad particular, y las relaciones de orden establecen una jerarqu con respecto a 1

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a un criterio jado. Por ultimo, las relaciones entre mltiples conjuntos son el fundamento u matemtico del modelo relacional de bases de datos, que es el ms extendido hoy en d por a a a su simplicidad, su potencia y su coherencia terica y prctica. o a Por sta razn, las relaciones tienen una importancia fundamental tanto en la teor como e o a en las aplicaciones a la informtica. a Una estructura de datos tales como una lista, una matriz o un arbol, se usan para repre sentar conjuntos e elementos junto con una relacin entre los mismos. o Las relaciones que son parte de un modelo matemtico estn a menudo impl a a citamente representadas por relaciones en una estructura de datos. Aplicaciones numricas, recuperacin de informacin y problemas de redes son algunos e o o ejemplos donde las relaciones ocurren como parte de la descripcin del problema, y la manipo ulacin de relaciones es importante en la resolucin de procedimientos. o o Las relaciones tambin juegan un importante papel en la teor de computacin, incluyendo e a o estructuras de programas y anlisis de algoritmos. a Como concepto fundamental relacin signica conexin o correspondencia entre dos entes o o u objetos. As por ejemplo las expresiones padre de, hermano de, etc., son relaciones entre seres vivos, mientras expresiones como mayor que, mltiplo de, etc. denotan relaciones u entre nmeros. As de lo anterior podemos concluir que relacin es un conjunto de parejas que u o satisfacen determinada condicin. o Un ejemplo de aplicacin de las relaciones binarias es la gestin de la matriculacin de o o o alumnos en una universidad. La estructura necesaria se puede considerar como una relacin o entre dos conjuntos de elementos: los alumnos y las asignaturas, por la que cada alumno est relacionado con todas las asignaturas que cursa y cada asignatura con todos los alumnos a que se han matriculado de la misma. Eventualmente, podr amos decidir almacenar la cualicacin que el alumno ha obtenido de las asignaturas1 , y entonces obtenemos relaciones binarias o etiquetadas. CD Abad Adrianzen Arce LM LP GA TAN AL

Cuadro 1.1: Representacin de la relacin alumnos asignaturas o o Donde:1

El aspa signica que el alumno cursa la asignatura.

Walter Arriaga D. CD LM LP GA TAN AL = = = = = = Clculo Diferencial. a Lgica Matemtica. o a

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Lenguaje de Programacin. o Geometr Anal a tica. Teor Algebraica de los Nmeros. a u Algebra L neal.

1.2.1.2.1.

Producto CartesianoPar Ordenado

Es un conjunto de dos elementos denotado y denido por: (a, b) = {{a}, {a, b}} Donde: a: es primera componente b: segunda componente a Esta denicin tiene el nombre de par de Kuratowski2 , y es bien bsica, porque requiere o de apenas pocos axiomas para poder ser formulada (el axioma de extensin, el axioma de o separacin y el axioma del par). o

1.2.2.

Igualdad de pares ordenados

Dos pares ordenados (a, b) y (c, d) son iguales s y solo s se cumple que: (a, b) = (c, d) a=c b=d

Ejemplo 1.2.1. Hallar el mayor valor posible de a + b (a2 , 9b 1) = (6b a, a3 ) Solucin: o 9b 1 = a3 9b = a3 + 1 9b = (a + 1)(a2 a + 1) (a + 1)(a2 a + 1) = 9b a 2 Dividiendo las ecuaciones anteriores 2 = , entonces (2a 1)(a 2) = 0, resolviendo a a+1 3 se tiene: a = 2, b = 1 a = 1/2, b = 1/8. Por lo tanto el mayor valor de a + b es 3. o2

a2 = 6b a a2 + a = 6b a(a + 1) = 6b

Kazimierz Kuratowski (Varsovia, 2 de febrero de 1896 al 18 de junio de 1980) fue un matemtico y lgico a o

polaco.

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1.2.3.

Producto Cartesiano

Dados dos conjuntos no vac A y B se dene el producto cartesiano A B como el os conjunto de pares ordenados: A B = {(a, b)/a A y Observacin 1.2.1. o (a, b) A B a A b B (a, b) A B a A b B / / / Ejemplo 1.2.2. Sea A = {1, 2, 3}, B = {a, b} entonces: A B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}, que pudieron haberse distribu en un diado grama del rbol. aA1 b a 2 b a 3 b (3, b) (2, b) (3, a) (1, b) (2, a)

b B}

Ba

AxB(1, a)

Figura 1.1: Diagrama del rbol a

En total se tiene 6 elementos de A B. En general, si los conjuntos A y B son nitos y tienen m y n elementos respectivamente, entonces el producto cartesiano A B tieme mn elementos, es decir n(A B) = n(A) n(B) El concepto de producto cartesiano puede extenderse a 2 ms conjuntos no vac o a os: A B C = {(a, b, c)/a A extendiendo el concepto de terna ordenada: {a, b, c} = {{a}, {a, b}, {a, b, c}} bB c C}

Walter Arriaga D. Propiedades

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Si A = B, entonces A B = B A, es decir el producto cartesiano no es conmutativo. AB =BA A = B.

A = A = . AB = A= o B = .

A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) (A B) C = A (B C) AB AC = y (A C) (B C) BD (A B) (C D)

(A B ) (A B) (A B) (C D) = (A C) (B D) (A B) (C D) (A C) (B D)

1.3.

Relacin o

Denicin 1.3.1. Dados dos conjuntos no vac A y B. Un conjunto R de pares ordenados o os se llama Relacin o Relacin Binaria de A en B si es un subconjunto de A B. o o R es una relacin de A en B R A B o

1.3.1.

Dominio y Rango de una Relacin o

Denicin 1.3.2. Se llama dominio de una relacin R de A en B al conjunto de todas las o o primeras componentes de los pares ordenados de la relacin. Se denota por Dom(R) y se o simboliza: R : A B Dom(R) = {x A/y B, (x, y) R}

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Denicin 1.3.3. Se llama rango de una relacin R de A en B al conjunto de todas las o o segundas componentes de los pares ordenados de la relacin. Se denota por Ran(R) y se o simboliza: R : A B Ran(R) = {y B/x A, (x, y) R} Propiedades Sean R1 y R2 dos relaciones entre A y B, entonces: D.1: Dom(R1 R2 ) = Dom(R1 ) Dom(R2 ) D.2: Dom(R1 R2 ) Dom(R1 ) Dom(R2 ) D.3: Dom(R1 R2 ) Dom(R1 ) Dom(R2 ) R.1: Ran(R1 R2 ) = Ran(R1 ) Ran(R2 ) R.2: Ran(R1 R2 ) Ran(R1 ) Ran(R2 ) R.3: Ran(R1 R2 ) Ran(R1 ) Ran(R2 )

1.3.2. 1.3.3.

Composicin de relaciones o Clases de relaciones

Relacin Reexiva o Dado un conjunto A para el cual se dene una relacin R en A, se dice que es reexiva si o todo elemento de A est relacionado consigo mismo mediante R. a R : A A, es reexiva x A entonces (x, x) R En tal caso, decimos que R cumple con la propiedad de reexividad. La aplicacin de cualquier relacin R sobre un conjunto A, se representa con el par ordeo o nado (A, R). Cuando una relacin es lo opuesto a una reexiva, es decir, cuando ningn elemento de A o u est relacionado consigo mismo mediante R, entonces decimos que es antirreexiva, o irreexa iva, lo que denotamos formalmente por: x A, (xRx) En este caso, decimos que R cumple con la propiedad de antirreexividad.

Walter Arriaga D.

Matemtica I a

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Ejemplo 1.3.1. Sea A un conjunto cualquiera: La relacin de congruencia de guras en geometr es una relacin reexiva puesto que o a o toda gura es congruente a si misma. La relacin de paralelismo o es paralela a s misma. La relacin de inclusin es reexiva, porque todo conjunto esta contenido en s mismo. o o Sea (A, ), (mayor o igual que) es reexiva, pero > (mayor estricto que) no lo es. Sea (A, ), (menor o igual que) es reexiva, pero < (menor estricto que) no lo es. Sea (A, =), = (la igualdad matemtica), es reexiva. a Sea (A, ), (la inclusin de conjuntos), es reexiva. o Sea (N\{0}, \), \ (la divisibilidad) es reexiva. Sea (A, >), > (mayor estricto que) es antirreexiva, al igual que < (menor estricto que). La relacin de perpendicularidad entre dos rectas en el plano es antirreexiva, porque o una recta no puede ser perpendicular a s misma. Las relaciones Ser padre de y Ser madre de son antirreexivas, porque en ningn caso u alguien puede ser padre o madre de s mismo. Relacin Simtrica o e Dado un conjunto A para el cual se dene una relacin R en A, se dice que es simtrica o e cuando se tiene que si un elemento est relacionado con otro mediante R, entonces ese otro a tambin est relacionado con el primero. e a R : A A, es simtrica e (x, y) R entonces (y, x) R entre dos rectas en el plano es reexiva, porque toda recta

En tal caso, decimos que R cumple con la propiedad de simetr a. La aplicacin de cualquier relacin R sobre un conjunto A, se representa con el par ordeo o nado (A, R).

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Matemtica I a

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Cuando una relacin es lo opuesto a una simtrica, es decir, cuando se da que si un elemento o e est relacionado con otro mediante R, entonces ese otro no est relacionado con el primero, a a entonces decimos que es asimtrica, lo que denotamos formalmente por: e x, y A, xRy y Rx En este caso, decimos que R cumple con la propiedad de asimetr a. Ejemplo 1.3.2. Sea A un conjunto cualquiera: La congruencia de tringulos es una relacin simtrica pues si un tringulo X es cona o e a gruente con un tringulo Y , entonces Y es congruente con X. a La relacin de paralelismo o L1 L2 entonces L2 L1 . entre dos rectas en el plano es simtrica, puesto que si e

La perpendicularidad entre rectas de un plano es una relacin simtrica puesto que: si o e L1 L2 entonces L2 L1 . Sea (A, =), = (la igualdad matemtica), es simtrica. a e Sea (A, ), es simtrica. e Sea (A, ), es simtrica. e La relacin denida por x es hermano de y es simtrica. o e Estar casado con es una relacin simtrica, mientras que ser ms alto que no lo es. o e a Sea (A, >), que). Sea (A, ), (la inclusin estricta de conjuntos), es asimtrica. o e Observacin 1.3.1. La simetr no es lo opuesto de la antisimetr o a a. Existen relaciones que son simtricas y antisimtricas al mismo tiempo (como la igualdad), e e otras que no son simtricas ni antisimtricas (como la divisibilidad), otras que son simtricas e e e pero no antisimtricas (como la relacin de congruencia mdulo n), y otras que son antie o o simtricas pero no simtricas (como la relacin menor que). e e o > (mayor estricto que) es asimtrica, al igual que < (menor estricto e

Walter Arriaga D. Relacin Transitiva o

Matemtica I a

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Dado un conjunto A para el cual se dene una relacin R en A, se dice que: o R : A A, es transitiva (x, y) R (y, z) R entonces (x, z) R

Esta propiedad es conocida como transitividad. Ejemplo 1.3.3. La relacin de paralelismo o L1 L2 y L2 entre dos rectas en el plano es transitiva, puesto que si L3 .

L3 entonces L1

La relacin binaria menor que en los enteros es transitiva: Si a < b y b < c entonces o a < c. As puesto que 2 < 5 y 5 < 7, la transitividad implica que 2 < 7. En general , las relaciones de orden (ser menor, mayor, igual, menor o igual, mayor o igual) son transitivas. La relacin binaria divide a en los enteros tambin es transitiva. Denotando por a|b o e a la expresin a divide a b: Si a|b y b|c entonces a|c. Dado que 3|12 (3 divide a 12) y o 12|48 (12 divide a 48), la transitividad establece que 3|48 (3 divide a 48). La inclusin de conjuntos es una relacin transitiva, pues si: A B y B C, entonces o o A C. La implicacin en Lgica es tambin una relacin transitiva (Principio del silogismo o o e o hipottico): p q y q r entonces p r. e Sin embargo, no todas las relaciones binarias son transitivas. La relacin no es subcono junto de no es transitiva. Por ejemplo, si X = {1, 2, 3}, Y = {2, 3, 4, 5}, Z = {1, 2, 3, 4}. Entonces se cumple X Y y Y Z pero no se cumple X Z puesto que X si es subconjunto de Z. Otro ejemplo de relacin binaria que no es transitiva es ser la mitad de: 5 es la mitad o de 10 y 10 es la mitad de 20, pero 5 no es la mitad de 20. Relacin de Equivalencia o Una relacin R denida en un conjunto A es una relacin de equivalencia, si y slo si, se o o o verica que es: Reexiva, Simtrica y Transitiva. e Ejemplo 1.3.4.

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Matemtica I a La congruencia de tringulos es una relacin de equivalencia. a o La relacin de paralelismo o

Walter Arriaga D.

entre dos rectas en el plano es de equivalencia.

La relacin de perpendicularidad entre dos rectas en el plano no es de equivalencia. o Relacin Antisimtrica o e Una relacin R denida en un conjunto A es una antisimtrica, cuando se da que si dos o e elementos de A se relacionan entre s mediante R, entonces estos elementos son iguales. Es decir: R : A A, es antisimtrica e (x, y) R (x, y) R entonces x = y

La antisimetr no es lo opuesto de la simetr Existen relaciones que son simtricas y ana a. e tisimtricas al mismo tiempo (como la igualdad), otras que no son simtricas ni antisimtricas e e e (como la divisibilidad para los enteros), otras que son simtricas pero no antisimtricas (como e e la relacin de congruencia mdulo n), y otras que son antisimtricas pero no simtricas (como o o e e la relacin menor que). o Ejemplo 1.3.5. Sea A un conjunto cualquiera: Sea (A, ), (mayor o igual que) es antisimtrica. e Sea (A, ), (menor o igual que) es antisimtrica. e La relacin x divide a y es antisimtrica. o e La relacin ser ms alto que es antisimtrica. o a e

Relacin de Orden o Una relacin R denida en un conjunto A es una relacin de orden si cumple las propiedades o o de: Reexividad, Antisimetr y Transitividad. a Ejemplo 1.3.6. Dado (N, ), es una relacin de orden. o

Walter Arriaga D.

Matemtica I a

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1.4.

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos del espacio eucl deo equivale a la longitud del segmento de recta que los une, expresado numricamente. e La distancia entre los puntos P = (x1 , y1 ) y Q = (x2 , y2 ), que se denota por d = d(P, Q) cumple la siguiente condicin: o d2 = |x2 x1 |2 + |y2 y1 |2 = (x2 x1 )2 + (y2 y1 )2 entonces d(P, Q) = (x2 x1 )2 + (y2 y1 )2

1.5.

Grcas de Relaciones a

Denicin 1.5.1. Un lugar geomtrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas o e propiedades geomtricas. Cualquier gura geomtrica se puede denir como el lugar geomtrico e e e de los puntos que cumplen ciertas propiedades si y solo si todos los puntos de dicha gura cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la gura. Es un conjunto de puntos formados por el producto entre dos conjuntos tales que un subconjuntos de ellos satisfacen una propiedad y que solo estos puntos satisfacen dicha propiedad. Ejemplo 1.5.1. Estos son varios ejemplos de lugares geomtricos en el plano: e El lugar geomtrico de los puntos que equidistan a dos puntos dados es una recta, llamada e mediatriz. El lugar geomtrico de los puntos que equidistan a dos rectas son las dos bisectrices de e los dos ngulos determinados por dichas rectas, si estas son secantes, o la paralela media, a si stas son paralelas. e Las secciones cnicas pueden ser descritas mediante sus lugares geomtricos: o e Una circunferencia es el lugar geomtrico de los puntos cuya distancia al centro es un e valor dado (el radio). Una elipse es el lugar geomtrico de los puntos tales que, la suma de las distancias de e los puntos hasta los focos es un valor dado. La parbola es el lugar geomtrico de los puntos tales que, las distancias de los puntos a e al foco y a la directriz son iguales.

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Matemtica I a

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La hiprbola es el lugar geomtrico de los puntos tales que, la diferencia de distancias e e entre los focos es un valor dado. Figuras muy complejas pueden ser descritas mediante el lugar geomtrico generado por e los ceros de una funcin o de un polinomio. Por ejemplo, las cudricas estn denidas como el o a a lugar geomtrico de los ceros de polinomios cuadrticos. En general, los lugares geomtricos e a e generados por los ceros del conjunto de polinomios reciben el nombre de variedad algebraica, las propiedades de dichas variedades se estudian en la geometr algebraica. a

1.6.

La L nea Recta

La recta o l nea recta, es el ente ideal que slo posee una dimensin y contiene innitos o o puntos; est compuesta de innitos segmentos (el fragmento de l a nea ms corto que une dos a puntos). Segn uno de los postulados de Euclides establece que: Por dos puntos diferentes slo pasa u o una l nea recta. Ecuaciones de la recta La forma general de la recta est dada por: a R = {(x, y) / Ax + By + C = 0} Denicin 1.6.1. Se llama pendiente de la recta L, al valor de la tangente de su ngulo de o a inclinacin , y se le denota con la letra m. o y1 y0 x1 x0

m = tan =

donde (x1 , y1 ) = Q L, y (x0 , y0 ) L. El valor de la pendiente m ser constante para cada a recta, y proporciona una medida de su inclinacin con respecto al eje X. o As la ecuacin de una recta no vertical L queda completamente determinada si se indican , o su pendiente m, y las coordenadas de alpunto de paso (x0 , y0 ). Se puede obtener la ecuacin de la recta a partir de la frmula de la pendiente: o o y y0 = m(x x0 ) Esta forma de obtener la ecuacin de una recta se le debe a Jean Baptiste Biot.3 y se o denomina la forma PUNTO PENDIENTE.3

Jean-Baptiste Biott fue un f sico, astrnomo y matemtico francs. Naci el 21 de abril de 1774, en Par o a e o s

y falleci el 3 de febrero de 1862 en la misma ciudad. o

Walter Arriaga D.Y

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L P

Q

Po

X

Figura 1.2: La recta

Consideremos ahora como punto de paso al punto (0, b) en el cual L intercepta al eje Y , entonces L: y = mx + b

esta forma proporciona directamente la pendiente m como el coeciente de la variable x, mientras que el trmino independiente b indica el punto en el eje Y donde la recta L lo corta. e

1.7.

Secciones cnicas o

Una supercie cnica de revolucin est engendrada por la rotacin de una recta alrededor o o a o de otra recta ja, llamada vrtice, a la que corta de modo oblicuo. e La generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas. El vrtice es el punto central donde se cortan las generatrices. e Las hojas son las dos partes en las que el vrtice divide a la supercie cnica de revolucin. e o o Se denomina seccin cnica (o simplemente cnica) a la curva interseccin de un cono con o o o o un plano que no pasa por su vrtice. Se clasican en tres tipos: elipses, parbolas e hiprbolas. e a e La circunferencia es un caso particular de elipse. La primera denicin conocida de seccin cnica surge en la Antigua Grecia, cerca del ao o o o n 350 (Menachmus) donde las denieron como secciones de un cono circular recto. Los nombres de hiprbola, parbola y elipse se deben a Apolonio de Perga. Actualmente, las secciones e a cnicas pueden denirse de varias maneras; estas deniciones provienen de las diversas ramas o de la matemtica (como la geometr anal a a tica, la geometr proyectiva, etc.) a

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Matemtica I a

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Figura 1.3: La parbola en el cono a

Las curvas cnicas son importantes en astronom dos cuerpos masivos que interactan o a: u segn la ley de la gravitacin universal, sus trayectorias describen secciones cnicas si su centro u o o de masa se considera en reposo. Si estn relativamente prximas describirn elipses, si se alejan a o a demasiado describirn hiprbolas o parbolas. a e a Tambin son importantes en aerodinmica y en su aplicacin industrial, ya que permiten e a o ser repetidas por medios mecnicos con gran exactitud, logrando supercies, formas y curvas a perfectas.

1.8.

La Parbola a

La parbola es una seccin cnica generada al cortar un cono recto con un plano paralelo a o o a la directriz.

Figura 1.4: La parbola en el cono a

Walter Arriaga D.

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Se dene tambin como el lugar geomtrico de los puntos que equidistan de una recta (eje e e o directriz) y un punto jo llamado foco. La parbola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debido a que las grcas a a de ecuaciones cuadrticas son parbolas. Por ejemplo, la trayectoria ideal del movimiento de a a los cuerpos bajo la inuencia de la gravedad. Historia La tradicin reza que las secciones cnicas fueron descubiertas por Menecmo en su estudio del o o problema de la duplicacin del cubo, donde demuestra la existencia de una solucin mediante o o el corte de una parbola con una hiprbola, lo cual es conrmado posteriormente por Proclo a e y Eratstenes. o Sin embargo, el primero en usar el trmino parbola fue Apolonio de Perge en su tratae a do Cnicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemticas griegas, y donde se o a desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cnicas. o Es Apolonio quien menciona que un espejo parablico reeja de forma paralela los rayos o emitidos desde su foco, propiedad usada hoy en d en las antenas satelitales. La parbola a a tambin fue estudiada por Arqu e medes, nuevamente en la bsqueda de una solucin para un u o problema famoso: la cuadratura del c rculo, dando como resultado el libro Sobre la cuadratura de la parbola. a Aplicaciones prcticas a Una consecuencia de gran importancia es que la tangente reeja los rayos paralelos al eje de la parbola en direccin al foco. Las aplicaciones prcticas son muchas: las antenas a o a satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando seales recibidas desde un n emisor lejano en un receptor colocado en la posicin del foco. o La concentracin de la radiacin solar en un punto, mediante un reector parablico tiene o o o su aplicacin en pequeas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energ solar. o n a Analogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviar un haz de rayos paralelos al a eje: diversas lmparas y faros tienen espejos con supercies parablicas reectantes para poder a o enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posicin focal. Los rayos convergen o o divergen si el emisor se deplaza de la posicin focal. o La parbola reeja sobre el foco los rayos paralelos al eje. Analogamente, un emisor situado a en el foco, enviar un haz de rayos paralelos al eje. a Los radiotelescopios concentran los haces de seales en un receptor situado en el foco. El n mismo principio se aplica en una antena de radar. Cocina solar de concentrador parablico. El mismo mtodo se emplea en las grandes ceno e

16 trales captadoras de energ solar. a

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Los faros de los automviles env haces de luz paralelos, si la bombilla se situa en el foco o an de una supercie parablica. o Ecuaciones de la parbola a De forma implicita: R = {(x, y) R2 / Cy 2 + Dx + Ey + F = 0} De forma explicita: R = {(x, y) R2 / y = ax2 + bx + c} R = {(x, y) R2 / x = ay 2 + by + c} Completando trinomios cuadrados perfectos: R = {(x, y) R2 / y k = 4p(x h)2 } R = {(x, y) R2 / x h = 4p(y k)2 } Donde el vertice est dado por V (h, k). Para la parbola y k = 4p(xh)2 , si el parmetro a a a R = {(x, y) R2 / Ax2 + Dx + Ey + F = 0}

4p es positivo, la parbola se abre hacia arriba y cuando es negativo se abre hacia abajo. Para a la parbola x h = 4p(y k)2 , si el parmetro 4p es positivo, la parbola se abre hacia la a a a derecha y cuando es negativo se abre hacia la izquierda. Y Y k V (h, k)

k 0 h

V (h, k) X 0 h (b) Para 4p < 0 X

(a) Para 4p > 0

Figura 1.5: Parbola de la forma: y k = 4p(x h)2 a

1.9.

La Circunferencia

Una circunferencia es el lugar geomtrico de los puntos del plano equidistantes de otro jo, e llamado centro; esta distancia se denomina radio. Slo posee longitud. Se distingue del c o rculo en que este es el lugar geomtrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada, e es decir, la circunferencia es el per metro del c rculo cuya supercie contiene.

Walter Arriaga D. Y

Matemtica I a Y

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k

V (h, k)

k

V (h, k)

0

h (a) Para 4p > 0

X

0

h (b) Para 4p < 0

X

Figura 1.6: Parbola de la forma: x h = 4p(y k)2 a

Figura 1.7: La circunferencia en el cono

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unitaria. Es una curva bidimensional con innitos ejes de simetr y sus aplicaciones son muy a numerosas. La palabra circunferencia proviene del lat circumferentia que a su vez deriva de circumn ferre, que signica llevar alrededor. Durante mucho tiempo, se emple el trmino c o e rculo para designar tanto la supercie, como a la curva que lo delimita: la circunferencia. En castellano, se suele utilizar el trmino geomtrico disco, asociado al concepto c e e rculo, en textos de topolog una rama de las matemticas. En cartograf se utiliza el trmino c a, a a e rculo como sinnimo de circunferencia, en expresiones como c o rculo polar rtico. a No ocurre lo mismo en otros idiomas. En ingls, circle expresa el concepto de circunferencia e (curva cerrada plana equidistante del centro), mientras que circumference signica per metro

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del c rculo (la longitud de la circunferencia). Sin embargo, disk se asocia al concepto de c rculo (supercie plana limitada por una circunferencia). En trminos coloquiales (no estrictamente matemticos) el uso de c e a rculo y circunferencia es indistinto en algunas zonas geogrcas por lo arraigado que est en la tradicin, no obstante a a o se encuentra que circunferencia se asocia ms frecuentemente con los conceptos de aro o anillo a en tanto que c rculo se asocia ms frecuentemente con los conceptos de disco o plato. a Elementos de la circunferencia Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia. Radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia. Dimetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lgicamente, a o pasa por el centro. Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud mxima son los dimetros. a a Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos. Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un slo punto. o Punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia. Arco, segmento curvil neo de puntos pertenecientes a la circunferencia. Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un dimetro. a

1.10.

La Elipse

La elipse es el lugar geomtrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias e a dos puntos jos llamados focos es una constante positiva e igual a la distancia entre los vrtices. e Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la supercie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetr con ngulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolucin. a a o Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. Contenido Historia La elipse, como curva geomtrica, fue estudiada por Menaechmus, investigada por e Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de la seccin o

Walter Arriaga D. Y LT

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R

C

X Figura 1.8: Circunferencia

Figura 1.9: La elipse en el cono

cnica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler cre que la rbita de o a o Marte era ovalada, aunque ms tarde descubri que se trataba de una elipse con el Sol en a o un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra focus y public su descubrimiento en 1609. o Halley, en 1705, demostr que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una rbita el o o ptica alrededor del Sol. Elementos de una elipse La elipse posee un eje mayor, trazo AB (que equivale a 2a), y un eje menor, trazo CD; la mitad de cada uno de esos ejes recibe el nombre de semieje, de tal manera que se los denomina semieje mayor y semieje menor, respectivamente.

20

Matemtica I a Sobre el eje mayor existen dos puntos F1 y F2 que se llaman focos.

Walter Arriaga D.

El punto Q puede estar ubicado en cualquier lugar del per metro de la elipse.

1.11.

La Hiprbola e

Una hiprbola es una seccin cnica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar e o o un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetr con ngulo menor que el de la generatriz a a respecto del eje de revolucin. o

Figura 1.10: La hiprbola en el cono e

Una hiprbola es el lugar geomtrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia e e de sus distancias a dos puntos jos, llamados focos, es igual a una constante positiva igual a la distancia entre los vrtices. e Hiprbola deriva de la palabra griega uperbola, y es cognado de hiprbole (la gura litere e aria que equivale a exageracin). o

Historia Debido a la inclinacin del corte, el plano de la hiprbola interseca ambas ramas o e del cono. Segn la tradicin, las secciones cnicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del u o o problema de la duplicacin del cubo, donde demuestra la existencia de una solucin mediante o o el corte de una parbola con una hiprbola, lo cual es conrmado posteriormente por Proclo a e y Eratstenes. o Sin embargo, el primero en usar el trmino hiprbola fue Apolonio de Perge en su tratae e do Cnicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemticas griegas, y donde se o a

Walter Arriaga D.

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desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cnicas. o Ecuaciones de la hiprbola e R = {(x, y) R2 / Ax2 + Cx2 + Dx + Ey + F = 0} donde A y C son de signos opuestos.

ResumenDada la ecuacin general: o Ax2 + Bxy + Cx2 + Dx + Ey + F = 0 Si A = B, la grca de la ecuacin 1.1 es una circunferencia. a o Si la ecuacin general de dos variables (x, y) es de la forma: o ax2 + 2hxy + by 2 + 2gx + 2f y + c = 0 entonces: Si h2 > ab, hiprbola. e Si h2 = ab, parbola. a Si h2 < ab, elipse. Si a = 0 y h = 0, circunferencia (considerada un caso particular de elipse). (1.2) (1.1)

Figura 1.11: Cnicas o

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Matemtica I a

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FUNCIONESObjetivos: Denir intuitiva y formalmente una funcin. o Operar con funciones reales de variable real identicando correctamente el dominio y rango, construyendo su grca e interpretando las caracter a sticas que ella posee. Modelar matemticamente un fenmeno para predecir su comportamiento en el futuro. a o

1.12.

Introduccin o

La resolucin de problemas con informacin y datos recolectados de fenmenos f o o o sicos adquiere d a d mayor auge como alternativa de enseanza en los salones de clases. Las a a n corrientes contextualitas han contribuido a integrar otras reas (estad a stica, geometr moda, elacin y simulacin matemtica, etc.) en los cursos de Preclculo y Clculo. Se ha observado o o a a a que, durante las ultimas dcadas, se han incorporado nuevas estrategias en la enseanza de e n las funciones y herramientas tecnolgicas en el saln de clases. o o El contenido sobre funciones cubre gran parte del contenido del curso de preclculo, este a concepto permite desarrollar el proceso de la simulacin y modelacin desde situaciones f o o sica y geomtrica, lo que tambin permitir que se puedan exponer conocimientos matemticos e e a a en forma gil y atractiva a los estudiantes. Hitt (2000) seal que a travs de las funciones a n o e podemos modelar matemticamente un fenmeno de la vida real, describir y analizar relaa o ciones de hechos sin necesidad de hacer a cada momento una descripcin verbal o un clculo o a complicado de cada uno de los sucesos que estamos describiendo. La modelacin relacionada con sistemas de representaciones integra: s o mbolos, signos, g uras, grcas y construcciones geomtricas. Estos expresan el concepto y suscriben en s misa e mos el modelo con el cual es posible interpretar y predecir comportamientos de fenmenos o f sicos. La simulacin y la modelacin son representaciones de un objeto matemtico que o o a 23

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est vinculado a una situacin f a o sica o real. Cuando se logra la simulacin matemtica en el o a saln de clase, pueden rescatarse ideas intuitivas que la matemtica formal excluye cuando o a se transita de lo concreto a lo abstracto en la enseanza del conocimiento matemtico. Una n a simulacin es un intento por imitar o aproximarse a algo; por su parte, modelar signica cono struir una representacin de algo. La diferencia semntica reside en que un modelo es una o a representacin de estructuras, mientras que una simulacin inere un proceso o interaccin o o o entre las estructuras del modelo para crear un patrn de comportamiento. El trmino modelo o e se reere a la generalizacin conceptual que se abstrae de un grupo de experiencias con el o propsito de categorizar y sistematizar nuevas experiencias. o Cuando se modelan situaciones reales u otras que se enmarcan en el proceso cognitivo de la adquisicin del concepto de funcin, se provoca que el estudiante, al aproximarse a o o fenmenos reales, analice y describa los siguientes elementos matemticos: la signicacin de o a o objetos: simblicos, verbales, grcos, algebraicos y numricos. En el proceso de simulacin o a e o y de modelacin se produce la distincin de variables y la relacin entre las variables, los o o o cuales a su vez impulsa la construccin de otros registros de representacin. Monk (1992) o o consider que los modelos f o sicos proveen a los estudiantes una visin del procesamiento de la o situacin funcional, la cual puede ampliar en stos las perspectivas que tienen acerca de las o e funciones. En este sentido, se considera que la enseanza se dirige a planteamientos ms dinmicos en n a a la adquisicin del conocimiento. Por lo tanto, la simulacin y la modelacin son alternativas o o o de transferencia dinmica del conocimiento desde situaciones f a sicas y geomtricas hasta la ese tructuracin mental en el proceso de aprendizaje. La simulacin y la modelacin matemticas, o o o a la matemtica en contexto y la incorporacin de la nueva tecnolog pueden fortalecer el proa o a ceso enseanza aprendizaje. Los procesos matemticos son complicados en trmino de aislar n a e el problema que se est tratando dentro de un contexto. Sin embargo, en la dcada pasada y lo e e que va de sta, una corriente de investigadores impulsa el uso de las matemticas planteadas e a desde contextos reales en la adquisicin de conceptos. La simulacin de fenmenos f o o o sicos a travs del uso de la microcomputadora es imprescindible para la generacin de procesos de la e o matematizacin y formacin de conceptos. o o La situacin del concepto de funcin en el entorno de la modelacin Los autores de la o o o mayor de los textos de Preclculo presentan el tema de las funciones tomando como refa a erencias situaciones de correspondencias que se dan en el contexto f sico-real. En el mbito a matemtico, esta relacin se considera como una clase de correspondencia llamada funcin. a o o La denicin de este concepto, en muchas ocasiones, se reduce a establecer la relacin entre o o

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Matemtica I a

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dos cantidades. Callahan & Homan (1995) arman que: Una funcin describe cmo una o o cantidad depende de otra. De forma general este concepto se presenta en tres modalidades: como una relacin con lo f o sicoreal, como representaciones y como deniciones. La utilidad de las funciones y el estudio con distintas representaciones llevan a reexionar sobre el potencial didctico que se tiene cuando se aborda la realidad con determinados esquemas mentales o a modelos matemticos o a travs de una simulacin del problema real. a e o

Como se mencion anteriormente, las estrategias que se utilizan para aprender matemticas o a a partir de situaciones y fenmenos del mundo f o sico han cobrado fuerza en los ultimos aos. n Estas incluyen interpretar la realidad a partir de la identicacin de las variables participantes, o la recoleccin de datos que se generan en las situaciones reales o simuladas y modelacin de las o o situaciones. La perspectiva correcta se da principalmente a partir del medio ambiente hacia las matemticas y no en la otra direccin. a o

El concepto de funcin responde a diferentes deniciones y etapas histricas. Las denio o ciones han sido alteradas conforme a los avances tecnolgicos que se han promovido en la o enseanza de la matemtica (calculadoras grcas, paquete de programacin de instruccin n a a o o interactiva, entre otro). En este sentido, Hitt y Torres (1994) incluyen en su trabajo cuatro deniciones. La denicin dada en trminos de variables que seala que: cuando dos variables o e n estn relacionadas de tal manera que el valor de la primera queda determinado si se da un a valor a la segunda, entonces se dice que la primera es funcin de la segunda. Muy distinta a o la ofrecida en trminos de conjunto de pares ordenados: una funcin es un conjunto de pares e o ordenados de elementos tales que ningunos dos pares ordenados tienen tiene el mismo primer elemento. El conjunto de los primeros elementos de los pares ordenados se llama dominio y el conjunto de los segundos elementos rango de la funcin. La denicin como una regla de o o correspondencia se explica de la siguiente manera: una funcin f de un conjunto A un cono junto B es una regla de correspondencia que asignan a cada valor de x de cierto subconjunto D de A un elemento determinado de manera unica f (x) de B. Y por ultimo, la denicin o en trminos de mquina, ms acorde con los tiempos: una funcin es un procedimiento P e a a o que toma una o ms entradas que salidas, y que tiene la propiedad de que cualesquiera dos a llamadas a P con las misma entrada regresa a la misma salida. Dubinsky, Schwingendorf & Mathews (1994) incluyeron otras categorizaciones de las funciones: funcin como expresin, o o funcin como computer function, funcin como sucesin. o o o

26

Matemtica I a

Walter Arriaga D.

1.13.

Funcin o

Para hablar de una funcin, por lo tanto, ser necesario que escojamos una letra o s o a mbolo con el que podamos representar cada una de las dos magnitudes. Normalmente utilizamos x e y, pero en otras ocasiones se recurre a letras relacionadas con el nombre de las magnitudes que entran en juego; por ejemplo, p y q para los precios (prices) y las cantidades (quantity), respectivamente. Cuando tratamos con funciones que relacionan dos magnitudes, una de stas se conoce e como variable independiente, a la que podemos otorgarle los valores, y otra que se denomina variable dependiente, que, como su propio nombre indica, depende del valor que le hayamos asignado a la independiente. Los papeles de ambas variables pueden ser, a menudo, intercambiables, y en determinadas ocasiones nos interesar intercambiarlos. Sin embargo, es preciso a jar las ideas: podemos modicar la variable independiente x, pero la variable dependiente y est en funcin del valor que le hayamos dado a x. a o Resulta cmodo identicar la funcin con una letra. En general, para representar la funcin o o o escribiremos: y = f (x) donde x y y son las variables y f simboliza la relacin que asocia y con x. o Sean A y B dos conjuntos no vac y sea f una relacin binaria de A en B, esto es, os o f A B. Se entiende por funcin de A en B a toda regla que asocia a cada elemento x del o conjunto A un unico elemento y del conjunto B. Notacin: o f : A B y se lee f es una funcin de A en B o

Denicin 1.13.1. f es una funcin de A en B si y slo si satisface las siguientes condiciones: o o o f AB (x, y) f es funcin. o (x, z) f y=z

Ejemplo 1.13.1. En la gura (1.12) se observa que: f , g y h son funciones, en cambio j no

1.14.

Dominio Rango y Grca de una funcin a o

Denicin 1.14.1. El dominio de una funcin f : A B es el conjunto de todas las primeras o o componentes x A (conjunto de partida) de los pares ordenados de f , esto es: Dom(f ) = {x A / y B, (x, y) f } = A

Walter Arriaga D.f 4 1 5 2 6 3 7

Matemtica I ag 4 1 5 2 6 3 7

27

A

B

A

B

(a)

(b)

A 1

h 4 5 2 6 3 7

B

A 1

j 4 5 2 6 3 7

B

(c)

(d)

Figura 1.12: Ejemplos de funciones Para el clculo del dominio de funciones reales de variable real f : R R se debe tener a en cuenta el siguiente criterio: 1. Para las funciones polinmicas: Si y = P (x), donde P (x) es un polinomio de grado n, o entonces el dominio est dado por el conjunto de los nmeros reales, es decir: Domf = R. a u Por ejemplo: La funcin f (x) = 2x5 + 3x3 5x2 + 1, se tiene que: Domf = R o La funcin f (x) = 3x12 + 25x3 + 17x + 1, se tiene que: Domf = R o 2. Para las funciones racionales: Si y = P (x) , donde P (x) y Q(x) son polinomios de grado m Q(x) y n respectivamente, entonces Q(x) = 0; esto nos plantea el problema de tener que excluir del dominio las ra ces del polinomio denominador. As pues si al resolver la ecuacin o Q(x) = 0 obtenemos como ra x1 , x2 , . . . , xn , entonces: Domf = R {x1 , x2 , . . . , xn }; ces en otras palabras, Domf = R {x R/Q(x) = 0}. Por ejemplo: Dada la funcin f (x) = ox+2 x2 9 .

Al resolver la ecuacin x2 9 = 0; obtenemos x1 = 3 o Al resolver la ecuacin x2 + 1 = 0; observamos que o

y x2 = 3. Por lo tanto: Domf = R {3, 3}. Dada la funcin f (x) = o2 . x2 +1

28

Matemtica I af A x B

Walter Arriaga D.

y Ran(f)

Dom(f)

Figura 1.13: Dominio y rango de una funcin o

no tiene solucin. No hemos encontrado valores que anulen el denominador y por o lo tanto no tenemos que excluirlos del dominio. Por lo tanto: Domf = R. 3. Para las funciones irracionales: a) Si las funciones irracionales son de la forma f (x) = decir: Domf = R b) Si f (x) =2n 2n+1

P (x), donde P (x) es un

polinomio de grado n entonces el dominio el conjunto de los nmeros reales, es u

P (x), donde P (x) es un polinomio de grado n, entonces P (x) 0, y son polinomios de grado m y n respectiva= {x R/ P (x) 0}. Q(x)

as Domf = {x R/P (x) 0}. : c) Si f (x) = mente,P (x) Q(x) , donde P (x) y Q(x) entonces P (x) 0, y as Domf : Q(x)2n

P d) Si f (x) = 2n (x) , donde P (x) y Q(x) son polinomios de grado m y n respectivaQ(x)

mente, entonces Q(x) > 0, y as Domf = {x R/Q(x) > 0}. : Denicin 1.14.2. El rango de una funcin f : A B es el conjunto de todas las segundas o o componentes y B (conjunto de llegada) de los pares ordenados de f , esto es: Ran(f ) = {y B / x A, y = f (x)} B Para calcular el rango de una funcin real de variable real y = f (x) se despeja x en trminos o e de y, y luego se analiza para que valores de y, x es real. Denicin 1.14.3. Si f es una funcin f : A B, su grca denotada por Gr(f ) est dada o o a a por: Gr(f ) = {(a, f (a)) / a Domf } A B

Walter Arriaga D.

Matemtica I a

29

1.15.

Funciones especiales

A continuacin analizaremos la grca, dominio y rango de ciertas funciones: o a

1.15.1.

Funcin Constante o

Se llama funcin constante o funcin polinmica de grado cero a la que no depende de o o o ninguna variable. Es la funcin f : R R, denida por: o f (x) = c donde c es una constante real. Su grca es una recta paralela al eje X, veamos la gura (1.14). Si c = 0, la grca a a coincide con el eje X. Veamos la grca: aY

c 0 X

Figura 1.14: Funcin Constante o

Domf = R Ranf = {c}

1.15.2.

Funcin Identidad o

Es la funcin f : R R, denida por: o f (x) = x La funcin f (x) = x de R en R tiene como representacin grca en el eje de coordenadas o o a la l nea recta que cruza el origen subiendo en un ngulo de 45 hacia la derecha, es decir es la a bisectriz del primer y tercer cuadrante. Veamos la grca: a

30

Matemtica I aY

Walter Arriaga D.

0

X

Figura 1.15: Funcin Identidad o

Domf = R Ranf = R

1.15.3.

Funcin de primer grado o

Una funcin de primer grado (se suele abusar del lenguaje y denominar funcin lineal de o o una variable real) es aquella funcin f : R R, denida por: o f (x) = mx + b Donde m y b con constantes. La denominacin correcta de este tipo de funciones es funcin o o af n. La razn de este abuso de lenguaje es, probablemente, el hecho de que toda funcin af o o n f (x) = mx + b tiene una funcin lineal asociada f (x) = mx. De hecho, una ecuacin de la o o forma y = mx + b se denomina ecuacin lineal. Toda funcin af tiene orden de crecimiento o o n lineal, y se comporta asintticamente como su funcin lineal asociada. o o Una funcin lineal de una unica variable independiente x suele escribirse en la forma o y = mx + b, que se conoce como ecuacin de la recta en el plano XY , dnde m es denominada o la pendiente de la recta y b es la ordenada en el origen, el valor de y para x = 0, es el punto (0, b). Veamos la grca: a Domf = R Ranf = R Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en econom (uso de la oferta y la a demanda), los ecnomos se basan en la linealidad de esta funcin y las leyes de la oferta o o

Walter Arriaga D.

Matemtica I aY

31

0 b

X

Figura 1.16: Funcin de primer grado o

y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier anlisis econmico. Por a o ejemplo, si un consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el art culo est disponible. Una relacin que especique la cantidad de un art e o culo determinado que los consumidores estn dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley e de demanda. La ley ms simple es una relacin del tipo P = mx + b, donde P es el precio por a o unidad del art culo y m y b son constantes. La grca de una ley de demanda se llama curva a de demanda lineal. Muchas son las aplicaciones de la funcin lineal en el caso de la medicina. Ciertas situao ciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento de ciertos fenmenos. El o resultado del experimento psicolgico de Stenberg, sobre recuperacin de informacin es que o o o el tiempo de reaccin de una persona R, en milisegundos, es estad o sticamente funcin lineal o del tamao del conjunto de memoria N en los siguientes trminos R = 38N + 397. n e

1.15.4.

Funcin Cuadrtica o a

Una funcin polinmica de grado dos o funcin cuadrtica es la que corresponde a un o o o a polinomio en x de segundo grado, segn la forma: u f (x) = ax2 + bx + c donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0. Su grca es una parbola simtrica respecto a la recta vertical x = h, llamada eje de a a e simetr abierta hacia arriba si a > 0 [gura 1.17(a)] y hacia abajo si a < 0 [gura 1.17(b)]. a,

32 Y

Matemtica I a Y k

Walter Arriaga D.

V (h, k)

k 0 h

V (h, k) X 0 h (b) Para a < 0 X

(a) Para a > 0 Figura 1.17: Funcin Cuadrtica o a Para la gura 1.17(a) Domf = R Ranf = [k, +

Para la gura 1.17(b) Domf = R Ranf = , k]

Toda funcin cuadrtica puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la o a siguiente manera: f (x) = a(x h)2 + k A esta forma de expresin se la llama forma cannica. Siendo a el coeciente principal y el o o par ordenado (h, k) las coordenadas del vrtice de la parbola. Para llegar a esta expresin se e a o parte de la forma polinmica y se realiza el siguiente procedimiento: o u e a Dado f (x) = ax2 + bx + c se extrae a como factor comn en el trmino cuadrtico y en el 2+ b x +c lineal f (x) = a x a Luego se completa el trinomio cuadrado perfecto, sumando y restando para no alterar la b b2 b2 igualdad: f (x) = a x2 + x + 2 + c a 4a 4a b 2 b2 Se factoriza formando el cuadrado de un binomio: f (x) = a x + +c 2a 4a 2 b b sustituyendo: h = , k =c 2a 4a la expresin queda: f (x) = a(x h)2 + k. o El estudio de las funciones cuadrticas resulta de inters no slo en matemtica sino a e o a tambin en f e sica y en otras reas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una a pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un r al caer desde lo alto de una montaa, o n la forma que toma una cuerda oja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una part cula es lanzada con una

Walter Arriaga D. velocidad inicial.

Matemtica I a

33

Puede ser aplicada en la ingenier civil, para resolver problemas espec a cos tomando como punto de apoyo la ecuacin de segundo grado, en la construccin de puentes colgantes que se o o encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos torres. Los bilogos utilizan las funciones cuadrticas para estudiar los efectos nutricionales de o a los organismos. Por ejemplo, el anlisis del efecto nutricional en ratas que se alimentaron con a una dieta que conten cierto porcentaje de prote a na. La prote consisti en yema de huevos na o y harina de ma Al variar el porcentaje P de yema en la mezcla de prote z. na, el grupo de investigadores estim el aumento promedio en peso (en gramos) de un animal durante un o 1 cierto periodo fue F (p) en donde: F (p) = p2 + 2p + 20, 0 < P < 100 50 Existen fenmenos f o sicos que el hombre a travs de la historia ha tratado de explicarse. e Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta principal para realizar sus clculos a la ecuacin cuadrtica. Como ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura H de una o a 1 part cula lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo est dada por H = v0 t gt2 , a 2 donde H es la altura, v0 es la velocidad inicial de la part cula, g es la constante de gravedad y t es el tiempo.

1.15.5.

Funcin Raiz Cuadrada o

La funcin ra cuadrada es aquella funcin de la forma: o z o f (x) = Veamos la grca: a x

Figura 1.18: Funcin raiz cuadrada o

Domf = R+ = [0, + 0

34 Ranf = R+ = [0, + 0

Matemtica I a

Walter Arriaga D.

1.15.6.

Funcin Polinmica o o

Las funciones polinmicas son aquellas funciones f (x) = P (x) denidas por: on

P (x) =k=0

ak xk = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + + an xn

donde n es un entero positivo y a0 , a1 , a2 , . . . , an son constantes reales (a0 = 0). Una funcin constante, diferente de cero, es un polinomio de grado cero, una funcin lineal o o es un polinomio de primer grado, una funcin cuadrtica es un polinomio de segundo grado. o a La funcin P (x) = 0 se considera como un polinomio pero no se le asigna ningn grado. o u

1.15.7.

Funcin Seccionada o

Las funciones seccionadas llamadas tambin funciones por tramos, por trozos o por partes e son aquellas funciones que tienen un comporamiento distinto dependiendo de los valores del dominio. Es decir, si una funcin est denida por o a f1 (x) , f2 (x) , f (x) = f3 (x) , . . . Domf = Domf1 Domf2 Domf3 . . . Ranf = Ranf1 Ranf2 Ranf3 . . . f1 (x) , si x > 0 Ahora la funcin f (x) = o puede ser expresada como: f2 (x) , si x < 0 f1 (x) , si x > 0 x + |x| x |x| f (x) = = f (x) + g(x) 2x 2x f2 (x) , si x < 0 dos o ms secciones, entonces: a x D1 x D2 x D3

tales que D1 D2 D3 . . . = , entonces G(f ) = G(f1 ) G(f2 ) G(f3 ) . . .

Ejemplo 1.15.1. La funcin g(x) puede ser expresada como: o 2 x , si x > 0 x + |x| x |x| g(x) = = x2 + x3 3 2x 2x x , si x < 0

Esta expresin es util si desea gracar una funcin por tramos con una calculadora. o o

Walter Arriaga D.

Matemtica I a

35

1.15.8.

Funcin Valor Absoluto o

Es aquella funcin seccionada denida por: o x , si x 0

f (x) = |x| =

Si los nmeros reales estn representados geomtricamente en el eje real, el nmero |x| se u a e u llama distancia o mdulo de x a cero. o Veamos la grca: aY

x , si x < 0

y = x y=x

0

X

Figura 1.19: Funcin valor absoluto o

Domf = R Ranf = R+ = [0, + 0

1.15.9.

Funcin Escaln Unitario o o

En ingenier es comn encontrar funciones que corresponden a estados de s o no, o bien a u activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que acta sobre un sistema mecnico o u a una tensin elctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse despus de cierto o e e tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una funcin especial llamada funcin escaln unitario denotada por ua . La funcin escaln o o o o o de Heaviside, tambin llamada funcin escaln unitario, debe su nombre al matemtico ingls e o o a e

36 Oliver Heaviside4 est denido por: a

Matemtica I a

Walter Arriaga D.

f (x) = a (x) = (x a) =

0 , si x < a

Tiene aplicaciones en ingenier de control y procesamiento de seales, representando una a n seal que se enciende en un tiempo espec n co, y se queda prendida indenidamente. Veamos su grca: aY

1 , si x a

10

a

X

Figura 1.20: Funcin escaln unitario o o

Domf = R Ranf = {0, 1}

1.15.10.

Funcin Signo osigno de x y est denida por: a si x < 0 si x = 0 si x > 0

equivalentemente:

Es aquella funcin denotada por sgn(x), que se lee o 1 , f (x) = sgn(x) = 0 , 1 , x , f (x) = sgn(x) = |x| 0 ,

si x = 0 si x = 0

4

Oliver Heaviside, radiotelegrasta y matemtico ingls, naci en Londres (Inglaterra) el 18 de mayo de a e o

1850, falleciendo en Torquay (Inglaterra) el 3 de febrero de 1925.

Walter Arriaga D. Veamos la grca: a

Matemtica I a

37

Y

1

0 X 1

Figura 1.21: Funcin signo o

Domf = R

Ranf = {1, 0, 1}

1.15.11.

Funcin Mximo Entero o a

Es aquella funcin seccionada denida por: o

f (x) = x

donde x es el mximo entero no mayor que x, es decir, x = n x = mx{n Z / n x} a a x = n n x < n+1

Para trazar la grca de f (x) = x , especicaremos f para algunos intervalos de longitud a unitaria a cada lado del origen.

38

Matemtica I a

Walter Arriaga D.

[n, n + 1 . . . 3 x < 2 2 x < 1 1 x < 0 0x 1 y 0 < a < 1 a

(a) Para a > 1

(b) Para 0 < a < 1

Figura 1.27: Funcin exponencial o

Domf = R Ranf = 0, + Propiedades: 1. Las funciones exponenciales pasan por el punto (0,1). 2. En la grca 1.27(a) se puede observar que para a > 1 la funcin f es creciente. a o 3. En la grca 1.27(b) se puede observar que para 0 < a < 1 la funcin f es decreciente. a o 4. El eje de las x es una as ntota horizontal. 5. Las funciones exponenciales son uno a uno. Las funciones exponenciales tienen muchas aplicaciones en ciencias, matemticas, comercio a y en otras disciplinas. Veremos aqu algunas de esas aplicaciones.

46 1. Frmula de inters compuesto o e

Matemtica I a

Walter Arriaga D.

A=P 1+ donde: A es la cantidad acumulada o valor futuro. P es el principal de la inversin. o r es la tasa de inters anual. e n es el nmero de periodos de tiempo por ao. u n t es el nmero de aos. u n 2. Frmula de inters cont o e nuo

r m

nt

A = P eit donde: A es la cantidad acumulada o valor futuro. P es el principal de la inversin. o i es el inters anual. e t es el nmero de aos de la inversin. u n o 3. Frmula de crecimiento y decaimiento exponencial o A(t) = A0 ekt donde: A es la cantidad acumulada luego de un tiempo t. A0 es la cantidad inicial. k es la constante de crecimiento o decaimiento. t es el nmero de aos de la inversin. u n o Si k > 0 hay crecimiento o aumento en el valor de A. Si k < 0 el valor de A decae o decrece. En algunos elementos radioactivos son de tal naturaleza que su cantidad disminuye con respecto al tiempo. Al tiempo requerido para que se produzca a la mitad la cantidad inicial del elemento se denomina semivida. 4. Frmula de enfriamiento de Newton o T (t) = Tm + (T0 Tm )ekt

Walter Arriaga D. donde:

Matemtica I a

47

T es la temperatura del objeto en un tiempo t. Tm es la temperatura del medio ambiente. T0 es la temperatura inicial. t es el tiempo. k es una constante. Si k > 0, el cuerpo se calienta y si k < 0, el cuerpo se enfr a. 5. Frmula del crecimiento log o stico P (t) = donde: P es la poblacin en un tiempo t. o a, b, c son constantes, c > 0, b > 0. t es el tiempo en aos. n c es la capacidad de crecimiento. 6. Otras de la aplicacin de las funciones exponencial fue con el descubrimiento del Polonio o (elemento radioactivo ) descubierto por Marie Curie en 1898 decae exponencialmente de acuerdo a la funcin: o m = m0 e0,005t donde m0 es la masa inicial del Polonio, m es la masa al cabo de un tiempo y t es el tiempo en d as. 7. El crecimiento poblacional (Demograf de una regin o poblacin en aos, parece estar a) o o n sobre una curva de caracter stica exponencial que sugiere el modelo matemtico dado a por: N = N0 ekt donde N0 es la poblacin inicial, t es el tiempo transcurrido en aos y k es una constante. o n (En 1798, el economista ingls Thomas Malthus observ que la relacin N = N0 ekt era e o o vlida para determinar el crecimiento de la poblacin mundial y estableci, adems, que a o o a como la cantidad de alimentos crec de manera lineal, el mundo no pod resolver el a a problema del hambre. Esta lgubre prediccin ha tenido un impacto tan importante u o en el pensamiento econmico, que el modelo exponencial de crecimiento poblacional se o conoce con el nombre de modelo Malthusiano). c 1 + aebt

48

Matemtica I a

Walter Arriaga D.

8. En la medicina, muchos medicamentos son utilizados para el cuerpo humano, de manera que la cantidad presente sigue una ley exponencial de disminucin, si N es la cantidad o de frmaco presente en el cuerpo al tiempo t, entonces N = N0 ekt , en donde k es una a constante positiva y N0 es la cantidad presente al tiempo t = 0.

1.20.

Funcin Logaritmo o

La funcin logaritmo es aquella funcin trascendental de la forma o o f (x) = logb x donde b > 0 y b = 1, adems x R+ . a Veamos la grca (1.28) para los casos b > 1 y 0 < b < 1 a

(a) Para b > 1

(b) Para 0 < b < 1

Figura 1.28: Funcin logaritmo o

Domf = 0, + Ranf = R Propiedades: 1. Las funciones exponenciales pasan por el punto (1,0). 2. En la grca 1.28(a) se puede observar que para b > 1 la funcin f es creciente. a o 3. En la grca 1.28(b) se puede observar que para 0 < b < 1 la funcin f es decreciente. a o 4. El eje de las y es una as ntota vertical.

Walter Arriaga D.

Matemtica I a

49

5. Las funciones logar tmicas son uno a uno. La geolog como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logar a tmicas para el clculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud R de un a terremoto est denida como R = log(A/A0 ) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y a o a o A0 es una constante. (A es la amplitud de un sismgrafo estndar, localizado a 100 kilmetros del epicentro del terremoto). Los astrnomos utilizan ciertos clculos de carcter logar o a a tmico para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta, ellos utilizan la siguiente ecuacin: M = (5/2) log(B/B0 ), o a donde B es la brillantez y B0 es una constante. Se concluye que la magnitud (M ) est dada en funcin de una ecuacin logar o o tmica. En la f sica la funcin logar o tmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el clculo del volumen L en decibeles de un slido, para el cual se emplea la a o siguiente ecuacin L = 10 log(I/I0 ), donde I es la intensidad del sonido (la energ cayendo en o a una unidad de rea por segundo), I0 es la intensidad de sonido ms baja que el o humano a a do puede o (llamado umbral auditivo). Una conversacin en voz alta tiene un ruido de fondo de r o 65 decibeles.

EJERCICIOS RESUELTOSI. Hallar el dominio de cada una de las siguientes funciones: II. Determinar dominio, rango y gracar las siguientes funciones: 1. f (x) = |x| + x x2 , 2. f (x) = x + x x , x, |x + x |, si 3. f (x) = |x + x 1 |, si si x [1, 2 si x [1, 1 si x [4, 1 x es par x es impar

1.20.1.

III. Hallar el rango de cada una de las siguientes funciones: IV. Algebra de funciones Calcular (f + g)(x), (f g)(x), (f.g)(x), (f /g)(x), donde:

50

Matemtica I a x2 + 16, x 4, 2 1. f (x) = x 2x, x [1, 2 2 |x + 2|, x 4, 6

Walter Arriaga D.

,

g(x) =

2x + 4,

x 3, 1 x [1, 5

2. Calcular (f + g)(x), donde: x + x |x| 1 x + 3, x [2, 3 f (x) = , x + a, x b, 1 donde {a, b, c, d} R.

2 |x 2|,

g(x) =

2 x x + c,

x2 1 x,

x [1, 7 x 8, d

V. Composicin de funciones o Hallar (f g)(x), donde: 2 |x 1|, x < 3 1. f (x) = 2 x + 1, x 3

,

g(x) =

x,

x4

VI. Aplicaciones:

|x| x, x 0

A las Ciencias econmicas y administrativas o A las Ciencias sociales 1. A la Qu mica A la Biolog a 1. A la Medicina 1.

2

LIMITESObjetivos: Comprender el concepto intuitivo del l mite de una funcin e interpretar grcamente o a el l mite de una funcin. o Identicar los distintos tipos de indeterminaciones que se pueden presentar en el cla culo de l mites y presentar los correspondientes mtodos de resolucin de cada una e o de ellas. Modelar matemticamente un fenmeno para predecir su comportamiento en el futuro. a o El gran libro de la naturaleza puede ser le do solamente por aquellos que conocen el lenguaje en el cual est escrito, y ese lenguaje es el de las a matemticas. a Galileo (1564-1642)

2.1.

Introduccin o

El Clculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez a constru la historia de la matemtica ya no fue igual: la geometr el lgebra y la aritmtica, do, a a, a e la trigonometr se colocaron en una nueva perspectiva terica. Detrs de cualquier invento, a, o a descubrimiento o nueva teor existe, indudablemente, la evolucin de ideas que hacen posible a, o su nacimiento. Es muy interesante prestar atencin en el bagaje de conocimientos que se o acumula, desarrolla y evoluciona a travs de los aos para dar lugar, en algn momento en e n u particular y a travs de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una e nueva teor que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado a, 51

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actual de la ciencia y, por lo tanto merece el reconocimiento. El Clculo cristaliza conceptos a y mtodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por ms de veinte siglos. Una larga e a lista de personas trabajaron con los mtodos innitesimales pero hubo que esperar hasta el e siglo XVII para tener la madurez social, cient ca y matemtica que permitir construir el a a Clculo que utilizamos en nuestros d a as. Newton y Leibniz son considerados los inventores del clculo pero representan un eslabn a o en una larga cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron ellos quienes dieron a los procedimientos innitesimales de sus antecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algor tmica y la precisin necesaria como mtodo novedoso y de generalidad suciente para su desarrolo e lo posterior. Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y Stevin. Los alcances de las operaciones iniciales con innitesimales que estos hombres lograron, fueron tambin resultado directo de e las contribuciones de Oresme, Arqu medes y Eudoxo. Finalmente el trabajo de estos ultimos estuvo inspirado por problemas matemticos y loscos sugeridos por Aristteles, Platn, a o o o Tales de Mileto, Zenn y Pitgoras. Para tener la perspectiva cient o a ca e histrica apropiada, o debe reconocerse que una de las contribuciones previas decisivas fue la Geometr Anal a tica desarrollada independientemente por Descartes y Fermat. Sin la contribucin de stos y de muchos otros hombres ms, el clculo de Newton y Leibo e a a niz seguramente no existir Su construccin fue parte importante de la revolucin cient a. o o ca que vivi la Europa del siglo XVII. Los nuevos mtodos enfatizaron la experiencia emp o e rica y la descripcin matemtica de nuestra relacin con la realidad. La revolucin cient o a o o ca supuso una ruptura con las formas de pensar, estudiar y vincularse con la naturaleza que dominaron casi absolutamente en Europa entre los siglos V y XV. Esta ruptura y salto en la historia del conocimiento estuvieron precedidos por las importantes transformaciones que se vivieron durante los siglos XV y XVI con el Renacimiento y la Reforma Protestante. El Clculo Difera encial e Integral estn en el corazn del tipo de conocimiento, cultura y de sociedad de la que, a o esencialmente, somos parte. El extraordinario avance registrado por la matemtica, la f a sica y la tcnica durante los e siglos XVIII, XIX y XX, se lo debemos al Clculo innitesimal y por eso se puede considerar a como una de las joyas de la creacin intelectual de la que el hombre puede sentirse orgulloso. o En sus comienzos el clculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas cient a cos y matemticos: a Encontrar la tangente a una curva en un punto. Encontrar el valor mximo o m a nimo de una cantidad.

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Encontrar la longitud de una curva, el rea de una regin y el volumen de un slido. a o o Dada una frmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, o encontrar la velocidad y la aceleracin del cuerpo en cualquier instante. Rec o procamente, dada una frmula en la que se especique la aceleracin o la velocidad en cualquier o o instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un per odo de tiempo conocido. En parte estos problemas fueron analizados por las mentes ms brillantes de este siglo, a concluyendo en la obra cumbre del lsofomatemtico alemn Gottfried Wilhelm Leibniz o a a y el f sicomatemtico ingls Issac Newton: la creacin del clculo. Se sabe que los dos traa e o a bajaron en forma casi simultnea pero sus enfoques son diferentes. Los trabajos de Newton a estn motivados por sus propias investigaciones f a sicas (de all que tratara a las variables co mo cantidades que uyen) mientras que Leibniz conserva un carcter ms geomtrico y, a a e diferencindose de su colega, trata a la derivada como un cociente incremental, y no como a una velocidad. Leibniz no habla de derivada sino de incrementos innitamente pequeos, a n los que llama diferenciales. Un incremento de x innitamente pequeo se llama diferencial de n x, y se anota dx. Lo mismo ocurre para y (con notacin dy). Lo que Newton llam uxin, o o o para Leibniz fue un cociente de diferenciales (dy/dx). No resulta dif imaginar que, al no cil poseer en esos tiempos un concepto claro de l mite y ni siquiera de funcin, los fundamentos o de su clculo innitesimal son poco rigurosos. Se puede decir que el clculo de uxiones de a a Newton se basa en algunas demostraciones algebraicas poco convincentes, y las diferenciales de Leibniz se presentan como entidades extraas que, aunque se denen, no se comportan n como incrementos. Esta falta de rigor, muy alejada del carcter perfeccionista de la poca a e griega, fue muy usual en la poca postrenacentista y duramente criticada. Dos siglos pasaron e hasta que las desprolijidades en los fundamentos del clculo innitesimal se solucionaron, y a hoy aquel clculo, potencialmente enriquecido, se muestra como uno de los ms profundos a a hallazgos del razonamiento humano. Resulta muy interesante la larga y lamentable polmica desatada a ra de la prioridad en e z el descubrimiento. Al principio la disputa se realiz en el marco de la cortes pero al cabo o a de tres dcadas comenz a ser ofensiva hasta que en el siglo XVIII se convirtieron en mutuas e o acusaciones de plagio. La polmica se torn cada vez mayor y nalmente se convirti en una e o o rivalidad entre los matemticos britnicos y los continentales. a a La discusin sigui hasta mucho despus de la muerte de los dos grandes protagonistas y, o o e afortunadamente, hoy ha perdido inters y la posteridad ha distribuido equitativamente las e glorias. Hoy est claro que ambos descubrieron este clculo en forma independiente y casi a a simultnea entre 1670 y 1677, aunque fueron publicados unos cuantos aos ms tarde. a n a

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La difusin de las nuevas ideas fue muy lenta y al principio sus aplicaciones escasas. Los o nuevos mtodos tuvieron cada vez ms xito y permitieron resolver con facilidad muchos probe a e lemas. Los nuevos logros fueron