8/16/2019 Cap 05 Deformaciones Transversales.pdf
1/23
RESISTENCIA DEMATERIALES I
Primera Edición
Resistencia de
Materiales I
CAPÍTULO
Autor:
Víctor Vidal Barrena
Universidad
Nacional de Ingeniería
© 2010 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada
Deformaciones
Transversales
8/16/2019 Cap 05 Deformaciones Transversales.pdf
2/23
RESISTENCIA DE MATERIALES IP r i m er a
E d i ci ó n
Víctor Vidal Barrena
DEFORMACIONES
Capítulo 05: Deformaciones Transversales
©2010 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 2 - 2
TRANSVERSALES
8/16/2019 Cap 05 Deformaciones Transversales.pdf
3/23
RESISTENCIA DE MATERIALES IP r i m er a
E d i ci ó n
Víctor Vidal Barrena
Deformaciones Transversales
5.1 RELACIÓN DE POISSON. Siempre que un cuerpo se le somete a laacción de una fuerza, se deformará en la
dirección de la fuerza aplicada y se producirán
también deformaciones laterales. La figura
5.1 muestra la deformación total de un cuerpo
durante la carga y que la carga P está dirigida
a lo largo del eje X.
©2010 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 3
0
HookedeLeyla pory barra.ladeansversalsección tr laesAdonde
0
≠==
===
z y x
x
z y x A
P
ε ε σ
ε
σ σ σ
Se tiene que:
Fig. 5.1 Deformación transversal
de una barra
8/16/2019 Cap 05 Deformaciones Transversales.pdf
4/23
RESISTENCIA DE MATERIALES IP r i m er a
E d i ci ó n
Víctor Vidal Barrena
Deformaciones Transversales
5.1 RELACIÓN DE POISSON.
)1.5(axialnDeformació
lateralnDeformació
x
z
x
y
ε
ε
ε
ε µ −=−==
La deformación lateral tiene una relación
constante con la deformación transversal
(axial, a esta constante se le denomina el
Módulo de Poisson (µ)
©2010 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 4
Fig. 5.1 Deformación transversal
de una barra
Se ha asumido que el material es homogéneo e
isotrópico.
1. Homogéneo: Las diferentes propiedadesmecánicas son independientes del puntoseleccionado.
2. Isotrópico: que sus propiedades son
iguales en cualquier dirección.
Para la mayoría de los materiales: 0.25 ≤ µ ≤ 0.35
8/16/2019 Cap 05 Deformaciones Transversales.pdf
5/23
RESISTENCIA DE MATERIALES IP r i m er a
E d i ci ó n
Víctor Vidal Barrena
Deformaciones Transversales
Del capítulo, utilizamos la ecuación (2.2):
0)1( === z y x
x E
σ σ σ
ε
)3(
)2(
x z
x y
µε ε
µε ε
−=
−=De la ecuación (5.1):
©2010 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 5
El signo negativo se usa aquí, ya que un
alargamiento longitudinal (deformación unitaria
positiva) ocasiona una contracción lateral
(deformación unitaria negativa).
Igualando (2) y (3) se obtiene que: εy = εzFig. 5.2 Deformación de una barra.
Sustituyendo (1) en (2) y (3) se obtiene:
E
x z
x y
σ µ ε
σ µ ε
−=
−=(5.3)
8/16/2019 Cap 05 Deformaciones Transversales.pdf
6/23
RESISTENCIA DE MATERIALES IP r i m er a
E d i ci ó n
Víctor Vidal Barrena
Deformaciones Transversales
Se considerarán ahora elementos estructurales
sometidos a fuerzas que actúan en las
direcciones de los tres ejes coordenados
produciendo los esfuerzos σσσσx, σy y σσσσz; todosdiferentes de cero. Esta condición se denomina
carga multiaxial.
5.2 ESTADOS DE DEFORMACIÓN BIAXIAL Y TRIAXIAL.
©2010 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 6
E E E
E E E
E E E
z y x z
z y x
y
z y x x
σ νσ νσ ε
νσ σ νσ ε
νσ νσ σ ε
+−−=
−+−=
−−+=
Fig. 5.3 Deformación multiaxial.
(5.4)
8/16/2019 Cap 05 Deformaciones Transversales.pdf
7/23
RESISTENCIA DE MATERIALES IP r i m er a
E d i ci ó n
Víctor Vidal Barrena
Deformaciones Transversales
5.3 DILATACIÓN. MÓDULO DE COMPRESIBILIDAD.
En su estado no esforzado es un cubo de volumen unitario, y
bajo los esfuerzos σσσσx, σy y σσσσz se transforma en un paralelepípedo rectangular de volumen:
v = 1 + εx + εy + εz (5.5)
Llamando e el cambio de olumen del elemento, se escribe:
©2010 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 7
Sustituyendo εx + εy + εz de las ecuaciones (5.4) en la
ecuación (5.6),
e = v – 1 =1 + εx + εy + εz – 1
e = εx + εy + εz (5.6)
Fig. 5.3 Deformación multi axial.
8/16/2019 Cap 05 Deformaciones Transversales.pdf
8/23
RESISTENCIA DE MATERIALES IP r i m er a
E d i ci ó n
Víctor Vidal Barrena
Deformaciones Transversales
5.3 DILATACIÓN. MÓDULO DE COMPRESIBILIDAD.
( ) ( ) 111111
z y x
z y x z y x
e
e
ε ε ε
ε ε ε ε ε ε
++=
+++−=+++−=
Como el elemento tenía un volumen original unitario, la
cantidad e representa el cambio de volumen y se le llama
dilatación del material.
©2010 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 8
( ) )7.5(21 z y x E
e σ σ σ ν ++−=
Para un cuerpo sometido a presión hidrostática uniforme p.,
( )
( ) lidadcompresibidemódulo
213
213
=−
=
−=−−=
ν
ν
E k
k
p
E pe
Fig. 5.3 Deformación multi axial.
8/16/2019 Cap 05 Deformaciones Transversales.pdf
9/23
RESISTENCIA DE MATERIALES IP r i m er a
E d i ci ó n
Víctor Vidal Barrena
Problema Nº 5.1:
Una barra de 500mm de
longitud y 16mm de
diámetro, hecha de un
material homogéneo eisotrópico, se alarga 300
m su diámetro decrece
©2010 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 9
en 2.4µm al ser sometidaa una fuerza axial de 12
kN. Halle el módulo de
elasticidad y la relaciónde Poisson del material.
8/16/2019 Cap 05 Deformaciones Transversales.pdf
10/23
RESISTENCIA DE MATERIALES IP r i m er a
E d i ci ó n
Víctor Vidal Barrena
Problema Nº 5.1: Solución
a) Transformando medidas
m xmmd
m xm
m xm
m xmm L
y
x
3
6
6
3
101616
104.24.2
10300300
10500500
−
−
−
−
→=−→−=
→=→=
µ δ
µ δ
©2010 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 10
( ) 26232 1006.201108 m xm xr A −− === π π b.1) Hallamos el esfuerzo en el eje x
MPa
m xm x
N x
A
P
x
x
68.59
1068.591006.201
1012 2626
3
=
=== −−
σ
σ
8/16/2019 Cap 05 Deformaciones Transversales.pdf
11/23
RESISTENCIA DE MATERIALES IP r i m er a
E d i ci ó n
Víctor Vidal Barrena
Problema Nº 5.1: Solución.
c) Hallamos las deformaciones
en los ejes x, y
66
63
6
10150104.2
106001050010300
−−
−
−−
−
−=−
===
===
xm x
xm xm x
L
y y
x x
δ δ ε
δ ε
De la ecuación 5.1 hallamos larelación de Poisson del material.
m x
x
x
y
25.010600
101506
6
=−
−=
==
−
−
ν
ε
ε
ν
©2010 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 11
m x yAplicamos la Ley de Hooke parahallar la elasticidad
GPa
x x
x E
E E x
x x x
46.99
1046.9910600
1068.59 96
6
=
==
=⇒=
−
−ε
σ ε σ
8/16/2019 Cap 05 Deformaciones Transversales.pdf
12/23
RESISTENCIA DE MATERIALES IP r i m er a
E d i ci ó n
Víctor Vidal Barrena
Una barra de acero A – 36 tiene las dimensiones mostradas en la figura
5.1. Si se aplica una fuerza axial P = 100 kN a la barra, determinar el
cambio en su longitud y el cambio en las dimensiones de su sección
transversal después de aplicada la carga. El material se comportaelásticamente. Considere Eac= 200 Gpa, µ = 0.32.
Problema 5.2:
©2010 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 12
8/16/2019 Cap 05 Deformaciones Transversales.pdf
13/23
RESISTENCIA DE MATERIALES IP r i m er a
E d i ci ó n
Víctor Vidal Barrena
Deformación Longitudinal de la barra
Utilizamos la ecuación 5.4
)1...( E
L
A
P x
x
x x
=δ
Reem lazamos valores en 1
Problema 5.2: Solución.
©2010 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 13
N P x310100 ×= mmmm A x 50100 ×= m L x 5.1=
µmmm
m xm
N x E 15010
110200 26
2
2
9
==
8/16/2019 Cap 05 Deformaciones Transversales.pdf
14/23
RESISTENCIA DE MATERIALES IP r i m er a
E d i ci ó n
Víctor Vidal Barrena
Deformación transversal de la barra:
b1) Eje Y: Utilizamos la ecuación 5.5:
)2...( E
L P v
y x
y
−=δ
Problema 5.2:
©2010 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 14
Reemplazamos valores en (2)
N P x310100 ×= mmmm A x 50100 ×=
32.0102002
9 == um
N x E
m L y 5.0=
8/16/2019 Cap 05 Deformaciones Transversales.pdf
15/23
RESISTENCIA DE MATERIALES IP r i m er a
E d i ci ó n
Víctor Vidal Barrena
( )( )
µm
mm
m x
m
N x
m
mm xmm
N xY 6.1
10
110200
05.0
10050
1010032.0
26
2
2
9
3
−=
−=δ
b2) Eje Z: Utilizamos la ecuación 5.6: )3...( E
Lz
Ax
Pxv Z
−=δ
Problema 5.2:
©2010 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 15
eemp azamos va ores en
m L z 10.0=
32.0102002
9 == um
N x E
N P x310100 ×= mmmm A x 50100 ×=
( )( )
µm
mm
m x
m
N x
m
mm x
N x z 2.3
10
110200
10.0
10050
1010032.0
26
2
2
92
3
=
−=δ
8/16/2019 Cap 05 Deformaciones Transversales.pdf
16/23
RESISTENCIA DE MATERIALES IP r i m er a
E d i ci ó n
Víctor Vidal Barrena
Una barra de plástico acrílico mostrado en la figura 5.3, tiene
una longitud de 200mm y un diámetro de 15mm. Si se le aplica
una carga axial de 300 N, determine el cambio en su longitud y
en su diámetro. Considere Ep = 2.70 Gpa, µ = 0.4
Problema 5.3:
©2010 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 16
8/16/2019 Cap 05 Deformaciones Transversales.pdf
17/23
RESISTENCIA DE MATERIALES IP r i m er a
E d i ci ó n
Víctor Vidal Barrena
( ) MPa
mm
Nt
A
F
x
x x 69.1
4/15
30022
===π
σ
y x L
E d
−=
σ µ 1 Lz E
d x
−=
σ µ 2
Problema 5.3: Solución
©2010 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 17
x
x
x x x L
E x
EA L P
== σ σ Tracción:
Luego: ( ) mmmmGP
MP d
à
a
x
125.020070.2
69.1=
= mmd x 125.0=
( )mmGPa
MPad d y z 15
70.2
69.14.0
−== mmd d y z 0375.0−==
8/16/2019 Cap 05 Deformaciones Transversales.pdf
18/23
RESISTENCIA DE MATERIALES IP r i m er a
E d i ci ó n
Víctor Vidal Barrena
Un bloque cilíndrico corto de aluminio 2014201420142014----TTTT6666, mostrado en la figura, quetiene inicialmente un diámetro de 15151515mmmmmmmm y una longitud de 50505050mmmmmmmm, se sitúaentre las mordazas lisas de un tornillo de banco y se comprime hasta quela carga axial aplicada sea 4444KNKNKNKN. Determine la disminución en su longitud y
su nuevo diámetro. Considere el modulo de elasticidad del aluminio de75757575GPaGPaGPaGPa y la relación de Poisson ====0000....30303030.
Problema 5.4.
©2010 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada
8/16/2019 Cap 05 Deformaciones Transversales.pdf
19/23
RESISTENCIA DE MATERIALES IP r i m er a
E d i ci ó n
Víctor Vidal Barrena
m z
m x xm N x
m x N x
A Ex
L P
x
x
x
x x x
5
223
2
9
33
10509.1
4)1015)(1075(
)1050)(104(
))((
))((
−
−
−
=
=
=
δ
π δ
δ a)Deformación Longitudinal:
Problema 5.4: Solución
©2010 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada
)1....( x
z
x
y
ε ε
ε ε µ ==
4
3
5
10018.3
1050
10509.1
−
−
−
=
⇒=
x
m x
m x
L
x
x
x x
ε
δ ε
b) Deformación Transversal
Entonces:
8/16/2019 Cap 05 Deformaciones Transversales.pdf
20/23
RESISTENCIA DE MATERIALES IP r i m er a
E d i ci ó n
Víctor Vidal Barrena
4
4
109054.0
3.010018.3
−
−
−=
−=
−=
x
x x
y
y
x
y
ε
ε
ε
ε µ
δ
Reemplazando en (1) u=0.3
Problema 5.4: Solución
©2010 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada
.... y
y Lε =
31015 −=== x D L L cilindro Z Y
Dato:
Reemplazando en (2):
m x
x x
y
y
6
3
4
1036.1
1015109054.0
−
−−
−=
=−
δ
δ
8/16/2019 Cap 05 Deformaciones Transversales.pdf
21/23
RESISTENCIA DE MATERIALES IP r i m er a
E d i ci ó n
Víctor Vidal Barrena
Un eje macizo mostrado en la figura 5.9, de 80mm de diámetro seintroduce concéntricamente dentro de un tubo de acero. Determinarel diámetro interior del tubo de manera que no exista presión decontacto entre el eje y el tubo, aunque el aluminio soporte una
fuerza axial de 400KN .considerar para el aluminio=70GPa, u=1/3
Problema 5.5.
©2010 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada
P E
8/16/2019 Cap 05 Deformaciones Transversales.pdf
22/23
RESISTENCIA DE MATERIALES IPr i m er a
E d i ci ó n
Víctor Vidal Barrena
Problema 5.5: Solución
3/170
400800
====
uGPa E
KN P mm DDatos:
a) Cálculo del esfuerzo producido y la deformación unitaria longitudinal:
3 9
2 2 22 2 2 2
6 2
400 400 10 4 400 10
80(80) (80) ( )
4 4 10
P KN x N x x N
m x mmm mm
mm
σ π π π
= = = =
©2010 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 22
9
6
3
.
:
79.57 79.57 10
70 70 10
1.136 10 /
longitud
longitud longitud
longitud
a
Hallando la
MPa x E
E GPa x
x mm mm
σ
ε
σ σ ε
ε
ε
−
=
= ⇒ = = =
=
P E
8/16/2019 Cap 05 Deformaciones Transversales.pdf
23/23
RESISTENCIA DE MATERIALES IPr i m er a
E d i ci ó n
Víctor Vidal Barrena
Problema 5.5: Solución
b) Hallando el diámetro interior del tubo de acero:
D x xu xu
D
xuu
al lon itudinlateral lateral
al lon itudin
lateral lateral al longitudinlateral
al longitudin
lateral
;
;
0
0
==⇒
==⇒=
ε δ δ
ε
δ ε ε ε
ε
ε
©2010 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 5 - 23
mmmmmm D D
mmmm x x x
valoresemplazando
lateral f
lateral
03029.8003029.080
03029.080)10136.1(3
1
:Re
0
3
0
=+=+=
== −
δ
δ
Top Related