Cuaderno de Trabajo: Física I
1) Cinemática de una Partícula
Fenómeno → Movimiento
… Teoría de la relatividad (TR)…A Einstein
En la descripción del Fenómeno Movimiento debemos de considerar lo siguiente,
a) El observador, referencia, O
→ Descriptor del movimiento
“La trayectoria es función del estado del observador”, τ ≡ τ
(O)
Por ejemplo, si se deja caer una pelota, la caída es descrita por O y O’, tal como se muestra a continuación,
Por lo tanto, la trayectoria es una función de estado del observador.
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τO
1° 2°
O (reposo) O’ (v=cte)
τ τ’
2
Cuaderno de Trabajo: Física I
b) El móvil, representado por el punto P usando el Modelo de Partícula, el cual se usa cuando del movimiento del cuerpo solo nos interesa la componente trasnacional.
Modelo de Partícula:
Definición de Cinemática: La cinemática describe el fenómeno movimiento usando las cantidades cinemáticas (cc):
rr
: vector posiciónvr
: vector velocidadar
: vector aceleración
1,1) Cantidades Cinemáticas, cc
i) Vector Posición, rr
Describe la posición del móvil en el tiempo. Es el problema fundamental de la cinemática,
( ) ( )τ≡ →r rr r t O
Vector desplazamiento, r∆r : Describe como cambia la rr
,
( ) ( )
( ) ( ) 0
f i f ir r r r t r t
r t r
∆ ≡ − ≡ −
≡ −
r r r r r
r r
ti → tf : ∆t = tf - ti
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Móvil P
≡
3
Cuaderno de Trabajo: Física I
ii) Vector velocidad, rv
Describe los cambios de la posición respecto del t,
≡r
r drv
dt
}
0lim
t
media
rv
t
v
∆ →
∆ ≡ ∆
rr
r
Definición de Vector velocidad media, mvr
1
m
rv r
t t
∆ ≡ ≡ ∆ ∆ ∆
rr r
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( )iv tr
tan
mvr
( )ir tr
r∆r
( )fv tr
( )fr tr
τ sec
4
Cuaderno de Trabajo: Física I
Definición de rapidez, vr
vr
: rapidez
¿? Describa que es el tiempo según la lectura de “Breve historia del tiempo” de Stephen Hawking.
¿? Describa, de igual forma, que es el tiempo según la lectura de “Brevísima historia del tiempo” también de Stephen Hawking.
¿? Cual es el último trabajo de divulgación de este brillante científico y propalador de las ciencias.
iii) Vector Aceleración, ar
Describe los cambios de la velocidad respecto del t.
2
2
dv d ra
dt dt≡ ≡
r rr
{0lim
∆ →
∆ ← ≡ ∆
r
rr
m
t
a
va
t //a v→ ∆r r
¿? Será importante definir r
da
dt. Existirá alguna rama de la tecnología
donde interese conocer esta cantidad.
1,2) Tipos de Movimientos
i) Movimiento Rectilíneo, MR
Definición: τ → (ℜ)
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Cuaderno de Trabajo: Física I
j) Movimiento Rectilíneo Uniforme, MRU
k) Condición
ˆ ˆ≡ ≡ ≡
=
rxv v i v i cte
v cte
kk) Ecuaciones
l) =v cte
II) ( )≡r rr r t
:f
i
t t
t
drv
dt
=
≡ →∫r
r ( ) ( ) ( )i ir r t r t v t t≡ ≡ + −r r r r
( )v t r v dt→ ≡ ∫r r r
( ) ( )0 0i fr t r vt t t t≡ + ← = ∧ =r r r ( ) ( ) ˆr t ix t≡r
( ) ( )0x t x vt≡ +
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Cuaderno de Trabajo: Física I
kkk) Graficas
l) v-t
A(t)=x(t)
ll) x-t
No da información cinemática
jj) Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV)
k) Condiciones
ˆ ˆ
xa a i a i cte
a cte
τ → ℜ ∧ ≡ ≡ ≡=
r
kk) Ecuaciones
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v
A 0 t
x
A
0 t
7
x(t)
v
x0
A
Cuaderno de Trabajo: Física I
l) a cte=
II) ( )v v t≡r r
:f
i
t
t
dva
dt≡ →∫
rr
( ) ( ) ( )i iv v t v t a t t≡ ≡ + −r r r r
( )v t v a dt→ ≡ ∫r r r
( ) ( )0 0i fv t v a t t t t≡ + ← = ∧ =r r r ( ) ( ) ˆv t iv t≡r
( ) ( )0v t v at≡ +
IlI) ( )≡r rr r t
:f
i
t
t
drv
dt≡ →∫
rr
( ) ( ) ( ) 21( ) ( )
2i i i f ir r t r t v t t t a t t≡ ≡ + − + −r r r r r
( )v t r v dt→ ≡ ∫r r r
( ) ( ) ( ) 210 0 0
2 i fr r t r v t a t t t t≡ ≡ + + ← = ∧ =r r r r r
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Cuaderno de Trabajo: Física I
( ) ( ) ˆxr t it≡ →r ( ) ( ) 21
02
x t x vt at≡ + +
kkk) Gráficas
l) a-t
A(t)=v(t)
ll) v-t
A(t)=x(t)
lll) x-t
A: no proporciona información cinemática.
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a
A 0 t
v
A
0 t
x
t
9
x(t)
v(t)
x0
A
a(t)
Cuaderno de Trabajo: Física I
jjj) Movimientos Generales
a ≡ a(t) → v ≡ v(t) → x ≡ x(t)
de dv
adt
≡ → v ≡ adt∫
→ a ≡ a(t) : “fácil”
→ a ≡ a(v) : Regla de la cadena, definición de diferencial exacta o cambio de variable
→ a ≡ a(x) : Idem
de dx
vdt
≡ → x vdt= ∫→x = x(t)
¿? Encuentre casos reales donde la aceleración dependa de la velocidad o posición.
S1P14) La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje X esta dada por x = t3 - 12t2 + 36t + 30 con x en metros y t en segundos. Determine:
a) La velocidad media entre 2 s ≤ t ≤ 6 s.b) La aceleración media entre 0 s ≤ t ≤ 4 s.c) Los intervalos de tiempo de movimiento desacelerado. d) Los intervalos de tiempo de movimiento acelerado.
Solución:
x(t) = t3 -12t2 +36t + 30
a) vm :2→ 6
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P
0 X(t) x
10
Cuaderno de Trabajo: Física I
( ) ( )6 2
6 2m
x xxv
t
−∆≡ = =∆ −
?
b) am : 0→ 4
( ) ( )4 0
4 0m
v vva
t
−∆≡ = =∆ −
?
( )( )
2
2
23 8 12
3 2
3
6
4
4
12
3d
tx
t tdt
t
t
v
−
+
−
+
≡
−
≡ −
c) ∧ d)
Movimientos acelerados:
DEF: vr
↑← vr
↑↑ar
Movimientos desacelerados:
DEF: vr
↓ ← vr
↑↓ar
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v + a +
0 x v− a−
v - a +
x v + a -
11
Cuaderno de Trabajo: Física I
( )6 24td
dta
va t≡ ≡≡ −
v ≡ v(t) → P
c) 0 2
4 6t
→∆ →
d) 2 4
6t
→∆ →
ii) Movimientos Planares o Bidimensionales
Las trayectorias están contenidas en un plano.
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a → v→
a
v + - - + t
0 2 4 6
v
4 t
2 612
12
Cuaderno de Trabajo: Física I
τ → ℜ2 ( )
j) Movimiento Parabólico, MP
Caso a cte≡r .
Los movimientos parabólicos con aceleración constante son determinados cuando la v(0) no es paralela a la a
r. El plano del movimiento es determinado
por los vectores velocidad inicial (0)vr
y aceleración ar
. El eje de la parábola es paralelo a la a cte≡r . Estos movimientos también presentan simetría de rapideces y tiempos a un mismo nivel.
y→ar
: simplifica la descripción:
x : MRU → ax ≡ 0y : MRUV → ay = a ≡ g (por lo general)
Esto es debido al “carácter” vectorial de la Física → Cinemática.
Mov Parab ≡ MRUx “+” MRUVy
MRUVx “+” MRUVy (caso general, x e y en cualquier dirección)
Simetrías
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y a g≡r r Z
A A’ ( )0vr
( )0vr
ta td P
0 x 0 Y
X
ξ
a cte≡r
P
13
Cuaderno de Trabajo: Física I
Proporcionalidad de la trayectoria a ambos lados del eje
Para todo nivelva ≡ vd
ta ≡ td
Aplicación importante del MP: Movimiento de proyectiles
Como ha de suponerse, este movimiento no toma en cuenta alturas superiores a 20 km, existencia de aire ni rotación de la tierra. El movimiento de proyectiles constituye un caso interesante de la ciencia donde determinados campos de investigación, el desarrollo de proyectiles, por ejemplo, resultan favorecidos por motivos impropios. El desarrollo de la cohetería efectuado desde finales del siglo XIX hasta mediados del siglo XX, jugo un papel preponderante en las 2 guerras mundiales así como en la conquista del espacio…
El movimiento de proyectiles suele describirse usando ciertos parámetros como tiempo de vuelo, tv, alcance o rango, R y altura máxima, H. Si consideramos la siguiente geometría,
i) Tiempo de
vuelo, tv
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y a g≡r r Z
a g≡r r
( )0vr
( )0v
r
θ θ 0 x 0 Y
X
14
Cuaderno de Trabajo: Física I
2 (0) ( )
v
v sent
g
θ≡
ii) Alcance o Rango, R
2 (0) (2 )v sen
Rg
θ≡
iii) Altura máxima, H
2 2(0) ( )
2
v senH
g
θ≡
¿? Conceptos de simetría. Como debo entender su manifestación en la naturaleza. Simetría en la física. Simetría en las matemáticas.
¿? Qué otros tipos de MP que no guarden la condición de ar
cte se desarrollan en el universo.
¿? Busque 5 ejemplos reales de MP.
¿? Como se vinculan el desarrollo de las computadoras y de la cohetería con la carrera espacial.
¿? Que opina de la discrepancia acerca de la paternidad de la cohetería: Werner von Braun- Pedro Paulet.
¿? 2009: Año internacional de la astronomía.
¿? Asteroide 2009 DD45: eventos de colisión-extinción.
S1P16) Un cañón está colocado para que dispare sus proyectiles con una rapidez inicial v0 directamente hacía una colina, cuyo ángulo de elevación es α ¿cuál será el ángulo respecto de la horizontal al que deberá apuntarse el cañón, para obtener el mayor alcance R posible a lo largo de la colina?
Solución:
θ / Rmáx =?
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R v0
θ α
15
Cuaderno de Trabajo: Física I
τ → x, y → P: y ≡ a + bx + cx2
x: MRU
x(t) ≡ x(0) + vx (0) t → x ≡ 0 + v(0) cosθ t …. (1)
y: MRUV
y(t) ≡ y(0) + vy (0) t – (1/2)g t2 , gr
= 10, → y ≡ 0 + v(0) senθ t 2
g− t2 …. (2)
De (1):
( )0 cos
xt
v θ= …(1’)
1’ → 2: ( ) ( ) ( )2
2 2
10
0 cos 2 0 cos
x xy v sen
v vθ
θ θ≡ −
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y
P
R
θvr
(0)
α 0 x
16
Cuaderno de Trabajo: Física I
P: { } ( )2
2 22 0 cos
gy tg x x
vθ
θ ≡ −
P – P: xp ≡ Rcosα yp ≡ Rsenα
→ Rsenα ≡ {tgθ} Rcosα - g R 2 cos 2 α 2v2(0)cos2θ
( )2 2
2 2
1 cos( ) cos
cos 2 0 cos
gRRsen tg R
R v
αα θ αα θ
≡ −
( )2 2
( ) cos. ( )..
2 0 cos
gRt g
vIg t
θ αα θθ
≡ −
( )2
2 2
cos: 0 sec
2 0
(
)
cos
d g
d
d R
dv
θθ θ
αθθ
= −
( )2cos
dRRd d
d
θ θθ θ
=
}
{ }
0
2
4
cos 2 cos
cos
R senθ θ θ
θ
+
( )2
2 3
cos 20 sec
2 0 cos
g Rsen
v
α θθθ
= −
( )2
cos0 1
0
g tg
vR
α θ= −
( )2 0...
c)
os(
v
g tI
gR I
α θ≡
II → I
cosgtg tg
αα θ≡ −
22 (0)v
( )2
2
0
cos
vx
θ cosg α tgθ
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Cuaderno de Trabajo: Física I
2 2 2sec 2 sec
2 2
tgtg tg
tg tg
θ θ θα θθ θ
−≡ − ≡
2
2
1 12
2 21
tgtg ctg
tg tgtg
θα θθ θ
θ
−= ≡ − = − −
2tg ctgα θ− =
22 4 2
ctg ctgπ απ θα θ + = ⇒ =
+
jj) Movimiento Circular, MC
La trayectoria será de una circunferencia.
Y t n R t s
θ x t=0
0
La descripción del MC se realiza frecuentemente usando las variables s o θ, esto es, usando variables lineales o angulares.
k) Cantidades Cinemáticas del MC
l) Posición
m) Lineal: s= s(t)
mm) Angular: θ =θ(t)
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Cuaderno de Trabajo: Física I
mmm) Relación: s= Rθ
ll) Velocidad
m) Velocidad Lineal, v=vt
La llamada velocidad tangencial es la velocidad definida en las cantidades cinemáticas iniciales, se relaciona con s mediante la rapidez,
t
dsv v v
dt= → =r r r
mm) Velocidad Angular, ω
Describe los cambios de θ respecto del tiempo. Se define de la siguiente forma,
t
dr v
dt
θω ω= → = ×r r r u[ω]= rad/s
mmm) Relación entre | v| y ω
tv Rω=r
lll) Aceleración
m) Aceleración, a
El vector aceleración suele descomponerse en dos direcciones adecuadas, tales como la radial y la tangencial, resultando,
2 2
2ˆ ˆt
r t n t
v d sa a a e e
R dt
= + = +
r r r
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Cuaderno de Trabajo: Física I
A la componente radial de la aceleración se le denomina aceleración centrípeta, acp.
mm) Aceleración Angular, α
Describe los cambios de la ω respecto del tiempo,
d
dt
ωα =r
r u[α]= rad/s2
mmm) Relación entre at y α
ta Rα=
kk) Tipos de movimientos Circulares
Al igual que en el caso de los MR podrían ser MCU, MCUV o generales.
¿? De 5 ejemplos concretos de movimientos circulares.
¿? Los planetas hacen MC.
jjj) Movimientos Planares Generales: Coordenadas Polares (r,θ)
Este sistema se usa para describir movimientos planares (→ MC). En particular es usado para los movimientos planetarios.
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
y
t
y eθ er
r
j θ
i x x
20
Cuaderno de Trabajo: Física I
r, ˆre
θ, eθ
{ }ˆ ˆ, , ,rr e eθθ ↔ { }ˆ ˆ, , ,x y i j ¿?
( )( )
cos
s
r r tx r
ty r en
θθ θθ
≡= ≡=
( )( )ˆ ˆˆ ˆ , ˆ ˆˆ cos
ˆ ˆˆˆ ˆ sˆ ˆ ,
r rr
e e i j e i sen j
e en i cos je e i j θθ θ
θ θθ θ
= ≡ +
≡ − +=
k) Cantidades cinemáticas en (r,θ)
l) rr
ˆ( , ) rr r r eθ =r
( )( )ˆ ˆr r
r r t
e e t
==
ll) vr
ˆ( )ˆ ˆ( )rr r
d redrv re r e
dt dt≡ ≡ ≡ +
rr &&
{ }ˆ ˆˆ ˆ( ) cosr r
d de e i sen j
dt dtθ θ≡ ≡ +&
{ }ˆ ˆcossen i jθ θ θ≡ − +&
ˆ ˆre eθθ= &
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Cuaderno de Trabajo: Física I
ˆ ˆ( , ) rv r r e r eθθ θ≡ +r &&
iii) ar
{ }ˆ ˆr
dv da re r e
dt dt θθ≡ ≡ +r
r &&
{ { {ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )r rre r e r e r eθ θθ θ≡ + + +& & && &&& &
2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆr rre r e r e r e r eθ θ θθ θ θ θ≡ + + + −& & && &&& & &
( ) { } { }2 ˆ ˆ, 2ra r r r e r r eθθ θ θ θ≡ − + +r & && &&& &
¿? Aplicación de las coordenadas polares al movimiento planetario.
¿? En particular el movimiento de la Tierra es problema CAOS. Leer “El reloj de Newton”.
kk) Movimiento Circular en (r,θ)
r ≡ R ≡ cte!
i) rr re r R cte≡ → ≡ ≡r r
ii) ( ) ˆ, ,tv r r e v R wθθ θ ω θ≡ → ≡ =r & &
iii) ( ) 2 ˆ ˆ, ra r r e r eθθ θ θ≡ − +r & &&
{ }{ { { }
{{ }{
2ˆ ˆrR e R eθθ θ≡ + −&& &
{ {
ˆ ˆ
t n
t n cp
a T a N
a a a
≡ +
≡r r r
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Cuaderno de Trabajo: Física I
S1P17) Una partícula se mueve en un plano sobre una trayectoria dada por tyr r πθµ 2ˆ10 == , en donde r está en metros, θ en radianes y t
en segundos, a) Describa el movimiento, b) Halle el vector velocidad dtrdV /= por derivación directa de r , c) Como la distancia sobre la
trayectoria es s = rθ, halle la celeridad hallando ds/dt. ¿Tiene el mismo valor que el módulo de V hallado en la parte (b)?, d) Halle el vector
aceleración a en función de los vectores unitarios θµµ ˆˆ yr .
Solución:
ˆ ˆ ˆ10 ,r r rr eµ µ≡ =r
θ = 2πt
a) 10 10r R MC≡ → ≡ →
b) { }ˆ ˆ ˆ10 10( ) 10r r
dr dv v e e e
dt dt θθ= → = = =r
r r & &
ˆ20tv v eθπ≡ ≡r r
c) MC: s, variable lineal!
s → vt → at
θ, variable angular
θ, → ω → α
MC ≡ MC (variables lineales, v angulares)
s ≡ θ Rvt ≡ ωRat ≡ αR
10 2 20ds
s R xdt
θ π π≡ ≡ ≡ ≡&&
d) ( ),a a r θ≡r r
…
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Cuaderno de Trabajo: Física I
( ) { } { }2 ˆ ˆ, 2ra r r r e r r eθθ θ θ θ≡ − + +r & && &&& & , ˆ ˆ ˆ ˆr re y eθ θµ µ= =
S1P11) Un punto M tiene durante su movimiento dos velocidades constantes en modulo. La primera permanece siempre perpendicular al eje X y la segunda perpendicular al radio vector. Halle la ecuación de la trayectoria si parte del punto (r0, θ0) y calcule la aceleración de M.
Solución:
a) Ec τ / t ≡ 0 : (r0, θ0)?
b) aM ≡ ?--------------------------------
a) Descomponiendo las velocidades en el sistema polar, tenemos
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
y eθ M re
V2
r V1
θ 0 x
y
eθ ˆre
M V1r θ v1θ
V2 V1
θ x
24
Cuaderno de Trabajo: Física I
( ) { }1 1 2ˆ ˆ, cosM rv v r v sen e v v eθθ θ θ≡ ≡ − − +r r
Ahora, comparando componentes,
( ) ˆ ˆ, rv r re r eθθ θ≡ +r &&
r : 1r v senθ≡ −& … (I)
1 2: cosr v vθ θ θ≡ − −& …(II)
En I aplicando regla de la cadena: ( )dr dr d drr
dt d dt d
θ θθ θ
≡ ≡ ≡ &&
Despejando θ& de II y reemplazando,
1 21
cosv vdrr v sen
d r
θ θθ
− − ≡ ≡ − &
Separando variables para poder integrar,
{ } 1
1 2
1ln
cos
v sendr dr
r d d v v
θθ θ θ
≡ ≡+
{ } 1
1 2
: lncos
v sendr d d
d v v
θθ θθ θ
≡ + ∫ ∫ ∫
{ }1 2ln( ) ln cos v cr v θ= − + +
Aplicando ci para determinar c:
{ }{ }
0 1 0 2
0 1 0 2
ln( ) ln cos
ln cos
cv
c
r v
r v v
θ
θ
+ + =
= +
( )1 0 20
1 2
cos,
cos
v vr r r
v vτθ θ
θ +≡ → → +
b) Para la a de M,
( ) { } { }2 ˆ ˆ, 2ra r r r e r r eθθ θ θ θ≡ − + +r & && &&& &
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 25
Cuaderno de Trabajo: Física I
( )1 2
? ,cos
( ) ?
ccr r c e
v v
r f
θθ
θ θ θ
≡ → ≡ ≡+
≡ → ≡
%& %
& &&
De II,
{ }1 0 20 1 2
1 2
coscos
cos
( ) ( ) ( ) ( )
( ), ( )
( )
v vr r v v
v v
g r f g r
r r
a a
θθ θ θθ
θ θ θ θ θθ θ θ θ
θ
+≡ ≡ − + + ≡ → ≡ ≡
≡ ≡
≡
& &
& & &
&& &&&& &&
r r
iii) Movimientos Espaciales: Caso General
Los casos generales de movimiento podrían considerarse en el espacio.Por muy complicado que parezca siempre es posible, usando el Principio de Superposición, expresarlo en función de movimientos mas sencillos, de ello ya hemos revisado algunos casos, por ejemplo,
MP → {MRU}x + {MRUV}y
M Helicoidal → {MRU}z + {MC}xy
M Cicloidal → {MRU}xy + {MC}xy
¿? Podría indicar 3 casos similares. Cree que es un tema de simetría.
La descripción del movimiento debe efectuarse usando un sistema de coordenadas que comparta la simetría del movimiento.
→ x, y, z Rectangulares→ r, θ Polares→ ρ, φ, z Cilíndricas→ r, θ, φ Esféricas → s Coordenada de sobre la curva, vectores tangencial, normal y binormal.
De no ser así, el desarrollo también ya se ha descrito,
( )a a t v adt r vdt≡ → ≡ → =∫ ∫r r r r r r
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 26
Cuaderno de Trabajo: Física I
( )( )
a a vtécnicas de
a a r
≡≡ ∫
r r r
r r r
Regla de la cadena Diferencial exacta Cambio de variable
Sistema de coordenadas sobre la curva
Es el sistema general. Este sistema que “viaja” con el móvil, está definido por la llamada coordenada sobre la curva s, y los vectores, T , tangente unitario, N , normal principal, y B , binormal, los cuales son mutuamente perpendiculares.
i) ( )r r t≡r r
ii) ˆv vT≡r , ˆ ˆ:T u en la dirección de vr
iii) ?a ≡r
{ }ˆ ˆ ˆdv da vT vT vT
dt dt≡ ≡ ≡ +
rr &
&
ˆ ?T ≡r&
{
ˆˆ
ˆ
v
dT
d
dT
s
dsT
dt dt≡ ≡&
ˆ :T tangente unitario
T = 12ˆ 1T =
ˆ ˆ. 1T T = ← derivando respecto a s
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Cuaderno de Trabajo: Física I
ˆˆ 0
dTT
ds⋅ =
{ˆ
ˆˆ
kN
dTa vT v v
ds
≡ +
r&
2ˆ ˆv
a vT NR
≡ +r& ; ρ ≡ R: radio de curvatura
¿? Que información da la binormal.
¿? Podría construir ecuaciones para el radio de curvatura.
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P
O R = ρ T T
1
kρ
≡ : curvatura
28
Cuaderno de Trabajo: Física I
S1P21) Un muchacho en A arroja una pelota directamente a una ardilla parada sobre una rama en B. Si la rapidez inicial de la pelota es de 16 m/s y la ardilla, en vez de asustarse, se deja caer del reposo en el instante en que se lanzo la pelota, demuestre que la ardilla puede atrapar la pelota y determine la longitud h que la ardilla cae antes de hacer la captura.
Solución:
t ≡ 0: Pelota en A y Ardilla en B
( )0vr
“directamente” hacia B:
2 1H Htg
Dθ −≡ → [ ]{ } 1/ 222
2 1
cosD
D H Hθ ≡
+ −
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B
h
A 5.5 m
1.5 m
10 m
B
h g H2 - H1 v(0) Cy A θ H2
x H1
A’ D
29
Cuaderno de Trabajo: Física I
Sea t: Pelota en C y ardilla en C
Usando xy en A’:
Para la pelota, ( ) ( ) ( ){ }0 0 0 cosxp px t v t v t Dθ≡ + ≡ ≡
( )0 cos
Dt
v θ→ ≡
( ) ( ) ( )21 10 0
2p py
gy t H v t t H v≡ + − ≡ + { } ( )0
Dsen
vθ ×
( )
2
2 0 coscos
g D
v θθ −
( ) ( )( )
{ }
2 2
1 1 2 1 22 2
21/ 2
2 0 cos2 0
gD gDH Dtg H H H
v Dv
θθ
≡ + − ≡ + − − ×
( )[ ]{ }
( )
222 1
2 22 0p
g D H Hy t H
v
+ −≡ −
Para la Ardilla, ( ) { } 22
10
2Ay t H t gt≡ + −
( )
2
2 2
1 1
2 0 cos 2
D DH g H g
v θ ≡ − × ≡ −
( )0D
v ×[ ]{ }
2
1/ 2221 2D H H
+ −
( )[ ]{ }
( )
222 1
2 22 0A
g D H Hy t H
v
+ −≡ −
a) Como en t ( ) ( )p Ay t y t≡ → la ardilla puede coger la pelota!
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 30
Cuaderno de Trabajo: Física I
b) ( )[ ]{ }
( ){ }22 2 2
2 1
2 2 2
10 10 42,3
2 0 2 16A
g D H Hh H y t
v
+ − × +≡ − ≡ ≡ ≡
× 2,3h ≡
¿? Ocurre lo mismo si XY en AS1P) La aceleración de un móvil, en función de su posición, está dada por:
a(x) = 3x – 2x3; para t = 0 se cumple que x = 0 y v = 0. Halle: (a) su velocidad cuando x = 0,5, (b) su posición cuando su velocidad es máxima, (c) la aceleración para esta velocidad máxima.
Solución:
( ) 33 2 , 0 : 0 0a x x x t x v≡ − ≡ ≡ ∧ ≡
a) ( )0,5v v x≡ ≡ b) max/x v ∧ c) max/a v ?
23 1( )
23 2
dv dv vd
dv dv dxa x x x
x dxdt dx dt≡ ≡ ≡ ≡ − ≡
. .2 2 4 2 2 4 21 3 1:2 2
332
c icv x x v v xx xx→ ≡ − + → ≡ ±→ ≡ −−∫
a)
21 1 1 11
32 2 2 4
v x ≡ ≡ ± − ≡ ±
b) 3 2
3
2 2
*3 2 3 2: 2 6 4 0
3 3
3
2
d dv dv x x xv x xx
dx dx dx x x x
− −≡ − → ≡ ≡ ≡ →−
≡±
±± −
Aparentemente, el movimiento se realiza desde x=0 hasta 3x ≡ +
regresando a 0x ≡ y permaneciendo allí ∀ t posterior. Este problema es
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 31
Cuaderno de Trabajo: Física I
inconsistente desde su planeamiento: t ≡ 0, a ≡ 0, v ≡ 0 ∧ x ≡0?! Si se le da
cierta (0) 0v ≠ ,
3 32 2MAXx→ ≡ + ∨ −
* La partícula “mágicamente” se empieza a mover hacia la derecha (+)s ∨ hacia la izquierda (-)s.
** ¿? Analizar mediante gráficos.
c) 3 3
3 22 2
a x
≡ ≡ × −
3 3
2 2× × 00 a≡ → ≡
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 32
Cuaderno de Trabajo: Física I
2.- La figura adjunta representa a un campesino irrigando un sistema de andenes, indicados por rayas horizontales, separados 3 m; la pendiente del cerro esta dado por α = 30º : a) El campesino desea averiguar cuantos
andenes podrá irrigar con v0 = 15 m/s y β variando de 30º a 45º.Considere que el primer andén dista 3 m de “0”.
b) Encuentre el valor de β que nos permita irrigar el máximo número de andenes. ¿Cuál es ese número máximo?. Tome
g = -10 j m/s2.
SOLUCION:
{ }( )
22 20
:2 cos
gP y tg x x
vθ θ β
θ≡ − ← ≡
{ }: cos ,y y tg x x k y ksenα α α≡ → →≡ ≡
: :P P L R≡ { } ( )( )2 20
cos2 cos
gsen tg R R
vα β α
β≡ − ( )2cos
Rα R
cos cossensen
β α βα ≡
2cos ( )2
2 2
cos
2 0 cos
gR
v
αββ
−
( )2
2 2
cos
2 0 cos
g
v
α cos cos
cos
sen senR
β α β αββ
−≡ { }sen β α≡ −
( ) { }2
2
2 0cos
cos
vR sen
gβ β α
α ≡ −
..…(ρ)
{ } { }{ }
cos cos
cos 2
sen sendRC
d
β β α β β αβ β α
− − + − → ≡ −
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
y -gsenα α 0v
r g x
P A
R β α0 x
33
Cuaderno de Trabajo: Física I
{ }cos 2 0 2 60º4 3
dR
d
π πβ α β αβ
≡ − ≡ → − ≡ ≡ ≡
b) de lo anterior β ≡ 60º
En (ρ) :
2R ≡
215
510
×3
4×
1
2× 1
2× 15≡ 15
15
×15R→ ≡
∴ Podrá irrigar 5 ANDERES
a) En (ρ) usando β ≡ 45º
22 15 10,26 11,1 11,1
3 2104
R R×≡ × × ≡ → ≡
×
∴ Solo podrá irrigar 3 ANDERES
* Hacer la variante de calcular R con x’
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 34
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