49
CAPITULO 4
ANALISIS DEL COMPORTAMIENTO Y DEFINICION DE LOS RANGOS DE
LAS VIBRACIONES AUTOEXCITADAS.
4.1 Análisis del comportamiento del banco de vibraciones autoexcitadas.
En esta tesis se desea analizar el comportamiento de una carga de masa m colocada
sobre una banda transportadora que tiene una velocidad v0. Esta carga esta asociada a un
sistema resorte-amortiguador como se muestra en la figura 4.1a.
Figura 4.1. Sistema de banda transportadora. a) Esquema Completo, b) Diagrama de cuerpo libre.
Entre la masa y la banda de transportadora existe una fuerza de fricción dada por
)1( 3cvbvNF (4.1)
donde µ es el coeficiente de fricción del material del cual esta hecho la banda, v es la
velocidad de deslizamiento o velocidad relativa definido por
)( 0 xvv (4.2)
De esta manera la fuerza de fricción esta dada por
3001 xvcxvbNF (4.3)
m
50
En el diagrama de cuerpo libre podemos observar las diferentes fuerzas que se encuentran
actuando sobre la masa como se muestra en la figura 4.1b, donde
mgN
xnFkxF
2
1
(4.4)
En esta ecuación k es el coeficiente de deflexión del resorte, n es el coeficiente de
amortiguamiento y g es la aceleración de la gravedad (9.81 m/s2).
De esta manera la ecuación de equilibrio es la siguiente
xnkxFFFFxm 21 (4.5)
sustituyendo las variables obtenemos,
3001 xvcxvbNkxxnxm (4.6)
desarrollando la ecuación (4.6) obtenemos
320
20
300 331 xcxcvxcvcvxbbvNkxxnxm (4.7)
para hacer mas sencilla la ecuación (4.6) la dividimos entre m y obtenemos
3001 xvcxvb
mNx
mkx
mnx (4.8)
20
mk
que es la frecuencia natural.
La ecuación (4.6) es una ecuación diferencial de segundo orden la cual podemos escribir
como un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales. Para poder resolver este sistema
utilizamos
32020212
21
12
1
1 xvcxvbmNx
mnx
mkx
xx
xxxxx
(4.9)
51
Y para la posición de equilibrio podemos resolver el sistema como se presenta a
continuación:
)1(
)1(
0
0
300
300
cvbvkmgx
cvbvNkx
x
x
xx
st
st
st
(4.10)
Podemos observar como en un principio el coeficiente de fricción disminuye hasta llegar a
un punto donde empieza a incrementarse. En este punto es donde las vibraciones
autoexcitadas se convierten en vibraciones forzadas.
La ecuación con la cual obtenemos los valores del coeficiente de fricción si la velocidad es
positiva es
30 1 cvbv (4.11)
si la velocidad es negativa la ecuación es
30 1 cvbv (4.12)
Las vibraciones autoexcitadas se presentan hasta el punto que es conocido como velocidad
crítica, pasando ese punto las vibraciones son forzadas. La velocidad crítica se obtiene de la
siguiente ecuación
min31 Fcvbv crcr (4.13)
derivando la ecuación (4.12) obtenemos
52
cbv
cvb
Fdv
dcvbv
dvd
cr
cr
crcrcr
cr
3
03
1
2
min3
(4.14)
En las vibraciones autoexcitadas el coeficiente de fricción tiene el siguiente
comportamiento
Figura 4.2. Comportamiento del coeficiente de fricción dependiente de la velocidad.
4.2 Rangos de las vibraciones autoexcitadas
Los datos correspondientes a nuestro sistema, los cuales fueron proporcionados por el
director de la tesis para realizar el analisis, son los siguientes:
b = 0.3 s/m
c = 0.1 s3/m3
vcr = 1 m/s
m = 1kg
53
g = 9.8 m/s2
µ = 0.6
k = 1600 N/m
n = 0.1 kg/s
Con estos valores podemos analizar el comportamiento del coeficiente de fricción de
nuestro sistema que es el siguiente:
Tabla 4.1. Valores de µ con velocidades positivas.
v (m/s) µ0 0.6
0.2 0.564480.4 0.531840.6 0.504960.8 0.48672
1 0.481.2 0.487681.4 0.512641.6 0.557761.8 0.62592
2 0.72
La grafica que se obtiene de estos valores es la siguiente
V vs.µ
00.1
0.2
0.30.4
0.5
0.6
0.70.8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
v (m/s)
µ
Grafica 4.1. Comportamiento del coeficiente fricción en nuestro sistema dependiente de la velocidad.
54
Para poder resolver el sistema de ecuaciones lineales (4.9) se utiliza el programa Matlab,
primero se programa en una función ec_dif como:
function xpunto=ec_dif(t,x)
global n k mu N b vo c m
xpunto(1) = x(2);
xpunto(2)=-(n/m)*x(2)-(k/m)*x(1)+(mu*N/m)*(1-b*(vo-x(2))+c*(vo-x(2))^3);
xpunto=xpunto';
Para poder obtener el desplazamiento, la velocidad y la trayectoria velocidad vs.
desplazamiento se programa un archivo-m en matlab que es el siguiente:
%Este es el archivo para calcular el desplazamiento, la velocidad y la trayectoria
velocidad vs. desplazamiento de una carga en una banda transportadora mostrando la
vibracion autoexcitada.
close all
clear
clc
global n k mu N b vo c m
tiempo = linspace (0, 8, 10000 );
%condiciones iniciales
x0 = [0 0 ]';
%datos
b = 0.3; m = 1;
k=1.6e3; n=0.1; c=0.1;
vo=?; mu=0.6; N=9.8;
%llamado de la subrutina para resolver
55
%el sistema de ecuaciones diferenciales
[t, x]=ode23 ('ec_dif',tiempo, x0);
%Gráfica de la posición vs. tiempo
plot(t, x(:, 1))
grid on
xlabel ('Tiempo')
ylabel ('Posición')
legend ('vo=?)
%Grafica de la trayectoria
figure
plot (x(:,1),x(:,2))
axis ('square')
grid on
En este programa nosotros le damos el valor de la velocidad en la cual queremos analizar
las vibraciones autoexcitadas. Para nuestro sistema realizamos cinco simulaciones de la
cuales obtuvimos las siguientes graficas:
56
0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Tiempo
Pos
ició
nv = 0.5 m/s
Grafica 4.2. Posición de la masa con v = 0.5 m/s.
Grafica 4.3. Trayectoria de las variables velocidad vs. desplazamiento con una v = 0.5 m/s.
57
En la grafica 4.2 podemos el comportamiento de la masa a una velocidad de 0.5 m/s que se
encuentra por debajo de la velocidad critica de nuestro sistema, la posición de la masa
genera una amplitud del tipo de las vibraciones autoexcitadas que inicia en la posición 0 y
va aumentando la distancia, este comportamiento se debe a que la banda al moverse a una
velocidad menor de la velocidad critica hace que la masa tenga un movimiento creciente
hasta llegar a un punto donde el cuerpo continua moviéndose pero ya en un rango
constante. La grafica 4.3 representa la trayectoria de las variables velocidad vs.
desplazamiento, podemos observar que empieza su movimiento en las coordenadas (0,0) y
empieza a formar círculos que abarcan tanto valores positivos como negativos, este tipo de
movimiento demuestra que la masa se encuentra en movimiento y que va aumentando con
el paso del tiempo.
0 1 2 3 4 5 6 7 8-4
-2
0
2
4
6
8
10x 10
-3
Tiempo
Pos
ició
n
v = 0.9 m/s
Grafica 4.4. Posición de la masa con v = 0.9 m/s.
58
Grafica 4.5. Trayectoria de las variables velocidad vs. desplazamiento con una v = 0.9 m/s.
En la grafica 4.4 observamos el comportamiento de la masa usando una velocidad de 0.9
m/s que se encuentra muy cerca de la velocidad crítica para este sistema, por lo cual el
movimiento de la masa es muy abrupto pero en menor distancia y se estabiliza con mayor
rapidez. Esto es muy diferente a lo que observamos en la grafica 4.3 donde observamos que
el cambio de posición se incrementa gradualmente. Podemos observar en la grafica 4.5 se
presenta el mismo comportamiento que la grafica 4.3 pero el circulo central es menor esto
se debe a que el desplazamiento que presenta la masa es menor que cuando es sometido a
una velocidad cercana a la velocidad critica.
59
0 1 2 3 4 5 6 7 80
1
2
3
4
5
6x 10
-3
Tiempo
Pos
ició
nv = 1.0 m/s
Grafica 4.6. Posición de la masa con v = 1.0 m/s.
Grafica 4.7. Trayectoria de las variables velocidad vs. desplazamiento con una v = 1.0 m/s.
60
Realizamos un análisis del comportamiento de la masa con una velocidad de 1 m/s la cual
tiene el mismo valor que la velocidad critica de nuestro sistema, la grafica 4.6 representa el
tipo de movimiento que tuvo la masa donde observamos que genero un tipo de onda de las
que se presentan en las vibraciones libres donde de un punto mayor la onda va
disminuyendo hasta llegar a detenerse el movimiento. En la grafica 4.7 podemos que la
masa inicio con un desplazamiento grande y va disminuyendo, también observamos que el
desplazamiento solo se da en valores positivos, lo cual es diferente a las vibraciones
autoexcitadas donde el desplazamiento se da tanto en los valores positivos y negativos.
0 1 2 3 4 5 6 7 80
1
2
3
4
5
6x 10
-3
Tiempo
Pos
ició
n
v = 1.1 m/s
Grafica 4.8. Posición de la masa con v = 1.1 m/s.
61
Grafica 4.9. Trayectoria de las variables velocidad vs. desplazamiento con una v = 1.1 m/s.
En la grafica 4.8 podemos observar el comportamiento de la masa usando una velocidad de
1.1 m/s la cual es un poco mayor a nuestra velocidad critica, este comportamiento fue
parecido al de la grafica 4.6, la diferencia que podemos observar es que el cambio de
posición va disminuyendo mas rápido. En la grafica 4.9 podemos observar que el
desplazamiento de la masa se estabiliza en menor tiempo a diferencia de la grafica 4.7.
62
0 1 2 3 4 5 6 7 80
1
2
3
4
5
6
7x 10
-3
Tiempo
Pos
ició
n
v = 1.5 m/s
Grafica 4.10. Posición de la masa con v = 1.5 m/s.
Grafica 4.11. Trayectoria de las variables velocidad vs. desplazamiento con una v = 1.5 m/s.
63
En la grafica 4.10 observamos el análisis de la posición de masa a una velocidad de 1.5
m/s, la cual presenta un comportamiento parecido a las graficas 4.6 y 4.8, donde
observamos un movimiento del tipo de las vibraciones libres, la diferencia radica en que el
tiempo que le toma a la masa en detenerse es menor que los dos análisis mencionados
anteriormente.
En conclusión, al realizar estas cinco simulaciones observamos que las dos primeras
presentaron vibraciones autoexcitadas, esto se debió a que la velocidad a las que se
realizaron estas simulaciones es menor de la velocidad crítica de nuestro sistema. En las
tres últimas simulaciones se presentan vibraciones libres debido a que la velocidad a las
que se realizaron estas simulaciones eran iguales o mayores a nuestra velocidad critica.
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