8/6/2019 Capitulo 4. Espacios vectoriales. lgebra Lineal para Estadsticos y Actuarios. William Noguera
1/23
Captulo 4 ESPACIOS VECTORIALES
4.1. INTRODUCCIN.
En este captulo se presentar una importante herramienta para lograr la
reduccin de datos en el anlisis de datos multivariante, como lo son losespacios vectoriales. Se expondrn sus principales conceptos asociados como
lo son: Subespacios, Combinacin Lineal, Independencia y Dependencia
Lineal, Bases y Espacio Nulo, Nulidad, Imagen, Espacio Columna y Espacio
Fila de una Matriz.
4.2. DEFINICIONES, PROPIEDADES Y EJEMPLOS.
Definicin 4.1.
Sea K un cuerpo. Se dice que un conjunto no vaco V es un K-espacio vectorialo un espacio vectorial sobre K si en V estn definidas dos operaciones; una
interna denominada adicin denotada por + que asigna a cada par ordenado
(,) VxV un nico elemento (+) V y otra externa con dominio deoperadores K denominada multiplicacin por escalares, denotada por queasigna a cada par ordenado (c,) KxV un nico elemento (c) V, las
cuales verifican las siguientes propiedades:
1. , V se cumple que + = + .2. , , V se cumple que + ( + ) = ( + ) + .3. V tal que V se cumple que + = .4. V, (-) V tal que + (-) = .5. V se cumple que 1 = .6. , V, c K se cumple que c( + ) = c + c.7. V, c, d K se cumple que (c+d) = c + d.8. V, c, d K se cumple que (cd) = c(d).
Los elementos de V se denominan vectores y los elementos de K se denominan
escalares.
Ejemplo 4.1.
Sea V = n =
=
= n...,2,1,j,X;
X
X
X
j
n
2
1
M. En este conjunto estn
definidas las operaciones de adicin y multiplicacin por escalares ya que:
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADSTICOS Y ACTUARIOS
130
. Sin
n
2
1
X
X
X
=M
yn
n
2
1
Y
Y
Y
=M
entoncesn
nn
22
11
n
2
1
n
2
1
YX
YX
YX
Y
Y
Y
X
X
X
+
+
+
=
+
=+MMM
. Si n
n
2
1
X
X
X
=M
y c entonces n
n
2
1
n
2
1
cX
cX
cX
X
X
X
cc
=
=MM
Ahora verificamos que tales operaciones satisfacen las 8 propiedades:
1. Si
=
n
2
1
X
X
X
M y
=
n
2
1
Y
Y
Y
M tales que , V entonces:
+=
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
=+
n
2
1
n
2
1
nn
22
11
nn
22
11
n
2
1
n
2
1
X
X
X
Y
Y
Y
XY
XY
XY
YX
YX
YX
Y
Y
Y
X
X
X
MMMMMM
2.
Si
=n
2
1
X
X
X
M ,
=n
2
1
Y
Y
Y
M y
=n
2
1
Z
Z
Z
M tales que , , V entonces:
+
+
+
+
=
+
+
=++
nn
22
11
n
2
1
n
2
1
n
2
1
n
2
1
ZY
ZY
ZY
X
X
X
)
Z
Z
Z
Y
Y
Y
(
X
X
X
)(MMMMM
+
+
+
+
=
++
++
++
=
n
2
1
nn
22
11
nnn
222
111
Z
Z
Z
YX
YX
YX
ZYX
ZYX
ZYX
MMM
+++
+
+
= )(
Z
Z
Z
)
Y
Y
Y
X
X
X
(
n
2
1
n
2
1
n
2
1
MMM
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2/23
CAPTULO 4: ESPACIOS VECTORIALES
131
3. Si
=
n
2
1
X
X
X
Mtal que V entonces V;
=
0
0
0
M, tal que:
=
=
+
=+
n
2
1
n
2
1
X
X
X
0
0
0
X
X
X
MMM
4. Si
=
n
2
1
X
X
X
Mtal que V entonces (-) V;
=
n
2
1
X
X
X
)(M
, tal
que:
=
=
=
+
+
+
=
+
=+
0
0
0
XX
XX
XX
)X(X
)X(X
)X(X
X
X
X
X
X
X
)(
nn
22
11
nn
22
11
n
2
1
n
2
1
MMMMM
5. Si
=
n
2
1
X
X
X
Mtal que V entonces:
1 =
=
=
=
n
2
1
n
2
1
n
2
1
X
X
X
X.1
X.1
X.1
X
X
X
1MMM
.
6. Si
=
n
2
1
X
X
X
M,
=
n
2
1
Y
Y
Y
Mtales que , V y c entonces:
)
YX
YX
YX
(c)
Y
Y
Y
X
X
X
(c)(c
nn
22
11
n
2
1
n
2
1
+
+
+
=
+
=+MMM
+
+
+
=
+
+
+
=
nn
22
11
nn
22
11
cYcX
cYcX
cYcX
)YX(c
)YX(c
)YX(c
MM
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADSTICOS Y ACTUARIOS
132
+=
+
=
+
= cc
Y
Y
Y
c
X
X
X
c
cY
cY
cY
cX
cX
cX
n
2
1
n
2
1
n
2
1
n
2
1
MMMM
7. Si
=
n
2
1
X
X
X
Mtal que V y c, d entonces:
)
X)dc(
X)dc(
X)dc(
X
X
X
)dc()dc(
n
2
1
n
2
1
+
+
+
=
+=+MM
+
=
+
+
+
=
n
2
1
n
2
1
nn
22
11
dX
dX
dX
cX
cX
cX
dXcX
dXcX
dXcX
MMM
+=
+
= dc
X
X
X
d
X
X
X
c
n
2
1
n
2
1
MM
8. Si
=
n
2
1
X
X
X
Mtal que V y c, d entonces:
)d(c)
X
X
X
d(c
dX
dX
dX
c
X)cd(
X)cd(
X)cd(
X
X
X
)cd()cd(
n
2
1
n
2
1
n
2
1
n
2
1
=
=
=
=
=MMMM
Luego, V es un espacio vectorial.
Observacin:
Las operaciones de adicin y multiplicacin por escalares de n del ejemploanterior son las operaciones usuales. De ahora en adelante, cada vez que se
mencione a n como espacio vectorial se supondr que es con las operacionesde adicin y multiplicacin por escalares usuales, salvo que se mencione lo
contrario.
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8/6/2019 Capitulo 4. Espacios vectoriales. lgebra Lineal para Estadsticos y Actuarios. William Noguera
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CAPTULO 4: ESPACIOS VECTORIALES
135
V es un espacio vectorial ya que definiendo =
43
21
XX
XX, =
43
21
YY
YYy
=
43
21
ZZ
ZZse verifican las siguientes propiedades:
1. + =
43
21
XX
XX+
43
21
YY
YY=
++++
++++
1YX1YX
1YX1YX
4433
2211
=
++++
++++
1XY1XY
1XY1XY
4433
2211=
43
21
YY
YY+
43
21
XX
XX= + .
2. + ( + ) =
43
21
XX
XX+(
43
21
YY
YY+
43
21
ZZ
ZZ)
=
43
21
XX
XX+
++++
++++
1ZY1ZY
1ZY1ZY
4433
2211
=
++++++++
++++++++
1)1ZY(X1)1ZY(X
1)1ZY(X1)1ZY(X
444333
222111
=
++++++++
++++++++
11ZYX11ZYX
11ZYX11ZYX
444333
222111
=
++++++++
++++++++
1Z)1YX(1Z)1YX(
1Z)1YX(1Z)1YX(
444333
222111
=
++++
++++
1YX1YX
1YX1YX
4433
2211+
43
21
ZZ
ZZ
= (
43
21
XX
XX+
43
21
YY
YY) +
43
21
ZZ
ZZ= ( + ) +
3. + =
43
21
XX
XX+
43
21=
43
21
XX
XX
++++
++++
1X1X
1X1X
4433
2211=
43
21
XX
XX
=++
=++
=++
=++
444
333
222
111
X1X
X1X
X1X
X1X
=+
=+
=+
=+
01
01
01
01
4
3
2
1
=
=
=
=
1
1
1
1
4
3
2
1
=
11
11
4. + (-) =
43
21
XX
XX+
43
21
YY
YY=
11
11
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADSTICOS Y ACTUARIOS
136
++++
++++
1YX1YX
1YX1YX
4433
2211=
11
11
=++
=++ =++
=++
11YX
11YX11YX
11YX
44
33
22
11
=
= =
=
2XY
2XY2XY
2XY
44
33
22
11
(-) =
2X2X
2X2X
43
21=
11X11X
11X11X
43
21
=
1X11X1
1X11X1
43
21= (-1)
43
21
XX
XX
5. (1) = (1)
43
21
XX
XX=
++
++
1X11X1
1X11X1
43
21=
43
21
XX
XX=
6. c( + ) = c(
43
21
XX
XX+
43
21
YY
YY)
= c
++++
++++
1YX1YX
1YX1YX
4433
2211
=
++++++
++++++
1)1YX(cc1)1YX(cc
1)1YX(cc1)1YX(cc
4433
2211
=
++++++
++++++
1ccYcXc1ccYcXc
1ccYcXc1ccYcXc
4433
2211
=
++++++++
++++++++
111ccYcXc111ccYcXc
111ccYcXc111ccYcXc
4433
2211
=
++++++++
++++++++
1)1cYc()1cXc(1)1cYc()1cXc(
1)1cYc()1cXc(1)1cYc()1cXc(
4433
2211
=
++
++
1cXc1cXc
1cXc1cXc
43
21+
++
++
1cYc1cYc
1cYc1cYc
43
21
= c
43
21
XX
XX
+ c
43
21
YY
YY
= c + c
7. (c+d) = (c+d)
43
21
XX
XX
=
++++++
++++++
1X)dc(dc1X)dc(dc
1X)dc(dc1X)dc(dc
43
21
=
++++++
++++++
1dXcXdc1dXcXdc
1dXcXdc1dXcXdc
4433
2211
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CAPTULO 4: ESPACIOS VECTORIALES
143
Observacin:
F(S) ya que VF(S); esto porque V es un subespacio trivial queevidentemente contiene a S.
4.4. COMBINACIN LINEAL.
Definicin 4.4.
Sean K un cuerpo y V un espacio vectorial sobre K. Sean 1, 2, , n V.Un vector V se dice que es una combinacin lineal de los vectores 1,2, , n si existen escalares c1, c2, , cn K tales que:
=
=n
1i
iic
Ejemplo 4.10.
Sea V=2.
=
0
4es combinacin lineal de
=
3
1y
=
2
2ya que
= 2 + 3.
Definicin 4.5.
Sean K un cuerpo y V un espacio vectorial sobre K. Sea S un subconjunto de
V. Se define como subespacio generado por S y se denota por [S] al conjunto:
[ ] I)S(FW
WS
=
Observaciones:
1. [S] es el menor subespacio o subespacio ms pequeo que contiene
a S, es decir, verifica las siguientes condiciones:
1.1. S [S]1.2. Si U es un subespacio de V tal que S U entonces
[S] U.2. [] = {}.
Teorema 4.6.
Sean K un cuerpo y V un espacio vectorial sobre K. Si S es un subconjunto no
vaco de V entonces [S] es el conjunto formado por todas las combinaciones
finitas de elementos de S, es decir, [S] si y slo si existen n *, vectores1, 2, , n S y escalares c1, c2, , cn K tales que:
=
=n
1i
iic
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADSTICOS Y ACTUARIOS
144
Demostracin
Sea W = { =
n
1i
iic ; n *, ci K, i S, i = 1, 2, , n}
Veamos que [S] = W.
Sean 1, 2, , n S y c1, c2, , cn K. Luego,
1, 2, , n [S] y c11, c22, , cnn [S], por consiguiente
=
n
1i
iic [S]
Por lo tanto, W [S] (1).
Es claro que S W ya que si S entonces = 1 W.Veamos que W es un subespacio de V.
Sean , W y c K. Entonces =
=n
1i
iic , =
=m
1j
jjd , ci K,
i S, i = 1, 2, , n, dj K, j S, j = 1, 2, , m.
En consecuencia,
(c + ) = (c
=
n
1i
iic +
=
m
1j
jjd ) = (
=
n
1i
ii )cc( +
=
m
1j
jjd ) W.
Esto significa que W es un subespacio de V tal que S W y por consiguiente[S] W (2).
Finalmente, por (1) y (2) se deduce que W = [S].
Ejemplo 4.11.
Sean V = 3 y S = {
=
1
0
1
1 ,
=
5
3
2
2 }. Determinemos explcitamente
[S].
=
c
b
a
[S] si y slo si existen escalares c1, c2 tales que:
= c11 + c22
Luego,
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CAPTULO 4: ESPACIOS VECTORIALES
147
Observaciones:
1. S es L.I. si y slo si para cualquier subconjunto finito
{1, 2, , n} de S formado por vectores distintos y escalares
c1, c2, , cn K se tiene que la relacin lineal ==n
1iiic
implica que c1 = c2 = = cn = 0.
2. es L.I.
Ejemplo 4.12.
Sea V=4. Los vectores
=
3
0
1
2
y
=
9
0
3
6
son L.D., ya que:
=+3 .
Ejemplo 4.13.
Sea V=3. Los vectores
=
4
2
1
y
=
3
5
2
son L.I., ya que:
=
+
+
=
+
=
+
=+0
0
0
d3c4
d5c2
d2c
0
0
0
d3
d5
d2
c4
c2
c
0
0
0
3
5
2
d
4
2
1
cdc
=
=
=+
=+
0
0
0
d
c
34
52
21
0d3c4
0d5c2
0d2c
+
0
0
0
00
10
01
0
0
0
00
10
21
0
0
0
110
10
21
0
0
0
34
52
21
211233
133
122r2rrr11rr
r4rr
r2rr
c = d = 0.
Ejemplo 4.14.
Sea V=3. Los vectores
=
3
1
1
,
=
2
2
1
y
=
8
8
2
son L.D., ya que:
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADSTICOS Y ACTUARIOS
148
=
+
++
+
=
+
+
=++
0
0
0
c8c2c3
c8c2c
c2cc
0
0
0
8
8
2
c
2
2
1
c
3
1
1
cccc
321
321
321
321321
=
=+
=++
=+
0
0
0
c
c
c
823
821
211
0c8c2c3
0c8c2c
0c2cc
3
2
1
321
321
321
+
0
0
0
000
210
211
0
0
0
210
210
211
0
0
0
210
630
211
0
0
0
823
821
211
333222
133
122rrr
r3
1rr
r3rr
rrr
c2 + 2c3 = 0 y c1 c2 + 2c3 = 0. c2 = 2c3 y c1 c2 + 2c3 = 0.
c2 = 2c3 y c1 (2c3) + 2c3 = 0. c2 = 2c3 y c1 + 2c3 + 2c3 = 0.
c2 = 2c3 y c1 = 4c3.
Si se elige arbitrariamente c3 =2
1entonces c1 = 2 y c2 = 1. Luego, existen
escalares c1, c2, c3 no todos iguales a cero tales que =++ 321 ccc .
Ejemplo 4.15.
Sea V = P2. Los polinomios p1(x) = 1, p2(x) = x, p3(x) = x2 son L.I. ya que:
ap1 + bp2 + cp3 = 0 a.1+ b.x + c.x2 = 0 a + bx + cx2 = 0 a = b = c =
0.
Ejemplo 4.16.
Sean V = n y B = {e1, e2, , en} un subconjunto de V, siendo:
coordenadasima-j
0
1
0
ej
=
M
M
Veamos que B es L.I.
Verifiquemos que para cualesquiera escalares c1, c2, , cn K se tiene que laigualdad c1e
1 + c2e2 + + cne
n = implica que c1 = c2 = = cn = 0.
En efecto,
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CAPTULO 4: ESPACIOS VECTORIALES
151
Demostracin
CN(): Si S es L.D. entonces existe j , 1 j n tal que j [S {j}].
Por hiptesis existen escalares c1, c2, , cn K no todos iguales a cero tal que:
==
n
1i
iic
Sea j , 1 j n tal que cj 0. Luego,
=++ +=
=
n
1ji
iijj
1j
1i
ii ccc
+=
= =
n
1jiii
1j
1iiijj ccc
))c
c()
c
c((
n
1ji
i
j
i
1j
1i
i
j
ij
+=
=
+=
j [S {j}]
CS(): Si existe j , 1 j n tal que j [S {j}] entonces S es L.D.
Por hiptesis, existen escalares c1, c2, , cj-1, cj+1, , cn K tales que:
+=
=+=
n
1ji
ii
1j
1i
iij cc
=++ +=
=
n
1ji
iij
1j
1i
ii c)1(c
Por consiguiente, existen escalares c1, c2, , cn K no todos iguales a cero
(al menos cj = (-1)) tal que ==
n
1i
iic . Luego, S es L.D.
Ejemplo 4.17.
En relacin al ejemplo 4.12., los vectores
=
3
1
1
,
=
2
2
1
y
=
8
8
2
son
L.D., ya que existen escalares c1, c2, c3 no todos iguales a cero
(c1 = 2, c2 = 1, c3 =
2
1) tales que =++ 321 ccc , es decir,
=++2
1)1(2 . Luego,
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADSTICOS Y ACTUARIOS
152
=2
12
+=4
1
2
1
Por lo tanto, es combinacin lineal de y , es decir, [{, }]
Teorema 4.10.
Sean el espacio vectorial V = n, AMnxn() y B = {A1, A2, , An}V. B esL.I. si y slo si A es no singular.
Demostracin
CN(): Si B es L.I. entonces A es no singular.
Si B es L.I. entonces para cualesquiera escalares c 1, c2, , cn K se tiene que
la relacin lineal 1nx
n
1j
jj Ac =
=
implica que c1 = c2 = = cn = 0. Esto
indica que:
c1A1 + c2A2 + + cnAn = nx1 c1 = c2 = = cn = 0, es decir,
[ ]
=
=
0
0
0
c
c
c
0
0
0
c
c
c
AAA
n
2
1
n
2
1
n21
MMMML , es decir,
===
n
2
1
1nx1nx
c
c
c
Xsiendo;XAXM
Por lo tanto el SEL 1nxAX = tiene como nica solucin la solucin trivial locual implica que A es no singular.
CS(): Si A es no singular entonces B es L.I.
Si A es no singular entonces el SEL 1nxAX = tiene como nica solucin lasolucin trivial. Luego,
===
n
2
1
1nx1nx
c
c
c
Xsiendo;XAXM
, es decir,
8/6/2019 Capitulo 4. Espacios vectoriales. lgebra Lineal para Estadsticos y Actuarios. William Noguera
13/23
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17/23
CAPTULO 4: ESPACIOS VECTORIALES
161
Teorema 4.21.
Sea AMmxn(K). Entonces CA = IA.
Demostracin
Supongamos que YIA. Entonces, XKn: AX = Y. Luego,
[ ] Y
X
X
X
AAA
n
2
1
n21 =
ML
YAXAXAX nn2
21
1 =+++ L
Por lo tanto, Y es combinacin lineal de A1, A2, , An. Por consiguiente,
Y[{A1, A2, , An}], es decir, Y CA. Esto significa que IACA (11).
Supongamos ahora que YCA. Luego, Y se puede expresar como combinacinlineal de A1, A2, , An, es decir, existen escalares c1, c2, , cnK tales que:
nn
22
11 AcAcAcY +++= L
Luego,
[ ]
=
n
2
1
n21
c
c
c
AAAYM
L
[ ] Y
c
c
c
AAA
n
2
1
n21 =
ML
AX = Y, con
=
n
2
1
c
c
c
XM
Por tanto, YIA. Por consiguiente, CAIA (12).
Por (11) y (12) se tiene que CA = IA.
Teorema 4.22.
Sea AMmxn(K). Entonces Dim(RA) = Dim(CA) = Dim(IA) = r(A).
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADSTICOS Y ACTUARIOS
162
Demostracin
Supongamos que Dim(RA) = p. Sea S = {1, 2, , p} una base para RA. Ntese que iKn. Luego, cada fila de A se puede expresar como unacombinacin lineal de los vectores de S, es decir, existen escalares cij;
i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , p tales que:
pmp22m11mt
m
pp2222121t
2
pp1212111t
1
c...cc)A(
c...cc)A(
c...cc)A(
+++=
+++=
+++=
M(13)
Ahora bien, la j-sima componente de (A i)t es Aij. Por lo tanto, si igualamos las
j-simas componentes de ambos lados de (13) y escribimos i de la forma:
=
ni
i2
i1
iM
Se obtiene que:
pjmpj22mj11mmj
pjp2j222j121j2
pjp1j212j111j1
c...ccA
c...ccA
c...ccA
+++=
+++=
+++=
M
Luego,
++
+
=
mp
p2
p1
pj
2m
22
12
j2
1m
21
11
j1
mj
j2
j1
c
c
c
...
c
c
c
c
c
c
A
A
A
MMMM(14)
Sea i =
mi
i2
i1
c
c
c
M
Por consiguiente, como el lado izquierdo de (14) es la j-sima columna de A se
tiene que cada columna de A se puede escribir como una combinacin lineal
de los vectores 1, 2, , p, lo cual significa que [{1, 2, , p}] = CA y porende Dim(CA) p = Dim(RA) (15).
8/6/2019 Capitulo 4. Espacios vectoriales. lgebra Lineal para Estadsticos y Actuarios. William Noguera
18/23
8/6/2019 Capitulo 4. Espacios vectoriales. lgebra Lineal para Estadsticos y Actuarios. William Noguera
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CAPTULO 4: ESPACIOS VECTORIALES
165
=
+++
+++
+++
==
0
0
0
0
0
XA...XAXA
XA...XAXA
XA...XAXA
FX ttt22t11t
tt2222121
tt1212111
1nxM
M
M
El determinante de la matriz de coeficientes de orden kxk del SEL homogneo
dado es no nulo, ya que las filas de esta matriz son L.I. De esta forma, la nicasolucin del SEL es X1 = X2 = = Xt = 0. Luego, X tiene la forma siguiente:
nn
2t2t
1t1tn2t1t
n
2t
1t
eX...eXeX
1
0
0
0
0
0
X...
0
1
0
0
0
0
X
0
0
1
0
0
0
X
X
X
X
0
0
0
X +++=
++
+
=
= +++
+++
+
+
M
M
M
M
M
M
M
M
Esto prueba que [S(t)] = NF de forma tal que n(F) = n t = n r(F). Luego,
r(F) + n(F) = n. Por (17) y (18) se tiene que r(A) + n(A) = n.
Ejemplo 4.23.
Sea AM3x3() definida por:
=
936
624
312
A
Determinemos Espacio Nulo (NA), Nulidad (n(A)), Imagen (IA), Rango (r(A)),
Espacio Fila (RA) y Espacio Columna (CA).
NA = {X3: AX = 3x1 }
=
= 11 r
2
1r
3
2
1
1x3
0
0
0
936
624
312
0
0
0
X
X
X
936
624
312
AX
+
0
0
0
000
0002
32
11
0
0
0
936
6242
32
11
133
122
r6rr
r4rr
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADSTICOS Y ACTUARIOS
166
321321 X23X
21X0X
23X
21X ==+
+
=
=
=
1
02
3
X
0
12
1
X
X
X
X2
3X2
1
X
X
X
X 32
3
2
32
3
2
1
Luego, NA = {X3:
+
= ba,;
1
02
3
b
0
12
1
aX } y n(A) = 2.
IA = {Y3: AX = Y, para algn X3}. Utilicemos el teorema 4.21.
R
000
0002
32
11
936
6242
32
11
936
624
312
A133
122
11
r6rr
r4rrr
2
1r
=
= +
Se observa que el nmero de filas no nulas de R es 1 por lo cual
Rango(A) = r(A) = 1. Luego, cualquier columna de A forma una base para CA,
es decir:
CA = {Y3:
= c;
6
4
2
cY } = IA
A su vez, una base para RA consiste en una combinacin lineal de las filas no
nulas de R, es decir:
}a;
23
21
1
aX:X{R 3A
==
8/6/2019 Capitulo 4. Espacios vectoriales. lgebra Lineal para Estadsticos y Actuarios. William Noguera
20/23
CAPTULO 4: ESPACIOS VECTORIALES
167
EJERCICIOS PROPUESTOS.
1. Determine cules de los siguientes conjuntos son espacios vectoriales.Justifique su respuesta.
1.1. El conjunto de vectores de 2 con las operaciones
Y
X+
W
Z=
+
+
WY
ZXy c
Y
X=
cY2
cX2, c.
1.2. El conjunto de vectores de 2 con las operaciones
Y
X+
W
Z=
++
++
2WY
1ZXy c
Y
X=
cY
cX, c.
1.3. El conjunto de todas las matrices de orden 2x2 en de laforma
1b
a1con las operaciones matriciales usuales de
suma y multiplicacin por escalares.
1.4. El conjunto de vectores de 3 con las operaciones
3
2
1
X
X
X
+
3
2
1
Y
Y
Y
=
+
+
+
33
22
11
YX
YX
YX
y c
3
2
1
X
X
X
=
0
0
0
.
1.5. El conjunto de las matrices de orden 2x2 en diagonales conlas operaciones matriciales usuales de suma y multiplicacin
por escalares.
1.6. El conjunto de los polinomios de grado a lo sumo 2 tales quep(0) = 2.
1.7. El conjunto de los polinomios de grado a lo sumo n tales quep(3) = 0.
2. Consideremos el espacio vectorial 3 con las operaciones usuales desuma y multiplicacin por escalares. Determinar si los siguientes
conjuntos son subespacios de 3:
2.1. W = {
3
2
1
X
X
X
: 2X1 + X3 = 0}
2.2. W = {
3
2
1
X
X
X
: 2X2 = X1 4}
2.3. W = {
3
2
1
X
X
X
: |X2 1| = X3}
2.4. W = {
3
2
1
X
X
X
: X1}
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADSTICOS Y ACTUARIOS
168
3. Sean
=
4
1
2
1 ,
=
3
1
1
2 ,
=
5
2
3
3 . Expresar los siguientes vectores
como combinacin lineal de 1, 2 y 3:
3.1.
=
2
5
3
.
3.2.
=
3
2
1
.
4. Sean p1(x) = 1 2x + x2, p2(x) = 1 + 3x 2x2, p3(x) = 2 x + 3x2.Expresar los siguientes polinomios como combinacin lineal de p1, p2
y p3:
4.1. q1(x) = 4 + 4x + 3x2.4.2. q2(x) = 0.4.3. q3(x) = 5 3x2.4.4. q4(x) = -4 + 2x 5x2.
5. Determine si el conjunto de polinomios p1, p2, p3 del ejercicio anteriores L.I. Determine tambin si el conjunto de polinomios p1, p2, p3, q1 es
L.I.
6. Determine el subespacio generado los siguientes conjuntos:
6.1. S1 = {
1
3
2
1
,
0
1
2
1
,
3
0
3
3
,
1
6
5
4
,
4
3
1
5
}
6.2. S2 = {x3 2x2 , 1 4x2, 10 7x3, -x3 + 3x2}6.3. S3 =
74
53,
1-3
32-,
18
14,
03
11
7. Sean A, B, C M2x2(K) definidas por:
=
31
21A ,
=
24
10B ,
=
20
14C
Determine cules de las siguientes matrices son combinacin lineal deA, B y C:
7.1.
=
73
60D
8/6/2019 Capitulo 4. Espacios vectoriales. lgebra Lineal para Estadsticos y Actuarios. William Noguera
21/23
CAPTULO 4: ESPACIOS VECTORIALES
169
7.2.
=
26
51E
7.3.
=
00
00F
7.4.
=
81
18G
8. Determine si los siguientes vectores forman un conjunto L.I.
8.1.
=
3
2
2
1 ,
=
1
3
1
2 ,
=
1
5
2
3
8.2.
=1
1
2
1 ,
=3
1
3
2 ,
=5
4
2
3
8.3.
=
3
2
1
1 ,
=
1
3
1
2 ,
=
3
1
2
3 ,
=
3
1
6
4
9. Consideremos las siguientes operaciones en 2:
2
1
X
X
+
2
1
Y
Y
=
++
++
pYX
pYX
22
11
y c
2
1
X
X
=
+
+
pcXc
pcXc
2
1
Determine el valor de p para el cual 2 con las operaciones de suma ymultiplicacin por escalares definidas anteriormente es un espacio
vectorial.
10. Utilizando independencia y dependencia lineal determine si lassiguientes matrices son no singulares:
=102110
003
A
=101110
103
B
= 611071
217
C
=
112
312
622
D
=
6112
1521
1251
2101
E
=
1102
1100
0221
1001
F
11. Sea P4 el espacio vectorial de los polinomios de grado a lo sumo 4 y pun polinomio de grado 4. Determine si {p, p, p, p(3), p(4)} es un
conjunto L.I. en P4.
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADSTICOS Y ACTUARIOS
170
12. Sean K un cuerpo, V un espacio vectorial sobre K, S un conjunto devectores L.I. de V y V. Demuestre que [S] si y slo si S{} esL.I.
13. Sean K un cuerpo, V un espacio vectorial sobre K y 1, 2, , k+1, vectores de V. Demuestre que Si [{1, 2, , k+1}] y[{1, 2, , k}] entonces k+1[{1, 2, , k, }].
14. Demuestre que si {1, 2, , n} es un conjunto L.I. y{1, 2, , n, } es un conjunto L.D. entonces es combinacinlineal de 1, 2, , n.
15. Sean K un cuerpo, V un espacio vectorial sobre K yS = {1, 2, , n} un conjunto de vectores L.I. de V tal que{1, 2, , n, } es L.D., V. Demuestre que S es una base deV.
16. Sean K un cuerpo, V un espacio vectorial sobre K yS = {1, 2, , n} un subconjunto de V tal que [S] = V y[S {i}] V, i = 1, 2, , n. Demuestre que S es una base de V.
17. Sea {1, 2, ,3} un conjunto L.I. Determine si los siguientesconjuntos son L.I.:
17.1. {a2 + b3, 2 + c3, 3}; con a, b, c.17.2. {1, b2 + c3, a3 2}; con a, b, c.
18. Deterrmine cules de los siguientes conjuntos de vectores son base de3:
18.1.
=
0
0
1
1 ,
=
0
2
2
2 ,
=
3
3
3
3
18.2.
=
4
1
3
1 ,
=
6
5
2
2 ,
=
8
4
1
3
18.3.
=
1
3
2
1 ,
=
1
1
4
2 ,
=
1
7
0
3
18.4.
=
4
6
1
1 ,
=
1
4
2
2 ,
=
5
2
1
3
8/6/2019 Capitulo 4. Espacios vectoriales. lgebra Lineal para Estadsticos y Actuarios. William Noguera
22/23
CAPTULO 4: ESPACIOS VECTORIALES
171
19. Demuestre que los siguientes conjuntos de vectores de 3 generan elmismo subespacio:
S1 = {
1
0
1
,
1
2
0
} y S2 = {
0
2
1
,
1
2
2
}
20. Determine una base y la dimensin del subespacio de matrices deorden 2x2 en K cuya traza es nula.
21. Determine una base y la dimensin del espacio solucin de lossiguientes SEL:
21.1.
=+
=+
=++
0X2X
0X2X
0X3XX2
31
21
321
21.2.
=+
=+++
0XXXX5
0XXXX3
4321
4321
22. Determine la dimensin de cada uno de los siguientes subespacios:
22.1. W1 = {
4
3
2
1
X
X
X
X
: X4 = 0}
22.2. W2 = {
4
3
2
1
X
X
X
X
: X4 = X1 + X2, X3 = X1 X2}
22.3. W1 W2.
23. Sean S1 = {
4
3
2
1
X
X
X
X
: X1 + X2 + X3 = 0} y S2 = {
4
3
2
1
X
X
X
X
: X3 + X4 = 0}.
23.1. Demuestre que S1 y S2 son subespacios vectoriales de 4.23.2. Hallar bases de S1, S2 y S1 S2.
24. Consideremos el espacio vectorial P2 de los polinomios de grado a losumo 3 y p1, p2P2 tales que p1(x) = x2 + x 1 y p2(x) = 2x2 4x + 1.
24.1. Demuestre que p1 y p2 son L.I.24.2.
Determine una base de P2 que contenga a p1 y p2.
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADSTICOS Y ACTUARIOS
172
24.3. Determine las coordenadas de pP3 tal que p(x) = 3x3 + 2x2 x 1 con respecto a la base obtenida en el apartado anterior.
25. Sea W = {x2 4x 3, 2x2 + x + 5, 8x 11}. Determine si W es unconjunto de generadores de los polinomios de grado a lo sumo 2.
26. Sea S = {x3 3x2 + 1, 2x2 + x, 2x3 + 3x + 2, 4x 5, x2 5x + 1,x2 4}. Determine un subconjunto de S que sea una base del espacio
generado por S.
27. Sea E = {
10
71
03
,
20
31
01
,
10
13
02
,
10
10
06
}. Determine una
base de V = Mnxn() que contenga a E.
28. Sea E = {
22
10
41
,
94
11
52
,
32
21
71
,
126
12
63
}. Determine la
dimensin del subespacio generado por E.
29. Sea W = {
1
1
0
,
1
0
2
}.
29.1. Demuestre que W es L.I.29.2. Determine un vector tal que W{} sea L.I. Este vector
es nico?
29.3. Determine un vector no nulo tal que W{} sea L.D.30. Sean 1, 2, 3, 4 los siguientes vectores de 4:
=
1
1
1
2
1 ,
=
3
1
2
1
2 ,
=
3
0
2
1
3 ,
=
1
1
2
2
4
Determine una base y la dimensin de W1W2 siendo W1 elsubespacio generado por1 y 2 y W2 el subespacio generado por3 y4.
31. Determine Espacio Nulo, Nulidad, Imagen, Rango, Espacio Fila yEspacio Columna de las siguientes matrices:
31.1.
=
013
211A
8/6/2019 Capitulo 4. Espacios vectoriales. lgebra Lineal para Estadsticos y Actuarios. William Noguera
23/23
CAPTULO 4: ESPACIOS VECTORIALES
173
31.2.
=
363
242
121
B
31.3.
=815
413
211
C
31.4.
=
1112
4521
2101
1211
D
31.5.
=
40131204
3200
0011
E
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