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VIBRACIONES Y ONDAS DEPARTAMENTO DE FSICA
ING. CAROL JULIETH AGUILAR
CONTENIDO
ING. CAROL AGUILAR
UNIVERSIDAD DEL CAUCA
SISTEMAS CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA
AMORTIGUAMIENTO EN LAS OSCILACIONES LIBRES
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
INTRODUCCIN Y MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE
MODOS NORMALES DE SISTEMAS CONTINUOS
SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS
ONDAS SONORAS
ONDAS ELECTROMAGNETICAS
CAPITULO 1: INTRODUCCIN
1. Importancia del movimiento oscilatorio
2. Movimiento armnico simple
3. Masa unida a un resorte
4. Energa del oscilador armnico simple
5. El oscilador armnico estudiado por el mtodo de la energa
6. Objeto colgado de un resorte vertical
7. El pndulo
8. Pndulo simple
9. Solucin del pndulo simple por el mtodo de energa
10. Pndulo fsico
11. Pndulo de torsin
12. Comparacin del movimiento armnico simple con el movimiento circular
uniforme
13. Representacin vectorial del movimiento armnico simple
14. Introduccin al exponente complejo
15. Empleo del exponente complejo
16. Otros tipos de vibraciones libres
17. Mdulo de elasticidad. Mdulo de Young
18. El muelle de aire
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IMPORTANCIA DEL
MOVIMIENTO OSCILATORIO 1 1
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VIBRACIONES U OSCILACIONES
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Las vibraciones
naturales de objetos
pequeos suelen ser
rpidas
Todo sistema posee una capacidad
de vibracin y la mayora de los
sistemas pueden vibrar libremente
de muchas maneras diferentes
Las vibraciones
naturales de objetos
ms grandes suelen
ser lentas
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EJEMPLOS COTIDIANOS
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MEDICINA
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ESTUDIO DE PATOLOGAS VOCALES
INDUSTRIA
Por qu medir vibraciones?
Para monitorear la condicin de
maquinarias y equipos.
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PRODUCTIVIDAD
EN LA PRCTICA
El monitoreo de vibraciones parti hace ms de 40 aos, primero para medir las amplitudes
mximas de los equipos, despus para poder detectar el desbalanceamiento de un equipo.
Esquema de la evolucin en los sistemas de anlisis de la tcnica
Analizador de vibraciones
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Figura 2: Sistema de monitoreo en lnea
Figura 1: Recolector porttil
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INDUSTRIA
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Espectro con altas vibraciones
EJE DAADO
El mismo equipo 3 horas despus de
lubricar
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INTRODUCCIN 1.1 1.1
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VIBRACIONES MECNICAS
Las vibraciones mecnicas se refieren a la
oscilacin de un cuerpo o un sistema
mecnico alrededor de su posicin de
equilibrio.
Estudiaremos las vibraciones con un solo
grado de libertad, es decir aquel movimiento
en el cual la posicin se puede expresar con
una sola coordenada por ejemplo x, y, .
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CONCEPTOS
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1
SUCESO PERIODICO: Fenmeno que se produce
con idnticas caractersticas
a intervalos iguales de
tiempo. Ejemplo, vaivn de
un pndulo.
2
VIBRACIN: Movimiento de un
sistema con masa y elasticidad que
se repite peridicamente con el
tiempo alrededor de una posicin de
equilibrio estable, hacia delante y
hacia atrs de esa posicin y sobre
la misma trayectoria.
La caracterstica comn de todos estos fenmenos es su periodicidad.
Existe un esquema de movimiento o desplazamiento que se repite una y otra
vez. Este esquema puede ser sencillo o complicado.
3
POSICIN DE EQUILIBRIO
ESTABLE: Es aquella posicin
de la trayectoria donde el
sistema que vibra tiene su
energa potencial mnima.
4
GRADOS DE LIBERTAD: Es el mnimo de coordenadas independientes necesarias para especificar totalmente la
configuracin del sistema en un instante cualquiera, esto
quiere decir encontrar la relacin del sistema que vibra
con respecto a su posicin de equilibrio.
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Las vibraciones pueden ser:
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Sistemas Mecnico Mecnicas
Circuito Elctrico Elctricas
Campo Electromagntico Electromagnticas
Oscilaciones Trmicas Trmicas
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PARTES ELEMENTALES DE UN SISTEMA VIBRATORIO
Resortes, Masas y Amortiguadores
IMPORTANTES
RESORTES MASAS AMORTIGUADORES
Son el medio para acumular
energa potencial del
sistema. Tambin se les
denomina elementos de
rigidez del sistema.
Es el medio que
acumula energa
cintica en el sistema.
Tambin se le
denomina elemento de
inercia.
Son el medio para
disipar energa del
sistema. Tambin se
les denomina
elementos de
disipacin del sistema.
RESORTES
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Resorte de Traslacin La fuerza que acta en un resorte lineal
puede determinarse con la siguiente
expresin:
F= - k x
Donde k es la constante de resorte y x su deflexin. La energa potencial
acumulada por este elemento se determina integrando la expresin
anterior:
2
2
1xkU
Resorte de Torsin
2
2
1tkU
tk
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MASA
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Las fuerzas de inercia vienen dadas de acuerdo a la segunda Ley de
Newton como:
amF
La energa cintica del movimiento de traslacin viene dada como:
2
2
1mvKT
Por analoga para el movimiento de rotacin se tiene:
2
2
1IKT
I
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AMORTIGUADORES
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Amortiguamiento Viscoso: La fuerza de amortiguamiento segn el
modelo ideal de amortiguamiento viscoso es proporcional a la
velocidad:
xcvcfd
ccd
Donde c es la constante de proporcionalidad o
amortiguamiento
Amortiguamiento de Coulomb: Resulta de la friccin entre superficies secas y
es igual al producto entre el coeficiente de friccin y la fuerza normal:
mgF
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Terminologa de Vibraciones
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Valor Pico: Es el mximo esfuerzo que sufre la parte vibrante
Valor Medio: Es un valor esttico o estacionario efectivo,
similar al nivel DC de corriente.
Energa de Vibracin: Puede estimarse mediante el
valor medio cuadrado como:
() = lim
1
()
0
2() = lim
1
2()
0
Raz Media Cuadrada RMS: Es la raz cuadrada del
valor medio cuadrado. Las vibraciones son medidas
generalmente por medidores RMS.
= 2()
Medidor de
Vibraciones LT-
VB8213
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MOVIMIENTO ARMNICO
SIMPLE 2 2
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ECUACIN DEL MOVIMIENTO
Una partcula describe un Movimiento Armnico Simple (M.A.S.)
cuando se mueve a lo largo del eje x, estando, su posicin x dada en
funcin del tiempo t por la ecuacin:
= cos( + )
t
x
A Amplitud del movimiento
Velocidad angular
Constante de fase o ngulo de fase
(t + ) Fase del movimiento
La funcin x es peridica y se repite cuando t se
incrementa 2 radianes, es decir cuando la fase
aumenta 2 en un tiempo T, el valor de x es igual al
valor de x en el tiempo (t + T):
Desplazamiento vs tiempo para una
partcula que experimenta un M.A.S.
+ + 2 = + +
ALGUNOS CONCEPTOS
Periodo (T): es el tiempo que le lleva a la partcula completar un ciclo
de su movimiento.
=2
Frecuencia (f): representa el nmero de oscilaciones que efecta la
partcula por unidad de tiempo. Se defino como el inverso del periodo. Sus
unidades son ciclos/s o hertz (Hz). =
1
Frecuencia angular (): tiene unidades de radianes por segundo. =2
La velocidad de la partcula: =
= sin( + )
La aceleracin de la partcula es: =
2
2= 2 cos( + )
= 2 ING. CAROL AGUILAR
= =
2
c) Aceleracin vs tiempo La aceleracin est 180 fuera de fase
con el desplazamiento.
Los valores mximos de la velocidad y la aceleracin son:
Funciones seno y coseno oscilan entre 1
a) Desplazamiento vs tiempo
b) Velocidad vs tiempo La velocidad est 90 fuera de fase
con el desplazamiento
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Otros clculos
La constante de fase es importante cuando se compara el
movimiento de dos o ms partculas oscilantes.
Para t=0, = = 0 = cos(. 0 + ) = cos = cos
= = 0 = sin . 0 + = sin = sin
=sin
cos
= tan
tan 2 +
2
= ( cos)2+( sin)2
= 2 cos2 + 2 sin2
= 2(cos2 + sin2 )
= 2 +
2
1
tan =
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La aceleracin es
proporcional al
desplazamiento
pero en direccin
opuesta.
El desplazamiento,
la velocidad y la
aceleracin varan
senoidalmente con
el tiempo, pero no
estn en fase.
La frecuencia y
el periodo son
independientes
de la amplitud
LAS PROPIEDADES MS IMPORTANTES PARA UNA PARTCULA QUE EFECTA UN M.A.S. SON:
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1 2 3
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VIBRACIONES LIBRES DEPARTAMENTO DE FSICA
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MASA
ELASTICIDAD
VIBRACIN
Nuestro objetivo aqu es
encontrar la ecuacin
de movimiento del
sistema y su frecuencia
natural
Un amortiguamiento moderado tiene poca influencia
sobre la frecuencia natural y puede ignorarse, el sistema
es entonces conservativo y el principio de la
conservacin de la energa ofrece un mtodo para el
clculo de la frecuencia natural
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SISTEMA MASA-RESORTE POSICIN DE EQUILIBRIO
La superficie no presenta friccin
El desplazamiento es positivo y la
aceleracin es negativa
La aceleracin es cero pero la velocidad
es mxima.
El desplazamiento es negativo, la
aceleracin es positiva
ING. CAROL AGUILAR
Cuando una masa se desplaza una pequea distancia x a partir del
equilibrio, el resorte ejerce una fuerza sobre m dada por la ley de
Hooke:
Llamamos a esta fuerza restauradora lineal puesto que es linealmente proporcional
al desplazamiento y siempre est dirigida hacia la posicin de equilibrio, por lo que
es opuesta al desplazamiento.
=
Por segunda ley de newton:
la aceleracin es proporcional al
desplazamiento de la masa a partir del
equilibrio y est en la direccin opuesta.
=2
2=
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= = 2
2=
ECUACIN DEL MOVIMIENTO
= 2
=
= 2 cos( + )
= cos( + )
Por lo tanto: =
La ecuacin anterior la podemos escribir:
Lo cual indica que se trata
de un movimiento armnico.
sta es una ecuacin
diferencial homognea de
segundo orden.
=2
2=
2
2= 2
2
2+ 2 = 0 + 2 = 0
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ECUACIN DEL MOVIMIENTO
Esta es una ecuacin diferencial cuyas soluciones se conoce que son
funciones senos y cosenos.
= cos( + ) = sin( + )
En general la solucin puede escribirse de la forma:
= sin() + cos()
Adems hay dos condiciones iniciales obvias en la ecuacin, donde A y B
son dos constantes arbitrarias y se evalan a partir de estas condiciones
iniciales:
0 =
=0=
Si >0 y
CONCLUSIONES
A partir del anlisis anterior podemos decir que cada vez que una
fuerza que acta sobre una partcula es linealmente proporcional al
desplazamiento y est dirigida en direccin opuesta a ste, la
partcula efecta un M.A.S.
Por lo tanto la frecuencia y el perodo para un sistema masa-
resorte estn dados por
(16)
=2
= 2
=1
=
1
2
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ENERGIA DEL OSCILADOR ARMONICO SIMPLE
La superficie no tiene
friccin, se espera que la
energa total se conserve
= =1
22
La energa cintica:
=
= sin( + )
= cos( + )
M.A.S
Sustituyendo:
= =1
2 sin( + ) 2
= =1
222sin2( + ) sin
2 + = 1 cos2 +
= =1
222 1 cos2 +
= =1
22 2 2cos2 +
pero
= =1
22 2 x2
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=
0
0
=1
22
=1
22 cos2( + )
= cos( + )
M.A.S
= + =1
2 sin( + ) 2 +
1
22 cos2( + )
2 =
= + =
1
2
2sin2( + ) +
1
22 cos2( + )
= + =1
22 sin2( + ) + cos2( + )
1
Para calcular la Energa total
Energa Potencial:
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ENERGA TOTAL
= + =1
22 = La energa de un oscilador armnico
simple es una constante de movimiento
proporcional al cuadrado de la amplitud
Es un mnimo en el punto de equilibrio x= 0 y aumenta a medida que la
partcula se aproxima a los extremos de oscilacin x = A.
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En un ciclo completo de su movimiento, la masa recorre una distancia 4 A.
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Velocidad lineal a partir de E
Es posible usar la conservacin de la energa para obtener la
velocidad para un desplazamiento arbitrario x expresando la energa
total en algn punto arbitrario como:
2 =
= 2 = + =
1
22 +
1
22 Con
= + =1
22 +
1
222 =
1
22
Despejando v: = 2 2
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RESORTE VERTICAL+MASA
Una vez colocada la masa al resorte, se
alcanza la posicin de equilibrio esttico B,
donde:
Donde es la deflexin esttica del
resorte. Luego partiendo de esta posicin
de referencia se mueve la masa una
distancia x, donde: = =
= =
+ y =
+ ky =
+ =
Definiendo la frecuencia natural n como: 2 =
Se tiene: + 2 = 0
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+ = 0
K(+y)
y
La solucin tiene la forma:
= sin + cos
Los coeficientes A y B se determinan con
las condiciones iniciales x(0) y v(0), es
decir:
0 = () =
0 =
= 0
= 0
sin + 0 cos
La solucin ser
=
=2
= 2
Luego recordando que:
Se tiene que:
Entonces la frecuencia natural del
sistema viene dada como:
=1
=
1
2
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METODO DE LA ENERGA
En un sistema vibratorio se da el intercambio constante de
energa entre sus formas cintica y potencial. De acuerdo al
principio de conservacin de la energa se tiene :
= + =1
22 +
1
22
Derivando se obtiene la misma expresin que al aplicar la segunda ley de Newton:
+ = 0 + =
Para el oscilador armnico masa-resorte: 1
2 2 +
1
22 =
2 = 2
= 2
2 = 2
1
2 2 +
1
22 =
2 = 2
2 = 2
= 2
1
2(2 ) +
1
2 2 = 0
( ) + = 0 + = 0
+
= 0 + 2 = 0
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EL PENDULO- Pndulo simple
En los detectores de petrleo y minerales se
emplean pndulos muy sensibles para
apreciar ligeras diferencias en esta
aceleracin, la cual se ve afectada por las
densidades de las formaciones subyacentes.
movimiento peridico
oscilatorio
Responsable que la masa sujeta en el extremo de la
cuerda describa este arco, fuerza de restitucin.
= 2
2= Por la segunda ley de Newton:
Pero: =
La ecuacin se convierte:
sin = sin = ()2
2
= sin = = 2
2
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Por lo tanto
+
sin = 0
+
sin = 0 ECUACIN DEL MOVIMIENTO
.
Para ngulos pequeos: sin
+
= 0
()2
2+
= 0
Esta expresin me dice que el movimiento de un pndulo es armnico simple, cuando
el ngulo que barre es pequeo.
= cos( + )
=
= sin( + )
=2
2= 2 cos( + )
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frecuencia angular y el periodo
=
=2
=2
= 2
=1
=
1
2
Vemos que el perodo y la frecuencia angular slo dependen de la longitud de la
cuerda y la aceleracin gravitacional, son independientes de la masa.
Podemos concluir que todos los pndulos
simples de igual longitud en un mismo
lugar oscilan con el mismo perodo.
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Solucin del pndulo simple por el mtodo de la energa
Su energa asociada en cualquier posicin y
est dada por y, de ah que su energa
potencial est determinada:
= cos = (1 cos)
cos
= = (1 cos )
cos = 1 2
2!+4
4!+ = 1 + 1
2
(2)!
=1
cos = 1 2
2
Usando las aproximaciones
para
ENERGIA TOTAL
+ = 0
= + =
=1
22 2 +
1
2 2 =
1
22 2 + = 0
2 + = 0
Energa total:
Derivando:
2 + = 0
2
2 +
2 = 0
+
= 0
ECUACIN DEL MOVIMIENTO
DEL PNDULO SIMPLE
M.A.S
=
=2
=1
=
1
2
=2
= 2
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PARA RECORDAR
La tendencia de una fuerza a hacer girar un cuerpo alrededor de algn
eje se mide por una cantidad conocida como momento de la fuerza ()
= sin = Fd
BRAZO DE LA
PALANCA
Todo cuerpo rgido posee una propiedad conocida como momento de inercia, I que
se define como:
= 2
=
El momento de inercia y el momento de una fuerza estn relacionados de la
siguiente manera: =
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PNDULO FSICO
Se considera un pndulo fsico, o compuesto cualquier
cuerpo rgido suspendido de un eje fijo que no pasa por
su centro de masa.
La fuerza debida a la gravedad produce un momento,
respecto de O, cuya magnitud es:
sin = 2
2
= sin
La segunda ley de Newton: sin =
sin = o
Momento de fuerza de restitucin: el signo menos indica que el momento de una
fuerza respecto de O tiende a disminuir .
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SOLUCIN DE LA EC. MOV.
2
2+ sin = 0
sin
2
2+
= 0
ECUACIN DEL MOVIMIENTO
DEL PNDULO FSICO
= cos( + )
=
= sin( + )
=2
2= 2 cos( + )
=
=2
=2
= 2
=1
=
1
2
FRECUENCIA ANGULAR
PERIODO
FRECUENCIA
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PENDULO DE TORSIN
Es un cuerpo rgido suspendido de un alambre que est
sujeto en la parte superior a un soporte fijo.
Cuando gira un ngulo pequeo , el alambre torcido ejerce
un momento de fuerza de restitucin sobre el cuerpo.
=
Donde se conoce como constante de torsin del alambre.
=
= 2
2
=
+ = 0
La segunda ley de Newton:
+
= 0 ECUACIN DEL MOVIMIENTO
DEL PNDULO FSICO
2
2+
= 0
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PERIODO, VELOCIDAD ANGULAR Y FRECUENCIA
=
=2
=2
= 2
=1
=
1
2
2
2+
= 0
VELOCIDAD ANGULAR
PERIODO
FRECUENCIA
Caractersticas del movimiento:
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MTODO DE LA ENERGA
= =1
22 =
1
2 2
Energa cintica de rotacin del disco:
=1
22
Energa potencial almacenada por la varilla:
= + = Por el mtodo de la energa:
=1
2 2 +
1
22 =
Derivando:
1
2 2 +
1
22 = 0
1
2(2 ) +
1
2(2 ) = 0
( ) + ( ) = 0 + = 0
+ = 0 +
= 0
=
=2
=
2
= 2
=
1
=
1
2
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OTROS TIPOS DE VIBRACIONES LIBRES
Objetos flotantes
= = = ()
=
Fuerza restauradora igual al aumento o
disminucin del peso del lquido desplazado.
rea de su seccin
recta constante
la masa
= = 2
2=
Segunda ley de Newton: =
+ = 0
Ecuacin de movimiento: +
= 0
=
=2
=
2
= 2
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Ejemplo
=
=
=
+ = 0
+
= 0
=
= 2
=
1
2
+
= 0
m
y
Ecuacin de movimiento:
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Agua en un tubo en U
Liquido oscilante en un tubo en U
El aumento de energa potencial
gravitatoria corresponde a tomar una
columna de lquido de longitud y, del tubo
de la izquierda, elevndolo a la altura y y
colocndola en la parte superior de la
columna de la derecha
=1
22 =
1
2 ()
2 Energa cintica:
Energa Potencial:
=
= = = () = 2
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METODO DE LA ENERGA
=1
2 ()
2 + 2
1
2 ()
2 + 2 = 0
1
2 () 2 + 2 = 0
() + 2 = 0
() + 2 = 0
() + 2 = 0
+ 2
() = 0
+2
= 0
=2
=
= 2
2
=1
2
2
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MODULO DE ELASTICIDAD O MODULO DE YOUNG
El efecto de la carga es de
producir una torsin del
alambre alrededor de su
propio eje, el descenso del
peso es fundamentalmente
consecuencia de esta torsin.
Efecto ocasionado por las espiras del resorte,
stas se apretarn o aflojarn ligeramente, de
modo que el resorte en su totalidad sufre una
torsin alrededor del eje vertical. En este
proceso interviene una flexin de las espiras, es
decir, una variacin de su curvatura.
El resultado final se puede
expresar como una
proporcionalidad (con
constante k del resorte) entre
la carga aplicada y la distancia
que recorre la carga.
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El alargamiento simple de una varilla
El alargamiento L bajo la accin de una fuerza
dada es proporcional a la longitud inicial Li
= =
Tensin =
Si la deformacin es
Mdulo de Young para algunos materiales
Material Mdulo de Young (N/m2)
Aluminio 6 x 1010
Cobre 12 x 1010
Latn 9 x 1010
Vidrio 6 x 1010
Si se cuelga un cuerpo de masa m del extremo de un alambre:
=
=
Segunda ley de Newton: +
= 0
+
= 0
=
= 2
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EL MUELLE DE AIRE
Vibraciones de las columnas de aire y la produccin de sonidos musicales.
La columna de aire encerrada acta como
un muelle muy fuerte, muy resistente
frente a una compresin o traccin
repentina.
Si el pistn se mueve una longitud y,
alargndose la columna de aire, la presin
interna desciende y como resultado se
obtiene una fuerza restauradora sobre m.
A
Fp
siendo p la variacin de presin
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ley de Boyle: pV= constante
pV+ V p=0 Derivando:
Ahora bien V= A y
V = A l
De modo que se tendr
l
ypp
y por consiguiente yl
pAF
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COMPARACIN DEL MAS CON EL MOVIMIENTO
CIRCULAR DEPARTAMENTO DE FSICA
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Aparato para crear el circulo
El movimiento circular uniforme se puede considerar como la combinacin
de dos movimientos armnicos simples, uno a lo largo del eje x y otro a lo
largo del eje y, en donde los dos difieren en la fase un ngulo de 90 .
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RELACIN DEL MAS CON EL MOVIMIENTO CIRCULAR
Company Name
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COMPARACION DEL M.A.S. CON EL M.C.U.
Company Name
velocidad angular constante
Los puntos P y Q tienen la misma coordenada x. A partir del tringulo OPQ se
ve que la coordenada x de P y Q es:
= cos( + )
De igual forma, podemos ver que la proyeccin de P a lo largo del eje y
tambin muestra un comportamiento armnico simple.
= sen( + )
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Donde es el ngulo que hace OP con el eje
x en t=0.
Velocidad y aceleracin en x
=
= sin( + )
=2
2= 2 cos( + )
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Se concluye que el movimiento armnico simple a lo
largo de una lnea recta se puede representar por la
proyeccin de un movimiento circular uniforme sobre su
dimetro.
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El empleo del movimiento circular uniforme como
fundamento puramente geomtrico para describir el MAS
permite definirlo sobre cualquier recta contenida en ek
plano del circulo
CONCLUSIN
Company Name
Los vectores rotatorios permiten establecer y mantener la diferencia
existentes entre los componentes fsicamente reales y no reales del
movimiento, estos vectores pueden representarse con coordenadas
polares.
r
x
y y= sen x= cos
= +
se puede definir el vector mediante un complejo: = + = +
El desplazamiento en x, sin ningn factor que lo califique, ha de realizarse en
direccin paralela al eje x.
El trmino jy, se debe leer como una instruccin para hacer que el
desplazamiento en y sea paralelo al eje y.
REPRESENTACION VECTORIAL DEL M.A.S
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instruccin para realizar una rotacin de 90
en sentido contrario a las agujas del reloj
= +
Distancia b sobre el eje x
Dos rotacin de 90
= + = + 2
= + (1)
j2 = -1
Complejo si a y b son nmeros reales
Pero en trminos geomtricos es
el desplazamiento sobre cierto eje
que forma un ngulo con el eje
x. tan =
La parte de inters para el estudio del movimiento armnico simple es
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INTRODUCCIN AL EXPONENTE COMPLEJO
El objetivo es la obtencin de una funcin exponencial compleja
La introduccin de dicha funcin recompensa ampliamente nuestros
esfuerzos por la facilidad que supone en el manejo de los problemas de
oscilaciones.
...!! 53
sen
...!! 42
1
osc
...!4!3!2
1432
e
Desarrollos en serie de las funciones:
Teniendo en cuenta el Teorema de Taylor: ...)(
!)()()( 0
200
2
fx
fxfxf
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...0cos-!3
0sen
!2
0cos0sensen
32
...!!
)( 032
0 ensosc-senoscosc
...e
!3
je
!2
jejee 0
3
0
2
00j
Por tanto
Formemos la siguiente combinacin : ...!!!
4321 jjsenjosc
-1 = j2,
...!
...!3!2
1
n
jjjjsenjosc
n
jesenjosc
Conexin clara entre la
geometra plana (representada
por las funciones
trigonomtricas) y el lgebra
(representada por la funcin
exponencial).
UNIVERSIDAD DEL CAUCA
Carcter geomtrico de la relacin de Euler
Cualquier nmero complejo z por ej
puede describirse, en trminos
geomtricos, como una rotacin positiva
de valor del vector representado por z,
sin ninguna alteracin en su longitud.
Real cos
sen
Imaginario
ING. CAROL AGUILAR
UNIVERSIDAD DEL CAUCA
Empleo del exponente complejo
La propiedad especial de la funcin
exponencial es volver a aparecer despus
de cada operacin de derivacin o
integracin
El empleo de cada funcin
trigonomtrica para describir
el movimiento conduce a una
complicada mezcla de
trminos seno y coseno. =
2
2= 2 cos( + )
= cos( + )
=
= sin( + )
= cos( + ) = sin( + )
= cos( + ) + sin( + )
= (+)
= (+) =
2
2= 2(+) = 2
ING. CAROL AGUILAR
UNIVERSIDAD DEL CAUCA
Desplazamiento, velocidad y aceleracin
Vector desplazamiento
z y su proyeccin real x
Vector velocidad y
su proyeccin real
Vector aceleracin y su
proyeccin real
ING. CAROL AGUILAR
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P
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Tabla . Rgidez de algunos sistemas elsticos
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Momento de Inercia
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CAROL JULIETH AGUILAR