Dos eventos son disjuntos o mutuamente excluyentes
si no tienen resultados en común.
Eventos mutuamente excluyentes son eventos que no pueden ocurrir a la misma vez.
5-2
Ejemplo:
Eventos mutuamente excluyentes
Se realiza un experimento en el cual el espacio
muestral es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.
Sea E = {2, 4, 5, 7}, F = {3, 6, 7, 9, 12} y G = {2, 3, 4}
¿Son los eventos E y F mutuamente excluyentes?
Solucion:
1. Se dos dados.
A = “que la suma de las caras sea par.”
B = “que la suma de las caras sea un número
divisible entre 3”
2. Se tiene una paquete de barajas americanas
( 52 cartas sin jockers).
A = “sacar una Reina”
B = “sacar una A”
3. Se tiene una paquete de dulces de chocolate
M&M que contiene dulces de color rojo, azul,
amarillo, verde, anaranjado y marrón.
A = “sacar un dulce rojo”
B = “sacar un dulce azul”
5-3
Ejemplo: Indicar si los siguientes eventos son
mutuamente excluyentes o no.
Los Diagramas de Venn son utilizados para representar eventos como circulos encerrados en un rectángulo. El rectángulo representa el espacio muestral y cada círculo representa un evento.
5-4
Los Diagramas de Venn
Se selecciona aleatoriamente chapas que están enumeradas del 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. E = “elegir un número menor o igual a 2” F = “elegir un número mayor o igual a 8”. Determinar la probabilidad de cada evento.
Ejemplo:
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Regla de suma para eventos mutuamente excluyentes
Si E y F son eventos mutuamente excluyentes, entonces 𝑃 𝐸 𝑜´ 𝐹 = 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹).
Esto también se puede escribir: 𝑃 𝐸 ∪ 𝐹 = 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹)
La regla de suma para eventos disyuntos se puede extender para más de dos eventos. En general, si E,F,G … son eventos mutuamente excluyentes, entonces
𝑃 𝐸 ó 𝐹 ó 𝐺 ó … = 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹) +𝑃 𝐺 + ⋯ 𝑃 𝐸 ∪ 𝐹 ∪ 𝐺 ∪ … = 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹) +𝑃 𝐺 + ⋯
Número de
habitaciones en
una unidad de
vivienda
Probabilidad
Una 0.010
Dos 0.032
Tres 0.093
Cuartro 0.176
Cinco 0.219
Seis 0.189
Siete 0.122
Ocho 0.079
9 or más 0.080
(a) ¿Cuál es la probabilidad de
que una unidad de vivienda
seleccionada al azar tendrá dos o tres habitaciones?
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EJEMPLO Regla de suma para eventos disyuntos
El modelo de probabilidad de
la derecha muestra la
distribución del número de
habitaciones de las unidades
de vivienda en los Estados Unidos.
(b) ¿Cuál es la
probabilidad de que una
unidad de vivienda
seleccionada al azar
tendrá uno ó dos ó tres habitaciones?
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EJEMPLO Regla de suma para eventos disyuntos (cont.)
Número de
habitaciones en
una unidad de
vivienda
Probabilidad
Una 0.010
Dos 0.032
Tres 0.093
Cuartro 0.176
Cinco 0.219
Seis 0.189
Siete 0.122
Ocho 0.079
9 or más 0.080
Dos eventos E y F son independientes si la
ocurrencia del evento E en un experimento de
probabilidad no afecta a la probabilidad de que
ocurra el evento F.
Dos sucesos son dependientes si la ocurrencia
del evento E en un experimento de probabilidad afecta a la probabilidad de que ocurra el evento F.
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Eventos dependientes e independientes
EJEMPLO ¿Independiente o No?
(a) Se elige una carta de una baraja de 52 cartas y luego se tira un dado.
E: “Elegir un corazón" F: “Tirar un número par"
(b) Se eligen al azar dos individuos de 40 años de edad que viven en Puerto Rico.
E: “El individuo 1 sobrevive al año" F: "El individuo 2 sobrevive al año"
(c) Una caja contiene 4 canicas rojas y 3 canicas verdes. Se remueve una primera canica de la caja y no se reemplaza. Se saca una segunda canica.
E: “Elegir una canica roja la primer vez." F: “Elegir una canica verde la segunda vez."
5-9
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Regla de multiplicación para eventos independientes
Si E y F son eventos independientes, entonces 𝑃 𝐸 𝑦 𝐹 = 𝑃 𝐸 ∙ 𝑃(𝐹).
Esto también se puede escribir: 𝑃 𝐸 ∩ 𝐹 = 𝑃 𝐸 ∙ 𝑃(𝐹)
La regla de suma para eventos disyuntos se puede extender para n eventos. En general, si E,F,G … son eventos independientes, entonces
𝑃 𝐸 𝑦 𝐹 𝑦 𝐺 𝑦 … = 𝑃 𝐸 ∙ 𝑃(𝐹) ∙ 𝑃 𝐺 ∙ … 𝑃 𝐸 ∩ 𝐹 ∩ 𝐺 ∩ … = 𝑃 𝐸 ∙ 𝑃(𝐹) ∙ 𝑃 𝐺 ∙ …
La probabilidad de que una hembra seleccionada al azar de 60 años de edad sobreviva el año es de 99.186%, según el Informe Nacional de Estadísticas Vitales, vol. 47, N º 28. ¿Cuál es la probabilidad de que dos mujeres de 60 años de edad seleccionadas al azar sobrevivan el año?
EJEMPLO Computar Probabilidad para Eventos Independientes
Solución:
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Un fabricante de equipo de ejercicio sabe que el 10%
de sus productos son defectuosos. También sabe que,
en realidad, sólo el 30% de sus clientes utilizan el
equipo en el primer año después de su adquisición. Si
hay una garantía de un año sobre el equipo, ¿qué
proporción de los clientes harán un reclamación válida?
EJEMPLO Computar Probabilidad para Eventos Independientes
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La probabilidad de que una mujer de 60 años de edad
seleccionada al azar va a sobrevivir el año es de 99.186%,
según el Informe Nacional de Estadísticas Vitales, vol. 47,
N º 28. ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro mujeres de
60 años de edad seleccionadas al azar sobrevivan al año?
EJEMPLO Regla de Multiplicación para eventos independientes
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Regla general de suma
La probabilidad de que ocurra un evento E ó un evento F
𝑃 𝐸 𝑜 𝐹 = 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹) – P( E y F)
Esto también se puede escribir:
𝑃 𝐸 ∪ 𝐹 = 𝑃 𝐸 ∪ 𝑃(𝐹) ∩ P( E y F)
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Suponer que se lanzan un par de dados. Sea E = “la cara superior del primer dado muestra 2 puntos” y F = “ la suma de las caras de los dados es menor o igual a 5” Determinar P(E ó F) 1. Utiizando la el método clásico de calcular probabilidad
EJEMPLO Illustrar la regla general de la suma
5-16
Suponer que se lanzan un par de dados. Sea E = “la cara superior del primer dado muestra 2 puntos” y F = “ la suma de las caras de los dados es menor o igual a 5” Determinar P(E ó F) 1. Utiizando la definición de probabilidad 2. Utilizando la regla general de la suma de probabilidades
EJEMPLO Illustrar la regla general de la suma (cont.)
Complemento de un evento Sea S el espacio muestral de un experimento probabilístico. Sea E un evento. • El complemento de E, que se denota 𝐸𝑐o 𝐸 , es el
evento que contiene todos los elementos que no están en E.
• El evento 𝐸 ocurre si E no ocurre. • La unión de dos eventos complementarios da el
espacio muestral. • La intersección de dos eventos complementarios es
vacía o sea, no contiene elementos.
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Complemento de un evento
Regla de los Complementos
Si E representa un evento y EC representa el complemento de E, entonces
P(EC) = 1 – P(E)
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EJEMPLO Construir el complemento
(a) E: “Obtener un múltiplo de 3 al tirar un dado "
(b) E: “Escoger una canica azul de una bolsa que contiene canicas azules, verdes y rojos."
(c) E: “Al girar la ruleta, se detiene en un número par.”
5-19
Según la Asociación Americana de Medicina Veterinaria, el
31.6% de los hogares estadounidenses poseen un perro.
¿Cuál es la probabilidad de que un hogar seleccionado al azar no es propietaria de un perro?
EJEMPLO Ilustrar la Regla del Complemento
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Los datos a la derecha representan el
tiempo de viaje al trabajo para los
residentes del Condado de Hartford, CT.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que un
residente seleccionado al azar tiene un
tiempo de viaje de 90 minutos o más?
EJEMPLO Computar probabilidades usando complementos
Source: United States Census Bureau
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(b) ¿Cuál es la probabilidad de que un
residente seleccionado al azar tiene un
tiempo de viaje de menos de 90 minutos?
La probabilidad de que una mujer de 60 años de edad, seleccionada
al azar, va a sobrevivir el año es de 99.186%, según el Informe
Nacional de Estadísticas Vitales, vol. 47, N º 28.
¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de las 500 mujeres de 60 años, seleccionadas al azar, morirán en el transcurso del año?
Solución:
EJEMPLO Computar probabilidades que contienen la frase “al menos”
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La probabilidad condicional : • se denota P(F | E) y se lee “la probabilidad
de un evento F dado el evento E”. • Es la probabilidad de que un event F ocurra
dado que el evento E haya ocurrido.
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Probabilidad condicional
EJEMPLO Probabilidad Condicional
Supongamos que se tira un dado de seis caras pero
se nos dice que el resultado será un número par. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un 4?
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• Si E y F son dos eventos
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Regla para calcular probabilidad condicional
𝑃 𝐹 𝐸 =𝑁(𝐸𝑦𝐹)
𝑁(𝐸)=
𝑃(𝐸𝑦𝐹)
𝑃(𝐸)
EJEMPLO Probabilidad Condicional
Una encuesta fue realizada por la Organización Gallup en el 2008 en la que se
preguntó a 1,017 adultos estadounidenses, cuál de tres afirmaciones se
acercaba más a su creencia acerca de Dios. Los resultados de la encuesta,
según la región del país, se dan en la siguiente tabla.
Cree en Dios Cree en un espíritu universal
No creo en Dios ni en un espíritu universal
Este 204 36 15
MedioOeste 212 29 13
Sur 219 26 9
Oeste 152 76 26
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto estadounidense que vive en el
Este y que es seleccionado aleatoriamente, cree en Dios?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto estadounidense que cree en
Dios y que es seleccionado aleatoriamente viva en el Este?
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