Capıtulo 11
Lei da Inducao
Com as experiencias de Oersted, viu-se que correntes eletricas geram campos
magneticos. Ficou entao a seguinte duvida: Pode o campo magnetico gerar
corrente? Michael Faraday (1791-1867), um dos maiores fısicos experimen-
tais, interessou-se em descobrir e estudar essa relacao.
Em 1831, Faraday montou dois solenoides, com 70 metros de fio de co-
bre em cada. Os dois foram concatenados, mas um foi ligado a um gerador,
enquanto o outro foi conectado a um galvanometro, como mostrado na Fi-
gura 11.1 .
Figura 11.1: Solenoides concatenados
195
196 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
Notou-se quando uma corrente contınua passava pelo solenoide 1, o gal-
vanometro nao acusava passagem de corrente. No entanto, sempre que a
chave era ligada ou desligada, surgia uma corrente no circuito 2. Isso le-
vou Faraday a supor que a forca eletromotriz no circuito 2 resultava de uma
variacao do campo magnetico no interior dos solenoides. Continuando seus
experimentos, ele construiu o circuito apresentado na Figura 11.2 .
Figura 11.2: Experimento de Faraday
Quando um ıma era aproximado ou afastado do solenoide, observava-se
uma deflexao do galvanometro. Se o ıma permanecesse imovel em relacao ao
circuito, a deflexao era nula. Ainda nesse experimento, Faraday notou que a
area dos solenoides tambem influenciava na forca eletromotriz induzida.
Suas descobertas podem ser sintetizadas em termos matematicos da se-
guinte maneira:
�ind ∝dB
dt
�ind ∝ A
Para melhor compreender esse fenomeno, precisamos definir o que e fluxo
magnetico.
11.1 O Fluxo Magnetico
Vimos que a forca eletromotriz depende tanto da variacao do campo magnetico
quanto da area dos solenoides. A grandeza que relaciona o vetor �B e a area
11.2. A LEI DE LENZ 197
S permeada por esse campo e denominada de fluxo magnetico , e e definida
como:
φB = �B · �S = BS cos θ (11.1)
Ate agora, tendo em vista as constatacoes de Faraday, podemos dizer que:
|�ind| =dφB
dt(11.2)
Substituındo 11.1 em 11.2 :
|�ind| =dB
dtA cos θ +B
dA
dt− BA sen θ
dθ
dt(11.3)
Percebe-se entao que e possıvel induzir corrente em uma espira imersa em
um campo magnetico por meio dos seguintes metodos:
• variando a intensidade do campo.
• variando a area como tempo
• variando o angulo entre os vetores �A e �B com o tempo
Ainda podemos analisar o fenomeno da inducao levando em conta a cor-
rente induzida. Sabe-se que �ind = RIind, logo:
Iind =1
R
����dφB
dt
����
11.2 A Lei de Lenz
Vimos que a variacao do fluxo magnetico gera corrente eletrica em conduto-
res. Mas o que determina o sentido da corrente induzida? Isso e explicado
pela Lei de Lenz:
A corrente induzida produz um campo magnetico que tende
se opor a variacao do fluxo magnetico que a gerou
198 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
Considere o exemplo da Figura 11.3. Se o ıma aproxima-se da espira, o
fluxo magnetico no interior desta aumentara, entao deve surgir uma corrente
no sentido anti-horario para reduzir o fluxo. Caso o ıma afaste-se da espira, o
fluxo no interior desta diminuira, logo, pela Lei de Lenz, surge uma corrente
no sentido horario.
Figura 11.3: Deflexao do galvanometro
Se aplicarmos a Lei de Lenz na 11.2 , teremos a Lei de Faraday:
�ind = −dφB
dt(11.4)
O sinal negativo representa a resistencia que o circuito apresenta a va-
riacao do fluxo magnetico
E interessante notar que se fizermos a integral de linha do campo eletrico
na espira, teremos:
�
Γ
�E · d�l = �ind (11.5)
Ora, vimos na eletrostatica que essa integral de linha deveria ser nula
sempre! Qual sera a inconsistencia?
Na verdade, nao ha inconsistencia. Ocorre que o campo eletrico estudado
na eletrostatica tem natureza diferente do campo eletrico induzido.
O campo eletrico oriundo de cargas eletricas sempre e conservativo, por
isso a integral de linha em um circuito fachado e nula. Mas, devido a equacao
11.5, nota-se que o campo eletrico induzido pela variacao de fluxo magnetico
11.2. A LEI DE LENZ 199
nao e conservativo. Por isso, e importante distinguir os dois tipos campos
eletricos.
Seguem alguns exemplos da aplicacao da Lei de Lenz:
Exercıcio 11.1. Suponha uma barra condutora, deslizando sem atrito sobre
um trilho condutor, em meio a um campo magnetico perpendicular ao plano
dos trilhos, conforme mostrado na Figura 11.4 . Calcule: a forca eletromotriz
induzida, a corrente induzida a forca magnetica e a velocidade da barra em
funcao do tempo.
Figura 11.4: Trilho magnetico
• Forca eletromotriz
Temos que o fluxo magnetico na barra e dado por:
φB = BA = Blx
portanto a forca eletromotriz e:
|�ind| =dφB
dt= Bl
dx
dt= Blv
• Corrente induzida:
Iind =�ind
R=
Blv
R
• Forca magnetica:
Temos que a forca em fios e dada por:
200 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
�F = I�l × �B = IindBl =B2l2v
R− i (11.6)
• Velocidade do fio:
Aplicando a segunda lei de Newton ao reultado da equacao 11.6 :
mdv
dt=
B2l2v
R
Resolvendo essa equacao diferencial separavel:
� v(t)
v0
dv
v= −
� t
0
B2l2
Rmdt→ ln
�v(t)
v0
�
= −B2l2
Rmt
v(t) = v0e−
B2l2t/Rm
Vemos entao que a forca tende a frear a barra.
Exercıcio 11.2. Considere um campo magnetico uniforme que aponta pra
dentro da folha e esta confinado numa regiao circular de raio R. Suponha que
a magnitude de �B aumenta com o tempo. Calcule o campo eletrico induzido
em todo o espaco:
Figura 11.5: Campo magnetico
Vimos que o campo eletrico induzido pode ser calculado por:
�
Γ
�Eind · d�l = �ind = −dφB
dt
11.2. A LEI DE LENZ 201
Entao precisaremos descrever curvas fechadas para calcular o campo eletrico
induzido. Pela simetria do problema, fazermos circunferencias de raio r.
• Para r < R :
Figura 11.6: Curva para calculo do campo induzido
Como a circunferencia aborda apenas uma porcao do campo, a variacao
fluxo no seu interior sera:
φB = Bπr2 →dφB
dt=
dB
dtπr2
Logo:
�
Γ
�Eind · d�l =dB
dtπr2
Eind2πr =dB
dtπr2 → Eind =
dB
dt
r
2
• Para r > R :
Como a circunferencia aborda todo o campo, a variacao fluxo no seu
interior sera:
φB = BπR2 →dφB
dt=
dB
dtπR2
Logo:
202 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
Figura 11.7: Curva para calculo do campo induzido
�
Γ
�Eind · d�l =dB
dtπR2
Eind2πr =dB
dtπR2 → Eind =
dB
dt
R2
2r
Sintetizando os resultados na forma de um grafico;
Figura 11.8: Campo induzido vs distancia
11.3 Geradores
As experiencias de Faraday lancaram os princıpios de funcionamento de mo-
tores eletricos e geradores de eletricidade.
Considere uma espira imersa em um campo magnetico �B rotacionando
com uma velocidade angular constante ω =θ
t. Substiuındo θ na equacao
11.3 , temos que:
11.4. EFEITOS MECANICOS 203
|�ind| = ωBA senωt
Em termos de corrente induzida:
Iind =ωBA
Rsenωt
Calculando a potencia gerada para N espiras:
P = I|εind| =(NBAω sin(ωt))2
R
Observa-se que a bobina gerara corrente alternada. Para evitar isso,
empregam-se comutadores no circuito.
Isso que foi visto e o princıpio de funcionamento de varios tipos de usinas
de geracao de energia, como as hidreletricas, termoeletricas, eolicas e nucle-
ares. Todas elas envolvem a transferencia de energia mecanica de um fluido
(agua, vento) para a bobina, fazendo-a girar.
11.4 Efeitos Mecanicos
A inducao magnetica, quando aliada a outros fenomenos fısicos, pode resultar
em efeitos interessantes. Vejamos alguns exemplos
11.4.1 As correntes de Foucault
Considere uma chapa metalica e um pente metalico, inicialmente em movi-
mento uniforme, entrando em cum campo magnetico, conforme esquemati-
zado na Figura 11.9 .
Experimentalmente, observa-se que o chapa metalica sobre uma reducao
de velocidade mais acentuada que o pente. Por que?
Isso ocorre pois, durante a imersao no campo magnetico, a variacao do
fluxo magnetico no interior da chapa e maior do que no pente. Logo a corrente
204 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
Figura 11.9: Objetos aproximando-se de um campo magnetico
induzida, a corrente de Foucault nesse caso, na chapa e superior. Mas a acao
do campo magnetico sobre a corrente induzida gera uma forca que tende a
frear o objeto, portanto a chapa sofre uma maior reducao de velocidade.
Figura 11.10: Correntes de Foucault
Pode-se dizer tambem que as correntes de Foucault resultam em uma
maior dissipacao por efeito Joule, aquecendo o material que imerge em um
campo magnetico.
11.4.2 Atrito Magnetico
Se uma espira condutora e solta em queda livre sobre um ima permanente, a
corrente induzida criara um dipolo magnetico que tende a ser repelido pelo
ima, produzindo uma forca de freamento da espira analoga a uma forca de
atrito viscoso (ver Figura 11.11) .
11.5. INDUTANCIA MUTUA 205
Figura 11.11: Comportamento da espira em queda
11.4.3 Canhao Magnetico
Considere um solenoide enrolado em um eixo isolante e, acoplado nesse
mesmo eixo, uma espira. Quando uma corrente passar pela espira, o fluxo
do campo magnetico no interior da espira sera alterado. A corrente induzida
fara com que a espira seja lancada no sentido oposto ao do solenoide.
Figura 11.12: Canhao Magnetico
11.5 Indutancia Mutua
Induntancia mutua refere-se ao surgimento de uma corrente induzida em um
circuito em funcao da passagem de corrente eletrica em um outro circuito.
Considere duas espiras em repouso. Se aplicarmos uma corrente I1 na
espira 1, ocorrera uma variacao do fluxo de campo magneticodφ21
dtna espira
2, surgindo entao uma forca eletromotriz induzida �2 dada por:
206 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
Figura 11.13: Exemplo de indutancia mutua
�2 = −dφ21
dt
Mas a variacao do fluxo do campo magnetico depende de uma variacao
de corrente na espira 1:
dφ21
dt∝
dI1dt
Entao podemos substituir essa proporcionalidade por uma igualdade por
meio da definicao da constante de inducao mutua M211:
dφ21
dt= M21
dI1dt
(11.7)
M21 =dφ21
dI1(11.8)
Experimentalmente, observa-se que a constante de inducao mutua de-
pende apenas da geometria das espiras e tambem da distancia entre elas.
Neumann deduziu uma formula que permite determinar essa constante.
Temos que o fluxo do campo magnetico pode ser calculado por:
1[M21] = H(henry) =Tm2
A
11.5. INDUTANCIA MUTUA 207
φ21 =
�
S2
��B · d�S2 =
�
S2
� ��∇× �A1
�· d�S2
Aplicando o Teorema de Stokes:
φ21 =
�
S2
� ��∇× �A1
�· d�S2 =
�
Γ2
�A1 · d�l2
Pela equacao 10.45 :
φ21 =µ0
4πI1
� �d�l1 · d�l2
r
φ21
dt=
µ0
4π
� �d�l1 · d�l2
r
dI1dt
(11.9)
Comparando as equacoes 11.9 e 11.7 encontramos a Formula de Neumann:
M21 =µ0
4π
� �d�l1 · d�l2
r(11.10)
Como podemos comutar os fatores da formula, conclui-se que:
M12 = M21 = M
Isso indica que, independentemente das formas e posicoes das espiras, o
fluxo atraves de 2 quando uma corrente I passa em 1 e identico ao fluxo
atraves de 1 quando a passamos a corrente I ao redor de 2.
No entanto, ainda e mais interessante calcular M por meio da equacao
11.8 do que pela Formula de Neumann, como veremos nos exemplos a seguir.
Exercıcio 11.3. Calcule a indutancia mutua entre duas espirar coplanares
e concentricas de raios R1 e R2, com R1 >> R2.
Para calcular a indutancia mutua, precisamos calcular uma relacao entre
a variacao de corrente em uma espira e a variacao do fluxo magnetico na
208 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
Figura 11.14: Espiras coplanares e concentricas
outra espira.
Sabemos que a campo magnetico no centro de uma espira circular e B =µ0I
2R1
. Como R1 >> R2, pode-se considerar que o campo no interior da espira
2 e constante, logo o fluxo no seu interior sera:
φ21 = BA =µ0I
2R1
πR22
Entao temos que:
dφ21
dI=
µ0
2R1
πR22
Logo a indutancia mutua e:
M =µ0
2R1
πR22
Exercıcio 11.4. Calcule a indutancia mutua entre dois solenoides concentricos
de desnsidades de espiras n1 e n2.
Para calcular a indutancia mutua, precisamos calcular uma relacao entre
a variacao de corrente em um solenoide e a variacao do fluxo magnetico no
outro.
Sabemos que a campo magnetico no interior do solenoide 1 e B = µ0In1.
Como o campo no interior do solenoide 2 e constante, o fluxo no seu interior
sera:
11.5. INDUTANCIA MUTUA 209
Figura 11.15: Solenoides concentricos
φ21 = BAn2l = µ0In1n2lπR22
Entao temos que:
dφ21
dI= µ0n1n2lπR
22
Logo a indutancia mutua e:
M = µ0n1n2lπR22
Exercıcio 11.5. Calcule a indutancia mutua entre dois toroides concatena-
dos com N1 e N2 enrolamentos.
Figura 11.16: Toroides concatenados
Para calcular a indutancia mutua, precisamos calcular uma relacao entre
a variacao de corrente em um toroide e a variacao do fluxo magnetico no
outro.
210 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
Sabemos que a campo magnetico no interior do toroide 1 e B =µ0N1I
2πr.
Considerando que o campo no interior do toroide apresenta simetria cilındrica,
o fluxo no seu interior deve ser calculado por meio a seguinte integral:
Figura 11.17: Elemento de area na secao do toroide
φ21 = N2
��B1 · d�s2 = N2
b�
a
µ0N1I12πr
hdr
φ21 =µ0N1N2I1
2πh ln(
b
a)I
Entao temos que:
dφ21
dI=
µ0N1N2
2πh ln(
b
a)
Logo a indutancia mutua e:
M =µ0N1N2
2πh ln(
b
a)
11.6 Auto-Indutancia
Considere novamente uma espira de N voltas pela qual passa uma corrente
I. Se ocorre alguma alteracao na corrente, o fluxo atraves da espira varia
11.6. AUTO-INDUTANCIA 211
com o tempo, entao, de acordo com a lei de Faraday, uma forca eletromotriz
induzida surgira para gerar um campo no sentido oposto a variacao do fluxo
de �B inicial. Entao podemos dizer que o proprio campo opoe-se a qualquer
mudanca da corrente, e assim temos o fenomeno da auto-indutancia.
Figura 11.18: Efeitos da auto-indutancia
Definimos matematicamente a auto-indutancia L2 da seguinte maneira:
dφB
dt=
dφB
dI
dI
dt= L
dI
dt
L =dφB
dI(11.11)
Do mesmo modo que a indutancia mutua, a auto indutancia depende
apenas de fatores geometricos da espira em questao.
Exercıcio 11.6. Calcule a auto-indutancia de um solenoide.
Figura 11.19: Solenoide
Para calcular a auto-indutancia, precisamos calcular como uma variacao
2[L] = H(henry)
212 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
de corrente no solenoide varia o fluxo magnetico no interior do proprio so-
lenoide.
Sabemos que a campo magnetico no interior desse objeto e B = µ0In.
Como o campo no interior do solenoide e constante, o fluxo no seu interior
sera:
φB = BAnl = µ0In2lπR2
Entao temos que:
dφB
dI= µ0n
2lπR2
Logo a auto-indutancia e:
L = µ0n2lπR2
Exercıcio 11.7. Calcule a auto-indutancia de um toroide de secao retangu-
lar.
Figura 11.20: Toroide
Para calcular a auto-indutancia, precisamos calcular como uma variacao
de corrente no toroide varia o fluxo magnetico no interior do proprio toroide.
Sabemos que a campo magnetico no interior desse objeto e B =µ0NI
2πr.
Considerando que o campo no interior do toroide apresenta simetria cilındrica,
o fluxo no seu interior deve ser calculado por meio a seguinte integral:
11.7. ASSOCIACAO DE INDUTORES 213
Figura 11.21: Elemento de area na secao do toroide
φB = N
��B · d�s =
b�
a
µ0N2I
2πrhdr =
µ0N2I
2πh ln(
b
a)
Entao temos que:
dφ21
dI=
µ0N2
2πh ln(
b
a)
Logo a auto-indutancia e:
L =µ0N
2
2πh ln(
b
a)
11.7 Associacao de Indutores
Indutores sao componentes eletronicos que apresentam elevada indutancia.
Devido a Lei de Lenz, tais elementos evitam variacoes bruscas de corrente,
sendo essa uma das principais funcoes desempenhadas pelos indutores em
circuitos eletronicos. Sabe-se que a diferenca de potencial nos terminais de
um indutor tem a mesma magnitude da forca eletromotriz induzida nele, ou
214 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
seja:
V = LdI
dt(11.12)
Quando um circuito apresenta mais de um indutor associado, e possıvel
substituı-los por um indutor equivalente, a fim de simplificar os futuros
calculos relativos ao circuito. Mas para calcular a indutancia equivalente, de-
vemos levar em conta tanto os efeitos de auto-inducao quanto de indutancia
mutua entre os componentes da associacao.
Faremos, como exemplo, a associacao de dois indutores em serie e dois
indutores em paralelo.
11.7.1 Dois indutores em serie
Figura 11.22: Exemplo de indutancia mutua
Em uma associacao em serie, a corrente e a mesma em todos os indutores.
LdI
dt= L1
dI
dt+M
dI
dt+ L2
dI
dt+M
dI
dt= (L1 + L2 + 2M)
dI
dt
11.7. ASSOCIACAO DE INDUTORES 215
Observe que o primeiro e o terceiro termo referem-se as auto-indutancias
de 1 e 2, respectivamente, ja o segundo e o quarto termo referem-se as in-
dutancias mutuas. Segue entao que:
L = L1 + L2 + 2M (11.13)
11.7.2 Dois indutores em paralelo
Figura 11.23: Exemplo de indutancia mutua
Em uma associacao em paralelo, a diferenca de potencial e a mesma para
todos os indutores. Calculando a ddp para cada ramo:
V1 = L1dI1dt
+MdI2dt
(11.14)
V2 = L2dI2dt
+MdI1dt
(11.15)
Multiplicando as duas equacoes pela constante de indutancia mutua:
V1M = L1MdI1dt
+M2dI2dt
(11.16)
V2M = L2MdI2dt
+M2dI1dt
(11.17)
Multiplicando agora a equacao 11.14 por L2 e a 11.15 por L1:
216 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
V1L2 = L1L2dI1dt
+ML2dI2dt
(11.18)
V2L1 = L2L1dI2dt
+ML1dI1dt
(11.19)
Mas, da associacao em paralelo, temos que:
V = V1 = V2
I = I1 + I2
Logo, subtraındo 11.16 de 11.19 e 11.17 de 11.18, encontramos que:
V (L1 −M) = L1L2dI2dt
−M2 dI2dt
(11.20)
V (L2 −M) = L1L2dI1dt
−M2 dI1dt
(11.21)
Somando as equacoes 11.20 e 11.21:
V (L1 + L2 − 2M) =�L1L2 −M2
� dI
dt
L =L1L2 −M2
L1 + L2 − 2M(11.22)
Nota-se que, se desconsiderarmos os efeitos da indutancia mutua, a asso-
ciacao de indutores e identica a associacao de resistores.
11.8 Circuito R-L
Considere o circuito da Figura 11.24, com as condicoes iniciais:
11.8. CIRCUITO R-L 217
Figura 11.24: Circuito R-L
t = 0 , I(t) = 0
t =∞ , I(t) =V
R
A equacao do circuito e:
V −RI − LdI
dt= 0 (11.23)
V
R− I =
L
R
dI
dtt�
0
−R
Ldt =
I(t)�
0
dI
I − VR
ln
�
I −V
R
�I(t)
0
= −R
Lt
I(t)−V
R= −
V
R
−
R
Lt
218 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
I(t) =V
R
�1− e−
R
Lt�
(11.24)
Quanto maior for a indutancia L do indutor no circuito, maior sera o
tempo para a corrente se aproximar da maxima Imax = V/R.
Figura 11.25: Grafico de corrente de um circuito R-L
11.9 Circuito L-C
Considere o circuito da Figura 11.26, com o capacitor inicialmente carregado
com uma carga Q0, ou seja, as condicoes iniciais:
t = 0 , Q(t = 0) = Q0
t = 0 , I(t = 0) = 0
A equacao do circuito e:
Q
C− L
dI
dt= 0 (11.25)
Como o capacitor esta descarregando, I = −dQ/dt, e portanto:
11.9. CIRCUITO L-C 219
Figura 11.26: Circuito L-C
d2Q
dt2+
1
LCQ = 0 (11.26)
Que e a equacao de um oscilador harmonico, cuja solucao e:
Q(t) = Q0 cos(ωt) (11.27)
Onde:
ω2 =1
LC
I(t) = −dQ
dt= ωQ0 sen(ωt)
I0 = Q0ω
Analise de energia:
220 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
Figura 11.27: Grafico de corrente e carga no capacitor em um circuito L-C
UE = Ucapacitor =1
2CV 2 =
Q2
2C
UE =Q2
2Ccos2(ωt)
UB = Uindutor =1
2LI2 =
L
2I20 sin
2(ωt) =LQ2
0ω2
2sen2(ωt) =
Q20
2Csen2(ωt)
U = UE + UC =Q2
2C
Figura 11.28: Energia em um circuito L-C
11.10. ANALOGIA COM SISTEMA MECANICO 221
11.10 Analogia com sistema mecanico
Analogia com sistema mecanico massa-mola:
d2x
dt2+
K
Mx = 0
d2Q
dt2+
1
LCQ = 0
U =1
2mv2 +
K
2x2 U =
1
2LI2 +
1
2CQ2
Figura 11.29: Analogia do circuito LC com sistema mecanico.
m L
1/k C
x Q
v = x I = Q
mv2/2 LI2/2kx2
2Q2
2C
222 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
md2x
dt2= −kx+mg L
dI
dt+Q
C= V
x(t) = h+ A cos(ω0t) q(t) = q1 + (q0 − q1) cos(ω0t)
x(0) = h+ A q(0) = q0
x(0) = 0 q(0) = 0
Molas em serie Capacitores em paralelo
x = x1 + x2 = F�
1K1
+ 1K2
�q = ε(C1 + C2)
Molas em paralelo Capacitores em serie
11.11 Circuito R-L-C
Considere o circuito da Figura 11.30, com o capacitor inicialmente com carga
Q0. A equacao do circuito e:
Q
C−RI − L
dI
dt= 0
11.11. CIRCUITO R-L-C 223
Figura 11.30: Circuito R-L-C
Fazendo I = −dQ
dt:
d2Q
dt2+R
L
dQ
dt+
Q
LC= 0 (11.28)
Com a condicao inicial: Q(0) = Q0
O analogo mecanico a este circuito e o oscilador amortecido:
d2x
dt2+ 2β
dx
dt+ ω2
0x = 0 (11.29)
Cuja solucao e dada por:
x(t) = e−βt
�
A1 exp(�β2 − ω2
0t) + A2 exp(−�β2 − ω2
0t)
�
(11.30)
A analise deve ser dividida em tres casos:
• ω20 > β: subcrıtico
• ω20 = β: crıtico
• ω20 < β: supercrıtico
224 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
Figura 11.31: Comportamentos do oscilador amortecido.
11.11.1 Subcrıtico
ω21 = ω2
0 − β2, ω21 > 0
Q(t) = e−βt [A1 exp(iω1t) + A2 exp(−iω1t)]
A solucao pode ser reescrita como:
Q(t) = Ae−βt cos(ω1t− δ)
Que corresponde a uma oscilacao de frequencia angular ω1, com uma
amplitude decrescente com o tempo de um fator e−βt.
11.11.2 Crıtico
Q(t) = (A+Bt)e−βt
11.11.3 Supercrıtico
Q(t) = e−βt [A1 exp(ω2t) + A2 exp(−ω2t)]
11.12. ENERGIA EM CAMPOS MAGNETICOS 225
Figura 11.32: Oscilador amortecido subcrıtico.
11.12 Energia em Campos Magneticos
Vimos anteriormente que a energia eletrica podia ser escrita em termos do
campo eletrico, o que nos fornecia a interpretacao da energia armazenada no
campo. Agora vejamos como seria a energia magnetica em termos do campo.
Sabemos que:
φB = LI
Por outro lado:
φB =
�
S
�B · d�s =
�
S
(�∇× �A) · d�s
Aplicando o Teorema de Stokes:
226 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
�
S
(�∇× �A) · d�s =
�
Γ
�A · d�l
φB =
�
Γ
�A · d�l = LI
A energia magnetica e dada por:
U =1
2LI2 =
I
2
�
Γ
�A · d�l
Sabendo que Id�l = �Jdv:
U =I
2
�
V
( �A · �J)dv
Mas �∇× �B = µ0�J , entao:
U =1
2µ0
�
V
�A · (�∇× �B)dv
Utilizando a identidade:
�∇ · ( �A× �B) = �B · (�∇× �A)− �A · (�∇× �B)
�A · (�∇× �B) = �B · (�∇× �A)− �∇ · ( �A× �B) = �B · �B − �∇ · ( �A× �B)
Temos:
U =1
2µ0
�
V
�B · �B −
�
V
�∇ · ( �A× �B)dv
11.12. ENERGIA EM CAMPOS MAGNETICOS 227
Aplicando o teorema da divergencia:
U =1
2µ0
�
V
�B · �B −1
2µ0
�
S
( �A× �B)d�s
Fazendo V → todo espaco, o segundo termo tende a zero, portanto:
UB =1
2µ0
�
R3
B2dv (11.31)
A densidade de energia do campo magnetico e dado por:
uB =B2
2µ0
(11.32)
Note a similaridade das energias dos campos eletrico e magnetico:
UE = 12
�
V
ρV dv =ε
2
�
3
E2dv
UB = 12
�
V
��A · �J
�dv =
1
2µ0
�
3
B2dv
Exemplo 11.1. Cabo coaxial.
Calcular a energia armazenada em uma secao de comprimento l.
Resolucao. Pela lei de Ampere, o campo magnetico no cabo e dado por:
228 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
��B · d�l = µ0I
B2πr = µ0I
B =µ0I
2πr
B =
µ0I
2πrθ , a < r < b
0 , r < a ou r > b
A densidade de energia e dada por:
u =B2
2µ0
=µ2
0I2
2µ04π2r2=
µ0I2
8π2r2
A energia armazenada em um trecho sera:
U =
���µ0I
2
8µ0π2r2rdθdrdz,
0 ≤ θ ≤ 2π
a ≤ r ≤ b
0 ≤ z ≤ l
U =µ0I
2
8π22πl
b�
a
1
rdr =
µ0I2
4πl ln
�b
a
�
Pelo metodo anterior, terıamos que, primeiro, calcular a auto-indutancia:
11.12. ENERGIA EM CAMPOS MAGNETICOS 229
φ =
��B · d�s =
��µ0I
2πrdrdz,
�a ≤ r ≤ b
o ≤ z ≤ l
φ =µ0I
2πl ln
�b
a
�
L =dφ
dI=
µ0l
2πln
�b
a
�
A energia armazenada sera entao:
U =LI2
2
U =µ0I
2
4πl ln
�b
a
�
230 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO
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