Antes de participar en el foro, resuelve los siguientes ejercicios:
1. Aplica las propiedades anteriores y calcula los límites de las siguientes funciones. Conserva tus resultados para que los compartas y los discutas con tus compañeros(as) en el foro.
(8)3 + 2(8)2 - 5(8) / (8)2 - 2 = 512 + 128 - 40 / 64 - 2 = 600 / 62 = 300 / 31
3(3)5 + 8(3)3 = 3(243) + 8(27) = 729 + 216 = 945
[(5)2 + 3(5)] [5 - 2] = (25 + 15) (3) = (40) (3) = 120
1525
(-1)3 - 5 / -1 - 1 = -1 - 5 / -2 = -6 / -2 = 3
2. En equipos, investiguen las propiedades de los límites para el cálculo de las funciones trigonométricas. Elaboren un formulario y un ejemplo para mostrar el procedimiento del cálculo de límites de funciones.
Limites de funciones trigonométricas:
Antes de establecer el límite de las funciones trigonométricas, estudiaremos y probaremos dos teoremas de gran utilidad.
Teorema 12: Dadas las funciones f(x) y g(x), si f(x) ≧ g(x), para valores de x en el
intervalo ]a - ∝, a + ∝[ y si , entonces L ≥ M.
Prueba: Por las hipótesis del teorema podemos asegurar que:
Unidad 2. Límites y continuidad
Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites
Sea un real positivo arbitrario. Por definición de límite sabemos que existe > 0 tal que si |x - a| < , entonces |f(x) - g(x) - (L - M)| < .
Ahora bien, si hacemos p = mín{∝, }, garantizamos que f(x) ≥ g(x) y |f(x) - g(x) - (L - M)| < . De esta última desigualdad, podemos deducir que:
De f(x) ≥ g(x), obtenemos f(x) - g(x) ≥ 0 y de aquí:
0 ≥ L - M +
Recordemos que era un real positivo arbitrario, por tanto, puede tomar cualquier valor mayor que cero; ello nos permite decir que L - M es un real con la siguiente característica: no importa el número positivo que le sumemos, el resultado siempre será mayor o igual que cero, esto nos permite afirmar que L - M ≥ 0.
Bueno, la última afirmación parece un tanto “gruesa”, requiere de una mayor explicación.
Nuestra explicación estará basada en uno de los métodos de demostración matemática más usuales, conocido como reducción al absurdo o contradicción. El método consiste en suponer que la tesis que queremos probar es falsa y llegar, a través de razonamientos lógico-matemáticos, a contradecir alguna de las hipótesis de partida o algún resultado que ya conocemos como válido.
Luego de esta disgresión, volvamos a nuestro problema. Recuerde que debemos probar que L - M ≥ 0, siempre que se cumpla que L - M + > 0, para cualquier > 0.
Supongamos que L - M < 0. Los números reales tienen la propiedad de que entre dos distintos, existe otro; sea K un número real entre L - M y 0:
L - M < K < 0
note que K - (L - M) > 0. Como puede ser cualquier número positivo, tomemos = K - (L - M).
Ahora:
L - M + = L - M + K - (L - M) = K
pero K < 0, con lo cual llegamos a una contradicción, con el hecho de que L - M + ≥ 0 para cualquier > 0.
De lo anterior, L - M ≥ 0, es decir, L ≥ M que es lo que queríamos probar.
Unidad 2. Límites y continuidad
Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites
Teorema 13 (del emparedado): Dadas las funciones f, g y h si f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) en
un intervalo alrededor de a y f(x) = g(x) = L, entonces h(x) = L.
Prueba: Sea > 0, existen 1, 2, 3 que cumplen:
i) si |x - a| < 1, entonces f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)
ii) si |x - a| < 2, entonces |f(x) - L| <
iii) si |x - a| < 3, entonces |g(x) - L| <
Para que estas tres condiciones se cumplan simultáneamente, hagamos = mín { 1, 2, 3}.
Para |x - a| < , se tiene:
i) f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)
ii) L - < f(x) < L +
iii) L - < g(x) < L +
Estas tres desigualdades nos permiten establecer que:
L - < f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) < L +
de aquí:
L - < h(x) < L +
que es lo mismo que:
|h(x) - L| <
Teneos entonces que si |x - a| < , entonces |h(x) - L| < , con lo cual podemos
afirmar que h(x) = L.
Este último teorema será la base sobre la que nos apoyaremos para calcular límites de funciones trigonométricas.
Empezaremos estudiando la función seno. En primer lugar, calculemos el límite de sen x cuando x tiende a cero. Para ello, acudiremos a la ayuda del círculo trigonométrico y de la Geometría.
La siguiente figura nos muestra a x y sen x en el círculo unitario.
Unidad 2. Límites y continuidad
Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites
Advertimos al lector que los ángulos los medimos en radianes, así cuando escribimos sen x nos estamos refiriendo al seno del ángulo de medida x radianes. Trabajamos con radianes para establecer la “abertura” correspondiente al ángulo x. Hecha esta aclaración, sigamos adelante.
Nos ubicamos en el punto de intersección del eje de las abscisas y el círculo unitario (punto B de la figura). En ese punto ubicamos un extremo de un segmento de longitud x y, sin permitir que este extremo se separe de B, rotamos el segmento hasta que el otro extremo toque el círculo (punto A de la figura). Si unimos el punto A con el origen, entonces el ángulo buscado será el comprendido entre el eje X y el segmento OA.
El lector recordará que el segmento AC tiene una longitud igual a sen x y AB mide x.
Consideremos el triángulo CAB, note que es rectángulo y que su hipotenusa es AB y uno de sus catetos es AC, podemos entonces concluir que la medida de AB es mayor que la medida de AC, con lo cual aseguramos que:
sen x < x
Como nuestro propósito es calcular sen x, podemos establecer que el ángulo x se mueve en los cuadrantes primero y cuarto, de acuerdo con el signo de x. Así para x positivos, estaremos en el primer cuadrante, para x negativos, en el cuarto.
La figura que ilustra nuestra demostración, nos ubica en el primer cuadrante. El lector podrá comprobar que para x negativos podemos hacer una figura similar ubicada en el cuarto cuadrante.
Unidad 2. Límites y continuidad
Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites
Con los mismos razonamientos que empleamos para x > 0, podemos concluir que:
- sen x < -x
Uniendo las desigualdades (1) y (2) en una sola, escribimos |sen x| < |x|.
Ahora bien, como 0 < |sen x| < |x|, podemos escribir:
-|x| ≤ sen x ≤ |x|
Es fácil comprobar que |x| = 0 y por el teorema anterior podemos concluir que:
Nos proponemos ahora mostrar que sen x = sen a.
Sea > 0. Consideremos la expresión |sen x - sen a|, recuerde (por identidad
trigonométrica) que .
Sustituyendo, obtenemos:
Unidad 2. Límites y continuidad
Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites
Sabemos que |cos x| ≤ 1, para cualquier valor de x, además establecimos la
desigualdad |sen x| < |x|. Si en esta última desigualdad sustituimos x por , tendremos:
Ahora podemos establecer:
En resumen, podemos afirmar que:
|sen x - sen a| < |x - a|
Si tomamos = , entonces si |x - a| < , entonces |sen x - sen a| < , por tanto:
Ejemplo 1
Calcular el .
Solución: Para hacer este cálculo, aplicaremos el teorema de la composición:
Procedamos ahora a calcular el límite para la función coseno. Recordemos que cos
x = 1 - 2 sen2 , por tanto:
Unidad 2. Límites y continuidad
Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites
Para el cálculo de este límite usamos los siguientes hechos:
• sen x = sen a
• el teorema del límite de un producto
• el teorema del límite de una suma
• el límite de una constante
Estas cuatro propiedades de los límites dan plena validez a la siguiente fórmula:
Para encontrar el límite de la tangente, cotangente, secante y cosecante, basta con aplicar el teorema del cociente. Así, por ejemplo:
De igual manera procedemos para las restantes funciones trigonométricas. Se debe observar que debemos tener cuidado con el dominio de definición de estas funciones.
Unidad 2. Límites y continuidad
Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites
Con las fórmulas de límites de funciones trigonométricas hemos adquirido nuevas herramientas para el cálculo de límites.
Pinzón, A. (1973). Cálculo I: Diferencial. San José, Costa Rica: Editorial Universidad Estatal a Distancia.
Unidad 2. Límites y continuidad
Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites
Teoremas de límites
Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definición Epsilón-Delta se establecen los siguientes teoremas.
Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.
Nota: los teoremas se presentan sin demostración, pero quien quiera verla puede hacer clic en el vínculo correspondiente.
Teorema de límite 1:
Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces
Teorema de límite 2:
Para cualquier número dado a,
Teorema de límite 3:
Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces
Teorema de límite 4:
Teorema de límite 5:
Unidad 2. Límites y continuidad
Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites
Teorema de límite 6:
Si f es un polinomio y a es un número real, entonces
Teorema de límite 7:
Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces
Teorema de límite 8:
Limite de una función. Consultado el 14 de junio de 2012 en: http://www.sectormatematica.cl/educsuperior.htm
3. Den a conocer su investigación en el foro, y los resultados obtenidos para las cinco funciones anteriores, comparen sus semejanzas y diferencias.
4. Consulta la rúbrica de participación en el foro. Da clic en el icono para descargar el documento.
Para ingresar al foro: En la ruta (parte superior izquierda del aula) da clic en Cálculo. Se enlistarán las actividades, da clic en Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites.
Unidad 2. Límites y continuidad
Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites
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