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UNIDAD 2: CARTAS DE CONTROL PARA VARIABLES
Muchas características de calidad pueden expresarseen términos de una medición numérica.
Por ejemplo el diámetro de un rodamiento, la
viscosidad de un polímero o la concentración de uncontaminante en la fabricación de un producto
químico.
A una característica de calidad susceptible de
medición se le llama variable
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uando se trata con una característica de
calidad que es una variable, por lo !eneral es
conveniente monitorear tanto el valor medio
de la característica de calidad como su
variabilidad.
"l control del promedio se hace con la carta
de media o carta
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#a variabilidad del proceso puede
monitorearse con una carta de control para la
desviación estándar, llamada carta $ o bien
con una carta de control para el ran!o,
llamada carta %
#a carta % es adecuada cuando los tama&os
de la muestra son i!uales o menores que '.
"n otro caso, pierde eficiencia ( se usa la
carta $.
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Cartas de control para y R
$upon!amos que una característica de
calidad tiene una distribución normal con
media ( desviación estándar
donde ambas son conocidas.
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Cartas de control para y R
$i , es una muestra de tama&o n,entonces el promedio de esta muestra es
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Cartas de control para y R
A partir del )eorema entral del #ímite, se
conoce que si!ue una distribuciónnormal con media
( desviación estándar
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Cartas de control para y R
Además la probabilidad es de , de que
cualquier media muestral se localice entre
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Por lo tanto, si * ( + son conocidas, las ecuaciones
vistas podrían usarse como límites de control superior
e inferior en una carta de control para las mediasmuestrales.
$e acostumbra sustituir por el valor , a fin de
trabajar con límites tres si!mas.
$i la media de una muestra se locali-a fuera de estos
límites, se trata de un indicio de que la media del
proceso ha dejado de ser i!ual a *
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Cartas de control para y R cuando no se conocen
los alores de la !ed"a y la des"ac"#n est$ndar
po%lac"onales
"n la práctica !eneralmente no se conocen losvalores de la media ( la desviación estándar .
Por lo tanto, deben estimarse a partir de la muestra o
sub!rupos preliminares tomados cuando seconsidera que el proceso está bajo control.
"n !eneral estas estimaciones deben basarse en almenos / o 0 muestras
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uando no se conocen * ( +
$upon!amos que contamos con m muestras, cada una
de las cuales tiene el mismo tama&o muestral n . $ean
los promedios de cada muestra. "ntonces el mejor
estimador de * , el promedio de la población, es el
!ran promedio,
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"ntonces
se usará como línea central de la carta
de control
x
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"stimación de la desviación estándar
Para construir los límites de control, es
necesaria una estimación de la desviación
estándar .
"sto puede hacerse a partir de lasdesviaciones estándar o bien de los ran!os
de las muestras.
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"stimación de la desviación estándar
uando los tama&os muestrales son
menores que 1, el método del ran!o
proporciona una buena estimación.
Para tama&os muestrales ma(ores que 1, sereempla-ará por el método de las
desviaciones estándar.
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uando no se conocen * ( +
"l ran!o de la muestra es la diferencia entre
las observaciones menor ( ma(or2 es decir
$ean los ran!os de las mmuestras. "l ran!o promedio es3
minmax x x R −=
m
R R R R m...21 ++
=
m R R R ,...,
21
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"stimador inses!ado de +
4n estimador inses!ado de + es
donde d 2 es una constante que depende del tama&ode la muestra.
$i es el ran!o promedio de las m muestras
preliminares, puede usarse
para estimar .
2/ d R=σ
R
2d
R=σ
σ
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#imites de control tres si!mas
Podemos calcular los límites de control
como3
nd
R x
n x x LSC
x2
333 +=+=+= σ
σ
nd
R x
n x x LIC
x2
333 −=−=−= σ
σ
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#imites de control tres si!mas
$i se define
#a expresión de los límites ( la línea central
queda
nd A
22
3=
R A x LSC 2+=
x LC =
R A x LIC 2−=
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L&!"tes de control de la carta %
#a línea central de la carta % es el ran!o
medio
"l #ímite $uperior de ontrol es3
R
R R LSC σ 3+=
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L&!"tes de control de la carta %
$e sabe que σ σ 3
d R =
+=+=+=+=
2
3
2
33
31333
d
d R
d
Rd Rd R R LSC
R σ σ
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L&!"tes de control de la carta %
$i llamamos
2
34
31d d D +=
4 D R LSC =
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L&!"tes de control de la carta %
Para el #imite 5nferior de ontrol
−=−=−=−=
2
3
2
33
31333
d
d R
d
Rd Rd R R LIC R σ σ
2
33
31
d
d D −=
3 D R LIC =
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%esumiendo3 limites de control para la carta %
4 D R LSC =
R LC =
3 D R LIC =
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L"!"tes de control de prue%a
uando se utili-an muestras preliminares para
construir las cartas de control ( R , se acostumbra
tratar los límites de control obtenidos como l&!"tes de
control de prue%a'
Permiten determinar si el proceso se encontraba bajo
control cuando se seleccionaron la m muestras
iniciales.
x
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Para probar la hipótesis del control pasado, se
!rafican los valores de ( % de cada muestra en
las cartas ( se anali-a la representación resultante.
$i todos los puntos se locali-an dentro de los
límites de control ( no es evidente nin!6n
comportamiento no aleatorio, se conclu(e entonces
que el proceso se encontraba bajo control en el
pasado ( los límites de control de prueba sonapropiados para controlar la producción actual o
futura.
x
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Uno o !$s de los alores de o de R se local"(an )uera
de los l&!"tes
Para cado uno de los puntos que quedan fuera delos límites de control es necesario buscar una causa
atribuible o asi!nable.
$i se encuentra la causa asi!nable, se soluciona ( sesupone que no va a producirse en el futuro.
#ue!o ha( que recalcular los límites de control (
observar si otro punto ha salido de control (a que!eneralmente lue!o de eliminar un punto fuera de
control, los límites serán más estrechos.
.
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$i otro punto sale de control, se vuelve a anali-ar
si ha( una causa asi!nable.
"sto se reali-a hasta que todos lo puntos estén
dentro de control.
$i no se halla una causa asi!nable, el punto se
conserva.
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E*e!plo:
iertas pie-as de polipropileno
manufacturadas por un proceso de moldeode in(ección se someten a una prueba de
resistencia a la compresión.
$e colectan / muestras de cinco partes
cada una ( las resistencias a la compresión
7 en psi8 se presentan en la tabla si!uiente
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E*e!plo:
9 Mue :; : : : < : 0 %i $i
9 ; 1,/ 1;, '1,' '0,' '',/ '=,; ', ,=1=<1
9 11,> '1, '1,1 ';,/ 1<, 1/, ;',> >,><'';9 10,' '0,1 1<, '0, 1;,/ 1/,< ;/,0 <,'=;19 < 1/,1 '<,< 1,0 '<,; '0,' '',0 1,< ,11>09 0 1,< '1,< 1,> '1, '1,= 1/, 0, ,<===9 > '0, '=,= 1', 1=,' 1;,1 1,1 ;<,< 0,'''0<9 ' '<,0 '1,/ 1/,1 ',< '=,' '', ',< ,1=
9 1 '=, 1<,< 1;,0 1>,/ '<,0 1;,; ;;,0 <,0=19 = 1/,0 1>, '>, '<,; 1/, '',< ,; <,><'=/9 ;/ '0,' '0, ';,; 1,; '<, '0,' ;;,/ <,/;/<9 ;; 1/,/ 1;,0 '1,< ',1 '1,; '1,< ',' ,1=/;>9 ; 1/,> 1;,1 '=, ',1 1;,' '=,< 1,/ ,;;/<9 ; 1,' 1;, '=,; 1,/ '=,0 1/,= ,> ;,0>01=
9 ;< '=, '<,= '1,> '',' '0, '',; <, ;,=<<9 ;0 10,0 1,; 1,1 ',< ';,' '=,; ;,1 >,;</'9 ;> '1,1 '=,> 1/, '=,; 1/,1 '=,' ,/ /,1;</9 ;' 1,; '1, '0,0 '1, 1,; '=, >,> ,10/'=9 ;1 1<,0 '>,= 1,0 1;, '=, 1;,; ',> ,;/09 ;= '=,/ '',1 1;, 1<,< 1;,> 1/,1 >,> ,0<=0;
9 / 1<,0 ',; '1,> '1,' 1/,> '=,; ;;,< <,;;'><
i x
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artas de control
9 ;
191715131197531
85,0
82,5
80,0
77,5
75,0
Muestra
M e d i a d e l a m u
e s t r a
_ _ X=79,43
UCL=84,68
LCL=74,18
191715131197531
20
15
10
5
0
Muestra
R a n g o d e l a
m u e s t r a
_ R=9,11
UCL=19,25
LCL=0
Gráfica Xbarra-R de X1. .... X5
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Est"!ac"#n de la capac"dad del proceso
A partir de los datos de la carta de control puede
estimarse la llamada capacidad del proceso ( la
proporción de elementos defectuosos que este
proceso puede producir.
?e la carta % podemos obtener el %an!o medio ( a
partir de este estimar la desviación estándar de la
población
93,3326,2
11,9
2
===d
Rσ
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Est"!ac"#n de la capac"dad del proceso
"l índice de capacidad del proceso se define como3
#os límites especificados por dise&o son 11 ( '/ psi
alculamos p
76,092,3.6
7088=
−
=Cp
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onclusiones
@eneralmente se recomienda para la p un
valor de ;, o más, con la finalidad de no
tener muchos elementos defectuosos en la
población.
"l valor obtenido es mu( bajo, con lo cual se debe
trabajar sobre el proceso con la finalidad de
disminuir la variabilidad ( aumentar la capacidad
del proceso.
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Proporción de elementos defectuosos
)ambién se puede calcular la proporción de
elementos defectuosos. $uponemos que la
distribución de resistencia a la compresión de
la pie-a es normal.
#a media de la resistencia se obtiene de la
carta : media.
$abemos que * '=,< psi ( + ,= psi
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Proporción de elementos defectuosos
$i p es la proporción de elementos fuera de especificación,
ada ;/// pie-as, ; estarán fuera de
especificación.
)88()70( psi x P psi x P p +=
)93,3
43,7988()
93,3
43,7970(
−−+
−−=
σ
µ
σ
µ x P
x P p
( ) ( )18,24,2 Z P Z P p +−=
021,00146,000714,0 =+= p
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L"!"tes de control+ l"!"tes de espec")"cac"#n y l"!"tes
de toleranc"a natural
$e debe tener claro que no existe relación entre loslímites de control de la carta ( % ( los límites
especificados del producto.
#os primeros sur!en de las condiciones reales del
proceso ( los se!undos provienen de fuera del
proceso 7dise&o, clientes, normas, costos, etc8
x
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L"!"tes de control+ l"!"tes de espec")"cac"#n y l"!"tes
de toleranc"a natural
#os límites de tolerancia natural son los límitesdeterminados por + arriba ( debajo de la media
del proceso.
"stos son los limites que se obtienen cuando el
proceso ha manifestado encontrarse totalmente
dentro de control ( existe una buena estimación
de +.
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L"!"tes de control+ l"!"tes de espec")"cac"#n y l"!"tes
de toleranc"a natural
#os límites de control están re!idos por lavariabilidad de la media muestral (a que se
hallan arriba ( abajo de
la media del proceso.
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D"se,o de la carta de control
Para dise&ar las cartas ( %, deben
especificarse el tama&o de la muestra, el ancho delos límites ( la frecuencia de muestreo.
$i uno de los objetivos de la carta que se está
usando es detectar corrimientos de moderados a
!randes de la media 7B8 en el proceso 7por
ejemplo en el orden de + o ma(ores8, muestras
peque&as de tama&o n <, 0, o > son
ra-onablemente efectivas.
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"n cambio, si se desea detectar cambios peque&os
en la media del proceso, deberán usarse tama&os
muestrales entre ;0 ( 0.
uando se utili-an peque&os tama&os de muestra, es
más difícil que ocurra un cambio en el procesomientras se toma la muestra.
$i ocurre un cambio durante la toma de muestra, elpromedio muestral podría ocultar ese cambio.
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)ama&o de la muestra
9 Para ele!ir el tama&o de la muestra adecuado a nuestras necesidades, se
pueden utili-ar las curvas características de operación.
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Amplitud de los límites
#a utili-ación de límites de control de si!mas es
una práctica !enerali-ada que ha dado excelentesresultados. $in embar!o esto puede modificarse
en función de la realidad del proceso.
$i el costo de investi!ación de las falsas alarmas
es mu( alto, los límites pueden hacerse de ,0
si!mas por ejemplo.
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Amplitud de los límites
$in embar!o, si el proceso tiene
características tales que las falsas alarmas
se investi!an con facilidad ( a un bajo
costo,se pueden utili-ar límites ,0 si!mas, que
además nos darían la ventaja de descubrir
más rápido los cambios en la media delproceso, es decir se reduce el error tipo 55.
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Patrones no aleator"os en las cartas de control
4na carta de control puede indicar una situaciónfuera de control aun cuando nin!6n punto esté
fuera de los límites tres si!mas.
"sta situación se presenta cuando los puntos
!raficados muestran un patrón de comportamiento
que no es aleatorio, es decir que es sistemático.
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Patrones no aleator"os en las cartas de control
"l análisis de los patrones no aleatorios, esde interés para el in!eniero de procesos (a
que brindan información sobre las
propiedades del proceso ( su correcta
interpretación a(uda a disminuir la
variabilidad del mismo.
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5nterpretación de las cartas de control
Para interpretar patrones en una carta es
necesario determinar primero si la carta % está
o no bajo control.
Muchas veces las causas asi!nables aparecen
tanto en la carta como en la %. x
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$i las dos cartas muestran un patrón no aleatorio,
primero se eliminan las causas asi!nables en lacarta %.
"n muchos casos esto conlleva a la eliminación delas causas asi!nables de la carta : media
Cunca deberá interpretarse la carta cuando lacarta % muestre una condición fuera de control.
x
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Patrones no aleatorios3 iclos
"ste patrón puede sur!ir de cambios ambientales
sistemáticos tales como la temperatura, fati!a del
operador, rotación re!ular de operadores (Do maquinas o
fluctuación en el voltaje o la presión o en al!una otra
variable del equipo de producción
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Patrones no aleatorios3 Me-cla
$e habla de una me-cla cuando los puntos !raficados
tienden a locali-arse cerca o li!eramente afuera de loslímites de control, con relativamente pocos puntos cerca
de la línea central. 4n patrón de me-clado es !enerado
por dos o mas distribuciones de distribución de
probabilidad
C t d t l d S
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Cartas de control de y S
$i bien la utili-ación de las cartas ( % se ha
vuelto mu( popular a través de los a&os, enciertos procesos es deseable estimar la
variabilidad del proceso a través de la
desviación estándar del mismo, en ve- dehacerlo más elementalmente a través del
ran!o. "n !eneral se justifica el uso de las
cartas ( $ cuando39 a8 el tama&o de las muestras es ma(or que '
9 b8 el tama&o de la muestra es variable
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$i es la varian-a desconocida de la
distribución de probabilidad, entonces un
estimador inses!ado de élla es la varian-a
muestral
( )
1
1
2
2
−
∑=
−
=n
n
i
xi x
S
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uando no ha( un valor estándar dado para ,
entonces debe estimarse anali-ando datos
pasados. $i se cuenta con muestras
preliminares, cada una de tama&o n, (
sea ,
la desviación estándar de la iEésima muestra.
el promedio de las m 7cantidad de muestras8
desviaciones estándar es3
iS
∑==
m
iiS
mS
1
1
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9 #a línea central de la carta es
9 "l límite superior es
S
S S σ 3+
# d i ió tá d d 2
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#a desviación estándar de es
donde c 4 es una constante que depende
del tama&o de la muestra.
%eempla-ando en el límite superior de control
queda
241 c−σ
2
4133 cS S LSC S −+=+= σ σ
4 ti d i d d S
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4n estimador inses!ado de σ es
24
14
324
133 cc
S S cS S S LSC −+=−+=+= σ σ
2
4143
2
4133 cc
S
S cS S S LIC −−=−−=−=
σ σ
4C
S
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@eneralmente se definen las constantes
24
4
3 131 cc
B −−=
24
4
4 13
1 cc
B −+=
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Por lo tanto los parámetros de la carta S
pueden escribirse como
S B LIC
S LC
S B LSC
3
4
=
=
=
t di
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arta x media
Para calcular los límites de control de la carta
ha( que tener en cuenta que es un
estimador inses!ado de + .
#ínea central3 x
nc
S x
n
x x LSC x
4
333 +=+=+= σ
σ
nc
S x
n x x LIC
x4
333 −=−=−= σ
σ
4C S
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onsiderando la constante , los
parámetros de la carta quedan
S A x LIC
x LC
S A x LSC
3
3
−=
=
+=
La carta de Control de S-e.-art para !ed"c"ones
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"nd""duales
"n muchas situaciones, el tama&o de la
muestra usado para monitorear el proceso
es i!ual a ;, es decir que la muestra consta
de un solo elemento. Al!unos ejemplos de esta situación son3
;.$e usa tecnolo!ía de inspección (medición automati-ada, ( se anali-a
cada unidad manufacturada.
La carta de Control de S-e.-art para !ed"c"ones
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p
"nd""duales
. #a velocidad de producción es mu( lenta,
( no es conveniente dejar que se
acumulen tama&os de muestra ma(ores
que ;, antes del análisis.
L t d C t l d S- - t d" "
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La carta de Control de S-e.-art para !ed"c"ones
"nd""duales
. #as mediciones repetidas del proceso
difieren 6nicamente por el error de
medición o con más propiedad en la
incertidumbre de medición, como enmuchos procesos químicos.
%an!o móvil
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%an!o móvil
Para estimar la variabilidad del proceso se usa
el ran!o móvil de dos observaciones sucesivas
"l ran!o móvil se define como
1−−= ii x x MR
#ímites de control
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#ímites de control
#os límites de control de la carta de mediciones
individuales son
2
2
3
3
d MR x LIC
x LC
d
MR x LSC
−=
=
+=
#í it d t l d l t d ó il
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#ímites de control de la carta de ran!o móvil
$on
MR D LIC
MR LC
MR D LSC
3
4
=
=
=
"jemplo
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"jemplo
#a viscosidad de una pintura tapaporos para
aviones es una característica de calidad importante.
"l producto se produce por lotes, ( debido a que la
producción de cada lote lleva varias horas, lavelocidad de producción es demasiada lenta para
permitir tama&os muestrales ma(ores que uno.
"n la )abla se muestran la viscosidad de ;0 lotes
anteriores
"jemplo
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9 C6mero de muestra Fiscosidad %an!o Móvil9 M%9 ; ,'0
9 ,/0 /,'9 < /,=09 < ,1; /,;=9 0 ,<> /,09 > <,/ /,0>9 ' ,>1 /,<9 1 ,' /,<;9 = ,<= /,9 ;/ ,/ /,=9 ;; ,> /,<9 ; ,// /,>
9 ; ,0< /,0<9 ;< ,; /,<9 ;0 ,1< /,'9
#í it d t l
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#ímites de control
$on
24,32128,148,0352,333
52,33
80,34
128,1
48,0352,333
2
2
=−=−=
==
=+=+=
d MR x LIC
x LC
d
MR x LSC
#í it d t l
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#ímites de control
$on
0
484,0
58,148,0.267,3
3
4
==
==
===
MR D LIC
MR LC
MR D LSC
arta de control
Gráfica I-MR de !
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arta de control
9 a
151413121110987654321
34,5
34,0
33,5
33,0
32,5
Observación
V a l o r i n d i v i d u a l
_ X=33,522
UCL=34,808
LCL=32,236
151413121110987654321
1,6
1,2
0,8
0,4
0,0
Observación
R a n g o
m ó v i l
__ MR=0,484
UCL=1,580
LCL=0
Gráfica I-MR de !
Interpretac"#n de las cartas para !ed"c"ones
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"nd""duales
"stas cartas pueden interpretarse en formamu( parecida a una carta de control ordinaria.
4n cambio en el promedio del procesoresultará en un punto 7o puntos8 fuera de los
límites de control o bien en un patrón no
aleatorio representado por una corrida
ascendente o descendente.
/ortale(as y de%"l"dades de las cartas de control tres s"0!as
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/ortale(as y de%"l"dades de las cartas de control tres s"0!as
"stas cartas de control fueron las primeras en
dise&arse ( se han mantenido en uso a través deltiempo por haber demostrado que pueden controlar
un proceso en tiempo real ( en forma bastante
sencilla.
?eben usarse siempre que la característica de
calidad ten!a una distribución de probabilidad normal
( que las muestras no presenten un comportamiento
correlacionado, es decir que sean independientesunas de otras.
.
/ortale(as y de%"l"dades de las cartas de control tres s"0!as
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/ortale(as y de%"l"dades de las cartas de control tres s"0!as
"stas cartas son eficientes para detectar
cambios en la media del orden de ;,0 + omás pero son ineficientes para detectar
cambios en la media menores a esa
ma!nitud.
Por otro lado tienen un lon!itud media de
corrida de '/, es decir que tendremos una
falsa alarma cada '/ puntos !raficados.