INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 2.º ESOUnidad 11: Cuerpos geométricos
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11Cuerpos geométricos
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Podemos encontrar multitud de cuerpos geométricos a nuestro alrededor. Vamos a aprender a realizar cálculos sobre ello.
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Esquema de contenidos
Cuerpos geométricos
Poliedros
Prismas
Elementos y clases.
Desarrollo y área.
Poliedros regulares
Poliedros cóncavos y convexos
Poliedros regulares
Pirámides
Elementos y clases.
Desarrollo y área.
Cuerpos de revolución
Cilindro
Cono
Esfera
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Poliedros
Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por caras en forma de polígonos.
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Elementos de un poliedro
Los elementos de un poliedro son:
• Caras: son los polígonos que limitan el poliedro.
• Aristas: son las líneas donde concurren dos caras. Coinciden con los lados de las caras.
• Vértices: son los puntos donde se cortan tres o más aristas.
• Diagonal: es el segmento que une dos vértices que no están en la misma arista. cara
arista
vértices
diagonal
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Elementos de un poliedro
Los elementos de un poliedro son:
• Ángulo diedro: es el ángulo formado por dos caras.
• Ángulo poliedro: es el ángulo formado por tres o más caras, con un punto en común, el vértice.
• Desarrollo plano: es la superficie que resulta al extender el poliedro sobre un plano.
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Poliedros regulares
Los poliedros pueden ser cóncavos o convexos.
Poliedros convexos son los que, al prolongar cualquiera de sus caras, estas no cortan al poliedro.
Poliedros cóncavos son los que, existe alguna cara que, al prolongarla, corta al poliedro.
En los poliedros se cumple la fórmula de Euler:
aristas nº vértices nº caras nº
2 A V C
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Poliedros regulares
Un poliedro es regular cuando todas sus caras son polígonos regulares iguales y, además, en cada vértice concurre el mismo número de caras.
Solo existen cinco poliedros regulares:
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Prismas
Un prisma es un poliedro que tiene dos caras iguales y paralelas entre sí, llamadas bases, y cuyas caras restantes son paralelogramos.
Los elementos de un prisma son:
• Bases o caras básicas: son dos polígonos iguales situados en planos paralelos.
• Caras laterales: son paralelogramos.
• Aristas básicas: son los lados de los polígonos de las bases.
• Aristas laterales: son los lados de las caras laterales que unen las bases..
• Vértices: son los puntos donde se cortan las aristas.
• Altura: es la distancia entre las bases.
bases
arista
arista lateral
altura vértice
cara lateral
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Prismas
Un prisma es un poliedro que tiene dos caras iguales y paralelas entre sí, llamadas bases, y cuyas caras restantes son paralelogramos.
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Clases de prismas
Para nombrar un prisma
Primero miramos los polígonos de
las bases.
Prisma
triangular
Prisma
pentagonal
Prisma
cuadrangular
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Clases de prismas
Para nombrar un prisma Cuando las aristas laterales
son perpendiculares a las de las bases se dice prisma recto, en caso contrario es un
prisma oblicuo. Prisma
recto
Prisma
oblicuo
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Clases de prismas
Para nombrar un prisma Si en los prismas rectos, los polígonos de las bases son regulares se llaman prismas regulares, y en caso contrario irregulares.
Prisma
regular
Prisma
irregular
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Clases de prismas
Para nombrar un prisma
Nombramos por las bases:
TRIANGULAR – HEXAGONAL-…
Nombramos por las aristas:
RECTO – OBLICUO
Nombramos si las bases son polígonos regulares:
REGULAR – IRREGULAR
Por lo tanto, podemos
decir que…
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Clases de prismas
Vamos a ver una serie de ejemplos.
Prisma
hexagonal
recto
regular
Prisma
pentagonal
recto
irregular
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Desarrollo de prismas
El desarrollo de un prisma recto está formado por:
- Un rectángulo compuesto por sus caras laterales, de altura, la altura del prisma, y ancho, el perímetro de la base.
- Los dos polígonos de las bases.
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Área de prismas
El área de un prisma recto es: BLT AAA 2
Prisma hexagonal
Lado: 4 cm.
Apotema: 3 cm.
Altura: 12 cm.
SIGUIENTE
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Área de prismas
BLT AAA 2
Prisma hexagonal
Lado: 4 cm.
Apotema: 3 cm.
Altura: 12 cm.
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El área de un prisma recto es:
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Área de prismas
BLT AAA 2
Prisma hexagonal
Lado: 4 cm.
Apotema: 3 cm.
Altura: 12 cm.
2cm 28812)46( alturabaseAL
24 cm
12 cm
SIGUIENTE
El área de un prisma recto es:
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Área de prismas
BLT AAA 2
Prisma hexagonal
Lado: 4 cm.
Apotema: 3 cm.
Altura: 12 cm.
2cm 28812)46( alturabaseAL
24 cm
12 cm
+
2cm 72)2
324(2)
2(22
apotemaperímetroAB
SIGUIENTE
El área de un prisma recto es:
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Área de prismas
BLT AAA 2
Prisma hexagonal
Lado: 4 cm.
Apotema: 3 cm.
Altura: 12 cm.
2cm 28812)46( alturabaseAL
24 cm
12 cm
+
2cm 72)2
324(2)
2(22
apotemaperímetroAB
2 360722882 cmAAA BLT
El área de un prisma recto es:
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Pirámides
Una pirámide es un poliedro en el que una de sus caras es un polígono cualquiera y el resto son triángulos que concurren en un punto.
Los elementos de un pirámide son:
• Base: es un polígono cualquiera.
• Caras laterales: son triángulos que concurren en un punto llamado vértice.
• Aristas básicas y aristas laterales: son las aristas de la base y de las caras laterales, respectivamente.
• Vértices: es el punto donde concurren todos los triángulos.
• Altura: es el segmento perpendicular trazado desde el vértice a la base.
vértice
cara lateral
altura base
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Pirámides
Una pirámide es un poliedro en el que una de sus caras es un polígono cualquiera y el resto son triángulos que concurren en un punto.
APOTEMA LATERAL O ALTURA DE LA CARA
ARISTA LATERAL
ALTURA DE LA PIRÁMIDE
APOTEMA BASE
ARISTA BÁSICA
BASE
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Clases de pirámides
Pirámide
pentagonal
rectaPirámide
triangular
oblicuaPirámide
hexagonal
recta
Nombrando una pirámide:
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Desarrollo de pirámides
El desarrollo de una pirámide regular está formado por:
- Tantos triángulos isósceles iguales como lados tenga la base.
- El polígono de la base.
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Área de pirámides
El área de una pirámide regular es:
2222
'' aPaPaPabnAAA BBB
BLT
Lado de base: 4 cm.
Altura del triángulo 10 cm.
apotema: 5 cm.
2cm 1202
1046
2
hbnAL
2cm 602
5)46(
2
apotemaperímetroAB
2cm 18060120 BLT AAA
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Cuerpos de revolución
El cuerpo de revolución es un cuerpo geométrico obtenido a partir de una figura plana que gira alrededor de un eje.
Si hiciéramos girar: - Un rectángulo, siendo su eje un lado.- Un triángulo rectángulo, siendo su eje un cateto.- Un semicírculo, siendo su eje el diámetro.
En el espacio barrido por ellos se habrían obtenido un cilindro, un cono y una esfera.
El cilindro, el cono y la esfera son los cuerpos de revolución más conocidos.
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Cilindro
El cilindro es un cuerpo geométrico engendrado a partir de un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados.
altu
ra
GENERATRIZ
EJE DE GIRO
RADIO
BASE
generatrizradio
2222 rrhAAA BLT SIGUIENTE
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Cilindro
El desarrollo de un cilindro está formado por:
- Un rectángulo cuya base es la longitud de la circunferencia, y su altura es la altura del cilindro.
- Dos círculos iguales que constituyen las bases.
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Cono
El cono es un cuerpo geométrico engendrado a partir de un triángulo rectángulo que gira alrededor de uno de sus catetos.
radio
generatriz
eje
giro
altu
ra
EJE DE GIRO
GENERATRIZ
RADIO
BASE
2rrgAAA BLT SIGUIENTE
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Cono
El desarrollo de un cono está formado por:
- Un sector circular con longitud 2πr (siendo r el radio de la base), y radio, la generatriz del cono.
- Un círculo.
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Esfera
La esfera es un cuerpo geométrico engendrado a partir de un semicírculo que gira alrededor de su diámetro.
diám
etro
eje
giro
RADIO
CENTRO
EJE DE GIRO
24 rAT
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Enlaces de interés
Enciclopedia de poliedros
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Diseño con poliedros
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Actividad: Poliedros regulares y semirregulares
Sitio interactivo donde manipular los cinco poliedros regulares y los trece poliedros semirregulares.
Para conocerlo, sigue este enlace.
Dirección: http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Polyedres/Index_Polyedres.html