CIRCULO Y CIRCUNFERENCIA
Profesor:Rodolfo Arias Carrasco.
Un círculo es un conjunto de puntos de un plano cuya distancia entre un punto fijo llamado centro y cualquier punto de él es menor o iguala un valor constantes. El valor constantes es el radio del círculo.
Un sector circular es una porción del círculo determinado por dos radios y el arco comprendido entre ellos.
Un segmento circular es una porción del círculo determinada por una cuerda y uno de los arcos determinados por ella
Un trapecio circular es la región del círculo determinada por dos circunferencias concéntricas y por dos radios
Un anillo (o corona) circular es una porción del círculo limitada por dos circunferencias concéntricas
CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico de un conjunto
de infinitos puntos que equidistan de un punto fijo. A tal punto se le llama centro de la circunferencia
ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
A B
M
N
Rectatangente
Rectasecante
Flecha o sagita
DiámetroAB( )
Centro
�
T�
Punto de tangencia
Q�
P�
Radio
Arco BQ
Cuerda PQ
PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
01.-Radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente.
R L
LR ⊥
02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes).
P
Q
M
N
R
MQ PM PQ R =⇒⊥
03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las
paralelas.
A B
C D
mBDmAC CD // AB :Si =⇒
04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes.
A
B
C
D
Cuerdas congruentesArcos congruentes
Las cuerdas equidistan del
centro
mCD mAB CD AB:Si =⇒=
POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS
01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro.
r
R
d = Cero ; d : distancia d = Cero ; d : distancia
Rr
Distancia entrelos centros (d)
02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común.
d > R + rd > R + r
R r
d = R + r d = R + r
03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un punto común que es la de tangencia.
r
R
R r
Punto de tangencia
Distancia entrelos centros (d)
d
R
d = R - rd = R - r
04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un punto en común que es la de tangencia.
d: Distancia entre los centros
R
r
Punto de
tangencia
05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes que son las intersecciones.
R r
( R – r ) < d < ( R + r )( R – r ) < d < ( R + r )
Distancia entrelos centros (d)
06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección.
d2 = R2 + r2d2 = R2 + r2
Distancia entrelos centros (d)
rR
06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes.
R
r
d
d < R - rd < R - r d: Distancia entre los centros
1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes.
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
AP = PBAP = PB
A
B
P
R
R
αα
2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes
AB = CDAB = CD
A
B
C
D
R
Rr
r
3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes.
AB = CDAB = CD
A
B
C
DR
R
r
r
TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas el doble del inradio.
a + b = c + 2r a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r ) a + b = 2 ( R + r )
a
b
c
r
R R
Inradio
Circunradio
TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales.
a + c = b + d a + c = b + d
d
a
b
c
Cuadrilátero circunscrito
α
1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la medida del arco que se opone.
A
B
C
r
r
α = mBAα = mBA
β
A
C
B
D
2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la semisuma de las medidas de los arcos opuestos
2
mCDmAB +=β
θ
A
B
C
3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida del arco opuesto y por lo tanto, es igual a la mitad de la medida del ángulo central.
2
mBA=θ
δ
4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSCRITO.- Es igual a la mitad de la medida del arco opuesto y por lo tanto, es igual a la mitad de la medida del ángulo central.
A
B
C
2
mBA =δ
ε
A
BC
2
mCBA =ε
1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de la medida del arco ABC.
α
A
B
C O
6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:
a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.
α + mBA = 180°α + mBA = 180°
2
mBA - mACB =α
β
A
B
C
O
D
b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.
2
mDC-mBA =β
θ
A
B
C
O
c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.
2
mCB -mBA =θ
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