Dr. Roque Sánchez
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MÉTODOS NUMÉRICOS
La solución analítica de la ecuación de
movimiento de un SDF no es posible si la
carga o la aceleración en la base impuesta
varía arbitrariamente, como en el caso de una
señal sísmica.
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( )mu cu fs p t+ + =&& &
MÉTODOS NUMÉRICOS
En este caso, se emplean métodos numéricos
para la integración de la ecuación diferencial
de movimiento.
Existen diversos métodos para este fin. En esta
presentación se mostrará el método de paso a
paso en el tiempo.
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MÉTODOS NUMÉRICOS
Procedimiento general:Procedimiento general:Procedimiento general:Procedimiento general:
Se estudia un intervalo de tiempo ∆t. En este
intervalo se desea obtener el desplazamiento,
velocidad y aceleración del paso ti+1
conocidos estos mismo parámetros en el
tiempo ti
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MÉTODOS NUMÉRICOS
Obviamente, al principio y fin de cada intervalo,
se cumple:
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i i i i it mu cu fs p⇒ + + =&& &
1 1 1 1 1i i i i it mu cu fs p+ + + + +⇒ + + =&& &
para:
para:
1 1
i i
i i
fs ku
fs ku+ +
=
=
donde:
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MÉTODOS NUMÉRICOS
1. Método basado en la interpolación de la 1. Método basado en la interpolación de la 1. Método basado en la interpolación de la 1. Método basado en la interpolación de la
excitaciónexcitaciónexcitaciónexcitación
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( ) ii
i
pp p
tτ τ
∆= +
∆
1i i ip p p+∆ = −
0i
tτ≤ ≤ ∆
1i i it t t+∆ = −
i i
i i
mu cu ku p
p cu kuu
m
+ + =
− −⇒ =
&& &
&&&
MÉTODOS NUMÉRICOSDr. Roque Sánchez M.Universidad Nacional de IngenieríaFacultad de Ingeniería Civil
1 1
1 1
i i i i i
i i i i i
u Au Bu Cp Dp
u A u B u C p D p
+ +
+ +
= + + +
′ ′ ′ ′= + + +
&
& &
Procedimiento:Procedimiento:Procedimiento:Procedimiento:
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MÉTODOS NUMÉRICOS
2. Método de la diferencia central2. Método de la diferencia central2. Método de la diferencia central2. Método de la diferencia central
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( )1 1 1 1
2
2
2
i i i i ii i
u u u u uu u
tt
+ − + −− + −= =
∆∆&& &
i imu cu ku p+ + =&& &
( ) ( ) ( )1 12 2 2
2
2 2i i i i
m c m c mu p u k u
t tt t t+ −
+ = − − − −
∆ ∆∆ ∆ ∆
conocidos
ˆi
pk̂
1
n
t
T π
∆≤
ojo:
MÉTODOS NUMÉRICOSDr. Roque Sánchez M.Universidad Nacional de IngenieríaFacultad de Ingeniería Civil
Procedimiento:Procedimiento:Procedimiento:Procedimiento:
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MÉTODOS NUMÉRICOS
3. Método de Newmark3. Método de Newmark3. Método de Newmark3. Método de Newmark
La solución se basa en las expresiones:
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( ) ( )
( ) ( )( ) [ ]( )
1 1
2 2
1 1
1
0.5
i i i i
i i i i i
u u t u t u
u u t u t u t u
γ γ
β β
+ +
+ +
= + − ∆ + ∆
= + ∆ + − ∆ + ∆
& & && &&
& && &&
a.Método de aceleración promedio
b.Método de aceleración lineal
1 1,
2 4γ β= =
1 1,
2 6γ β= =
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Procedimiento:Procedimiento:Procedimiento:Procedimiento:
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MÉTODOS NUMÉRICOS
Estabilidad:
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a.Método de aceleración promedio
b.Método de aceleración lineal
1 1
2 2n
t
T π γ β
∆≤
−
n
t
T
∆≤ ∞
0.551n
t
T
∆≤