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Ecuaciones de Fresnel para la reflexin y
refraccinRayos incidente, transmitido, y reflejado en lainterfaceCoeficientes de reflexin y transmisin
Ecuaciones de Fresnel
Angulo de Brewster
Reflexin total interna
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Plano dePlano de incidenciaincidencia y la interface con ely la interface con el mediomedio
DefiniciDefinicinn
Plane of the interface (here theyz plane) (perpendicular to page)
ni
nt
ikr
rkr
tk
r
ir
t
Ei Er
Et
Interface
x
y
z
Plano de incidencia(x-y plano) es el plano
que contiene losvectores k de los rayosincedente y reflejado.
Medio de incidencia
Medio de transmisin
Paralelo (P) Lapolarizacin sigueparalelo al plano de
incidencia.
Perpendicular (S) lapolarizacin apunta haciaafuera del plano deincidencia.
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NotaciNotacinn simplificadasimplificada parapara loslos estadosestados dede
polarizacipolarizacinn
Perpendicular (S) Esta
polarizacin se encuentraapuntando hacia afueradel plano de incidencia.
Paralelo (P) Esta
polarizacin est paralelaal plano de incidencia
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EcuacionesEcuaciones dede FresnelFresnel
Podemos calcular la fraccin de la luz de la onda refejada y transmitidapor la interface entre los dos medios con distinto ndice de refraccin.Fresnel fu el primero que hizo ste clculo.
ni
nt
ikr
rkr
tkr
ir
t
EiBi
Er
Br
Et
Bt
Interface
x
y
zEl caso consideradocorresponde a luz conel campo perpendicularal plano de incidencia
Empecemos porconsiderar lascondiciones de
contorno en lainterface para elcampo elctrico ymagntico de la
ondas i,r,t para elcaso S primero.
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La componente tangential del campo elctrico es continua
En otras palabras,el campo total Eenel plano de lainterface es
continuo.Surge que, todos loscampos Eestn enla direccin z,
que es e plano (xz)de la interface,As:
Ei(x, y = 0, z, t) +Er(x, y = 0, z, t) = Et(x, y = 0, z, t)
ni
nt
ikr
rkr
tkr
i r
t
EiBi
ErBr
Et
Bt
Interface
CondicionesCondiciones dede contornocontorno parapara el campoel campo
ElElctricoctrico en la interfaceen la interfacex
y
z
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La componente tangencial del campo magntico es continua
En otras palabras,el campo total B enel plano de lainterface es
continuo.
Todos los campos Bestn en el plano
x-y, de las que tomamosla componente x:
Bi
(x, y = 0, z, t) cos(i
) +Br
(x, y = 0, z, t) cos(r
) = Bt
(x, y = 0, z, t) cos(t
)
CondicionesCondiciones dede contornocontorno parapara el campoel campo
magnmagnticotico en la interfaceen la interface
ni
nt
ikr
rkr
tkr
ir
t
Ei
Bi
ErBr
Et
Bt
Interface
x
y
z
ii
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ReflexiReflexinn yy TransmisiTransmisinn dede luzluz
polarizadapolarizada perpendicularmenteperpendicularmente (S)(S)Ignoring the rapidly varying parts of the light wave and keeping
only the complex amplitudes:
E0 i
+ E0r
= E0 t
B0 i
cos(i)+ B
0 rcos(
r)= B
0 tcos(
t)
But B = E/ (c0
/n)= nE/c0
and i
=r
:
ni(E
0r E
0 i)cos(
i)= n
tE
0 tcos(
t)
Substituting for E0 t
usingE0 i
+ E0r
= E0 t
:
ni(E
0r E
0 i)cos(
i)= n
t(E
0 r+ E
0 i)cos(
t)
Si y
Sustituyendo por
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CoficientesCoficientes dede ReflexiReflexinn yy TransmisiTransmisinn
parapara luzluz polarizadapolarizada perpendicularmenteperpendicularmente
Rearranging ni(E
0 r E
0 i)cos(
i)= n
t(E
0 r+ E
0 i)cos(
t) yields:
E0r ni cos(i )+ nt cos(t)
= E
0 i ni cos(i ) ntcos(t)
r = E0 r/E0 i = ni cos(i ) ntcos(t)
/ n
i cos(i )+ ntcos(t)
t = E0 t/E0 i = 2ni cos(i ) / ni cos(i )+ ntcos(t)
0 0/ , ist iE EAnalogously, the transmission coefficient,
Solving for E0 r
/E0 i
yields the reflection coefficient :
reacomodando obtenemos:
Resolviendo obtenemos el coeficiente de reflexin:
En forma anloga el coeficiente de transmisin es:
Estas son la llamadas ecuaciones de Fresnel
para luz polarizada perpendicularmente
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EcuacionesEcuaciones dede FresnelFresnel
CampoCampo elelctricoctrico paraleloparalelo
x
y
z
Notar que el campo magntico debe hacia la pantalla para lograr
que .E B k rr r
ni
nt
ikr
rkr
tkr
ir
t
EiBi Er
Br
EtBt
Interface
Geometra de losRayor para luzpolarizada con elcampo elctrico fiparalelo al plano
de incidencia
Campo B-entrante en
la pgina.
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CoeficienteCoeficiente dede ReflexiReflexinn yy TransmisiTransmisinn
parapara EE paraleloparalelo (P) al(P) al planoplano dede incidenciaincidenciaFor parallel polarized light, B0i - B0r = B0t
and E0icos(i) +E0rcos(r) = E0tcos(t)
Solving for E0r/ E0i yields the reflection coefficient
En forma anloga el coeficiente de transmisint|| = E0t/ E0i, es:
Estas son las llamadas ecuaciones de Fresnel para
luz polarizada paralelamente.
r|| = E0r/E0 i = ni cos(t) nt cos(i ) / ni cos(t)+ ntcos(i )
t||= E
0 t/E
0 i= 2n
icos(
i) / n
icos(
t)+ n
tcos(
i)
para luz polarizada paralela al PI
y
calculamos y obtenemos el coef de reflexin
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CoeficienteCoeficiente dede ReflexiReflexinn yy TransmisiTransmisinn
parapara unauna interfaceinterface AireAire--VidrioVidrionaire 1 < nvidrio 1.5
Note que:
Hay reflexin total para = 90 para ambas
polarizacionesReflexin cero parapolarizacin paralela en elngulo de Brewster
(56.3 para los valores de niy nt).
(Para valores difrerentes delos ndices de refraccin, elngulo de Brewster serdiferente.)
ngulo de Incidencia, i
Co
eficientede
Reflexion,
r
1.0
.5
0
-.5
-1.0
r||
r
0 30 60 90
ngulo de Brewster
r||=0!
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CoeficienteCoeficiente dede ReflexiReflexinn parapara la interfacela interface
VidrioVidrio--AireAire
nvidrio 1.5 > naire 1
Note que :
Ocurre refexin totalinterna por encima delngulo crtico "
crtico arcsin(nt/ni)
(el seno en la ley de Snellno puede ser > 1!)
Angulo de incidencia, i
Coeficient
edeReflec
xin,
r
1.0
.5
0
-.5
-1.0
r||
r
0 30 60 90
Reflexin
Total interna
ngulo deBrewster
ngulo
Crtico
ngulocrtico
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TransmitanciaTransmitancia ((TT))
T Potencia transmitida / Potencia Incidente
I= n
0c
0
2
E0
2
T=n
tcos
t( )( )ni cosi( )( )
t2
At
Ai
=w
t
wi
=cos(
t)
cos(i)
t
iwi
wt
nint
=
ItA
t
IiA
i
A = Area
T=I
tA
t
IiA
i
=
nt
0c
0
2
E
0t
2
ni 0c02
E0i
2
wt
wi
=n
tE
0t
2
wt
ni E0i2
wi
=n
tw
t
niw
i
t2
Si el rayotiene unancho wi:
Ya que
E0t
2
E0i2
= t2
La Transmitancia se llamatambin Transmisividad.
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ReflectanciaReflectancia ((RR))
R Potencia reflectada/ Potencia incidente
2R r=
=I
rA
r
IiAi
Dado que el ngulo de incidencia = ngulo de reflexin,el rea del rayo no cambia en la reflexin.
Tambin, n es el mismo para ambos rayos ya que estn en elmismo medio.
As:
I= n
0c
0
2
E0
2
A = Area
iwi nint
r wi
La Reflectancia se llamatambin Reflectividad.
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ReflectanciaReflectancia yy TransmitanciaTransmitancia parapara unauna
interfaceinterface AireAire--VidrioVidrio
Note que R + T = 1
Polarizacin Perpendicular
ngulo de Incidencia, i
1.0
.5
00 30 60 90
R
T
Polarizacin Paralela
ngulo de Incidencia, i
1.0
.5
00 30 60 90
R
T
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ReflectanciaReflectancia yy TransmitanciaTransmitancia parapara unauna
interfaceinterface VidrioVidrio--AireAire
Note que R + T = 1
Polarizacin Perpendicular
ngulo de Incidencia, i
1.0
.5
00 30 60 90
R
T
Polarizacin Paralela
ngulo de Incidencia, i
1.0
.5
00 30 60 90
R
T
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ReflexiReflexinn concon incidenciaincidencia normalnormal
Cuandoi = 0,
y
Para una interfaz aire-vidrio (ni = 1 y nt= 1.5),
R = 4% and T= 96%
Los valores son los mismos,independientemente de la direccin en
que viaje la luz, del aire al vidrio o viceversa.
R =n
t n
i
nt+ n
i
2
T =4 n
tn
i
nt+ n
i( )2
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CambioCambio dede fasefase parapara lala ReflexiReflexinn dede luzluz
polarizadapolarizada perpendicularmenteperpendicularmente
Entonces habr interferencia destructiva entre el rayo incidentey el reflejado.
De la misma forma, si ni > nt (vidrio - aire), r > 0, la interferencia
ser constructiva.
r
=E0r
/E0 i
=
ni cos(i ) ntcos(t) n
icos(
i) + n
tcos(
t)
Wheni = 0, r= ni nt
ni+ n
t
If ni< n
t air to glass( ),r< 0
ni
nt
ikr
rkr
tkr
ir
t
EiBi
ErBr
Et
Bt
Interface
Cuando
Aire-vidrioSi
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CambioCambio dede fasefase parapara lala ReflexiReflexinn dede luzluz
polarizadapolarizada perpendicularmenteperpendicularmente
Esto significa que habr interferencia destructiva con el rayoincidente.De la misma forma, si ni > nt(vidrio - aire), r|| > 0, habrinterferencia constructiva.
r =E0r
/E0i
=
n
i cos(t) n
tcos(i )
nicos(
t) + n
tcos(
i)
Wheni= 0, r =
ni n
t
ni+ n
t
If ni < nt(air to glass), r < 0
ni
nt
ikr
rkr
tkr
ir
t
EiBi Er
Br
EtBt
InterfaceCuando
Aire-vidrioSi
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GrGrficasficas deldel cambiocambio dede fasefase parapara lala
reflexireflexinn reflection (reflection (aireaire -- vidriovidrio))n
i< n
t
180 para todoslos ngulos
180 para ngulosmenores al ngulo de
Brewster';0 para ngulosmayores
0 30 60 90
ng de incidencia
0 30 60 90ng de incidencia
0
0
||
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GrGrficasficas deldel cambiocambio dede fasefase parapara lala
reflexireflexinn reflectionreflection (vidrio - aire)n
t< n
i
Cambia la fase por
encima del ngulocrtico
180 para ngulospor debajo de ang
de Brewster;0 para valoresmayores
0 30 60 90
ng de incidencia
0 30 60 90ng de incidencia
0
0
||
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ReflexiReflexinn TotalTotal InternaInterna (RIT)(RIT) ocurreocurre cuandocuando sin(sin(tt) > 1, y) > 1, y
no hayno hay hazhaz transmitidotransmitido
Note que la irradiancia del haz transmitido tiende a cero ( occurreRIT) as it grazes the surface.
RIT tiene 100% de eficiencia, esto es, toda la luz es refejada.
ngulo de Brewster
Reflexin Total interrna
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Las Fibras Opticas usan la RIT para transmitir luz a largasdistancias.
FibrasFibras OpticasOpticas
Cada vez juegan un rol mas importante en nuestras vidas
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Core: Vidrio fino que senecuentra en el centro de la fibra por el quese conduce la luz
Cladding: rodea el core y refleja la luz nuevamente hacia el core
Buffer coating: Film protector plstico
Estructura de las fibras pticas
ncore > nclad
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PropagaciPropagacinn de lade la luzluz enen unauna fibrafibra pticaptica
Alguna seales se degradan debido a imperfecciones en el vidrio utilizado
en la contruccin de la fibra. Las mejores fibras pticas mustran muy pocaprdida menos de 10%/km en 1,550 nm.
La luz viaja a travs del corerebotando entre las paredes
reflectantes. Esto le permiteviajar a la luz grandesdistancias sin prdidas en laseal.
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ReflexiReflexinn TotalTotal InternaInterna FrustradaFrustrada (RITF)(RITF)
Colocando una superfice en contacto con la superfice en la queocurre RIT, la reflection total interna puede ser frustrada.
Cun cerca deben estar las superficies para que ocurra RITF?
Este efecto provee evidencia acerca de los campos evanescentes
nn
nn
Reflexin total interna Reflexin total interna frustadan=1 n=1
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El vector deEl vector de ondaonda k de lak de la ondaonda evanescenteevanescente
El vector de onda k de la ondaevanescente tiene componentes x e y :
Paralelo a la superficie: ktx = ksin(t)
Perpendicular a sta: kty = kcos(t)
Usando la ley de Snell, sin(t) = (ni/nt) sin(i), as ktx tiene sentido.
y nuevamente: cos(t) = [1 sin2(t)]1/2 = [1 (ni/nt)2 sin2(i)]1/2= i
Despreciando la solucin sin sentido fsico -i, obtenemos:Et(x,y,t) = E0 exp[ky] exp i [ k(ni/nt) sin(i)x t]
La onda evanescente decae exponencialmente en la direccin
transversal.
ni
nt
ikr
rkri
tx
y
tkr
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