Computación CientíficaAlgebra lineal numérica
Profesora: Dra. Nélida Beatriz Brignole
Matriz Es un arreglo de m x n números
• Dimensión de A: m x n• m: número de filas• n: número de columnas• Casos particulares:• m=n => A es cuadrada (dim A = orden A)• n=1 => A es un vector (Notación: a)
mnmm
n
A
21
11211
mxnA
Vectores
0
iposicion 1
0
0
e
Versores
exterior Producto
a
product)(dot interior escalar/ Producto
i
T
Aba
b
T
Traspuesta
Dada la traspuesta es
donde
Nótese: la traspuesta de un vector columna es un vector fila
mxnA nxmB
jiijT abAB
Ejemplo
34
62
21
362
421
TA
A
Identidad
La identidad es donde
Nótese: AI=IA=A
nxnI
jiI
jiI
ij
ij
1
0
Ejemplo
10000
01000
00100
00010
00001
5I
Inversa
• Dada la inversa de ella es
donde
Nótese: NO TODAS las matrices admiten inversa
mxnA nxmAB 1
IBAAB
Ejemplo
3
1
3
13
1
3
2
12
0
02
1
10
01
21
11
21
11 1
R
wz
wz
yx
yx
Iwy
zxAR
wy
zxRAA
MATRICES ESPECIALES
Problemas Generales
Matrices Triangulares
nia
atriangularesASi
IAgeneralEn
ii
n
iii
,1
0)(
0)det(,
1
Problemas lineales más comunes
• Resolución de sistemas lineales
• Resolución problema de autovalores
bxA
kkkk xxA
Matriz Diagonal
X
X
X
X
D
jiaij
000
000
000
000
0
Matriz Triangular Superior
X
XX
XXX
XXXX
U
jiaij
000
00
0
0
Matriz Triangular Inferior
XXXX
XXX
XX
X
L
jiaij
0
00
000
0
Nomenclatura
Matrices Tipo Tipo
reales Simétrica Ortogonal
complejas Hermítica Unitaria
TAA
*AA
1AAT
1* AA
Ejemplos
*
** 632
34
62
21
632
34
62
21
6
32
362
421
BBAA
BiBAA
iBA
iBA
T
TT
TT
hermítica es NO B simétrica es NOA
Matrices Unitarias y Ortogonales
1222
12
*2
11
*121
21
ortogonal es
unitariasson y
11
11
2
2
11
11
2
1
PPP
PPPPPP
Pii
iiP
T
Matriz Definida Positiva
Ade columnas k y filas k primeras la por formado
A de principal menor el es donde
ssi d.p. es simétrica matriz Una
Sylvester de Criterio
k
k
T
A
nkA
xAxx
,10)(det
00
Particionamiento de matrices
rxsij
qpq
p
A
AA
AA
A
donde
1
111
Ejemplo
))))(((())(()(
dimdim
2211
2
1
21
xnlplpmxlxnmxlmxn
BABAAB
pxnBmxpA
B
B
BAAA
lpl
Permutaciones
231p
Ejemplo
pp b)
np1 que talentero numeroun es p a)
n tq`p dim de pun vector es
n grado den permutació deUn vector
T
jisiji
ii
Matrices de permutación
• Es cualquier matriz que resulta de reordenar (permutar) las filas de I
• PA permuta filas de A
• AP permuta columnas de A
Matrices de permutación
231
010
100
001
Ejemplo
,1
231132
T
Tk
Ti
iki
pP
ePeePeePe
ePe
pkniePe
Propiedades
T
ijT
ij
ij
ij
PP
PP
IP
PP
1
2
Propiedad
• Si P es matriz de permutación, entonces– P tiene inversa
– P es ortogonal
)4(0
)3(,11
)2(0
)1(,11
`
jijiPePe
niiPePeIPP
jijiePPe
niiePPeIPP
qpq
jTT
i
iTT
iT
jTT
i
iTT
iT
Demostración
)2(0
)1(1
pT
kjTT
i
kT
kiTT
i
Tk
TTi
Tk
Ti
pjki
eePePe
eePePe
ePe
ePe
kpijePeePe
Operaciones
Igualdad
A=B si tienen igual dimensión y
34
21
43
21
BA
jiba ijij
Suma
Dadas dimA=dimB=dimC C=A+B =>
81
9
64
2
23-
2x9A
Ejemplo
xyABBA
yB
jibac ijijij
Producto
Dadas
el producto es C=AB tal que:
mxpA pxnB
nj
mi
bac kj
p
kikij
,...1
,...11
Ejemplo
dycx
byax
y
x
dc
ba
1458
484
210
634
12
51
Producto por un escalar
Dados
el producto es
mxpA
mxpC
ijij acAC
Ejemplo
28244
8121684
76
2342
x
iE
x
iE
Propiedades del producto
Dadas:
1. No conmutativa
2. Asociativa A(BC)=(AB)C
3. Distributiva A(B+C)=AB+AC
4.
5.
6.
mxmmxmmxm CBA BAAB
TTT ABAB
AATT
11 TTAA
Demostración:
TTT ABAB
p
kkijkjiij
T baABAB1
ijTT
p
kkj
Tik
Tp
kjkki ABABab
11
cqd.
Demostración:
cqd.
AATT
ijjiT
ij
TT AAA
Demostración:
cqd.
11 TTAA
11
1
1
TT
TT
T
T
AA
IAA
IAA
II
FIN PRIMERA PARTE
Autovalores
Espectro de A
niA i ,1)(
Radio espectral
Radio Espectral de la Inversa
ini
ini
A
A
xAx
xAAxA
xAx
1
1
1
1
1
11
min
1)(
1max)(
1
Lema 1
Sea A cuadrada, entonces para cualquier norma consistente y subordinada a una norma de vectores :
AA )(
Demostración
)(
max
maxmaxmax
11
111
AA
uA
uAuAvA
xAxx
xu
iini
iini
iniv
i
ii
Matriz definida positiva
Teorema 2
Si A es simétrica, entonces todos sus autovalores son reales
Teorema 3
Si A es simétrica y definida positiva, entonces todos sus autovalores son reales y positivos
Demostracion
0
0
00 :que sabemos2
2
2
2
x
xAxx
xxxxxAxx
xAx
T
TTT
Definición
veces
0lim
si econvergent matrizuna es
m
m
m
m
AAAAA
A
A
Lema 2
xx
x:Demostr
xxdecir es ,1mpara valeque Asumo
1m:Base
x qpq`
mla a elevados A de sautovalore los
son A de sautovalore Los
111
11
m
kk
kkk-
kk-
mm
A
xAxAA
Ak
xAλxAx
Teorema 4
Las siguientes proposiciones son equivalentes:
1(A) c)
normaalguna para 0Alimb)
econvergent es A )m
m
a
Lema 3
econvergent es A 1
matrices deicativa submultiplnorma alguna para Si
A
Lectura obligatoria
• Libro: Kincaid
• Cap. 4 : págs 116-123
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