Para el alumnado y en voz baja
Tema 7:Energía cinética y energía potencial
ejemplos sencillos
Contenidos paraFísica y Química
José Manuel Pereira Cordido. Departamento de Física y Química. IES San Clemente. Santiago
Documento parcial
Para TEMA 7
Energia cinetica y potencial.
Contenidos paraFísica y Química
José Manuel Pereira Cordido. Departamento de Física y Química. IES San Clemente. Santiago
José Manuel Pereira Cordido
Doctor en Ciencias
Catedrático de Bachillerato del I.E.S. San Clemente.
Santiago de Compostela
Edición 2013 © Gráficos y dibujos: José M. Pereira Cordido © Fotografías: José M. Pereira Cordido © Vídeo: José M. Pereira Cordido
© Realización, edición y diseño: José M. Pereira Cordido
Registro General de la Propiedad Intelectual. Santiago: 03/2013/695
Licencia Creative Commons: Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada.
Se permite la difusión del documento reconociendo su autoría
No se permite un uso comercial de la obra original ni la generación de obras derivadas
TEMA 7.- ¿Qué destino tiene el trabajo?: Energía.
Las fuerzas, ya sean constantes o no lo sean, actuando sobre un
cuerpo pueden deformarlo, modificar la posición de éste o producirle
una aceleración. También puede ocurir que todas las posibilidades se
superpongan, pero si se diera tal situación tendríamos que estudiar
separadamente cada efecto.
Para conocer el destino del trabajo vamos a considerar
separadamente las diferentes posibilidades.
Es evidente por lo dicho, que después de haber realizado
trabajo sobre un cuerpo, éste adquiere unas capacidades que antes no
tenía en virtud de que ahora se mueve con mayor velocidad o se
encuentra en otra posición más elevada.
El trabajo no ha desaparecido, se ha acumulado en el cuerpo de
destino disfrazado , transformado, oculto de alguna forma, que se ha
dado en llamar "energía".
El destino del trabajo es transformarse en energía.
El trabajo puede incrementar la energía cinética. Caso general de una fuerza variable
Consideremos un bloque que se encuentra sobre una superficie
horizontal sin rozamiento.
En la figura A, representamos las
fuerzas aplicadas sobre el bloque en la
dirección Y:
Existe una fuerza vertical y hacia
abajo, ejercida por la Tierra sobre dicho
bloque (su reacción no se representa,
no interesa ya que estaría aplicada en la
Tierra) .
Tema 7.2: Energía cinética y energía potencial. Ejemplos
JMPereiraCordido / Departamento de Física y Química IES San Clemente 1
´B
xBW F x= ⋅∂∫
´B
BW F x= ⋅∂∫
Hay otra fuerza, también aplicada en el bloque, vertical y hacia
arriba, que es la ejercida por la superficie sobre el bloque (la acción
origen de esta fuerza no interesa y por tanto no se representa).
Solamente representamos las fuerzas sobre el bloque ya que es,
precisamente el bloque, el objeto de nuestra atención: el sistema
Las dos fuerzas representadas
(que, advertimos, no son una pareja
de acción-reacción) actúan sobre el
bloque; además en el caso presente
son iguales y por ello decimos que el
bloque está en equilibrio sobre la
superficie.
Si a lo largo del eje X,
aplicamos ahora una fuerza F (figura
B) y ya no representamos las fuerza
anteriores de resultante nula.
En tal situación, el bloque se
desplaza hacia la derecha como se
indica en las figuras inferiores.
Como la fuerza F es paralela a la superficie, en lugar de
escribir:
podemos escribir:
ya que F y Fx coinciden. Vemos que la fuerza aplicada está en la
dirección del eje X, y por tanto su valor es idéntico a Fx .
Tema 7.2: Energía cinética y energía potencial. Ejemplos
JMPereiraCordido / Departamento de Física y Química IES San Clemente 2
vat∂
=∂
F m a= ⋅
´ ´B B
B B
vW F x mv xx∂
= ⋅∂ = ∂∂∫ ∫
vat
xx
∂=∂
∂∂
x x vv vax xt t
vx
∂ ∂∂ ∂∂ ∂
= = =∂
∂ ∂∂
´ ´ ´ ´B x v v
B x v v
vW F x mv x mv v m v vx∂
= ⋅∂ = ∂ = ∂ = ∂∂∫ ∫ ∫ ∫
Por otra parte, sabemos que :
Pero a la aceleración podemos escribirla como
LEAMOS, SOLO LEAMOS LAS SIGUIENTES LÍNEASporque lo
trascendente es lo que finalmente deducimos: :
Hagamos ahora un “ejercicio” matemático para conseguir lo que
se llama un “cambio de variable”. Escribamos el valor de la aceleración
en la forma:
O lo que es lo mismo:
Con estas sustituciones, muy sencillas pero artificiosas,
hemos conseguido escribir la aceleración bajo otra forma, forma que
ahora nos será útil. En efecto.
Sustituyendo, en definitiva, haciendo ese cambio de variables,
la ecuación que expresa el trabajo puede escribirse:
como dicha integral es inmediata, podemos obtener como
resultado final:
Tema 7.2: Energía cinética y energía potencial. Ejemplos
JMPereiraCordido / Departamento de Física y Química IES San Clemente 3
´v
vm v v∂∫
( )22 1
´ 212
v
vm vm vv v∂ −=∫
( )2 22 1
12
W m v v= −
Pero la integral:
es inmediata
En resumen, el trabajo que realiza la fuerza puede escribirse:
o Es de destacar que después de los cambios de variables, la expresión final del trabajo no incluye ni a F ni a la cuantía del desplazamiento desde B hasta B’.
o Tampoco, y esto es también trascendente, hemos impuesto ninguna restricción a la fuerza F. La fuerza puede ser constante o variable.
o La cuantía del trabajo realizado se calcula, con sólo saber la masa del cuerpo y sus velocidades al comienzo y al final de la acción de la fuerza.
Es muy frecuente recurrir a calcular así el trabajo, cuando poco
o nada sabemos de la fuerza que actúa. El trabajo lo conocemos en
razón de la energía cinética que generó.
No obstante hay una única restricción: ninguna de las
fuerzas que actúan se encarga de disipar parte del trabajo. No
existen fuerzas disipativas .
Por todo lo anterior, debemos de tener siempre muy presente
que ( si no existen fuerzas de rozamiento), el cálculo de un trabajo
puede obviarse y conocerse su cuantía a base de hacer el cálculo
del incremento de la energía. Este tipo de energía se llama
cinética.
Todo el razonamiento anterior puede hacerse para el caso de una fuerza constante y paralela a la superficie, omitiendo el empleo del cálculo integral y empleando una simbología elemental. Lo hacemos a continuación:
Tema 7.2: Energía cinética y energía potencial. Ejemplos
JMPereiraCordido / Departamento de Física y Química IES San Clemente 4
2 20
2v va s −
Δ =
2 20
2v vW m −
=
2 20
1 12 2
W mv mv= −
El trabajo puede incrementar la energía cinética. Caso especial cuando la fuerza es constante.
En efecto.
Supongamos que sobre un cuerpo en reposo actúa un fuerza
constante paralela a la superficie (sin rozamiento) sobre la que se
apoya.
Sabemos que si se aplica una fuerza constante a un cuerpo, este
se mueve con un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
Podemos escribir para tal situación que:
W = F · s
W = F ∆s = m a ∆s.·
pero V2 = v20 + 2a ∆ s ·
En donde el valor de F se sustituyó por m .a ; y el valor de la
aceleración (dado que es un movimiento uniformemente acelerado) por
su valor (recuérdese que V2 final = 2 a s )
de donde
sustituyendo
Finalmente, la ecuación se puede expresar como:
Es decir, que el trabajo que se realiza sobre un cuerpo al
ejercer sobre él una fuerza constante, se invierte en variar su
energía cinética.
Tema 7.2: Energía cinética y energía potencial. Ejemplos
JMPereiraCordido / Departamento de Física y Química IES San Clemente 5
´B
xBW F x= ⋅∂∫
´B
BW F x= ⋅∂∫
El trabajo incrementa la energía potencial
Supongamos que un bloque se encuentra apoyado sobre una
superficie horizontal.
En la figura A se han representado las fuerzas que actúan sobre
él, son las mismas que en el ejemplo anterior, y por tanto, no procede
llevar a cabo una explicación completa de dischas fuerzas. Si, dejar
claro que solo se han representado las fuerzas aplicadas en el
cuerpo .
Si deseamos elevar verticalmente el cuerpo, con velocidad
constante, debemos de ejercer una fuerza F vertical y hacia arriba de
cuantía idéntica a su peso (figura B).
En tal situación el cuerpo continúa también en equilibrio. Ahora
moviéndose con velocidad
constante y antes quieto
El trabajo realizado por la
fuerza F se calcularía como
siempre:
pero como la fuerza F
vertical, coincide con el
desplazamiento también vertical,
resultará :
Si admitimos que la fuerza
que laTierra ejerce sobre el cuerpo
es constante, afirmación válida si B
y B’ no están muy separados entre
sí, podemos considerar que F es
constante. Por tanto, el cálculo del
trabajo para la situación planteada
se concretaría como:
Tema 7.2: Energía cinética y energía potencial. Ejemplos
JMPereiraCordido / Departamento de Física y Química IES San Clemente 6
2 1
´ ´
2 1) ( )(h h
h hF h F h F h mg h hhW = ⋅∂ = ∂ = = −−∫ ∫
( ) ( )2 1 0 0 0 pW P h h mh h h mgh mgh Ep Ep E= ⋅ − = ⋅ − = − = − = −Δ
Se trata pues, del sencillo caso de calcular el trabajo de una
fuerza constante
Cálculo de la energía potencial gravitatoria. Un ejemplo
El cálculo de la energía potencial gravitatoria que tiene un
cuerpo siempre se hace respecto de otro que ejerce una fuerza de
atracción sobre él.
El caso más habitual que es lo de cuerpos que encuentran
próximos a la Tierra y están sometidos a la fuerza de la gravedad, que
a distancias pequeñas de la superficie terrestre podemos considerar
constante y de valor conocido (su peso). El valor de la energía
potencial, con respecto a la superficie de la Tierra es
E p =·m g h
Imaginemos un cuerpo de masa m, situado la una altura h0 que
cae hasta una altura h. La fuerza a la que está sometido es su peso P
=m·g y el trabajo realizado, ya que tienen la misma dirección, será
igual al producto de la fuerza por el desplazamiento, :
Vemos que el trabajo realizado es igual a la variación de energía
potencial que sufrió el cuerpo. El signo menos se debe la que la
energía potencial del cuerpo disminuyó.
Hemos considerado a la superficie de la Tierra como origen de
alturas, pero podemos considerar cualquier otro punto como origen ya
que lo trascendente es la variación de energía potencial. Conviene
situar el origen de alturas en el punto más bajo ya que así la energía
potencial que tiene el cuerpo al final es nula.
Tema 7.2: Energía cinética y energía potencial. Ejemplos
JMPereiraCordido / Departamento de Física y Química IES San Clemente 7
1 1 0,1 9,8 9 8,82pE mgh J= = ⋅ ⋅ = 2 2 0,1 9,8 3 2,94pE mgh J= = ⋅ ⋅ =
1 1 0,1 9,8 0 0pE mgh J= = ⋅ ⋅ = 2 2 0,1 9,8 ( 6) 5,58pE mgh J= = ⋅ ⋅ − = −
2 1 2,94 8,82 5,58p p pE E E JΔ = − = − = −
2 1 5,58 0 5,58p p pE E E JΔ = − = − − = −
Ejemplo
Una pelota de 100 gramos de masa está suspendida entre las
cuerdas de un tendedero en la terraza de un tercero piso a 9 metros de
altura. En un instante determinado, se suelta, cae y vuelve trabarse
entre las cuerdas del primero piso a 3 metros de altura.
Hallar:
a) El valor de la energía potencial en las dos posiciones se
tomamos el suelo como origen.
b) Lo mismo, tomando cómo origen la posición inicial de la
pelota.
c) La variación de energía potencial que hubo en los dos
apartados anteriores.
Solución:
a)
b
b)
c)
En el primer caso:
En el segundo caso:
Podemos observar que la variación de energía es la misma en
los dos casos, como era de esperar, ya que no depende del origen que
tomemos dado que este se puede elegir arbitrariamente. También
observamos que el resultado es negativo debido la que la pelota pierde
energía potencial al caer.
Tema 7.2: Energía cinética y energía potencial. Ejemplos
JMPereiraCordido / Departamento de Física y Química IES San Clemente 8
´h
hmg sen x= ⋅ α ∂∫
´ ´cos
h h
xh hW F x F F x= ⋅∂ = β∂∫ ∫
o (Parte del contenido que sigue requiere que el alumno repase lo que ya estudió en cursos anterioriores sobre las leyes de Newton).
¿Pero si la fuerza no coincide con la dirección del desplazamiento?
Si queremos elevar un cuerpo con velocidad constante pero
empleamos una fuerza que no es vertical como la dirección de su
peso. Por tanto, sólo una porción de dicha fuerza( la que llamamos
componente útil) realiza trabajo.
En efecto, supongamos
que tal como indica la figura, una
fuerza F que forma un ángulo β con la dirección del
desplazamiento, intenta elevar a
un cuerpo sobre la superficie x
que forma un ángulo α con la
horizontal.
Para que el cuerpo
ascienda con velocidad
constante, tendrá que
encontrarse en equilibrio.
Es decir:
Σ Fi = 0
Por tanto deberá de cumplirse la condición:
F cos β− P sen α= 0
en definitiva:
F cos β= P sen α
Si calculamos ahora el trabajo realizado:
Tema 7.2: Energía cinética y energía potencial. Ejemplos
JMPereiraCordido / Departamento de Física y Química IES San Clemente 9
´ ´
2 1( )h h
h hW mg h mg h mg h h= ∂ = ∂ = −∫ ∫
sustituyendo ∂x sen α = ∂ h
obtendremos finalmente:
Hemos constatado así lo anteriormente afirmado al hablar del
trabajo neto: el trabajo realizado sólo depende de la posición inicial
y final.
Al igual que antes, advertimos que tal afirmación está
supeditada al hecho de que no existe rozamiento. En el sistema
objeto de estudio no existen fuerzas que disipen trabajo (fuerzas
disipativas).
Tema 7.2: Energía cinética y energía potencial. Ejemplos
JMPereiraCordido / Departamento de Física y Química IES San Clemente 10
El trabajo incrementa la energía cinética y potencial
Como consecuencia de los dos apartados anteriores en donde
hemos constatado el destino del trabajo en dos situaciones muy
concretas :
a) El trabajo sólo incrementaba la energía cinética
b) El trabajo sólo incrementaba la energía potencial
Podremos plantearnos una situación general en donde, no
existiendo fuerzas disipativas, una fuerza realiza trabajo sobre un
cuerpo de masa m, y puede modificar la altura del del cuerpo además
de variar su velocidad.
Es la situación general que representa la figura. La fuerza F que
actúa sobre el cuerpo de masa m, puede realizar trabajo de diferentes
formas:
a) Puede trasladar
horizontalmente el cuerpo e
incrementar solamente su energía
cinética siempre y cuando:
F sen α< mg ;
ya que de no cumplir tal
condición, además de trasladarlo lo
levanta.
Si se cumple la condición
anterior, el trabajo realizado por F cos α incrementa la energía cinética en la
cuantía que ya sabemos calcular.
b) Si la la fuerza F fuese vertical
(no tendría componente x) y si su valor
fuese idéntico al producto de mg, el
cuerpo se eleva con velocidad constante
y se incrementa solamente su energía
potencial.
c) Por último, si F sen α> mg el
Tema 7.2: Energía cinética y energía potencial. Ejemplos
JMPereiraCordido / Departamento de Física y Química IES San Clemente 11
cuerpo se separa de la superficie e incrementa su energía cinética y
potencial.
A efectos prácticos,
y siempre que nos
encontremos con una
fuerza actuando sobre un
cuerpo colocado sobre una
superficie, debemos de
analizar previamente las
posibilidades expuestas,
antes de acometer con
prisa y sin meditarlo,
cualquier cálculo del
trabajo.
Lo recomendable es
descomponer la fuerza
aplicada tal como
señalamos en la figura y,
comparar sus
componentes con las que
origina el peso. En el
supuesto de que sean estas
dos, las únicas fuerzas
aplicadas en el cuerpo, la
comparación de las componentes en el eje X y en el eje Y, permitirá la
resolución del problema
Valores absolutos de la energía potencial y cinética.
En la exposición anterior hemos supuesto para el caso de la
energía potencial unos cambios de energía en los que el nivel de
referencia era arbitrariamente elegido.
Habitualmente se elige el punto más bajo como referencia para
Tema 7.2: Energía cinética y energía potencial. Ejemplos
JMPereiraCordido / Departamento de Física y Química IES San Clemente 12
que los valores de ∆ Ep resulten positivos, no obstante, si el nivel de
referencia se invierte resultarían negativos. Caso de elegir uno u otro
nivel de referencia, el resultado final es que el valor de ∆ Ep no será
diferente.
Como nivel de referencia debemos elegir el que a los efectos
prácticos resulte más cómodo. Así, si el nivel 0 de energía potencial, es
la posición inicial del cuerpo se simplifican con frecuencia los cálculos.
En otros casos es muy frecuente elegir cono nivel cero el de la
superficie de la Tierra.
En definitiva, carece de importancia el elegir uno u otro nivel de
referencia ya que los valores resultan siempre relativos.
En el fondo subyace el problema de que al levantar un cuerpo,
lo que realmente hacemos es separar la Tierra del cuerpo (o al revés) .
Luego, atribuimos el incremento de energía potencial solamente al
cuerpo, cuando en realidad el incremento de energía potencial se
reparte entre los dos cuerpos que separamos Tierra y objeto que se
levanta.
En relación con la energía cinética ocurre otro tanto.
Habitualmente suponemos que un objeto que permanece
inmóvil con relación a la Tierra no tiene velocidad.
Atribuimos a dicho objeto una energía cinética 0 cuando
sabemos que, realmente, el cuerpo se mueve con una enorme
velocidad. Recordemos su cuantía...en razón de que la Tierra se
traslada en el espacio muy rápidamente en su rotación alrededor del
Sol, y además gira sobre su eje a enorme velocidad . Nótese que
incluso asimilamos la aparente quietud de los objetos sobre la Tierra a
una situación muy diferente, ya que el objeto, lejos de estar quieto,
realiza un movimiento que además es acelerado.
Pero a los efectos prácticos de cálculos de incrementos de
energía cinética los argumentos anteriores no surten efectos, y lo
habitual es atribuir una velocidad 0 a los objetos situados sobre la
Tierra.
Puede incluso ocurrir que resulte práctico en un caso concreto
considerar fijo a un móvil de velocidad conocida, y determinar el
incremento de energía cinética utilizando la velocidad relativa del
segundo con respecto al primero.
Tema 7.2: Energía cinética y energía potencial. Ejemplos
JMPereiraCordido / Departamento de Física y Química IES San Clemente 13
Ejemplos prácticos de conservación de la energía mecánica.
Hemos visto en los apartados precedentes que cuando se reliza
trabajo sobre un cuerpo (podemos llamale sistema) dicho trabajo
incremente la energía cinética, la potencial o, si fuera el caso, ambas
formas de energía.
Es evidente que, si no realizamos trabajo sobre el sistema,
su contenido energético no variará lo que nos permite afirmar que,
en un sistema aislado ( de fuerzas exteriores o si actúan varias su
resultante es nula), la energía total permanece constante.
Dicho en otros términos, la suma de ambas formas de energía
potencial y cinética es constante. Evidentemente, en tales
condiciones si una forma de energía tiene posibilidad de transformarse
en la otra lo hará, y así parte ( o toda ) una forma de energía se
transforma en la otra de tal suerte que si aumenta la energía cinética
disminuye la energía potencial y viceversa.
Como en todos los casos que hemos considerado, esta
afirmación solo se cumple si no existen fuerzas disipativas, es decir no
existe rozamiento ya, si existiese,parte de la energía mecánica se
transformaría en calor.
Todo ñp anterior puede resumirse bajo la expresión de que:
∆Ep = ∆Ec O bien
Ep +Ec = constante
que podemos escribir así:
E p0 + E c0 = E p + E c.
y agrupando términos:
E p0 + E c0= E p + E c. Lo que nos dice que la suma de las energías potencial y cinética
iniciales es igual a la suma de las energías potencial y cinética finales.
Tema 7.2: Energía cinética y energía potencial. Ejemplos
JMPereiraCordido / Departamento de Física y Química IES San Clemente 14
2 20 0
1 12 2
mgh mv mgh mv+ = +
2 20 0
1 12 2
mgh mv mgh mv+ = +
Se sustituimos cada término por su valor, obtenemos:
Ejemplo 1
Un objeto de 3 Kg de masa se desliza sin rozamiento sobre una
superficie horizontal la una velocidad de 2 ms-1y comienza a subir una
cuesta según se muestra en la figura:
a) ¿Hasta que altura llegará?
b) ¿Qué velocidad tendrá cuándo alcance una altura de 10
centímetros?
3 kg……. v0= 2ms-1
Solución:
a) Aplicando el principio de conservación de la energía
mecánica:
Dado que la altura inicial es cero, la energía potencial inicial es
nula y que al llegar a la altura máxima la velocidad será igual a cero
por lo que la energía cinética final también será nula,
Tema 7.2: Energía cinética y energía potencial. Ejemplos
JMPereiraCordido / Departamento de Física y Química IES San Clemente 15
20
12
mv mgh=
2 20
1 12 2
mv mgh mv= +
20 4 0,20
2 19,6vh m
g= = + =
2 20 2v v gh= + −
2 10 2 4 2 9,8 0,1 1,43v v gh ms−= − = − ⋅ ⋅ =
En nuestro caso,obtenemos :
Despejando:
b) Volviendo a aplicar el principio de conservación, en las
condiciones actuales, tendremos
Por lo tanto:
De modo análogo se solventaría la resolución de problemas que,
sin aplicar el principio de conservación de la energía resultarían largos
o imposiblesde resolver.
Ejemplo 2
Si lanzamos verticalmente hacia arriba un cuerpo de masa m
con una velocidad inicial v0, ¿qué altura máxima alcanzará? ¿la qué
altura coincidirán los valores de sus energías cinética y potencial?
Ejemplo 2
Un futbolista tira a puerta con un balón de 200 g de masa que
sale de la punta de su bota a una velocidad de 15 m/s. El tiro sale alto
y el balón va a parar a los graderíos a una altura de 8 metros.
Suponiendo que no existe rozamiento, ¿con que velocidad chocará ?
Tema 7.2: Energía cinética y energía potencial. Ejemplos
JMPereiraCordido / Departamento de Física y Química IES San Clemente 16
Top Related