UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
VICERRECTORADO BARQUISIMETO
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA
CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS
Prof: Ing. (MSc).
Juan Enrique Rodríguez C.
1 Octubre, 2013
Índice
Función de Transferencia
Polos y ceros de una función de transferencia
Comportamiento dinámico de sistemas de primer orden
2
3
CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS
La Función de transferencia y sus aplicaciones en el modelado de procesos
4
Función de transferencia
El uso de las transformadas de Laplace, nos permite formar una muy simple, conveniente y
significativa dinámica de los procesos químicos. Es simple, ya que utiliza sólo ecuaciones
algebraicas (no ecuaciones diferenciales). Es conveniente, ya que permite un rápido análisis de la
dinámica del proceso y, por último, es significativa ya que proporciona directamente la relación
entre las entradas (perturbaciones, variables manipuladas) y las salidas (variables controladas).
Función de Transferencia de un proceso con una única salida
Considere la posibilidad de un sistema de proceso simple con una sola entrada y una sola salida.
5
Función de transferencia
Después de tomar la transformada de Laplace y las condiciones iniciales en cero, nos
encontramos con que:
01
1n
1n
n
n asa...sasa
bsG
sF
sY
Si el proceso tiene dos entradas, f1(t) y f2(t), como se muestra en la figura, entonces su modelo
dinámico es:
Función de transferencia
sF*sGsF*sGsY
o
sF*asa...sasa
bsF*
asa...sasa
bsY
2211
2
01
1n
1n
n
n
21
01
1n
1n
n
n
1
Después de tomar la transformada de Laplace y las condiciones iniciales en cero, nos
encontramos con que:
6
Función de transferencia Resumiendo todo lo anterior, podemos definir la función de transferencia como la relación entre
una entrada y una salida de la siguiente manera:
desviación de formaen entrada, la de Laplace de daTransforma
desviación de formaen salida, la de Laplace de daTransformasG
Ejemplo: El modelo matemático del calentador del tanque agitado en términos de las variables
de desviación que se desarrolló es:
stt
iit T'*
Cp*ρ*V
A*U'T*
V
FT'*
Cp*ρ*V
A*U
V
Fi
dt
dT'
entonces
Cp*ρ*V
A*Uc ;
V
Fb ;
Cp*ρ*V
A*U
V
Fia :Sea tit
sT'*as
cs'T*
as
bsT'
sT'*cs'T*bas*sT'
sT'*cs'T*bsT'*asT'*s
Laplace de ada transformla aplicando T'*c'T*bT'*adt
dT'
sti
sti
sti
sti
7
Función de transferencia
Definimos las dos funciones de transferencia
sT'*sGs'T*sGsT'
Entonces
sT'
sT'sG y
s'T
sT'sG
st2i1
st
2
i
1
La siguiente figura, muestra el diagrama de bloques para el calentador del tanque.
8
Función de transferencia Matriz de Función de Transferencia de un proceso con varias salidas
Considere la posibilidad de un proceso, como el que se muestra en la figura, con dos entradas,
f1(t) y f2(t), y dos salidas, y1(t) y y2(t). El modelo matemático dado por las siguientes dos
ecuaciones diferenciales lineales, con todas las variables ya en forma de desviación son:
tfbtfbyayadt
dy
tfbtfbyayadt
dy
2221212221212
2121112121111
Las condiciones iniciales son: y1(0)= y2(0) = 0
Luego, aplicando la transformada de Laplace, tenemos
9
Función de transferencia
sF
sF*
sGsG
sGsG
sY
sY
:es matricial formaEn
sP
babasbsG
sP
babasbsG
sP
babasbsG
sP
babasbsG
:son G ,G ,G ,G ncia transferede funciones las Donde
sF*GsF*GsY
sF*GsF*GsY
forma la de reescribir puede se que loPor
aaaasaassP
:por definido ticocaracteris polinomio el es sP
sF*sP
babassF*
sP
babassY
sF*sP
babassF*
sP
babassY
2
1
2221
1211
2
1
221112212222
211111212121
122222121212
112221121111
22211211
2221212
2121111
221121122211
2
212212211
111212111
2
222121222
121121122
1
10
CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS
Polos y Ceros de una Función de transferencia
11
Polos y Ceros de una función de transferencia
En general, la función de transferencia G(s) será el cociente de dos polinomios:
sP
sQsG
Para los sistemas físicamente realizables, el polinomio Q(s) será siempre de orden menor que el
polinomio P(s). Las raíces del polinomio Q(s) se llaman los ceros de la función de transferencia,
o los ceros del sistema cuya dinámica está descrita por la función de transferencia G(s). Las
raíces del polinomio P(s) se llaman los polos de la función de transferencia, o de forma
equivalente, los polos del sistema. Los polos y los ceros de un sistema desempeñan un papel
importante en la análisis dinámico de sistemas de procesamiento y el diseño efectivo de
controladores. A medida que avanzamos, su utilidad será más clara.
Ejemplo 1: Determine los ceros y polos de la siguiente función de transferencia.
44s-s
1-ssG
2
La raíz del numerador es: s=1 (un cero)
La raíces del denominador es: s=2 (dos polos)
Reescribiendo la función en términos de las fracciones parciales
22
2
1
44ss
1ssG
s
s
12
Ejemplo 2: El modelo de entrada-salida del tanque calentador fue desarrollado en el ejemplo.
sT'*sGsT'*sGsT' st2i1
La función de transferencia G1(s) es:
as
bsG1
Esta función, no tiene ceros y tiene un polo en s = -a. Del mismo modo, la función de
transferencia G2(s), que está dada por:
as
csG2
Esta función, no tiene ceros y tiene un polo en s = -a. Tenga en cuenta que las funciones de
transferencia tienen un polo en común.
Análisis cualitativo de la respuesta de un Sistema
Supongamos que la función de transferencia de un sistema está dada por:
544
m
321
2ps*pspspspsps
sQ
sP
sQsG
Donde: p1, p2, p3, p4, p4* y p5 son las raíces de P (s)
La expansión de las fracciones parciales de G(s) se obtendrán los siguientes términos:
Polos y Ceros de una función de transferencia
13
Polos y Ceros de una función de transferencia
5
5
4
4
4
4
m
3
3m
2
3
32
3
31
2
2
1
12
ps
C
*ps
*C
ps
C
ps
C...
ps
C
ps
C
ps
C
ps
CsG
Las siguientes observaciones se pueden hacer para la localización de los polos:
1. Reales, polos distintos, tales como p1 y p2, se encuentran en el eje real (ver figura).
2. Múltiples, polos reales, como p3, que se repite m veces.
3. Polos complejos conjugados, como p4 y p4*.
4. Polos en el origen: Polo p5 se encuentra en el origen del plano complejo.
14
CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS
Comportamiento dinámico de sistemas de primer orden
15
Comportamiento dinámico de sistemas de primer orden
¿Qué es un sistema de primer orden?
Un sistema de primer orden es aquel cuya salida y(t) es modelada por una ecuación diferencial
de primer orden. Así, en el caso de sistema lineal (o linealizado). Tiene la siguiente forma:
tbfyadt
dya 01
Donde f(t) es la función de forzamiento, y a0, a1 y b son constantes, ahora si dividimos toda la
ecuación entre a0, siempre y cuando a0≠0, tenemos
tfa
by
dt
dy
a
a
00
1
Definamos como:
p
0
p
0
1 Ka
by τ
a
a
Entonces:
tfKydt
dyτ pp
τp: se conoce como la constante de tiempo del proceso.
Kp: se denomina como la ganancia en estado estable o ganancia
estática o, simplemente, la ganancia del proceso.
16
Comportamiento dinámico de sistemas de primer orden
Si y(t) y f(t) están en términos de las variables de desviación en torno al estado estable, las
condiciones iniciales son y(0) = 0 y f(0) = 0. Se puede encontrar fácilmente la función de
transferencia de primer orden del proceso.
1sτ
K
sF
sYsG sF*
1τ
KsY
sF*K1τ*sY sF*KsYsY*sτ
Laplace de ada transformla Aplicando
tfKydt
dyτ
p
p
p
p
pppp
pp
s
s
En un proceso de primer orden con una función de transferencia dada por la ecuación anterior, es
conocida como retardo de primer orden, retardo lineal, exponencial o retardo de transferencia.
s
K'
sF
sYsG sF*
K'sY s*FK'sY*s
tenemosLaplace, Aplicando
tfK'dt
dy tf
a
b
dt
dy tbf
dt
dya
pp
p
p
1
1
s
Ahora si, a0 = 0, tenemos
En tal caso, el proceso se denomina puramente capacitivo o integrador puro.
17
Comportamiento dinámico de sistemas de primer orden Modelado de procesos como sistemas de primer orden
Los procesos de primer orden se caracterizan por:
1. Su capacidad para almacenar material, energía o impulso.
2. La resistencia asociada con el flujo de masa, energía, o el impulso para llegar a la capacidad.
Por lo tanto, la respuesta dinámica de los tanques que tienen la capacidad de almacenar líquidos o
gases se pueden modelar como de primer orden. La resistencia se asocia a las bombas, válvulas,
vertederos, y los tubos que están unidos a la entrada y salida de líquidos o gases. Del mismo
modo, la respuesta de la temperatura en los sistemas sólidos, líquidos o gaseosos que pueden
almacenar energía térmica (capacidad térmica, cp) es modelado como de primer orden.
Ejemplo: Considere el tanque que se muestra en la figura. El flujo volumétrico a la entrada es
Fi, y la tasa de flujo volumétrico de salida es Fii. En la corriente de salida hay una resistencia al
flujo, tal como un tubo, válvula, o vertedero. Supongamos que el efluente de flujo F0, está
relacionada linealmente con la presión hidrostática, a través de la resistencia R, a través de la
siguiente ecuación:
flujo del aresistenci
flujo del impulsora fuerza
R
hFii
18
Comportamiento dinámico de sistemas de primer orden
1sτ
KsG
ncia transferedefunción la Entonces,
proceso del ioestacionar estado del gananciaRK
proceso del tiempode constanteAR:Donde
R*sFisHsH*s*R*A
Laplace de ada transformla Aplicando
FFF'
hhH':Donde
F'*RH'dt
dH'R*A
forma la de Quedando,
F*Rh
: tenemosioestacionar estado elen Donde
R*Fhdt
dhR*A
R
hFFF
dt
dhA
p
p
p
p
i,0ii
0
i
i,00
iiiii
19
Comportamiento dinámico de sistemas de primer orden
Ejemplo: Sistema de primer orden con una capacidad de almacenamiento de energía
El líquido de un tanque se calienta con vapor saturado, que fluye a través de un serpentín
sumergido en el líquido (Ver figura). El balance de energía para los rendimientos del sistema es:
TT*A*UQdt
dT*Cp*ρ*V st
Donde:
U = coeficiente de transmisión térmica global entre el vapor y el líquido
Tst = temperatura del vapor saturado
El estado estacionario viene dado por:
0st,0 TT*A*U0
En términos de la variable de desviación:
st,0stst
0
st
T-TT'
TTT':Donde
T'T'*A*Udt
dT'*Cp*ρ*V
Aplicando la transformada de Laplace, tenemos:
1sτ
K
1sA*U
Cp*ρ*V
1
sstT'
sT'sG
p
p
20
Comportamiento dinámico de sistemas de primer orden
Ejemplo: Considérese el tanque con agitación continua ilustrado en la figura, se tiene interés en
conocer la forma en que responde la temperatura de salida, T(t), a los cambios en la temperatura
de entrada, Ti(t).
En este ejemplo se supone que los flujos volumétricos de entrada y salida, la densidad de los
líquidos y la capacidad calorífica de los líquidos son constantes y que se conocen todas estas
propiedades. El líquido en el tanque se mezcla bien y el tanque está bien aislado, es decir, el
proceso es adiabático.
La relación que se desea entre la temperatura de entrada y la de salida da como resultado un
balance de energía en estado dinámico, el cual es:
dt
tdU*ρ*VtH*ρ*FtH*ρ*F ii
O, en términos de la temperatura:
21
Comportamiento dinámico de sistemas de primer orden
dt
tdT*Cv*ρ*VtT*Cp*ρ*FtT*Cp*ρ*F iii
Donde:
ρi, ρ = densidad del líquido a la entrada y a la salida, respectivamente, en kg/m3
Cpi, Cp = capacidad calorífica a presión constante del líquido a la entrada y a la salida,
respectivamente, en J/KgºC
CV = capacidad calorífica a volumen constante del líquido, en J/KgºC
V = volumen del líquido en el tanque, m3
Hi, H = entalpia especifica del líquido a la entrada y a la salida, respectivamente, J/Kg
U = energía interna especifica del liquido en el tanque, J/Kg.
Puesto que se supone que la densidad y la capacidad calorífica permanecen constantes, sobre todo
el rango de temperatura de operación, la última ecuación se puede escribir como:
dt
tdT*Cv*ρ*VtT*Cp*ρ*FtT*Cp*ρ*F i
En estado estacionario:
0tT*Cp*ρ*FtT*Cp*ρ*F 0i,0
Luego, tenemos que:
dt
TtTd*Cv*ρ*VtTtT*Cp*ρ*FtTtT*Cp*ρ*F 0
0i,0i
22
Comportamiento dinámico de sistemas de primer orden
Las variables de desviación, son:
tTtTtT'
tTtTtT'
0
i,0ii
Ahora, con la representación de las variables de desviación, se tiene:
dt
tdT'*Cv*ρ*VtT'*Cp*ρ*FtT'*Cp*ρ*F i
sT'1sτ
1sT'
sT'1sτ*sT'
sT'sT'sT'*sτ
Laplace de ada transformla Aplicando
tT'tT'dt
tdT'*τ
Entonces
τCp*ρ*F
Cv*ρ*V :sea tT'
dt
tdT'*
Cp*ρ*F
Cv*ρ*VtT'
i
p
ip
ip
ip
pi
La ecuación, se puede reordenar como sigue:
23
Comportamiento dinámico de sistemas de primer orden
Ahora, si a la función de forzamiento, Ti(t) sufre un cambio en un escalón con A ºC, es decir:
A*0,632e1*A0e1*AtT
tienese 0Ty , t hace se sí análisis, de objetoA
Te1*AtT e1*AtT'
:a llega se inversa ada transformla de mediopor y parciales fracciones las de uso elCon
1sτ*s
AsT
obtiene se do,Sustituyen
s
AsT'
tienese Laplace, de ada transformla Aplicando
tu*AtT'
1τ
τ
0p
0
τ
t
τ
t
p
i
i
p
p
pp
24
Comportamiento dinámico de sistemas de primer orden
Es decir, en una constante de tiempo se alcanza el 63,2% del cambio total, lo cual se ilustra
gráficamente en la figura siguiente; en consecuencia, la constante de tiempo guarda relación con
la velocidad de respuesta del proceso. Mientras más lenta es la respuesta de un proceso a la
función de forzamiento o entrada, más grande es el valor de τp; tanto, más rápida es la respuesta
del proceso a la función de forzamiento, cuanto más pequeño es el valor de τp.
Si alguna de estas características cambia (volumen de líquido en el tanque, V; o las capacidades
caloríficas, CP y CV; o el flujo del proceso, F); la constante de tiempo también cambia. Otra
manera de expresar lo anterior es que, si alguna de las condiciones del proceso cambia, también
cambia la “personalidad” del proceso y ello se refleja en la velocidad de, respuesta del proceso o
constante de tiempo.
25
Comportamiento dinámico de sistemas de primer orden Hasta ahora se supuso que el tanque esta bien aislado, lo que propicia un proceso adiabático; es
decir, no hay pérdidas de calor hacia la atmósfera y, en consecuencia, no existe término de
pérdida de calor en el balance de energía. Si se elimina la suposición de operación adiabática y se
toma en cuenta la pérdida de calor en el balance de energía, se llega a la siguiente ecuación:
dt
tdT*Cv*ρ*VtTtT*A*UtT*Cp*ρ*FtT*Cp*ρ*F
ó
dt
tdT*Cv*ρ*VtQtT*Cp*ρ*FtT*Cp*ρ*F
siii
iii
Donde:
U = coeficiente global de transferencia de calor, J/m2.ºK.s
A = área de transferencia de calor, m2
Ts(t) = temperatura ambiente, ºC, que es una variable de entrada
El coeficiente global de transferencia de calor, U, es una función de diversos factores; uno de
ellos es la temperatura que, sin embargo, para este ejemplo en particular, se supone es constante.
Puesto que se supone que la masa y la densidad del líquido en el tanque también son constantes,
entonces la altura del líquido es constante y, en consecuencia, el área de transferencia de calor, A,
también es constante.
26
Comportamiento dinámico de sistemas de primer orden
El balance de energía en estado estacionario para el proceso:
dt
TtTd*Cv*ρ*VTtTTtT*A*UTtT*Cp*ρ*FTtT*Cp*ρ*F
Luego
0TT*A*UT*Cp*ρ*FT*Cp*ρ*F
0s,0s00i,0iii
s,000i,0ii
Con la nueva variable de desviación para el proceso:
T’s(t)=Ts(t)-Ts,0
p
p2
p1
si
siii
τA*UCp*ρ*F
Cv*ρ*V
KA*UCp*ρ*F
A*U
KA*UCp*ρ*F
Cp*ρ*F
:Donde
tT'dt
tdT'*
A*UCp*ρ*F
Cv*ρ*VtT'
A*UCp*ρ*F
A*UtT'*
A*UCp*ρ*F
Cp*ρ*F
dt
tdT'*Cv*ρ*VtT'tT'*A*UtT'*Cp*ρ*FtT'*Cp*ρ*F
27
Comportamiento dinámico de sistemas de primer orden
Aplicando la transformada de Laplace, tenemos:
sT'*1sτ
KsT'*
1sτ
KsT'
tienese ecuación, la oreordenandy 0T' Pero
sT'T'sT'*τsT'*KsT'*K
s
p
p2
i
p
p1
0
0psp2ip1
Si la temperatura ambiente permanece constante, Ts(t) = Ts,0 y T’s(t) = 0, entonces la función de
transferencia que relaciona la temperatura del proceso con la del agua que entra es:
1sτ
K
sT'
sT'
p
p1
i
Si la temperatura del líquido que entra permanece constante, Ti(t) = Ti,0 y T’i(t) = 0, la función de
transferencia que relaciona la temperatura del proceso con la temperatura ambiente es:
1sτ
K
sT'
sT'
p
p2
s
Para conocer el significado físico de esta ganancia, supóngase que la temperatura de entrada al
tanque se incrementa en A ºC; entonces la respuesta de la temperatura a esta función de
forzamiento se expresa mediante:
28
Comportamiento dinámico de sistemas de primer orden
0
τ
t
p1
τ
t
p1
p
p1
Te1*K*AtT e1*K*AtT'
tenemosinversa, ada transformla aplicando
1sτ*s
K*AsT'
pp
La respuesta se ilustra gráficamente en la figura. A*Kp1 expresa la cantidad total de cambio; la
ganancia multiplica el cambio en la función de forzamiento.
29
Comportamiento dinámico de sistemas de primer orden
Se, puede decir que: la ganancia indica cuánto cambia la variable de salida por unidad de
cambio en la función de forzamiento o variable de entrada: es decir, la ganancia define la
sensibilidad del proceso.
La ganancia se define matemáticamente como sigue:
La ganancia es otro parámetro relacionado con la “personalidad” del proceso que se controla y,
en consecuencia, depende de las propiedades físicas y los parámetros de operación del proceso.
entrada de variableΔ
salida de variableΔ
ΔE
ΔSKp
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