UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI
FACULTAD INGENIERIAS
PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRONICA
CONTROLES II
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.
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3. ANALISIS MATRICIAL
3.1. RELACION ENTRE FUNCION DE TRANSFERENCIA Y
LAS ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADOS
Recordemos que una variable de estado describe el estado de un
sistema o de uno de sus componentes, ya sea al comienzo, al final
o durante un periodo de tiempo.
Para aclarar un poco esto
Utilizaremos el smil
hidrodinmico para ilustrar el
sentido de las variables. En la
figura se representan tres
depsitos en los que se
acumulan tres niveles , y
.
Las variaciones de los niveles son determinadas por las actuaciones
sobre ciertas vlvulas (llaves) que regulan los caudales que
alimentan a cada uno de los depsitos. La decisin sobre la
apertura de stas vlvulas se toma teniendo como nica
informacin los valores alcanzados por los niveles, en cada uno de
los depsitos, en el instante de tiempo considerado, lo cual est
representado en la figura con la presencia de un observador, an
cuando en el sentido estricto debera existir un observador por cada
una de las vlvulas.
Con los conceptos sobre variables de estado aclarados, podemos
decir que el anlisis en el espacio de estados, para un sistema de
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una entrada y una salida se centra en estos tres tipos de variables:
la entrada, la salida y las variables de estado.
)),(),(()(
)),(),(()(
ttutxhty
ttutxftx
Y si el sistema es lineal e invariante en el tiempo, estas ecuaciones
se simplifican a:
)()()(
)()()(
tDutCxty
tButAxtx
Donde:
A: Matriz de evolucin del sistema:
Orden (n,n), donde n es el nmero de variables de estado
B: Matriz de aplicacin del control:
Orden (n,m), donde m es el nmero de entradas (en nuestro caso
una)
C: Matriz de observacin:
Orden (q,n), donde q es el nmero de salidas
D: Matriz de transicin directa de control:
Orden (q,m), por tanto en nuestro estudio D siempre ser un
escalar, y en general para nuestros propsitos ser igual a cero.
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Estas ecuaciones se pueden visualizar en un diagrama de bloques
de la siguiente manera:
Como ya hemos dicho, consideramos una sola entrada y una sola
salida. De las ecuaciones del espacio de estados, podemos tomar la
transformada de Laplace:
))()(
)()()0()(
DUssCXsY
sBUsAXxssX
Definimos la funcin de transferencia como el cociente entre la
transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace
de la entrada. Asimismo suponemos condiciones iniciales nulas, por
lo que .
Despejando tenemos:
)()()( 1 sBUAsIsX
Y sustituyendo esta ecuacin en la ecuacin de salida:
]U(s))([)( 1 DBAsICsY
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De esta ltima ecuacin podemos despejar la relacin entre la
entrada y la salida y llegamos a la conclusin de que:
DBAsI
AsIadjCDBAsIC
sU
sYsG
)()(
)(
)()( 1
EJEMPLO 1
Determine la funcin de transferencia, las ecuaciones de estado y el
diagrama en variables de estado para el sistema
Notemos que
; ; ; D=0
Para el sistema dado
sera
=
=
. Investigue sobre la matriz adjunta y el
determinante de una matriz de orden mayor a .
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Por lo tanto
, otra forma para escribirlo sera:
La funcin de transferencia es
es la funcin de transferencia final.
Donde puede apreciarse que los polos de son aquellos que
hacen:
0 AsI
O lo que es lo mismo:
|sI-A| es igual al polinomio caracterstico de G(s).
Los valores propios de A son idnticos a los polos de G(s)
Veamos ahora como hacerlo con Matlab:
]U(s))([)( 1 DBAsICsY
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Definimos las matrices:
>> A=[0 1 ; -2 4]
>> B=[0 ; 3]
>> C=[1 0]
>> D=0
Generamos el numerador y el denominador:
>> [num, den]=ss2tf(A, B, C, D)
Generamos la funcin de transferencia:
>> sys=tf(num, den) o con un nombre >> f=tf(num,den)
Los ceros, los polos y la ganancia se pueden determinar as:
>> [ceros, polos, gan] = tf2zp (num, den)
Ahora determinaremos las ecuaciones en variables de estado.
Recordemos que el sistema viene dado por
Resolviendo las matrices tenemos
El diagrama de bloques correspondiente es
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Los modelos matemticos pueden adoptar muchas formas distintas.
Dependiendo del sistema del que se trate y las circunstancias
especficas, un modelo matemtico puede ser ms conveniente que
otro. Por ejemplo, en problemas de control ptimo, es provechoso
usar representaciones en el espacio de estados. En cambio, para los
anlisis de la respuesta transitoria o de la respuesta en frecuencia
de sistemas lineales con una entrada y una salida invariante en el
tiempo, la representacin mediante la funcin de transferencia
puede ser ms conveniente que cualquier otra. Una vez obtenido un
modelo matemtico de un sistema, se usan diversos recursos
analticos, as como computadoras.
REPRESENTACION EN VARIABLES DE
ESTADO
REPRESENTACION MEDIANTE LA FUNCION
DE TRANSFERENCIA
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EJERCICIOS
Realizando un anlisis matricial, determine la funcin de
transferencia de cada sistema:
a.
Cxy
BuAxx, donde
32
10A ,
2
0B y 01C .
b.
c.
d.
4. SOLUCIN DE LA ECUACIN MATRICIAL DE ESTADO
Los modelos en espacio de estado describen el comportamiento del
sistema para cualquier conocidos el vector de estado en el
instante inicial y las entradas al sistema para .
Definiciones:
Variables de estado: es el conjunto ms pequeo de
variables que determinan el estado de un sistema
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Orden del sistema n: es el menor nmero de variables de
estado necesario para su descripcin.
Vector de estado: vector n-dimensional cuyas
componentes son las variables de estado.
Espacio de estado: espacio n-dimensional cuyos ejes
coordenados representan los valores numricos de las
variables de estado .
Su descripcin matemtica no es nica, y se presenta en forma de
n ecuaciones diferenciales de primer orden que pueden combinarse
en una ecuacin diferencial vectorial-matricial de primer orden.
La matriz de transicin de estado se representa por y viene
dada por .
Hay que recordar que
EJEMPLO 1
Supongamos que deseamos saber el comportamiento del sistema
para cada variable de estado del sistema siguiente:
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En ella encontramos que:
Para cada caso se debe encontrar
,
,
y
.
Recurriendo a fracciones parciales se tiene que
Por lo tanto
Esta matriz de transicin de estado se puede calcular tambin
utilizando Matlab.
Definimos primero la variable s:
>> syms s
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Introducimos la funcin que queremos antitransformar:
>> f=s/(s^2-4*s+2) o tambin >> f=s/(s*s-4*s+2)
Utilizamos el comando ilaplace de Matlab
>> ilaplace(f)
Esto se hace para cada funcin.
Una vez calculada la matriz de transicin de estado, la respuesta
temporal del sistema para diferentes condiciones iniciales y seales
de entrada puede calcularse mediante la ecuacin:
es una matriz vertical de condiciones iniciales.
Donde representa un adelanto en el tiempo de valor de la
funcin . Evidentemente, si se conocen las condiciones iniciales
, la entrada y la matriz de transicin , puede calcularse
numricamente la solucin de la ecuacin de estado o respuesta
temporal del vector de estado. Cuando el sistema no est forzado
y esto se simplifica ms.
Veamos por ejemplo cuando Se tiene que:
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Estas ecuaciones son las que representan la salida de cada una de
las variables de estado.
Sus graficas se pueden obtener a partir de cualquier graficador o
desde Matlab.
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EJERCICIOS
Para cada uno de los sistemas dados, determine la matriz de
transicin de estados y encuentre la respuesta para la condicin
Para sistemas de tercer orden
utilice Matlab.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
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MONTAJE No. 1
VARIABLES DE ESTADO
Objetivo: Simular sistemas de control en el espacio de estados en
tiempo continuo.
Materiales:
Protoboard, Amp-Op LM741, Resistencias varias, Capacitores
varios, Fuente DC, Multmetro, Osciloscopio.
Procedimiento:
Tome el sistema de segundo orden que le fue asignado. Considrelo
de la forma
donde es la entrada y es la salida.
a. Para el sistema dado, determine las ecuaciones de estado.
b. Realice un diagrama en variables de estado y simlelo en
Simulink.
c. Escriba el sistema en forma matricial determinando las
matrices A, B, C y D.
d. Utilizando un protoboard monte el sistema en variables,
teniendo en cuenta utilizar una circuitera adecuada para
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integradores, amplificadores y comparadores como se
muestra ms abajo.
e. Simule el circuito y verifique que los resultados se
satisfacen.
Circuitera: Set-Point:
Salida de voltaje R(s) que oscile entre los 0V y 5V.
Integrador:
La funcin de transferencia de este circuito es
. Si quisiramos
disear por ejemplo la planta con funcin de transferencia
,
tendramos que hacer la igualacin
. Si le damos al capacitor un valor
de , la resistencia tomara un valor de . Como la funcin de
transferencia es negativa, requerimos de un inversor con ganancia unitaria.
El circuito quedara por ejemplo as colocando los valores adecuados para
cada componente:
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Amplificador:
Un amplificador tiene como funcin de transferencia
. El
valor de la ganancia depender de los valores que se le d a y a
El circuito tendra la forma siguiente donde la relacin
nos
genera la ganancia y
debe ser la unidad.
Comparador:
Como circuito comparador podemos usar un circuito sumador
inversor y hacer un anlisis para la asignacin de signos para
entrada, su funcin de transferencia es de la forma
,
y el circuito correspondiente es