Ing. Victor E. Quevedo Dioses
CONECTIVIDAD Y TRANSMISION DE
DATOS
Mdulo: 1 Unidad:2 Semana:3
SEALES ALEATORIAS
PROCESOS ALEATORIOS
RUIDOS EN LAS COMUNICACIONES
ORIENTACIONES
Estimado alumno, recordando fundamentos matemticos
realizaremos un estudio de las caractersticas estadsticas
que sern utilizadas para analizar las seales de
transmisiones digitales.
CONTENIDOS TEMTICOS
Seales Aleatorias y Ruidos
Procesos Aleatorios
Funcin Q
Introduccion General
Seales Aleatorios y Procesos Aleatorios
https://prezi.com/ioo-mu1mg4s8/senales-aleatorias-procesos-aleatorios-
y-ruido-en-las-comunicaciones/
SEALES ALEATORIAS
Son aquellas que varan en forma aleatoria con el tiempo, es decir, a cada
instante asumen un valor de carcter casual, por lo tanto pueden describirse
nicamente de manera probabilstica.
Entre las seales aleatorias ms importante en las telecomunicaciones, se
hallan el ruido, las seales de voz y las seales de video, entre otros.
Ejemplo : Seales aleatorias:
0.48
0.5
n s t( )
10 t
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.5
0.25
0
0.25
0.5
t
0Ruido trmico: n(t)
Would you like to buy a fish?
Seal elctrica de la voz humana, a la salida de un micrfono:
TIPOS DE RUIDO
El ruido consiste en la superposicin de seales indeseadas a la informacin que se est transmitiendo. Existen cuatro tipos fundamentales de ruido, a saber:
1. Ruido trmico, determinado por el movimiento browniano de los electrones en los conductores, por efecto de la agitacin trmica
2. Ruido de intermodulacin (IM), producto de la presencia de medios o dispositivos no lineales que distorsionan la seal. El efecto de la no linealidad es el de producir componentes armnicas de frecuencia mltiple de la fundamental. Este efecto se produce tambin en los procesos de modulacin, cuando dos seales son multiplicadas entre s, dando origen a toda una serie de componentes de variada frecuencia. Cualquier defecto en el filtrado puede causar que algunas de estas componentes aparezca como ruido en la banda pasante de otro canal de comunicacin
3. Ruido de interferencia (crosstalk), debido al acoplamiento indeseado entre canales de comunicacin. Puede ser de tipo elctrico o magntico, o bien puede originarse por defecto de filtrado entre canales adyacentes
4. Ruido impulsivo, consiste en la aparicin de picos aleatorios y de corta duracin. Afecta esencialmente los sistemas de transmisin de datos en cuanto incrementa la tasa de error
RUIDO TRMICOSe denomina tambin ruido blanco y se
caracteriza por tener un espectro de densidad de
potencia uniforme entre 0 y
f
Espectro unilateral de densidad de potencia
0
kT
No
A partir del espectro de densidad de potencia, es posible calcular la potencia de ruido disponible N a la salida de un canal de comunicacin de ancho de banda B, a pacto que este no introduzca ruido adicional y tenga una ganancia de potencia unitaria (e ideal).
k 1.3803 1023-
J
K
constante de Boltzman
T temperatura absolutade la fuente de ruido K[ ]
CanalIdeal de ancho de
bandaB y
Ganancia 1
ReceptoracopladoN
R
Generador de ruido Blanco
f0
H(f)
1
B
N = kTB
kT
N k TW
Hz
o
El ruido blanco (tensin o corriente) es una seal aleatoria, es decir adquiere un valor casual a cada instante de tiempo. Por lo tanto no puede describirse con frmulas determinsticas, sino estadsticas. Se dice tambin que es gaussiano, puesto que su densidad de probabilidad es una curva gaussiana.
RUIDO TRMICO
Valor medio: x =
Desviacin estndar: = x -
Varianza: 2 = (x - )2
2 = x2 2x+ 2
2 = x2 2 2 + 2
2 = x2 2
P x1 x x2( )
x1
x2
xDp x( )
d
4 2 0 2 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0
D p x( )
55- x
x1 x2
t
0
t0
RUIDO TRMICO
0
El ruido trmico es un proceso estadstico estacionario, en cuanto , , 2 no varan con el tiempo
Ejemplo de seales aleatorias no estacionarias:
Seal con valor medio variable Seal con desviaciones estndar y varianza variables
t
0
t
SEALES ERGDICASLas seales ergdicas, son aquellas para las cuales es posible intercambiar medias
temporales con medias estadsticas.
1
T to
to T
tx t( )
d x2 1
T to
to T
tx2
t( )
d
2
x2
2
x2
2
-
x2
2
2
Componente de c.c.
Potencia (normalizada) de la componente de c.c
Potencia (normalizada) total de la seal ergdica
Potencia (normalizada) de la componente alterna
Potencia (normalizada) total de la seal ergdica como suma de la potencia alterna ms la potencia de c.c.
RELACIN SEAL A RUIDO (S/N)
La relacin seal a ruido S/N es uno de los indicadores ms utilizados para determinar la calidad del canal de comunicaciones
En cualquier punto de un enlace de comunicaciones, ms que el valor de potencia de la seal en absoluto o el valor de potencia de ruido en absoluto, es importante determinar la relacin entre ellas, puesto que la calidad del enlace es mejor cuanto ms grande es este cociente, es decir cuanto ms la potencia de la seal es grande comparada con la potencia del ruido. Una seal del mismo nivel de potencia del ruido es prcticamente inutilizable.
FACTOR DE RUIDO (F)Y
CIFRA DE RUIDO (NF)
Los equipos electrnicos, especialmente los amplificadores, originan ruido, por lo tanto incrementan el nivel de ruido. Si el nivel de la seal en un punto del sistema es comparable con el de ruido, entonces la calidad de la seal se ha irremediablemente comprometido.
Ancho de banda = B
Ganancia de potencia = G (o Atenuacin = L)
Factor de ruido = F
Se
Ne = k T B
Ss= G Se
Ns = k T B G F
FN s
N e G
S e
N e
S e
k T B(S/N)e =
S s
N s
S e
N e F(S/N)s =
o tambin F(S/N)
(S/N)
e
CIFRA DE RUIDO: NFdB = 10 log ( F )
FRMULA DE FRIIS
G2F2
G1F1
L3F3
Ne Ns = kTBG1G2L3Feq
Ns = kTBGF
G
FNe = kTB
Nv
kTBG + Nv G = kTBGFNv = kTB (F-1)
kTB kTBG1F1 + kTB(F2-1) kTBG1G2F1 + kTBG2(F2-1)+kTB(F3-1)
k T B G1 G2 L3 F1 k T B G2 L3 F2 1- k T B L3 F3 1- k T B G1 G2 L3 F1F2 1-
G1
F3 1-
G1 G2
A la salida de la tercera etapa (punto 4):
Comparando con el ruido existente en este punto, es posible obtener el Feq (Frmula de Friis):
Feq F1
F2 1-
G1
F3 1-
G1 G2 ....
TEMPERATURA DE RUIDO
Ns = kTBGF
G
TNNe = kTB
Nv
kTBG + Nv G = kTBGFNv = kTB (F-1)
TN=T(F-1)Nv=kTNB
Potencia de ruido generada por el dispositivo nicamente (medida a la salida):
NsD k TN B G
Definimos: T N T F 1-( ) la Temperatura de Ruido del dispositivo
TEMPERATURA DE RUIDO
G2TN2
G1TN1
L3TN3
kTN1 Ns = kTNeqG1G2L3
kTN1G1+kTN2 kTN1G1G2+kTN2G2+kTN3
Frmula de Friis: TNeq TN1
TN2
G1
TN3
G1 G2 ....
Ruido en 1 Hz de ancho de banda
G1G2L3
TNeqkTNeq kTNeqG1G2L3
https://www.youtube.com/watch?v=6AMmParU
QO4
Aplicacin de la frmula de FriisProblema 1
Dado el esquema de bloques de la figura, determine la relacin seal a ruido al ingreso de la lnea de transmisin en dB, as como la potencia de la seal en mW.
Generador de Ruido Blanco
T = 320 K
B = 2.264 MHzSi= 0 dBm
NF1= 7 dBG1 = 20 dB
NF2= 3 dBG2 = 15 dB
So 0dbBm 20dB 15dB So 35dBm
Ni 10 log 1.38031023-
10log 320( ) 10 log 2.26 106 10log 103 Ni 110.01- dBm
F1 5.01 F2 2 G1 100
Feq F1
F2 1-
G1
Feq 5.02 NFeq 10 log Feq NFeq 7.01
No Ni 20 15 NFeq No 68- dBm
S
N
OdB
So No-S
N
OdB
103dB
So 3160 mW
Problema RU-1
Un receptor, alimentado por un amplificador de bajo ruido de ganancia
50 dB y temperatura de ruido 90 K, tiene una figura de ruido de 12 dB.
Calcule la temperatura de ruido equivalente a la entrada del sistema.
RxG=1TN2
ABRG
TN1
kTN1 kTN1G+kTN2
SYSG
TNeq
kTNeq=k(TN1+TN2/G)
Solucin
La temperatura de ruido equivalente del receptor, considerado a la temperatura ambiente de 290 K, es igual a:
TNRx 10
NFRx
101-
T0 TNRx 4.306 10
3 K
De acuerdo a la frmula de Friis, la temperatura de ruido equivalente del sistema es igual a:
TNeq TNABR
TNRx
10
GABR
10
TNeq 90.043K
Observe como el amplificador de bajo ruido determina practicamente, la temperatura de ruido del sistema, a pesar de la elevada temperatura del receptor.
Problema 2
Problema 3
La segunda configuracin produce un rudo mucho mayor que la primera, esencialmente porqu el ruido del cable es amplificado.
Teq2 6.659 103
KTeq2 Tca
Tam
lca
TIF
gam lca
Para la segunda configuracin:
Teq1 707.242KTeq1 Tam
Tca
gam
TIF
gam lca
Calculamos la temperatura de ruido del sistema a la entrada del amplificador para la primera configuracin:
Tam 120Kgam 31.623
gam 101.5
TIF 900K
Tca 4.306 103
KTca To fca 1-
fca 15.849fca1
lca
To 290Klca 0.063lca 101.2-
A partir de los valores en dB de los datos del problema, se construye una tabla con esos mismos valores pero transformados de dB a coeficientes numricos:
SolucinUn amplificador tiene una ganancia de 15 dB y una temperatura de ruido de 120 K. Se puede conectar este amplificador a la entrada del cable principal que baja de la antena para alimentar al receptor (es decir en lo alto de la torre de antena), o bien a la salida del mismo (es decir, al pi de la torre). El cable presenta 12 dB de prdidas de insercin y el receptor (amplificador / demodulador de IF) tiene una temperatura de ruido de 900K.Cul de las dos configuraciones es la ms ventajosa para la S/N?
RUISO SOBRE UNA SEAL EN MATLAB
https://www.youtube.com/watch?v=rar6b3tgdXI
TEOREMA DE PARSEVAL
http://teoremaparseval.blogspot.com/2013/
04/teorema-de-parseval.html
DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA DE
TRANSMISION DIGITAL
https://www.youtube.com/watch?v=aA490wzAgAA
PROCESOS ALEATORIOS
Los procesos aleatorios brindan buenosmodelos para fuentes de informacin y
ruido.
Para las diferentes clases deimperfecciones en la naturaleza,
determinstica como interferencias o no
determinstica como ruido los modelamos
con procesos aleatorios.
PROCESOS ALEATORIOS
Probabilidad
El concepto fundamental en cualquier modelo esel concepto de experimento aleatorio, donde por
alguna razn no es posible predecir el resultado
con certeza.
Como ejemplo podemos tomar el lanzar unamoneda, un dado o tomar una carta de una
baraja, todos son experimentos donde el
resultado es incierto.
PROCESOS ALEATORIOS
Probabilidad
Para estos ejemplos tenemos posiblesresultados como cara o sello en la moneda,o en el dado 1, 2, 3, 4, 5, 6 son posibles. Todas
estos posibles resultados son el espacio
muestra W, y cada resultado que esta en el
espacio es w
La medicin de la probabilidad P entoncesexpresara las propiedades en conjunto de los
componentes de W.
PROCESOS ALEATORIOS
Probabilidad
Entonces las probabilidades para un evento Esern:
PROCESOS ALEATORIOS
Probabilidad Condicional
Asumiendo que dos eventos E1 y E2 estn definidas en elmismo espacio de probabilidad con P(E1) y P(E2). Entonces
el observador recibe la informacin que el evento E2 ha
sucedido entonces la probabilidad de E1 dejara de ser P(E1).
De hecho la probabilidad de varios eventos cambia. Estasnuevas son probabilidades condicionales donde por
ejemplo:
PROCESOS ALEATORIOS
Probabilidad Condicional
Si el resultado de la da:
Entonces se dice que E2 no cambia laprobabilidad de E1, entonces son
estadsticamente independientes.
Para eventos independientes entonces laprobabilidad ser:
PROCESOS ALEATORIOS
Probabilidad Condicional
Por ejemplo.
Para un dado la probabilidad de
A = {El resultado es mayor a 3}
Es:
La probabilidad de
B={El resultado sea par}
Es:
PROCESOS ALEATORIOS
Probabilidad Condicional
En este caso la probabilidad condicional ser:
Donde expresa la probabilidad de un numeromayor a 3 (A) sabiendo que es un numero par
(B), dando 2/3, es decir la probabilidad de un
numero mayor a 3 y par es de 66%
aproximadamente.
PROCESOS ALEATORIOS
Probabilidad Condicional
Si el espacio muestra es dividido en partes iguales deeventos Ei, y que para un evento A tenemos probabilidades
condicionales P(A|E), entonces podemos encontrar P(A) por
el Teorema de probabilidad total
La regla de Bayes da la probabilidad condicional de P(Ei|A)
PROCESOS ALEATORIOS
Variables aleatorias
Las variables aleatorias son un mapeo delespacio de muestra W a un set de nmeros
reales.
PROCESOS ALEATORIOS
Variables aleatorias
Podemos tener variables aleatorias continuas,discretas o mezcladas que se expresan sobre un
espacio limitado.
La funcion de distribucion acumulativa (CDF) deuna variable aleatoria X se define como:
De forma mas simple
PROCESOS ALEATORIOS
Variables aleatorias
La CDF entonces tiene las propiedades
1. Para
2. Fx(x) no decrece
3. El limite negativo es 0 y el positivo
es 1
4. Es continua desde la derecha
5.
6. Y
PROCESOS ALEATORIOS
Variables
aleatorias
CDF continua
CDF discreta
PROCESOS ALEATORIOS
Variables aleatorias
PROCESOS ALEATORIOS
Variables aleatorias
La funcin de densidad de probabilidad (PDF) deuna variable X se define como la derivada de la
CDF, esto es:
Cuyas propiedades son:
Variables Importantes
Variable aleatoria de Bernoulli.
Es una variable aleatoria discreta de dos valoresuno y cero con probabilidades correspondientes
de p y 1-p.
Es un buen modelo para expresar generadoresbinarios. Por ello este es un modelos utilizado
para modelar errores de canal.
Variables Importantes
Variable aleatoria Binomial
Es una variable discreta que da los nmeros de unos en una secuencia de n pruebas independientes de Bernoulli.
Expresara el numero total de bits recibidos conerror con una secuencia de n datos transmitidos
y una probabilidad de error p.
Variables Importantes
Variable aleatoria Uniforme
Una variable continua tomando valores entre a yb con probabilidades iguales sobre intervalos de
igual duracin, la funcin de densidad es:
Variables Importantes
Variable aleatoria Gaussiana o Normal
Es una variable continua descrita por la funcin:
La variables Gaussiana es la mas encontrada ensistemas de comunicaciones por la
caracterstica del ruido trmico.
Variables Importantes
PMF (Probability Mass Function) de Bernoulli
Variables Importantes
PMF
binomial
Variables Importantes
PDF de variable uniforme
Variables Importantes
La CDF de una variable Gaussiana ser:
PDF of Gaussian
Funcin Q
La CDF de una variable Gaussiana ser:
Otra funcin muy utilizada en comunicacioneses la funcin Q(x)
dado
Es fcil ver las relaciones
La funcin Q (x) se puede verificar por la tabla
Funcin Q
Existen muchos limites sobre la funcin Q queson utilizados en sistemas de comunicaciones
sobre probabilidad de errores.
Entre ellos como limites superiores (ambos paraX0:
Por otro lado un limite comn inferior es
Funcin Q La grafica de estos limite se ve
Funcin Q
Una variable Gaussiana puede describirse comofuncin de sus dos parmetros principales: (m,
2).
En estos casos un cambio de la variable dar elresultado
Funciones de Variables Aleatorias
Una funcin de una variable aleatoria es en siotra variable aleatoria
La definicin de CDF es
Y se puede encontrar la PDF con
Funciones de Variables Aleatorias
Ejemplo: Asumiendo X una variable Gaussianacon m = 0 y = 1, encuentre la PDF de la variable
aleatoria Y dada por Y=aX+b
En este caso g(x) = ax+b entoncesg(x)=a
Solo existe una solucin:
Con esto encontramos
Y aun es una variable Gaussiana
Promedios Estadsticos
El valor esperado de una variable aleatoriaX es:
El valor esperado de Y=g(X) es
O
Promedios Estadsticos
En el caso de la funcin especial
Donde E(Y) se llama la varianza de X, lo que esla medida del esparcimiento de la funcin de
densidad de X.
La varianza es 2 y su raz cuadrada, se llamadesviacin estndar.
La relacin de varianza se puede escribir
Variables Mltiples
Siendo X y Y variables aleatorias definidassobre el mismo espacio de muestra.
Se define la CDF conjunta como
La PDF conjunta como
Variables Mltiples
Las variables cumplen:
En variables independientes PDF es
Variables Mltiples
En variables independientes la PDF es
El valor esperado de g(X,Y) es:
En el caso especial que
Obtendremos
Lo cual es llamado la correlacin de Xy Y
Variables Aleatorias Gaussiana Conjuntas
Variables Mltiples
Variables Aleatorias Gaussiana Conjuntas
Procesos aleatorios
Un proceso aleatorio es una extensin natural delconcepto de variables aleatorias cuando tratamos
con seales.
Al analizar sistemas de comunicaciones tratamos conseales variantes en el tiempo, pero asumimos
normalmente funciones determinstica, pero en muchas
situaciones esto no es valido, y es mejor modelarlas como
funciones aleatorias
Como el ruido termal proveniente del movimiento aleatoriode los electrnicos por la agitacin termal, por reflexin de
ondas de radio.
Procesos aleatorios
Un proceso aleatorio, un procesoestocstico, o una seal aleatoria puedenser analizadas en dos formas, aunque muycercanas. Una forma es ver el proceso como una coleccin
de funciones en el tiempo, o sealescorrespondientes a varios resultados de unaexperiencia aleatoria
Es decir a cada instante de tiempo t0 para cadaresultado aleatoria tenemos un numeroresultante de la variable aleatoria
A cada instante de tiempo el valor deun proceso aleatorio constituye unavariable aleatoria
Funciones
de muestreo
de un proceso
aleatorio
Procesos aleatorios
De otro modo podemos ver la seal aleatoria acada instante t1, t2, como una coleccin devariables aleatorias {X(t1), X(t2),}
De este modo el proceso aleatorio es unacoleccin de variables aleatorias, pudiendo
suceder en un instante de tiempo continuo o de
tiempo discreto.
Procesos aleatorios
Ejemplo 1
Dado el espacio de un experimento aleatorio delanzar un dado. Donde el campo es
W={1,2,3,4,5,6}
Para todo wi tenemos define elproceso aleatorio.
Entonces X(1) es una variable aleatoria que tomavalores de entre e-1, 2e-1, , 6e-1 cada uno conprobabilidad 1/6
Procesos aleatorios
Ejemplo 2
Un proceso aleatorio es definido por:
Donde T es una variable uniforme distribuida en[0,2p. En este caso entonces tenemos un tipo de
seal con variacin de fase, y puede ser descrita
analticamente por los grficos:
Procesos aleatorios
Procesos aleatorios
Ejemplo 2
Un proceso aleatorio con distribucin Gaussianaconjunta y promedio m=0 puede verse como:
Funcin de Auto-correlacion
Una funcin importante porque en sidescribe la densidad de potencia espectral
y el contenido de potencia de una larga
clase de procesos aleatorios.
Se define como Rxx(t1,t2)
De la definicin entonces se resuelve como
Funcin de Auto-correlacion
Por ejemplo de la funcin senoidal la funcin deauto-correlacion ser:
Tomando en cuenta:
Procesos Estacionarios
En los procesos aleatorios la PDF conjuntaen general depende de punto de origen en
el tiempo. Existe una clase importante la
cual es independiente del origen en el
tiempo. Este proceso es llamado procesos
estacionarios.
Un proceso es estrictamente estacionario esaquel que solo depende de las posiciones
relativas del tiempo y no los valores
directamente. Es decir shifts en el tiempo de
origen no cambian las propiedades estadsticas
del proceso.
Procesos Estacionarios
Un proceso X(t) Wide Sense Stationary (WSS),estacionario en amplio sentido satisface:
1. Independiente del tiempo t,
2. Y Rx(t1,t2) depende solo de las
diferencias del tiempo t=t1-t2 y no deellos independientemente.
Entonces tendremos un proceso estacionariocon promedio mx y auto-correlacin Rx(t)
Procesos Estacionarios
Para un proceso aleatorio con la seal senoidalvimos tenia promedio mx = 0 y tendr Rx(t1,t2)
Entonces el proceso es WSS
Este proceso esta cercanamenterelacionado con el llamado
cicloestacionario
Sus caractersticas no son independientes en eltiempo, pero peridicas en el tiempo.
Se define como:
Procesos Estacionarios
Si tenemos:
Donde X(t) es un proceso aleatorio estacionariocon promedio m y autocorrelacion Rx(t).Entonces:
Se ve entonces que es peridica con T0=1/f0Entonces el proceso es cicloestacionario.
Procesos Estacionarios
La autocorrelacion de un WSS cumplecon:
1. Rx(t) es una funcin par es decir:
2. El mximo valor absoluto sucede con t=0
3. Si para algun T0 tenemos un Rx(T0)=Rx(0) para
los enteros k, entonces Rx(kT0)=Rx(0)
Potencia y Energa
Al analizar las seales determinstica definimosdos tipos de seales
Tipo de Energa y,
Tipo de Potencia
Es posible extender el conocimiento de estos alos procesos aleatorios. Entonces para un
proceso aleatorio con funcin x(t,wi). Entoncesla energa y la potencia son:
Potencia del Espectro de una proceso
aleatorio
Si notamos al proceso estocstico X(t) y lafuncin de muestras x(t,wi). Para definir la
densidad de potencia del espectro tenemos que
delimitar la funcin de muestra:
Al delimitar la seal aseguramos que sea unaseal tipo de energa, y por lo tanto, que posea
transformada de Fourier, que expresaremos con
XTi (f)
Potencia del Espectro de una proceso
aleatorio
Por definicin la densidad espectral de energapara seales de tipo de energa es |XTi(f)|
2.
Teniendo la densidad de energa espectral sepuede definir la densidad de potencia espectral
como el promedio de la densidad de energa
espectral.
Si dejamos que T se vuelva arbitrariamente grande,podemos definir la densidad de potencia espectral para una
funcin de muestra, y la denotamos como Sxi(f).
Es obvio entonces que varias funciones de muestra danvarias Sxi(f); entonces decimos que para cada f tenemos una
variable aleatoria denotando la cantidad de potencia a esafrecuencia en cada funcin de muestra.
Entonces se define la potencia del espectro como elpromedio conjunto.
Por ejemplo:
Si tenemos X siendo una variable aleatoria dedistribucin uniforme entre [-1 1]. Entonces la
seal aleatoria truncada ser:
Entonces
Y
En este punto podemos notar que E(X2)=1/3, entonces tenemos que encontrar el limite.
Pero es la transformada de Fourier dey mientras T va al infinito, la funcin va hacia 1.
Entonces:
El resultado esta entonces:
El teorema de Wiener-Khinchin
Define a la densidad de potencia espectral de X(t) como latransformada de Fourier de la autocorrelacion Rx(t+t,t).
Entonces podemos definir que:
En un proceso estacionario la autocorrelacion se mantienefinita para todo t.
Por ejemplo:
Entonces para el proceso estacionario
Tendremos la autocorrelacin
Entonces
Entonces podemos ver que el contenido de potencia se encuentra en f0 y f0.
La densidad de potencia espectral
La densidad de potencia espectral de unproceso de suma sucedera cuando se
suman dos procesos aleatorios,
Si son procesos conjuntamente estacionariosentonces Z(t) es un proceso estacionario.
Obtendremos
Donde es equivalente a :
Si consideramos entonces que los procesosesta no correlacionados RXY(t)=0, entonces:
CONCLUSIONES Y/O ACTIVIDADES DE
INVESTIGACIN SUGERIDAS
Escriba aqu las
conclusiones y/o
actividades de
investigacin sugeridas.
GRACIAS