Curso Cero
ETSIT - URJC
CURSO CERO PARA ALUMNOS
DE ETSIT-URJC
MÓDULO COMPLEJOS CLASE 1: NÚMEROS COMPLEJOS
Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Telecomunicación
Universidad Rey Juan Carlos
Antonio G. Marqués
Curso Cero
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1
Índice
1. Introducción: el número i
2. Conjuntos de números
3. Representaciones de números complejos
4. Propiedades básicas de los números complejos
5. Operaciones básicas (aritmética) con números complejos
6. Historia sobre números complejos
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Introducción
¿Por qué estudiamos los números complejos? Nos van a resultar
muy útiles
Para entender/analizar problemas
Para resolver esos problemas
Se utilizan en masivamente en Ingeniería y en Física
Aunque al principio cueste acostumbrarse, al final facilitan (y mucho) la vida
En teleco son útiles:
Análisis de circuitos y de campos electromagnéticos (fasores)
Análisis de señales, diseño de filtros (Fourier, Transformada Z)
Análisis y diseño de sistemas de comunicaciones
Representación de señales de imagen y vídeo
Procesamiento de esas señales
En aeronáutica son útiles:
Electromagnetismo, señales
Transformadas y control
1. INTRODUCCIÓN
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3
Introducción
¿Por qué surgen? Solución de ecuaciones con polinomios
Cuál es la raíz cuadrada de -1 Preguntado de otra forma ¿qué número, al
elevarlo al cuadrado nos da -1? No hay ningún número real que cumpla esto
Solución: definimos un nuevo número (y como veremos
un nuevo conjunto de números)
Por tanto, podemos escribir que:
1. INTRODUCCIÓN
11012 xx 39092 xx
4,2,10)82)(1(0810 223 xxxxxxxxx
?1012 xx
1i
ixx 1012
ixx 3919·19092
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Introducción
A partir de i, podemos escribir números del tipo: , donde a y b
son reales
A los números definidos de tal forma se les llama números complejos
Como veremos hay varias formas de representar un número complejo, la que
tenemos arriba es una de ellas y se llama forma (o representación) rectangular
En ingeniería, en vez de utilizar el símbolo i para representar , utilizaremos el
símbolo j (para no confundirse con el símbolo de la intensidad de corriente eléctrica).
Potencias naturales de j:
1. INTRODUCCIÓN
ibaz
Nota: z se utiliza habitualmente para denotar un nº complejo cualquiera (genérico)
1
1)1)·(1(·
·1·
11111
224
123
12/222/122
1
jjj
jjjjj
j
jj)4,mod(nn jj
Si el exponente n es mayor que 4
12102
327
jj
jjjEjemplos:
Si el exponente está entre 1 y 4:
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Conjuntos de números
¿Qué conjuntos de números conocemos?
Contar: los naturales 1, 2, 3 … (positivos) N
Restar/negativo: los enteros …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … (negativos, positivos y el cero) Z
Dividir: los racionales p/q con p y q enteros y Q
Potencias, raíces, trigonometría: los irracionales I
Infinitas cifras decimales no periódicas:
Los reales: los racionales más los irracionales R
Raíces de números negativos: los imaginarios puros con b real
Los complejos: con a y b reales C
2. CONJUNTOS DE NÚMEROS
0q
...,51,,,2 32 e
ibaz
ib
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Conjuntos de números
Importante:
Los reales son la unión de los racionales y los irracionales
Los complejos no son la unión de los reales más los imaginarios puros, son
muchos más (producto cartesiano de reales e imaginarios puros)
2. CONJUNTOS DE NÚMEROS
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Representación de números complejos
Imaginemos que queremos representar todos los números reales
Podemos hacerlo en una recta Matemáticamente: existe un isomorfismo entre una recta el conjunto R (recta 1D)
¿Y si queremos representar un número complejo?
Idea básica: z=a+jb a y b son reales e independientes Plano (2D)
Eje x (abcisas) Parte real (a=Re{z}) Eje y (ordenadas) Parte imaginaria (b=Im{z})
3. REPRESENTACIÓN
Diagrama de
Argand (1806)Matemáticamente: existe un
isomorfismo entre el plano en 2D y el conjunto C
-π -2 -0.5 0 3/2 e
j
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Representación de números complejos
Ejemplos:
z1=-2+j, z2=-3j, z3=1-2j, z4=-e-3/2j
Conjunto de todos los números complejos
con parte real Re{z}=2
Conjunto de todos los números complejos
z tales que 1<Re{z}<3 y -4<Im{z}<-1
3. REPRESENTACIÓN
Re{z}
Im{z}
Re{z}
Im{z}
Re{z}
Im{z}
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Representación de números complejos
Hasta ahora hemos representado un número complejo como:
z=a+jb Representación en forma rectangular o binómica
Hay otra representación que nos permite identificar ese mismo número
Representación en forma polar/exponencial
El módulo y fase de z también se denotan como:
3. REPRESENTACIÓN
Notación 1:
Notación 2:
En ingeniería preferimos la
notación 2 (exponencial)!!
Módulo de z
Fase de z
z
z
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Relación entre forma rectangular y polar
Es muy importante saber pasar de una representación a otra
Rectangular: parte real y parte imaginaria
Polar: módulo y fase
Elegiremos entre una y otra en función de lo que nos convenga
3. REPRESENTACIÓN
zz ,
bzaz }Im{,}Re{
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Forma rectangular y polar: ejemplos 1
Pasar de rectangular a polar:
Pasar de polar a rectangular:
3. REPRESENTACIÓN
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Forma polar en el plano de Argand
Dibujar en el plano de Argand:
Los números:
Números complejos con fase 60º y
cualquier módulo
Números complejos con módulo 1 y
cualquier fase
Números complejos con módulo
entre 1 y 2 y fase entre 60 º y 90º
3. REPRESENTACIÓN
jjj
jj
ezezez
ezez
·5,·5,
,2,·3
542
3
62
41 Re{z}
Im{z}
Re{z}
Im{z}
Re{z}
Im{z}
Re{z}
Im{z}
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Circunferencia unidad
Es todavía más importante que sepamos identificar y pasar de una
representación a otra los números complejos de módulo uno
Si tienen módulo unidad, en forma polar se pueden escribir como
Mientras que en forma rectangular tienen la forma:
Gráficamente:
3. REPRESENTACIÓN
Fórmula de
Euler
jjj eee ·1· 1
)sin()cos()·sin(1·)·cos(1·1 jjee jj
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Propiedades básicas
Conjugado y opuesto de un número complejo:
Sea:
Conjugado de z:
Opuesto de z:
No existe relación de orden entre números complejos
Los reales sí están ordenados: -2<-0.5, e> 1.5
Los complejos no lo están No tiene sentido decir que -3+j > 1 - 3j
4. PROPIEDADES BÁSICAS
jejbaz ·
jejbazz ·*
)(· jejbaz
Gráficamente:
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Propiedades básicas
Dos números complejos son iguales si:
Tanto su parte real como su parte imaginaria son iguales
Si su módulo es igual y su fases son iguales
Si su módulo es igual y la diferencia de sus fases es múltiplo de 360º (2π radianes)
Parte real e imaginaria a través del conjugado
4. PROPIEDADES BÁSICAS
2121 y zzzz
nzzzz ·2y 2121
}Im{}Im{e}Re{}Re{ 2121 zzzz
21, zz
n es un número entero
2}Im{
2}Re{
*
1
* zzz
zzz
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Propiedades básicas
Módulo y fase a través del conjugado
¿Nos atrevemos a demostrar las dos últimas propiedades?
Otra propiedad (no tan básica): Teorema Fundamental del Álgebra
“Cualquier ecuación polinómica tiene solución compleja”
Si el polinomio es de orden N, tiene N soluciones (algunas pueden ser múltiples)
Válido tanto para coeficientes cn reales como complejos
4. PROPIEDADES BÁSICAS
*2* ·· zzzzzz zje
z
z
0012
21
1 cxcxcxcxc N
NN
N
Argand /
Gauss /
Cauchy
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Aritmética (operaciones) con complejos
Sumas/restas, multiplicaciones/divisiones, potencias/raíces
Idea básica:
Para calcular sumas y restas es más fácil si utilizamos la representación
rectangular
Para calcular multiplicaciones, divisiones, potencias y raíces es más fácil si
utilizamos la representación polar
5. OPERACIONES BÁSICAS
zjezz ·
}Im{}Re{ zjzz
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Sumas con complejos
Analíticamente (con fórmulas):
Gráficamente:
5. OPERACIONES BÁSICAS
Real Axis
Imaginary Axis
1z
2z
2z
sumz
2
1
2222
1111
j
j
ejbaz
ejbaz
)()( 2121
2211
21
bbjaa
jbajba
zzzsum
Parte real = suma partes
reales
Parte imaginaria= suma
partes imaginarias
¡Ortogonales!
Sumar en forma polar es muy
difícil a no ser que:
Los dos tengan la misma fase
Se mantiene la fase y se
suman los módulos
Tengan fase opuesta Se
restan los módulos y nos
quedamos con la fase del que
tenga un mayor módulo
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Restas con complejos
Analíticamente (con fórmulas):
Gráficamente:
5. OPERACIONES BÁSICAS
Real Axis
Imaginary Axis
1z
2z
2
z
diffz
2
z
2
1
2222
1111
j
j
ejbaz
ejbaz
)()( 2121
2211
21
bbjaa
jbajba
zzzdiff
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Sumas y restas: ejemplos 1
5. OPERACIONES BÁSICAS
jzjz 34,2 21
jjjjzzz 26314234221
jzjz 2/1,54 21
jjzzz 42/7152/1421
5,53/2 21 zjz
jjjzzz 53
2530553/2553/221
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Sumas y restas: ejemplos 2
5. OPERACIONES BÁSICAS
jzez j 31,2 23/
1
jjjjzzz 732,4331131)3/sin(2)3/cos(221
jzjz 1,44 21
jjjzzz 3314421
6/2
6/1 2,2 jj ezez
4/34/4/321 23224 jjj eeezzz En forma
polar…
60·)6/·cos(22
)6/sin(2)6/sin(2)6/cos(2)6/cos(2
)6/sin(2)6/cos(2)6/sin(2)6/cos(221
j
j
jjzzz
-π/4 + π = 3π/4
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Multiplicaciones con complejos
Analíticamente (con fórmulas):
En forma polar (más fácil):
En forma rectangular:
Si uno de los números es un número real:
5. OPERACIONES BÁSICAS
2
1
2222
1111
j
j
ejbaz
ejbaz
212121
21212121 ··
jjjjj
prod eeeeezzz
Módulo = Producto de módulos
Fase = Suma de fases
Agrupamos los términos con j y los que
no las tienen y recordamos que j2=-1 221121 ·· jbajbazzzprod
2121212121212121 ········ abbajbbaajbjbajbjbaaa
22222 ···· bajaajbaazazprod
0
0,··
)(2
222
2
2
2
asiea
asieaeazaz
j
jj
prod
¡¡Importante!!: Un
número real negativo
tiene fase π
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Multiplicaciones con complejos
Gráficamente es un poco más difícil de interpretar
Módulo = producto de módulos
Fase = suma de fases
5. OPERACIONES BÁSICAS
z1z2
zprod
ρprod= ρ1·ρ2
θ1
ρ2 θ2ρ1
θprod=θ1+θ2Real Axis
Imaginary Axis
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Divisiones con complejos
Analíticamente (con fórmulas):
En forma polar (mucho más fácil):
En forma rectangular (evitar a toda costa):
Una división importante es: 1/z
5. OPERACIONES BÁSICAS
21
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
j
j
j
j
j
div ee
e
e
e
z
zz
2222
21212121
2222
2211
22
11
2
1
bbaa
baabjbbaa
jbajba
jbajba
jyx
jyx
z
zzdiv
2222
2121
2222
2121
bbaa
baabj
bbaa
bbaa
jj
j
j
eee
e
zz ·
111 100
1 La fase cambia de signo!!
Al multiplicar por el conjugado del
denominador el nuevo denominador
será un número real positivo
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Multiplicaciones y divisiones: ejemplos 1
Multiplicar tanto en forma rectangular como polar:
5. OPERACIONES BÁSICAS
jzjz 1,5 21
jzjz 34,2 21
jjjjzzz 211463834·2· 21
180,0498,2678,221 555·5· jjj eeezzz
jjjjzzz 6415151·5· 21
983,0300,54/3944,221 1321322·26· jjjj eeeezzz
5,21 21 zjz
jzzz 525· 21
034,2107,121 55·5· jjj eeezzz
jzjz 21 ,3
jzzz 31· 21
3
2
6
8
26
5
21 221·2·
jjjj
eeeezzz
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Multiplicaciones y divisiones: ejemplos 2
5. OPERACIONES BÁSICAS
7654321 ·..·. zzzzzzzz
jzjzjz
jzjzjzjz
)2/1(3,27,1
,34,5,34,2
765
4321
Al final parece que multiplicar en forma rectangular no es tan difícil…
…¿Seguro?
Calculemos el siguiente producto de números complejos
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Multiplicaciones y divisiones: ejemplos 3
5. OPERACIONES BÁSICAS
En forma
rectangular:
En forma
polar:077,0
463,0
540,0
2
1
5
34
14
925
2
35 jj
j
ee
e
j
j
z
zz
DIVIDIR: jzjz 235 21
¿Hemos obtenido lo mismo
por los dos caminos?
Comprobadlo
5
13
j
22
2
12
3 6 510
j j j
5
1
5
13 j
2
35
j
j
j
2
35 j
2
2•
j
j
14
)-1(3 10
j
2
1
z
zz
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Multiplicaciones y divisiones: ejemplos 4
5. OPERACIONES BÁSICAS
jj
jj
j
j
1·
16/
3/
66
j
j
ej
e
22
3
22
6
22
64/
4/4/
j
jj
e
e
j
e
jeeeje jjjj 21221222·622·6 2/4/4/4/
588,04/4/
4/944,2
4/ 9
26
2·6·3
22·26
1·6·3
22·5 jjjj
jj
je
eee
ee
je
jj
j314,0472,0
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Potencias con complejos
Nos vamos a centrar en potencias (y raíces) con exponentes enteros
Analíticamente:
Forma polar:
En forma rectangular sería muy pesado (no hacerlo así nunca)
Unas potencias muy importantes serán las de los números complejos
con módulo unidad
5. OPERACIONES BÁSICAS
jbajbajbajbajbazNN ··
jNNNjNNjN eeez ···
¡¡Elevamos el módulo y
multiplicamos la fase!!
jezz 1
jNjNNN eez ·1El módulo sigue siendo unitario
y la fase se multiplica
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Raíces con complejos
Analíticamente: siempre en forma polar
Intuitivamente
No obstante hay que tener cuidado porque esa es sólo una de las raíces
De hecho, ya sabíamos que para los reales las raíces cuadradas tenían 2 soluciones
Para los complejos, la raíz N-ésima tiene N soluciones
La respuesta correcta es
Clave:
Ejemplo: utilizar la fórmula recuadrada para calcular
5. OPERACIONES BÁSICAS
)/(/1/1/1 ··· NjNNjN jNN eeezz
1,,1,0,· )/2/(/1/1 Nnezz NnNjNNN
)6()4()2( ···· jjjj eeeez
2 4
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Calcule donde z vale
Calcule donde z vale
31
Potencias y raíces: ejemplos 1
5. OPERACIONES BÁSICAS
0.92733 4 5 ii e z
6
0.9273 6 5.5638
( )
(5 ) 15,625i ie e
6z z
15,625 cos5.5638 sin5.5638
11,753 10,296
i
i
6z
66 zz
55 zz je j
3·
2
1 30/z
1
·22
12·
2
13·
2
1
5)5/(
5)6/30/(
56/30/
530/
5
jj
jjjj
ee
eeejez
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32
Potencias y raíces: ejemplos 2
5. OPERACIONES BÁSICAS
Calcule todas las raíces cuartas -1, es decir calcule todos los
valores de s que satisfagan: 4 1s
41 0.7071 0.7071
i
s e i
3
42 0.7071 0.7071
i
s e i
5
43 0.7071 0.7071
i
s e i
7
44 0.7071 0.7071
i
s e i
44 1 ies
3,2,1,0,2/4/4/2 nees nini
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Potencias y raíces: ejemplos 3
5. OPERACIONES BÁSICAS
Calcule todas los números complejos que satisfagan: js 24246
4/4/6 8642424 jj eejs
5,,1,0,·8·8 3/24/6/16/24/6/1 nees njnj
jes
jes
jes
j
j
j
31,154,0·2
12,186,0·2
18,040,1·2
24/153
24/72
24/1
jes
jes
jes
j
j
j
31,154,0·2
12,186,0·2
18,040,1·2
24/396
24/315
24/234
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Un poco de historia sobre números complejos
Inicios:
Mencionados indirectamente por Herón de Alejandría (s. I), en la búsqueda de
cuerpos geométricos con determinados volúmenes (volumen ecuaciones de
tercer grado)
Girolamo Cardano (s. XVI) los introduce para resolver ecuaciones de grado 3
Rafael Bombelli (s. XVI) define el símbolo i e, implícitamente, la operación de
conjugación
Matemáticos importantes que mostraron interés por los complejos:
Descartes (s. XVI y XVII): inventa el término “número imaginario”
Gauss (s. XVIII y XIX): prueba (varias veces) el Teorema Fundamental del Álgebra
(unas veces bien y otras mal).
No obstante hay tres personas muy importantes en el desarrollo de
los números complejos: DeMoivre, Euler y Argand
6. HISTORIA
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Abraham De Moivre (1667-1754)
Estableció vínculos entre los números
complejos y la Trigonometría
Su ecuación más famosa es:
¿Nos atrevemos a probarla? Quizás
sea más fácil tras la transparencia
siguiente
6. HISTORIA
njnj n sincos)sin(cos
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Leonhard Euler (1707-1783)
Fue quien introdujo la fórmula:
Esta fórmula fue muy importante para el desarrollo
del análisis de variable compleja (funciones,
transformaciones, límites con complejos)
Partiendo de ella:
6. HISTORIA
sincos je j
01 je
njne
ej
jn
njn
sincos
)()sin(cos
Podemos relacionar los cinco números “más importantes”:
Podemos utilizarla para probar la fórmula de De Moivre
Podemos escribir el seno y el coseno como:
j
eeee jjjj
2sin
2cos
Calcular integrales
con estas fórmulas es
mucho más fácil
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Jean-Robert Argand (1768 – 1822)
Propuso escribir el número j como una rotación de 90º (π/2) del
número 1:
Introdujo el Diagrama de Argand y la representación de
números complejos como vectores en 2-D
Escribió una prueba para el Teorema Fundamental del Álgebra
y fue el primero que lo probó cuando los coeficientes de los
polinomios eran complejos
Más tarde se descubrió que la representación en 2-D de
números complejos había sido propuesta también (de forma
independiente) por Caspar Wessel
6. HISTORIA
2/jej
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38
Recapitulando
Hemos visto:
1. Introducción: el número i (para nosotros el número j)
2. Conjuntos de números (los números complejos son muy importantes)
3. Representaciones de números complejos (módulo y fase, diagrama de Argand y
circunferencia unidad)
4. Propiedades básicas de los números complejos
5. Operaciones básicas (aritmética) con números complejos (potencias y raíces)
6. Historia sobre números complejos (fórmulas de Euler y de DeMoivre)
Siguiente paso: funciones de variable compleja (nos centraremos en su
representación)
Antes se necesita representación de funciones de variable real
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Material adicional
Ejercicios:
Todos los ejercicios de http://ejerciciosyexamenes.com/complejos.pdf
Todos los ejercicios de http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad4/u4comre10.pdf
Ejercicios 1, 3 y 8 de http://ocw.unican.es/ensenanzas-tecnicas/fundamentos-
matematicos-i/material-de-clase-2/Bloque1_NumerosComplejosejercicios.pdf
39