UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
DEPARTAMENTO: MATEMÁTICA Y ESTADISTICA
CURSO DE INGRESO DE MATEMÁTICA
CARRERAS: PROFESORADO EN BIOLOGÍA LICENCIATURA EN Cs BIOLOGICAS
INGRESANTES 2012 DOCENTES: PERALTA, JAVIER MAIZA, MELIZA BIZOTTO, ANDRES LEGUIZAMON, CLAUDIA CICLO ACADÉMICO: 2012
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FUNDAMENTOS: Partimos de la base de que los comienzos en la Universidad no son fáciles y los estudiantes necesitan un periodo de adaptación hasta que consiguen integrarse plenamente en el entorno Universitario. Si a esta situación además le añadimos que, en particular, las asignaturas de matemáticas dependen en su gran medida de lo que anteriormente haya aprendido el alumno, enseguida nos damos cuenta de que es necesario homogeneizar los diferentes conocimientos matemáticos que poseen los alumnos antes de que empiece el curso oficial. En esto consiste la finalidad de este curso de Ingreso de Matemática, puesto que dicho curso está centrado en aportar a los alumnos de primer año de estudios universitarios algunos complementos en formación matemática, mayor agilidad, destreza y entrenamiento en la resolución de problemas básicos de matemáticas. Se pretende además que los alumnos adquieran un hábito de estudio adecuado a esta disciplina. El enfoque será fundamentalmente práctico, centrado en la resolución de problemas y en la participación activa del alumno para que tenga un buen rendimiento a lo largo de la cursada
OBJETIVOS:
Adquirir hábitos de estudio acordes al nivel universitario.
Adquirir agilidad en el manejo de las operaciones básicas y sus propiedades.
Interpretar y resolver problemas básicos referentes a proporcionalidad y porcentaje.
Reconocer las diversas expresiones algebraicas y operar con ellas.
METODOLOGIA: Debido al carácter práctico de este curso, se expondrán brevemente en el pizarrón las herramientas teóricas. Los esfuerzos centraran en presentarles a los alumnos distintas técnicas y formas de trabajo para la resolución de la guía práctica.
CONTENIDOS MINIMOS:
Operaciones básicas. Propiedades de las operaciones. Expresiones algebraicas. Polinomios. Operaciones con polinomios. Factorización de expresiones algebraicas. Proporcionalidad y Porcentaje.
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EVALUACION: Se tomara una evaluación de los contenidos propuestos, con el fin de analizar los resultados del curso, y en total de acuerdo con la Resolución prevista para el Ingreso 2012. Esta evaluación no es vinculante con ninguna de las asignaturas del diseño curricular.
TEMAS A DESARROLLAR POR SEMANA
Semana 1: Propiedades de las operaciones básicas con números enteros y racionales. Semana 2: Expresiones algebraicas. Polinomios. Operaciones con polinomios Semana 3: Factoreo. Simplificación de expresiones algebraicas. Semana 4: Proporcionalidad y Porcentaje. Resolución de problemas
4
Números Enteros
El conjunto de números enteros se designa con la letra , este conjunto esta formado por:
Enteros positivos (Z+): +1, +2, +3,... (que también se anotan: 1, 2, 3…)
El cero: 0
Enteros Negativos (Z-): -1, -2, -3, -4,…
VALOR ABSOLUTO: Se llama valor absoluto de un número entero a y se lo indica a
(se lee: valor absoluto de a), a la distancia desde el número a hasta el cero.
Ejemplo: 55 88 00 55
Suma de Números enteros:
Regla practica para sumar dos números enteros:
Si los sumandos tienen el mismo signo, sumamos los valores absolutos y le
asignamos al resultado el signo de los sumandos.
Ejemplo: (-5) + (-1) = -6 , 9 + 4= 13
Si los sumandos tienen distintos signos, restamos sus valores absolutos y le
asignamos al resultado el signo del número de mayor valor absoluto.
Ejemplo: 8 + (-2) = 6 , (-10) + 7 = -3
Resta de Números enteros:
Restar un número entero es lo mismo que sumar su opuesto, es decir:
a – b = a + (-b) y a – (-b) = a + b
Ejemplos: 12 – 20 = 12 + (-20) = -6 ; 30 – (-10) = 30 + 10 = 40
Resuelvan las siguientes operaciones
a) 150 – (14 – 6) = e) 40 + 35 + 3 – 10 – 9 =
b) (11- 5) – (9 – 3) = f) 3 – 2 – (-8) + 4 – 10 – 6 =
c) (4 – 3) + (5 – 2) = g) – (-10) + (-8) – 3 + (-1) =
d) (9 - 4) – (9 + 4) = h) -1 – 2 – 3 + (-6) – (-4) =
Multiplicación y división de Números enteros:
Para multiplicar y para dividir dos números enteros debemos tener en cuenta esta regla:
Si los dos tienen el mismo signo, el resultado es positivo.
(+) . (+) = + (+) : (+) = +
( -) . ( -) = + ( -) : ( -) = +
Ejemplos: (+3).(+7) = 21 (+28) : (+7) = +4
(-6) . (-8) = 48 (-45) : (-9) = +5
5
Si los dos tienen distintos signos, el resultado es negativo.
(+) . ( -) = - (+) : ( -) = -
( -) . (+) = - ( -) : (+) = -
Ejemplos: (+5).(-9) = -45 (+24) : (-6) = -4
(-6). (+4) = -24 (-30) : (+5) = -6
Nota: la división en cero no está definida, por lo tanto es imposible dividir cualquier
número entero en cero. Es decir el divisor tiene que ser un número distinto de cero.
( )
Regla práctica: El producto o cociente de varios números enteros distintos de cero es otro
entero tal que:
Es positivo si la cantidad de factores negativos es par
Es negativo si la cantidad de factores negativos es impar.
Ejemplos: (-1)•(-2)•(+5)•(+1)•(+3) = +30 2 factores negativos
(-1)•(-2)•(+5)•(+1)•(-3) = -30 3 factores negativos
Resuelva los siguientes productos:
a) (-8)•(+9)•(-4) =
b) (-4)•(-5)•(-6)•(-8) =
c) (-30)•(+4)•(-5) =
d) (-8)•(-10)•(+2)•(-3) =
Resuelva los siguientes cocientes:
a) (-24) : (-8) =
b) (-56) : (-7) =
c) (33) : (-11) =
d) (-36) : (+12) =
Potenciación de Números enteros:
La potenciación es una operación entre dos números a y n, llamados base y exponente,
respectivamente.
Notación: an = p, a se llama base, n se llama exponente (con n numero natural) y p se
llama potencia
Podemos decir que la potenciación es una forma abreviada de escribir una multiplicación
de factores iguales, es decir: ⏟
(n veces multiplicamos a por sí mismo)
Si la base de una potencia es un número entero, este puede ser positivo o negativo, y por
lo tanto se presentan dos situaciones:
6
1) si el exponente es un número par el resultado de la potencia es siempre un número
positivo:
Ejemplos: 72 = 49 (-3)
2 = 9 2
6 = 6 (-5)
2 = 125
2) si el exponente es un número impar el resultado de la potencia lleva el signo de la base.
Ejemplos: (-2)2
= +4 (-2)4
= +16 22 = +4
(-2)3
= -8 (-2)5
= -32 25 = +32
Calcule cada una de las siguientes potencias:
a) (-8)2 = c) (-2)
5 = e) (-1)
0 =
b) (-10)3 = d) (+3)
3 = f) 34
1 =
Casos particulares:
Todo número a distinto de cero elevado al exponente 0 es igual a uno: a0 = 1
Todo numero entero b elevado al exponente 1 es igual a b.
Propiedades de la potenciación:
- Producto de potencias de igual base:
Ejemplo:
- Cociente de potencias de igual base:
Ejemplo:
- Potencia de otra potencia: ( )
Ejemplo: ( )
- La potenciación no es distributiva respecto de la adición y sustracción de números
enteros.
( )
Radicación de Números enteros:
La radicación es una operación entre dos números a y n , ban Donde a se llama radicando, n es el índice y b es la raíz, y se define como
abba nn
Ejemplos: 283 pues 23 = 8
283 pues (-2)3 = -8
7
4 16 No es posible en Z pues ningún número entero elevado a un exponente par
da por resultado en número negativo
(+2)4 = 16
2164 pues
(-2)4 = 16
Regla de los signos: Si el índice es impar la raíz tiene el mismo signo del radicando.
Si el índice es par y el radicando es positivo, las raíces son dos números opuestos.
Si el índice es par y el radicando es negativo, la raíz es imposible en .
Ejemplos: √ , √
, √
,
Calcular las siguientes raíces:
a) 3 1000 b) 4 16 c) 5 32
d) 6 64 e) 3 125
Propiedades de la radicación:
- Raíz de un producto: √
√
√
Ejemplo: √
√
√
- Raíz de un cociente: √
√ √
Ejemplo: √ √ √
- Raíz de otra raíz: √ √
√
Ejemplo: √√
√
√
- La radicación no es distributiva respecto de la adición y sustracción de números enteros.
√ √ √
√
Números Racionales
Se llama número racional al cociente entre dos números enteros a y b (con b distinto de
cero). Para simbolizarlos se lo escribe del siguiente modo:
a Numerador de la fracción
b Denominador de la fracción
El conjunto de los números racionales está formado por el conjunto de los números enteros
y los números fraccionarios y se representan con la letra .
Los números racionales pueden expresarse mediante una fracción o una expresión decimal.
Ejemplos: 2 = 4 0,5 = 1 -5 = -15 1,4 = 7 0 = 0
2 2 3 5 9
8
Simplificación de Fracciones:
Para simplificar fracciones dividimos al numerador y al denominador por el mismo
número.
Ejemplo: 120 puede simplificarse por 5; entonces 120 : 5 = 24 .
210 210 : 5 42
Podemos seguir simplificando esta fracción hasta obtener una fracción irreducible.
Operaciones con Números Racionales:
Suma:
Definición: d.b
bcad
d
c
b
a
Ejemplos: A) 35
31
35
1021
7.5
5.27.3
7
2
5
3
B)96
76
96
3640
8.12
12.38.5
8
3
12
5
Cuando aplicamos la definición debemos simplificar el resultado, siempre que sea posible.
Calcula las siguientes sumas:
a) 12
5
24
7 d)
15
7
10
3
6
1
5
9
b) 60
11
15
8
5
7 e)
15
3
80
1
40
3
20
7
c) 12
5
6
1
8
3
Resta de números Racionales:
Regla: Para restar dos números racionales, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.
d
c
b
a
d
c
b
a
Ejemplo: 12
11
12
209
12
4.53.3
3
5
4
3
3
5
4
3
Realiza las siguientes operaciones:
a) 12
1
8
3 c) 1
5
2
3
1 d)
6
7
3
2
3
52
b) 2
74 d)
2
5
4
1
8
3
9
Multiplicación de números racionales
Definición:
Ejemplo: 35
6
7.5
2.3
7
2.
5
3
Cuando sea posible, conviene simplificar (numerador con denominador) antes de realizar
la operación
Ejemplo:
3 7
21
5
3.7
5.1
63
52.
53
21
5 1
La regla de los signos es la misma que enunciamos para la multiplicación de números
enteros.
Calcula los siguientes productos:
a) 7
6.
3
2 d)
55
15.
81
33.
32
36.
45
24
b) 9
4.3 e)
25
27.
72
35.
18
14.
49
16
c) 18
25.
30
21.
35
12
División de números racionales
Regla: Para dividir dos números racionales, se multiplica el primero por el inverso del
segundo y se simplifica el resultado siempre que sea posible
En símbolo: c
d.
b
a
d
c:
b
a
Calcula los siguientes cocientes:
a) 8
7:
4
3 d)
15
10:
9
4
b) 6
5:
12
5 e)
20
14:
8
7
c) 25
6:
5
4
10
Potenciación de números racionales
1) Potencia de exponente natural
Para la potencia de exponente natural sigue siendo válida la definición general de
potencia enésima, que se dio para números enteros.
En símbolo: n
nn
b
a
b
a
También son validas las definiciones para la potencia de exponente cero y de exponente
uno.
1b
a0
con
b
a
b
a1
La regla de los signos es la misma que enunciamos para la potenciación de números
enteros.
Ejemplos: (
)
(
)
9
4
3
22
27
8
3
23
2) Potencia de exponente negativo:
Toda potencia de exponente negativo se puede transformar en una potencia positiva cuya
base es la inversa de la base dada de la potencia
En símbolos: (
)
(
)
con
n
n
a
1a
Ejemplos:
a) 4-3
= 64
1
4
13
, b) (
)
(
)
, c) 32)2(
2
1 5
5
d) (
)
e) (
)
f) ( )
11
Radicación de números racionales
La definición general de raíz enésima de números enteros sigue siendo válida para los
racionales.
b
a
y
x
y
x
b
an
n
Regla practica:
n
n
n
b
a
b
a
Nota: la regla de los signos es la misma que hemos enunciado para la radicación de
números enteros
Ejemplos: 5
2
25
4 pues
25
4
5
22
7
3
243
273 pues
243
27
7
33
Calcula las siguientes potencias y raíces:
a)
3
7
5 b)
2
3
2 c)
2
2
3 d)
1
5
9 e)
4
4
1
f) 3
27
8 g) 5 100000 h) 3
64
1 i)
36
4 j) 4
81
216
Potencias con exponente fraccionario
Se llaman así a aquellas potencias cuyo exponente es un número racional.
√
Ejemplos: √ , √
, √
Calcular las siguientes potencias:
) ) )
12
Resolver los siguientes ejercicios combinados (aplicando las propiedades
correspondientes)
a) ( ) √ ( ) [ ( ) ( )]
b) √(
)
(
)
(
) (
)
c) ( ) ( ) √ √
( ) ( )
d) (
)
(
) ( ) (
)
e) ( ) ( ) ( )
f) (
)
√
(
) (
)
√(
)
g) ( ) √ ( ) ( )
h) ( ) √
i) (
)
√
(
) ( ) ( )
j) ( ) √ ( )
k) ( ) ( ) √
[ ( ) ]
l) (√
√
)
(
)
( ) ( )
Expresiones Algebraicas. Polinomios
Una expresión algebraica es una combinación cualquiera y finita de números, de letras, o
de números y letras entre sí con las operaciones adición, sustracción, multiplicación,
división, potenciación y radicación.
a) 2x + 34 b) 5y
3 + 6y -
3
1 c) m
2 + m3 d)
2
5
x
4x e)
4t5
2t2
La parte numérica de una expresión algebraica se la denomina Coeficiente y a la parte
literal se la llama Indeterminada.
En el caso que un término de la expresión este constituido solamente por la parte numérica
se lo llama a este Término Independiente
13
Si la indeterminada no está afectada por una raíz o como divisor, las expresiones
algebraicas son enteras y se denominan polinomios.
Los ejemplos c) , d) y e) no son polinomios.
Según la cantidad de términos, un polinomio se denomina:
Monomio si tiene un solo término: m2
1
Binomio si tiene dos términos: 4x2 + 5
Trinomio si tiene tres términos: 3m – 8 + m3 y
Cuatrinomio si tiene cuatro términos: 2y5 – 2y + 7 – y
2.
Generalizando una expresión que posea más de dos términos se los llama Polinomios
Los términos que tienen la misma indeterminada elevada al mismo exponente son
semejantes
Ejemplos: 4m2,
2m2
1
y m
2 son semejantes
2x y x2 son semejantes
Se denomina grado de un polinomio al mayor exponente que tiene la indeterminada de los
términos con coeficientes no nulos de un polinomio.
Ejemplos: a) P(x) = 7x + 6x2 – x
5; grado 5.
b) Q(m) = 4 – m + m3; grado 3.
c) T(s) = 5; grado 0
Se llama coeficiente principal al coeficiente que multiplica a la indeterminada de mayor
exponente.
Ejemplos: S(p) = p + 5p3 – 2p
4; coeficiente principal: -2
T(y) = y5 – 8y
4 + y; coeficiente principal: 1
Un polinomio esta ordenado si sus términos están ordenados en forma creciente o
decreciente respecto al grado de cada término que forman la expresión.
Ejemplos: a) H(x) = 3x4 +
3x2
1-
2x2
1+ x – 1
b) J(m) = 4 + m + 32 m
3
1m
2
1
c) Z(p) = p5 – 2p
2 + 7
Un polinomio esta completo si tiene todas las potencias respecto a la indeterminada de
grado mayor hasta el grado cero, estos pueden estar ordenados en forma decreciente o
creciente.
a) R(x) = 6x4 – 5x
3 + x
2 – 3x -1; esta completo. b) Q(s) = s
4 -
2s2
1- 3; esta incompleto
Para completar un polinomio se agregan los términos que faltan con coeficientes cero.
a) M(x) = x5 + 3x
3 – 1 = x
5 + 0x
4 + 3x
3 + 0x
2 + 0x – 1
b) N(m) = 4m4 + 2m
2 = 4m
4 + 0m
3 + 2m
2 + 0m + 0
c) K(s) = s6 – 3 = s
6 + 0s
5 + 0s
4 + 0s
3 + 0s
2 + 0s – 3
14
Adición y Sustracción de polinomios.
La suma de varios monomios semejantes es otro monomio semejante cuyo coeficiente es la
suma de los coeficientes de los monomios dados.
Ejemplos: a) 2x3 + x
3 + 6x
3 = 9x
3 b) 6m
5 +
5m2
1 + m
5 =
5m2
15
c) y + 2y +5y = 8y
* Para restar dos monomios se suma al minuendo el opuesto del sustraendo
P(m) = 6m4 y Q(m) = -3m
4 P(m) – Q(m) = 6m
4 + 3m
4 = 9m
4
Para sumar varios polinomios entre sí, se completan y ordenan, luego se encolumnan sus
términos semejantes y se suman los coeficientes de los mismos.
Ejemplo: Dados: P(x) = -3 + 2x2 – 5x
3 + x
4; y Q(x) = -9x
3 + x
2 + x – 1.
P(x) + Q(x)
x4 – 5x
3 + 2x
2 + 0x – 3
+ 0x4 – 9x
3 + x
2 + x – 1
x4 – 14x
3+ 3x
2 + x – 4
Para restar dos polinomios, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.
Ejemplo: Dados: M(p) = -2p + 3p2 -
3p2
1- 7; y N(p) = 3p – 5p
2 – p
4 + 2.
M(p) - N(p)
0p4 -
3p2
1+ 3p
2 – 2p – 7
+ p4 - 0p
3 + 5p
2 – 3p – 2
p4
- 3p
2
1+ 8p
2 – 5p – 9
Ejercicio: dados los siguientes polinomios hallar las siguientes sumas y restas que se
indican:
P(x) = 3x + x3 – 5 ; q(x) = -4x
3 + 2x - 7; r(x) = 5x – 2x
3 + x
2 + 6;
s(x) = 6x3 – 8x + 1; U(x) =
3xx2
1
5
4
a) p(x) + q(x) + r(x) = d) s(x) - r(x) + p(x) =
b) r(x) + s(x) + u(x) = e) u(x) – [s(x) + q(x)] =
c) q(x) - p(x) + U(x) =
Multiplicación de Polinomios
Para multiplicar dos monomios se deben multiplicar los coeficientes y las indeterminadas
entre sí, aplicando la regla de los signos y las propiedades de la potenciación antes
mencionadas:
Ejemplos: a) 3x.2x = 6x2 b) 10x
4. (-5x
4) = -50x
8 c) (-6x
5).(-3x
2) = 18x
7
15
Para multiplicar un polinomio por un número real, se aplica la propiedad distributiva de la
multiplicación respecto de la suma y resta: acabc)a(b
Ejemplo: -3 12xx6x3x3
1)3(x2)3(x34x
3
1x2x 232323
Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva, efectuando luego la
multiplicación de monomios: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Ejemplo: P(m) = 2m2 – 5m + 2; y Q(m) = 3m
2 – m
P(m) .Q(m) = (2m2 – 5m + 2)( 3m
2 – m)
= 2m2.3m
2 + 2m
2(-m) + (-5m).3m
2 + (-5m)(-m) + 2.3m
2 + 2(-m)
= 6m4 – 2m
3 – 15m
3 + 5m
2 + 6m
2 – 2m
P(m) .Q(m) = 6m4 – 17m
3 + 11m
2 – 2m
Resuelvan los siguientes productos de polinomios
a)
6448162
2
1 2 xxx d)
1y3y2yy
3
2 23
b) (5s2 – s
3 + 4s)(-3s +7) = c) (p
4 – 3p
2 + 3p)(5p
2 + p - 2) =
Productos notables:
Cuadrado de un binomio: el cuadrado de un binomio se desprende del siguiente producto
de un binomio por sí mismo dos veces.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
En síntesis: ( )
Ejemplos:
a) (x + 3)2 = x
2 + 2.3x + 3
2 = x
2 + 6x +9
b) 432222
22
2 xx3x4
9xxx
2
32x
2
3xx
2
3
Cubo de un binomio: el cubo de un binomio se desprende del siguiente producto de un
binomio por sí mismo tres veces.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
En síntesis: ( )
Ejemplos:
a) (x + 4)3 = x
3 + 3.4.x
2 + 3.4
2x + 4
3 = x
3 + 12x
2 + 48x + 64
b) (2x – 3)3 = (2x)
3 + 3(-3)(2x)
2 + 3.2x.(-3)
2 + (-3)
3 = 8x
3 – 36x
2 + 54x -27
16
Desarrollen los siguientes cuadrados y cubos de un binomio:
a) (2x + 1)2 = b)
2
33
1
x = c) (x +
5
3)2 = d) (-4x
3 – 3)
2 =
e) (-5 + 2x)3 = f) (-2x – 3)
3 = g)
3
3
2
x = h)
323 23 xx
División de Polinomios. Regla de Ruffini
La Regla de Ruffini es un método practico que se utiliza para dividir un polinomio P(x) por
otro cuya forma sea x - a, siendo a un número real.
Dados P(x) = 5x3 - 4x – 42 y Q(x) = x – 3
5 0 -4 -42 Coeficientes del dividendo
completo y ordenado
Opuesto de a sumar sumar sumar
3 15 45 123
Multiplicar 5 15 41 81 Resto de la división
Cociente: 5x2 + 15x + 41 el cociente siempre resulta de un grado menor que el dividendo
Ejemplos:
a) (m3 – m + 2) : (m – 2) b) (2p
4 + 5p
2 – p -5) : (x + 2)
1m3 + 0m
2 – 1m + 2 Dividendo 2p
4 + 0p
3 + 5p
2 – 1p -5 Dividendo
1 0 -1 2 2 0 5 -1 -5
2 2 4 6 -2 -4 8 -26 54
1 2 3 8 2 -4 13 -27 49
Cociente: m2 + 2m + 3 Cociente: 2p
3 – 4p
2 + 13p -27
Resto: 8 Resto: 49
Aplicar la Regla de Ruffini para resolver cada una de las siguientes divisiones:
a) (x4 – 5x
3 + 3x – 9) : ( x + 2) = c) (1 + x
7) : (1 + x) =
b) (a2 + a - 56) : (a - 7) = d) (x
2 – 4) : (-2 + x) =
17
Utilizando las operaciones con polinomios, las propiedades de la potenciación y radicación
reduzca las siguientes expresiones algebraicas:
1) 52 .xx 2) 72 .xx 3) 3
6
x
x 4)
9
2
y
y
5) x
xx 33 32 6) 62y 7) 54z 8) xx 5.6
9) 3
225
x
xx 10)
73.xx 11) 9 1125 .. yyy
12) 52
7
y
yy 13)
x
x 23
14)
z
z3
2 15)
y
yy3
3
16) x
x
2 17) 113.yy 18) 253 zz 19)
3
52
x
x
20) 43 .yy 21) 42 . zz
22)
4
32
4
2
x
x 23)
x
x
5
4525
24) 352 2. yyy 24) 3222 2. xxx 26) 4
3
.2
xx
27)
1
)1( 5
x
x
Factorización de Polinomios
Factorizar un polinomio, de n términos es expresarlo como un producto de polinomios
primos.
Para ello utilizamos lo que se conoce con el nombre de Casos de Factoreo
1° caso: Factor común
El factor común de una expresión algebraica puede ser la indeterminada de dicha expresión
elevada a la menor potencia, el Máximo Común Divisor de todos los coeficientes del
mismo o ambos.
Primero se debe reconocer cual es el factor que se repite en cada término y luego, para
encontrar el factor que va entre paréntesis, se divide cada término por el factor común.
18
Ejemplos:
a) P(x) = 2x2 – 4x
En primer lugar buscamos el factor común tanto de la parte numérica como de la literal.
El divisor de 2 y 4 es 2. La indeterminada de menor grado es x. Por lo tanto el factor
común de la expresión es 2x
Dentro del paréntesis va lo que resulta de dividir cada término por 2x que es el factor
Común de los dos Términos.
P(x) = 2x . (x – 2) Expresión factorizada de P(x) a través del factor común
b) P(x) = -12x6 + 6x
5 – 15x
3 = 3x
3. (-4x
3 + 2x
2 – 5)
Factorizar los siguientes polinomios utilizando el 1° caso:
a) 16ax5y – 6ax
3y
2 b)
25 x32
3x
4
3
2° caso: Factor Común por grupos
Se aplica factor común por grupos a polinomios que no tienen un factor común en todos
sus términos.
Para aplicar este caso se deben tener en cuenta las siguientes condiciones:
Cantidad par de términos.
Formar grupos de igual cantidad de términos.
Extraer el factor común de cada grupo.
Luego extraer el factor común de cada grupo.
Ejemplos: P(x) = x5 – 2x
4 – 3x + 6
P(x) = (x5 – 2x
4) + (-3x + 6) Se forman grupos de igual cantidad de términos, de
forma tal que en cada uno de ellos haya un factor
x4 -3 común
P(x) = x4 (x – 2) – 3 (x – 2) En cada término debe aparecer el mismo factor
para poder extraerlo nuevamente como factor común.
P(x) = (x – 2)(x
4 – 3) Al sacar nuevamente factor común, la expresión
queda factorizada a través del factor común por grupo
b) Q(x) = 3x3 + 3x
2 + 2x + 2
= (3x3 + 3x
2) + (2x + 2)
= 3x2(x + 1) + 2(x + 1)
Q(x) = (x + 1)(3x2 + 2)
Factoricen los siguientes polinomios utilizando el 2° caso:
a) x5 – x
4 + x
2 – x d) 2x
5 – x
4 + 6x
3 – 3x
2 + 8x - 4
19
3° caso: Trinomio Cuadrado Perfecto
Llamamos trinomio cuadrado perfecto a un polinomio de tres términos que tenga esta
forma: a2 + 2 . a . b + b
2 y lo factorizamos expresándolo como el cuadrado del binomio:
a2 + 2 . a . b + b
2 = (a + b)
2
Para aplicar este caso se deben tener en cuenta las siguientes condiciones:
Debe ser un trinomio
Tener dos términos cuadráticos perfectos
El término restante debe ser el doble producto de las bases de los otros dos
términos.
Ejemplos:
a) P(x) = x2 + 6x + 9 = x
2 + 2 . 3x + 3
2 = (x + 3)
2
x 3
b) Q(x) = x6 – 6x
3 + 9 = (x
3)2 + 2 . (-3)x
3 + (-3)
2 = (x
3 – 3)
Factoricen los siguientes polinomios aplicando el 3° caso:
a) P(x) = m2 – 6m + 9 d) G(x) = x
2 -
9
4x
3
4
4° caso: Cuatrinomio Cubo Perfecto
Llamamos cuatrinomio cubo perfecto a un polinomio de cuatro términos que tenga esta
forma: y lo factorizamos expresándolo como el cubo del
binomio:
( )
Para aplicar este caso se deben tener en cuenta las siguientes condiciones:
Debe ser un cuatrinomio
Tener dos términos cúbicos perfectos
Los otros dos términos deben ser el triple producto de la base de uno de los otros
dos términos por el cuadrado de la base del otro término.
Ejemplo: ( )
Los términos cúbicos son y 8, por lo tanto las bases son z y 2.
Luego hacemos los siguientes cálculos auxiliares:
que es el segundo término de nuestro polinomio
que es el tercer término de nuestro polinomio
Por lo tanto como cumple las condiciones se puede realizar la factorización y queda
expresada de la siguiente forma: ( )
Factorizar los siguientes polinomios aplicando el 4° caso:
a) ( ) b) ( )
c) ( )
20
5° caso: Diferencia de Cuadrados
Llamamos diferencia de cuadrados a un polinomio que tiene la forma: a2 – b
2
Estos polinomios pueden expresarse como producto entre la suma y la diferencia de las
bases a y b.
a2 – b
2 = (a + b)(a – b)
Ejemplos:
a) x2 – 25 = (x + 5)(x – 5)
b) x6 – 36 = (x
3 – 6)(x
3 + 6)
Resuelvan aplicando la diferencia de cuadrados:
a) 1 – x2 = b) x
6 – a
6 = c) – 100 + z
2 =
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas utilizando los distintos casos de factoreo:
a) x2 -
9
4 b) 12xy
2 + y
3 + 48x
2 + 64x
3
c) x2 + 2xy + y
2 d) 3x
15 –20 x
12 + 51x
9 – 70x
6 + 46x
3 - 20
e) -4m7x + 12m
5n
2x – 28m
3n
4x f) xy + 3x + ay + 3a
g) 2x2 + 3xy + 5x – 4xy – 6y
2 – 10y h) 9x
2 – 16 =
i) H(x) = 9a4 + 30a
2x
3 + 25x
6 j) S(x) = a
4x
2 + 2a
2bxy
2 + b
2y
4
k) 64x6 – 25 =
l) 6x
4 – 3x
3 – 24x
2 + 12x
m) 323233
5
9
2
3
10
9cxabxaxa n) 36y
2 – 27 – 8y
3 – 54
Simplificar las siguientes expresiones algebraicas racionales empleando los casos de
factoreo.
)
)
)
)
)
( ) )
) ( )
)
)
)
)
)
21
RAZON Y PROPORCION
Razón: se denomina razón, al cociente entre dos magnitudes, distintas de cero, expresadas
en la misma unidad.
Ejemplo:
Las edades de dos hermanos son 9 y 12 años, entonces la razón entre la edad del menor
y del mayor es:
Proporción: Una proporción está formada por una igualdad entre dos razones:
Donde a, b, c y d son distintos de cero y se lee " es a como es a ".
Por ejemplo,
son dos razones iguales, entonces podemos construir la proporción:
Que se lee " 3 es a 4 como 6 es a 8 ".
Es decir, para tener una relación proporcional, necesitamos tener dos razones que sean
equivalentes. Existen dos tipos de proporcionalidad: directa e inversa.
Ambas sirven para resolver problemas donde se conoce una razón y un dato de la segunda.
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES:
En cada proporción se cumple lo siguiente:
si y solo si
En esta relación a y d reciben el nombre de extremos, b y c se los llama medios
Ejemplo:
pues 3 × 8 = 4 × 6
Ejemplo de aplicación: las alturas de dos edificios están en la razón 4 / 5. Si el primero
mide 20 (m), ¿cuánto mide el segundo?
Solución:
Respuesta: el segundo edificio mide 25 (m)
22
PROPORCIONALIDAD DIRECTA:
Si en una razón al aumentar una cantidad, la otra también aumenta, se dice que la
proporcionalidad es directa.
Por ejemplo, si el valor de una se duplica, entonces el valor de la otra también se duplica.
Ejemplo: Si 5 computadoras cuestan $ 5000, entonces 10 de esas mismas computadoras
cuestan $ 10000.
Ejemplo de aplicacion: un poste de 4 m de altura, en cierto instante, da una sombra de
6 m. ¿Cuánto mide de alto otro poste, si en ese mismo instante, da una sombra de 15 m?
Solución:
Respuesta: el poste mide 10 m de altura.
PROPORCIONALIDAD INVERSA:
Cuando en una razón una cantidad aumenta y la otra disminuye se habla de
proporcionalidad inversa. Por ejemplo, si el valor de una se duplica, entonces el valor de la
otra se reduce a la mitad.
Ejemplo: si con una cantidad fija de dinero se pueden comprar 3 bebidas que cuestan $ 8
c / u, entonces con esa misma cantidad de dinero se pueden comprar 6 bebidas que cuestan
$ 4 c / u.
3 × $ 8 = 6 × $ 4
Ejemplo de aplicación: un móvil, con una velocidad media de 80 ( km / hr ) , recorre una
distancia en 6 (hr) . Si se quiere realizar el mismo recorrido en 5 ( hr ) , ¿cuánto debería ser
el valor de la velocidad media?
Solución: 80 ( km / hr ) × 6 ( hr ) = v × 5 ( hr ) entonces v = 96 ( km / hr )
Respuesta: la velocidad tiene que ser de 96 ( km / hr ).
Resuelve los siguientes problemas de proporcionalidad:
a) Por cuatro horas de trabajo, Alberto ha cobrado $20. ¿Cuánto cobrará por 5
horas?
b) Tres obreros descargan un camión en dos horas. ¿Cuánto tardarán 6 obreros?
c) Trescientos gramos de queso cuestan $ 12. ¿Cuánto cuestan el kilo?
d) Un camión, a 60 km/h, tarda 40 minutos en cubrir cierto recorrido. ¿Cuánto
tardará un coche a 120 km/h?
23
e) Tres cajas de cereales pesan dos kilos y cuarto. ¿Cuánto pesarán cinco cajas
iguales a las anteriores?
f) Dos palas excavadoras hacen la zanja de una conducción de cable telefónico en
10 días. ¿Cuánto tardarían en hacer la zanja cinco palas?
g) Un camión que carga 3 toneladas necesita 15 viajes para transportar cierta
cantidad de arena. ¿Cuántos viajes necesita para hacer el mismo porte otro
camión que carga 5 toneladas? (1 t_1 000 kg).
h) Un taxi que va a 100 km/h necesita 20 minutos para cubrir la distancia entre dos
pueblos. ¿Cuánto tardaría si fuera a 80 km/h?
i) Una máquina embotelladora llena 240 botellas en 20 minutos. ¿Cuántas botellas
llenará en hora y media?
PORCENTAJE: para resolver problemas con porcentaje se debe plantear una proporción
con los datos conocidos y luego se resuelve aplicando el Teorema fundamental de las
proporciones.
Ejemplo: calcular el 35% de 170.
Solución: en esta situación 170 representa el 100%, por lo tanto la proporción queda de la
siguiente forma:
entonces
por lo tanto x = 59,5
Nota: también se puede utilizar la Regla de Tres Simple para calcular porcentaje.
En nuestro ejemplo se plantea la siguiente relación:
170 100%
x 35%
Para calcular x hacemos el producto de los medios dividido en el extremo restante, es decir
por lo tanto x = 59,5.
Resolver los problemas con Porcentaje:
a) Calcula el 46% de 764.
b) ¿Cuánto es el 120% de 523?
c) El monto a pagar en una boleta de servicio es $320. Si al pagarla fuera de termino
me recargaron un 5%.¿Cuanto pague la factura con recargo?
d) En una clase de 30 alumnos, el 60% son chicos y el 40% chicas. ¿Cuántos chicos y
cuántas chicas hay en la clase?
e) En una ciudad de dos millones de habitantes, el 82% son europeos; el 9%,
africanos; el 6%, asiáticos, y el resto, americanos. ¿Cuál es el porcentaje de
americanos? ¿Cuántos hay en cada grupo?
f) Una CD de música cuesta $ 23,50. ¿Cuánto pagaré si me hacen una rebaja del
40%?
g) Un DVD costaba $50 y he pagado $40. ¿Qué porcentaje me han rebajado?
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