UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CLAVE-116-4-V-1-00-2018
CURSO: Matemática Aplicada 3
SEMESTRE: Primero
CÓDIGO DEL CURSO: 116
TIPO DE EXAMEN: Examen Final
FECHA DE EXAMEN: 15 de mayo de 2018
RESOLVIÓ EL EXAMEN: Javier Estuardo Navarro
DIGITALIZÓ EL EXAMEN: Javier Estuardo Navarro
COORDINADOR: Ing. José Alfredo González Díaz
Universidad de San Carlos Departamento de Matemática EXAMEN FINAL Facultad de Ingeniería
MATEMATICA APLICADA 3
NOMBRE__________________________________________CARNET:_________________
100
TEMA 1. (42 pts., 7 pts c/u) : MARQUE LA RESPUESTA CORRECTA
Se sabe que la función ���� = ��� � ��� � �� � �� tiene una raíz en �� , �� (donde�“�”�es�una�constante),�responda lo siguiente: (SIMPLIFIQUE TODAS SUS OPERACIONES)
1) Haciendo una iteración por el Método de Bisección cual es el valor de la raíz ����
∎�� � � ∎ � ∎� � � ∎ � ∎ NAC
2) Cuál es el valor De la raíz de la primera iteración por el Método Newton si �� = �:
∎��+�
��+� ∎
����
���� ∎
�+�
��+� ∎ � � ∎ NAC
3) Cuál es el valor de la raíz de la primera iteración por el Método de la Secante:
∎ �−�
�+� ∎
���
��� ∎
���
��� ∎
�
� ∎ NAC
4) Usando el método de Steffensen para cualquier función ���� y en la primera la primera iteración
se obtuvo: �� = � , �� = � � � , �� =? ? (donde�“�”�es�una�constante ); para la segunda iteración se conoce que �� = �. Cuál es el valor de " �� " de la primera iteración
∎ � �� � �� � � ∎ � �� � �� � � ∎� � � ∎ � �� � �� � � ∎ NAC 5) Dadas las Funciones ����:
����� =� � �� � ��
� ����� =
�
��� � ����� = √
��
� ����� = �. �������� � �������
5.1) Determine Cuál de las funciones ���� su respectiva ���� tiene una raíz en el intervalo �� , ��
∎ ����� ∎ ����� ∎ ����� ∎ ����� ∎ ����� � ����� ∎ ���
5.2) Para las funciones ���� Clasifíquelas por orden, basándose para ello en la rapidez de convergencia
a su aproximación, tome �� = �. � y ��� < � ∗ ��− � (para usar el método No CALCULE |� �����| < � )
∎ �����, �����, �����, ����� ∎ �����, �����, �����, ����� ∎ �����, �����, �����, ����� ∎ ���
TEMA 2. (28 pts., 7 pts c/u) : MARQUE LA RESPUESTA CORRECTA 1) Para los pares de puntos en el plano calcule lo siguiente (TRABAJE ESTRICTAMENTE CON 2 DECIMALES):
� 1.3 1.6 1.9 2.2 3
���� 2 ����� 8 ����� 5
1.1) Formando un Polinomio de LaGrange de Grado 2 e interpolando ���. �� su resultado de ella es �. �� . Cuál es el valor de ����� con la información dada (aproxime su respuesta a un
entero) :
∎ ����� = � ∎ ����� = �. �� ∎ ����� = �. �� ∎ NAC
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100
1.2) Usando el valor de ����� que obtuvo en el inciso anterior, Formar un Polinomio de LaGrange de Grado 3 con los primeros 4 pares de puntos, encuentre el Valor de ����� si se sabe que el Coeficiente de �� de dicho polinomio es ���. �� :
∎ ����� = � ∎ ����� = �. �� ∎ ����� = �. �� ∎ NAC
2) Con ciertos pares de puntos en el plano se formuló el Polinomio de Diferencias Progresivas de Newton ���� = �� � ���� , ����� � �� � ���� , �� , ����� � ���� � ��� . Responda las siguientes
Preguntas si sebe que el polinomio pasa por lo puntos ����� = �� & ����� = �� (use 2 decimales)
2.1) Cuál es el valor de ���� , ��� :
∎���� , ��� = ��. �� ∎���� , ��� = ��. �� ∎���� , ��� = ��. �� ∎ NAC
2.2) Cuál es el valor de ���� , �� , ��� :
∎���� , �� , ��� = ��. �� ∎���� , �� , ��� = ��. �� ∎���� , �� , ��� = ��. �� ∎ NAC
TEMA 5. (15 pts.) : MARQUE LA RESPUESTA CORRECTA
Dado el sistema no lineal, Cual es el valor de � & � de la primera iteración por el Método de Punto
Fijo No Lineal usando ���� = ��, � �, trabaje con 3 decimales
�� � � ������� � ��� = �
�� � ���� � �. ��� � �. � = �
∎ � = �. ��� & � = �. ��� ∎ � = �. ��� & � = �. ��� ∎ � = ��. ��� & � = ���. ��� ∎ NAC TEMA 6. (15 pts., 5 pts c/u) : MARQUE LA RESPUESTA CORRECTA
Dado el Siguiente sistema de ecuaciones lineales donde �, �, �, & � son constantes, Asuma que el
sistema ya es Diagonalmente Dominante, responda lo que se le pide (trate de simplificar todas sus respuestas:
�
��� � ��� � ��� � ��� = �
��� � �� � ���� � �� ∗ ���� � ��� ∗ ���� = � ∗ ��
��� � ��� � ���� � ���� = ���
������ � ����� � ����� � ���� = ����
�
� �� � � =
(
��
��
���
��⁄
��� )
��
1) Calcule el valor de �� de la 1era. iteración por el Método de Gauss-Seidel :
∎��� = ��� ∎��� = �� � �� ∎��� = �� ∎��� = �� � �� ∎ NAC
2) Cuál es el error de �� de la 1era. iteración por el Método de Gauss-Seidel ��� = �����−�� � ��
� � ��:
∎��� = |��| ∎��� = |��| ∎��� = |�| ∎��� = ����−��
�� ∎ NAC
3) Cuál es el valor de �� de la 1era. iteración por el Método de Gauss-Seidel:
∎�� = �� ∎�� = ��� ∎�� = ��� ∎�� = �� ∎ NAC
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SOLUCIÓN DEL EXAMEN
TEMA 1. (42 pts., 7pts c/u) 1) Haciendo una iteración por el método de Bisección cual es el valor de la raíz �(�) .
No. Explicación Operatoria
2. Calculo de �(1) �(�) = �(1)� + 2(1)� − (� − 1) = 3
R./ 3
2) Cuál es el valor de la raíz de la primera iteración por el método de Newton si �� = �:
No. Explicación Operatoria
1. Determinar un punto inicial cercano a la raíz ��. �� = �
2. Calcular �′(�) �(�) = ��� + 2�� − (� − 1) �′(�) = 3��� + 4�
3.
La aproximación del valor de la raíz está dada por
���� = �� −�(�)
�′(�)
���� = (1) −�(1)
�′(1)
4. Se valúan las funciones y se simplifica algebraicamente. ���� = (1) −
�(1)� + 2(1)� − (� − 1)
3�(1)� + 4(1)
���� = (1) −3
3� + 4=
3� + 1
3� + 4
R./ p = 3�+7
3�+4
3) Cuál es el valor de la raíz de la primera iteración por el método de la Secante.
No. Explicación Operatoria
1.
Tener un punto inicial encerrado por (����,��)
���� = 0 �� = 1 (0,1)
2. La aproximación del valor de la raíz está dada por:
���� = �� −�(��)(�� − ����)
�(��) − �(����)= 1 −
�(1)(1 − 0)
�(1) − �(0)
3. Se valúan las funciones y se simplifica algebraicamente.
���� = (1) −(3)(1 − 0)
(3) − (1 − �)= 1 −
3
� + 2=
� − 1
� + 2
R./ p = �−1
�+2
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4) Usando el método de Steffensen para cualquier función �(�) y en la primera iteración se obtuvo: �� = 1, �� = � + 1, �� =? ? (donde “a” es una constante), para la segunda iteración se conoce �� = 2. Cuál es el valor de “��” de la primera iteración.
No. Explicación Operatoria
1.
Determinar un punto inicial cercano a la raíz ��. El problema nos provee de información sobre la primera iteración así como un dato de la segunda.
Para � = 1: �� = 1
�� = � + 1 �� = ? ?
���� = �� Para � = 2:
�� = 2 Es decir, �� es ���� en la iteración anterior.
2.
La aproximación del valor de la raíz está dada por:
���� = �� −(�� − ��)�
�� − 2�� + ��
2 = 1 −((� + 1) − (1))�
�� − 2(� + 1) + 1
3. Se simplifica algebraicamente. 2 = 1 −
��
�� − 2� − 2 + 1
1 = −��
�� − 2� − 1
�� − 2� − 1 = −�� �� = −�� + 2� + 1
R./ −�� + 2� + 1
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5) Dadas las funciones �(�):
��(�) =2 − �� + ��
3 ��(�) =
5
��+ 2
��(�) = �
��
3
��(�) = 0.8(sin(�)+ cos(�))
5.1. Determine cuál de las funciones �(�) su respectiva �(�) tiene una raíz en intervalo [3,4].
No
EXPLICACION
OPERATORIA
1 Utilizando el método de iteración de punto fijo se verifica si ��(�) tiene una raíz en el intervalo [3,4].
2 Utilizando el método de iteración de punto fijo se verifica si ��(�) tiene una raíz en el intervalo [3,4].
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3 Utilizando el método de iteración de punto fijo se verifica si ��(�) tiene una raíz en el intervalo [3,4].
4 Utilizando el método de iteración de punto fijo se verifica si ��(�) tiene una raíz en el intervalo [3,4].
5 Se concluye que la única función que posee una raíz en
el intervalo [3,4]. ��(�)
R./ ��(�)
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5.2. Para las funciones �(�), clasifíquelas por orden, basándose para ello en la rapidez de la
convergencia a su aproximación, tome �� = �. � � ��� < � ∗ ����.
No
EXPLICACION
OPERATORIA
1
Utilizando el método de iteración de punto fijo se verifica la rapidez de la convergencia a la aproximación de su raíz de ��(�), tomando
�� = �. � � ��� < � ∗ ����
2
Utilizando el método de iteración de punto fijo se verifica la rapidez de la convergencia a la aproximación de su raíz de ��(�), tomando
�� = �. � � ��� < � ∗ ����
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3
Utilizando el método de iteración de punto fijo se verifica la rapidez de la convergencia a la aproximación de su raíz de ��(�), tomando
�� = �. � � ��� < � ∗ ����
4
Utilizando el método de iteración de punto fijo se verifica la rapidez de la convergencia a la aproximación de su raíz de ��(�), tomando
�� = �. � � ��� < � ∗ ����
5 Se concluye que en orden de rapidez, de
mayor a menor, se tiene que: ��(�), ��(�), ��(�), ��(�)
R./ ��(�), ��(�), ��(�), ��(�)
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TEMA 2. (28 pts., 7pts c/u)
R./ ��(�) = 4
No. Explicación Operatoria
1.
Se procede a detallar los datos con los que se cuenta: La incógnita es � = ��(�)
�� �(��) �� = 1.3 �(��) = 2 �� = 1.6 �(��) = 4 �� = 1.9 �(��) = 8 �� = 2.2 �(��) = �
2. El polinomio de LaGrange se define a continuación:
��(�) =(� − ��)(� − ��)(� − ��)
(�� − ��)(�� − ��)(�� − ��)�(��) +
(� − ��)(� − ��)(� − ��)
(�� − ��)(�� − ��)(�� − ��)�(��)
+(� − ��)(� − ��)(� − ��)
(�� − ��)(�� − ��)(�� − ��)�(��) +
(� − ��)(� − ��)(� − ��)
(�� − ��)(�� − ��)(�� − ��)�(��)
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3. Se evalúa y se simplifica algebraicamente.
��(�) =(� − 1.6)(� − 1.9)(� − 2.2)
(1.3 − 1.6)(1.3 − 1.9)(1.3 − 2.2)(2) +
(� − 1.3)(� − 1.9)(� − 2.2)
(1.6 − 1.3)(1.6 − 1.9)(1.6 − 2.2)(4)
+(� − 1.3)(� − 1.6)(� − 2.2)
(1.9 − 1.3)(1.9 − 1.6)(1.9 − 2.2)(8) +
(� − 1.3)(� − 1.6)(� − 1.9)
(2.2 − 1.3)(2.2 − 1.6)(2.2 − 1.9)�
��(�) = �2
−0.162� (� − 1.6)(� − 1.9)(� − 2.2) + �
4
0.054� (� − 1.3)(� − 1.9)(� − 2.2)
+ �8
−0.054� (� − 1.3)(� − 1.6)(� − 2.2) + �
�
0.162� (� − 1.3)(� − 1.6)(� − 1.9)
��(�) = 6.1728��� − 86.4197�� + 425.9259�� − 29.6296��� + 46.8518�� − 681.4814�
− 24.3951� + 357.9753 4. 6.1728� − 86.4197 = −74.07 => � = 2.0006
R./ 2
No. Explicación Operatoria
1.
Determinar los datos referentes a �(��). El polinomio de Diferencias Progresivas de Newton está definido así: �(��) = �� + ��(� − ��) + ��(� − ��)(� − ��)
� � �(�) 0 3 18
1 10 15
2 15 10
3.
El valor de �(��, ��) está dado por: �(��, ��) =�(��)��(��)
�����
�(��, ��) =15 − 18
10 − 3≈ −0.43
R./ −0.43
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No. Explicación Operatoria
1.
Determinar los datos referentes a �(��). El polinomio de Diferencias Progresivas de Newton está definido así: �(��) = �� + ��(� − ��) + ��(� − ��)(� − ��)
� � �(�) 0 3 18
1 10 15
2 15 10
2.
El valor de �(��, ��) está dado por:�(��, ��) =�(��)��(��)
����� �(��, ��) =
15 − 18
10 − 3= −
3
7
3.
El valor de �(��, ��) está dado por:�(��, ��) =�(��)��(��)
�����
�(��, ��) =
10 − 15
15 − 10= −1
4.
El valor de �(��, ��, ��) está dado por:
�(��, ��, ��) =�(��, ��) − �(��, ��)
�� − ��
�(��, ��, ��) =−1 − �−
3
7�
15 − 3
�(��, ��, ��) ≈ −0.05
R./ −0.05
No. Explicación Operatoria
1.
Se procede a despejar de cada ecuación la variable �� � = cos(��) +
1
6
� = ��� + 1.6
81− 0.1
2. Se definen parámetros
�(�) = [1,1] Decimales: 3
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R./ � = 0.707 & � = 0.079
No. Explicación Operatoria
1.
Se procede a despejar la variable �� de la ecuación (1)
�� =−2��� − 2��� − 2���
3
2.
Se procede a valuar la expresión
con �(�)
�� =−2� �
�
�� − 2� �
�
�� − 2� �
�
��
3
3. Se simplifica algebraicamente. �� =
−2� − 2� − 2�
3=
−6�
3= −2�
R./ �� = −2�
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No. Explicación Operatoria
1.
Se actualizan los datos �� = −2� �� =
�
�
�� =�
� �� =
�
�
2.
Se procede a despejar la variable �� de la ecuación (2) �� =
��� + �� + ���� − �����
� − 2
3.
Se procede a valuar la expresión
con �(�) �� =��� + (−2�) + �� �
�
�� − ��� �
�
��
� − 2
4. Se simplifica algebraicamente. �� =
��� − 2� + �� − ���
� − 2= �
5. El error solicitado está dado por
��� = ���(�)
− ��(�)
� ��� = �
�
�− ��
6. Simplificando algebraicamente. ��� = �
�
�− �� = �
� − ��
�� = �
�(1 − �)
��
R./ ��� = ��(���)
��
No. Explicación Operatoria
1. Se actualizan los datos
�� = −2� �� = �
�� =�
� �� =
�
�
2. Se calcula �� para su posterior utilización en el cálculo de ��
Se procede a despejar la variable �� de la ecuación (3)
�� =6�� − ��� − ��� + ����
2
3. Se procede a evaluar los valores de �� en la expresión anterior y simplificar el
resultado.
�� =6�� − 2�� − �� + �� �
�
��
2=
8��
2�= 4�
Se actualizan los datos
�� = −2� �� = �
�� = 4� �� =�
�
Se procede a despejar la variable �� de la ecuación (4) �� =
���� + ����� + ����� + �����
��
Se simplifica algebraicamente. �� = �� + ��� + ��� + ���
Se procede a valuar la expresión con �(�) �� = �� + �(−2�) + �(�) + �(4�)
Se simplifica algebraicamente. �� = �� − 2�� + �� + 4�� = 4��
R./ �� = 4��
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