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CAPTULO VIII
INVENTARIOS Y DECISIONES
DE CANTIDAD
INTRODUCCIN
Por su naturaleza fsica las cantidades de inventario
que en promedio se administren peridicamente afectan
rentabilidad de los negocios y en general de todas las
empresas. La decisin de cunto ordenar tiene un impacto
considerable, y por ello influye directamente en los costos de
los inventarios.
A partir de aqu se comienza a abordar los modelos
matemticos de inventarios, los mismos que presentan como
su mayor fortaleza al hecho de proporcionar la visin del
problema. El ms usado y a la vez la matriz para los
diferentes modelos es el modelo de lote econmico, que
comenz a mostrar su utilidad a comienzos del siglo pasado.
Con el paradigma de manufactura de clase mundial,
surge un punto de quiebre en cuanto a lo que significa la
cantidad de inventario: se busca hoy reducir al mnimo el
nivel en vez de optimizarlo. Sin embargo no se deja de
reconocer que el inventario no es un mal, dado a que en
cualquier escenario de anlisis, adecuados niveles de
inventario sirven como amortiguadores entre departamentos
de una fbrica o simplemente hacen continua la relacin
proveedor-cliente, que es lo mismo que aceptar que
incrementan nuestro nivel de servicio como proveedores.
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8.1. Modelos estticos de tamao de lote.
a. Lote econmico de pedido. Llamado tambin cantidad econmica a ordenar, se
sustenta en parmetros definidos y de ocurrencia conocida,
tales como que existe un nico artculo en el inventario, la
demanda es uniforme, no existen faltantes, la entrega es
inmediata y todo lo ordenado llega en un solo instante. Sin
embargo, como es de esperarse, no son todas las
situaciones en las cuales los factores relevantes (demanda,
tiempo de envo y costos) se conocen con toda certeza. El
modelo equilibra dos costos opuestos, los costos de orden
y los costos de tenencia. Proporciona el nmero de
unidades a ordenar en cada ocasin que se pida el artculo.
La geometra de este modelo, base para entender los
dems modelos, es el siguiente:
Q
Q/2
T
Tiempo
Niv
el d
e in
vent
ario
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En cualquier momento el inventario puede representarse por una cantidad tal como Q/2.
Q es la cantidad de artculos que se pide cada vez que tiene lugar un pedido.
El inventario se agota en un tiempo T
Inmediatamente al final del tiempo T se pide y se surte el pedido cuyo tamao es Q
Inicialmente la tasa de consumo es constante y el aprovisionamiento inmediato
Como ya se dijo, existen costos relevantes y estos son
los costos opuestos aludidos lneas arriba, por lo que en el
anlisis se acepta la existencia de un costo total anual
relevante (CTAR), el mismo que se explica como:
CTAR = Costo de adquisicin + costo de manejo = CT
= Costos por preparacin + costos de mantenimiento
= (costo de preparacin)(N de preparaciones) +
(costo de manejo de una unidad)(cantidad promedio
de inventarios)
CTAR = SQ
D + K
2
Q = S
Q
D + kc
2
Q
Donde:
S: Costo de preparacin o de adquisicin de la orden
D: Requerimiento anual del producto (puede trabajarse
unidades de tiempo menor)
Q: Tamao de lote en unidades de medida
D/Q: Nmero de preparaciones o adquisiciones por
periodo
Q/2: Inventario promedio = (QM + Qm)/2
K: Costo de mantenimiento de una unidad en inventario
por periodo = kc
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c: Costo unitario del artculo
k: Porcentaje de costo por mantener una unidad en
inventario por periodo
Ejemplo. Una distribuidora tiene un artculo con una
demanda anual de 6000 unidades, calculados a partir de
una demanda mensual relativamente constante. Los costos
de preparacin son de S/. 35.00 cada vez que se coloca un
pedido; la tasa de costo de mantenimiento es de S/. 0.16
por sol de inventario por ao (lase 16% de costo de
oportunidad) y el costo unitario es de S/. 2.00. Se pide
tabular los costos por diferentes tamaos de lote.
Tamao de
lote
(Q)
Costos de los
pedidos
SQ
D
Costo de
mantenimiento
K2
Q
Costo
Total (*)
10 21000.00 1.60 21001.60
100 2100.00 16.00 2116.00
500 420.00 80.00 500.00
1000 210.00 160.00 370.00
1500 140.00 240.00 380.00
2000 105.00 320.00 425.00
3000 70.00 480.00 550.00
4000 52.50 640.00 692.50
5000 42.00 800.00 842.00
6000 35.00 960.00 995.00
(*) Podra agregrsele el costo del producto, pero este es
un costo ineludible y fijo a la vez, por lo tanto es un costo
no relevante.
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191
Del cuadro se nota que el costo total mnimo ocurre
cuando el tamao de lote flucta entre 1000 y 1500
unidades, y adems cuando los costos parciales se
aproximan a igual valor. Con este razonamiento
desarrollamos la frmula de tamao econmico de lote.
K2
Q = ck
2
Q Q
2 =
ck
DS2
Q* = ck
DS2, donde las variables del radical son las
explicadas anteriormente.
A la frmula de Q* se le llama tamao econmico de lote,
que aplicado a nuestro caso da:
Q* = 216.0
3560002
x
xx= 1145.64, que deriva en un costo
total mnimo tal como:
CTAR = CT* = 1146
600035x+
2
1146216.0 xx = S/. 366.61
Anlisis de sensibilidad:
Se puede sensibilizar este costo (qu variacin porcentual
sufre el costo mnimo ante variaciones porcentuales del
tamao econmico de lote) utilizando la relacin CT/CT*,
como una funcin de Q/Q*.
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192
*CT
CT=
2
*
*
2
kcQ
Q
SD
kcQ
Q
SD
= 2
1
*
*
Q
Q
Q
Q
Ejemplo. Con los datos del ejercicio anterior se pide
calcular en qu porcentaje vara el costo ptimo si se
decide pedir 12% ms que el tamao de lote econmico.
Es decir, Q = 1.12Q*, entonces al aplicar la frmula se
tiene
*CT
CT=
2
1
*
*12.1
*12.1
*
Q
Q
Q
Q= 1.0064, es decir 0.64%
ms.
Se deja para el lector calcular a cunto dinero
corresponde esta variacin!
b. Tamao de lote econmico en dinero. Proporciona el valor ptimo de tamao de lote y es til
cuando se desarrolla y aplica un modelo para determinar el
tamao de lote de costo mnimo de un grupo de artculos.
Sea A el requerimiento en dinero para un ao de
demanda y QS/. el tamao de lote en dinero, entonces con
la misma lgica anterior tenemos:
CT = S./SQ
A+ k
2
./SQ, de donde si derivamos CT respecto
de QS/. e igualamos a cero esta primera derivada (lo mismo
que igualar costos como en el caso anterior), tenemos:
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QS/. = k
AS2
Ejemplo. Utilice los datos del ejercicio anterior para
calcular QS/.
A = (6000 unidades)(S/. 2.00/unidad) = S/. 12000
QS/. = 16.0
35120002 xx= S/. 2291.29, es el valor de cada
lote econmico.
De la misma forma, se puede utilizar los resultados
hasta hoy calculados para encontrar otras variables
referenciales con estos dos modelos expuestos.
NPA = D/Q* y TEP = 1/NPA = Q*/D, donde
NPA: Nmero de pedidos al ao
TEP: Tiempo entre pedidos
Ejemplo. Si Q* = 1146 y D = 6000 unidades al ao.
NPA = 6000/1146 = 5.24 pedidos al ao
TEP = 0.191 aos entre pedidos. Si se toma el nmero de
das de programacin en la empresa, se puede aproximar
este resultado a das; por ejemplo si se trabaja con 300
das al ao el tiempo entre pedidos debe ser 57 das
(0.191x300).
c. Lote econmico de produccin. Si se produce en la empresa ocurre tambin el dilema de
cunto es el lote de produccin que garantiza los
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menores costos de los inventarios?. En esta perspectiva se
tiene que en un momento del tiempo ocurren dos cosas
evidentes: por un lado se esta vendiendo y por el otro se
est produciendo, es decir, estamos ante dos tasas que son
el de demanda y el de produccin. Se dice que el
inventario ingresa en forma gradual sobre una base diaria
durante una gran parte del periodo de consumo, entonces
el nivel de inventario nunca llegar al nivel tan alto como
el nivel del lote.
La geometra de este modelo, indicando las variables
involucradas, se explica a continuacin:
Unidades de
inventario
Q
Qm
tp
tc
Donde:
tp : Tiempo de produccin o abastecimiento
tc : Tiempo de consuno
Q : Lote de produccin
Qm : Tamao de lote mximo disponible
p : Velocidad a la cual se produce un artculo = Q/tp
d : Velocidad a la cual se consume el inventario = Q/tc
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195
p = Q/tp; d = Q/tc tp = Q/p y tc = Q/d
p y d se expresan en unidades para el mismo periodo de
tiempo, de preferencia unidades por da.
El inventario promedio no es la mitad del tamao de lote
Q/2, sino Qm/2.
pc
m
c tt
Q
t
Q
d
Q
p
Q
d
t
ttQQ
c
pcm
)(
)1(p
dQQm , de donde )1(
22 p
dQQm
A partir de ello y con el razonamiento conocido, se
tiene que el costo total relevante anual puede expresarse
as:
kcp
dQ
Q
DSCT )1(
2 , y el tamao econmico de lote
de produccin queda como:
)1(
2*
p
dkc
DSQ
Ejemplo. Los datos referentes a la produccin, demanda y
otros costos de inventarios para el artculo lpiz de
carboncillo, en la fbrica Utilitarios de Oficina es 50000
unidades de demanda al ao; se incurre en un costo de S/.
45.00 por cada orden de produccin efectiva liberada; los
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196
datos histricos indican que S/. 0.30 por unidad ao es una
buena aproximacin para el costo de almacenamiento; el
costo unitario de produccin es S/. 0.20 por unidad; se
produce a una tasa de 800 unidades por jornada de 8 horas
y se trabaja seis das a la semana durante cincuenta y dos
semanas al ao. Con estos datos se pide calcular el tamao
ptimo de lote de produccin.
p = 800x6x52 = 249600 unidades por ao
D = 50000 unidades al ao
S = S/. 45.00
k = S/. 0.30 por unidad-ao
c = S/. 0.20 por unidad
Note que D podra expresarse como 160.23
(50000/(6x52)) y p expresarse como 800 (en ambos casos
se trata de tasas diarias). Nosotros utilizaremos 50000 y
249600 para D = d y p, respectivamente.
Q* =
)249600
500001(20.030.0
45500002
x
xx = 9684.40 unidades, que
es la cantidad de orden de produccin de costo mnimo.
En la decisin, resulta de orden prctico considerar la
exactitud de la respuesta (tal como en el lote de compra).
Puede resultar ms aparente ordenar un lote de 9600,
9700, o quin sabe 10000, siempre y cuando el incremento
de los costos sea relativamente pequeo para justificar la
decisin. Recuerde la sensibilidad del modelo.
Este modelo tiene tres supuestos bsicos:
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1. El aprovisionamiento de materias primas no entorpece la tasa de produccin.
2. La tasa de produccin por la misma unidad de tiempo, es mayor que la tasa de consumo. Resulta tcito el
concepto de capacidad de produccin mayor a la tasa
utilizada.
3. Aun cuando los faltantes tienen posibilidades de ocurrir, estos no son tomados en cuenta para el
desarrollo del modelo.
d. Lote de produccin con faltantes.
Una extensin del modelo anterior desarrolla SIPPER y
BULFIN en Planeacin y Control de la Produccin (Mc
Graw Hill; Mxico 1998), pginas 235 al 238. Se
introducen dos variables cuya cuantificacin resulta, sino
difcil, de encuestas y estadsticas costosas, y hasta de
subjetivas apreciaciones. Se reproducen las frmulas
segn la fuente aludida.
)/1(2)1(2
)1(2
2
D
b
bD
DQ
bD
Qh
Q
ADcDCT
Q* =
h
hh
D
Dh
AD
)(
)(
)1(
2 2
b* = )(
)1)(*(
h
DDhQ
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198
Donde:
CT: Costo total anual del inventario (note que incluye el
costo de la demanda)
Q*: Cantidad econmica a producir
b* :Mximo nivel de faltantes ptimo
A: Costo por preparacin
D: Demanda anual por el artculo
h: Costo anual de mantenimiento por unidad-ao = ck
: Tasa de fabricacin : Prdida de buena voluntad o sancin ejercida por el
cliente ante los faltantes. Puede asociarse al nivel de
servicio
: Sancin o costo penal del faltante. En muchas transacciones se requiere especificar que la
discontinuidad en el aprovisionamiento se castigar
con cargo al proveedor.
c: Costo unitario de produccin
k: tasa de almacenamiento o costo de oportunidad
e. Lote econmico de pedido con escasez
Los supuestos de este modelo son:
- Los pedidos pendientes o unidades sin atender oportunamente originan trabajo extra e insatisfaccin
de los clientes. A los pedidos pendientes se les puede
asignar un costo tal como S/. por unidad por ao. - Los pedidos pendientes representan inventario negativo
y deseamos conocer cuntos pedidos pendientes
estamos dispuestos a aceptar al ao. Asumamos que se
permite B pendientes por ao, por lo que el promedio
de pedidos pendientes al ao ser B/2.
- El inventario promedio, considerando faltantes, resulta
entonces 2
)( BQ ,
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199
- El inventario mximo en cada ciclo es M = Q-B.
- La relacin entre variables es: Q
BQ )( , que es el
tiempo en que hay inventario positivo durante cada
ciclo; B/Q es la parte del ciclo en la que existe una
posicin de pedidos pendientes.
- La decisin para este modelo conduce a responder dos preguntas: 1) Qu cantidad de pedido deber hacerse?.
2) Cuntos pedidos pendientes debe permitirse por
ciclo?
Luego, el costo total relevante debe reflejar el costo
estimado para los pedidos pendientes, adems de los
costos ya conocidos..
CT = BQCTARQ
DS
Q
BB
Q
BQck
BQ,
22
CT (Q,B) = Q
DS
Q
Bck
Q
BQ
22
22
Desarrollando derivadas parciales respecto a B y Q, se
obtiene los pedidos pendientes por ciclo y el tamao
econmico de pedido.
ck
ckQB*
ck
ck
DSQ
2*
Ejemplo. Simplificando la situacin, se tiene que D =
10000 unidades al ao; S = S/. 500.00 cada vez que se
hace un pedido; c = S/. 10.00 por unidad de artculo; k =
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200
0.30 (30% anual del precio del artculo); = S/. 20.00 por unidad al ao (variable de particular cuantificacin). Se
desea calcular el lote econmico, el mximo de faltantes y
el inventario mximo.
Q* =
20
2030.010
30.010
500100002 x
x
xx= 1958 unidades.
B* = 255201030.0
1030.01958
x
xunidades
M = 1958 255 = 1703 unidades
La sensibilidad de este modelo se puede efectuar
variando los valores de preparacin, la tasa de
almacenamiento, incluso el mismo costo penal, variables
que influyen directamente en el tamao de lote. Advierta
que a menor tamao de lote, se tendr menores faltantes,
que afectan positivamente el nivel de servicio de la
empresa
f. Lote econmico con descuentos en el precio.
Resulta fcil darse cuenta que muchas veces para los
proveedores o para las mismas empresas clientes, deviene
en beneficio la transaccin de grandes cantidades de
productos. En el caso de los proveedores debido a que con
ello ligan a sus clientes y obtienen mayores ganancias por
volumen colocado, ofertan rebajas en los precios si los
volmenes de compra sobrepasan ciertas cantidades;
mientras que por el lado de los compradores, stos podran
obtener beneficios en el precio al comprar en grandes
cantidades y con ello ahorrar desembolsos por preparacin
de pedidos y asegurar la lnea de produccin por el lado de
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201
las materias primas. Aqu el precio de compra es tambin
un costo relevante.
Sin embargo, no se garantiza que las cantidades que
derivan en los descuentos mencionados, sean coincidentes
con los lotes econmicos que se hayan calculado para los
pedidos, de all que es necesario otra extensin del lote
econmico. Adicionalmente, una proyeccin en el
incremento de la demanda podra ocasionar este beneficio
directo para el cliente. Se calcula nuevo lote econmico de
compra y si ste califica en el rango donde por volumen de
compra se obtiene rebajas en el precio, entonces no existe
problema aparente para manejar la situacin.
Dos son las polticas mas frecuentes en los descuentos
por cantidades:
1. Descuento en todas las unidades
Ejemplo.
Cantidad del pedido Costo unitario (S/.)
0 a 119 5.50
120 a 239 5.00
240 a 319 4.50
320 o ms 3.50
2. Descuento incremental
Ejemplo.
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202
Cantidad del pedido Costo unitario (S/.)
0 a 119 5.50
120 a 239
por las primeras 119, 5.00 por las siguientes 120
240 a 319
5.50 por las primeras 119, 5.00
por las siguientes 120,
4.50 por las siguientes 80
320 o ms
5.50 por las primeras 119, 5.00
por las siguientes 120,
4.50 por las siguientes 80,
3.50 por el resto
Ejemplo. Cunto es el costo del producto para un lote de
pedido de 260 unidades. Utilice las dos polticas
expuestas.
Ca = (260 unidades)(4.50 S/./unidad) = S/. 1170.00
Cb = (119x5.50) + (120x5.00) + (21x4.50) = S/. 1349.00
Si el precio de compra (p) es un costo relevante, entonces
la expresin de costo queda como:
CT = 2
Qkp
Q
DSpD
Ejemplo. Se tienen los datos referidos a descuentos por
cantidad de compra para cierto artculo tal como: Si Q <
1000, entonces p = S/.12.00; si 1000 Q < 4000, entonces p = S/. 10.00; si Q 4000, entonces p = S/.8.00. Se sabe adems que la demanda anual es 10000 unidades, el costo
de hacer un pedido S/. 500.00 y el costo de mantenimiento
del inventario es 30% del costo del artculo al ao.
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203
Con esta informacin se pide calcular el lote econmico
de compra.
67.1666123.0
500100002*
1
x
xxQ
103.0
500100002*
2 x
xxQ = 1825.74
83.0
500100002*
3 x
xxQ = 2041.24
Aplicando la ecuacin de costo total que incluye el precio
como costo relevante:
00.126000./67.1666
10000500
2
67.1666123.01000012
1SxxCT
23.105477./74.1825
10000500
2
74.1825103.01000010
2SxxCT
98.84898./24.2041
10000500
2
24.204183.0100008
3SxxCT
Anlisis de la situacin:
Q*
1 no es aplicable dado que para 1667 unidades de
pedido es preferible aplicar p = S/.10.00
Q*
3 tampoco resulta de aplicacin aun cuando
proporciona el menor costo, debido a que 2041
unidades no corresponde al intervalo que contiene al
precio p = S/. 8.00
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204
Q*
2 = 1825.74 resulta de aplicacin ya que la cantidad
corresponde al segundo intervalo donde se obtiene el
beneficio de p = S/.10.00.
Podra obtenerse aparentes beneficios si sucesivamente disminuimos el precio, pero no es ese el caso.
Puede tambin sensibilizarse las condiciones de descuento si calculamos Q* con cantidades intermedias
de lotes de compra.
Q
pD SQ
D kc
2
Q
CT
(S/.)
800 120000.00 6250.00 1440.00 127690.00
1000 100000.00 5000.00 1500.00 106500.00
1667 100000.00 2999.40 2500.50 105499.90
1826 100000.00 2738.23 2739.00 105477.23
2000 100000.00 2500.00 3000.00 105500.00
2041 100000.00 2449.78 3061.50 105511.28
3000 100000.00 1666.67 4500.00 106166.67
4000 80000.00 1250.00 4800.00 86050.00
4800 80000.00 1041.67 5760.00 86801.67
Evidentemente el tamao de lote de menor costo total
es un lote de 4000 unidades cada vez que se haga un
pedido. Sin embargo la conclusin o decisin final pasa
por cuestiones de liquidez, espacios para almacenamiento,
tasas de utilizacin o demanda, y durabilidad del artculo
en condiciones de almacenamiento.
g. Lote econmico con varios productos.
Este es un escenario frecuente ya en negocios de compra-
venta y en negocios de compra-transformacin-venta.
Aqu cada uno de los productos presenta particularidad en
cuanto a demanda, actividades de preparacin y
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205
obviamente en costos. Sin embargo se da algunos
elementos comunes, como que se acepta que existe un
costo mnimo de colocar una orden y cada uno de ellos,
por lo general pertenecen a una familia de productos (por
presentacin, por proveedor o por otra consideracin
valedera).
Tambin es cierto que al tratarse de diferentes
artculos las unidades de medida correspondientes no
necesariamente tienen que coincidir, y este inconveniente
se soluciona convirtiendo todas las demandas a unidades
monetarias.
Por lo dems, el tamao total econmico se deriva
como en el caso de un nico artculo. Formalmente el
tamao de lote econmico conjunto, en dinero, se expresa
como.
k
AsS iQ
S
)(2*
./
, donde:
S: Costo de colocar una orden
si: Costo marginal de agregar el artculo al pedido
conjunto
A: Demanda de los artculos, expresado en dinero
k: Tasa de mantenimiento de inventarios
Luego de analizar la situacin y evaluar la frmula de
lote econmico, nos damos cuenta de que existe la
posibilidad de una planeacin comn principal tratando de
compartir algn costo fijo.
A partir del lote conjunto, se calcula los lotes
individuales como una asignacin porcentual de la
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206
demanda, y a partir de ello, dividiendo entre el costo
unitario correspondiente se encuentra la cantidad en
unidades de medida, segn las frmulas siguientes,
respectivamente.
QQSiS A
a i *
./
*
./
i
iS
i c
*
./*
Ejemplo. Los datos siguientes corresponden a la
mercadera que una tienda mayorista de abarrotes de la
localidad solicita a uno de sus proveedores de la ciudad de
lima desde hace cuatro aos y cinco meses, con marcada
frecuencia, y se han generado luego de un paciente estudio
de costos incurridos en cada pedido y de revisar los
volmenes anuales comprados en el periodo aludido (los
precios han sufrido menos de 15% de incremento, y se da
el precio actual). Se pide calcular el lote conjunto
econmico de pedido y los lotes individuales, si el costo
fijo de hacer un pedido es en promedio S/. 33.00 y el costo
de capital inmovilizado, valor moderado, es de 20% anual.
Artculo
Unidad
de
medida
Demanda
anual
(unidad de
medida)
Costo
unitario
(S/.)
ci
Demanda
anual (S/.)
ai
Costo de
pedido
individual
(S/.)
si
Aceite
vegetal
Cajas
por 12
litros
2860
40.83
116773.80
3.50
Avena
Bolsa
por 08
kilos
2632
52.31
137679.92
3.00
Fideos y
pastas
Kg.
3500
2.15
7525.00
1.00
Leche
evaporada
Caja
por 24
latas
1650
36.00
59400.00
5.00
TOTAL 321378.72 12.50
Planeamiento Programacin Control de la Produccin y Administracin de Inventarios M. MARN M.
207
45.12092./20.0
)72.321378)(50.1233(2*
./SQ
S
Es decir, cada pedido conjunto que se haga deber ser por
un valor igual o cercano a S/. 12092.45. Enseguida se
calcula los lotes individuales y su correspondiente
equivalente en unidades de medida.
Articulo
QQS
i
is A
a *
./
*
./
i
iS
i c
*
./*
Aceite 4393.82 107.61 cajas
Avena 5180.45 99.03 bolsas
Fideos 283.14 131.69 kilogramos
Leche 2235.04 62.08 cajas
Total 12092.45
Consideraciones de orden prctico:
La cantidad de orden debe ser un nmero de orden prctico
Por lo general debe redondearse a un mltiplo de 5 de 10, excepto para artculos individuales de presentacin
en docenas.
El nmero de ciclos por ao o nmero de pedidos por ao
es N = 58.2645.12092
72.321378*
./
QS
A, y el tiempo que
transcurre entre pedidos o intervalo ptimo es el inverso
de N, es decir, 0.038 aos.
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208
Los costos de hacer pedidos y de manejo de los
inventarios al ao, son respectivamente:
26.58(33+12.50) = S/. 1209.39
y 0.20 2
45.12092 S/. 1209.25
Puede comprobarse estos costos utilizando el
razonamiento de lote econmico de pedido para un solo
artculo.
Aceite: 74.411./58.2650.300.3372.321378
80.116773S
Avena: 51.455./58.2600.300.3372.321378
92.137679S
Fideos: 12.47./58.2600.100.3372.321378
00.7525S
Leche: 02.295./58.2600.500.3372.321378
00.59400S
Las cantidades precedentes corresponden a los costos de
preparacin, cuya sumatoria proporciona un costo total por
este concepto equivalente a S/. 1209.39
Los costos de manejo de inventarios son:
Aceite: 38.439./)20.0(2
82.4393S
Avena: 05.518./)20.0(2
45.5180S
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209
Fideos: 31.28./)20.0(2
14.283S
Leche: 50.223./)20.0(2
04.2235S
La sumatoria de estos costos parciales da S/. 1209.24, que
difiere en un cntimo respecto de la cantidad total
calculada inicialmente.
h. Lote econmico para igualar el agotamiento.
Si la situacin es estrictamente determinista (tem g de
este apartado), todos los artculos comprados son
coincidentes en el punto de orden, es decir, los porcentajes
de demanda son estables. Pero, estos porcentajes de
demanda de los diferentes artculos realmente varan da a
da y se presentan otras razones que hacen valedera esta
suposicin, de tal forma que no podemos esperar que
todos los artculos del anterior pedido conjunto, se acaben
a la vez. Se hace necesario tomar precauciones para
administrar la realidad, y ello se lleva a cabo considerando
el impacto de la demanda variable sobre el tamao de los
lotes. Note que la demanda variable es el trmino amplio,
ya que cualquier otra razn de demora o aceleramiento en
la tasa de consumo, puede considerarse como alteracin
en la demanda.
En realidad de lo que se trata es de aceptar que, de un
lote comprado en conjunto puede agotase uno de los
artculos primero, luego otro artculo y as sucesivamente,
y que el objetivo de este modelo es que el inventario de
artculos alcance de nuevo su equilibrio para lograr un
abastecimiento en tiempos iguales. Esto se logra al
ordenar el lote econmico de compra de cada artculo,
despus de ajustarla por la diferencia entre el punto de
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210
orden esperado y su inventario disponible cuando se
coloca la nueva orden conjunta (FOGARTTY-
BLACKSTONE-HOFFMANN; Administracin de la
produccin e Inventarios; CECSA-Mxico 1995).
La siguiente figura ilustra la afirmacin cuando uno
de los artculos llega al punto de orden (t) antes que otro.
Qi: Tamao de pedido del
Primer artculo
PO Inventario remanente
PO: Punto de orden
(t)
Qi Tamao de pedido para el
PO segundo artculo
Nivel de faltante permitido
QiS /
iSiSS
iI
A
aIQ ././
*
./))((
QiS /
iSiSS
iI
D
dIQ ././
*
./))((
:./I iS Inventario en dinero del artculo i cuando se
adelanta el pedido.
di: Tasa de utilizacin diaria, demanda, porcentaje del
artculo i.
D = di
Planeamiento Programacin Control de la Produccin y Administracin de Inventarios M. MARN M.
211
Si D = A/n y di = ai/n, donde n son los das de trabajo
al ao, que para este caso consideraremos 288 (12x24)
entonces se tiene la relacin
A
a
D
d ii , Relacin que permite mantener constancia entre
valores parciales por artculo y valores agregados, adems
que es necesario para completar la informacin para el
siguiente ejercicio.
Ejemplo. Para los datos del ejercicio anterior, se va a
completar segn la relacin de demanda diaria (di), los
lotes individuales en dinero y una nueva variable, el punto
de orden. Se advierte que uno de los cuatro artculos toca
su PO antes que el resto del grupo, y que este valor PO se
determina segn la demanda de ocho das de trabajo.
Artculo
Utilizacin
diaria
(di)
Cantidad
econmica
de pedido
(S/.)
Punto de
orden
(S/.)
Cantidad
disponible
(IS/.i)
Aceite 405.46 4393.82 3243.68 3900.00
Avena 478.05 5180.45 3824.40 4206.84
Fideos 26.13 283.14 209.04 209.04
Leche 206.25 2235.04 1650.00 1700.00
1115.89 12092.45 8927.12 10015.88
El producto Fideos alcanza primero su PO (condicin
bsica es que PO sea igual o mayor que la cantidad
disponible). Luego, las cantidades parciales a ordenar son:
09.413300.3900)88.1001545.12092)(89.1115
46.405(
*
/,Q
aceiteS
Planeamiento Programacin Control de la Produccin y Administracin de Inventarios M. MARN M.
212
42.526484.4206)88.1001545.12092)(89.1115
05.478(
*
/,Q
avenaS
65.30804.209)88.1001545.12092)(89.1115
13.26(
*
/,Q
fideosS
28.238600.1700)88.1001545.12092)(89.1115
25.206(
*
/,Q
lecheS
Cantidades que al ser divididas entre los precios (ci) nos
dan 101.23, 100.64, 143.56 y 66.28 unidades de medida
para aceite, avena, fideos y leche respectivamente.
Interesa ahora conocer cuntos das de demanda cubrirn
en forma conjunta el inventario disponible a la fecha ms
el pedido nuevo calculado. Ello se logra dividiendo esa
suma entre la tasa de demanda diaria, es decir,
i
isisi
d
QIt
././ . Por ejemplo para el producto aceite los
das de demanda a cubrir, a partir de la fecha, ser 19.81
das: (4133.09+3900)/405.46
Artculo Q iS*
./
di
IS/.i
ti
Aceite 4133.09 405.46 3900.00 19.81
Avena 5264.42 478.05 4206.84 19.81
Fideos 308.65 26.13 209.04 19.81
Leche 2386.28 206.25 1700.00 19.81
12092.44 1115.89 10015.88
A partir de hoy, se asegura cubrir el ritmo de demanda
global equivalente a 19.81 das, y adems el tamao de
lote calculado anteriormente contina en S/. 12092.45.
Planeamiento Programacin Control de la Produccin y Administracin de Inventarios M. MARN M.
213
8.2. Modelos dinmicos de tamao de lote
Estos modelos surgen cuando la demanda se torna
variable, en contraposicin a los de modelos estticos. Son
cuatro los enfoques para enfrentar escenarios de demanda
variable: reglas simples, mtodos heursticos, regla de
optimizacin de la demanda irregular y el algoritmo de
Peterson-Silver. De ellos los de mayor utilizacin son los dos
primeros, de los cuales nos pasamos a ocupar enseguida.
a. Reglas simples
a.1. Demanda de periodo fijo (DPF)
Se utiliza cuando se requiere inventarios para los
siguientes periodos de demanda, pero en el corto plazo (a
lo ms para tres meses). Se trabaja sobre la base de
pronsticos y se puede utilizar das o semanas en lugar
de meses y se refiere a un solo artculo, por lo tanto se
basa en la cantidad a pedir.
Ejemplo. Si la demanda por un artculo presenta
uniformidad a lo largo de las prximas seis semanas, e
igual a 18 unidades semanales, y si el periodo fijo es
cuatro semanas, entonces la cantidad a ordenar ser 72
(18x4). Otro escenario: si el pronstico de demanda
semanal se presenta segn 15, 16, 19, 14, 20 y 18, se
ordenarn 64 unidades si se ha elegido el periodo fijo de
cuatro semanas, o 102 si este periodo fijo es de seis
semanas.
Demanda Sem 1 Sem 2 Sem 3 Sem 4 Sem 5 Sem 6
Constante 18 18 18 18 18 18
Variable 15 16 19 14 20 18
Planeamiento Programacin Control de la Produccin y Administracin de Inventarios M. MARN M.
214
a.2. Cantidad de orden para el periodo (COP)
Se comienza definiendo una cantidad de pedido que
armonice la demanda promedio por periodo y el nmero
de periodos definido como fijo. De la demanda variable
del cuadro anterior se deduce que la demanda semanal
promedio es 17 (102/6), y si el periodo fijo seleccionado
es tres semanas, entonces la cantidad a ordenar deber
ser 51 unidades o 68 unidades si ese periodo es cuatro
semanas.
a.3. Lote por lote (LxL)
La cantidad a ordenar es siempre la demanda
pronosticada para el periodo inmediato. De los datos
anteriores se tiene que las cantidades semanales a pedir
sern 15, 16, 19 y as sucesivamente si el periodo fijo es
una semana y los lotes a pedir sern 31, 33 y 38 si los
periodos fijos son quincenas.
b. Mtodos heursticos
Como es sabido, estos mtodos se usan cuando a partir de
otros procedimientos de clculo no es posible obtener
soluciones ptimas
b.1. Mtodo Silver-Meal
Consiste en lograr el costo promedio mnimo por periodo
de los costos relevantes para el lapso de m periodos,
sobre un horizonte de planeacin de n periodos. Se trata
de minimizar el costo de los pedidos (S) y el de
mantenimiento de los inventarios (kc). El procedimiento
es el siguiente:
Planeamiento Programacin Control de la Produccin y Administracin de Inventarios M. MARN M.
215
Sea D1, D2, ..., Dn la demanda para n periodos y K(m) el costo variable promedio por periodo si la ltima orden
cubre m periodos. Note que n > m.
Se acepta la convencin de fin de ciclo, es decir, el costo de mantener inventarios ocurre al final del
periodo y que dicha cantidad se comienza a utilizar al
comienzo del mismo.
Si se ordena D1 para el periodo 1, entonces este costo se expresa como K(1) = S. Si la orden en el periodo1 es el
equivalente a D1 + D2, se obtiene el siguiente costo
K(2) = (1/2)(S + kcD2), y si el pedido es suficiente para
cubrir la demanda de tres periodos, el costo se
transforma en (1/3)(S + kcD2 + 2kcD3). Note el costo
marginal de guardar una unidad de inventario un
periodo adicional.
Luego, la frmula general expresarse como
))1(...2)(1
()( 32 mkcDmkcDkcDSm
mK
La iteracin se lleva a cabo segn la siguiente lgica:
Se calculan los costos hasta K(m) y se detiene cuando
K(m+1) > K(m), apenas cuando el costo promedio por
periodo comienza a crecer. Para el periodo 1 la orden
cumple con la demanda de los siguientes m periodos.
Q1 = D1 + D2 + ... + Dm. Si no se emite la orden en el
periodo i, entonces Q1 es cero, se repite el proceso para
el periodo (m + 1) y contina durante todo el horizonte
de planeacin.
Ejemplo. Con los datos de demanda variable
proporcionados anteriormente, conociendo que el costo de
cada unidad de artculo es S/. 12.00, que la tasa de
mantenimiento es 40% anual (porcentaje elevado por
tratarse de un artculo cuyo almacenaje requiere
condiciones especiales) y que el costo de colocar una
Planeamiento Programacin Control de la Produccin y Administracin de Inventarios M. MARN M.
216
orden es de S/. 30.00, se requiere calcular los lotes
parciales de compra.
Semana 1 2 3 4 5 6
Demanda
variable
15
16
19
14
20
18
Para m = 1:
K(1) = 30.00
Para m = 2:
K(2) = (1/2)(30 + 4.8x16) = 53.40
Como 53.40 > 30.00 el procedimiento se detiene, la
primera cantidad a pedir es Q1 = 15
Se recomienza el procedimiento en el mes dos (m = 1)
Para m = 1:
K(1) = 30.00
Para m = 2:
K(2) = (1/2)(30 + 4.8x19) = 60.60
Como 60.60 > 30.00 el procedimiento se detiene, la
segunda cantidad a pedir es Q2 = 16
Se recomienza el procedimiento en el mes tres (m = 1)
Para m = 1:
K(1) = 30.00
Para m = 2:
K(2) = (1/2)(30 + 4.8x14) = 48.60
Nuevamente el procedimiento se detiene y la tercera orden
es Q3 = 19
Con las consideraciones anteriores:
Planeamiento Programacin Control de la Produccin y Administracin de Inventarios M. MARN M.
217
K(1) = 30.00 y K(2) = (1/2)(30 + 4.8x20) = 63.00, por lo
que existe un a cuarta orden Q4 = 14
K(1) = 30.00 y K(2) = (1/2)(30 + 4.8x18) = 58.20, por lo
que existe una quinta orden Q5 = 20
Como no existe mayor informacin, el proceso de clculo
se detiene y existe un sexto pedido Q6 = 18 unidades del
artculo.
La magnitud del costo de preparacin y la
distribucin de la demanda en el horizonte de
planeacin, no permite un pedido conjunto que rena
la demanda de ms de un periodo!
Por ejemplo Q2 = D2 + D3 + D4 = 49 unidades, u otro
arreglo similar.
b.2. Costo unitario mnimo (CUM)
En vez del costo variable por periodo, se analiza el costo
variable promedio por unidad que cubre m periodos de
demanda (K(m)).
Si el lote cubre un periodo de demanda, K(1) = S/D1;
si cubre dos periodos, K(2) = 21
2
DD
kcDS
; y si cubre
tres periodos, K(3) = 321
32 2
DDD
kcDkcDS
; y as
sucesivamente.
Luego: K(m) = m
m
DDD
kcDmkcDkcDS
...
)1(...2
21
32
Planeamiento Programacin Control de la Produccin y Administracin de Inventarios M. MARN M.
218
La regla de decisin es detenerse cuando K(m+1) > K(m) y Q1 = D1 + D2 +...+Dm, para repetir el proceso a partir del periodo (m + 1)
Ejemplo. Con los datos de demanda variable anterior y
conociendo S = S/. 30.00; k = 40% anual; c = S/. 12.00,
usando este mtodo, se tiene.
Para m = 1:
K(1) = 30/15 = 2.00
Para m = 2:
K(2) = 44.31615
168.430
x
Como 3.44 > 2.00, entonces el primer lote es Q1 = 15
Para m = 1 (periodo 2):
K(1) = 30/16 = 1.88
Para m = 2:
K(2) = 46.31916
198.430
x
Como 3.46 > 1.88, entonces el segundo lote es Q2 = 16
Para m = 1 (periodo 3):
K(1) = 30/19 = 1.58
Para m = 2:
K(2) = 95.21419
148.430
x
Como 2.95 > 1.88, entonces el tercer lote es Q3 = 19
Para m = 1 (periodo 4):
K(1) = 30/14 = 2.14
Planeamiento Programacin Control de la Produccin y Administracin de Inventarios M. MARN M.
219
Para m = 2:
K(2) = 71.32014
208.430
x
Como 3.71 > 2.14, entonces el cuarto lote es Q4 = 14
Para m = 1 (periodo 5):
K(1) = 30/20 = 1050
Para m = 2:
K(2) = 06.31820
188.430
x
Como 3.71 > 2.14, entonces el quinto lote es Q5 = 20
Y luego, por lgica el sexto lote a solicitar deber ser Q6 =
18
Extensin del ejercicio: Si los resultados de la primera
iteracin, cuando m = 1 corresponde al periodo 1, hubieran
sido K(1) = 3.10; K(2) = 3.02; K(3) = 2.95 y K(4) = 3.00, las comparaciones hubiesen sido:
3.02 < 3.10 Continuar
2.95 < 3.02 Continuar
3.00 > 2.95 Detener el proceso y realizar
un primer pedido Q1 = 15 + 16 + 19 = 50
Se vuelve al proceso con m = 1 que corresponde al periodo
4, y as sucesivamente.
Se dijo que tamaos de lote dinmico se usan para
demanda irregular. Aqu surge la interrogante de cmo
calificar una serie de tiempo de demanda como irregular o
regular. Peterson y Silver, en 1979, (Sipper y Bulfin:
Planeamiento Programacin Control de la Produccin y Administracin de Inventarios M. MARN M.
220
Planeacin y control de la Produccin; Mc Graw Hill;
Mxico; 1998) plantean una regla simple para identificar
la demanda como irregular o no. Sea V es la variabilidad
de la demanda,
1
2
2
D
D
t
tn
V , donde Dt es la demanda pronosticada
para el periodo y n es el horizonte de planeacin; el
numerador es la varianza de la demanda por periodo; el
denominador es el cuadrado de la demanda promedio por
periodo y la regla de decisin o prueba de irregularidad se
basa en:
Si V < 0.25, utilizar el modelo de tamao econmico de
lote con
D como la demanda promedio y n
D = D =
Di como la demanda para el periodo de planeacin. Si V 0.25, utilizar los modelos de tamao de lote
dinmico.
Ejemplo. Verifique la irregularidad de la demanda para
los ejercicios correspondiente a tamaos de lotes
dinmico, de reglas simples y mtodos heursticos.
Semana 1 2 3 4 5 6
Demanda
variable
15
16
19
14
20
18
1
2
2
D
D
t
tn
V
016.01)182014191615(
(62
222222
182014191615
Planeamiento Programacin Control de la Produccin y Administracin de Inventarios M. MARN M.
221
Con V = 0.016 y segn la regla de decisin los casos
aludidos debieron haberse tratado con la frmula de lote
econmico de compra. Ello explica por qu en cada caso
el lote de compra no acumulaba ms de un periodo, es
decir, Q1 = D1, Q2 = D2, sucesivamente.
Planeamiento Programacin Control de la Produccin y Administracin de Inventarios M. MARN M.
222
PREGUNTAS Y EJERCICIOS
1. Con una demanda anual de 2000 unidades, costos de
preparacin de S/. 250.00, costos de mantener inventarios
de S/. 8.00 por unidad al ao y costos de pena convencional
por pedidos pendientes de S/. 24.00 al ao. Cul es el
tiempo ptimo entre pedidos? Utilice un ao de 250 das y
especifique el tiempo en das.
2. Explique la particularidad de la frmula del reabastecimiento conjunto. Luego explique la lgica para
determinar los tamaos de lotes independientes
3. Una compaa ordena dos artculos. El artculo 1 cuesta
$10 y tiene una demanda anual de 100 unidades y un costo
de ordenar de $40. El artculo 2 cuesta $40 y tiene una
demanda anual de 180 y costos de ordenar de $20. La tasa
por mantener un inventario es 20% al ao. El espacio de
almacn para los dos artculos est limitado y, como son
del mismo tamao, no puede haber ms de 40 unidades en
total en inventario en ningn momento. Adems, el valor
total del inventario debe estar dentro de un presupuesto de
$400 en todo momento. Qu cantidades a ordenar
recomendara?.
4. Usted es el gerente de compras de una fbrica de zapatos
que tiene una lnea de botas. Se compra los remaches para
las botas a distintos proveedores. La demanda es 30000
pares de remaches al ao y no se permiten faltantes. Se ha
determinado que emitir una orden cuesta S/.100.00 y que
el costo de mantener el inventario es de 35% anual. Su
principal proveedor tiene el siguiente plan de descuento en
todas las unidades:
Planeamiento Programacin Control de la Produccin y Administracin de Inventarios M. MARN M.
223
Cantidad Precio (S/. por par)
Q < 1000 1.00
1000 Q < 3000 0.98 3000 Q < 5000 0.96 5000 Q < 0.94
a. Calcule Q* b. Se altera Q* si en todos los rangos se obtiene un
descuento de 5%?
5. La empresa ABC tiene un contrato con el cliente DEF por
150000 rodamientos por ao. La ABC ordena a un
proveedor el metal para los rodamientos en lotes de 40000
unidades. Cuesta $40.00 colocar un pedido, y los costos de
manejo se calculan en 20% del costo del producto, $0.15.
La ABC desea conocer el porcentaje de variacin de la
cantidad pedida con respecto a la ptima y cunto les
cuesta esta variacin, si es que les cuesta
6. El modelo Q* supone una tasa de demanda conocida y constante. Si se observa D menor que D, diga de qu manera afecta esta situacin al costo anual de
mantenimiento, al nmero de pedidos por ao y al
intervalo entre pedidos.
7. Desarrolle el ejercicio 5 en el contexto de anlisis de sensibilidad
8. Un fabricante de pinturas mantiene en existencias un material cuya demanda es de 3000 unidades al ao. Se
estima que la relacin de costo de hacer pedidos y costo de
mantener inventarios flucta entre 75 y 100. Se pide
calcular la cantidad econmica de este material
9. Una mquina fabrica un producto a una tasa de 6750 unidades por semana. La demanda anual de 135000 se
genera a una tasa constante durante 300 das hbiles al
ao. El costo de mantener inventarios se ha estimado en
Planeamiento Programacin Control de la Produccin y Administracin de Inventarios M. MARN M.
224
20% anual y el costo variable de produccin por unidad se
precisa en S/. 35.00. El costo de preparar un lote de
produccin es de S/. 450.00. Calcule la cantidad
econmica a producir
10. En el que considere el mayor autoservicio de su ciudad, identifique tres familias de productos, estime su costo de
oportunidad, en base a 22% de utilidad determine los
costos unitarios promedios, pregunte el estimado de costo
por hacer un pedido del sistema y discrimine costos por
familia y, predetermine las demandas peridicas para
calcular las demandas anuales. Con toda esta informacin
que usted ha generado, se le pide calcular lotes
econmicos de compra individuales
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