Definición de Geometría Descriptiva.
Es la ciencia de representación gráfica, sobre superficies bidimensionales, de
los problemas del espacio donde intervengan, puntos, líneas y planos.
La geometría descriptiva es para el dibujo como la gramática es para el
lenguaje.
Importancia de la Geometría Descriptiva.
La geometría descriptiva es importante ya que cumple dos objetivos
principales:
El primero facilitar el método para representar sobre un papel que posee dos
dimensiones longitud y latitud; todos los cuerpos de la naturaleza, que tienen
tres dimensiones, longitud, latitud y profundidad.
El segundo objetivo es dar a conocer por medio de una exacta descripción la
forma de los cuerpos, y deducir todas las verdades que resultan, bien sean de
sus formas, bien de sus posiciones respectivas.
La geometría descriptiva existía antes de ser inventada. La complejidad de los
cortes de la piedra o la madera ha requerido siempre el uso de proyecciones
ortogonales, y sin embargo el sistema diédrico es relativamente moderno. La
perspectiva cónica nació de un proceso artístico lento, anterior al concepto de
“sección de la pirámide visual”. Las axonometrías son utilizadas
sistemáticamente mucho antes de quedar geométricamente explicadas por la
teoría decimonónica. Por eso, cuando en 1795 alguien decidió que esta
denominación, geometría descriptiva, era conveniente para designar un
conjunto de hábitos y conocimientos, estaba, en realidad, legalizando una
situación existente.
Quien tomó la decisión fue un revolucionario francés, de origen humilde,
entusiasta defensor de la racionalización, protagonista de la organización del
calendario republicano, del sistema de pesas y medidas, y principal inspirador
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de la Escuela Normal y de la Escuela Politécnica, que consiguió extender su
organización de la enseñanza por todo el continente. La expresión escogida
para designar a esta materia, geometría descriptiva, perseguía aprovechar el
prestigio de la llamada geometría analítica, contrastando con ella. Desde
entonces y durante todo el siglo XIX los responsables de la producción teórica
y la docencia de la geometría descriptiva, los profesionales de la geometría
descriptiva, entendieron que la perfección de esta disciplina consistiría en
alcanzar una organización ideal al modo de las diversas ramas de la
matemática. Como cualquier cosa se puede forzar hasta conseguir que se
parezca al álgebra, consiguieron su objetivo, y al final del siglo ya existía un
aparato teórico ideal, la llamada geometría proyectiva, que se constituía en
abstracción de los procedimientos de la geometría descriptiva y permitía olvidar
la realidad histórica y colgar los diversos modos de representar, de las ramas
de un árbol taxonómico ideal. Esto no era útil al usuario, pero dejaba a los
profesionales de la geometría descriptiva satisfechos, casi tanto como cuando
los matemáticos consiguieron convencer a todo el mundo de que los niños
debían conocer la teoría de conjuntos, sin embargo, la geometría descriptiva no
podía dejar de ser lo que era, una actividad intrínseca al trabajo del diseñador,
una reflexión sobre las posibilidades del espacio sensible y sobre los criterios,
más o menos convencionales, que empleamos para su representación plana.
Y para el arquitecto sigue siendo necesario cierto conocimiento de lo que es o
no es geométricamente posible al emplear formas materiales; y es también
necesario con el uso del ordenador es más necesario que nunca el
conocimiento critico de los modos de proyección plana que hemos decidido
utilizar. De manera que el curioso aparato montado por nuestros predecesores
aparece obsoleto y cada vez más es evidente que la geometría descriptiva se
constituye y se debe enseñar a partir de un conjunto de modos de hacer muy
adheridos a la realidad. Parece que un estudiante de arquitectura debe saber
lo que es la perspectiva y cómo cambia al alterar sus elementos; debe ser
capaz de resolver gráficamente algunos sencillos problemas espaciales; debe
controlar la variedad de las axonometrías; debe leer con soltura una topografía
definida por sus curvas de nivel; debe conocer las propiedades y posibilidades
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de conos, cilindros, superficies de revolución, esfera, y algunos menos
comunes, como elipsoides y paraboloides, superficies regladas.
Proyección Ortogonal.
Se denomina proyección ortogonal al sistema de representación que nos
permite dibujar en diferentes planos un objeto situado en el espacio.
Uno de los principales objetivos del dibujo técnico (específicamente el llamado
“dibujo mecánico”) es la confección de planos de fabricación de piezas
mecánicas de las más variadas formas. Para lograrlo se necesita representar
gráficamente las distintas formas que dichas piezas presenten.
Una fotografía o un dibujo pictórico muestra al objeto tal como aparece ante
nosotros como observadores, pero no como es, pues la imagen es afectada por
la perspectiva. Una representación gráfica así no puede describir
completamente el objeto, sin que importe desde que dirección se le mire, ya
que no muestra las formas ni los tamaños exactos de las distintas partes. Las
fotografías no siempre son realizables porque el objeto debe hacerse antes de
que se le pueda fotografiar. Además, tanto en la fotografía como en un dibujo,
no se puede ver los detalles internos del objeto. En la industria se necesita una
descripción completa y clara de la forma y el tamaño del objeto que se
pretenda fabricar, para poder tener la certeza de que el objeto será
manufacturado exactamente como lo propuso el diseñador. Con el fin de
proporcionar esta información clara y precisa, se usan varias vistas
sistemáticamente dispuestas.
Este sistema de vistas recibe el nombre de proyección ortogonal o proyección
de vistas múltiples.
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Si situamos un observador según las seis direcciones indicadas por las flechas,
obtendríamos las seis vistas posibles de un objeto.
Estas vistas reciben las siguientes denominaciones:Vista A: Vista frontal o alzadoVista B: Vista superior o plantaVista C: Vista derecha o lateral derechaVista D: Vista izquierda o lateral izquierdaVista E: Vista inferiorVista F: Vista posterior
Hay tres planos principales de proyección: horizontal, vertical y de perfil. Estos
planos se intersecan uno a otro en ángulo recto formando el primero, segundo,
tercero y cuarto ángulo o cuadrantes. Técnicamente se puede proyectar un
objeto en cualquiera de estos cuadrantes.
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Para la descripción de las diferentes vistas sobre el papel, se pueden utilizar
dos variantes de proyección ortogonal de la misma importancia:
El Método de proyección del primer diedro, también denominado
Europeo (antiguamente método E).
El método de proyección del tercer diedro, también denominado
Americano (antiguamente método A).
En ambos métodos, el objeto se supone dispuesto dentro de un cubo, sobre
cuyas seis caras, se realizarán las correspondientes proyecciones ortogonales
del mismo.
La diferencia esta en que, mientras en el sistema Europeo, el objeto se
encuentra entre el observador y el plano de proyección, en el sistema
Americano, es el plano de proyección el que se encuentra entre el observador y
el objeto.
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Una vez realizadas las seis proyecciones ortogonales sobre las caras del cubo,
y manteniendo fija la cara de la proyección del alzado (A), se procede a obtener
el desarrollo del cubo, que como puede apreciarse en las figuras, es diferente
según el sistema utilizado.
El desarrollo del cubo de proyección, nos proporciona sobre un único plano de
dibujo, las seis vistas principales de un objeto, en sus posiciones relativas.
Con el objeto de identificar, en que sistema se ha representado el objeto, se
debe añadir el símbolo que se puede apreciar en las figuras, y que representa
el alzado y vista lateral izquierda, de un cono truncado, en cada uno de los
síntomas.
La proyección de primer cuadrante se usa principalmente en Europa. En
EE.UU., como es el caso del sistema ASA (American Standard Asociation),
hacen más práctica la proyección de tercer cuadrante, esto debido a que
cuando las vistas de un objeto proyectado en el tercer cuadrante se abaten
sobre el plano vertical, todas las vistas aparecen en su posición natural.
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Proyección Axonométrica.
La proyección axonométrica es una proyección sobre un plano (Axonométrico)
que tiene una posición arbitraria en el espacio. Si los rayos son perpendiculares
al plano axonométrico, se trata de una proyección axonométrica ortogonal. Este
sistema de proyección es muy similar a la manera de observar nosotros los
objetos en el espacio, conservándose, sin embargo, todas las propiedades de
la proyección cilíndrica(paralelismo, perpendicularidad).Las proyecciones del
plano axonométrico en el plano horizontal XY determina la recta XY cuya
proyección es perpendicular al eje Z. en efecto: Ambas rectas (eje Z y XY)
sonortogonales, la recta XY está contenida en el plano axonométrico y la
proyección axonométrica es una proyección ortogonal.
Los elementos de un sistema de proyección es:
Tres planos perpendiculares (denominado triedro trirrectangular).
Las rectas donde se cortan los tres planos coordenados(denominados ejes).
Corte de los tres ejes (denominado vértice).
La perspectiva axonométrica cumple dos propiedades importantes que la
distinguen de la perspectiva cónica
La escala del objeto representado no depende de su distancia al observador
Dos líneas paralelas en la realidad son también paralelas en su
representación axonométrica.
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Las coordenadas y escalas de una proyección axonométrica se pueden medir
las coordenadas de los puntos sobre los ejes, tomando en cuenta la
deformación correspondiente de estos. (De allí se deriva el nombre
axonométrica que en griego significa medida sobre los ejes).
Cada eje tiene su escala predeterminada de acuerdo con el plano
axonométrico y su respectiva dirección de los rayos de proyección. Todas las
líneas paralelas al plano axonométrico se conservan en esta proyección en
verdadero tamaño. Para determinar las escalas sobre los ejes, rebatimos estos
sobre el plano axonométrico donde se deben proyectar en verdadero tamaño.
Para definir la proyección axonométrica basta fijar los ángulos bajo los ejes X,
Y, Z, cuya suma debe ser 360º y ninguno puede ser 90º. También se puede
definir mediante el triangulo axonométrico.
Trimetría: los tres ángulos son distintos, las tres escalas son distintas.
Bimetría: dos ángulos son iguales y dos escalas también son iguales (la
escala distinta esta sobre el eje opuesto al ángulo distinto).
Isometría (Monometría): los tres ángulos son iguales a 120º, las tres
escalas son también iguales.
Entre las características de la proyección axonométrica tenemos:
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Proyeción axonometría.
La proyección axonométrica es una proyección cilíndrica, ortogonal donde se
conserva:
Propiedades:
a) El paralelismo y la proporcionalidad, así como los diámetros conjugados
de una cónica.
b) El plano axonométrico se proyecta en su verdadero tamaño.
c) La recta perpendicular a una recta paralela al plano axonométrico se
proyecta bajo un ángulo recto en ella.
d) Una esfera se proyecta como una circunferencia.
La proyección axonométrica se usa ventajosamente para representar
esquemas de instalaciones, piezas mecánicas, edificios, etc. Da una ilusión
más parecida al objeto que la proyección oblicua ya que se acerca más a la
manera de mirar (pero a veces es más laborioso efectuarla. Se acostumbra
repasar únicamente la proyección (perspectiva) aunque la proyección
horizontal es igualmente indispensable.
Método de proyección en cosntrucción axonométrica.
Indirecto: rebatiendo la proyección horizontal del objeto y después
fijando los puntos de acuerdo con las alturas respectivas.
a) Para determinar la proyección horizontal axonométrica, se determina
primero la proyección ortogonal (en el sistema de los ejes XR, YR ).
b) Se busca por homologia la proyección horizontal axonométrica, siendo: X
Y el eje de homologia; los rayos de homologia perpendiculares al eje de
homologia XY; una pareja conjugada: O - OR.
c) Se determina la proyección axonométrica de acuerdo con las alturas de
los puntos. Estas alturas corresponden a la escala del eje Z.
OM= Altura de la casa. ON= Altura de la cresta.
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Directo: construyendo el objeto de acuerdo con aquellas líneas que son
paralelas a los ejes de proyección y de acuerdo con la escala de estos.
a) Tetraedro: regular con base horizontal y una arista paralela al eje Y. la
altura del tetraedro se determino aparte.
b) Cubo con caras paralelas a los planos de proyección, o sea, aristas
paralelas a los ejes.
c) Cubo con sección principal paralela al plano de proyección XZ e YZ, o
sea, diagonales de una cara son paralelos a los ejes X e Y.
d) Octaedro regular: con diagonales paralelas a los ejes de coordenadas.
e) Octaedro regular: con sección principal paralela al plano XZ, o sea,
aristas paralelas a los ejes X e Y, y una diagonal paralela al eje Z.
Proyectivo: semejante a la proyección oblicua, solo que los ejes se
proyectan de otra forma.
Fundamentaciones del sistema axonométrico.
Todo cuerpo con volumen se estructura sobre tres ejes o direcciones
fundamentales, en ellos se distribuyen las tres dimensiones de los objetos,
sobre el eje z se colocan las alturas, sobre el eje x las anchuras y sobre el
eje y las profundidades.
El sistema axonométrico sitúa las aristas básicas de los cuerpos sobre
estos tres ejes coordenados y las proyecta sobre una superficie plana
equivalente a la hoja del papel y que se denomina plano del cuadro.
Cambio de configuración de los ejes coordenados, los ejes coordenados
axonométricos en el espacio formas un ángulo de 90º al igual que las
aristas de un cubo. Cuando son proyectados ortogonalmente sobre el plano
del cuadro se transforman y miden más de 90º, y a su vez los ejes dejan de
estar estructurados tridimensionalmente, para adoptar una nueva
configuración bidimensional sobre el plano del cuadro.
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Tipos de perspectiva axonométrica.
Hay varios tipos de perspectivas axonométricas:
Perspectiva axonométrica isométrica (los 3 ángulos iguales)
Perspectiva axonométrica dimétrico (2 ángulos iguales y otro desigual)
Perspectiva axonométrica trimétrico(los 3 ángulos iguales)
La perspectiva isométrica. Es en la que los ejes forman tres ángulos iguales de
120º cada uno.
La dimétrica. Los ejes forman dos ángulos iguales y un tercero desigual.
La trimétrica. Sus ejes forman ángulos de grados diferentes.
Tipos de líneas de los dibujos de las figuras planas.
Líneas isométricas: son todas aquellas cuyos lados son perpendiculares
entre sí y al pasarlas a isométricas sus lados serán paralelos a los ejes
isométricos.
Líneas no isométricas: los lados de estas figuras no mantienen el
paralelismo con los ejes, porque los ángulos que forman son distintos a 90º.
En estos casos se soluciona inscribiendo la figura en una trama de
coordenadas.
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Proyección Cónica.
Una proyección cónica se forma poniendo un cono en contacto con la esfera o
el esferoide. Al hacerlo, se ve que toca la esfera a lo largo de un paralelo de
latitud. Esta línea se conoce como el paralelo estándar de la proyección.
Se ve, de la figura, que es posible seleccionar formas y tamaños distintos de
conos que resultan todos en paralelos estándar diferentes. La elección
dependerá de la región de la tierra a ser mapeada, un paralelo estándar
apropiado es aquél que pasa a través del centro de la región. La forma
resultante de la proyección cónica es tal que los meridianos se presentan como
líneas rectas que convergen hacia uno de los polos. El ángulo entre dos
meridianos es una función de los paralelos estándar.
La cónica es, de hecho, un caso general de proyección del cual la cilíndrica y
las proyecciones azimutales son formas particulares. La proyección polar es
equivalente a la de un cono completamente plano que toca a la esfera en el
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polo. Un cilindro es el equivalente a un cono tocando el ecuador.
Estas consideraciones son útiles para visualizar la naturaleza de las
proyecciones cónicas pero no deberían ser implementadas en la práctica ya
que las fórmulas para el cono son susceptibles de 'desmoronarse' bajo estas
condiciones extremas. El equivalente a un escalamiento general se usa a
menudo para las proyecciones cónicas donde se logra usando dos paralelos
estándar: el efecto es reducir el factor de escala debajo de uno entre los dos
paralelos estándar y aumentarlo arriba de uno, fuera de ellos.
Finalmente, debería notarse que para cualquier proyección cónica el factor de
escala es una función de la latitud enteramente, y que estas proyecciones son,
por consiguiente, apropiadas para mostrar regiones extensas en longitud,
particularmente, regiones de latitud media.
Proyección cónica equidistante.
Una proyección cónica equidistante preserva el factor de escala a lo largo de
un meridiano. Las paralelas son entonces arcos igualmente espaciados de
círculos concéntricos. El factor de escala a lo largo de un paralelo de latitud
está dado como una función de la latitud. Un ejemplo de esta proyección se
muestra en la figura:
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Proyección cónica de igual área de Albers.
La versión de áreas iguales de la proyección cónica es usualmente llamada de
Albers de áreas iguales. Un ejemplo de es:
Deberá notarse que el polo se muestra en esta proyección como un arco
circular, es decir, se ha sacrificado la forma para mantener el área sin
distorsión. Deberá notarse también, sin embargo, que la forma no está tan
terriblemente distorsionada como en la proyección cilíndrica de áreas iguales
en la imagen del mundo de Behrmann:
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Esto se debe, sobre todo, a la región proyectada: el área europea mostrada es
un área de latitud media extendida en la región este-oeste, para la cual sería
más adecuada una proyección cónica que una cilíndrica.
Proyección cónica conforme de Lambert.
La versión conforme de la proyección cónica es llamada de Lambert quien
primeramente la desarrolló en 1772. Su nombre completo es proyección cónica
conforme de Lambert (LCC) pero la mayoría de las referencias a la proyección
de Lambert, deberían entenderse como ésta: el área y la forma se distorsionan
al alejarse de los paralelos estándar. La direcciones son ciertas en áreas
limitadas. Usada para mapas de Norte América. Se puede decir, que la
proyección de LCC y la transversal de Mercator dan cuenta del 90% de las
proyecciones de mapas básicos en el mundo.
Su distorsión en la forma es mínima como puede apreciarse de sus indicadores
de Tissot:
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Debido a que es una proyección conforme, los meridianos coinciden en un
punto que representa el polo. Una LCC con un paralelo estándar en el ecuador
sería lo mismo que la proyección de Mercator, como ya se dijo, con los
meridianos paralelos y nunca tocando el polo infinito; una con un paralelo
estándar a 90° sería equivalente a la proyección polar estereográfica.
Una proyección LCC se puede formar también con dos paralelos estándar al
igual que en todas las proyecciones cónicas. En este caso es el equivalente de
un paralelo estándar a la mitad del camino, con un escalamiento. El arreglo
usual para minimizar la distorsión es tener dos paralelos estándar que están
cada uno a 1/6 del rango de latitud como extremos de la proyección.
Ejemplos de proyecciones comparadas para el continente americano:
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y para Norte América:
En todas las proyecciones anteriores es necesario tener en cuenta la forma real
de la tierra cuando se trate de hacer cálculos precisos. El sistema de
coordenadas fundamental es el geodético, relacionado a un esferoide. Es decir,
si se quiere preservar la exactitud, es necesario desarrollar fórmulas para tratar
un esferoide y no una esfera. Se debería tener en cuenta que el achatamiento
de la mayoría de los esferoides es del orden de 1/300. Hay diferencias
significativas en las coordenadas que se harán evidentes en mapas a escalas
muy grandes. No obstante, la esfera es útil para dar una idea de cómo se ha
distorsionado el mapa resultante. En la práctica se deberían usar fórmulas
esferoidales.
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Entre las disciplinas que constituyen el fundamento de la instrucción de
ingenieros se encuentra la Geometría Descriptiva.
La Geometría Descriptiva tiene por objeto la exposición y la argumentación de
los métodos deconstrucción de las imágenes de las formas espaciales sobre un
plano y los métodos deresolución de problemas de carácter geométrico por
las imágenes dadas de estas formas.
Las imágenes construidas por las reglas estudiadas en la Geometría
Descriptiva permiten darse una idea de la forma de los objetos y de su
disposición mutua en el espacio, determinar susdimensiones, estudiar las
propiedades geométricas propias del objeto representado.
La Geometría Descriptiva, provocando un trabajo intensivo de la imaginación
espacial, la desarrolla.
Por fin, la Geometría Descriptiva, transmite una serie de sus deducciones a la
práctica de ejecución de dibujos técnicos, asegurando su carácter expresivo y
su precisión y, por consiguiente, la posibilidad de realización de los objetos
representados.
Las reglas de construcción de las imágenes, expuestas en la Geometría
Descriptiva, se basan en el método de proyecciones.
El estudio del método de proyecciones se inicia con la construcción de las
proyecciones del punto, puesto que al construir la imágen de cualquier forma
espacial se examina una serie de puntos pertenecientes a esta forma.
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Vicente Giménez Peris - Diédrico directo Tomo I (Teoría y 190 ejercicios de
aplicación).
Ángel Taibo - Geometría descriptiva y sus aplicaciones. Tomo I - Tebar Flores.
Josep Bertran Guasp - Geometría descriptiva. Tomo I. Sistema diédrico
directo. Fundamentos y ejercicios.
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