Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones
DISEÑO DE FILTROSTema 3: Diseño de Filtros Activos
ÍNDICE
1. El Amplificador Operacional.• El Amplificador Operacional Ideal.• El Amplificador Operacional Real.
Ganancia Dependiente de la Frecuencia.
2. Bloques Activos Usando AA.OO.3. Funciones de Transferencia de Secciones
de 1er Y 2º Orden.
ÍNDICE (II)
4. Sensibilidad• Definición.• Propiedades• Sensibilidad de la Función de Transferencia.• Filtros de Orden Superior
ÍNDICE (III)
5. Estructuras de Primer Orden con AA.OO.6. Estructuras de Segundo Orden con AA.OO.
• Introducción.• Estructuras con un único A.O.
Estructura general Sallen-Key.Estructura General de Raouch.
• Filtros activos con varios AA.OO.El filtro activo resonador KHN.Filtro Resonador de Tow-Thomas.
ÍNDICE (IV)
5. Estructuras de 2º Orden Basadas en simulación de bobinas.
6. Criterio de Realización en Cascada.
Amplificador Operacional
• Filtrado activo. Necesita elementos activos para sustituir las bobinas del filtrado pasivo.
• Se pueden utilizar varios elementos activos (transistores, operacionales de transconductancia, etc.). Pero los más usuales son los amplificadores operacionales.
• Estos son fuentes de tensión controlados por tensión con ganancia infinita, impedancia de entrada infinita y de salida nula (idealmente).
Operacional ideal• Su símbolo es:
• Y su ecuación de funcionamiento la siguiente:
• Si y si uno de los dos terminales está conectado a masa, entonces: V+ = V- = 0. Conocido por principio de “tierra virtual”.
( )V A V V con I I0 0= − = =+ − + −
A V V→∞ ⇒ − =+ − 0
Operacional Real
• Las características de ganancia y ancho de banda finitos de los AA.OO. son los factores que más afectan al correcto funcionamiento de los circuitos en el diseño de filtros activos.
• La respuesta en frecuencia de la ganancia de un A.O. se puede expresar como:
0 0 c 0 c
c
c
A A AA(s) s s s1
ω ω= = ≈
+ω+ω
Operacional Real (II)A( j dBω)
20 0log A
• Valores típicos de estos parámetros pueden ser:( )A A Hz f Hz f Hzc t0
4 5 610 10 741 5 100 10> → ∀ ≤ ≤ ≥µ
Efecto del Operacional RealA.O. Real
V VR
V VCs
como V Vi − =−
= =− −
+ −0
10
01
0= − + +
−−V
RCs
RV CsVi
( ) ( )- - 0VA s V V -
A s= ⇒ =
( )0 00= − − + −GV Cs G
VA s
CsVi ( )
Nudo V-:
0V -Operacional:A.O. Ideal
− =+
+
⇒ = − +
+GV
Cs GA s
Cs VVV
GCs GA s
Csi
i( )( )
00
VR
V Cs VV RCs
i
i
= − ⇒ = −00 1
VV RCs
A sRCsi
0 11= − +
+( )
Bloques Activos Usando AA.OO.
• Inversor:
• No inversor:
A j VV
RR
ki
( )ω → ∞ ⇒ = + =0 2
121
A j VV
RR
ki
( )ω → ∞ ⇒ = − =0 2
1
Bloques Activos Usando AA.OO.(II)
• Sumador:
A j V GG
Vi
Ri
i
n
( )ω →∞ ⇒ = −=∑0
1
Bloques Activos Usando AA.OO.(III)
• Seguidor:
• Integrador:
( ) ( )V A V V V A AV
VV
AA
A
i i
i
0 0 0
0
1
11
11
= − ⇒ + =
=+
=+
sRC1
VV
i
0 −=
Bloques Activos Usando AA.OO.(IV)
• Giradores y conversores de inmitanciageneralizados. Simulador de bobinas:
Simulador de bobinas. Análisis.
( ) 15
4
5
1544
5
14 V
ZZ1
ZVZZV
ZVI
+=+=⇒=
I IV V
Z ZV V
ZZ
VZ
Z ZV2 3
1 4
3 31 1
4
51
4
3 51
1= =
−= − −
= −
V I Z V VZ ZZ Z
VZ ZZ Z
V2 2 2 1 12 4
3 51
2 4
3 511= + = − + = −
1531
421
53
4211
11
211 V
ZZZZZV
ZZZZVV
Z1
ZVVI =
+−=
−=
Z VI
Z Z ZZ Zin
1
1
1 3 5
2 4= =
•Así tomando : Z1 = R1 ; Z3 = R3 ; Z5 = R5 y una de las dos Z2 ó Z4 como un condensador y la otra resistiva, tenemos:
L R R RR
C= 1 3 5Z VI
R R R
RCs
R R RR
Csin = = =1
1
1 3 5 1 3 51
Funciones de transferencia de primer y segundo orden
• Para conseguir filtros activos de orden superior se utiliza, entre otras, la conexión en cascada de secciones de primer y segundo orden.
• Las secciones de segundo orden tienen dos parámetros fundamentales, la frecuencia central y una característica denominada Q que da idea del sobreimpulso producido en la respuesta alrededor de la frecuencia de corte.
• Las de primer orden solo permiten modificar su frecuencia de corte.
• Las de segundo orden pueden usarse como filtros, las de primero no.
Funciones de transferencia de primer orden
1. Paso-Bajo
H sk
s( ) =
+ωω
0
0
H jk
j
H jk
H
( )
( )
arctgω
ωω ω
ωω
ω ω
φωω
=+
⇒
=+
= −
0
0
0
202
0
H j( )ω
K
K2
ω 0 ω ( / )r a d s e g
Funciones de transferencia de primer orden (II)
2. Paso-Alto
H j kj
j
H jk
H
( )
( )
arctg arctgω
ωω ω
ωω
ω ω
φπ ω
ωωω
=+
⇒
=+
= − =
0
202
0
0
2
H s k ss
( ) =+ω0
H j( )ω
K
K2
ω 0 ω ( / )rad seg
Funciones de transferencia de segundo orden
• Su forma general será:
• La última expresión es la notación estándar utilizada para las funciones bicuadráticas porque en ella se identifican claramente los parámetros característicos del filtro.
• Dependiendo de los valores a0, a1 ó a2 son cero tenemos distintos tipos de función.
( )( )( )( )
( )( )
2 222 1 2 z z z2 1 0
2 2 21 0 1 2 p p p
a s z s z s Q sa s a s aH(s) ks b s b s p s p s Q s
− − + ω +ω+ += = =
+ + − − + ω +ω
Funciones de transferencia ... (II)
• Paso-Bajo. Con a2 = a1 = 0.
( )H sk
s Q sLP ( ) =+ +
ω
ω ω02
20 0
2
H j( )ω
k20M
2
Q211
Q411
kQM −ω=ω−
=
Funciones de transferencia...(III)
• Paso-alto. Con a1 = a0 = 0.
( )H sks
s Q sHP ( ) =+ +
2
20 0
2ω ω
H j( )ω
k 2
0M
2 Q211
Q411
kQM−
ω=ω
−=
Funciones de transferencia...(IV)
• Paso-banda. Con a2 = a0 = 0.( )( )H sk Q s
s Q sBP ( ) =+ +
ω
ω ω0
20 0
2
H j( )ω
kk2
ω0 Q
ω0
Funciones de transferencia...(V)
• Banda-eliminada. Con a1 = 0.
( )( )
( )H sa s a
s Q s
k s
s Q sBR
p p p
z
p p p
( ) =+
+ +=
+
+ +2
20
2 2
2 2
2 2ω ω
ω
ω ω
H j( )ωH j ( ) ω
k
k z p
ω ω 2
≈ ωM
H j( )ω
k
k z
p
ωω2
≈ ωM
kk2
ωp
pQ
ω ωp z=
( )[ ]
( )[ ] 2p
2pz
pM
2pzp
Q2111
1kQM
ωω−+ω=ω
−ωω≈ ( )[ ]
( )[ ] 2p
2pz
pM
2pzp
Q2111
1kQM
ωω−+ω=ω
ωω−≈
2
2
Funciones de transferencia...(VI)( )( )H s k
s Q s
s Q sk
s s Qs s QAP
p p p
p p p
n n p
n n p( ) =
− +
+ +=
− +
+ +
2 2
2 2
2
2
11
ω ω
ω ω( )s sn p= ω
• Paso-todo.
n pAP n 2
n
Q( ) 2 arctg ;
1ω
φ ω = −−ω ( )
τ ω ω τ ωω
n AP n p AP np
n
Q Q, ( ) ( )= =
+2 1
1
2
2 2 2
31
( )ω ω− +n n p
Sensibilidad
• En el diseño de filtros activos hay muchos posibles circuitos para un mismo filtro. Por eso necesitamos características que nos permitan elegir.
• En los filtros activos es importante conocer las variaciones que puede haber en la función cuando se modifica un elemento del circuito.
• Además, ha de conocerse la relación entre variaciones de componentes y variaciones de características del filtro.
Sensibilidad (II)
• Definición:
• Dónde P es un parámetro del filtro (Q, ωo, etc.) y x es normalmente un componente del circuito que puede variar. Aunque podría ser también la temperatura, la humedad, etc.
Px
x P(s, x)SP x∂
=∂
Variabilidad
• Para variaciones pequeñas de los componentes se define la VARIABILIDAD como:
• Que es el cambio porcentual o relativo de Pdebido a un determinado cambio porcentual o relativo de x
∆ ∆PP
S xxx
P=
Propiedades de la sensibilidad
1.2.3.4.
S S xkx
kxkx
xkx= = =1 1 ya que
S n S xkx
n k x nxkx
xkx
nnn n
= = =− ya que 1
S S Sx
P PP
dPdx
PdPdx
xP
dPdx
xP
dPdx
S SxP P
xP
xP
xP P
xP
xP1 2 1 2 1 2 1 2
1 21
22
1
1
1
2
2= + = +
= + = + ya que S
S S SxP P
xP
xP1 2 1 2= − ya que:
Sx
P P
PdPdx
PdPdx
Px
P PP
dPdx
PdPdx
xP
dPdx
xP
dPdx
S SxP P
xP1 2 1 2
1 2
21
12
22
1 22
11
2
1
1
2
2=−
= −
= − = − x
P
Propiedades de ...(II)
5.6.7.8.9.
S S S xkP
k dPdx
SxkP
xP
xkP
xP1 1 1 1
1
1= = = ya que
S Pk P
S S xk P
dPdx
Pk P
xP
dPdx
Pk P
Sxk P
xP
xk P
xP+ +=
+=
+=
+=
+1 1 1 11
1 1
1 1
1 1
1 1
1
ya que
( )1 2 1 2P P P Px 1 x 2 x
1 2
1S PS P S P P
+ + = + ++ +
S nS S xP
n P dPdx
nSxP
xP
xP
nn
xPn n
1 1 1 1
11
1 1= = =− ya que
( )( ) ( )S S SxP P x
PP
xP1 2
2
1 2= siendo P = f P y P = f(x)1 2 2
( )( )SxP
dPdP
dPdx
xP
dPdP
dPdx
PP
PP
dPdP
xP
dPdx
S SxP P x
PP
xP1 2
2
1 2
1
1
2
2
1
1
2
2 2
2
2
1
1
2 2
2= = = ⋅ = ⋅
:
Sensibilidad de la función de transferencia
• Ahora estudiaremos como afectan las variaciones de los componentes a las funciones de transferencia, en especial a la posición de polos y ceros que son los que influyen en las características de los filtros.
• Sacaremos también conclusiones sobre como de sensible será un filtro en función de su orden y de su función de aproximación.
Sensibilidad de la función...(II)
• Partiremos de la expresión de la función de transferencia según sus polos y ceros.
• Para simplificar los cálculos aplicamos logaritmos:
• Y derivamos:
( )( ) ( )( )( ) ( )
1 2 m
1 2 n
s z s z s zH(s) k
− − −=
− − −
( ) ( ) ( )m n
i ii 1 i 1
Ln H(s) Ln k Ln s z Ln s p= =
= + − − −∑ ∑
1 1 1 11 1H s
dH sdx k
dkdx s z
dzdx s p
dpdxi
i
i
m
ii
ni
( )( )
= +−
−
− −
−
= =
∑ ∑
s p s p s p
Sensibilidad de la función...(III)
• Por último multiplicamos por x.
• E identificamos:
• Donde aparece la sensibilidad semirelativa:
xH s
dH sdx
xk
dkdx
xs z
dzdx
xs p
dpdxi
i
i
m
ii
ni
( )( )
= +−
−
− −
−
= =
∑ ∑1 1
S S Qs z
Qs px
H sxk x
z
ii
mxp
ii
ni i( ) = −
−+
−= =∑ ∑
1 1
Q x dP s xdxx
P =( , )
Sensibilidad de la función...(IV)
• La última expresión de la sensibilidad indica que un desplazamiento de un polo o cero influye más fuertemente en la función de transferencia en las proximidades de los polos o ceros (s - zi ó s - pi tenderán a cero)
Sensibilidad en filtros de orden superior
• El valor de la sensibilidad será muy grande en las proximidades de los polos y ceros, por tanto, en filtros de orden grande la sensibilidad dentro de la banda de paso será generalmente alta ya que los polos del filtro estarán situados en dicha banda cerca del eje jω.
Sx
N s D sD s
N s xx
N sD s
xS
Qs z
Qs px
Hxk x
z
ii
mxp
ii
ni i
= −
= −
−+
−= =∑ ∑( ) ( )
( )( , )
( )( )∂
∂∂∂ 1 1
Sensibilidad en filtros...(II)• En una realización directa de un filtro de orden superior
las sensibilidades de H serán muy grandes.• Con un diseño en cascada se pretende conseguir que cada
elemento x influya únicamente en un par de polos y/o par de ceros.
H s VV
VV
VV
VV
VV
VV
H H H H Hout
in in
outn
n n
n n( ) = = =−
− −−
1 2
1
3
2
1
2 11 2 3 1
2
2 2
2 2
i
i
HH Hx H xS S S=
SHH
dHdH
HH
H H H H HHH i
i
ii ii n= =
=− +1 2 1 1
21
iHx
Hx SS =
Estructuras de primer orden
• Paso-bajo.
C 00 i
T i
1 1Z V 1sC RCV V 1 1Z V sRC 1R ssC RC
= ⇒ = = =++ +
Estructuras de primer orden (II)
• Paso-bajo.
H sR C
sR C
( ) =−
+
1
11
2
Estructuras de primer orden (III)
• Paso-alto.
0R0 i
T i
VZ R sRC sV V 1 1Z V sRC 1R ssC RC
= ⇒ = = =++ +
Estructuras de segundo orden
• Para obtener una sección de segundo orden se pueden utilizar diferentes técnicas, que pueden clasificarse en:
1. Estructuras con un único A.O..Sallen-KeyRaouch
2. Estructuras con varios AA.OO..KHNTow-Thomas.
3. Estructuras con Conversores de impedancia generalizados.
Sallen-Key
• Estructura general.
( )( )VV
KYYY Y Y Y Y Y KY Yi
0 1 3
1 2 3 4 3 4 2 3
=+ + + −
Sallen-Key. Paso-BajoY G Y C s Y G Y C s1 1 2 2 3 3 4 4= = = =; ; ;
VV
KR R C C
sK
R C R C R Cs
R R C Ci
0 1 3 2 4
2
3 4 1 2 3 2 1 3 2 4
1 1 1 1=
+−
+ +
+
ω01 3 2 4
1=
R R C C
( )1 3 2 4
3 4 1 4 1 2
R R C CQ
R C R C 1 K R C=
+ + −
Sallen-Key. Paso-Bajo (II)
• Sensibilidad:S S0 0 0 0
1 3 2 4R R C C1S S2
ω ω ω ω= = = = −
0KS 0ω =
( )4
Q 1 2C
3 4
R C1S 1 K Q2 R C
= − + −
Q 1 2K
3 4
R CS KQR C
=
1
Q 3 4R
1 2
R C1S Q2 R C
= − +
( )3
Q 1 4 1 2R
3 2 3 4
R C R C1S Q 1 K2 R C R C
= − + + −
2
Q 31 4C 1 2
3 2 4
RR C1S Q R C2 R C C
= − + +
Sallen-Key. Paso-Bajo (III)
• Ejemplos de diseño.1. Diseño simple.
C2 = C4 = 1 FR1 = R3 = R
Sensibilidades:
0
1R =ω
1K 3Q
= −
1
QR
1S Q2
= − +
3
QR
1S Q2
= −
2
QC
1S 2Q2
= − +
4
QC
1S 2Q2
= −
QKS 3Q 1= −
Sallen-Key. Paso-Bajo (IV)
2. Diseño de baja sensibildad.K = 1 (seguidor)R1 = R3 = 1 Ω
Sensibilidad
Dispersión de valores
20
2QC =ω 4
0
1C2Q
=ω
1
QRS 0=
3
QRS 0=
2
QC
1S2
=4
QC
1S2
= −
22
4
C 4QC
=
Sallen-Key. Paso-alto
Y C s Y G Y C s Y G1 1 2 2 3 3 4 4= = = =; ; ;
ω02 4 1 3
1=
R R C CVV
Ks
sK
R C R C R Cs
R R C Ci
02
2
2 1 4 3 4 1 2 4 1 3
1 1 1 1=
+−
+ +
+
( )2 4 1 3
2 3 2 1 4 3
R R C CQ
R C R C 1 K R C=
+ + −
Sallen-Key. Paso-bandaY G Y C s Y C s Y G1 1 2 2 3 3 4 4= = = =; ; ;
( )
( )
VV
KsK R C
sK R C R C R C
sK R R C C
i
0 1 2
2
1 2 4 3 4 2 1 4 2 3
11
11 1 1 1
1
=−
+−
+ +
+
−
No realizable con operacionales
Sallen-Key. Paso-banda(II)
1 20
1 2 4 3 5
R RR R R C C
+ω =
( )( )
1 2 4 3 5 1 2
1 4 3 2 4 3 1 2 3 1 2 5
R R R C C R RQ
1 K R R C R R C R R C R R C+
=− + + +
0 1 5
2i 1 2
2 5 1 5 4 5 4 3 1 2 4 3 5
K sV R CV R R1 K 1 1 1s s
R C R C R C R C R R R C C
= +−
+ + + + +
Sallen-Key. Paso-banda(III)
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
3 4 1 20
i 2 2 1
1 2 3 4 3 1 2 5 1 2 1 2 3 4 3 5 4 1 2
KC sR C C CV
V 1 K C C1 1 1s sC C R C R C C R C C C C R C R R C C C
+=
−+ + + + + + + + + +
( )3 5 4 1 2
5 2 5 4 3 4 5 1
R R C (C C )Q
1 K R C R C R C R C+
=− + + +0
3 5 4 1 2
1R R C (C C )
ω =+
Sallen-Key. Configuraciones no válidas
VV
K' ss K' si
02=+ '
VV
K' ss K'i
0 =+ '
Raouch
• Estructura general.
( )VV
YYY Y Y Y Y Y Yi
0 1 3
5 1 2 3 4 3 4
= −+ + + +
Raouch. Paso-Bajo
VV
C C R R
sC R C R C R
sC C R R
i
0 1 2 1 2
2
1 1 1 2 1 3 1 2 3 2
1
1 1 1 1= −
+ + +
+
ω01 2 3 2
1=
C C R R
1
2 2 3 32
1 3 2
C 1QC R R RR
R R R
=
+ +
Raouch. Paso-Bajo(II)
• Sensibilidad:
3
2 3Q 32 2R
R R RC RQS2 C R R R
= − − +
0
1RS 0ω =1 1 3 2
0 0 0 0
2 3 1 2R R C C1S S S S2
ω ω ω ω= = = = −
1 2
Q QC C
1S S2
= − =
1
2 3Q 2R
1 1
R RCS QC R
=
2
2 3Q 32 2R
1 1 3 2
R R RC RQS2 C R R R
= − + −
1
QRS 1<
2
QR
1S2
<3
QR
1S2
<
Raouch. Paso-Bajo(III)
• Como hemos visto las sensibilidades en esta sección son bajas.
• ¿Qué ocurre con la dispersión de valores en los componentes?.
R R R R1 2 3= = =
VV
C C R
sC R
sC C R
i
0 1 22
2
1 1 22
1
3 1= −+ +
ω01 2
1=
R C C
1
2
C1Q3 C
=
21 2C 9Q C=
Raouch. Paso-alto
ω01 2 2 3
1=
R R C CVV
CC
s
sC C C
R C Cs
R R C Ci
0
1
3
2
2 1 2 3
2 2 3 1 2 2 3
1= −+
+ ++
( )2 2 3
1 1 2 3
R C C 1QR C C C
=+ +
Raouch. Paso-Banda(I)
( )1321132
1232
11
i
0
CCRR1s
CCRCCC
s
sCR
1
VV
+++
+−=
( )
++
++
−=
21123123
122
11
i
0
R1
R1
CCR1s
CCRCC
s
sCR
1
VV
Raouch. Paso-Banda(II)
21313211
2
23
i
0
CCRR1s
R1
R1
R1
C1s
sCR1
VV
+
+++
−=( )
( )312212131
2
1322
i
0
CCCRR1s
R1
R1
CC1s
sCC1CR
1
VV
++
+
++
+−=
El filtro activo resonador KHN
A
0
V 1V RCs
= −21
0 1 2
2 2i2 2
1 2
2R sV R R
2R 1 1V s sR R RC R C
+=
+ ++ B
A
V 1V RCs
= −
El filtro activo resonador KHN(II)
• Sensibilidad. Analizamos con los índices de todos los componentes.
VV
RR
R RR R R R C C
sRR
R RR R R C
sRR R R C C
B
i=
⋅++
⋅
+ ⋅++
⋅ + ⋅
4
5
5 6
3 4 1 2 1 2
2 3
5
5 6
3 4 1 1
6
5 1 2 1 2
1
1 1
ω 06
5 1 2 1 2
1= ⋅
RR R R C C
QRR
R RR R
R R CR R C
= ⋅++
5
3
3 4
5 6
6 1 1
5 2 2
El filtro activo resonador KHN(II)
• Sensibilidades. Pequeñas y dependen poco de los componentes.
S SR R3
0
4
0 0ω ω= =
S S S S S SR R R R C C1
0
2
0
5
0
6
0
1
0
2
012
ω ω ω ω ω ω= = = − = = = −
S S S SRQ
RQ
CQ
CQ
1 2 1 2
12
= − = = − =
S SR
R RRQ
RQ
3 4
4
3 4= − = −
+
( )S SR RR RR
QRQ
5 6
6 5
5 62= − = −
−+
Filtro Resonador de Tow-Thomas
A 4 1
2i
1 1 2 3 1 2
1 sV R C
1 1V s sR C R R C C
= −+ +
B A B 2 4 2 1
2i i A
1 1 2 3 1 2
1V V V R R C C
s 1V V V sR C R R C C
= =+ +
Filtro Resonador de Tow-Thomas(II)
• Ventajas: 1. Todos los operacionales con una patilla a masa.2. Fácil ajuste de los parámetros.
ω02 3 2 1
31
= ⇒R R C C
Ajuste o R con R2
ωω0
1 11 1 0 1
1
2 3 21
1Q R C
Q R C R CR R C
Ajuste con R= ⇒ = = ⇒
11
44
32
4
RKR
Ajuste con RRKR
= − ⇒=
Filtro Resonador de Tow-Thomas(III)
• Ventajas:3. Baja sensibilidad.
• Desventaja. Se pierde la salida paso alto.
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