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Derivada de una función.Aplicaciones
JANNIER EDUARDO ABAD TORRES
Habilidades: . Definir la derivada de una función. . Interpretar geométricamente la derivada
de una función. . Determinar los puntos críticos de una
función. . Determinar los extremos absolutos de
una función continua en un intervalo
cerrado. . Describir el concepto de punto de
inflexión de una gráfica. . Analizar la concavidad de una función a través de su segunda derivada. . Resolver problemas de máximos y
mínimos de una función en una variable.
La Pendiente de una Curva
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una curva a la pendiente de la recta que mas se asemeja (ajusta) a la curva.
¿y cuál es esta recta?
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx 0
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx 0
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx 0
x
y
0x
)( 0xf)( 0 hxf
hx 0
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf
hx 0
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf
hx 0
Tangente 0 h
Observar que para un valor x=a del dominio de la función f(x) en el caso de existir una recta tangente a la gráfica de f en el punto (a,f(a)), podemos realizar una relación entre el punto a y el valor de este límite denotado por f ’(a) y llamado derivada de la función f en el punto x=a
De allí que podemos definir la función derivada
Función DerivadaLa derivada de una función f con respecto a la variable x es la función cuyo valor en x en el caso de existir es:
hxfhxfLimxf
h
)()()('0
REGLAS DE DERIVACIÓN
4. Si f es derivable y c constante, se tiene: xfcxcf
3. Sea f(x) = xn, entonces: 1 nnxxf
n
1. Sea f(x) = k, entonces: 0 xf
k
D (c) = 0
x2. Sea f(x) = x, entonces: 1 xf
5. Si f y g son funciones derivables y a y b son constantes se tiene que:
6. Si f y g son funciones derivables, entonces la derivada del producto es:
xgxfxgxfxgxf
Reglas de Derivación
xgbxfaxbgxaf
Reglas de Derivación7. Si f y g son funciones derivables y
no es cero, entonces la derivada del cociente es:
)(xg
)()()()()(
)()(
2 xgxgxfxgxf
xgxf
8. Si y , entonces la regla de la cadena se define por:
nxgxf )()(
)()()( 1 xgxgnxf n
n
Derivada de funciones exponencialesi)
ii) Derivada de funciones logarítmicasi)ii)
Derivada de funciones Trigonométricasi)
ii)
xxfxxf 1)(;ln)(
xgexfexf xgxg )(;)(
)()(
1)(;ln)( xgxg
xfxgxf
xx exfexf )(;)(
Derivadas de funciones EXP, LOG y TRIG.
)´()).(()´( , ))(()( xuxuSenxfxuCosxf
)´()).(()´( , ))(()( xuxuCosxfxuSenxf
LA DERIVADA EN EL ANALISIS DE FUNCIONES
Extremos de una función
Sea D (intervalo) contenido en el Dom(f)
El punto a є D se llama Punto mínimo en D si:
Dxxfaf )()(
Al valor f(a) se le llama mínimo de la función f(x) en D
Ejemplo: f(x)=x2-4x+5
Extremos de una función
Sea D (intervalo) contenido en el Dom(f)
El punto a є D se llama Punto máximo en D si:
Dxxfaf )()(
Al valor f(a) se le llama máximo de la función f(x) en D
Ejemplo: f(x)=4x-x2+2
• Llamamos punto extremo en D si es punto máximo o mínimo
• Llamamos valor extremo de la función al valor máximo o mínimo de dicha función.
TEOREMA
f ’(c) = 0Si c es un punto de extremo local de f, entonces
• Llamamos punto extremo en D si es punto máximo o mínimo
• Llamamos valor extremo de la función al valor máximo o mínimo de dicha función.
OBSERVACIÓN:
PUNTOS CRITICOSDefinición:Un número c del dominio de f se llama número crítico o punto crítico de f si f ’(c) = 0.Ejemplo: Determinar el punto crítico de:
13)( 23 xxxf
1. Hallar todos los puntos críticos de f en [a, b]2. Hallar f(c) para cada punto crítico c3. Calcular f(a) y f(b)4. El mayor de los números hallados en 2
y 3 es el máximo absoluto de f en [a,b] y el menor el mínimo absoluto.
Procedimiento para determinar los máximos o mínimos de una función continua f en [a, b]
Ejemplo: Determinar los valores máximo y mínimo absolutos de:
4;
2113)( 23 enxxxf
TEOREMASea f continua en [a, b] y derivable en (a;b), entonces:1. Si f ’(x) 0 en (a; b) entonces
f es estrictamente CRECIENTE en [a,b]
2. Si f ’(x) 0 en (a; b) entonces f es estrictamente DECRECIENTE en
[a;b]
>
Ejemplo:
Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:
196)( 23 xxxxf
Criterio de la primera derivada
Si c es un punto crítico de f y f es derivable alrededor de c, entonces:
i) Si f ´ cambia de + a - en la vecindad de c
entonces c es un punto de MÁXIMO local de f
ii) Si f ´ cambia de - a + en la vecindad c entonces c es un punto de MÍNIMO local
de f
Ejemplo:
Determinar los valores extremos locales de:
196)( 23 xxxxf
abajo<-
TEOREMASea f derivable en el intervalo (a, b), que contiene a c, tal que existe f ’’(c), entonces:
1. Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es cóncava hacia
en x = carriba>
+
2. Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es cóncava hacia
en x = c
Criterio de la segunda derivada
Sea c un punto crítico de f en el cual f ’(c) = 0 entonces:
1.Si f ’’(c) > 0, c es un punto de mínimo local.
2. Si f ’’(c) < 0, c es un punto de máximo local
PUNTO DE INFLEXIÓN
La gráfica de f tiene en el punto (c, f(c)) un punto de inflexión si:1 f es continua en c
2 La gráfica tiene tangente enel punto
sentido en c3 La concavidad cambia de
PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR LOS PUNTOS DE INFLEXION
i) Determinar los puntos donde f ’’ es cero o no existe
ii) Verificar si cada uno de estos puntos es de inflexión. Esto es:• Si f es continua• Si la derivada existe o tiene límite infinito (tang. vertical)• Si f ’’ cambia de signo
Ejemplo:
Determinar:a) Intervalos de concavidad.b) Puntos de inflexiónc) Trazar la gráfica de fPara:
196)( 23 xxxxf
GR
AC
IAS
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