Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicantePartea I : Toy models & modelul CRR
Universitatea "Al. I. Cuza", Facultatea de Matematic¼a
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 1 / 37
Referinte
Marek Musiela, Marek Rutkowsi - Martingale Methods in Financial Modelling,second edition, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2005
Tomasz Bielecki, Monique Jeanblanc, Marek Rutkowski - Introduction toMathematics of Credit Risk Modeling, Stochastic Models in Mathematical Finance,CIMPA-UNESCO-MOROCCO School, Marrakech, Morocco, April 9-20, 2007
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 2 / 37
Referinte
Marek Musiela, Marek Rutkowsi - Martingale Methods in Financial Modelling,second edition, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2005
Tomasz Bielecki, Monique Jeanblanc, Marek Rutkowski - Introduction toMathematics of Credit Risk Modeling, Stochastic Models in Mathematical Finance,CIMPA-UNESCO-MOROCCO School, Marrakech, Morocco, April 9-20, 2007
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 2 / 37
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 3 / 37
DenitionOptiuni: exemple standard de derivate nanciare, adic¼a active a c¼aror valoare depinde depretul altor active nanciare de baz¼a (active suport), precum stocuri si bonduri(certicate emise de guverne sau companii publice ce promit r¼ascump¼ararea banilorîmprumutati la o dat¼a prestabilit¼a, cu o dobând¼a xat¼a).
Tipuri de optiuni:
optiuni de tip call (put) - ofer¼a detin¼atorului dreptul, dar nu si obligatia de acump¼ara (vinde) activul suport la un moment viitor (momentul de exercitare aloptiunii), cu un pret xat K (pretul de exercitare, strike). Obligatia celui de aldoilea investitor este aceea de a vinde (cump¼ara) activul suport.
Optiuni europene, optiuni americane, optiuni exotice (barrier, lookback, asian...).
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 4 / 37
DenitionOptiuni: exemple standard de derivate nanciare, adic¼a active a c¼aror valoare depinde depretul altor active nanciare de baz¼a (active suport), precum stocuri si bonduri(certicate emise de guverne sau companii publice ce promit r¼ascump¼ararea banilorîmprumutati la o dat¼a prestabilit¼a, cu o dobând¼a xat¼a).
Tipuri de optiuni:
optiuni de tip call (put) - ofer¼a detin¼atorului dreptul, dar nu si obligatia de acump¼ara (vinde) activul suport la un moment viitor (momentul de exercitare aloptiunii), cu un pret xat K (pretul de exercitare, strike). Obligatia celui de aldoilea investitor este aceea de a vinde (cump¼ara) activul suport.
Optiuni europene, optiuni americane, optiuni exotice (barrier, lookback, asian...).
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 4 / 37
Optiuni call si put în piete de tip spot (instantanee)Toy-model pentru optiuni europene (OE)
Consider¼am piete nanciare f¼ar¼a frictiuni:
toti investitorii au acces la acelasi informatii din piat¼a;
nu exist¼a comisioane pentru tranzactii;
toate activele sunt perfect divizibile si lichide;
nu sunt limit¼ari în ceea ce priveste dimensiunea creditului;
dobânzile la depozite si credite sunt egale.
Descrierea modelului
DenitionPozitia short este pozitia vânz¼atorului activului nanciar, pozitia long este aceea acump¼ar¼atorului.
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 5 / 37
Pentru o optiune de call european¼a (OCE), cu momentul de maturitate T si pretul deexercitare K , functia utilitate (de plat¼a) la momentul de expirare al optiunii este
g (ST ) = (ST K )+ = maxfST K , 0g,
iar pentru o optiune de put europeana (OPE) functia de plat¼a este
h (ST ) = (K ST )+ =
0, ST K (optiune abandonat¼a),K ST , ST < K (optiune exercitat¼a),
Are loc formula de paritate put-call
g (ST ) h (ST ) = (ST K )+ (K ST )+ = ST K ,
adic¼a o OPE poate evaluat¼a prin intermediul unei OCE având acelasi activ suport,aceeasi dat¼a de maturitate si acelasi pret de exercitare.
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 6 / 37
Example (Model de piat¼a spot cu o perioad¼a)Consider¼am un stoc al c¼arui pret este 280$, iar peste 3 luni el poate deveni 320$ sau260$. Calcul¼am pretul rational pentru o OCE cu pretul de exercitare K = 280$, dac¼arata dobânzii la 3 luni este r = 5%.
Consider¼am c¼a probabilitatea subiectiv¼a (actual probability, real-world probability,statistical probability), individual¼a, de crestere a pretului 0.2, iar de sc¼adere 0.8 (coresp.bear market).Modelul matematic este:
Ω = fω1,ω2g,F = P (Ω) ,P : Ω ! R,P (ω1) = 0.2 = 1P (ω2) .
Dinamica pretului stocului este dat¼a de v.a.
ST : (Ω,F )! R+, ST (ω) =Su = 320, ω = ω1 ,
Sd = 260, ω = ω2 ,
iar functia utilitate este
X = CT (ω) = (ST (ω)K )+ =Cu = 40, ω = ω1 ,
Cd = 0, ω = ω2 ,
valoarea medie, actualizat, a utilit¼atii ind
EP
(1+ r)1 CT
= 0.2 40 (1.05)1 = 7.62 (depinde de alegerea lui P !)
RemarkTrebuie asigurat¼a unicitatea pretului activelor derivate, lucru ce se poate realiza prinutilizarea portofoliilor replicante.
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 7 / 37
ProblemTrebuie asigurat¼a unicitatea pretului activelor derivate, lucru ce se poate realizaprin utilizarea portofoliilor replicante .
Se construieste la momentul 0, de c¼atre investitorul ce se a¼a într-o pozitie short pe oOCE, un portofoliu ∅ = ∅0 = (α0, β0) 2 R2 ce simuleaz¼a valoarea la momentulterminal a functiei utilitate. Valoarea (wealth) sa este
V0 (∅) = α0S0 + β0 si VT (∅) = α0ST + β0 (1+ r) .
DenitionSpunem c¼a ∅ reproduce valoarea functiei de plat¼a la momentul T dac¼a VT (∅) = CT .
În cazul exemplului anterior,
VT (∅) (ω) =V u (∅) = α0Su + (1+ r) β0 = C
u , ω = ω1 ,
V d (∅) = α0Sd + (1+ r) β0 = Cd , ω = ω2 ,
adic¼a α0 = 2/3 si β0 = 165.08. Pentru ecare ECO vândut¼a se p¼astreaz¼a α0 unit¼atide activ suport (hedge ratio) si suma β0 în bonduri f¼ar¼a risc (al¼aturi de prima încasat¼a,se împrumut¼a cash si se achizitioneaz¼a actiuni).Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 8 / 37
DenitionDenim costul de achizitie (valoarea) pentru o OCE ca ind investitia initial¼a necesar¼apentru construirea portofoliului replicant.
În cazul de fat¼a
C0 = V0 (∅) = α0S0 + β0 = 21.59 (nu depinde de P !)
Sumarizând, tranzactiile si uxul de cash devin, din perspectiva pozitiei short (nu suntnecesare investitii suplimentare pentru constructia portofoliului replicant):
pentru t = 0 :
8<: prima pentru optiunea vândut¼a : C0α0 unit¼ati de activ cump¼arate : α0S0β0 unit¼ati de cash împrumutate : β0
pentru t = T :
8<: plata pentru optiunea de call exercitat¼a : CTα0 unit¼ati de activ suport vândute : α0STîmprumutul pl¼atit : rβ0 , unde r = 1+ r
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 9 / 37
DenitionDenim costul de achizitie (valoarea) pentru o OCE ca ind investitia initial¼a necesar¼apentru construirea portofoliului replicant.
În cazul de fat¼a
C0 = V0 (∅) = α0S0 + β0 = 21.59 (nu depinde de P !)
Sumarizând, tranzactiile si uxul de cash devin, din perspectiva pozitiei short (nu suntnecesare investitii suplimentare pentru constructia portofoliului replicant):
pentru t = 0 :
8<: prima pentru optiunea vândut¼a : C0α0 unit¼ati de activ cump¼arate : α0S0β0 unit¼ati de cash împrumutate : β0
pentru t = T :
8<: plata pentru optiunea de call exercitat¼a : CTα0 unit¼ati de activ suport vândute : α0STîmprumutul pl¼atit : rβ0 , unde r = 1+ r
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 9 / 37
M¼asura martingal¼a pentru o piat¼a spot
RemarkProbabilit¼atile subiective sunt inutile în stabilirea pretului derivatelor nanciare (exemplu:cazul bear/bull market).
SOLUTIA : utilizarea m¼asurilor martingale , care, intuitiv, modeleaz¼a probabilistic un joccorect (fair game). Trebuie determinat¼a o m¼asur¼a de probabilitate P P, pentru carepretul actualizat al stocului, denit de
S0 = S0 si ST = (1+ r)1 ST
devine o Pmartingal¼a, adic¼a
S0 = EP (ST ) .
În cazul modelului de piat¼a cu 2 st¼ari si 1 perioad¼a, ea este determinat¼a de
S0 = (1+ r)1pSu + (1 p) Sd
, p = P (ω1) = 1P (ω2) ,
de unde rezult¼aUniversitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 10 / 37
P (ω1) =(1+ r) S0 Sd
Su Sd si P (ω2) =Su (1+ r) S0
Su Sd .
Evident, C0 = C 0 :
C 0 = EP(1+ r)1 CT
= EP
(1+ r)1 (ST K )+
= (1+ r)1
pCu + (1 p)Cd
= 21.59 = C0 !
DenitionNumim economie cu risc neutru (risk-neutral economy) un model stochastic de piat¼ananciar¼a în care uctuatiile viitoare ale preturilor activelor suport sunt determinate dem¼asura martingal¼a P (risk-neutral probability).
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 11 / 37
Absenta arbitrajuluiConsider¼am, din nou,
Ω = fω1,ω2g, F0 = f?,Ωg, FT = 2Ω
si presupunem existenta a dou¼a active primare în modelul de piat¼a considerat:
un activ riscat (stoc), a c¼arui pret e modelat de un proces stochastic discret, strictpozitiv S = (St )t2f0,T g , adaptat ltr¼arii F = fF0,FT g, adic¼a v.a. St Ftm¼asurabil¼a (t 2 f0,Tgg):
S0 2 R si ST (ω) =Su , ω = ω1Sd , ω = ω2
cu Su > Sd .
un activ f¼ar¼a risc (risk-free bond), dat de: B0 = 1, BT = 1+ r , cu r 0.
Fie Φ spatiul liniar al portofoliilor ∅0 = (α0, β0) (stoc,bond) si vom urm¼ari stabilireapretului derivatelor nanciare în modelul de piat¼aM = (S ,B,Φ) .
DenitionÎntelegem prin derivat nanciar (contingent claim) cu momentul de maturitate T ovariabil¼a aleatoare X Ft m¼asurabil¼a. Spunem c¼a derivatul nanciar X este replicabil(attainable) dac¼a exist¼a un potofoliu replicant pentru acesta.
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 12 / 37
Absenta arbitrajuluiConsider¼am, din nou,
Ω = fω1,ω2g, F0 = f?,Ωg, FT = 2Ω
si presupunem existenta a dou¼a active primare în modelul de piat¼a considerat:
un activ riscat (stoc), a c¼arui pret e modelat de un proces stochastic discret, strictpozitiv S = (St )t2f0,T g , adaptat ltr¼arii F = fF0,FT g, adic¼a v.a. St Ftm¼asurabil¼a (t 2 f0,Tgg):
S0 2 R si ST (ω) =Su , ω = ω1Sd , ω = ω2
cu Su > Sd .
un activ f¼ar¼a risc (risk-free bond), dat de: B0 = 1, BT = 1+ r , cu r 0.Fie Φ spatiul liniar al portofoliilor ∅0 = (α0, β0) (stoc,bond) si vom urm¼ari stabilireapretului derivatelor nanciare în modelul de piat¼aM = (S ,B,Φ) .
DenitionÎntelegem prin derivat nanciar (contingent claim) cu momentul de maturitate T ovariabil¼a aleatoare X Ft m¼asurabil¼a. Spunem c¼a derivatul nanciar X este replicabil(attainable) dac¼a exist¼a un potofoliu replicant pentru acesta.
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 12 / 37
Similar cazului optiunilor europene
X (ω) =X u , ω = ω1 ,
X d , ω = ω2 ,
iar portofoliul replicant este determinat deα0Su + (1+ r) β0 = X
u
α0Sd + (1+ r) β0 = Xd ,
cu solutia unic¼a
α0 =X u X dSu Sd si β0 =
X dSu X uSd(1+ r)
Su Sd
,iar costul derivatului nanciar X în piataM este:
π0 (X ) := V0 (∅) = α0S0 + β0 =X u X dSu Sd S0 +
X dSu X uSd(1+ r)
Su Sd
. (1)
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 13 / 37
Denition
1 Spunem c¼a modelul de piat¼aM este f¼ar¼a arbitraj dac¼a nu exist¼a ∅ 2 Φ pentrucare
V0 (∅) = 0, VT (∅) 0 si PfVT (∅) > 0g >0. (2)
Un portofoliu pentru care (2) are loc se numeste oportunitate de arbitraj.
2 Se numeste oportunitate tare de arbitraj un portofoliu ∅ pentru care
V0 (∅) < 0 si VT (∅) 0.
3 Dac¼a modelul de piat¼aM este f¼ar¼a arbitraj, not¼am cu π0 (X ) pretul de arbitraj(pretul just) al cererii contingente X înM.
Optimalitatea replic¼arii - Replicarea este o metod¼a optimal¼a de hedging !
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 14 / 37
TheoremModelul de piat¼aM = (S ,B ,Φ) este f¼ar¼a arbitraj dac¼a si numai dac¼a pretul actualizatS admite o m¼asur¼a martingal¼a P P. În acest caz, pretul de arbitraj la momentul 0al oric¼arui derivat nanciar X (în particular, X = CT ), cu maturitatea T este dat deformula de evaluare în caz de risc-neutru (risk-neutral valuation formula):
π0 (X ) = EP(1+ r)1 X
= p
X u
1+ r+ (1 p)
X d
1+ r(3)
=(1+ r) S0 Sd
Su SdX u
1+ r+Su (1+ r) S0
Su SdX d
1+ r.
Proof.M¼asura martingal¼a P a lui S exist¼a d.n.d. p 2 (0, 1) .R.A. pp. c¼a nu exist¼a m¼asura martingal¼a P, de exemplu p 1. Construim ooportunitate de arbitraj în (S ,B ,Φ) . Avem
p 1 () (1+ r) S0 Su > Sd .
Portofoliul ∅ = (1,S0) (se împrumut¼a o unitate de stoc, se vinde si se depoziteaz¼abanii) satisface V0 (∅) = 0 si
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 15 / 37
Proof.
VT (∅) =Su + (1+ r) S0 0, ω = ω1 ,
Sd + (1+ r) S0 > 0, ω = ω2 ,
adic¼a ∅ este o oportunitate de arbitraj.Dac¼a p 0, avem Su > Sd (1+ r) S0, iar ∅ = (1,S0) (se împrumut¼a bani sise cump¼ar¼a o unitate de stoc) este oportunitate de arbitraj.Dac¼a p 2 (0, 1) , atunci 8∅ 2 Φ, conform cu (1) avem
pV u (∅) + (1 p)V d (∅) = 0, adic¼aV d (∅) < 0 pt. V u (∅) > 0
^V d (∅) > 0 pt. V u (∅) < 0
,
adic¼a nu exist¼a oportunit¼ati de arbitraj înM dac¼a p 2 (0, 1) .Pentru a demonstra (3), pentru ecare portofoliu replicant ∅ = (α0, β0) pentru X :
EP(1+ r)1 X
= EP
(1+ r)1 VT (∅)
= EP (α0S
T + β0)
= α0S0 + β0 = V0 (X ) = π0 (X ) .
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 16 / 37
Optiuni de tip put European (OPE)
În modelul de piat¼a discutat, plata la momentul T pentru aceast¼a optiune este:
PT (ω) = (K ST (ω))+ =
Pu = 0, ω = ω1 ,
Pd = 20, ω = ω2 .
Portofoliul replicant ∅ = (α0, β0) este dat de320α0 + 1.05β0 = 0260α0 + 1.05β0 = 20,
cu solutia ∅ = (1/3, 101.59) (se împrumut¼a α0 unit¼ati de activ, se intr¼a într-opozitie short-selling iar venitul, împreun¼a cu prima încasat¼a pentru optiunea put seintroduc într-un depozit pl¼atitor de dobând¼a). Pretul de arbitraj al OPE este
P0 = 1/3 280+ 101.59 = 8.25,
valoare ce se poate obtine si prin intermediul formulei (3), pentru X = PT :
P0 = EP(1+ r)1 PT
= 8.25.
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 17 / 37
PropositionÎntr-o piat¼a f¼ar¼a arbitraj are loc urm¼atoarea formul¼a de paritate put-call:
C0 P0 = S0 (1+ r)1 K (4)
Proof.Se aplic¼a formula (3), pentru X = ST K .
RemarkFormula (3) este independent¼a de alegerea modelului, trebuie doar s¼a aib¼a locproprietatea de aditivitate a pretului.
Formulele explicite pentru pretul OCE si OPE, într-un model de piat¼a cu 1 perioad¼asi 2 active, pentru care Su > K > Sd sunt:
C0 =(1+ r) S0 Sd
Su SdSu K1+ r
si P0 =Su (1+ r) S0
Su SdK Sd1+ r
.
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 18 / 37
PropositionÎntr-o piat¼a f¼ar¼a arbitraj are loc urm¼atoarea formul¼a de paritate put-call:
C0 P0 = S0 (1+ r)1 K (4)
Proof.Se aplic¼a formula (3), pentru X = ST K .
RemarkFormula (3) este independent¼a de alegerea modelului, trebuie doar s¼a aib¼a locproprietatea de aditivitate a pretului.
Formulele explicite pentru pretul OCE si OPE, într-un model de piat¼a cu 1 perioad¼asi 2 active, pentru care Su > K > Sd sunt:
C0 =(1+ r) S0 Sd
Su SdSu K1+ r
si P0 =Su (1+ r) S0
Su SdK Sd1+ r
.
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 18 / 37
Modelul binomial Cox-Ross-Rubinstein (CRR)
Consider¼am un model de piat¼a cu datele de tranzactionare 0, 1...T în care sunt prezentedou¼a active nanciare primare:
un activ neriscat (bond, cont de economii) , a c¼arui dinamic¼a este dat¼a de:
Bt := (1+ r)t = r t , t = 0,T
un activ cu risc (stoc), pretul s¼au având dinamica:
St+1St
2 fu, dg, 0 < d < u, t = 0,T , S0 > 0.
Presupunem c¼a are loc conditia de nedegenerare:
PfSt+1 = uSt j S0, ...,Stg >0 si PfSt+1 = dSt j S0, ...,Stg >0
Modelul probabilistic
Fie p 2 (0, 1) si consider¼am sirul de v.a. independente, identic repartizateξt : (Ω,F ,P)! R
P (ξt = u) = p = 1P (ξt = d) , 8t = 1,T .
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 19 / 37
Modelul binomial Cox-Ross-Rubinstein (CRR)
Consider¼am un model de piat¼a cu datele de tranzactionare 0, 1...T în care sunt prezentedou¼a active nanciare primare:
un activ neriscat (bond, cont de economii) , a c¼arui dinamic¼a este dat¼a de:
Bt := (1+ r)t = r t , t = 0,T
un activ cu risc (stoc), pretul s¼au având dinamica:
St+1St
2 fu, dg, 0 < d < u, t = 0,T , S0 > 0.
Presupunem c¼a are loc conditia de nedegenerare:
PfSt+1 = uSt j S0, ...,Stg >0 si PfSt+1 = dSt j S0, ...,Stg >0
Modelul probabilistic
Fie p 2 (0, 1) si consider¼am sirul de v.a. independente, identic repartizateξt : (Ω,F ,P)! R
P (ξt = u) = p = 1P (ξt = d) , 8t = 1,T .
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 19 / 37
Modelul binomial Cox-Ross-Rubinstein (CRR)
Consider¼am un model de piat¼a cu datele de tranzactionare 0, 1...T în care sunt prezentedou¼a active nanciare primare:
un activ neriscat (bond, cont de economii) , a c¼arui dinamic¼a este dat¼a de:
Bt := (1+ r)t = r t , t = 0,T
un activ cu risc (stoc), pretul s¼au având dinamica:
St+1St
2 fu, dg, 0 < d < u, t = 0,T , S0 > 0.
Presupunem c¼a are loc conditia de nedegenerare:
PfSt+1 = uSt j S0, ...,Stg >0 si PfSt+1 = dSt j S0, ...,Stg >0
Modelul probabilistic
Fie p 2 (0, 1) si consider¼am sirul de v.a. independente, identic repartizateξt : (Ω,F ,P)! R
P (ξt = u) = p = 1P (ξt = d) , 8t = 1,T .
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 19 / 37
Modelul binomial Cox-Ross-Rubinstein (CRR)
Consider¼am un model de piat¼a cu datele de tranzactionare 0, 1...T în care sunt prezentedou¼a active nanciare primare:
un activ neriscat (bond, cont de economii) , a c¼arui dinamic¼a este dat¼a de:
Bt := (1+ r)t = r t , t = 0,T
un activ cu risc (stoc), pretul s¼au având dinamica:
St+1St
2 fu, dg, 0 < d < u, t = 0,T , S0 > 0.
Presupunem c¼a are loc conditia de nedegenerare:
PfSt+1 = uSt j S0, ...,Stg >0 si PfSt+1 = dSt j S0, ...,Stg >0
Modelul probabilistic
Fie p 2 (0, 1) si consider¼am sirul de v.a. independente, identic repartizateξt : (Ω,F ,P)! R
P (ξt = u) = p = 1P (ξt = d) , 8t = 1,T .
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 19 / 37
Formal, pretul stocului se scrie
St = S0t
∏j=1
ξj , 8t = 0,T si
PfSt+1 = uSt j S0, ...,Stg = Pξt+1 = u
= p > 0
PfSt+1 = dSt j S0, ...,Stg = Pξt+1 = d
= 1 p > 0
Determinarea recursiv¼a a pretului optiunilorLa ecare moment t T e:
αt : num¼arul de actiuni de activ suport detinute pe [t, t + 1);βt : suma investit¼a în active f¼ar¼a risc pe [t, t + 1).
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 20 / 37
Determin¼am, prin inductie, pretul unei OCE, ajustând potofoliul dinamic
∅ =n
∅t = (αt , βt )t=0,T1ola începutul ec¼arei perioade. Functia utilitate
CT = (ST K )+ va avea un unic portofoliu replicant, dinamic, autonantant .Pe intervalul [T 1,T ] : construim ∅T1 =
αT1, βT1
pentru care
VT (∅) = αT1ST + βT1 r = CT = (ST K )+ ,
adic¼a (αT1uST1 + βT1 r = (uST1 K )
+
αT1dST1 + βT1 r = (dST1 K )+ ,
cu solutia explicit¼a
αT1 =(uST1 K )+ (dST1 K )+
ST1 (u d)
βT1 =u (dST1 K )+ d (uST1 K )+
r (u d) ,
iar valoarea portofoliului la începutul perioadei este
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 21 / 37
CT1 = VT1 (∅) = αT1ST1 + βT1
= r1p (uST1 K )+ (1 p) (dST1 K )+
,
unde am notat
p =r du d =
1+ r du d .
Remarkp este probabilitatea de crestere a pretului stocului pe intervalul [t, t + 1] , evaluat¼asub m¼asura martingal¼a P pentru procesul S = S/B. Vom presupune c¼ad < 1+ r < u (adic¼a p 2 (0, 1)), ceea ce va asigura absenta arbitrajului în piat¼a.
Pe intervalul [T 2,T 1] : construim portofoliul ∅T2 =αT2, βT2
ce
va replica pe CT1
αT2ST1 + βT2 r = CT1 = VT1 (∅) ,
subliniind pentru momentul T 1 proprietatea de autonantare a portofoliului dinamic(adic¼a nu sunt infuzii sau retrageri de capital la momentele intermediare):Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 22 / 37
αT2ST1 + βT2 r = αT1ST1 + βT1sau, echivalent: (
αT2uST2 + βT2 r = CuT1
αT2dST2 + βT2 r = CdT1
unde am notat8><>:CuT1 =
1r
pu2ST2 K
++ (1 p) (udST2 K )+
CdT1 =
1r
p (udST2 K )+ + (1 p)
d2ST2 K
+sistem ce are solutia
αT2 =CuT1 CdT1ST2 (u d)
si βT2 =uCdT1 dCuT1
r (u d) .
Avem, de asemenea, VT2 (∅) = CT2 .
RemarkCalculele anterioare sunt similare si în cazul unei ECC de tipul X = g (ST ) , pretul dearbitraj la ecare moment t = 0,T 1 ind notat cu πt (X ) .
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 23 / 37
Formule de evaluare a pretului optiunilorNotatii
Pentru 8m 2 N xat, e am : R+ ! N,
am (x) := inffj 2 N : xujdmj > Kg
si consider¼amad := am (dx) si au := am (ux) .
Se observ¼a c¼a, pentru 8x > 0, ad = au sau ad = au + 1. (tem¼a)De asemenea, not¼am
∆m (x , j) := C jmpj (1 p)mj
ujdmjx K
.
Formula de evaluare e pretului unei OCE, precum si continutul pe parcursul ec¼areiperioade a portofoliului dinamic replicant asociat sunt date de urm¼atorul rezultat.
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 24 / 37
Theorem1 Pentru 8m = 1,T pretul de arbitraj la momentul t = T m pentru o OCE estedat de formula de evaluare CRR:
CTm = STmm
∑j=a
C jm pj (1 p)mj K
rm
m
∑j=a
C jmpj (1 p)mj , (5)
unde a := am (STm) , p :=r du d , p := p
ur.
2 La momentul t = T m 1, strategia (unic¼a) replicant¼a∅Tm1 =
αTm1, βTm1
este dat¼a de:
αTm1 =m
∑j=ad
C jm pj (1 p)mj +δ∆m (uSTm1, au)STm1 (u d)
si
βTm1 = Krm+1
m
∑j=ad
C jmpj (1 p)mj
δd∆m (uSTm1, au)r (u d) ,
unde ad := am (dSTm1) , au := am (uSTm1) si δ = ad au .(D) Inductie dup¼a m.
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 25 / 37
Theorem1 Pentru 8m = 1,T pretul de arbitraj la momentul t = T m pentru o OCE estedat de formula de evaluare CRR:
CTm = STmm
∑j=a
C jm pj (1 p)mj K
rm
m
∑j=a
C jmpj (1 p)mj , (5)
unde a := am (STm) , p :=r du d , p := p
ur.
2 La momentul t = T m 1, strategia (unic¼a) replicant¼a∅Tm1 =
αTm1, βTm1
este dat¼a de:
αTm1 =m
∑j=ad
C jm pj (1 p)mj +δ∆m (uSTm1, au)STm1 (u d)
si
βTm1 = Krm+1
m
∑j=ad
C jmpj (1 p)mj
δd∆m (uSTm1, au)r (u d) ,
unde ad := am (dSTm1) , au := am (uSTm1) si δ = ad au .(D) Inductie dup¼a m.
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 25 / 37
Theorem1 Pentru 8m = 1,T pretul de arbitraj la momentul t = T m pentru o OCE estedat de formula de evaluare CRR:
CTm = STmm
∑j=a
C jm pj (1 p)mj K
rm
m
∑j=a
C jmpj (1 p)mj , (5)
unde a := am (STm) , p :=r du d , p := p
ur.
2 La momentul t = T m 1, strategia (unic¼a) replicant¼a∅Tm1 =
αTm1, βTm1
este dat¼a de:
αTm1 =m
∑j=ad
C jm pj (1 p)mj +δ∆m (uSTm1, au)STm1 (u d)
si
βTm1 = Krm+1
m
∑j=ad
C jmpj (1 p)mj
δd∆m (uSTm1, au)r (u d) ,
unde ad := am (dSTm1) , au := am (uSTm1) si δ = ad au .(D) Inductie dup¼a m.
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 25 / 37
Theorem1 Pentru 8m = 1,T pretul de arbitraj la momentul t = T m pentru o OCE estedat de formula de evaluare CRR:
CTm = STmm
∑j=a
C jm pj (1 p)mj K
rm
m
∑j=a
C jmpj (1 p)mj , (5)
unde a := am (STm) , p :=r du d , p := p
ur.
2 La momentul t = T m 1, strategia (unic¼a) replicant¼a∅Tm1 =
αTm1, βTm1
este dat¼a de:
αTm1 =m
∑j=ad
C jm pj (1 p)mj +δ∆m (uSTm1, au)STm1 (u d)
si
βTm1 = Krm+1
m
∑j=ad
C jmpj (1 p)mj
δd∆m (uSTm1, au)r (u d) ,
unde ad := am (dSTm1) , au := am (uSTm1) si δ = ad au .
(D) Inductie dup¼a m.
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 25 / 37
Theorem1 Pentru 8m = 1,T pretul de arbitraj la momentul t = T m pentru o OCE estedat de formula de evaluare CRR:
CTm = STmm
∑j=a
C jm pj (1 p)mj K
rm
m
∑j=a
C jmpj (1 p)mj , (5)
unde a := am (STm) , p :=r du d , p := p
ur.
2 La momentul t = T m 1, strategia (unic¼a) replicant¼a∅Tm1 =
αTm1, βTm1
este dat¼a de:
αTm1 =m
∑j=ad
C jm pj (1 p)mj +δ∆m (uSTm1, au)STm1 (u d)
si
βTm1 = Krm+1
m
∑j=ad
C jmpj (1 p)mj
δd∆m (uSTm1, au)r (u d) ,
unde ad := am (dSTm1) , au := am (uSTm1) si δ = ad au .(D) Inductie dup¼a m.
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 25 / 37
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 26 / 37
Un calcul imediat conduce la 1 p = d (1p)r si obtinem:
pj (1 p)mj = pj(1 p)mjujdmjrm
.
Formula (5) se rescrie sub forma echivalent¼a:
CTm =1rm
m
∑j=a
C jmpj(1 p)mj (ujdmjSTm K )
=1rm
m
∑j=0
C jmpj(1 p)mj (ujdmjSTm K )+.
Demonstratia se face prin inductie dup¼a m. Pentru m = 0 avem CT = (ST K )+.Presupunem acum c¼a CTm este pretul de arbitraj al unei OCE la momentul T m siconstruim portofoliul ∅Tm1 =
αTm1, βTm1
pentru perioada
[T m 1,T m) astfel încât, la momentul T m el s¼a replicheze valoarea CTma optiunii la nalul intervalului de timp:
αTm1STm + βTm1 r = CTm .
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 27 / 37
Aceasta conduce la sistemul liniar:(αTm1uSTm1 + βTm1 r = C
uTm
αTm1dSTm1 + βTm1 r = CdTm ,
unde am notat:
CuTm :=1rm
m
∑j=0
C jmpj(1 p)mj (uj+1dmjSTm1 K )+
=1rm
m
∑j=au
C jmpj(1 p)mj (uj+1dmjSTm1 K )
CdTm :=1rm
m
∑j=0
C jmpj(1 p)mj (ujdmj+1STm1 K )+
=1rm
m
∑j=ad
C jmpj(1 p)mj (ujdmj+1STm1 K )+.
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 28 / 37
Solutia explicit¼a a acestui sistem este, notând q = 1 p :
αTm1 =CuTm CdTmSTm1(u d)
=1
rm(u d)m
∑j=ad
C jmpjqmj (uj+1dmj ujdmj+1)
+δ∆m(uSTm1, au)STm1(u d)
=m
∑j=ad
C jm pj (1 p)mj + δ∆m(uSTm1, au)
STm1(u d).
βTm1 =uCdTm dCuTm
r(u d)
=1
rm+1(u d)m
∑j=ad
C jmpjqmj (dK uK ) δd∆m(uSTm1, au)
r(u d)
= Krm+1
m
∑j=ad
C jmpjqmj δd∆m(uSTm1, au)
r(u d) .
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 29 / 37
Valoarea portofoliului la momentul T m 1 devine, utilizând formulele deduse,
CTm1 = αTm1STm1 + βTm1
=1
rm+1
m+1
∑j=0
C jm+1pjqm+1j (ujdm+1jSTm1 K )+,
ceea ce încheie demonstratia teoremei.
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 30 / 37
Proprietatea martingal¼a a modelului CRR
Analiz¼am proprietatea de ne-arbitraj în modelul CRR construind Ω ca spatiul canonic allui S . Pentru T 2 N xat, e spatiul de probabilitate nit
Ω :=
ω = (a1, ..., aT ) : aj 2 f0, 1g, F := P (Ω)
si consider¼am multimea P := fP : (Ω,F )! R j P este m¼asur¼a de probabilitateg ,elementele sale ind denite astfel:
P (ω) := p∑Tj=1 aj (1 p)T∑T
j=1 aj , ω 2 Ω si p 2 (0, 1) xat
Este clar c¼a 8P 2 P este unic determinat¼a de p 2 (0, 1) .Pentru 8j = 1,T , e evenimentele independente, de probabilitate p :
Aj := fω 2 Ω : aj = 1g
Denim variabilele aleatoare independente, identic repartizate ξj , j = 1,T
ξj (ω) := uaj + d1 aj
, 8ω 2 Ω
Repartitia lor este: P(ξj = u) = p = 1P(ξj = d).Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 31 / 37
Ar¼at¼am c¼a unica m¼asur¼a martingal¼a pentru S = S/B apartine multimii P .Revenind la modelul CRR, St : (Ω,F ,P)! R, t = 0,T este dat¼a de:
St+1 = ξt+1St , 8t < T , cu S0 > 0.
Consider¼am pretul actualizat al stocului
St :=StBt=Str t, 8t T
si e σalgebra generat¼a de familia de variabile aleatoare Su , u t, adic¼aσ (S0, ...,St ) . În interpretare nanciar¼a, ea reprezint¼a informatiile din piat¼a accesibileinvestitorilor la momentul t.Consider¼am acum ltrarea natural¼a a lui S :
FSt := σ (S0, ...,St ) = σ (S0 , ...,S0 ) = FS
t , 8t T .
DenitionO m¼asur¼a de probabilitate P P se numeste m¼asur¼a martingal¼a pentru pretulactualizat al stocului dac¼a
EPSt+1 jFSt
= St , 8t < T 1. (6)
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 32 / 37
TheoremExist¼a o m¼asur¼a martingal¼a P pentru S dac¼a si numai dac¼a d < 1+ r < u. În acestcaz, m¼asura martingal¼a P este unicul element din P , care corespunde lui
p = p =1+ r du d .
Proof.Conditia (6) se rescrie
EPr(t+1)ξt+1St jFSt
= rtSt , 8t < T 1, adic¼a
r(t+1)StEP
ξt+1 jFSt= rtSt , 8t < T 1,
ceea ce conduce la
EP
ξt+1 jFSt= 1+ r = EP
ξt+1
,
adic¼a v.a ξt+1 este independent¼a de FSt sub probabilitatea P, deci este independent¼ade ξ1, ..., ξt . Simiar, se obtine imediat c¼a v.a. ξ1, ..., ξT sunt independente (subm¼asura de probabilitate P).Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 33 / 37
Proof.Dar
8t = 1,T : EP (ξt ) = uPfξt = ug+ d (1Pfξt = ug) = 1+ r ,
adic¼ad + (u d)Pfξt = ug = 1+ r ,
cu solutia
Pfξt = ug = p =1+ r du d , 8t = 1,T .
În plus, P 2 P siP P () d < 1+ r < u.
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 34 / 37
CorollaryModelul binomial CRR în piata nanciar¼aM = (S ,B,Φ) este f¼ar¼a arbitraj dac¼a sinumai dac¼a d < 1+ r < u.
Proof.Similar¼a cazului cu o perioad¼a, prin metoda R.A., se construiesc oportunit¼ati de arbitrajpe ecare perioad¼a.
RemarkFormula de evaluare a pretului în modelul CRR se poate obtine si din mediaconditionat¼a, sub P, a pl¼atii actualizate a optiunii.
TheoremConsider¼am o OCE, cu data de maturitate T si pretul de exercitare K , având ca activsuport un stoc al c¼arui pret S urmeaz¼a modelul binomial CRR. Atunci, 8m = 0,T ,pretul de arbitraj CTm denit de (5) coincide cu media conditionat¼a
C Tm = EPrm (ST K )+ jFSTm
. (7)
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 35 / 37
Proof.Calcul¼am formula (7) explicit. Avem
ST = STmξTm1...ξT =: STmηm , unde
STm este o v.a. FSTm m¼asurabil¼a si ηm este o v.a. independent¼a de FSTm . Prinurmare, formula (7) devine
C Tm = EPrm (STmηm K )
+ jFSTm= EP
rm (STmηm K )
+.
Variabilele aleatoare ξTm1, ..., ξT sunt independente si
P
ξj = u= p = 1P
ξj = d
,
ceea ce conduce la
C Tm = rm
m
∑j=0
C jmpj (1 p)mj
STmu
jdmj K+.
Folosind notatiile p = pursi 1 p = (1 p) d
r, obtinem c¼a
Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 36 / 37
Proof.
C Tm =m
∑j=a
C jmSTm p
j (1 p)mj Krmpj (1 p)mj,
unde a := am (STm) = inffj 2 N : STmujdmj > Kg.
Formula (7) poate rescris¼a
C t = BtEPB1T (ST K )+ jFSt
= BtEP
B1T X jFSt
,
unde X = (ST K )+ , dar poate înlocuit¼a cu orice derivat nanciar european.
Remark
Formula de paritate put-call este: Ct Pt = St Kr(Tt), 8t T .
Într-adev¼ar,
πt (CT PT ) = EPr(Tt) (ST K ) jFSt
, adic¼a
Ct Pt = EPST r
t jFStKr(Tt),
ceea ce conduce la Ct Pt = St Kr(Tt).Universitatea "Al. I. Cuza" (SMF-LB) Derivate nanciare. Optimalitatea portofoliilor replicante 37 / 37
Top Related