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Capítulo 6:
DESVIACIÓNESTÁNDAR
INTRODUCCIÓN
Como podemos observar, en el mundo de hoy necesitamos conocer condetalle un conjunto de datos, no basta con conocer solo las medidas detendencia central, sino que necesitamos conocer también la desviación querepresentan los datos en su distribución respecto de la media aritmética dedicha distribución, con objeto de tener una visión de los mismos másacorde con la realidad a la hora de describirlos e interpretarlos para la tomade decisiones de la empresa
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6.1 CONCEPTO:
La desviación estándar o desviación típica (σ) es una medida de centralización odispersión para variables de razón (ratio o cociente) y de intervalo, de gran utilidad en laestadística descriptiva.Se define como la raíz cuadrada de la varianza. Junto con este valor, la desviación típicaes una medida (cuadrática) que informa de la media de distancias que tienen los datosrespecto de su media aritmética, expresada en las mismas unidades que la variable.Se caracteriza por ser el estadígrafo de mayor uso en la actualidad.Se obtiene mediante la aplicación de la siguiente fórmula:
S = ni (Yi - X )²
N
SERIES UNIVERSOS MUESTRAS
SIMPLES S2 =S yi x
N
( ) 2
TS Yi x
N2
1
( ) )
S2 =S Yi Syi
N
( ) ( )2 2 T2 =S Yi SYI
N
N
{ ( ) }
2
1
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AGRUPADA
OS2 =
S Yi x
N
( ) 2T2 =
Sni Yi x
N
( )
2
1
CLASIFICADA S2 =SniYi SniYi
N
N
2 2( )T2 =
niYi SniYiN
N
2 2
1
( )
Para comprender el concepto de las medidas de distribución vamos a suponer que elgerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto varían los pesos de losempaques (en gramos), de uno de sus productos; por lo que opta por seleccionar al azarcinco unidades de ellos para pesarlos. Los productos tienen los siguientes pesos (490,500, 510, 515 y 520) gramos respectivamente.
Por lo que su media es:
La varianza sería:
Por lo tanto la desviación estándar sería:
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Con lo que concluiríamos que el peso promedio de los empaques es de 507 gramos,con una tendencia a variar por debajo o por encima de dicho peso en 12 gramos. Estainformación le permite al gerente determinar cuanto es el promedio de perdidas causadopor el exceso de peso en los empaques y le da las bases para tomar los correctivosnecesarios en el proceso de empacado.
Ejercicio 1: Determinar la Desviación Estándar del siguiente cuadro de distribución:
L1 - L2 YI nI Yi ² NiYi² niYi (Yi – X)² /Yi –x/ ni(Yi-x)²
45 - 55
55 - 65
65 - 75
75 - 85
85 - 95
50
60
70
80
90
4
12
20
10
4
2500
3600
4900
6400
8100
10000
43200
98000
64000
32400
200
720
1400
800
360
384.16
92.16
0.16
108.16
416.16
-196
-9.6
0.4
10.4
20.4
1536.64
1105.92
3.2
108.16
416.16
N =50niYi²=
247600
niYi=
3480
ni(Yi-x)²=
5392
S = ni (Yi - X )²
N
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S = 5392 S = 10.3846039950
S = niYi² - (niYi )²
N
S = 247 600 – (3480/50)² S = 10.3846039950
Nota:
La desviación Standard o desviación típica se aplicasolo para datos agrupados.
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Ejercicio 2 : Calcular la desviación standard del siguiente cuadro de distribución de
frecuencia donde son desconocidas las 3ª y la 5ª clase y la media aritmética es 66.3
L1 - L2 Y I n I NiYi (Yi-x)² Yi - x ni(Yi-x)²
45 - 55
55 - 65
65 - 75
75 - 85
85 - 95
61
64
67
70
73
5
7
10
6
2
305
448
670
420
146
28.09
5.29
0.49
13.69
44.89
-5.3
-2.3
0.7
3.7
6.7
140.45
37.03
4.9
82.14
89.78
N =
30
niYi=
1989
ni(Yi-x)²=
354.3
x = 66,3 305 + 448 + 67X + 420 + 73Y = 1989
x = niYi/N 67x + 73y = 1989 - 1173
67.x + 73y = 816 …….(a)
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66.3 x 30 = niYi = 5 + 7 + x + 6 + y = 30
x + y = 30 -18
x + y = 12 ……. (b)
x + 12 - y
x = 12 - 2 N -10
(a) en (b)
67 (12 - 4) + 73y = 816
804 - 67 + 73y = 816
6y = 616 - 804
6y = 12
y =12/6
y = 2
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6.2 CORRECCIÓN SHEPPARD PARA LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR (Sc)
Cuando en una serie clasificada los límites de clase comprenden varias unidades se
introducen un error al agrupar los datos en clase (llamado error de agrupamiento) ,
debido a que los puntos medios o marcas no coinciden con los respectivos promedios
de los datos agrupados en cada clase .
Los puntos medios o marcas de clase tienen mayor dispersión que los promedios
lo que da lugar a un error en la varianza en exceso , este error se corrige mediante la
corrección Sheppard con lo cual se obtiene la varianza ajustada o corregida para lo cual
a la varianza calculada se le resta la constante i² / 12
Se determina mediante la aplicación de la siguiente fórmula:
Sc = S2 - i²12
Ejercicio 1: Calcular la varianza ajustada estándar corregida del ejercicio anterior .
Sc = S² - i ² / 12
Sc = 107.84 - 10² /12
Sc = 99.50666 Sc = 9.975302
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Ejercicio 2: Calcular la corrección sheppard del siguiente cuadro de distribución
L1 - L2 YI nI Yi ² NiYi² niYi (Yi – X)² /Yi –x/ ni(Yi-x)²
45 - 55
55 - 65
65 - 75
75 - 85
85 - 95
50
60
70
80
90
4
12
20
10
4
2500
3600
4900
6400
8100
10000
43200
98000
64000
32400
200
720
1400
800
360
384.16
92.16
0.16
108.16
416.16
-196
-9.6
0.4
10.4
20.4
1536.64
1105.92
3.2
108.16
416.16
N =50niYi²=
247600
niYi=
3480
ni(Yi-x)² =
5392
Sc = S² - i²12
Sc= 107.84 - 10 /12 Sc= 99.50666 Sc = 9.975302
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6.3 SIGNIFICADO E INTERPRETACION DE LA DESVIACION
ESTANDAR Y LA CURVA NORMAL
La desviación estándar puede ser interpretada como una medida de incertidumbre. Ladesviación estándar de un grupo repetido de medidas nos da la precisión de éstas.Cuando se va a determinar si un grupo de medidas está de acuerdo con el modeloteórico, la desviación estándar de esas medidas es de vital importancia: si la media delas medidas está demasiado alejada de la predicción (con la distancia medida endesviaciones estándar), entonces consideramos que las medidas contradicen la teoría.Esto es coherente, ya que las mediciones caen fuera del rango de valores en el cualsería razonable esperar que ocurrieran si el modelo teórico fuera correcto. La desviaciónestándar es uno de tres parámetros de ubicación central; muestra la agrupación de losdatos alrededor de un valor central (la media o promedio).
34.13% 34.13%
13.59% 13.59%
2.15% 2.15%
-3S - 2S -1S X 1S 2S 3S68.26%
95.45%99.74%
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La desviación estándar ayuda a describir la curva de la distribución normal o campanade Gauss mediante la siguiente manera:
1.- Una desviación estándar a cada lado de la media incluye un área del 68.26% delárea total es decir aproximadamente los 2/3 de los casos.
2.- El área comprendida entre una y dos desviaciones estándar a ambos lados de la
media representa el 13.59% del área total. El área comprendida entre 2 desviaciones
estándar a ambos lados de la media es igual a 95.45% del área total.
3.- Entre la 2º y 3º desviación standard (o 2 y 3 desviaciones standard) resulta otra
porción del área igual a 2.15% del área total. El área comprendida entre 3 desviaciones
standard a cada lado de la media es igual al 99.74% del área total.
X = 1S = 68.26%
X = 2S = 94.75 %
X = 3S = 99.74 %
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Capítulo 7:
MEDIDAS CONJUNTAS
IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN::
En estadística el coeficiente de variación (de Pearson), es una medida dedispersión útil para comparar dispersiones a escalas distintas pues es unamedida invariante ante cambios de escala. Sirve para comparar variablesque están a distintas escalas pero que están correlacionadasestadísticamente y sustantivamente con un factor en común.También estamos desarrollando, para el incremento de conocimientos, eltema de kurtosis el cual se ha usado en el monitoreo de máquinas ,especialmente en compresores recíprocos,pero no se ha hecho muycomún.
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7.1 CONCEPTO
Es la relación que se puede establecer entre las medidas de centralización (RMS, G, X,H, Mo, Md, Q, D.P.) y las medidas de dispersión (R, DQ, D.M., S2, S) para obtenercoeficientes que nos permite medir: el coeficiente de variación, la variable normalizada,el sesgo, la Kurtosis y los momentos.
7.2 COEFICIENTE DE VARIACIÓN (V)
En estadística el coeficiente de variación (de Pearson), es una medida de dispersión útilpara comparar dispersiones a escalas distintas pues es una medida invariante antecambios de escala. Sirve para comparar variables que están a distintas escalas peroque están correlacionadas estadísticamente y sustantivamente con un factor en común.Es decir, ambas variables tienen una relación causal con ese factor. Su fórmula expresala desviación estándar como porcentaje de la media aritmética, mostrando una mejorinterpretación porcentual del grado de variabilidad que la desviación típica o estándar.
PROPIEDADES Y APLICACIONES:
El coeficiente de variación es típicamente menor que uno.
Para su mejor interpretación se lo expresa como porcentaje.
Depende de la desviación típica y en mayor medida de la media aritmética, dadoque cuando esta es 0 o muy próxima a este valor C.V. pierde significado, ya quepuede dar valores muy grandes, que no necesariamente implican dispersión dedatos.
El coeficiente de variación es común en varios campos de la probabilidadaplicada.
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7.1 CONCEPTO
Es la relación que se puede establecer entre las medidas de centralización (RMS, G, X,H, Mo, Md, Q, D.P.) y las medidas de dispersión (R, DQ, D.M., S2, S) para obtenercoeficientes que nos permite medir: el coeficiente de variación, la variable normalizada,el sesgo, la Kurtosis y los momentos.
7.2 COEFICIENTE DE VARIACIÓN (V)
En estadística el coeficiente de variación (de Pearson), es una medida de dispersión útilpara comparar dispersiones a escalas distintas pues es una medida invariante antecambios de escala. Sirve para comparar variables que están a distintas escalas peroque están correlacionadas estadísticamente y sustantivamente con un factor en común.Es decir, ambas variables tienen una relación causal con ese factor. Su fórmula expresala desviación estándar como porcentaje de la media aritmética, mostrando una mejorinterpretación porcentual del grado de variabilidad que la desviación típica o estándar.
PROPIEDADES Y APLICACIONES:
El coeficiente de variación es típicamente menor que uno.
Para su mejor interpretación se lo expresa como porcentaje.
Depende de la desviación típica y en mayor medida de la media aritmética, dadoque cuando esta es 0 o muy próxima a este valor C.V. pierde significado, ya quepuede dar valores muy grandes, que no necesariamente implican dispersión dedatos.
El coeficiente de variación es común en varios campos de la probabilidadaplicada.
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7.1 CONCEPTO
Es la relación que se puede establecer entre las medidas de centralización (RMS, G, X,H, Mo, Md, Q, D.P.) y las medidas de dispersión (R, DQ, D.M., S2, S) para obtenercoeficientes que nos permite medir: el coeficiente de variación, la variable normalizada,el sesgo, la Kurtosis y los momentos.
7.2 COEFICIENTE DE VARIACIÓN (V)
En estadística el coeficiente de variación (de Pearson), es una medida de dispersión útilpara comparar dispersiones a escalas distintas pues es una medida invariante antecambios de escala. Sirve para comparar variables que están a distintas escalas peroque están correlacionadas estadísticamente y sustantivamente con un factor en común.Es decir, ambas variables tienen una relación causal con ese factor. Su fórmula expresala desviación estándar como porcentaje de la media aritmética, mostrando una mejorinterpretación porcentual del grado de variabilidad que la desviación típica o estándar.
PROPIEDADES Y APLICACIONES:
El coeficiente de variación es típicamente menor que uno.
Para su mejor interpretación se lo expresa como porcentaje.
Depende de la desviación típica y en mayor medida de la media aritmética, dadoque cuando esta es 0 o muy próxima a este valor C.V. pierde significado, ya quepuede dar valores muy grandes, que no necesariamente implican dispersión dedatos.
El coeficiente de variación es común en varios campos de la probabilidadaplicada.
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Cuando es preciso comparar las distribuciones de varias series de datos estadísticoses necesario recurrir, el coeficiente de dispersión relativa que se define como el cocienteque hay entre la dispersión absoluta y el promedio.
Si consideramos que la dispersión absoluta es la desviación standard y el promedio esla media aritmética, a la dispersión relativa resultante se le conoce con el nombre decoeficiente de variación.
EEll ccooeeffiicciieennttee ddee vvaarriiaacciióónn ((vv));; se expresa en términos de porcentaje y representa un
número de abstracto y depende de las unidades que se utilicen.
VVeennttaajjaa:: La ventaja que ofrece este coeficiente es que permite comparar 2
distribuciones que no están expresadas en las mismas unidades.
DDeessvveennttaajjaa:: Deja de ser útil cuando la media tiende a cero.
Coef. Disp. Relativa = Dispersión absoluta = VPromedio
V = S * 100%
X
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Ejemplo: Determinar el coeficiente de variación del siguiente cuadro de distribución:
L1 - L2 YI nI Yi ² NiYi² niYi (Yi – X)² /Yi –x/ ni(Yi-x)²
45 - 55
55 - 65
65 - 75
75 - 85
85 - 95
50
60
70
80
90
4
12
20
10
4
2500
3600
4900
6400
8100
10000
43200
98000
64000
32400
200
720
1400
800
360
384.16
92.16
0.16
108.16
416.16
-196
-9.6
0.4
10.4
20.4
1536.64
1105.92
3.2
108.16
416.16
N =50niYi²=
247600
niYi=
3480
ni(Yi-x)² =
5392
V = 10.38460399 * 100% V = 14.92040803%69.6
V = S * 100%
X
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_
Z = Yi – X
S
77..33 VVAARRIIAABBLLEE NNOORRMMAALLIIZZAADDAA OO RREEFFEERREENNCCIIAA TTIIPPIIFFIICCAADDAASS ((ZZ))
Las variables normalizada es aquella variable que mide las desvías de los puntosmedios con respecto a su medio aritmético en unidades de desviación standard.
Las desviaciones de la medida vienen dadas en unidades de la desviación standard por
lo que se dice también que están expresadas en unidades tipificadas o referencias
tipificadas, variables que son de gran utilidad para la comparación de distribución.
Ejercicio 1:
1.-En un examen final de Matemática Finanaciera la media aritmética fue 15 y ladesviación standard fue 5 y en el examen de Estadística fue 13 y la desviación standardfue 4. La alumna Samuel León obtuvo 17 y 16 respectivamente de notas finales enambas asignaturas ¿En qué asignatura obtuvo un puesto relativamente más alto?
_
Matemática X =15 Nota: 17
Financiera S = 5 Yi = 17
_
Z = Yi - X Z = 17-15 Z = 0.40
S 5
_
Z = | Yi – X |S S
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Nota:16 Yi = 16
Estadística X = 13
S = 4 Z = Yi - X = 16 - 13 Z = 0.75
S 4
Luego ha obtenido una desviación standard de 0.40 y 0.75 por encima de la media ,siendo por lo tanto su puntuación superior en estadística .
Ejercicio 2: Hallar el área bajo la curva normal de los siguientes casos:
a) Z = 0; Z = 1.2
0.3849 Área bajo la curva normal
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.3849
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.3849
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b) Z = -0.68; Z = 0Por simetría -0.68 = 0.68
0.2518 Área bajo la curva normal
c) Z = -0.46 ; Z = 2.21Por simetría Z = -0.46 = Z = 0.46Z = 2.21 = 0.4 Z = 0.46 = 0.17720.1772 + 0.4864 = 0.6636 Área bajo la curva normal
0.2518
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.2518
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.1772
0.4864
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.1772
0.4864
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d) Z = 0.81 ; Z = 1.94Z = 0.81 = 0.2910Z = 1.94 = 0.4738
e) Suponiendo que el ingreso mensual promedio de 10000 trabajadores es $ 500 y ladesviación Standard es $ 100 :Si la distribución es normal. ¿Cuál es el número de trabajadores que tienen un ingresosmensual :1.-Superior a $ 5002.-Superior a $ 500 pero inferior a $ 6003.- Inferior a $ 600
_Z = Yi – X = 500 – 500 = 0 = 0
S 100 100
_Z = Yi – X = 600 – 500 = 100 = 1
S 100 100
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.1828
0.2910
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.1828
0.2910
Z = 1.94 - Z = 0.91
0.4738 - 0.2910
0.1828 Área bajo la curva normal
1.- Inferior a $ 50010000(0.5) = 5000
2.- Superior a $ 500 pero inferior a $60010000 (0.3413) =3413
3.- Superior a $ 600
10000 (0.1587) =1587
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f) Suponiendo que el ingreso mensual promedio de 10000 trabajadores es $ 400 y ladesviación Standard es $ 100 :Si la distribución es normal. ¿Cuál es el número de trabajadores que tienen un ingresosmensual :
1.-Superior a $ 250 pero inferior a $ 5002.- Inferior a $ 250
_Z = Yi – X = 250 – 400 =-150 = -1.5
S 100 100
A (-1.5) = 0.4332
_Z = Yi – X = 500 – 400 = 100 = 1
S 100 100
A (1) =0.3413
0.3413
-3 -2 -1 0 1 2 3200 300 400 500 600 700 800
0.5 0.1587
0.5 -0.34130.5 -0.34130.3413
-3 -2 -1 0 1 2 3200 300 400 500 600 700 800
0.5 0.1587
0.5 -0.34130.5 -0.3413
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AREA ENTRE $250 Y $500 = A (-1.5) + A (1)0.4332 + 0.3413 = 0.7745AREA INFERIOR A $250 = A (1) - A(1.5)0.5 – 0.4332 = 0.668
0.7745
-3 -2 -1 0 1 2 3100 200 300 400 500 600 700
0.6668
0.7745
-3 -2 -1 0 1 2 3100 200 300 400 500 600 700
0.6668
1.- Inferior a $ 250
10000(0.7745)
Inferior a $ 250 = 5000
2.- Superior a $ 500 pero inferior a $600
10000 (0.6668) =6668
250
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Sxy =
77..55 CCOOVVAARRIIAANNZZAA ((SSXXYY))
Esta medida conjunta es utilizada para determinar la relación que existe entre variablesque han sido medidas en diferentes unidades.
Ejercicio 1: La relación que existe la inversión de publicidad de la inversión delmedicamento y la venta del mismo, la producción de papa por hectáreas (arrobas) y lalluvia (milímetros).
Ingreso per cápita y la tabla de analfabetismo.
250
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Sxy =
77..55 CCOOVVAARRIIAANNZZAA ((SSXXYY))
Esta medida conjunta es utilizada para determinar la relación que existe entre variablesque han sido medidas en diferentes unidades.
Ejercicio 1: La relación que existe la inversión de publicidad de la inversión delmedicamento y la venta del mismo, la producción de papa por hectáreas (arrobas) y lalluvia (milímetros).
Ingreso per cápita y la tabla de analfabetismo.
1
)")("( "
N
xXiyYi
250
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Sxy =
77..55 CCOOVVAARRIIAANNZZAA ((SSXXYY))
Esta medida conjunta es utilizada para determinar la relación que existe entre variablesque han sido medidas en diferentes unidades.
Ejercicio 1: La relación que existe la inversión de publicidad de la inversión delmedicamento y la venta del mismo, la producción de papa por hectáreas (arrobas) y lalluvia (milímetros).
Ingreso per cápita y la tabla de analfabetismo.
1
)")("( "
N
xXiyYi
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77..66 RREELLAACCIIOONNEESS EEMMPPÍÍRRIICCAASS EENNTTRREE LLAASS MMEEDDIIDDAASS DDEE DDIISSPPEERRSSIIÓÓNN
Para distribuciones moderadamente aritméticas se pueden obtener las siguientesrelaciones empíricas entre las medidas de dispersión.
1. La desviación quartil es aproximadamente iguala 2/3 de la desviación estándar.
2. La desviación media es igual a las 4/5 de la desviación estándar.
D.Q = 2 (S)3
D.M. = 4 (S)
5
D.M. = 4 (S)
5
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3. La desviación quartil es aproximadamente iguala 2/3 de la desviación estándar.
4. La desviación media es igual a las 4/5 de la desviación estándar.
D.Q = 2 (S)3
D.M. = 4 (S)
5
252
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3. La desviación quartil es aproximadamente iguala 2/3 de la desviación estándar.
4. La desviación media es igual a las 4/5 de la desviación estándar.
D.Q = 2 (S)3
D.M. = 4 (S)
5
252
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3. La desviación quartil es aproximadamente iguala 2/3 de la desviación estándar.
4. La desviación media es igual a las 4/5 de la desviación estándar.
D.Q = 2 (S)3
D.M. = 4 (S)
5
253
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77..77 SSEESSGGOO UU OOBBLLIICCUUIIDDAADD,, KKUURRTTOOSSIISS YY MMOOMMEENNTTOOSS
7.7.1.- SESGO U OBLICUIDADUna distribución se considera sesgada si la media, la mediana y la moda no tienen
el mismo valor.
1. X > Md > Mo = Sesgo positivo
2. X < Md < Mo = Sesgo negativo
XMdMo
a) Sesgo Positivo o Sesgado a la derecha
+
Mo Md X
X >Md > Mo
X = Md = Mo
254
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b) Sesgo Negativo o Sesgado a la izquierda
-
X Md Mo
SESGO
X < Md < Mo
+ -
255
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77..77..22..-- MMEEDDIIDDAASS DDEE SSEESSGGOO
aa..-- LLOOSS CCOOEEFFIICCIIEENNTTEESS DDEE SSEESSGGOO DDEE KKAARRLL PPEEAARRSSOONN..-- Ha logrado relacionar
medidas de dispersión y centralización y ha obtenido:
- PRIMER COEFICIENTE DE SESGO DE KARL PEARSON :
-SEGUNDO COEFICIENTE DE SESGO DE KARL PEARTSON:
bb..-- CCOOEEFFIICCIIEENNTTEE DDEE SSEESSGGOO CCUUAARRTTIILLIICCOO YY PPEERRCCEENNTTÍÍLLIICCOO
- COEFICIENTE DE SESGO CUARTÍLICO:
_
2° CSkp = 3 ( X- Md )S
_1º CSkp = X – Mo
S
CSq = (Q3 - Q2) - (Q2 - Q1) = Q3 - 2 Q2 + Q1
Q3 - Q 1 Q3 - Q1
256
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- COEFICIENTE DE SESGO PERCENTÍLICO
7.7.3 CCOOEEFFIICCIIEENNTTEESS DDEE SSEESSGGOO EENN FFUUNNCCIIÓÓNN AA LLOOSS MMOOMMEENNTTOOSS::
Otra medida de sesgo viene dado por el momento del 3er orden con respecto a lax denominado también medida relativa de 3 órdenes:
CSp = (P90 - P50) - (P50 - P10) = P90 - 2P50 + P10
P90 - P10 P90 - P10
Cs am
S
m
S
m
m
m
mm 33
3
3
2 3
3
22
3
2
3 2( ) ( )
/
257
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77..88 KKUURRTTOOSSIISS
Es el grado de apuntamiento o echamiento de una distribución relacionado
comúnmente con la curva normal, campana de Gauss o distribución normal.
7.8.1 CLASES DE KURTOSIS
1. LEPTOCÚRTICA: Es aquello que presenta un apuntamiento relativamente altoliteralmente Leptocúrtica significa curvatura puntiagudo.
2. MESOCÚRTICA: Es aquello que no es ni puntiagudo ni achatado y coincidegeneralmente con la curva normal.
3. PLATICÚRTICA: Es aquello que se presenta un achatamiento en la parte superior .
MESOCÚRTICA
LEPTOCÚRTICA
PLATICÚRTICA
258
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77..88..22 MMEEDDIIDDAASS DDEE KKUURRTTOOSSIISS
1. COEFICIENTE DE KURTOSIS PERCENTÍLICO: Este coeficiente relaciona ladesviación quartil con el espacio interpercentílico obteniéndose el siguientecoeficiente.
2. COEFICIENTE DE KURTOSIS EN FUNCIÓN DE LOS MOMENTOS: Está dado poruna medida relativa de cuarto orden con respecto a la media y se determina mediante lasiguiente relación.
CKp = D. Q. = 1/2 Q3 - Q1 = Q3 - Q1
P90 - P10 P90 - P10 2(P90 - P10)
CKm = a4 = m4 = m4 = m4 = m4
S4 ( S2 )4 ( m2)4 m22
CS Om
m
m
mm 44
24
4
32
( )
259
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77..99 MMOOMMEENNTTOOSS ((MMoo))
Tanto el sesgo como la Kurtasis se miden mejor utilizando los momentos que emplea el
valor exacto de cada observación. Los momentos son 4 y a su vez pueden ser con
respecto al origen y con respecto a la media. Se considera que los momentos son una
síntesis de 4 capítulos anteriores al establecer las siguientes relaciones.
_m1 = X Medidas de centralización o promedio
m2 =S² Medida de dispersión.
m3 = Sesgo
m4 = Kurtosis
Fórmula General para los momentos:
rr
iN
niuMr
260
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_
m1 = ( ni u/n) i = X
m2 = ( ni n2 /N) i2 = S2
m3 = ( ni n3 /N) i3 = Sesgo
m4 = ( ni n4 /N) i4 = Kurtosis
COEFICIENTE DE KURTOSIS EN FUNCIÓN DE LOS MOMENTOS:
Esta dado por una medida relativa de cuarto orden .
CKm = A4 = m4 / 54 = m4 / ( 5² )4 = m4 / ( m² )4 = m4 /m²2
Mniu
Ni1
M
niu
Ni2
22
Mniu
Ni3
33
M
niu
Ni4
44
261
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77..99..11 CCOOMMPPRROOBBAACCIIÓÓNN CCHHAARRLLIIEERR
La comprobación Charlier en el cálculo de los momentos por el método clave hace usode las propiedades de las identidades para la comprobación para el cálculo de medidas.
ni ( u + 1) = niu + N
ni ( u + 1)² = niu 2+ 3 niu 2 + niu + N
ni ( u + 1)3 = niu 2+ 3 niu 2 + niu + N
ni ( u + 1)4 = niu 4+ 4 niu 3 + 6 niu + 4 niu + N
77..99..22 RREELLAACCIIÓÓNN EENNTTRREE LLOOSS MMOOMMEENNTTOOSS..
Entre momentos con respecto a la media y momentos con respecto a un punto cualquier
se dan las siguientes relaciones:
m2 = m2 - m12
m3 = m3 - 3m1 m2 + 2m13z
m4 = m4 - 4m1 m3 + 6m12 m2 - 3m1
4
La relación entre los momentos es el paso previo a la corrección Sheppard para los
momentos.
262
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77..99..33 CCOORRRREECCCCIIÓÓNN SSHHEEPPPPAARRDD PPAARRAA LLOOSS MMOOMMEENNTTOOSS
Los momentos que necesitan corregirse son los momentos de 2 y 4 orden, esto implica
que los momentos de 1 y 3 orden ya no necesitan corregirse.
M2c = m2 – i 2
12
m4c = m4 - 1 i2 m2 + 7 i4
2 240
263
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Ejercicio : Del siguiente cuadro de distribución de frecuencia determinar :
1. Las 4 primeros momentos.
2. La comprobación Charlier
3. La relación entre los momentos
4. La corrección Sheppard para los momentos
L1 – L2 Yi ni µ µ² ni µ3 µ3 ni µ3 µ4
45 -55
55- 65
65 -75
75 -85
85 - 95
50
60
70
80
90
4
12
20
10
4
-2
-1
0
10
4
4
1
0
1
4
16
12
0
10
16
-8
-1
0
1
8
-32
-12
0
1
8
16
1
0
1
16
n = 50 niµ²=54 niµ3=-2
264
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1. m1 = ( niu/N)i m1 = (-2 /50) 10 m1 = -0/4
m2 = ( niu2/N)i² m2 = (54 /50) 1002 m2 = 108
m3 = ( niu3/N)i3 m3 = (-2 /50) 1000 m3 = -40
m4 = ( niu4/N)i4 m4 = (150/50) 1000 m4 = 30000
2.-
ni(u + 1) = ni (u+N)48 = -2 + 5048 = 48
ni(u + 1) 2 = niu2 + 2niu + N100 = 54 + 2(2) + N100 = 58 + N
N = 42
ni(u + 1) 3 = niu3 + 3niu² + 3ni + u + N204 = -2 + 3(54) + 3( -2) + N204 = -2 + 162 - 6 + N204 = 154 + NN = 48
ni(u + 1) 3 = niu4 + 3niu3 + 6ni² + 4ni + u + N508 = 150 + 4(-2) + 6(54) + 4(-2) + N508 = 150 - (-8) + 324 - 8 + N508 = 458 + NN = 48
265
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3.-m2 r = m2 - m1
2
m2 r = 108 - (-0.4)2m2 r = 108 + 0.16m2 r = 108.16
m3 r = m3 - 3m1m2 + 2m13
m3 r = -40 -3(-0.4)(108) + 2(-0.4)3m3 r = -40 + 129.6 - 0.128m3 r = 129.6 - 40.128m3 r = 89.472
m4 r = m4 - 4m1m2 + 6m13m2 - 3m1
4
m4 r = 30000 - 4(-0.4)(-40) + 6(-0.4)²(108) - 3(-0.4)m4 r = 30000 - 64 + 103.68 - 0.0768m4 r = 30103.68 - 64.0768m4 r = 30039.6032
4.-m2 C = m² - i2
m2 C = 107.84 -(100)m2 C = 107.84 – 100/12m2 C = 99.50666667
m4 C = m4 r - ½ i²m2 r + 7/240 i 4
m4 C = 30039.6032 - ½(100)107.84 + 7/240(10 4)m4 C = 30039.6032 -5392 + 0.029166666 x 10 4
m4 C = 30039.6032 -5392 + 291.666666m4 C = 24939.26986
266
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EJERCICIO: Del siguiente cuadro de distribución de frecuencias,determinar lo siguiente.
1. La Varianza
2. La Desviación Standard
3. Variable Normalizada
4. Relación Empírica entre las medidas de dispersión
5. Los momentos
6. La Comprobación Charl ier
7. Las relaciones entre los momentos
8. Corrección Sheppard
266
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EJERCICIO: Del siguiente cuadro de distribución de frecuencias,determinar lo siguiente.
1. La Varianza
2. La Desviación Standard
3. Variable Normalizada
4. Relación Empírica entre las medidas de dispersión
5. Los momentos
6. La Comprobación Charl ier
7. Las relaciones entre los momentos
8. Corrección Sheppard
266
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EJERCICIO: Del siguiente cuadro de distribución de frecuencias,determinar lo siguiente.
1. La Varianza
2. La Desviación Standard
3. Variable Normalizada
4. Relación Empírica entre las medidas de dispersión
5. Los momentos
6. La Comprobación Charl ier
7. Las relaciones entre los momentos
8. Corrección Sheppard
267
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268
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269
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1.- Varianza
S² = ni (Yi - x)² /N
S² = 24724563.89 =
94573
S² = 261.4336427
2.- Desviación Estándar
S = (Yi - x)² /N
S = 261.4336427
S = 16.16890976
3.- Variable Normalizada
Z = ni |Yi - x | S
Z = 1507460.49
16.16890976
Z = 93232.043
270
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4.- Relación Empírica entre las Medidas de Dispersión
D.Q. = 2/3 (S) = 2/3 (16.16890976) = 10.77927317
D.M. = 4/5 (S) = 4/5 (16.16890976) = 12.93512781
5.- Relación entre los Momentos
m1 = (niu / N)i = (-30647 / 94573) 10 = -3.240565489
m2 = (niu² / N)i² = (257177 / 94573) 100 = 271.9349074
m3 = (niu3 / N)i3 = (-314645 / 94573) 1000 = -3327.006651
m4 = (niu4 / N)i4 = (496525 / 94573) 10000 = 158240.1954
6.- Comprobación Charlier
ni(u + 1) = ni (u+N) = -30467 + 94573 = 64106
ni(u + 1)2 = niu2 + 2niu + N= 211634 + (-60934) + 94573
= 245273
ni(u + 1)3 = niu3 + 3niu² + 3niu + N
= (-314645) + 3(211634) + 3(-30467) + 94573
= 323249
271
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7.- Corrección Shepard para los Momentos
m2r = m2 - m12
m2r = 223.7784569 - (-3.240565489)²
m2r = 213.2771922
m3r = m3 - 3m1m2 + 2m13
m3r = -3327.006651 -(-2715.506234) + (-68.06007188)3
m3r = -1219.560489
m4r = m4 - 4m1m2 + 6m13m2 - 3m1
4
m4r =158240 - 1954 - 43125.53174 + 14099.74084 - 330.8296802
m4r = 128883.5748
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