ESTADIacuteSTICA
RESENtildeA HISTOacuteRICA
RESENtildeA HISTOacuteRICA
DEFINICIOacuteN DE ESTADIacuteSTICAEs un sistema o meacutetodo en la
recoleccioacuten organizacioacuten anaacutelisis y descripcioacuten numeacuterica de la informacioacutenTambieacuten se puede decir que la estadiacutestica estudia el comportamiento de los fenoacutemenos de grupo
DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICAESTADIacuteSTI
CA
ESTADIacuteSTICA DESCRIPTIVATiene como finalidad
poner en evidencia aspectos caracteriacutesticos (promedios variabilidad de los datos etc)que sirven para efectuar comparaciones sin pretender sacar conclusiones del tipo maacutes general
ESTADIacuteSTICA INFERENCIAL O ANALIacuteTICA
Busca dar explicaciones al comportamiento de conjunto de observaciones probar la sigilacioacuten o validez de los resultados intenta descubrir las causas que lo originan con gran aplicacioacuten en el campo del muestreo lograacutendose de esta manera conclusiones que se extienden mas allaacute de la muestra estadiacutestica misma
ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS
EN ESTADIacuteSTICA
POBLACIOacuteNOGrupo de estudio que tiene una caracteriacutestica en comuacutenEjemplo La poblacioacuten de fumadores de ColombiaLos clubes de futbol de EspantildeaEl nuacutemero de tornillos defectuosos en 1ooo cajas etc
MUESTRAEs un subgrupo de la poblacioacuten que goza de las mismas propiedades de la poblacioacuten y sirve para facilitar un estudio estadiacutestico particular
VARIABLE ESTADIacuteSTICAEs la caracteriacutestica
que se estudia en el conglomerado o poblacioacuten La variable estadiacutestica se subdivide en cualitativa y cuantitativa
VARIABLE ESTADIacuteSTICAVARIABLE
ESTADIacuteSTICA
VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUALITATIVA
NOMINAL
ORDINAL
VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUANTITATIVA
DISCRETA
CONTINUA
TABLA DE FRECUENCIAS
Las tablas de frecuencias son meacutetodos de agrupacioacuten que permiten organizar simplificar y analizar la informacioacuten de la manera maacutes objetiva y conveniente
VARIABLE CUALITATIVA
En un barrio x de un municipio z una firma comercial realiza una encuesta para establecer cual es la marca de tenis preferida por los habitantes de dicha poblacioacuten entre Baltus Ponty Muntre Titaacuten y Atlantis y estos son los resultados
B M M P P A A P A T
T T B B T M P P T M
M T M T A M P P P M
T P M T A B T M T T
M P A M A B T P A A
A A M T B A T B A M
T M T A B A B A A T
A P M A T A M B A M
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=80 y la variable es la cualitativa La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 7 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de variables implicadas maacutes dos filas asiacute
Atlantis
Baltus
Muntre
Ponty
Titaacuten
Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el conteo de cada una de las variables y se registra en la tabla en la columna de asiacute
B M M P P A A P A T
T T B B T M P P T M
M T M T A M P P P M
T P M T A B T M T T
M P A M A B T P A A
A A M T B A T B A M
T M T A B A B A A T
A P M A T A M B A M
Atlantis21 2625 21 2625
Baltus10 1250 31 3875
Muntre18 2250 49 6125
Ponty12 1500 61 7625
Titaacuten19 2375 80 10000
80 10000 --- --- -----
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
Atlantis 21 2625 21 2625
Baltus 10 1250 31 3875
Muntre 18 2250 49 6125
Ponty 12 1500 61 7625
Titaacuten 19 2375 80 10000
80 10000 --- --- -----
VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la
primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100--------- ------------ ------------
NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO
t0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100
--------- -----------
-
-----------
-
TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA
CONTINUA
VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas
Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34
=rango original
4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces
5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute
Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero
6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute
es decir 40gt34
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
DIVISIOacuteN DE LA ESTADIacuteSTICAESTADIacuteSTI
CA
ESTADIacuteSTICA DESCRIPTIVATiene como finalidad
poner en evidencia aspectos caracteriacutesticos (promedios variabilidad de los datos etc)que sirven para efectuar comparaciones sin pretender sacar conclusiones del tipo maacutes general
ESTADIacuteSTICA INFERENCIAL O ANALIacuteTICA
Busca dar explicaciones al comportamiento de conjunto de observaciones probar la sigilacioacuten o validez de los resultados intenta descubrir las causas que lo originan con gran aplicacioacuten en el campo del muestreo lograacutendose de esta manera conclusiones que se extienden mas allaacute de la muestra estadiacutestica misma
ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS
EN ESTADIacuteSTICA
POBLACIOacuteNOGrupo de estudio que tiene una caracteriacutestica en comuacutenEjemplo La poblacioacuten de fumadores de ColombiaLos clubes de futbol de EspantildeaEl nuacutemero de tornillos defectuosos en 1ooo cajas etc
MUESTRAEs un subgrupo de la poblacioacuten que goza de las mismas propiedades de la poblacioacuten y sirve para facilitar un estudio estadiacutestico particular
VARIABLE ESTADIacuteSTICAEs la caracteriacutestica
que se estudia en el conglomerado o poblacioacuten La variable estadiacutestica se subdivide en cualitativa y cuantitativa
VARIABLE ESTADIacuteSTICAVARIABLE
ESTADIacuteSTICA
VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUALITATIVA
NOMINAL
ORDINAL
VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUANTITATIVA
DISCRETA
CONTINUA
TABLA DE FRECUENCIAS
Las tablas de frecuencias son meacutetodos de agrupacioacuten que permiten organizar simplificar y analizar la informacioacuten de la manera maacutes objetiva y conveniente
VARIABLE CUALITATIVA
En un barrio x de un municipio z una firma comercial realiza una encuesta para establecer cual es la marca de tenis preferida por los habitantes de dicha poblacioacuten entre Baltus Ponty Muntre Titaacuten y Atlantis y estos son los resultados
B M M P P A A P A T
T T B B T M P P T M
M T M T A M P P P M
T P M T A B T M T T
M P A M A B T P A A
A A M T B A T B A M
T M T A B A B A A T
A P M A T A M B A M
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=80 y la variable es la cualitativa La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 7 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de variables implicadas maacutes dos filas asiacute
Atlantis
Baltus
Muntre
Ponty
Titaacuten
Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el conteo de cada una de las variables y se registra en la tabla en la columna de asiacute
B M M P P A A P A T
T T B B T M P P T M
M T M T A M P P P M
T P M T A B T M T T
M P A M A B T P A A
A A M T B A T B A M
T M T A B A B A A T
A P M A T A M B A M
Atlantis21 2625 21 2625
Baltus10 1250 31 3875
Muntre18 2250 49 6125
Ponty12 1500 61 7625
Titaacuten19 2375 80 10000
80 10000 --- --- -----
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
Atlantis 21 2625 21 2625
Baltus 10 1250 31 3875
Muntre 18 2250 49 6125
Ponty 12 1500 61 7625
Titaacuten 19 2375 80 10000
80 10000 --- --- -----
VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la
primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100--------- ------------ ------------
NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO
t0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100
--------- -----------
-
-----------
-
TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA
CONTINUA
VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas
Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34
=rango original
4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces
5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute
Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero
6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute
es decir 40gt34
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
ALGUNOS CONCEPTOS BAacuteSICOS
EN ESTADIacuteSTICA
POBLACIOacuteNOGrupo de estudio que tiene una caracteriacutestica en comuacutenEjemplo La poblacioacuten de fumadores de ColombiaLos clubes de futbol de EspantildeaEl nuacutemero de tornillos defectuosos en 1ooo cajas etc
MUESTRAEs un subgrupo de la poblacioacuten que goza de las mismas propiedades de la poblacioacuten y sirve para facilitar un estudio estadiacutestico particular
VARIABLE ESTADIacuteSTICAEs la caracteriacutestica
que se estudia en el conglomerado o poblacioacuten La variable estadiacutestica se subdivide en cualitativa y cuantitativa
VARIABLE ESTADIacuteSTICAVARIABLE
ESTADIacuteSTICA
VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUALITATIVA
NOMINAL
ORDINAL
VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUANTITATIVA
DISCRETA
CONTINUA
TABLA DE FRECUENCIAS
Las tablas de frecuencias son meacutetodos de agrupacioacuten que permiten organizar simplificar y analizar la informacioacuten de la manera maacutes objetiva y conveniente
VARIABLE CUALITATIVA
En un barrio x de un municipio z una firma comercial realiza una encuesta para establecer cual es la marca de tenis preferida por los habitantes de dicha poblacioacuten entre Baltus Ponty Muntre Titaacuten y Atlantis y estos son los resultados
B M M P P A A P A T
T T B B T M P P T M
M T M T A M P P P M
T P M T A B T M T T
M P A M A B T P A A
A A M T B A T B A M
T M T A B A B A A T
A P M A T A M B A M
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=80 y la variable es la cualitativa La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 7 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de variables implicadas maacutes dos filas asiacute
Atlantis
Baltus
Muntre
Ponty
Titaacuten
Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el conteo de cada una de las variables y se registra en la tabla en la columna de asiacute
B M M P P A A P A T
T T B B T M P P T M
M T M T A M P P P M
T P M T A B T M T T
M P A M A B T P A A
A A M T B A T B A M
T M T A B A B A A T
A P M A T A M B A M
Atlantis21 2625 21 2625
Baltus10 1250 31 3875
Muntre18 2250 49 6125
Ponty12 1500 61 7625
Titaacuten19 2375 80 10000
80 10000 --- --- -----
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
Atlantis 21 2625 21 2625
Baltus 10 1250 31 3875
Muntre 18 2250 49 6125
Ponty 12 1500 61 7625
Titaacuten 19 2375 80 10000
80 10000 --- --- -----
VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la
primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100--------- ------------ ------------
NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO
t0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100
--------- -----------
-
-----------
-
TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA
CONTINUA
VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas
Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34
=rango original
4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces
5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute
Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero
6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute
es decir 40gt34
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
POBLACIOacuteNOGrupo de estudio que tiene una caracteriacutestica en comuacutenEjemplo La poblacioacuten de fumadores de ColombiaLos clubes de futbol de EspantildeaEl nuacutemero de tornillos defectuosos en 1ooo cajas etc
MUESTRAEs un subgrupo de la poblacioacuten que goza de las mismas propiedades de la poblacioacuten y sirve para facilitar un estudio estadiacutestico particular
VARIABLE ESTADIacuteSTICAEs la caracteriacutestica
que se estudia en el conglomerado o poblacioacuten La variable estadiacutestica se subdivide en cualitativa y cuantitativa
VARIABLE ESTADIacuteSTICAVARIABLE
ESTADIacuteSTICA
VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUALITATIVA
NOMINAL
ORDINAL
VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUANTITATIVA
DISCRETA
CONTINUA
TABLA DE FRECUENCIAS
Las tablas de frecuencias son meacutetodos de agrupacioacuten que permiten organizar simplificar y analizar la informacioacuten de la manera maacutes objetiva y conveniente
VARIABLE CUALITATIVA
En un barrio x de un municipio z una firma comercial realiza una encuesta para establecer cual es la marca de tenis preferida por los habitantes de dicha poblacioacuten entre Baltus Ponty Muntre Titaacuten y Atlantis y estos son los resultados
B M M P P A A P A T
T T B B T M P P T M
M T M T A M P P P M
T P M T A B T M T T
M P A M A B T P A A
A A M T B A T B A M
T M T A B A B A A T
A P M A T A M B A M
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=80 y la variable es la cualitativa La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 7 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de variables implicadas maacutes dos filas asiacute
Atlantis
Baltus
Muntre
Ponty
Titaacuten
Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el conteo de cada una de las variables y se registra en la tabla en la columna de asiacute
B M M P P A A P A T
T T B B T M P P T M
M T M T A M P P P M
T P M T A B T M T T
M P A M A B T P A A
A A M T B A T B A M
T M T A B A B A A T
A P M A T A M B A M
Atlantis21 2625 21 2625
Baltus10 1250 31 3875
Muntre18 2250 49 6125
Ponty12 1500 61 7625
Titaacuten19 2375 80 10000
80 10000 --- --- -----
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
Atlantis 21 2625 21 2625
Baltus 10 1250 31 3875
Muntre 18 2250 49 6125
Ponty 12 1500 61 7625
Titaacuten 19 2375 80 10000
80 10000 --- --- -----
VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la
primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100--------- ------------ ------------
NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO
t0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100
--------- -----------
-
-----------
-
TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA
CONTINUA
VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas
Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34
=rango original
4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces
5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute
Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero
6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute
es decir 40gt34
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
MUESTRAEs un subgrupo de la poblacioacuten que goza de las mismas propiedades de la poblacioacuten y sirve para facilitar un estudio estadiacutestico particular
VARIABLE ESTADIacuteSTICAEs la caracteriacutestica
que se estudia en el conglomerado o poblacioacuten La variable estadiacutestica se subdivide en cualitativa y cuantitativa
VARIABLE ESTADIacuteSTICAVARIABLE
ESTADIacuteSTICA
VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUALITATIVA
NOMINAL
ORDINAL
VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUANTITATIVA
DISCRETA
CONTINUA
TABLA DE FRECUENCIAS
Las tablas de frecuencias son meacutetodos de agrupacioacuten que permiten organizar simplificar y analizar la informacioacuten de la manera maacutes objetiva y conveniente
VARIABLE CUALITATIVA
En un barrio x de un municipio z una firma comercial realiza una encuesta para establecer cual es la marca de tenis preferida por los habitantes de dicha poblacioacuten entre Baltus Ponty Muntre Titaacuten y Atlantis y estos son los resultados
B M M P P A A P A T
T T B B T M P P T M
M T M T A M P P P M
T P M T A B T M T T
M P A M A B T P A A
A A M T B A T B A M
T M T A B A B A A T
A P M A T A M B A M
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=80 y la variable es la cualitativa La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 7 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de variables implicadas maacutes dos filas asiacute
Atlantis
Baltus
Muntre
Ponty
Titaacuten
Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el conteo de cada una de las variables y se registra en la tabla en la columna de asiacute
B M M P P A A P A T
T T B B T M P P T M
M T M T A M P P P M
T P M T A B T M T T
M P A M A B T P A A
A A M T B A T B A M
T M T A B A B A A T
A P M A T A M B A M
Atlantis21 2625 21 2625
Baltus10 1250 31 3875
Muntre18 2250 49 6125
Ponty12 1500 61 7625
Titaacuten19 2375 80 10000
80 10000 --- --- -----
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
Atlantis 21 2625 21 2625
Baltus 10 1250 31 3875
Muntre 18 2250 49 6125
Ponty 12 1500 61 7625
Titaacuten 19 2375 80 10000
80 10000 --- --- -----
VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la
primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100--------- ------------ ------------
NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO
t0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100
--------- -----------
-
-----------
-
TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA
CONTINUA
VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas
Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34
=rango original
4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces
5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute
Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero
6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute
es decir 40gt34
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
VARIABLE ESTADIacuteSTICAEs la caracteriacutestica
que se estudia en el conglomerado o poblacioacuten La variable estadiacutestica se subdivide en cualitativa y cuantitativa
VARIABLE ESTADIacuteSTICAVARIABLE
ESTADIacuteSTICA
VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUALITATIVA
NOMINAL
ORDINAL
VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUANTITATIVA
DISCRETA
CONTINUA
TABLA DE FRECUENCIAS
Las tablas de frecuencias son meacutetodos de agrupacioacuten que permiten organizar simplificar y analizar la informacioacuten de la manera maacutes objetiva y conveniente
VARIABLE CUALITATIVA
En un barrio x de un municipio z una firma comercial realiza una encuesta para establecer cual es la marca de tenis preferida por los habitantes de dicha poblacioacuten entre Baltus Ponty Muntre Titaacuten y Atlantis y estos son los resultados
B M M P P A A P A T
T T B B T M P P T M
M T M T A M P P P M
T P M T A B T M T T
M P A M A B T P A A
A A M T B A T B A M
T M T A B A B A A T
A P M A T A M B A M
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=80 y la variable es la cualitativa La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 7 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de variables implicadas maacutes dos filas asiacute
Atlantis
Baltus
Muntre
Ponty
Titaacuten
Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el conteo de cada una de las variables y se registra en la tabla en la columna de asiacute
B M M P P A A P A T
T T B B T M P P T M
M T M T A M P P P M
T P M T A B T M T T
M P A M A B T P A A
A A M T B A T B A M
T M T A B A B A A T
A P M A T A M B A M
Atlantis21 2625 21 2625
Baltus10 1250 31 3875
Muntre18 2250 49 6125
Ponty12 1500 61 7625
Titaacuten19 2375 80 10000
80 10000 --- --- -----
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
Atlantis 21 2625 21 2625
Baltus 10 1250 31 3875
Muntre 18 2250 49 6125
Ponty 12 1500 61 7625
Titaacuten 19 2375 80 10000
80 10000 --- --- -----
VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la
primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100--------- ------------ ------------
NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO
t0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100
--------- -----------
-
-----------
-
TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA
CONTINUA
VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas
Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34
=rango original
4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces
5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute
Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero
6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute
es decir 40gt34
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
VARIABLE ESTADIacuteSTICAVARIABLE
ESTADIacuteSTICA
VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUALITATIVA
NOMINAL
ORDINAL
VARIABLE ESTADIacuteSTICA CUANTITATIVA
DISCRETA
CONTINUA
TABLA DE FRECUENCIAS
Las tablas de frecuencias son meacutetodos de agrupacioacuten que permiten organizar simplificar y analizar la informacioacuten de la manera maacutes objetiva y conveniente
VARIABLE CUALITATIVA
En un barrio x de un municipio z una firma comercial realiza una encuesta para establecer cual es la marca de tenis preferida por los habitantes de dicha poblacioacuten entre Baltus Ponty Muntre Titaacuten y Atlantis y estos son los resultados
B M M P P A A P A T
T T B B T M P P T M
M T M T A M P P P M
T P M T A B T M T T
M P A M A B T P A A
A A M T B A T B A M
T M T A B A B A A T
A P M A T A M B A M
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=80 y la variable es la cualitativa La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 7 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de variables implicadas maacutes dos filas asiacute
Atlantis
Baltus
Muntre
Ponty
Titaacuten
Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el conteo de cada una de las variables y se registra en la tabla en la columna de asiacute
B M M P P A A P A T
T T B B T M P P T M
M T M T A M P P P M
T P M T A B T M T T
M P A M A B T P A A
A A M T B A T B A M
T M T A B A B A A T
A P M A T A M B A M
Atlantis21 2625 21 2625
Baltus10 1250 31 3875
Muntre18 2250 49 6125
Ponty12 1500 61 7625
Titaacuten19 2375 80 10000
80 10000 --- --- -----
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
Atlantis 21 2625 21 2625
Baltus 10 1250 31 3875
Muntre 18 2250 49 6125
Ponty 12 1500 61 7625
Titaacuten 19 2375 80 10000
80 10000 --- --- -----
VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la
primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100--------- ------------ ------------
NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO
t0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100
--------- -----------
-
-----------
-
TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA
CONTINUA
VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas
Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34
=rango original
4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces
5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute
Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero
6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute
es decir 40gt34
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
TABLA DE FRECUENCIAS
Las tablas de frecuencias son meacutetodos de agrupacioacuten que permiten organizar simplificar y analizar la informacioacuten de la manera maacutes objetiva y conveniente
VARIABLE CUALITATIVA
En un barrio x de un municipio z una firma comercial realiza una encuesta para establecer cual es la marca de tenis preferida por los habitantes de dicha poblacioacuten entre Baltus Ponty Muntre Titaacuten y Atlantis y estos son los resultados
B M M P P A A P A T
T T B B T M P P T M
M T M T A M P P P M
T P M T A B T M T T
M P A M A B T P A A
A A M T B A T B A M
T M T A B A B A A T
A P M A T A M B A M
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=80 y la variable es la cualitativa La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 7 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de variables implicadas maacutes dos filas asiacute
Atlantis
Baltus
Muntre
Ponty
Titaacuten
Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el conteo de cada una de las variables y se registra en la tabla en la columna de asiacute
B M M P P A A P A T
T T B B T M P P T M
M T M T A M P P P M
T P M T A B T M T T
M P A M A B T P A A
A A M T B A T B A M
T M T A B A B A A T
A P M A T A M B A M
Atlantis21 2625 21 2625
Baltus10 1250 31 3875
Muntre18 2250 49 6125
Ponty12 1500 61 7625
Titaacuten19 2375 80 10000
80 10000 --- --- -----
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
Atlantis 21 2625 21 2625
Baltus 10 1250 31 3875
Muntre 18 2250 49 6125
Ponty 12 1500 61 7625
Titaacuten 19 2375 80 10000
80 10000 --- --- -----
VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la
primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100--------- ------------ ------------
NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO
t0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100
--------- -----------
-
-----------
-
TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA
CONTINUA
VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas
Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34
=rango original
4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces
5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute
Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero
6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute
es decir 40gt34
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
VARIABLE CUALITATIVA
En un barrio x de un municipio z una firma comercial realiza una encuesta para establecer cual es la marca de tenis preferida por los habitantes de dicha poblacioacuten entre Baltus Ponty Muntre Titaacuten y Atlantis y estos son los resultados
B M M P P A A P A T
T T B B T M P P T M
M T M T A M P P P M
T P M T A B T M T T
M P A M A B T P A A
A A M T B A T B A M
T M T A B A B A A T
A P M A T A M B A M
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=80 y la variable es la cualitativa La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 7 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de variables implicadas maacutes dos filas asiacute
Atlantis
Baltus
Muntre
Ponty
Titaacuten
Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el conteo de cada una de las variables y se registra en la tabla en la columna de asiacute
B M M P P A A P A T
T T B B T M P P T M
M T M T A M P P P M
T P M T A B T M T T
M P A M A B T P A A
A A M T B A T B A M
T M T A B A B A A T
A P M A T A M B A M
Atlantis21 2625 21 2625
Baltus10 1250 31 3875
Muntre18 2250 49 6125
Ponty12 1500 61 7625
Titaacuten19 2375 80 10000
80 10000 --- --- -----
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
Atlantis 21 2625 21 2625
Baltus 10 1250 31 3875
Muntre 18 2250 49 6125
Ponty 12 1500 61 7625
Titaacuten 19 2375 80 10000
80 10000 --- --- -----
VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la
primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100--------- ------------ ------------
NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO
t0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100
--------- -----------
-
-----------
-
TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA
CONTINUA
VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas
Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34
=rango original
4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces
5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute
Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero
6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute
es decir 40gt34
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=80 y la variable es la cualitativa La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 7 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de variables implicadas maacutes dos filas asiacute
Atlantis
Baltus
Muntre
Ponty
Titaacuten
Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el conteo de cada una de las variables y se registra en la tabla en la columna de asiacute
B M M P P A A P A T
T T B B T M P P T M
M T M T A M P P P M
T P M T A B T M T T
M P A M A B T P A A
A A M T B A T B A M
T M T A B A B A A T
A P M A T A M B A M
Atlantis21 2625 21 2625
Baltus10 1250 31 3875
Muntre18 2250 49 6125
Ponty12 1500 61 7625
Titaacuten19 2375 80 10000
80 10000 --- --- -----
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
Atlantis 21 2625 21 2625
Baltus 10 1250 31 3875
Muntre 18 2250 49 6125
Ponty 12 1500 61 7625
Titaacuten 19 2375 80 10000
80 10000 --- --- -----
VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la
primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100--------- ------------ ------------
NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO
t0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100
--------- -----------
-
-----------
-
TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA
CONTINUA
VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas
Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34
=rango original
4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces
5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute
Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero
6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute
es decir 40gt34
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
Atlantis
Baltus
Muntre
Ponty
Titaacuten
Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el conteo de cada una de las variables y se registra en la tabla en la columna de asiacute
B M M P P A A P A T
T T B B T M P P T M
M T M T A M P P P M
T P M T A B T M T T
M P A M A B T P A A
A A M T B A T B A M
T M T A B A B A A T
A P M A T A M B A M
Atlantis21 2625 21 2625
Baltus10 1250 31 3875
Muntre18 2250 49 6125
Ponty12 1500 61 7625
Titaacuten19 2375 80 10000
80 10000 --- --- -----
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
Atlantis 21 2625 21 2625
Baltus 10 1250 31 3875
Muntre 18 2250 49 6125
Ponty 12 1500 61 7625
Titaacuten 19 2375 80 10000
80 10000 --- --- -----
VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la
primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100--------- ------------ ------------
NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO
t0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100
--------- -----------
-
-----------
-
TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA
CONTINUA
VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas
Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34
=rango original
4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces
5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute
Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero
6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute
es decir 40gt34
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
Una vez que se tenga preparada la tabla se inicia el conteo de cada una de las variables y se registra en la tabla en la columna de asiacute
B M M P P A A P A T
T T B B T M P P T M
M T M T A M P P P M
T P M T A B T M T T
M P A M A B T P A A
A A M T B A T B A M
T M T A B A B A A T
A P M A T A M B A M
Atlantis21 2625 21 2625
Baltus10 1250 31 3875
Muntre18 2250 49 6125
Ponty12 1500 61 7625
Titaacuten19 2375 80 10000
80 10000 --- --- -----
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
Atlantis 21 2625 21 2625
Baltus 10 1250 31 3875
Muntre 18 2250 49 6125
Ponty 12 1500 61 7625
Titaacuten 19 2375 80 10000
80 10000 --- --- -----
VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la
primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100--------- ------------ ------------
NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO
t0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100
--------- -----------
-
-----------
-
TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA
CONTINUA
VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas
Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34
=rango original
4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces
5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute
Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero
6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute
es decir 40gt34
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
B M M P P A A P A T
T T B B T M P P T M
M T M T A M P P P M
T P M T A B T M T T
M P A M A B T P A A
A A M T B A T B A M
T M T A B A B A A T
A P M A T A M B A M
Atlantis21 2625 21 2625
Baltus10 1250 31 3875
Muntre18 2250 49 6125
Ponty12 1500 61 7625
Titaacuten19 2375 80 10000
80 10000 --- --- -----
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
Atlantis 21 2625 21 2625
Baltus 10 1250 31 3875
Muntre 18 2250 49 6125
Ponty 12 1500 61 7625
Titaacuten 19 2375 80 10000
80 10000 --- --- -----
VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la
primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100--------- ------------ ------------
NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO
t0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100
--------- -----------
-
-----------
-
TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA
CONTINUA
VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas
Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34
=rango original
4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces
5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute
Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero
6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute
es decir 40gt34
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
Atlantis21 2625 21 2625
Baltus10 1250 31 3875
Muntre18 2250 49 6125
Ponty12 1500 61 7625
Titaacuten19 2375 80 10000
80 10000 --- --- -----
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
Atlantis 21 2625 21 2625
Baltus 10 1250 31 3875
Muntre 18 2250 49 6125
Ponty 12 1500 61 7625
Titaacuten 19 2375 80 10000
80 10000 --- --- -----
VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la
primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100--------- ------------ ------------
NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO
t0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100
--------- -----------
-
-----------
-
TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA
CONTINUA
VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas
Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34
=rango original
4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces
5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute
Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero
6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute
es decir 40gt34
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
Atlantis 21 2625 21 2625
Baltus 10 1250 31 3875
Muntre 18 2250 49 6125
Ponty 12 1500 61 7625
Titaacuten 19 2375 80 10000
80 10000 --- --- -----
VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la
primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100--------- ------------ ------------
NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO
t0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100
--------- -----------
-
-----------
-
TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA
CONTINUA
VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas
Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34
=rango original
4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces
5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute
Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero
6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute
es decir 40gt34
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETAEn un barrio r de un municipio t la
primera autoridad del municipio realiza un sondeo entre las familias de dicho barrio sobre el nuacutemero de hijos de las mismas con el fin de ayudarlas proporcionalmente a la cantidad de hijos que posean y estos son los resultados
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100--------- ------------ ------------
NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO
t0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100
--------- -----------
-
-----------
-
TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA
CONTINUA
VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas
Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34
=rango original
4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces
5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute
Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero
6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute
es decir 40gt34
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
Se realiza el mismo procedimiento como si se estuviera trabajando con la variable cualitativa solo que para este caso las variables son nuacutemeros enteros
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100--------- ------------ ------------
NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO
t0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100
--------- -----------
-
-----------
-
TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA
CONTINUA
VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas
Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34
=rango original
4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces
5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute
Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero
6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute
es decir 40gt34
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 2 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100--------- ------------ ------------
NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO
t0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100
--------- -----------
-
-----------
-
TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA
CONTINUA
VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas
Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34
=rango original
4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces
5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute
Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero
6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute
es decir 40gt34
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100--------- ------------ ------------
NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO
t0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100
--------- -----------
-
-----------
-
TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA
CONTINUA
VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas
Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34
=rango original
4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces
5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute
Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero
6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute
es decir 40gt34
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
NUacuteMERO DE HIJOS DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO r EN UN MUNICIPIO
t0 5 10 5 10
1 10 20 15 30
2 18 36 33 66
3 10 20 43 86
4 7 14 50 100
50 100
--------- -----------
-
-----------
-
TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA
CONTINUA
VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas
Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34
=rango original
4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces
5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute
Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero
6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute
es decir 40gt34
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
TABLA DE FRECUENCIAS PARA LA VARIABLE CUANTITAIVA
CONTINUA
VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas
Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34
=rango original
4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces
5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute
Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero
6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute
es decir 40gt34
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas
Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34
=rango original
4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces
5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute
Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero
6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute
es decir 40gt34
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
La informacioacuten anterior corresponde a las masas corporales medidas en kgs de los estudiantes de una institucioacuten educativa x realizar una tabla de frecuencias y escribir un tiacutetulo adecuado en acorde con la informacioacuten
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas
Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34
=rango original
4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces
5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute
Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero
6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute
es decir 40gt34
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
Antes de construir la tabla de frecuencias se debe establecer la cantidad de datos y el tipo de variable con respecto a los datos suministrado Para este caso se tiene n=100 y la variable es la cuantitativa continua La tabla de frecuencias que se construiraacute siempre tendraacute 8 columnas y el nuacutemero de filas dependeraacute de la cantidad de intervalos de clase implicados maacutes dos filasYa se sabe que la cantidad de columnas son 8 y hay dos filas fijas
Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34
=rango original
4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces
5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute
Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero
6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute
es decir 40gt34
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
Para establecer el resto de las filas debemos proceder asiacute1 Establecer cuantos datos hayPara este caso hay n=1002Localizar el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeoPara este caso tenemos85 y 51
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34
=rango original
4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces
5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute
Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero
6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute
es decir 40gt34
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34
=rango original
4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces
5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute
Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero
6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute
es decir 40gt34
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
3Calcular el rangoPara este caso el rango es igual R= R=85R=34
=rango original
4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces
5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute
Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero
6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute
es decir 40gt34
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
4Se calcula el nuacutemero de intervalos que se necesitan para agrupar y contar los datosPara este caso se tiene y n=100 como la cantidad de intervalos es un nuacutemero entero entonces
5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute
Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero
6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute
es decir 40gt34
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
5Se calcula el tamantildeo de clase o amplitud de clase o tamantildeo del intervalo es decir que tan grande es cada intervalo para agrupar la informacioacuten asiacute
Sin importar el resultado decimal que arroje la amplitud siempre se aproxima al siguiente entero
6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute
es decir 40gt34
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
6Como la amplitud se aproximo y la amplitud resultoacute del cociente del rango entre el nuacutemero de intervalos entonces el rango original se alteroacute por ende se debe recalcular nuevamente asiacute
es decir 40gt34
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
7Como el rango resultoacute de la diferencia entre el dato maacutes grande y el dato maacutes pequentildeo entonces con el nuevo rango se altera automaacuteticamente el dato de mayor valor y el de menor valor por ende se deben recalcular asiacute
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
Como ya se realizaron todos los pasos necesarios para construir la tabla de frecuencia se procede a construirla asiacute se sabe que la tabla debe tener 8 columnas por que estas son fijas y 10 filas por que dos filas son fijas maacutes 8 filas que resultaron de la cantidad de intervalos luego la tabla queda de la siguiente forma
iquest
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
[ - )
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
Como ya se tiene la tabla se procede a escribir los intervalos de clase y las marcas de clase en la tablaasiacute
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
[ - )
[48 - 53) 505
[53 - 58) 555
[58 - 63) 605
[63 - 68) 655
[68 - 73) 705
[73 - 78) 755
[78 - 83) 805
[83 - 88) 855
--------
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
Luego se procede a contar la informacioacuten que corresponde a cada intervalo es decir en el caso del intervalo [48-53)se cuenta toda la informacioacuten que estaacute entre 48 y 53pero 53 no se cuenta se cuenta en el siguiente intervalo asiacute
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
56 52 64 76 83 57 75 67 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 85 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
Despueacutes del conteo se procede a registrar la informacioacuten en la tabla de frecuencias en la columna de
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------ ----------
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
Como ya se llenoacute la tabla se procede a escribir un tiacutetulo adecuado con la informacioacuten establecida
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
MASAS CORPORALES DE LOS ESTUDIANTES DE UNA INSTITUCIOacuteN
EDUCATIVA X[ - )
[48 - 53) 505 7 7 7 7
[53 - 58) 555 15 15 22 22
[58 - 63) 605 15 15 37 37
[63 - 68) 655 29 29 66 66
[68 - 73) 705 10 10 76 76
[73 - 78) 755 9 9 85 85
[78 - 83) 805 11 11 96 96
[83 - 88) 855 4 4 100 100
-------- 100 100 ------- ------------
----------
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
GRAacuteFICOS ESTADIacuteSTICOSLos graacuteficos estadiacutesticos son el complemento de las tablas de frecuencias y nos permiten visualizar la informacioacuten de un modo maacutes agradable e interpretarla con mayor facilidad entre los graacuteficos maacutes utilizados tenemos El diagrama de pastel el diagrama de barras el histograma el poliacutegono de frecuencias el diagrama lineal la ojiva pictogramas y la piraacutemide
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
EL DIAGRAMA DE PASTEL
Es uno de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discretaSe recomienda para su uso que las variables involucradas no sean maacutes de 7
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
At-lantis
21
Bal-tus 10Muntre 18
Ponty 12
Titaacuten 19
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE PASTELMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
2625
1250
2250
1500
2375AtlantisBaltusMuntrePontyTitaacuten
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Es otro de los graacuteficos maacutes utilizado en estadiacutestica el cual sirve para representar a las variables cualitativa y cuantitativa discreta
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL
MUNUCIPIO Z
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
0
20
40 2110 18
12 19
MARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X DEL MUNUCIPIO Z
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
EJEMPLO DEL DIAGRAMA DE BARRASMARCAS TENIS PREFERIDOS POR LOS HABITANTES DEL BARRIO X
DEL MUNUCIPIO Z
Atlantis
212625
Baltus
101250
Muntre
182250
Ponty
121500
Titaacuten
192375
8010000
Atla
ntis
Baltu
s
Mun
tre
Pont
y
Titaacute
n
2625
1250
2250
15002375
MARCAS PREFERIDAS POR LOS HABITANTES DE UN BARRIO X EN UN MUNICIPIO Z
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
INCLINACIOacuteN SEXUAL ENLA REPUacuteBLICA DE
MACHIKISTAN EN SUS PRINCIPALES CAPITALES
TAKU
STAN
BILE
KAN
TRUKI
STAN
BORKI
STAN
04080
HETEROSEXUALHOMOSEXUALBISEXUAL
CIUDADES CAPITALES
CA
NTID
AD
D
E
HA
BIT
ATES
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
EGRESADOS DE LA FACULTAD DE INGENIERIacuteAS EN LAS PRINCIPALES
UNIVERSIDADES DE MACHIKISTAacuteN EN EL ANtildeO 3047
PALOYA KALMI PIRTISCAN ASORCAN0
20
40
60
80
53
2921
75
4334
18
54
3952
26
45
IDE SISTEMAS IELECTROacuteNICA ICIVIL
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
DIAGRAMA LINEALSirve para expresar datos cualitativos o cuantitativos Uno de los mayores beneficios de este diagrama consiste en las etapas cronoloacutegicas que se se llevan a situaciones productivas bien sea en ascenso o descenso
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
2036 2037 2038 20390
2
4
6
8
10
12
14
16
EXPORTACIONES DE CAFEacute DE LA FIRMA GATULOPIA
ANtildeOS
TO
NELA
DA
S
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
2036 2037 2038 2039
10
46
1412
810
2
86
16
4
EXPORTACIONES DE CAFEacute EN TONELADAS DE LAS EMPRESAS MACHIKISTIANAS
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
El histograma de frecuencias es un graacutefico que facilita la visualizacioacuten e interpretacioacuten de informacioacuten correspondiente a la variable cuantitativa continua dicho graacutefico basta trazarlo conociendo los intervalos de clase y la frecuencia absoluta para cada intervalo asiacute
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
POLIacuteGONO DE FRECUENCIASEs un graacutefico que representan datos continuos consiste en unir en una liacutenea quebrada cada una de las marcas de clase entre siacute comenzando desde el valor maacutes pequentildeo con la primera marca de clase del intervalo de esta y luego con la segunda marca de clase hasta la unioacuten de la uacuteltima marca de clase con el valor maacutes grande del uacuteltimo intervalo Como ejemplo se tiene la liacutenea roja que se combina con el histograma de frecuencias
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X[ - )[50 - 60) 55 8
[60-- - 70) 65 10
[70 - 80) 75 16
[80 - 90) 85 14
[90 - 100) 95 10
[100 - 110) 105 5
[110 - 120) 115 2
-------- 65
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
PESO EN KGS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA
INSTITUCIOacuteN EDUCATIVA X
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
LA OJIVAEs un graacutefico que corresponde a la variable cuantitativa continua su construccioacuten consiste en tomar los intervalos de clase con las frecuencias acumuladas bien sea absoluta o porcentual y unir la ascendencia o la descendencia de los puntos resultantes en una liacutenea que por lo general es curva ascendente o curva descendente
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
Las medidas de posicioacuten o tendencia central denominados tambieacuten promedios nos permiten determinar la posicioacuten de un valor respecto a un conjunto de datos el cual consideramos como representativo o tiacutepico para el total de las observaciones
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
Si con el resultado obtenido en una encuesta aplicada en una zona o barrio de la ciudad afirmamos que el consumo promedio de leche por familia es dos litros por semana estamos representando una gama o variedad de consumos que van desde familias que no
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
consumen hasta un consumo superior a dos litros Con esta informacioacuten hacemos referencia al comportamiento del consumo de leche en una zona de la ciudad tambieacuten el resultado puede ser comparado con los consumos promedios de otros barrios o el consumo promedio
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
por persona o establecer la relacioacuten que hay entre el consumo y los niveles de ingresoLas medidas de tendencia central maacutes utilizada son la media aritmeacutetica la mediana y la moda
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
LA MEDIA ARITMEacuteTICAEs la medida de posicioacuten maacutes
utilizada se define como la suma de todos los valores observados divididos por el nuacutemero total de observaciones Esta definicioacuten es vaacutelida para datos sin agrupar como para datos agrupados La media aritmeacutetica se simboliza de las siguientes maneras o
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA DATOS SIN AGRUPAR
Para calcular la media aritmeacutetica para datos sin agrupar se trabaja con la foacutermula Ejemplo Calcular la media aritmeacutetica o promedio de las notas en ciencias sociales de un estudiantes que tiene las siguientes notas 2538504539S
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE CUANTIITATVA DISCRETA
Se calcula con las foacutermulas
O
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667 40 0267
2 78 5200 118 7867 156 1040
3 32 2133 150 100 96 0640
150 100 ----- ----- ---- 292 1947
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
Se concluye que el promedio es 2 hijos
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
CAacuteLCULO DE LA MEDIA
ARITMEacuteTICA PARA DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
CAacuteLCULO DE LA MEDIA ARITMEacuteTICA PARA LA VARIABLE
CUANTITATVA CONTINUA
Se calcula con las foacutermulas
O
Para este caso es la marca de clase
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196 5880 1176
[65 - 75) 70 87 174 185 370 6090 1218
[75 - 85) 80 98 196 283 566 7840 1568
[85 - 95) 90 73 146 356 712 6570 1314
[95 - 105) 100 58 116 414 826 5800 1160
[105 - 115) 110 45 90 459 918 4950 99
[115 - 125) 120 41 82 500 100 4920 984
------- 500 100 ------ ------ -------- 42050 841
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
Se concluye que la velocidad es de 841kmh entre las ciudades A y B
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 5 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
Construir una tabla de frecuencias y calcular la media aritmeacutetica con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
LA MEDIANASe define como aquel valor de la variable que supera a no maacutes de la mitad de las observaciones y al mismo tiempo es superado por no maacutes por la mitad de las observaciones La mediana es el valor central La mediana se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la mediana para datos no agrupados se presentan dos casos cuando la cantidad de datos es impar y cuando la cantidad de datos es parEjemplo1cuando la cantidad de datos es impar si sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 la mediana es el dato de la mitad es decir = 3
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
Ejemplo2cuando la cantidad de datos es par si 6sse organiza la informacioacuten bien sea en orden descendente o ascendente asiacute1 2 3 4 5 6 se teman los dos datos del centro se suman y el resultado se divide entre 2 asiacute
Entonces se concluye que la mediana es igual
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA
DATOS AGRUPADOS
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
O Para calcular la mediana para la variable cuantitativa discreta se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 10000
150 10000 ----- ----- ----
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE DISCRETA
S
1 45 30 45 30
2 30 20 75 50
3 75 50 150 100
150 100 ----- ----- ----
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
CAacuteLCULO DE LA MEDIANA PARA LA VARIABLE
CUANTITATIVA CONTINUAO Para calcular la mediana para la
variable cuantitativa continua se presenta dos casos
O Caso aCuando
O Caso bCuando +
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 102 204 200 400
[75 - 85) 80 50 100 250 500
[ 85 - 95) 90 60 120 310 620
[95 - 105) 100 71 142 381 762
[105 - 115) 110 62 124 443 886
[115 - 125) 120 57 114 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
EJEMPLO DEL CASO A PARA LA VARIABLE CONTINUA
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
Scomo 250=250
Se concluye que la mediana es igual a 85
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
EJEMPLO DEL CASO B PARA LA VARIABLE CONTINUA
[ - )
[55 - 65) 60 98 196 98 196
[65 - 75) 70 87 174 185 370
[75 - 85) 80 98 196 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
SComo
75+10 = 75+663
Se concluye que la mediana es 8163
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
LA MODASe define como el dato que maacutes se repite en una distribucioacuten de datos o simplemente es el dato de mayor frecuencia absolutaSi en una distribucioacuten de datos existen dos modas entonces se dice de la moda que es bimodal si tiene tres trimodal y si tiene maacutes de una moda es polimodal La moda se simboliza asiacute
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para calcular la moda para datos no agrupados basta con identificar cual es dato que maacutes se repiteEjemplo si s = 2Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA
DATOS AGRUPADOS
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
Para calcular la moda para la variable cuantitativa discreta basta con localizar el dato con mayor frecuencia absolutay aplicar la foacutermula
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
EJEMPLO
1 40 2667 40 2667
2 78 5200 118 7867
3 32 2133 150 100
150 100 ----- ----- ----
Calcular la moda correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
S Se concluye que la moda es 2
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA
CONTINUAPara calcular la moda para la variable cuantitativa continua basta con localizar la marca de clase de mayor frecuencia absoluta y aplicar la foacutermula donde es la marca de clase de mayor frecuencia absoluta
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
------- 500 100 ------ ------ --------
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
S Se concluye que
la moda es 80kmh
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
CAacuteLCULO DE LA MODA PARA LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Para calcular la moda para la variable cuantitativa continua se utiliza la foacutermula Donde es la mayor frecuencia es la frecuencia anterior a la mayor frecuencia y es la frecuencia posterior a la mayor frecuencia
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
EJEMPLO
O Calcular la moda correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B
[ - )
[55 - 65) 60 90 180 90 180
[65 - 75) 70 87 174 177 354
[ 75 - 85) 80 106 212 283 566
[85 - 95) 90 73 146 356 712
[95 - 105) 100 58 116 414 826
[105 - 115) 110 45 90 459 918
[115 - 125) 120 41 82 500 100
-------
500 100 ------ ------ --------
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
S =73 =87
Se concluye que la moda es 796
119924 119952=120789120787+120783120782 [ 120789120785120790120789+120789120785 ]=120789120787+120789120785120782
120783120788120782=120789120787+120786 120787120788120784120787=120789120791 120787120788120784120787asymp120789120791 120788
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
Construir una tabla de frecuencias y calcular la mediana y la moda con los siguientes datos Datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
MEDIDAS DE
DISPERSIOacuteN
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
Como su nombre lo indica las medidas de dispersioacuten son mecanismos que nos permiten analizar y comparar datos de tal manera que nos indican que tan homogeacuteneos o distantes estaacuten los datos de una muestra representativa Entre las medidas de dispersioacuten tenemos El rango la desviacioacuten media la varianza y la desviacioacuten estaacutendar
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
EL RANGOO Se define como la diferencia
entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor sin tener en cuenta la frecuencia absoluta de los mismos El rango se calcula tanto para datos agrupados como para datos sin agrupar
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
EL RANGO PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para calcular el rango para este tipo de datos se efectuacutea con la foacutermula
O Ejemplo Un grupo de amigas tienen las siguientes edades 2021191822calcular el rango de las edadesS
O
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
EL RANGO PARA DATOS AGRUPADOS
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
EL RANGO PARA LA VARIABLE DISCRETAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
1 20
2 35
3 15
70
solucioacuten
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
EL RANGO PARA LA VARIABLE CONTINUAPara calcular el rango para este tipo de variable se utiliza la foacutermula Ejemplo
)
[45 - 50) 20
[50 - 55) 35
[55 - 60) 23
[60 - 65) 27
[65 - 70) 15
120
solucioacuten
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
DESVIACIOacuteN MEDIAO Se define como la media de las
desviaciones respecto a la media aritmeacutetica tomadas en valor absoluto El caacutelculo de la desviacioacuten media se puede realizar tanto para datos no agrupados como agrupados El siacutembolo utilizado para calcular la desviacioacuten media es
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
O Para efectuar el caacutelculo de la desviacioacuten m
O edia se procede con la foacutermulaO Calcular la desviacioacuten media de los
siguientes datos 23768S 5
2 -3 3
3 -2 2
7 2 2
8 3 3
0 10
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS DISCRETOS
OSe calcula con la foacutermula
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
EJEMPLO
2 4 8 -216 216 864
3 6 18 -116 116 696
4 7 28 -016 016 112
5 9 45 116 116 1044
6 5 30 216 216 108
31 129 ---- ------- 3796
O s
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
DESVIACIOacuteN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS CONTINUOS
O Se calcula con la foacutermula
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
EJEMPLO[ - )
[55 - 65) 60 12 720 -296 296 3552
[65 - 75) 70 13 910 -196 196 2548
[75 - 85) 80 8 640 -96 96 768
[85 - 95) 90 7 630 04 04 28
[95 - 105) 100 12 1200 104 104 1248
[105 - 115) 110 14 1540 204 204 2856
[115 - 125) 120 9 1080 304 304 2736
-------
75 6720 -------- ----------- 13736
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
s
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN ESTAacuteNDAR O
TIacutePICALa varianza se define como la media aritmeacutetica de los cuadrados de las diferencias (desviaciones)entre los valores que toma la variable y su media aritmeacutetica Su siacutembolo es La desviacioacuten estaacutendar o tiacutepica se define como la raiacutez cuadrada de la varianza Su siacutembolo es S
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS NO AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
EJEMPLO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS
NO AGRUPADOS Calcular varianza y la desviacioacuten tiacutepica de las notas en matemaacuteticas de un estudiante que tiene las siguientes notas 2538504539S4
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
CAacuteLCULO DE LA VARIAZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
FOacuteRMULA DE LA VARIANZA Y LA DESVIACIOacuteN TIacutePICA PARA DATOS AGRUPADOS
VARIANZA DESVIACIOacuteN TIacutePICA
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
EJEMPLO
1 40 40 0267 40
2 78 156 1040 0
3 32 96 0640 32
150 292 1947 ---------- 72
Calcular la media aritmeacutetica correspondiente al nuacutemero de hijos de las familias de un barrio x de la ciudad z
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880
[65 - 75) 70 87 6090
[75 - 85) 80 98 7840
[85 - 95) 90 73 6570
[95 - 105) 100 58 5800
[105 - 115) 110 45 4950
[115 - 125) 120 41 4920
------- 500 42050
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
EJEMPLO
O Calcular la media aritmeacutetica correspondiente a las velocidades (kmh)de los automoacuteviles que se trasladan entre las ciudades A y B[ - )
[55 - 65) 60 98 5880 5691938
[65 - 75) 70 87 6090 1729647
[75 - 85) 80 98 7840 164738
[85 - 95) 90 73 6570 254113
[95 - 105) 100 58 5800 1466298
[105 - 115) 110 45 4950 3018645
[115 - 125) 120 41 4920 5284121
------ 500 42050 -------------
176095
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
119930120784=sum (119858 119946minus 119858 )120784119951119946
119951=120785120787120784 120783120791
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos discretos
1 2 4 0 1 2 3 4 2 1
0 3 2 2 3 3 2 2 0 0
2 2 3 4 2 4 3 1 3 2
3 1 1 2 4 4 1 2 3 1
4 0 2 1 2 3 4 3 2 1
2 0 3 3 3 1 0 1 3 2
2 3 2 3 0 0 2 2 0 3
1 4 4 4 0 3 3 2 2 2
0 2 2 1 0 2 2 3 1 2
3 3 3 3 3 4 3 2 2 3
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
Con los siguientes datos calcular el rango y la desviacioacuten media datos continuos
56 52 64 76 83 57 75 85 51 67
64 59 67 65 74 81 73 72 54 82
67 65 63 54 71 66 61 63 65 71
63 52 59 76 52 68 63 59 62 60
62 55 65 78 59 67 65 52 59 76
80 66 58 55 65 63 54 55 65 78
79 77 54 67 52 59 76 66 58 55
55 81 52 81 54 82 70 77 54 67
69 82 83 59 65 71 70 63 67 69
70 56 57 65 62 60 81 83 65 66
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN-CVMaacutes conocido como variacioacuten relativa En ocasiones nos interesa comparar la variabilidad de dos series de datos sin embargo podemos encontrar al hacerlo que ambas series estaacuten expresadas en diferentes unidades por lo tanto no se podraacuten comparar sus varianzas o sus desviaciones tiacutepicas Puede darse el caso de que esteacuten expresadas en la misma unidad pero nos interesa determinar la variacioacuten respecto a una base Para resolver los anteriores problemas se usa el coeficiente de variacioacuten Si es multiplicado por 100el resultado se daraacute en teacuterminos porcentuales
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
FOacuteRMULAS DEL COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN
RELATIVO PORCENTUAL
119914119933 =119930119935
119914119933 =119930119935sdot120783120782120782
De acuerdo a las foacutermulas anteriores es el cociente entre el la desviacioacuten tiacutepica y su media aritmeacutetica Cuando se multiplica por el 100 se calcula la variacioacuten en porcentajeEJEMPLO Para la media y la varianza de un conjunto de datos se han halladorespectivamentelos valores 4 y 25iquestQueacute opinioacuten merece la media aritmeacuteticaSolucioacuten
Se concluye que la media aritmeacutetica no es representativa del conjunto por la alta variabilidad con su desviacioacuten tiacutepica
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
RESENtildeA SOBRE PROBABILIDAD
CONCEPTO DE PROBABILIDADEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indifiniblepero usado para expresar de alguacuten modo un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso nos referimos a algo que puede suceder con base en la experiencia que se tengaLos hinchas de los diferentes equipos de fuacutetbol discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacioacuten o de ganar el campeonato algo similar ocurre con los que juegan la loteriacutea o apuestan en las carreras de caballos
En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados
Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables
En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles
Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella
MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta
Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser
Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo
Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05
Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello
Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero
Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero
INVESTIGAR LOS DEMAacuteS MEacuteTODOS
ESPACIOS MUESTRALESSon todos los
posibles resultados en un experimento aleatorio
ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten
Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten
Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten
El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda
En la actualidad las probabilidades tienen una estrecha relacioacuten con la Teoriacutea de Conjuntos de gran importancia en el campo de la inferencia estadiacutestica debido a la incertidumbre que siempre se tiene en la toma de decisiones permitiendo el anaacutelisis de los riesgos que se corren y la forma de minimizar el azar inherente En estadiacutestica el uso de las predicciones es de gran utilidad cuando se realizan investigaciones por muestreo en la mayoriacutea de los casos obligado por el costo y el tiempo que conllevariacutea la realizacioacuten de una investigacioacuten total lo cual nos limita a un reducido nuacutemero de elementos y con base en esa informacioacuten disponible procedemos a la realizacioacuten de predicciones o estimaciones asignando liacutemites de confianza a esos resultados
Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables
En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles
Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella
MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta
Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser
Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo
Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05
Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello
Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero
Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero
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posibles resultados en un experimento aleatorio
ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten
Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten
Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten
El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda
Las probabilidades conjuntamente con la estadiacutestica tienen infinidad de aplicaciones a problemas de economiacutea y ciencias socialesde la misma manera a las ciencias fiacutesicasindustriacomercio y gobiernocon la observacioacuten de en cada uno de ellos tendraacute sus requisitos particulares Se puede hablar de posibilidades y de probabilidadesel primero el primero hace referencia a la comparacioacuten entre el nuacutemero de resultadsos favorables con los desfaborables
En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles
Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella
MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta
Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser
Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo
Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05
Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello
Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero
Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero
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ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten
Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten
Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten
El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda
En el segundo es el cociente entre el nuacutemero favorable sobre el total de casos posibles
Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella
MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta
Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser
Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo
Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05
Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello
Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero
Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero
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ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten
Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten
Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten
El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda
Es difiacutecil dar una definicioacuten exacta de que son las probabilidades sin embargo se tratara de obtener alguna que se aproxime a ella
MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta
Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser
Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo
Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05
Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello
Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero
Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero
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Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten
Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten
Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten
El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda
MEacuteTODO AXIOMAacuteTICO
El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso como un nuacutemero comprendido entre 0 y 1 Este concepto tiene que ver directamente con la nocioacuten de frecuencias relativas donde Se puede establecer una escala de valores comprendidos entre 0 y 1 La probabilidad igual a 1correponde al liacutemite superior el cual se considera como la certeza absoluta por ejemplo esto es un echo que tiene que cumplirse Para el otro extremo igual 0 se considera por ejemplo que una persona corra a 7 veces la velocidad del sonido es decir a 2380mseg lo cual es imposible asiacute que la probabilidad seraacute 0 Se habla de imposibilidad absoluta
Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser
Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo
Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05
Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello
Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero
Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero
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Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten
Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten
Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten
El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda
Si la probabilidad fuera 0 oacute 1no habriacutea problema en decidir el resultado para esos valores pero existen una serie de fenoacutemenos cuyos valores estaacuten comprendidos entre esos liacutemites que dificultan un poco su caacutelculo Se llamaraacute suceso a cada caso posible es decir a la realizacioacuten de un acontecimiento y este puede ser
Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo
Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05
Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello
Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero
Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero
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Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten
Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten
Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten
El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda
Se diraacute que un echo es cierto cuando son favorables todos los casos posibles Un ejemplo puede ser el de comprar todos los billetes de un sorteo por lo tanto seraacute un echo cierto que ganaraacute el sorteo
Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05
Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello
Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero
Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero
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Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten
Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten
Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten
El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda
Se llamaraacute un echo verosiacutemil aun suceso susceptible de realizarse pero su probabilidad favorable es menor que la unidad y mayor que 05
Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello
Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero
Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero
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El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda
Si la probabilidad es igual a 05 seraacute un echo dudoso ya que las probabilidades ventajosas y desventajosas son iguales Tal es el caso del lanzamiento de una moneda en la aparicioacuten de cara o sello
Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero
Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero
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Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten
Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten
Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten
El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda
Hecho inverosiacutemil Se presenta cuando la probabilidad es menor que 05 y mayor que cero
Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero
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Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten
Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten
Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten
El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda
Hecho imposible es cuando no existe posibilidad alguna de salir favorecido por ejemplo el individuo que no compra loteriacutea la probabilidad que tiene para ganar es cero
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Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten
Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten
Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten
El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda
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Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten
Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten
Ejemplo3Exprimentolanzamiento de tres monedas Solucioacuten
El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda
ESPACIOS MUESTRALESSon todos los
posibles resultados en un experimento aleatorio
ELABORACIOacuteN DE ESPACIOS MUESTRALES
Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten
Ejemplo2Exprimentolanzamiento de dos monedas Solucioacuten
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El nuacutemero de casos posibles es faacutecil de de calcular se considera el lanzamiento de una moneda
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Ejemplo1Exprimentolanzamiento de una moneda teoacutericaSolucioacuten
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