1. PER Ministerio de EducacinPER Ministerio de EducacinPER
Ministerio de EducacinPER Ministerio de Educacin PROGRAMA DE
ACTUALIZACIN EN DIDCTICA DE LA MATEMTICA EDUCACIN SECUNDARIA
MDULODE ACTUALIZACIN EN DIDCTICA DE LA MATEMTICA L A G E O M E T R
A A N U E S T R O A L R E D E D O R
2. Mdulo de Actualizacin en Didctica de la Matemtica. La
geometra a nuestro alrededor Educacin Secundaria MINISTERIO DE
EDUCACIN Calle Del Comercio 193, San Borja, Lima, Per Telfono:
615-5800 www.minedu.gob.pe Ministro de Educacin: Jaime Saavedra
Chanduv Viceministro de Gestin Pedaggica: Flavio Figallo
Rivadeneyra Directora General de Educacin Bsica Regular: Cecilia
Ramrez Gamarra Elaboracin de contenido: Vernica Ugarte Galdos Zoe
Anne Gillett de Pumayalli Edicin: Gerson Rivera Cisneros Revisin y
organizacin pedaggica del enfoque: Pedro David Collanqui
Colaboradores: Hugo Tamara Salazar Olber Muoz Sols Correccin de
estilo: Cecilia Castillo Vargas Diagramacin: Christian Bendez
Impresin: xxxxxxxxxx Tiraje: xxxxxxxxxx Primera edicin, primera
impresin, xxxxx 2015 Hecho el Depsito Legal en la Biblioteca
Nacional del Per N. 2015-04619
3. AGRADECIMIENTOS A la comunidad educativa, profesoras,
personal administrativo, padres de familia y estudiantes de la I.
E. Manuel Gonzles Prada, en especial al subdirector de Formacin
General I lic. Faustino Jurupe Yampufe, a los profesores Joe
Condori Marcos y Ezequiel Matos Prez y al auxiliar Jos Carlos
Maldonado Huatuco.
4. 4 Lectura previa: La geometra y sus aplicaciones
................................................... 13 Primera
situacin para la reflexin pedaggica: Reconociendo regiones de
amenaza de tsunamis y rutas de
evacuacin......................................................................
16 Resumen de la secuencia didctica de la
situacin................................................ 30 TAREA:
Reflexionando sobre la primera situacin propuesta
................................. 31 Primer taller presencial
.......................................................................................
33 Segunda situacin para la reflexin pedaggica: Diseando crculos de
seguridad... 35 Resumen de la secuencia didctica de la
situacin................................................ 49 TAREA:
Reflexionando sobre la segunda situacin propuesta
................................ 50 Crculo de interaprendizaje
colaborativo 1
........................................................... 52
Orientaciones para la elaboracin de la propuesta de prctica
pedaggica en el aula... 53 Profundizacin terica y pedaggica:
Enseanza de la geometra .............................54 Recursos en
lnea
...............................................................................................
67 TAREA: Sobre la profundizacin terica y pedaggica
........................................... 68 Segundo taller
presencial
...................................................................................
70 Presentacin de las propuestas
pedaggicas........................................................
71 Foro de intercambio: Planificacin de las prcticas pedaggica
.............................. 72 Crculo de interaprendizaje
colaborativo 1
........................................................... 73
Ejecucin de la prctica pedaggica 1 en el aula y elaboracin de la
narracin
documentada..............................................................................
74 Tercer taller presencial
.......................................................................................
76 II. GEOMETRA I. INFORMACIN GENERAL Programa de Actualizacin en
Didctica de la Matemtica - Educacin Secundaria..... 6 Presentacin
del mdulo de actualizacin La geometra a nuestro alrededor .........
8 Actividades y
tareas...........................................................................................
9 Secuencia formativa del mdulo
.........................................................................
10 Productos previstos para este
mdulo..................................................................
12 CONTENIDO
5. 5 Ejecucin de la prctica pedaggica 2 en el aula y elaboracin
de la narracin documentada
.............................................................................
78 Crculo de interaprendizaje colaborativo
3............................................................ 79
Continuacin de la elaboracin de las narraciones
documentadas.......................... 79 Crculo de
interaprendizaje colaborativo
4............................................................ 80
Entrega de las propuestas y narraciones
documentadas........................................ 81 Cuarto
taller
presencial.......................................................................................
82 Autoevaluacin del
participante...........................................................................
83 Glosario
...........................................................................................................
84 Bibliografa
.......................................................................................................
86 Anexo 1. Organizacin del mdulo
......................................................................
87
6. 6 PROGRAMA DE ACTUALIZACIN EN DIDCTICA DE LA MATEMTICA -
EDUCACIN SECUNDARIA CONDICIONES PARA APRENDER IGUALDADY ECUACIONES
LINEALES DE PRIMER GRADO MATEMTICA FINANCIERA la GEOMETRA a nuestro
alrededor 66 ROL DOCENTEY CONSTRUCCIN DEL CONOCIMIENTO IGUALDADY
ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO MATEMTICA FINANCIERA LA
GEOMETRA A NUESTRO ALREDEDOR PROGRAMA DE ACTUALIZACIN EN DIDCTICA
DE LA MATEMTICA - EDUCACIN SECUNDARIA 66 ROL DOCENTEY CONSTRUCCIN
DEL CONOCIMIENTO IGUALDADY ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO
MATEMTICA FINANCIERA LA GEOMETRA A NUESTRO ALREDEDOR PROGRAMA DE
ACTUALIZACIN EN DIDCTICA DE LA MATEMTICA - EDUCACIN SECUNDARIA 66
ROL DOCENTEY CONSTRUCCIN DEL CONOCIMIENTO IGUALDADY ECUACIONES
LINEALES DE PRIMER GRADO MATEMTICA FINANCIERA LA GEOMETRA A NUESTRO
ALREDEDOR PROGRAMA DE ACTUALIZACIN EN DIDCTICA DE LA MATEMTICA -
EDUCACIN SECUNDARIA 66 ROL DOCENTEY CONSTRUCCIN DEL CONOCIMIENTO
IGUALDADY ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO MATEMTICA FINANCIERA
LA GEOMETRA A NUESTRO ALREDEDOR PROGRAMA DE ACTUALIZACIN EN
DIDCTICA DE LA MATEMTICA - EDUCACIN SECUNDARIA
7. 7 LOS DOCENTES PARTICIPANTES TEMARIO Reflexionan sobre su
desempeo con relacin a la enseanza de geometra, reconociendo
aciertos y proponiendo mejoras. Formulan secuencias didcticas
contextualizadas y reales para desarrollar nociones de geometra
usando diversas estrategias y considerando la pertinencia al
contexto, necesidades e intereses de sus estudiantes.. Reconocen
estrategias valiosas, desarrolladas en el mdulo o compartidas por
otros docentes, y las incorporan en su actuar cotidiano. Resuelven
adecuadamente problemas de geometra contextualizados con su
realidad, y explica los aspectos claves, as como los pasos
necesarios para su resolucin. Fortalecen sus competencias
pedaggicas y disciplinares interactuando en comunidades de
aprendizaje. Hacemos geometra en reas de recreacin de nuestro
entorno Diseando crculos de seguridad Enseanza de la geometra
8. 8 Este mdulo tiene por finalidad aportar a la prctica
pedaggica que diariamente realizas en el aula para orientar a los
estudiantes en el logro del aprendizaje fundamental relacionado con
matemtica. En este sentido, te presentaremos dos situaciones
didcticas: a. Hacemos geometra en reas de recreacin de nuestro
entorno b. Diseando crculos de seguridad Esperamos que este mdulo
contribuya al logro de los aprendizajes esperados de los
estudiantes que estn a tu cargo. PRESENTACIN DEL MDULO DE
ACTUALIZACIN en didctica de la Matemtica: LA GEOMETRA A NUESTRO
ALREDEDOR
9. 9 En este mdulo, el participante de la modalidad
semipresencial intervendr en talleres presenciales y crculos de
interaprendizaje colaborativo. Adems, interactuar en un foro,
elaborar propuestas pedaggicas para aplicarlas en el aula y
presentar tareas y narraciones documentadas de la prctica
realizada. El participante que siga la modalidad virtual
(e-learning 1 o 2) participar en todas las actividades mencionadas,
excepto en los talleres presenciales y los crculos de
interaprendizaje. ACTIVIDADESYTAREAS A continuacin te presentamos
la secuencia formativa del mdulo en la modalidad
semipresencial.
10. 10 FORODE Foro para plantear consultas, REFLEXIN 2 SITUACIN
2 SITUACIN PARA REFLEXIONAR1 REFLEXIN SOBRE LASITUACIN PRESENTADA1
TAREA TAREA TALLER PRESENCIAL CIAC CIAC LECTURA PREVIA EJECUCINDELA
PRCTICA1 Y ELABORACIN DELANARRACIN DOCUMENTADA EJECUCINDELA
PRCTICA2 Y ELABORACIN DELANARRACIN DOCUMENTADA CONTINUACINDELA
ELABORACINDELAS NARRACIONES DOCUMENTADAS *CIAC: crculo de
interaprendizaje colaborativo SECUENCIA FORMATIVA DEL MDULO 10
11. 11 DUDAS dudas, sugerencias y dicultades sobre el mdulo.
TALLER PRESENCIAL TALLER PRESENCIAL CIAC* CIAC PROFUNDIZACIN
TERICAY PEDAGGICA AUTOEVALUACIN PRESENTACINDE LASPROPUESTASDE
PRCTICAPEDAGGICA FORODEINTERCAMBIO: PLANIFICACINDELAS PRCTICAS1Y2
ENTREGA DE LASPROPUESTAS Y NARRACIONES DOCUMENTADAS TALLER
PRESENCIAL TAREA (MODALIDAD SEMIPRESENCIAL) 11
12. 12 Los productos previstos se elaborarn a partir de la
planificacin e implementacin en el aula de dos propuestas
pedaggicas, cada una de las cuales consiste en una secuencia
didctica que puede durar una, dos o ms sesiones de aprendizaje.
Estas propuestas se acompaarn de su respectiva narracin
documentada. Estos productos son los siguientes: a.Una propuesta de
prctica pedaggica y su narracin documentada sobre la resolucin de
problemas con reas y permetros de tringulos, rectngulos y
trapecios, las cuales se encuentran en "Primera situacin para la
reflexin pedaggica" pedaggica de este mdulo. b.Una propuesta de
prctica pedaggica y su narracin documentada sobre la resolucin de
problemas con crculos y circunferencias, las cuales se desarrollan
en la "Segunda situacin para la reflexin pedaggica" de este mdulo.
Las propuestas se realizarn en el aula teniendo en cuenta las
diversas caractersticas educativas de los estudiantes con el fin
deplantear situaciones de aprendizaje pertinentes y con propsitos
claros. PRODUCTOS PREVISTOS PARA ESTE MDULO Las narraciones
documentadas irnacompaadas de evidencias delproceso (fotos,
dilogos, trabajosde algn estudiante, entre otras). Nota
13. 13 Naturaleza de los objetos geomtricos Antes de comenzar a
estudiar la geometra y de ver cmo podemos ayudar a los nios a que
aprendan geometra, consideramos necesario aclarar de qu trata esta
rama de las matemticas y reflexionar sobre la naturaleza de sus
objetos. El significado etimolgico de la palabra geometra, 'medida
de la tierra', nos indica su origen de tipo prctico, relacionado
con las actividades de reconstruccin de los lmites de las parcelas
de terreno que tenan que hacer los egipcios, tras las inundaciones
del Nilo. Pero la geometra dej, hace ya hace mucho tiempo de
ocuparse de la medida de la tierra. Con los griegos, la geometra se
interes por el mundo de las formas, la identificacin de sus
componentes ms elementales y las relaciones y combinaciones entre
dichos componentes. La geometra se ocupa de una clase especial de
objetos que designamos con palabras como, punto, recta, plano,
tringulo, polgono, poliedro, etc. Tales trminos y expresiones
designan figuras geomtricas, las cuales son consideradas
abstracciones, conceptos, entidades ideales o representaciones
generales de una categora de objetos. Por tanto, hay que tener en
cuenta que la naturaleza de los entes geomtricos es esencialmente
distinta de los objetos perceptibles, como este ordenador, una mesa
o un rbol. Un punto, una lnea, un plano, un crculo, etc., no tienen
ninguna consistencia material, ningn peso, color, densidad, etc. Un
problema didctico crucial es que, con frecuencia, usamos la misma
palabra para referirnos a los objetos perceptibles con determinada
forma geomtrica (el tringulo es un instrumento de percusin) y al
concepto geomtrico correspondiente (el tringulo issceles). Adems,
en la clase de matemticas, y en los textos escolares, no se
diferencian los dos planos (objeto abstracto, realidad concreta) y
encontramos expresiones como la siguiente: Dibuja una recta (un
tringulo, etc.)". Como entidades abstractas que son, LECTURA PREVIA
LA GEOMETRAY SUS APLICACIONES1 [[ 1 Recuperado de Godino y Ruiz
(2002). Godino y Ruiz. "Cmo crear contextos adecuados para poder
ensear matematizando? [...]necesitamos problemas matemticos que
tengan un contexto significativo para los estudiantes".
(Freudenthal, 1983: )
14. 14 parece obvio que no se puede dibujar una recta o un
tringulo. Lo que se dibuja es un objeto perceptible que evoca o
simboliza el objeto abstracto correspondiente. La recta, como
entidad matemtica, es ilimitada y carece de espesor, no as los
dibujos que se hacen de ella. Del mismo modo, un tringulo no es una
pieza de material de una forma especial, ni una imagen dibujada
sobre el papel: es una forma controlada por su definicin. Las
entidades matemticas y tambin las geomtricas son creadas en ltima
instancia mediante definiciones, reglas que fijan el uso de los
trminos y expresiones. Ciertamente que no sern reglas arbitrarias,
sino que se harn de manera que sean tiles para la descripcin del
mundo que nos rodea o de mundos imaginarios, pero su naturaleza
hace que establecer una propiedad geomtrica (por ejemplo, que la
suma de los ngulos interiores de cualquier tringulo plano sea un
ngulo llano) sea un acto esencialmente distinto al de descubrir que
todos los leones son carnvoros. Esta naturaleza es de tipo
gramatical (puesto que se deriva de las reglas de uso de las
palabras y expresiones) y es la que concede a las entidades
matemticas su carcter necesario, universal y atemporal. El lenguaje
geomtrico tiene su origen en nuestra necesidad de describir el
mundo de las formas de los cuerpos perceptibles que nos rodean, su
tamao y posicin en el espacio. Pero superada la primera fase de
clasificacin de las formas, de identificacin de las propiedades de
las clases de objetos y la creacin de un lenguaje que permita su
descripcin de manera precisa, la actividad geomtrica se ocupa de
estructurar el mundo de entidades geomtricas creadas y de deducir
las consecuencias lgicas que se derivan de los convenios
establecidos. Rpidamente somos arrojados fuera del cmodo mundo de
nuestras percepciones para entrar en el mundo del lenguaje, de la
gramtica y de la lgica. Cuando pedimos a un nio que entre una
coleccin de paralelogramos identifique los rectngulos, no le
exigimos que discrimine la forma perceptible de los rectngulos de
entre las restantes figuras, sino que sea capaz de aplicar los
convenios que hemos establecido para el uso de la palabra
rectngulo. Siendo un poco exigentes, incluso podemos criticar la
pertinencia de esa tarea, ya que visualmente es imposible saber si
un romboide, cuyos ngulos miden 89 (y 91) debe ser considerado o no
un rectngulo. La respuesta correcta que un nio debera dar sera algo
as: "Si los ngulos de estas figuras son efectivamente rectos,
entonces, decimos que son rectngulos; tambin debera incluir los
cuadrados entre los rectngulos. Como conclusin, debemos tener claro
que cuando hablamos de figuras o formas geomtricas no nos referimos
a ninguna clase de objetos perceptibles, aunque ciertamente los
dibujos, imgenes y materializaciones concretas son, al menos en los
primeros niveles del aprendizaje, la razn de ser del lenguaje
geomtrico y el apoyo intuitivo para la formulacin de conjeturas
sobre las relaciones entre las entidades y propiedades
geomtricas.
15. 15 Aplicaciones de la geometra La geometra estudia las
formas de las figuras y los cuerpos geomtricos. Son muchas y
variadas las aplicaciones de esta parte de las matemticas. En la
vida cotidiana encontramos modelos y ejemplificaciones fsicas de
esos objetos ideales de los que ella se ocupa. Una de las
principales fuentes de estos objetos fsicos que evocan figuras y
cuerpos geomtricos se encuentra en la propia naturaleza. Multitud
de elementos naturales de distinta especie comparten la misma
forma, como ocurre con las figuras en espiral (conchas marinas,
caracoles, galaxias, hojas de los helechos, disposicin de las
semillas del girasol, etc.). Igualmente encontramos semejanzas
entre las ramificaciones de los rboles, el sistema arterial y las
bifurcaciones de los ros; o entre los cristales, las pompas de jabn
y las placas de los caparazones de las tortugas. La naturaleza, en
contextos diferentes, utiliza un nmero reducido de formas
parecidas, y parece que tuviese predileccin por las formas
serpenteantes, las espirales y las uniones de 120. Pensemos en la
disposicin hexagonal perfecta de las celdillas de los panales de
las abejas, cuyo interior se recubre de poliedros, como el
rombododecaedro. El ser humano refleja en su quehacer diario y en
sus obras de arte esas imgenes ideales que obtiene de la observacin
de la naturaleza: realiza objetos de cermica, dibujos, edificios y
los ms diversos utensilios para proyectar en ellos las figuras
geomtricas que ha perfeccionado en la mente. El entorno artstico y
arquitectnico ha sido un importante factor de desarrollo de la
geometra. As, desde la construccin de viviendas o monumentos
funerarios (pirmides de Egipto) hasta templos de los ms diversos
estilos, han impulsado constantemente el descubrimiento de nuevas
formas y propiedades geomtricas. Muchos trabajos, adems de los que
desarrollan los matemticos, los arquitectos y los ingenieros,
necesitan y usan la geometra: albailes, ceramistas, artesanos
(objetos de taracea, trabajos de cuero, repujados de latn),
tejedores de alfombras, bordadoras (encajes de bolillos),
decoradores, coregrafos, diseadores de muebles, etc. Todos ellos de
una forma ms o menos consciente, utilizan el espacio y las formas
geomtricas. Tambin se encuentra la geometra en los juegos: billar
(bolas y mesa en forma de doble cuadrado con rombos en los bordes),
parchs, ajedrez, la rayuela, el juego de los barcos, as como
multitud de juegos de ordenador. El mundo de los deportes est
repleto de figuras geomtricas: ftbol (el rectngulo del campo, las
reas, el baln, las porteras, etc.), baloncesto (canastas, zonas,
campo, etc.), tenis, rugby, bisbol, etc. Seguramente el lector
puede completar estas listas de situaciones y mbitos donde podemos
encontrar objetos geomtricos, y cuyo manejo facilita el
conocimiento de tales mbitos.
16. 16 Esta situacin sucede en un en un aula de cuarto de
Secundaria. Busca que los estudiantes se enfrenten a una
problemtica real relacionada con los desastres naturales, para la
cual deben usar mapas, obtener reas de regiones geomtricas
regulares y no regulares, y emplear ngulos y razones trigonomtricas
en contextos diversos. El nfasis de la situacin est en relacionar
la informacin y desarrollar estrategias de resolucin que involucran
el uso de la proporcionalidad. PRIMERA SITUACIN PARA LA REFLEXIN
PEDAGGICA [[ RECONOCIENDO REGIONES DE AMENAZA DETSUNAMISY RUTAS DE
EVACUACIN PROPSITO APRENDIZAJES QUE LOGRAN LOS ESTUDIANTES
PREPARACIN DE LA ACTIVIDAD REALIZACIN DE LA ACTIVIDAD CIERRE DE LA
ACTIVIDAD Desarrollar la competencia Acta y piensa matemticamente
en situaciones de forma, movimiento y localizacin relacionada con
modelos basados en mapas, obtencin de reas, uso de escalas y
resolucin de problemas de ngulos y relaciones trigonomtricas. 1.
PROPSITO Adaptar y combinar estrategias heursticas relacionadas con
la proporcionalidad al re- solver problemas con ayuda de mapas o
planos, recursos grficos, etctera. Describir diseos de planos a
escala con regiones y formas bidimensionales. Expresar los
procedimientos de diseos de planos a escala con regiones y formas
bidi- mensionales. 2. APRENDIZAJES QUE LOGRAN LOS ESTUDIANTES
SECUENCIA DIDCTICA: RECONOCIENDO ZONAS DE RIEGOS HACIENDO USO DE
MAPASTOPOGRFICOS 3. PREPARACIN DE LA ACTIVIDAD El docente reconoce
un problemtica relacionada con los desastres naturales. A partir de
esta situacin se plantea las siguientes interrogantes: Qu
aprendizajes voy a promover con esta situacin? Qu conocimientos
espero que los estudiantes desarrollen? En las situaciones que nos
rodean, reconocemos figuras geomtricas, cuando hacemos un proceso
de abstraccin que expresa las las propiedades caractersticas del
tamao y forma de dichas situaciones.
17. 17 En la situacin donde se menciona el tsunami, se reconoce
la necesidad de identificar o reproducir caractersticas de las
zonas en peligro. Esto permite reconocer los atributos de formas bi
y tridimensionales, ubicar la posicin de los objetos y reconocer
relaciones entre ellos. Cules son las caractersticas de mis
estudiantes? Qu esperara de ellos al desarrollar sus aprendizajes?
En el VII ciclo los adolescentes estn en condiciones de desarrollar
aprendizajes ms complejos. En lo social y emocional, vuelven ms
autnomos y tienden a la formacin de grupos, en los que puedan
expresarse expresarse y sentirse bien. El adolescente asume
conscientemente los resultados de su creatividad, muestra inters
por las experiencias cientficas. Se comunica de manera libre y
autnoma en los diversos contextos donde interacta. Lo que se
esperara de ellos es que manipulen adecuadamente mapas y planos,
empleen la proporcionalidad en el uso de escalas, reconozcan cuando
una forma geomtrica es regular e irregular. Con qu recursos cuento
para plantear actividades y desarrollarlas? Esto involucra
investigar entre otros aspectos, los siguientes sobre el tsunami:
Reconocer cmo se origina. Cmo afecta a las olas que llegan a las
costas. La distancia de penetracin de las olas. Qu hacer antes y
durante el tsnami, etc. Qu conocimientos estn vinculados a esta
situacin? Es necesario elaborar un esquema de los mapas.
serepresentan mediante quetienen Coordenadas geogrcas Coordenadas
cartesianas Figuras poligonales serepresentan Forma Tamao Reducir
Ampliar cuadriculas Polgonos conocidos secalcula por sonde Tres
tipos Geomtricamente MAPAS La supercie Grcas Numricas semiden
Escalas TopogrcoGeogrco Perl altimtrico puedeser Regular
Irregularestaspermiten
18. 18 4. REALIZACIN DE LA ACTIVIDAD a. Inicio El docente
muestra una noticia a los estudiantes sobre un simulacro de sismo y
tsunami que se llev a cabo en la regin, pero en el que solo
particip el 40 % de la poblacin. A continuacin, el docente comparte
con los estudiantes un hecho que sucedi hace algunos aos: El 23 de
junio de 2001, como resultado de un evento ssmico de tsunami en
Camana, provincia de Arequipa, se generaron tres olas, la mayor
alcanz una altura de 8,14 m y caus la muerte de 23 personas, adems
de 63 desaparecidos y cuantiosos daos materiales. Asimismo, el
docente brinda informacin a los estudiantes respecto sobre las
medidas de prevencin que se deben tomar ante un tsunami. El docente
formula preguntas interrogantes (lluvia de ideas) a los estudiantes
sobre el tsunami y las medidas de prevencin que se deben tomar.
Asimismo, pregunta sobre el significado de 40%, si menor o mayor
que la mitad, y en esta situacin qu significa. Esta situacin se
desarrolla en el aula de Secundaria de un colegio de Arequipa.
Arequipa: participacin en simulacro de sismo fue de 40 % La
participacin de la ciudadana arequipea durante el I Simulacro
Nacional de Sismo y Tsunami fue de solo el 40 %, de acuerdo con la
evaluacin de la capacidad de respuesta realizada por el Centro de
Operaciones de Emergencia de la Provincia de Arequipa.
https://www.dhn.mil.pe/cnat/index.php?cat=tsunamis
19. 19 El docente plantea la siguiente interrogante: si nuestra
localidad se encuentra en una zona de la costa, qu debemos saber
sobre ella para poder actuar en caso de un tsunami? A continuacin,
muestra mapas de la regin que pertenece a la capitana de la caleta
de Quilca, en Arequipa, la cual fue afectada por el tsunami del
2001.
20. 20 En caso de emergencia, una de la recomendaciones es
buscar zonas seguras que se encuentren en sitios altos, es decir,
cuyas lneas de seguridad se ubiquen a 30 msnm. Si el lugar se halla
a menos altitud, este se considera una zona de amenaza de tsunami.
Los estudiantes se organizan en grupos de trabajo, analizan la
informacin de los mapas y se plantean la problemtica que van a
desarrollar. Al respecto, el docente plantea lo siguiente:
"Supongamos que ustedes forman parte del co- mit de defensa civil
de la caleta de Quilca. Qu estrategias llevaran a cabo para lograr
una mayor participacin de la poblacin en los simulacros de
evacuacin frente a los tsunamis?" Las cinco partes planteadas en
esta situacin: reconoce un problema vinculado a la realidad,
concreta una finalidad problemtica y reconoce como resolverla, hace
suposiciones o experimenta, realiza la formulacin matemtica, y
valida la solucin, responden a la propuesta de orientaciones
didcticas para desarrollar
prcticasdeaprendizajebasadasenproblemasdemodelacinmatemtica.Dicha
propuesta se encuentra en el fascculo de Matemtica de las Rutas de
Aprendizaje (Minedu 2015). I.
21. 21 La docente garantiza que los estudiantes comprendan el
problema en su contexto, y cuenten con los datos necesarios para
resolverlo. Puede reconocerse cmo la docente pro- mueve que el
estudiante participe y se conflictue, expresando sus ideas y nocio-
nes matemticas en torno a la situacin mostrada. b. Desarrollo 1.
Reconocer un problema muy vinculado a la realidad Miriam: Hemos
reconocido que la informacin de los mapas y las imgenes nos ubican
en la caleta de Quilca. Docente: Qu informacin nos proporcionan
cada una de estas fuentes? Javier: Expresan lneas y curvas. Tambin
nos indican lugares como el faro de Punta Quilca y el
desembarcadero pesquero artesanal. Ximena: Adems, las lneas estn
acompaadas de nmeros. Docente: Excelente, Ximena. Qu creen que
significa que estos valores de las lneas? Miriam: Las lneas me
indican las distancias que hay entre los lugares. Docente: Puedes
explicar mejor esto con un ejemplo. Miriam: S, profesora. Por
ejemplo, la distancia entre el faro de Punta Quilca y el puesto de
capitana de la caleta de Quilca es de aproximadamente 180 metros,
porque sum 60 m + 50 m + 40 m + 40 m, que son los valores que se
indican en el mapa.
22. 22 Docente: Qu opina el resto del equipo? Alberto: Uhm...
Me parece que para conocer la distancia entre el faro de Punta
Quilca y el puesto de capitana de la caleta de Quilca, se tiene que
usar la informacin que se indica debajo del mapa, es decir, hacer
uso de la escala. Ximena: Se muestra que el Faro est a una mayor...
ahhh..., y que puerto de la capitana est ms cerca del mar. Miriam:
Entonces las lneas que estn asociadas a los mapas nos permiten
reconocer las diferentes alturas respecto al nivel del mar.
Docente: Y para qu nos ser til toda esta informacin Alberto,
Ximena, Javier y Miriam:Para hallar las regiones de hasta 30 metros
sobre el nivel del mar que pueden ser afectadas por un Tsunami.
Prudencio:Profesora, tambin se podra identificar las zonas de ms
altura para evadir los estragos del tsunami y establecer una ruta
de acceso a ellas segn la ubicacin de las personas. Docente: Muy
bien, Prudencio. Qu conocimientos matemticos se deben desarrollar?
conocimientos matemticos nos sern necesarios desarrollar.
Miriam:uhmm... rea de regiones regulares e irregulares. Lectura de
mapas a escala grfica. Empleo de escalas Procedimientos de
conversin de unidades. Docente: Muy bien. Les parece si en esta
situacin concretamos nuestro objetivo? Vamos a reconocer los
lugares que podran ser considerados zonas de riesgo de tsunami y
las reas aproximadas que seran afectadas. Docente: Si tomamos como
ejemplo el faro de Punta Quilca, qu reconocemos entre los dos
mapas?
23. 23 2.Concretar una finalidad problemtica y reconocer cmo
resolverla Jaime: Profesora, hemos marcado con un color las zonas
que seran afectadas por un tsunami. Docente: Muy bien, y
caractersticas tienen esas zonas? Pamela: En esta situacin tenemos
problemas, profesora, debido a que muestran tienen formas
irregulares. Docente: Y por qu tienen formas irregulares? Fiorella:
Es que las curvas nos han indicado las variaciones de altura que
hay respecto al nivel del mar, adems, estas curvas no son
regulares. Docente: Timoteo, cmo podramos hallar el rea en regiones
irregulares? Timoteo: Podemos calcular un valor aproximado
reconociendo figuras regulares conocidas. Jaime: S, y podemos
generar cuadrculas en todo el mapa; consideraramos la medida a
escala Podemos reconocer formas geomtricas basadas en cuadrados y
rectngulos con el fin de obtener la superficie. 6,5 cm < >
250 m Lado del cuadrado = 0,5 cm Lado del cuadrado = 1,6 cm c. Hace
suposiciones o experimentar Desarrollo del grupo 01
24. 24 Todos los lados del cuadrado = 0,5 cm d. Realizar la
formulacin matemtica Desarrollo del grupo 01 Hay 6 cuadrados que
miden aprox. 1,6 cm por lado. Hay 142 cuadrados que miden aprox.
0,5 cm por lado. Obtenemos el valor real de los cuadrados que miden
1,6 cm por lado, empleando la escala grfica. Obtenemos el valor
real de los cuadrados que miden aprox. 0,5 cm por lado, usando la
escala grfica. rea del cuadrado (de aprox. 1.6 cm) = (61.54)
(61.54) rea del cuadrado (de aprox. 1.6 cm) = 3787.17 m2 Se cuenta
con 6 cuadrados= 6 (3787.17 m2 ) = aprox. 22723.02 m2 L1 = aprox.
61,14 cm L1 = aprox. 19,23 cm Si: Si: = 6,5 cm 1,6 cm 250m L1 = 6,5
cm 0,5 cm 250m L1 =L 250m(1,6cm) (6,5 cm)1 =L 250m(0,5 cm) (6,5
cm)1
25. 25 rea del cuadrado (de aprox. 0,5 cm de lado) = (19,23)
(19,23) rea del cuadrado (de aprox. 0,5 cm) = 369,79 m2 Se cuenta
con 142 cuadrados = 142 (369,79 m2 )= aprox. 52 510,18 m2 Total de
rea aproximada afectada por un tsunami. Se cuenta con 6 cuadrados =
6(3 787,17 m2 ) = aprox. 22 723,02 m2 Se cuenta con 142 cuadrados =
142(369,79 m2 ) = aprox. 52 510,18 m2 Total rea aprox. = 22 723,02
m2 + 52 510,18 m2 En el caso de los cuadrados que miden 0,5 cm por
lado: Se considera el conteo de los cuadrados y se halla el rea:
179 x 0,25 cm2 = 44,75 cm2 104 x 0,25 cm2 = 26 cm2 rea total =
70,75 cm2 (1) La escala grfica muestra lo siguiente: 6,5 cm 250 m 1
cm x Si: 1 cm 38,46 m Considerando (1): 1 cm2 1 479,2 m2 70,75 cm2
y Por tanto, el: El rea total de la superficie menor o igual que 30
msnm es la siguiente: 11 cm2 1 479,2 m2 Total rea aprox. = 75 233,2
m2 Desarrollo del grupo 02 0,5 cm 0,5cm A = (0,5 cm)2 = 0,25 cm2 x
x= = 1cm x 250 cm 6.5 cm 38.46m y y= = 70.75cm x1 479,2 cm 1cm 104
653.4m 2 2 2 2 rea total = 104 653,4 m2
26. 26 e.Validacin de la solucin Solucin obtenida por el grupo
1 Solucin obtenida por el grupo 2 Hay 6 cuadrados que miden aprox.
1, 6 cm por lado. Hay 142 cuadrados que miden aprox. 0,5 cm por
lado. Un rea total de 75 233,2 m2 . Hay 179 cuadrados que miden
aprox. 0,5 cm por lado. Hay 104 cuadrados compuestos que miden
aprox. 0,5 cm por lado. Un rea total de 104 653,4 m2 . Docente: Qu
estamos reconociendo de las respuestas y procedimientos
desarrollados? Javier: Que los resultados y grficos de cada grupo
son diferentes. Ximena: Profesora, en un grfico se reconoce que las
medidas son de 1,6 cm, mientras que en otro son de 0,5 cm. Docente:
Se debe a estas medidas el que no se obtuvieran los mismos valores?
Miriam: Es que han sido aproximaciones, adems, hay regiones
irregulares. Ximena: Profesora, lo que pasa es que nuestro grupo no
consider en el conteo las regiones irregulares como...(grupo
1)
27. 27 Docente: Qu hizo el grupo 2 en esta situacin? Javier:
Docente: Qu opinan del procedimiento? Cmo podramos obtener con ms
precisin el rea de esta zona de Quilca? Miriam: Podramos
cuadricular ms estas regiones y reconocer sus medidas, es decir,
dividir los cuadraditos de 0,5 cm de lado a cuadraditos de 0,1 cm x
0,1 cm. Docente: Qu les parece si comprobamos la afirmacin de
Miriam resolviendo la siguiente situacin? (grupo 2) Cuadrados de
0,1 cm
28. 28 Docente: Qu conclusiones podemos sacar de la
experiencia? Ximena: Mientras ms pequea sea la regin que se toma
como referencia en la medida de las figuras irregulares, ms precisa
es esta medida. Javier: Hemos visto un tipo de mapas en de mapas,
donde es importante reconocer informacin sobre la escala y los
relieves de las regiones, que en este caso son zonas de riesgo.
Fiorella: Tambin hemos usado medidas, conversiones de medidas y
relaciones de proporcionalidad. DESCRIPCIN DEL MAPA: ZONA DE ALTO
PELIGRO: (es de color rojo. Est circunscrita a un rea semicircular
alre- dedor del crter. ZONA DE MODERADO PELIGRO: (es de color
naranja. Se extiende desde los 3.0 km hasta una distancia mxima de
12 km (flanco sur) del crter. ZONA DE BAJO PELIGRO: es de color
amarillo. Seproyecta hasta un radio aproximado de 16 km alrededor
del crter. 5. CIERRE DE LA ACTIVIDAD El docente aclara trminos que
surgieron durante la participacin de los estudiantes. Estos se
relacionan con los siguientes conceptos: Relaciones proporcionales.
Regiones regulares e irregulares. Valores de reas en cm2 y m2 .
Asimismo, explica la siguiente informacin sobre los mapas
topogrficos:respecto a los mapas topogrficos: Dada la forma
tridimensional de una parte deL terreno, se dibujan sobre una
superficie plana algunas lneas curvas, llamadas curvas de nivel, en
las que confluyen todos los puntos que tienen la misma cota. Cerca
de algunas curvas de nivel se indica la altura en metros respecto
al nivel del mar.
29. 29 SUGERENCIAS METODOLGICAS Acciones que favorecen la
aplicacin de los conocimientos geomtricos en problemas reales:
Acciones que dificultan la aplicacin de los conocimientos
geomtricos en problemas reales: Promover actividades de
representacin de figuras y cuerpos, en las que se trate un objeto
desde varios puntos de vista y con diversos procedimientos. Por
ejemplo: Disear esquemas de superficies a partir de un contexto
dado. Plegar y cortar figuras de tal manera que se aprecien los
atributos de forma y propiedades. Determinar el rea y el permetro
de regiones sombreadas regulares e irregulares. Considerar
diferentes puntos de vista o reconocerlos a partir de relacionar
variadas fuentes. Los estudiantes pueden reconocer una nica
representacin de un concepto, de modo que generan la representacin
de un objeto particular y no de un objeto geomtrico general. Por
ejemplo: Un ngulo recto debe tener siempre un ngulo horizontal.
Para ser lado de una figura, el lado debe de ser siempre vertical.
A partir de situaciones basadas en formas dadas, promover la
reproduccin de formas geomtricas de similar o distinto tamao para
explorar en ellas. Por ejemplo: Recortar o reproducir una figura
igual, de mayor o menor dimensin. Promover que los estudiantes
escuchen, localicen, lean, relacionen e interpreten informacin
geomtrica que se obtiene de diferentes fuentes. Por ejemplo: Seguir
instrucciones escritas. Atribuir significado a los smbolos
convencionales. Inventar smbolos y luego compararlos con los
convencionales. No tener cuidado con trminos que tienen sonido
parecido, pero significado distinto; por ejemplo: razn y radio,
generatriz y bisectriz, etc. Usar trminos del lenguaje cotidiano
cuando no significan lo mismo en trminos matemticos. Por ejemplo:
Lnea y recta Borde y permetro Congruente e igual Direccin y
sentido, etc. A Lado LadoLado Lado B O 90 90 90 90 90
30. 30 Resumen de la secuencia didctica de la situacin INICIO
DESARROLLO CIERRE Presentacin de una situacin relacionada con la
prevencin de riesgos. Fuentes de informacin Relacionan fuentes de
informacin Concretan una nalidad relacionada con el uso de escalas,
mapas y reas en regiones irregulares Empleo de instrumentos (tambin
se pueden utilizar las TIC, por ejemplo, Google Earth), desarrollo
trazos a partir de diversos puntos de vista. Uso de la
proporcionalidad para identicar relaciones entre cantidades y
establecer valores en cm, cm2 , m y m2 . Caractersticas de los
mapas topogrcos, reconocimiento de procedimientos para calcular el
valor de rea de regiones en mapas o planos a escala. Conexiones con
saberes previosReconocer un problema vinculado a la realidad Los
estudiantes analizan y asocian informacin sobre el reconocimiento
de zonas de riesgo de tsunami. Concretar una nalidad problemtica y
y establecer cmo resolverla En equipos de trabajo, los estudiantes
se plantean cmo localizar la zona de riesgo de tsunami, as como el
rea que se vera afectada. Lanzar suposiciones o experimentar Cada
grupo de trabajo entiende que es necesario hallar el rea de las
regiones irregulares. Para conseguirlo, utilizan diversos
planteamientos de solucin, a partir de instrumentos y trazos.
Realizar la formulacin matemtica Los grupos ubican el rea de la
regin expuesta a un tsunami, gracias a valores de equivalencia
relacionados a escala, conceptos de rea y regiones conocidas
basadas en cuadrados. Validar la solucin Los estudiantes obtienen
diversos valores a como solucin del problema, debido a los diversos
mtodos efectuados. Sin embargo, comprueban que mientras ms pequeas
sean las unidades de referencia, los resultados se aproximan ms a
los valores reales de la supercie de la situacin. Los estudiantes
reconocen los procedimientos efectuados para calcular el rea de las
zonas de tsunami y transeren los conocimientos a otra situacin.
Fuentes de informacin Razn, proporcionalidad, escalas Conversin de
unidades Regiones regulares e irregulares
31. 31 Escribe las respuestas de la seccin Reflexionando sobre
la primera situacin propuesta segn las indicaciones y colcalas en
el aula virtual. Esta tarea la realizarn tanto los participantes de
la modalidad semipresencial como los de la modalidad virtual. TAREA
[[ REFLEXIONANDO SOBRE LA PRIMERA SITUACIN PROPUESTA Reflexiona
sobre la situacin planteada y, a partir de ella, responde las
siguientes preguntas por escrito para enviarlas como tarea. Segn la
situacin planteada: a. Revisa los comentarios del docente durante
la situacin planteada e identifica momen- tos en que los
estudiantes llevan a cabo lo siguiente: Relacionan informacin a
partir de dos fuentes. Tienen conflictos que pueden generar la
lectura de un mapa topogrfico. Las acciones que ejecutan los
orientan a a superar el conflicto. Seleccionan y utilizan la unidad
de referencia apropiada para determinar las regio- nes sombreadas.
1. ANLISIS DELTEXTO a. Qu aspectos del rol desempeado por el
docente implementas en tu aula? b. Segn tu experiencia, menciona un
factor que favorece la aplicacin de conocimientos geomtricos en
situaciones reales, as como uno que lo dificulta (deben ser
distintos a los de la tabla de sugerencias metodolgicas).
Identifica dos aspectos de tu entorno que puedes considerar al
momento de plantear situaciones problemticas relacionadas con el
empleo de mapas a escala. Revisa el "Mapa de progreso de la
competencia" (Minedu 2015:110-114). a. Identifica aspectos
relacionados con esta situacin. b. Describe los aspectos que
aplicaras en una sesin correspondiente. 2. RELACIN CONTU PRCTICA
PEDAGGICA 3. PLANTEAMIENTOS POSIBLES 4. RELACIN CON EL SISTEMA
CURRICULAR NACIONAL
32. 32 Indicaciones Extensin mxima del documento: 3 pginas Tipo
y tamao de letra: Arial 12 puntos Interlineado: sencillo Nombre del
archivo: Mate Sec Geo Tarea 1_Apellido y nombre Participante en la
modalidad semipresencial: LLEVA UNA COPIA IMPRESA DE SU TAREA AL
CRCULO DE INTERAPRENDIZAJE COLABORATIVO. Participante en la
modalidad virtual: COLOCA SU TAREA EN EL FORO DE INTERCAMBIO.
33. 33 PRIMERTALLER PRESENCIAL Los talleres presenciales tienen
como finalidad acompaar a los do- centes en su proceso de formacin
profesional y desarrollo personal. Promueven la reflexin sobre la
didctica de la matemtica desde el enfoque basado en la resolucin de
problemas. Ofrecen informacin actualizada y difunden prcticas
pedaggicas, secuencias didcticas, actividades, videos y
publicaciones especficas. Generan un clima de confianza y
camaradera entre los docentes. 1. PROPSITOS El participante: Se
presenta ante el grupo y expresa sus inquietudes y expectativas
sobre el mdulo; se familiariza con este y aclara dudas sobre que ah
se plantean. Comparte con los otros docentes su comprensin sobre
las propuestas pedaggicas que debe aplicar el aula, as como las
narraciones documentadas respectivas. Propone actividades
relacionadas con las nociones previas para el reconocimiento de
reas en regiones irregulares a partir de mapas topogrficos.
Comparte sus opiniones sobre la lectura motivadora. Comparte con
otros docentes sus ideas acerca de cmo se construyen las nociones
de permetro y rea de figuras planas considerando mapas y planos.
Comparte sus respuestas sobre la tarea que se desarroll en la
primera situacin de aprendizaje.primera situacin de
aprendizaje.
34. 34 Aplicar en el aula nuevas estrategias aprendidas en el
taller. Iniciar el diseo de las propuestas de las prcticas
pedaggicas que se aplicarn en el aula. Organizar un cronograma de
fechas en la que cada docente comparta con sus colegas estrategias
didcticas sobre la enseanza de la geometra. 3. ACUERDOSY
COMPROMISOS 2. TEMAS ATRATAR: Lectura previa: La recta y el punto:
un romance matemtico. Situacin para la reflexin pedaggica 1:
Aplicamos la geometra en reas de recreacin de nuestro entorno.
Esquema del mdulo, tareas, orientaciones para la propuesta de
prctica pedaggica y orientaciones para la narracin
documentada.
35. 35 SEGUNDA SITUACIN PARA LA REFLEXIN PEDAGGICA [[DISEANDO
CRCULOS DE SEGURIDAD Esta situacin se plantea a los estudiantes, a
fin de que propongan alarmas de Tsunami, reconozcan el valor de
distancias inaccesibles, empleando conocimientos sobre el teorema
de Pitgoras, la circunferencia y puntos notables, poniendo nfasis
en las estrategias de resolucin de problemas. PROPSITO APRENDIZAJES
QUE LOGRAN LOS ESTUDIANTES PREPARACIN DE LA ACTIVIDAD REALIZACIN DE
LA ACTIVIDAD CIERRE DE LA ACTIVIDAD Desarrollar la competencia de
"Acta y piensa matemticamente en situaciones de forma, movimiento y
localizacin", empleando conocimientos del teorema de Pitgoras, el
punto notable circuncentro para resolver un problema de su
comunidad. Seleccionar informacin para obtener datos relevantes en
situaciones de distancias inaccesibles, ubicacin de cuerpos, y de
superficies, con el fin de dar a conocer un modelo que refiera a
relaciones mtricas de un tringulo rectngulo, el teorema de Pitgoras
y ngulos de elevacin y depresin. Expresar las relaciones mtricas en
un tringulo rectngulo (teorema de Pitgoras). Emplear procedimientos
con lneas y puntos notables del tringulo y la circunferencia al
resolver problemas. Expresar las lneas y puntos notables del
tringulo usando terminologas, reglas y convenciones matemticas. 1.
PROPSITO 2. APRENDIZAJES QUE LOGRAN LOS ESTUDIANTES 3. PREPARACIN
DE LA ACTIVIDAD El docente reconoce una problemtica relacionada con
la prevencin de riesgos. A partir de la situacin se plantea las
siguientes interrogantes. SECUENCIA DIDCTICA: PROPONEMOS ALARMAS
PARA ALERTAR DETSUNAMIS HACIENDO USO DE LA GEOMETRA
36. 36 Qu aprendizajes voy a promover con esta situacin? Qu
conocimientos espero que los estudiantes adquieran? En esta
situacin los estudiantes van a analizar informacin, realizar
trazos, emplear escala. Con esto, se pretende que los estudiantes
resuelvan problemas. Cules son las caractersticas de mis
estudiantes? Qu esperara de ellos al desarrollar sus aprendizajes?
En el VII ciclo los adolescentes estn en condiciones de desarrollar
aprendizajes ms complejos. En lo social y emocional, se vuelven ms
autnomos, tienden a la formacin de grupos, en los cuales pueden
expresarse y sentirse bien. El adolescente asume conscientemente
los resultados de su creatividad, muestra inters por las
experiencias cientficas. Y se comunica de manera libre y autnoma en
los diversos contextos donde interacta. Con que recursos cuento
para plantear actividades y llevarlas a cabo? Esto involucra
analizarla siguiente informacin en torno al punto de la capitana de
Quilca. Reconocer las distancias a partir de las condiciones del
problema. Emplear escalas. Hallar ngulos de elevacin y depresin. Qu
conocimientos se vinculan con esta situacin? PUNTOS NOTABLES Para
hallar ngulos de elevacin CIRCUNCENTRO Interseccin de mediatrices
Circuncentro RELACIONES MTRICAS TEOREMA DE PITGORAS Lnea de mira
ngulo de elevacin Observador Lnea horizontal Objeto TRINGULOS
MEDIANAALTURABISECTRIZMEDIATRIZ LNEAS NOTABLES Para hallar
distancias inaccesibles A c b aC B c2 =a2 +b2 LADOS VRTICES
NGULOS
37. 37 4. REALIZACIN DE LA ACTIVIDAD: a. Inicio El docente
muestra el afiche informativo de un sistema de alerta para
tsunamis. Asimismo, ensea el mapa topogrfico de la regin de la
capitana de Quilca. TSUNAMI SISTEMAS DE ALERTA TEMPRANA Sirenas de
alta potencia, voz y sonido; cobertura individual de un radio de
250 m aproximadamente, segn condiciones de terreno. Bocinas
fabricadas en aluminio de alta resistencia frente a condiciones
ambientales. Unidad de control en gabinete metlico, para instalacin
en intemperie. Alimentacin monofsica de 220 vac con respaldo de
bateras. Esta situacin presenta en el aula de Secundaria de un I.
E. en Arequipa.
38. 38 El docente plantea la siguiente situacin: La capitana de
Quilca se dispone a instalar sistemas de alarmas, contra tsunamis
por encima de las zonas de riesgo como una medida de prevencin. De
esta forma, la poblacin podr reconocer la procedencia de la alerta
y dirigirse a ese lugar. Propn lugares donde ubicaras las alarmas y
justifica su radio de accin con respecto a la poblacin. Calcula la
distancia entre el puesto de capitana y cada alarma (considerar que
los postes para las alarmas tienen una altura aprox. de 5 m). Halla
el ngulo de elevacin con que el jefe de capitana verifica la
permanencia y funcionamiento de las alarmas asume que la altura
promedio de una persona es 1,75 m). Si deseas instalar tres postes
de alarma tomando como criterio que estn en la misma distancia que
puesto de la capitana y cumplan su funcin, ubica en el mapa qu
puntos seran. Al respecto, el docente plantea lo siguiente:
supongamos que ustedes forman parte del comit de defensa civil de
la caleta de Quilca. Qu procedimientos llevaran a cabo para
ubicarlas zonas seguras y rutas de acceso con el fin de promover la
realizacin consciente de simulacros y as consciente de simulacros y
evitar prdidas de vidas humanas? Los estudiantes se organizan en
grupos de trabajo, analizan la informacin de los mapas e imgenes, y
se plantean la problemtica que van a desarrollar. A continuacin, se
muestra el desarrollo de un taller matemtico, el objetivo de esta
orientacin didcticaesqueelestudianteseenfrente aproblemascon un
gradode complejidadparaque mo- vilicen sus competencias y capacides
desarrolladas. Esto involucra lo siguiente: La familiarizacin.
Problemas de traduccin simple Problemas de traduccin compleja
Problemas de interpretacin, aplicacin y valoracin Del documento
Rutas del Aprendizaje, versin 2015. Matemtica, ciclo VII. b.
Desarrollo Familiarizacin De acuerdo con la problemtica que se
plantea en la situacin, los estudiantes reconocen condiciones que
se exponen. Por ejemplo, para resolver el primer problema, ubican
las zonas pobladas en el mapa y las resaltan con un color, con el
fin de saber dnde se colocaran las alarmas de prevencin contra
tsunamis.
39. 39 A continuacin, los estudiantes reconocen y plantean
propuestas basadas en razonamientos sobre la ubicacin de las
alarmas. Docente: Cmo van, chicos? Maritza: Profesora, hemos
llegado a la conclusin de que para proponer las alarmas debemos de
saber las zonas que estn pobladas en Quilca. Docente: Qu otras
condiciones debemos saber para ubicar las alarmas? Jaime:
Profesora, debemos conocer la medida del radio de accin de las
alarmas. Estas tienen que estar distribuidas de tal forma que no
sobren ni falten. Docente: Y como hallamos este radio de accin.
Evelyn: Segn lo que nos indica la situacin, el radio de accin es de
250 m. Podemos emplear la escala grfica para hallar este valor en
el mapa. PROBLEMA DE TRADUCCIN SIMPLE Grupo 01 Actividad 01 Plantea
tres lugares donde ubicaras las alarmas, justificando su radio de
accin con respecto a la poblacin.
40. 40 Los estudiantes por medio de la regla y compas van
proponiendo las zonas donde se colocaran las alarmas. La docente
adopta el rol de coordinadora y solo interviene como mediadora.
Cada grupo de trabajo expresa sus planteamientos, los cuales se
basan en razonamientos consensuados entre los miembros. Por
ejemplo, el grupo 2, ubicara un poste para la alarma cerca del
faro, mientras que el grupo 1 lo colocara en el otro extremo de la
baha . Reconocimiento para una alarma. Grupo 02 Actividad 2 Halla
la distancia entre el puesto de la capitana y cada alarma
(considerar que los postes para las alarmas tienen una altura
aprox. de 5 metros). a. Reconociendo la distancia entre el punto de
capitana (P) y la alarma (A). b. Hallando el valor real de la
distancia AP como base. L1 = aprox. 165,4 cm Si: L 250m(4.3cm) (6.5
cm)1 = A B Alturasobre elniveldelmar 350 300 250 200 150 100 50 0 0
3 6 91 4 7 10 122 5 8 11 13 14 15 16 ro 6,5 cm 250 m 4,3 cm L1
=
41. 41 c. Expresando los valores y condiciones del problema en
forma grfica d. Hallando el valor d1 . En el ABP: (d1 ) = (35 m)2 +
(165,4 m)2 d (35m) (165,4m) d 1225m 27357,16m d 169.1m 1 2 2 1 2 2
1 2 = + = + = La resolucin de este problema involucra varias
etapas, entre las que se encuentran las siguientes: Identificar los
datos en el mapa. Hallar el valor real a partir de la escala
grfica. Representar la situacin y considerar puntos particulares en
un soporte grfico. Formular una ecuacin (basada en el teorema de
Pitgoras) para resolver el problema. El estudiante puede plantearse
interrogantes para reconocer la resolucin de un problema mostrado.
Es decir, el desarrollo de este problema involucra la movilizacin y
combinacin de estrategias heursticas. Capitana de Quilca 165,54 m
d1 35 m 10 m 5 m 165,4 m d1 35 m A P B
42. 42 Actividad 3 Halla el ngulo de elevacin con que el jefe
de capitana verifica la permanencia y funcionamiento de las alarmas
(se asume que la altura promedio de una persona es 1,75 m).
Hallando el ngulo de elevacin con el que el jefe de capitana puede
ver una alarma para verificar su permanencia y funcionamiento. a.
Reconociendo la distancia entre el punto de capitana (P) y la
alarma (A). b. Expresando los valores y condiciones del problema en
forma grfica. c. Hallando el valor d1 . A B Capitana de Quilca Lnea
de mira ngulo de elevacin Lnea horizontal 165,4 m d1 33,25 m 1,75 m
10 m 5 m 165.4 m d1 33,25 m A P B
43. 43 En el ABP: Para: d. Usand la tabla de valores naturales
de las RT. Tg 33,25m 165,4 m Tg 0,2 = = Tg 0,2 = Ang. Sen Cen Tan
Ctg Sec Cosec 0 00 0,0000 1,0000 0,0000 --------- 1,0000 ---------
90 00' 1 00 0,0175 0,9998 0,0175 57,290 1,0002 57,299 89 00' 2 00
0,0349 0,9994 0,0349 28,636 1,0006 28,654 88 00' 3 00 0,0523 0,9986
0,0524 19,081 1,0014 19,107 87 00' 4 00 0,0698 0,9976 0,0699 14,301
1,0024 14,336 86 00' 5 00 0,0872 0,9962 0,0875 11,430 1,0038 11,474
85 00' 6 00 0,1045 0,9945 0,1051 9,5144 1,0055 9,5668 84 00' 7 00
0,1219 0,9925 0,1228 8,1443 1,0075 8,2055 83 00' 8 00 0,1392 0,9903
0,1405 7,1154 1,0098 7,1853 82 00' 9 00 0,1564 0,9877 0,1584 6,3138
1,0125 6,3925 81 00' 10 00 0,1736 0,9848 0,1763 5,6713 1,0154
5,7588 80 00' 11 00 0,1908 0,9816 0,1944 5,1446 1,0187 5,2408 79
00' 13 00 0,2079 0,9781 0,2126 4,7046 1,0223 4,8097 78 00' Toma el
valor aproximado de 11. El ngulo de elevacin con que observa una
persona la alarma sealada es de 11 aprox. = 11 En la resolucin de
este tipo de problemas de traduccin compleja, en la que se
desarrollan varias etapas y estrategias heursticas, el docente
promueve la reflexin del estudiante planteando interrogantes. Por
ejemplo: Qu procedimientos te permitieron resolver el pro- blema?
En que parte del problema encontraste una dificul- tad?, cmo la
superaste? Si ahora quisiramos hallar la distancia del obser- vador
a la alarma, cmo variaran los datos en relacin con la actividad 2?
Es decir, en el desarrollo de este problema involucra la
movilizacin y combinacin de estrategias heursticas.
44. 44 Problemas de interpretacin, aplicacin y valoracin
Actividad 04 La instalacin de las alarmas, requieren de una unidad
de control, que equidiste de las ubicaciones de las tres alarmas
planteadas. Reconoce dnde estara situada la unidad de control y
toma en consideracin que debe encontrarse fuera de la zona de
riesgo de tsunami. Para esta actividad, podrs considerar hacer
ajustes a la propuesta inicial desarrollada en la primera
actividad. A continuacin, se muestra el fragmento de un dilogo, en
el cual se reconoce que el empleo del concepto de la mediatriz est
relacionado con el del circuncentro, el cual es importante para
hallar el punto en que equidistan las alarmas planteadas en el
problema. En los dos extractos siguientes de la clase, se ilustran
formas de razonamiento para llevar a cabo una construccin geomtrica
con respecto al problema. En la primera seccin, un estudiante
pretende utilizar un procedimiento de construccin del punto medio
del segmento, para lo cual utiliza una regla graduada. Docente: Por
tanto, la mediatriz del segmento no es nada ms que la lnea recta
perpendicular a dicho segmento, al que divide en dos partes
exactamente iguales, de acuerdo? La divisin se hace para conseguir
el punto medio de ese segmento y partirlo en dos partes iguales.
Alexnder:Podra medirla con esto? (Levanta una regla). Docente:
Podra medirlo con la regla, pero me saldra exactamente igual.
Podra... Patricio: Con el comps. Docente: Con el comps... (agarra
el comps). El comps es el instrumento de medida adecuado para que
el centro del segmento me salga a la perfeccin. Por otro lado, en
el extracto que aparece a continuacin docente comprueba que la
construccin cumple las propiedades de la definicin. Docente: Por
tanto, una condicin es que la recta que divide el segmento en dos
partes iguales es la mediatriz del segmento que ha de ser
perpendicular. Cmo El desarrollo de este tipo de problemas adquiere
de un alto grado de complejidad debido a que involucra la
movilizacin de referentes conceptuales y el desarrollo de
procedimientos creativos, debidamente justificados en la
solucin.
45. 45 Asimismo, con respecto a la situacin planteada, algunos
grupos de trabajo van a ubicar la unidad de control dentro de la
zona de riesgo de tsunami; por esto, va a realizar ajustes a la
propuesta empleando los conceptos de circuncentro y mediatrices.
Igualmente, el procedimiento requiere una lectura y comprensin del
mapa para que se puedan proponer otros puntos de ubicacin de las
alarmas. puedo yo saber si estas dos rectas son perpendiculares? De
qu manera lo puedo verificar? Perpendicular (con las manos seala
los cuatro cuadrantes que se forman en la interseccin del segmento
y la recta perpendicular a este). Hugo: Midindolo con el
transportador de ngulos. Docente: Midindolo con el transportador de
ngulos (agarra el transportador de ngulos). Anely: Es un ngulo
recto. Docente: Y me tiene que dar... Kenny: Un ngulo recto,
noventa grados. Docente: ... y me tiene que dar cuatro ngulos
rectos. Uno, dos, tres y cuatro. Si yo pongo el transportador de
ngulos aqu (coloca el transportador sobre el segmento y mide el
ngulo del primer cuadrante) y lo hago coincidir, seguro que, que me
sale perfectamente un ngulo de 90. Lo ven? Si lo pongo al revs, aqu
me sale tambin exactamente 90. Por lo tanto, yo puedo decir que la
mediatriz del segmento y que lo divide en dos partes perfectamente
iguales. Exactamente.
46. 46 En las siguientes propuestas los estudiantes han
desarrollado las mediatrices respecto a los lados, los cuales
resultan de la triangulacin de los lugares de las alarmas, as como
del empleo del circuncentro. Propuesta 2 Unidad de control Alarma 2
Alarma 3 Alarma 1 Propuesta 1 Alarma 2 Alarma 3 Unidad de control
Alarma 1
47. 47 Respecto al problema 3 5. CIERRE DE LA ACTIVIDAD Los
estudiantes en grupos de trabajo elaboran organizadores. En ellos
se muestran los pasos para resolver los problemas planteados y los
conceptos que han empleado en dicho proceso. Respecto al problema 4
Trazo de mediatrices Punto equidistante Seleccinde puntos Uninde
puntos Construccin dela circunferencia Trazo deltringulo
Interseccin de mediatrices Por ejemplo: Por ejemplo: Para hallar el
ngulo de elevacin con que el jefe de la capitana verifica la
permanencia y funcionamiento de las alarmas. NGULO DEELEVACIN
Seconsideralaalturadel puntodelacapitanaylaaltura
delapersonaqueobserva. AplicacindeR.T. Modelacin delasituacin
AplicacindeR.T. Usodelaescala grca Conversin decmam
Establecelosvalores deloscatetos Aplicacin detangente Usodelatabla
devaloresnaturales delasR.T. 158,1 m 33,25m
48. 48 SUGERENCIAS METODOLGICAS Acciones que favorecen la
aplicacin de los conocimientos geomtricos en problemas reales.
Acciones que dificultan la aplicacin de los conocimientos
geomtricos en problemas reales. Un aprendizaje significativo de
conceptos y propiedades de la geometra debe ir de la mano con la
realizacin de actividades de comprobacin y verificacin. Por ello,
es aconsejable efectuar actividades de construccin con regla y
compas, a la vez que se desarrollan y profundizan en los
conocimientos geomtricos. Los procedimientos deben ponerse en
prctica de una manera sencilla. El uso de mtodos de organizacin de
ideas, como como los mapas conceptu- ales o mentales, permite
representar los conceptos relacionados con smbolos. As, un mapa
mental parte de una palabra central, alrededor de la cual se
definen cinco a diez ideas principales que guardan relacin con
ella. Plantear a los estudiantes, situaciones de desafo en las que
deban utilizar uno o ms procedimientos de construccin aprendidos. A
la vez, darles libertad para que apliquen su creatividad en la
resolucin de dichos problemas. A continuacin, veamos algunos.
Inducir a los estudiantes a realizar algunos trazos auxiliares en
la resolucin de ciertos problemas les dar un panorama cada vez ms
amplio de las potencialidades de las propiedades en la resolucin de
problemas. Planteamiento de prcticas totalmente desligas de una
construccin geomtrica. En otras palabras, se desarrolla una
geometra que no se encuentra sostenida por una base espacial
suficientemente slida. No tener en cuenta los recursos didcticos
estructurados, semiestructurados ni los recursos TIC (geoplano,
plantillas de figuras, etc.) para la construccin de los conceptos
geomtricos se convierte en una fuente inagotable de obstculos
didcticos que quitan consistencia y rigor al aprendizaje de esta
materia. La enseanza de la geometra, basada en mtodos de
demostracin y en ejercicios tipos de aplicacin de reglas y
algoritmos geomtricos, permite resolver problemas del mundo real y
otras disciplinas.
49. 49 Resumen de la secuencia didctica de la situacin INICIO
DESARROLLO CIERRE Presentacin de una situacin relacionada con
desastres naturales. Fuentes de informacin Identicar informacin
relevante Proponer tres puntos para instalar alarmas de tsunami
Problemas para hallar distancias y longitudes inaccesibles
Dicultades para reconocer puntos equidistantes Concepto de
mediatriz y circuncentro Conexiones con saberes previos
Familiarizacin Los estudiantes analizan y relacionan informacin
respecto a la imple- mentacin de alarmas. Problemas de traduccin
simple Los estudiantes realizan trazos a partir de las condiciones
dadas en la situacin; los planteamientos son variados en cada grupo
de trabajo. Problemas de traduccin compleja Los estudiantes
desarrollan representa- ciones grcas, en las que reejan las
condiciones del problema, adems, efectan varios procesos y emplean
de forma exible estrategias heursticas. Problemas de interpretacin,
aplicacin y valoracin Los estudiantes emplean conceptos sobre
puntos y lneas notables asociadas al tringulo. Sus trazos a
realizan reeren a un proceso ms reexivo respecto a la condicin del
problema. Los estudiantes reconocen los procedimientos que se
llevan a cabo para establecer las zonas de Tsunanmi, y como obtener
el rea, lo traseren a otra situacin. Fuentes de informacin Trazos
asociados a la circunferencia Regiones regulares e irregulares
Teorema de Pitgoras ngulo de elevacin y depresin
50. 50 TAREA Luego de leer el texto, responde las siguientes
preguntas por escrito para enviarlas como tarea. Seala tres
procesos de aprendizaje que hayas observado en la situacin que has
ledo. Seala en qu parte se evidencian dichos procesos y explcalos
(usa de referencia la pgina 19 del Mdulo de Actualizacin sobre
Condiciones para Aprender). 1. ANLISIS DELTEXTO Primero, revisa los
textos Resolvamos 1 y Resolvamos 2, y encuentra dos problemas
relacionados con la geometra. Segundo, revisa la pgina 114 de la
Rutas del Aprendizaje, versin 2015, mapas del progreso. Matemtica.
"Acta y piensa matemticamente en situaciones de forma, movimiento y
localizacin" adems, seala qu aspectos de la descripcin de los
niveles se desarrollan en los dos problemas elegidos. Finalmente,
fundamenta tu respuesta. Has empleado previamente el enfoque de
resolucin de problemas al desarrollar algn concepto matemtico? Si
la respuesta es positiva, seala tres ventajas que hayas comprobado
al ensear bajo dicho enfoque. Si la respuesta es negativa, menciona
tres ventajas que crees que puede tener su uso. 2. RELACIN CONTU
PRCTICA PEDAGGICA Redacta un problema que sea distinto del
formulado en esta segunda situacin, y que permita el uso de los
conocimientos de crculo, circunferencia, puntos notables y el
teorema de Pitgoras, para resolver una situacin real. Recuerda que
debe estar contextualizado a tu grupo de estudiantes y sus
intereses. Adems, ten presente que debes incluir preguntas de alta
demanda cognitiva. 3. PLANTEAMIENTOS POSIBLES 4. RELACIN CON EL
CURRCULO [[ REFLEXIONANDO SOBRE LA SEGUNDA SITUACIN PROPUESTA
51. 51 Escribe las respuestas de la seccin Reflexionando sobre
la segunda situacin propuesta, de acuerdo con las indicaciones, y
colcalas en el aula virtual. Esta tarea la realizarn tanto los
participantes de la modalidad semipresencial como los de la
modalidad virtual. Indicaciones Extensin mxima del documento: 3
pginas Tipo y tamao de letra: Arial 12 puntos Interlineado:
sencillo Nombre del archivo: Mat. Secundaria III. Tarea 2_Apellido
y nombre Participante en la modalidad semipresencial: LLEVA UNA
COPIA IMPRESA DE SU TAREA AL CRCULO DE INTERAPRENDIZAJE
COLABORATIVO. Participante en la modalidad virtual: COLOCA SU TAREA
EN EL FORO DE INTERCAMBIO.
52. 52 El crculo de interaprendizaje colaborativo (CIAC), al
ser una prctica pedaggica orientada a la profesionalizacin docente,
tiene por finalidad que este ample y enriquezca, de forma
colectiva, su propio desempeo mediante el anlisis de su prctica
pedaggica en el aula. 2. PREPARACIN PARA EL CRCULO DE
INTERAPRENDIZAJE 3. ACUERDOSY COMPROMISOS El participante: Revisa
las respuestas de la seccin "Segunda situacin para la reflexin
pedaggica". Reconoce y registra ideas centrales del enfoque del rea
esta seccin. Escribe las dudas e interrogantes que le suscita el
material del mdulo. Selecciona actividades y estrategias para la
enseanza de la geometra, segn el cronograma establecido en el
"Primer taller presencial". Concretar en su aula algunas de las
ideas y sugerencias recogidas de sus colegas en el CIAC. Disear
actividades en las que los estudiantes tengan la oportunidad de
desarrollar las competencias y las capacidades matemticas
planteadas en el fascculo de Matemtica de las Rutas del Aprendizaje
(Minedu 2015). Preparar estrategias didcticas para la enseanza de
la geometra con el fin de compartirlas con sus colegas la semana
siguiente. Incluir la manipulacin de material concreto como parte
importante de la enseanza de conceptos de geometra. 1. PROPSITOS
Comparte sus opiniones sobre la"Segunda situacin para la reflexin
pedaggica". Identifica y comenta las ideas que subyacen a esta
seccin. Comparte el desarrollo de la tarea con sus colegas. Propone
actividades y estrategias para el desarrollo de la competencia
financiera en los estudiantes y dialoga sobre ellos. CRCULO DE
INTERAPRENDIZAJE COLABORATIVO 1 Comienza a pensar en las prcticas
pedaggicas que podras aplicar en tu aula. Desarrollars dos de
ellas.
53. 53 A continuacin, te ofrecemos algunas pautas para la
elaboracin de las propuestas de prctica pedaggica que realizars en
el aula. 1. Vuelve a revisar la seccin: Segunda situacin para la
reflexin pedaggica, a fin de elaborar tu propuesta. 2. Adapta la
secuencia didctica propuesta en esa seccin para aplicarla en el
aula de acuerdo con tu realidad y las caractersticas de tus
estudiantes. 3. Plantea una propuesta pedaggica donde se evidencien
las capacidades de matema- tizacin, comunicacin, representacin y
argumentacin, as como el uso de diversas estrategias y actividades
que promuevan el razonamiento y la problematizacin perma- nente de
los estudiantes. Tambin debe asegurar acciones que promuevan un
clima fa- vorable y de confianza en el que los estudiantes
manifiesten libremente lo que piensan y proponen, as como
actividades de vivenciacin y uso de materiales manipulativos
durante la secuencia. 4. Contina la elaboracin de las propuestas
tomando en cuenta los siguientes aspectos: Nombre de la propuesta
pedaggica Condiciones de aprendizaje que vas a asegurar Propsito
con el que los estudiantes desarrollarn la situacin Secuencia de
las actividades que realizarn. Registro de sus avances. 5. Recuerda
que la propuesta ser entregada en el aula virtual en la fecha
indicada. Orientaciones para la elaboracin de la segunda prctica
pedaggica Los participantes que cursan lamodalidad e-learning
intervienen en un foro de intercambio paraconcretar los propsitos
del crculode interaprendizaje, as como losacuerdos y compromisos.
Nota
54. 54 ENSEANZA DE LA GEOMETRA Profundizacin tericay pedaggica
Tradicionalmente, el aprendizaje de la geometra se ha fundamentado
en el desarrollo l- gico que tena bsicamente como nica referencia
el contenido de los libros que forman la obra Elementos, Euclides.
Este planteamiento segua las pautas correspondientes a lo que
usualmente entendemos como mtodo axiomtico (proposiciones que
constituyen el punto de partida de la teora, sin ser deducidas de
otras proposiciones). A Euclides se le debe la primera tentativa de
la axiomatizacin de la geometra, la cual re- ferencia a quince
axiomas. El axioma ms clebre Euclides, denominado quinto postulado,
puede ser enunciado as: "Por un punto pasa una paralela a una recta
y solo una. En la prctica escolar este aprendizaje comporta que los
estudiantes memoricen aspectos como propiedades y definiciones sin
que muchas veces se tenga en cuenta su comprensin. Por ejemplo,
este dinero depositado (capital) ser trabajado por la mencionada
entidad y parte del dinero generado con l ser pagado al dueo del
depsito, en este caso, t. En cambio, si solicitas un prstamo
bancario (capital) a cualquier entidad financiera, le tendrs que
pagar intereses a ella. En cartografa, la escala es definida como
la relacin matemtica que existe entre las dimensiones reales y las
del dibujo que representa la realidad (en un mapa, plano, esquema o
croquis, dibujo, etc.). Estas pueden ser grandes y pequeas. La
escala tambin puede numrica o grfica: La geometra: de las ideas del
espacio al espacio de las ideas en el aula. ESCALA ESCALA 1: 10,000
500 m Escala numrica Escala grfica 100 m
55. 55 As pues, debemos tener en cuenta los siguientes aspectos
al trabajar con escalas: La relacin entre una distancia medida
sobre un plano a una escala dada y la distancia que hay en la
realidad se establece mediante una simple correspondencia entre la
medida realizada sobre el plano (mm, cm, etc.) y la medida real
(mm, cm, etc.). Podemos trabajar con cualquier unidad de medida
siempre que hablemos de distancia, nunca de volumen o rea, los
cuales no se pueden obtener de manera directa al aplicar la escala.
Todas las mediciones efectuadas en un levantamiento topogrfico
deben ser representadas grficamente y en forma precisa.
Generalmente, los planos topogrficos son utilizados para la
elaboracin de algn proyecto, por lo que es necesario plasmar en
ellos y ellos, de forma resumida, la mayor informacin posible.
Cualquier persona que desee trabajar con un plano topogrfico debe
ser capaz de tomar de l, de manera analtica o mediante medicin
directa, cualquier tipo de informacin necesaria: coordenadas,
distancias, cotas, elevaciones, depresiones etc. Clculo de
distancia con escala En un mapa 1:10,000 da igual decir lo
siguiente: 1 m en plano 10,000 m en realidad 1 mm en plano 10,000
mm en realidad 1 cm en plano 10,000 cm en realidad Entonces, si
queremos hallar la distancia entre los puntos A y B por medio de la
escala grfica, debemos considerar: Centmetros en el plano Metros
reales 6,5 cm 250 m 8 cm ? Si: = 6,5 cm 8 cm 250m L1 =L (250m)(8
cm) (6,5 cm)1 =L aprox. 203,125 m1 6,5 cm < > 250 m A B 8
cm
56. 56 Clculo de reas En funcin de la forma de la superficie,
podemos elegir varios modos de clculo del rea. Considerar polgonos
regulares: El rea rectangular es: L1 x L2 = 7395,85 m2 Si: = X 250m
2,5 cm 6,5 cm = X 250m 2 cm 6,5 cm L1 = 96,15 m L2 = 76,92 m 2 cm
2.5 cm Considerarpolgonos irregulares: Para conocer el rea de una
superficie, dibujamos cuadrcu- las en ella. Contamos el nmero de
cuadrculas completas que quedan dentro de la superficie
considerada. A continuacin, estimamos el porcentaje de la
superficie que queda dentro del rea a calcular de las cuadrculas
res- tantes, y contamos su nmero. Medimos una cuadrcula y hallamos
su rea, luego procede- mos a multiplicar por el nmero de
cuadrculas.
57. 57 La circunferencia es una lnea curva plana cerrada, cuyos
puntos tienen la propiedad de equidistar de otro punto llamado
centro. Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran
dentro de ella forman una superficie, llamada crculo. El trmino
equidistar significa 'estar a la misma distancia'. Sus principales
elementos son centro, radio, dimetro, cuerda y semicircunferencia.
Una semicircunferencia es cada una de las partes en las que un
dimetro divide a la circunferencia. CIRCUNFERENCIA Centro Conjuntos
de puntos que comprenden a una circunferencia y a su interior:
CRCULO Conjuntos de puntos que conforman el borde del crculo:
CIRCUNFERENCIA Plano Crculo Es la superficie plana que est que est
limitada por la circunferencia. Radio Es toda recta limitada por el
centro y un punto de la circunferencia. Un crculo tiene infinitos
radios y todos ellos son iguales: OD, OB, OA y OC son radios.
Cuerdas Es toda recta limitada por dos puntos de la circunferencia.
Dimetro Es toda cuerda que pasa por el centro crculo, adems, es el
doble del radio. Los infinitos dimetros de un mismo crculo son
iguales. El dimetro tambin divide en dos partes iguales a la
circunferencia. Cuerda Dimetro O C D A B
58. 58 Entre dos circunferencias, se pueden presentar
situaciones, en las cuales las circunferencias adquieren posiciones
relativas. Exteriores: los puntos de cada circunferencia son
exteriores a la otra. Interiores: los puntos de una de las
circunferencias son interiores a la otra. Adems, si tienen el mismo
centro, decimos que son concntricas. Tangentes: se presenta un
punto en comn y sern tangentes exteriores o tangentes interiores,
dependiendo de la posicin de los puntos que no son comunes a ambas.
1. Centro: punto fijo O. 2.Radio: segmento de recta que une el
centro con cualquiera de los puntos de la circunferencia. R=OB
3.Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia. (PQ)
4.Dimetro (D): cuerda que pasa por el centro; tambin recibe el
nombre de cuerda mxima. Divide la circunferencia en dos partes
iguales, llamadas semicircunferencias. AB = 2R = D 5.Secante: recta
que intersecta a la circunferencia en dos puntos. (L1) 6.Tangente:
recta que intersecta a la circunferencia en un punto, llamado punto
de tangencia. (L2) Dos circunferencias Elementos de la
circunferencia A 01 02 Cd R1 R2 B P Q A O B E T L2 L1 L3
59. 59 7.Normal: recta que pasa por el centro y por el punto de
tangencia. (L3) 8. Flecha: parte del radio que se origina al trazar
una cuerda perpendicular. (ET) 9. Arco: parte de la circunferencia
PQ. En la figura la cuerda P subtiende al arco PQ. Se mide en
unidades de longitud o tambin en unidades angulares. Toda la
circunferencia mide 360. LNEAS Y PUNTOS NOTABLES La altura Es la
recta que parte de un vrtice y cae perpendicularmente en el lado
opuesto o en su prolongacin. Ortocentro Punto de concurrencia de
las tres alturas de un tringulo. Todo tringulo tiene un ortocentro.
En un tringulo obtusngulo Caracterstica: el ortocentro es un punto
exterior. A A A B B B Acutngulo Obtusngulo Rectngulo H H Ortocentro
C C C
60. 60 Mediana Es el segmento de recta que une un vrtice con el
punto medio del tringulo del lado opuesto. Baricentro o gravicentro
Punto de concurrencia de las tres medianas de un tringulo. En un
tringulo acutngulo Caracterstica: el ortocentro es un punto
interior. En un tringulo rectngulo Caracterstica: el ortocentro, es
un punto ubicado en el vrtice del ngulo recto. A H B O C H M N M C
Alturas del VABC Medianas del VABC AN AN CH BM BM CP A P B N G C
M
61. 61 En un tringulo rectngulo Caractersticas: El Baricentro
es siempre un punto interior en todo tringulo. Todo tringulo tiene
un solo baricentro. Mediatriz Es la recta perpendicular a uno de
los lados del tringulo que pasa por su punto medio. Circuncentro
Punto de concurrencia de las tres mediatrices de un tringulo. Todo
tringulo tiene un solo circuncentro. Bisectriz Es el rayo que
biseca el ngulo interno o externo de un tringulo. En un tringulo
obtusngulo Caracterstica: el circuncentro es un punto exterior.
INCENTRO Punto de concurrencia de las bisectrices interiores.
Caractersticas: Todo tringulo tiene un solo incentro. El incentro
siempre es un punto interior al tringulo. En un tringulo rectngulo
Caracterstica: El circuncentro se encuentra ubicado en el punto
medio de la hipotenusa. A H B N M C G P O RQ B A C Circuncentro B I
A C
62. 62 Lnea visual: es la lnea recta que une el ojo de un
observador con el objeto que se observa. Lnea horizontal: es la
lnea recta, paralela a la superficie horizontal referencial, que
pasa por el ojo del observador. EXCENTRO Punto de concurrencia de
dos bisectrices exteriores y una interior. Caractersticas: Todo
tringulo tiene tres excentros. Los excentros son puntos exteriores
a todo tringulo. NGULOS VERTICALES Los ngulos verticales estn
ubicados en un plano vertical. Es decir, se encuentran formados por
una lnea visual y una lnea horizontal. A B C E Observador
Horizontalngulo de elevacin ngulo de depresin Lnea de visin arriba
del observador Lnea de visin abajo del observador
63. 63 IMPULSAR EL USO DE MATERIALES La papiroflexia Se puede
definir como la creacin de figuras con caractersticas geomtricas,
simtricas y estticas fcilmente reconocibles. Se construye a partir
de una hoja de papel, sin cortar ni pegar, solo con dobleces. Sus
caractersticas son las siguientes: Incita a la observacin y la
abstraccin. Fomenta el pensamiento matemtico y el desarrollo de
estrategias. Estimula el espritu artstico y fomenta la creatividad.
Desarrolla y fortalece las actitudes relacionadas con la autoestima
y la confianza en uno mismo. Mara Consuelo Caadas Santiago y otros
(2003) asocian acciones y contenidos implicados con esta actividad:
IDEAS PARA PROMOVER EL APRENDIZAJE DE LA GEOMETRA Tipo de tarea
Descripcin Contenidos implicados Doblado de elementos geomtricos
bsicos Doblar: Un folio a partir de un folio A4. Un cuadrado a
partir de un trozo irregular de papel Cuadrilateros de distintos
tipos. Un tringulo equiltero Un hexgono Un pentgono regular. Otros
polgonos (regulares e irregulares). Cuadrilateros,
perpendicularidad, paralelismo, geometra del tringulo, clasificacin
de polgonos. Simetra Calcula el simtrico de un punto con respecto a
otro punto. Calcula el simtrico de un punto con respecto a una
recta. Simetra plana Lugares geomtricos Doblar: La bisectriz de un
ngulo La mediatriz de un segmento Las cnicas Geometra sinttica
elemental Lugares geomtricos Proporcionalidad de semejanza Doblar:
Un rectngulo de proporciones 1:2 Un rectngulo 1:3 Un rectngulo 1:V2
Un rectngulo 1:V3 Dos tringulos semejantes. Construye dos polgonos
semejantes Divide el segmento dado. Cuadrilteros, proporcionalidad,
nmeros racionales e irracionales, semejanza, teorema de Thales.
Geometra del espacio Doblar: Un poliedro regular (cubo, tetaedro,
dodecaedro, icosaedro) Un ditetraedro. Un icosaedro estrellado.
Poliedros Problemas Problemas diversos Resolucin de problemas
64. 64 Por ejemplo: Construyendo un trapecio D P A' B' "BASE" C
A P B
65. 65 El uso de estos rompecabezas geomtricos desarrolla la
visualizacin, as como las habilidades de reproduccin, construccin y
comunicacin. Por ejemplo: Actividad 01: construye con cartn los
tangrams que se muestran en los dibujos. Actividad 02: reconstruye
un cuadrado con solo, con slo dos piezas (un tringulo y un
trapecio). El cuadrado se puede reconstruir de ocho formas
diferentes. De cuntas formas podemos reconstruir el rectngulo, el
cual obtiene al juntar cuatro piezas (dos tringulos y dos
trapecios)?. Uso del tangram
66. 66 Consiste en un cuadrado de madera al que previamente se
ha trazado una cuadrcula (del tamao deseado). En cada punto de
interseccin de dos lneas de la cuadrcula se clava un clavo dejando
una parte de l fuera para que pueda sujetar ligas. Un buen nmero de
clavos es 5 x 5 = 25. Con las ligas de colores pueden formarse
diferentes figuras geomtricas. Ideales para validar o construir
figuras simtricas. Si se elabora un libro de espejos (dos espejos
pegados por uno de lados, a manera de bisagra que se abre y se
cierra), se puede explorar la generacin de polgonos regulares.
Cunto debe medir el ngulo entre los espejos para que, al ponerse
sobre un papel con una recta dibujada, forme determinado polgono
semejante? Los usos del geoplano son mltiples. A continuacin,
mostramos algunos ejemplos de actividades de investigacin son:
Formar en el geoplano un cuadrado, un rectngulo, un tringulo, un
trapecio, etctera. Reproducir en el geoplano una figura dibujada en
el pizarrn o construida en el geoplano del docente. Formar en el
geoplano todos los segmentos diferentes que puedan construirse
(cuando se haya estudiado el teorema de Pitgoras, se puede pedir la
longitud de cada uno). Formar en el geoplano todos los cuadrados de
diferentes tamaos que puedan formarse (lo mismo para rectngulos,
tringulos rectngulos, etctera). Hallar la figura simtrica con
respecto al eje indicado. Geoplano Uso de espejos Ejedesimetra C B
B' A' C' L A
67. 67 Informacin completa sobre el teorema de Pitgoras.
http://teoremadepitagoras.net/ Informacin y ejercicios sobre
crculos. http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/geometria_part4/
geometria_part4_right.xhtml Sangakoo. Matemticas para la vida.
http://www.sangakoo.com/es/temas/area-y-perime-
tro-de-una-circunferencia KhanAcademy. Problemas de rea y permetro
de rectngulos. https://es.khanacademy.
org/math/cc-fourth-grade-math/cc-4th-measurement-topic/cc-4th-area-and-perimeter/e/
area-and-perimeter-of-rectangles-word-problems Permetros y reas.
Cuadrado y rectngulo. http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/
area1.htm Elementos de la circunferencia y el crculo.
www.profesorenlinea.cl/geometria/CirculoCir- cunfelementos.htm La
circunferencia y el crculo.
www.aplicaciones.info/decimales/geopla04.htm Calcular la
circunferencia de un crculo. www.aaamatematicas.com/geo612x4.htm
Recursos en lnea
68. 68 Luego de leer el texto, responde las siguientes
preguntas por escrito para enviarlas como tarea. TAREA [[sobre la
profundizacin tericay pedaggica Consideras que el enfoque planteado
en la "Profundizacin terica y pedaggica" desa- rrolla la autoestima
de los estudiantes? Da tres razones que expliquen tu respuesta. 1.
Anlisis del texto Redacta tres problemas sencillos, relacionados
unos con otros, que amplen el grado de profundidad de un mismo
contenido, como el indicado en el ejemplo de la "Profundizacin
terica y pedaggica". Menciona con qu contenido se relacionan. 3.
PLANTEAMIENTOS POSIBLES Revisa el Marco de buen desempeo docente,
del Ministerio de Educacin y seala tres desempeos que hayan sido
desarrollados por el docente de la situacin. Explica brevemente el
porqu. http://www.perueduca.pe/documents/60563/ce664fb7-a1dd-450d-
a43d-bd8cd65b4736 4. RELACIN CON EL SISTEMA CURRICULAR NACIONAL
Narra brevemente la manera en que has desarrollado con tus
estudiantes algn contenido relacionado con el crculo y la
circunferencia. Encuentra tres semejanzas y diferencias con el
ejemplo dado en la "Profundizacin terica y pedaggica". Explica por
qu son similares o distintas. 2. RELACIN CON TU PRCTICA
PEDAGGICA
69. 69 Escribe las respuestas de la seccin Reflexionando sobre
la segunda situacin propuesta, de acuerdo con las indicaciones, y
colcalas en el aula virtual. Esta tarea la realizarn tanto los
participantes de la modalidad semipresencial como los de la
modalidad virtual. Indicaciones Extensin mxima del documento: 3
pginas Tipo y tamao de letra: Arial 12 puntos Interlineado:
sencillo Nombre del archivo: Mat. Secundaria III. Tarea 3_Apellido
y nombre Escribe la primera versin de la narracin documentada
tomando en cuenta lo siguiente: Participante en la modalidad
semipresencial: LLEVA UNA COPIA IMPRESA DE SU TAREA AL CRCULO DE
INTERAPRENDIZAJE COLABORATIVO. Participante en la modalidad
virtual: COLOCA SU TAREA EN EL FORO DE INTERCAMBIO.
70. 70 El participante: Comparte algunas de las tareas
realizadas haciendo nfasis en el enfoque problmico de la enseanza
de geometra. Comparte su comprensin del desarrollo y secuencia de
las propuestas pedaggicas que deber aplicar en el aula, as como la
importancia del registro de evidencias. Comparte y discute sus
propuestas pedaggicas para enriquecerlas con los aportes de sus
colegas. Profundizan en algunos recursos para iniciar su narracin
documentada. Selecciona las nociones sobre las que desarrollar la
segunda propuesta de prctica pedaggica en el aula. Propone
estrategias para el desarrollo de las nociones relativas a
permetros y reas de figuras planas. 1. PROPSITO 2. TEMAS ATRATAR
Aspectos por incorporar en las propuestas pedaggicas para
aplicarlas en el aula, precisando las nociones que abordar cada
una. La importancia de la construccin del aprendizaje por parte del
estudiante mediante el enfoque problmico y la aproximacin, redondeo
y ensayo-error. Propuestas pedaggicas y la narracin documentada.
SEGUNDOTALLER PRESENCIAL
71. 71 3. ACUERDOSY COMPROMISOS Incluir estrategias
constructivistas en la enseanza de las matemticas. Disear las
propuestas de las prcticas pedaggicas que se aplicarn en el aula.
Comprometerse a usar estrategias constructivistas para la enseanza
de multiplicacin y divisin con nmeros mayores de 10. Preparar
estrategias para compartir con sus colegas durante la semana
siguiente. Los participantes que cursan lamodalidad e-learning
intervienenen un foro de intercambio paraconcretar los propsitos
del crculode interaprendizaje, as como losacuerdos y compromisos.
Nota Presentacin de las propuestas pedaggicas 1. Vuelve a revisar
las situaciones para la reflexin pedaggica, desarrolladas en las
pri- meras dos semanas, as como la profundizacin terica y pedaggica
para mejorar tus propuestas. 2. Escribe las propuestas de prctica
pedaggica y presntalas en el foro de intercambio del aula virtual.
Indicaciones Extensin mxima del documento: 4 pginas (2 pginas por
propuesta). Tipo y tamao de letra: Arial 12 puntos Interlineado:
sencillo Nombre del archivo: Mat. Sec III. Propuesta 1 y 2
_Apellido y nombre
72. 72 [[Planificacin de las prcticas pedaggicasintercambio
Foro de Dialoga e intercambia sugerencias sobre tus propuestas
pedaggicas y las de otros co- legas, relacionadas con los
siguientes aspectos: En qu medida la sesin planteada ofrece
oportunidades a los estudiantes para de- sarrollar competencias y
capacidades matemticas? Cul es la secuencia de las actividades que
realizarn los estudiantes? Cmo se registrar el avance de los
estudiantes? Brinda sugerencias acerca de las propuestas de por lo
menos dos compaeros, sobre los aspectos mencionados. Incorpora a
tus propuestas pedaggicas las sugerencias brindadas en el foro.
Este foro lo realizan tanto los participantes de la modalidad
semipresencial como los de la modalidad virtual.
73. 73 El participante: 2. PREPARACIN PARA EL CRCULO DE
INTERAPRENDIZAJE Revisa la primera propuesta de prctica pedaggica
sobre permetro y rea de figuras planas. Escribe las dudas e
interrogantes que le suscita la informacin del mdulo, leda y
desarrollada hasta ahora. Selecciona actividades, juegos y
estrategias para compartir con sus colegas. 1. PROPSITOS Comparte
con sus colegas la primera propuesta de prctica pedaggica en el
aula s, acerca del permetro y rea de figuras planas. Brinda y
recibe aportes para mejorar el diseo de esta. Plantea actividades y
estrategias para trabajar las nociones previas al desarrollo de
problemas con permetros y reas de figuras planas. Recibe los
aportes de sus pares. Recoge nuevas estrategias de enseanza,
aprende juegos y toma nota de estrategias informticas que puede
usar para mejorar la enseanza de las matemticas en Secundaria. 3.
ACUERDOSY COMPROMISOS Ejecutar la primera propuesta pedaggi- ca y
documentar evidencias del desar- rollo de esta. Elaborar la versin
preliminar de la narracin documentada de la primera propuesta de
prctica pedaggica sobre permetros y reas de figuras planas. Aplicar
en el aula algunas de las activi- dades, juegos y estrategias
desarrolla- das en el crculo. Preparar estrategias sobre permetro y
rea de figuras planas para la semana siguiente. CRCULO DE
INTERAPRENDIZAJE COLABORATIVO 2 Los participantes que
seencuentrenen la modalidade-learning intervienen en un forode
intercambio de propuestaspedaggicas con el fin deejecutarlas en el
aula. Nota
74. 74 Implementa en el aula la propuesta de prctica pedaggica
tomando en cuenta las suge- rencias de mejora brindadas por tus
colegas y tu formador. EJECUCIN DE LA PRCTICA PEDAGGICA 1 EN
ELAULAY ELABORACIN DE LA NARRACIN DOCUMENTADA Esta prctica la
realizan tanto los participantes de la modalidad semipresencial
como los de la modalidad virtual. Orientaciones para la elaboracin
de la narracin documentada de la prctica pedaggica Escribe la
versin preliminar de la ejecucin de la primera parte de tu
propuesta pedaggica efectuada en el aula y colcala en el aula
virtual. Toma en cuenta lo siguiente: 1. Identifica qu parte de la
experiencia que realizaste en tu aula deseas compartir y por qu
razn (recupera trabajos de los estudiantes, fotos, registros de
dilogo, la propuesta que elaboraste, entre otros elementos que te
permitan recordar lo vivido en el aula). 2. Define y escribe el
ttulo de la narracin de tu experiencia. 3. El contenido del relato:
Piensa y narra la prctica que llevaste a cabo. Ten en cuenta el
asunto que quieres contar, los cuestionamientos y las
interpretaciones que presentars. Tambin puedes apoyarte en las
siguientes preguntas (no se trata de responderlas, sino de narrar
lo sucedido): Cmo propusiste la actividad a los estudiantes y de qu
manera ellos respondieron? Sucedi algo que no habas previsto? De
ser este el caso, cmo enfrentaste la si- tuacin? Cmo fue la
participacin de los estudiantes en la actividad? Cmo los apoyaste
en el desarrollo de sus aprendizajes? Qu aprendieron ellos? Qu
aprendiste t? Cmo registraste su aprendizaje?
Recogeevidenciasdelaexperiencia(fotos,grabacionesdelasinteraccionesdocente-estudianteyestudiante-estudiante
paradespustranscribirlas,trabajosdelosestudiantes, entreotras).
Importante
75. 75 Indicaciones Extensin mxima del documento: 3 pginas Tipo
y tamao de letra: Arial 12 puntos Interlineado: sencillo Nombre del
archivo: Mat. Sec III. Prctica pedaggica 1_Apellido y nombre
Escribe la versin preliminar de la segunda narracin documentada
tomando en cuenta lo siguiente:
76. 76 El participante: Comparte las reflexiones de la
aplicacin de su primera pro- puesta pedaggica. Comparte con otros
docentes su comprensin sobre el desarrollo de la narracin
documentada y el anlisis respectivo. Propone estrategias inform-
ticas para reforzar de las no- ciones relativas a permetro y rea de
figuras planas en sus estudiantes. 1. PROPSITO 2. TEMAS ATRATAR
Propuestas pedaggicas y narracin documentada. 3. ACUERDOSY
COMPROMISOS Aplicar la segunda propuesta pedaggica y documentar
evidencias del desarrollo de esta. Usar estrategias
constructivistas para la enseanza de las matemticas. Desarrollar la
narracin documentada analizando la primera prctica pedaggica. El
grupo asignado deber preparar estrategias sobre el desarrollo de la
competencia financiera para la semana siguiente. TERCER TALLER
PRESENCIAL
77. 77 Indicaciones Extensin mxima del documento: 3 pginas Tipo
y tamao de letra: Arial 12 puntos Interlineado: sencillo Nombre del
archivo: Com. IV-V ciclo. Prctica pedaggica 1_Apellido y nombre.
Escribe la versin preliminar de la segunda narracin documentada
tomando en cuenta lo siguiente:
78. 78 Implementa en el aula la segunda propuesta de prcti